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Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
O equilíbrio e a qualidade do equilíbrio O princípio dos trabalhos virtuais fundamenta vários outros princípios. Um deles é o princípio
de Langrange que dita:
Na posição do equilíbrio (estável) a energia potencial total do sistema atinge o seu mínimo.
Nesta parte da matéria o princípio de Langrange será utilizado para encontrar a posição de
equilíbrio de alguns mecanismos, de 1 ou mais graus de liberdade cinemática, habitualmente
com apoios flexíveis (externos ou internos). Os apoios flexíveis serão constituídos por molas
lineares ou rotacionais.
Assume-se que a aplicação das forças externas é lenta e gradual (quase-estática), para não se
activarem as forças de inércia (termo explicado no capítulo de dinâmica). Mas a posição de
equilíbrio será determinada usando o valor final das forças aplicadas ao sistema.
O procedimento na elaboração dos problemas será o seguinte:
1. Determinar a energia potencial como função de parâmetros que definem a posição da
estrutura em equilíbrio. Estes parâmetros de deformação serão na forma de deslocamentos
ou rotações. Da posição inicial para a posição final a estrutura efectuará um movimento finito,
por isso, ao contrário dos problemas para a utilização do PTV, agora os deslocamentos e os
ângulos de rotação serão finitos (grandes) e por isso nenhuma simplificação das funções
trigonométricas será possível. Igualmente nenhuma das barras poderá sofrer algum
alongamento, nem mesmo infinitesimal.
2. Aplicar métodos de análise matemática para encontrar o mínimo de uma função, ou seja,
encontrar o ponto estacionário (anular as derivadas parciais da energia potencial segundo
parâmetros de deformações) e confirmar que o valor da energia potencial neste ponto atinge
o seu mínimo. Quando a posição final da estrutura depender de 1 parâmetro, será necessária
1 derivada ordinária que formará 1 equação para 1 incógnita. Para confirmação que o
equilíbrio é estável, basta verificar que a segunda derivada no ponto estacionário é positiva.
Para mais parâmetros é necessário efectuar derivadas parciais segundo cada parâmetro e
resolver o sistema de equações. A verificação da propriedade do mínimo é mais complicada e
usa o diferencial total da função.
Neste contexto não será possível usar apenas a definição do trabalho elementar, porque, como dito acima, os deslocamentos e as rotações serão finitos. Como o trabalho tem a propriedade sumativa, o trabalho total numa trajectória finita equivale à soma dos trabalhos elementares. Por isso, pode escrever-se:
B B
A A
d F dr
Quando a força é constante (as suas componentes não dependem da posição) e a trajectória é recta e finita, o trabalho da força equivale ao trabalho desta força realizado no deslocamento que representa a trajectória e pode ser exprimido na sua forma vectorial. Por exemplo, em 2D,
o trabalho da força 2,3 NF realizado numa trajectória u AB , onde 0,0A e
4, 3B , e por isso 4, 3u AB B A equivale a
2 4 3 3 1JF u
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Pode-se comprovar matematicamente que para as forças constantes, o valor do trabalho depende apenas da posição inicial e final do ponto de actuação da força, ou seja, o valor do trabalho não se altera, alterando a trajectória. Esta propriedade pode ser deduzida matematicamente, mas a mesma propriedade está atribuída às forças conservativas cujo significado físico será explicado em seguida. Usa-se igualmente neste contexto o termo potencial, ou seja, as forças conservativas são aquelas que têm o potencial, ou seja, aquelas
para as quais existe uma função escalar U tal que
B B
A A
d F dr U B U A
e por isso x
UF
x
, y
UF
y
, z
UF
z
.
Assumindo que as posições dependem do tempo, ou seja, que dx t
dx dtdt
e analogamente
para outros termos
B B B B
A A A A
U dx U dy U dz dUd F dr dt dt U B U A
x dt y dt z dt dt
As condições necessárias e suficientes para a existência do potencial são 2
yxFF U
y x x y
,
2
x zF F U
z x x z
,
2y z
F F U
z y y z
Voltando ao problema simples em 2D, o cálculo anterior 2 4 3 3 1JF u
pode ser interpretado como o trabalho da componente horizontal na trajectória horizontal
AC , onde 4,0C , ou seja 2 4 positivo, porque os sentidos são iguais; e o trabalho da
componente vertical na trajectória vertical CB , ou seja 3 3 , mas juntando o sinal negativo, porque os sentidos são opostos.
Analogamente, o trabalho do momento num ângulo finito equivale à soma dos trabalhos
elementares, tal como no caso anterior.
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Energia potencial das forças externas
A energia potencial das forças externas equivale ao negativo do trabalho mecânico no sistema
conservativo. Visto que nesta parte da matéria não serão considerados outros sistemas que
conservativos, a energia potencial das forças aplicadas poder-se-á determinar como o trabalho
dessas forças, adicionando posteriormente o sinal negativo. Como as forças serão
conservativas, o trabalho não dependerá do caminho percorrido pelas forças, apenas
dependerá das posições inicial e final. Por outras palavras, para o cálculo será possível utilizar a
trajectória mais vantajosa (mais simples).
A energia potencial na realidade corresponde à subtracção de valores de dois níveis, por
outras palavras, para definir a energia potencial é necessário definir o nível zero, ou seja, o
nível em que a energia potencial tem o valor nulo. Este nível é da nossa escolha.
Exemplo: trabalho do peso
Levantando um objecto da superfície para o nível h, o peso deste objecto mg, realiza um
trabalho negativo –mgh. Por isso a energia potencial é positiva mgh e pode ser libertada
deixando o objecto cair para a superfície. O valor da energia potencial dependeu do nível zero,
ou seja, admitimos o nível da energia potencial na superfície como zero. Mas poderia arbitrar-
se outro valor. O valor de energia potencial seria depois a diferença entre os níveis final e
inicial. Visto que o termo trabalho já foi explicado e praticado, torna-se mais simples
determinar a energia potencial das forças externas como trabalho negativo.
Molas
As molas classificam-se em: molas lineares e rotacionais. As molas lineares resistem às forças
aplicadas na sua direcção, as molas rotacionais resistem aos momentos.
Mola linear
A mola linear é um elemento estrutural flexível que resiste principalmente às forças aplicadas
na sua direcção.
Aplicando por exemplo uma força de compressão F,
esta provocará um deslocamento u. Fazendo dois
cortes na mola, verifica-se que o equilíbrio com a força
aplicada assegura uma força interna da mola. Esta
força designa-se a força elástica ou a força de
restituição. Para caracterizar esta força, introduz-se
um valor, K, que se chama a rigidez da mola. A rigidez
da mola define a força elástica para o deslocamento
unitário.
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Assim a força elástica é definida por
eF Ku
e a unidade da rigidez da mola é [N/m]. A rigidez da
mola corresponde assim ao declive do gráfico força
elástica-deslocamento.
Nota-se que a força elástica actua sempre contra a
força aplicada, e por isso o seu trabalho é sempre
negativo. Como a força elástica depende do
deslocamento imposto, o trabalho tem que ser
calculado pela integração.
1 2
1 2
1 1
2 2
2 1
1
2
u u
u u e
u u
F du Kudu K u u
Ou seja, o trabalho realizado pela força elástica entre
as posições deformadas correspondentes a 1u e
2u ,
equivale à área tracejada, com sinal negativo.
A energia potencial, neste caso denominada também
como a energia de deformação, corresponde à energia
acumulada na mola e é sempre positiva.
Basta imaginar que se a força aplicada for de compressão (tracção), a mola vai estar sujeita à
compressão (tracção), diminui o seu comprimento-encurta (aumenta o seu comprimento-
alonga), mas depois de libertar a força aplicada a mola volta à sua posição inicial,
indeformada, ou seja liberta a energia acumulada, e por isso a energia acumulada foi positiva.
Recorda-se que é necessário imaginar este processo como lento, sem envolvimento das
massas, para não originar alguma vibração.
Mola rotacional
Analogamente, pode-se concluir que as molas rotacionais acumulam sempre a energia
potencial (energia de deformação) e o valor é dado por
1 2
1 2
1 1
2 2
2 1
1
2
u
e
u
M d K d K
O momento elástico é dado por
eM K
e a rigidez da mola rotacional K corresponde ao momento elástico quando a mola está
sujeita a uma rotação de 1 radiano. A rigidez tem a unidade do momento, ou seja [Nm].
Sublinha-se que para os efeitos de cálculo o ângulo imposto tem que ser introduzido em
radianos.
Pode-se concluir que nos problemas desta parte da matéria as forças externas tratam-se
separadamente das molas. Para a resolução é necessário escolher uma posição do mecanismo
inicial, de forma arbitrária, que não envolve o parâmetro de deformação incógnito. O trabalho
exprime-se como o trabalho das forças no caminho efectuado da posição inicial para a final. A
contribuição das molas pode-se introduzir directamente ao valor da energia potencial. Esta
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contribuição será sempre positiva. Para a mola linear (rotacional) a fórmula utilizada envolve
metade da rigidez, vezes a variação do comprimento (variação do ângulo) ao quadrado. A
variação do comprimento (do ângulo) tem sempre que envolver a subtracção das posições
final e não-deformada, independentemente da posição inicial que foi utilizada para o cálculo
do trabalho das forças externas. Em analogia, a posição inicial do mecanismo é arbitrária, não
tendo nada a ver com a posição indeformada das molas. Assim a energia potencial total será
composta pela energia de deformação das molas e pela energia potencial das forças
externas que entra na fórmula como negativo do trabalho.
A qualidade do equilíbrio
O equilíbrio classifica-se em: estável, indiferente e instável. O significado físico pode-se
facilmente associar ao comportamento de uma esfera (veja a figura abaixo). Uma esfera numa
cavidade depois de ser deslocada e libertada, volta à sua posição inicial, isso significa que a
esfera esteve na sua posição inicial na posição do equilíbrio estável. Uma esfera numa
superfície horizontal depois de ser deslocada e libertada, fica na posição deslocada, isso
significa que a esfera esteve na sua posição inicial na posição do equilíbrio indiferente. Uma
esfera no topo da superfície circular, depois de ser deslocada e libertada, continua a mover-se
até encontrar outra posição do equilíbrio, isso significa que a esfera esteve na sua posição
inicial na posição do equilíbrio instável.
Em analogia pode-se assumir que a forma da função de energia potencial corresponde à
superfície analisada, nomeadamente na posição do equilíbrio estável a função de energia
potencial atinge o seu mínimo (local) e na posição do equilíbrio instável a função de energia
potencial atinge o seu máximo (local). Na posição do equilíbrio indiferente, a função é
localmente constante. A determinação da qualidade de equilíbrio seguirá procedimentos de
análise matemática. Para uma variável de deformação basta confirmar a segunda derivada. Se
a segunda derivada na posição estacionária for positiva, o equilíbrio é estável, se for negativa,
é instável, se for nula, é preciso analisar as derivadas de ordem maior. Se todas as derivadas de
ordem maior forem nulas, então o equilíbrio é indiferente. O gráfico da função pode ajudar
nesta análise, basta imaginar o gráfico coincidente com a superfície pela qual pode mover-se
uma esfera e fazer a análise que foi descrita acima.
Problema
Uma barra esbelta de comprimento L está ligada a
um cursor em B e repousa sobre uma superfície
cilíndrica de raio r. Desprezando o atrito e o peso da
barra, determine o valor de correspondente à
posição de equilíbrio do mecanismo quando
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L=200mm, r=60mm, P=40N e Q=80N. Use o princípio
do mínimo da energia potencial. Confirme que a
posição encontrada corresponde ao equilíbrio
estável.
Resolução
Neste caso apenas as forças externas estão aplicadas e não
existe nenhum elemento de mola. Para determinar o trabalho
das forças externas é necessário escolher uma posição do
mecanismo chamada “inicial”, que não depende do ângulo .
Esta posição pode ser aquela em que a barra está na posição
vertical.
Verifica-se que a força P na trajectória percorrida da posição inicial para a final realizou o
trabalho positivo, porque a força é vertical e actua no mesmo sentido como o deslocamento
vertical:
1 cosP PL
A força Q fez o trabalho negativo, porque actua no sentido contrário do deslocamento
horizontal
11
cosQ Qr
Em resumo, a energia potencial é dada por:
1
1 cos 1cos
Q PV PL Qr
A condição do extremo dita:
2
2
sinsin 0 sin 0º cos 0,6 39,2º
cos
dV QrPL Qr ou
d PL
Da definição do problema verifica-se que o ângulo tem que estar no intervalo de 0,90º e
por isso a solução encontrada é fisicamente possível. Vê-se que a equação acima tem mais
soluções, mas as outras soluções não são fisicamente possíveis.
O gráfico da função V ( em radianos) visualiza-se como:
Pode-se assim confirmar visualmente que na solução encontrada 39,2º 0,685rad há
equilíbrio estável e na posição de 0º o equilíbrio é instável. Não existem mais posições
especiais no intervalo de 0,90º .
r
cos
r
sinL
1 cosL
inicialfinal
P
P
equilíbrio
instável
equilíbrio
estável
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Na análise pode ainda ajudar o gráfico da primeira e da segunda derivada.
A primeira derivada (à esquerda) indica a solução encontrada ( 39,2º 0,685rad ) e
também a posição de ângulo zero como estacionária. A segunda derivada (à direita) indica que
a posição encontrada 39,2º 0,685rad corresponde ao equilíbrio estável (valor positivo)
e que a posição zero ao equilíbrio instável (valor negativo).
Numericamente:
2 2
2 3
2 2
2 2
sin 1cos 2
cos cos
0 3,2 39,2º 8,26
d VPL Qr Qr
d
d V d Ve
d d
Destaca-se que não foi incluída unidade dos números acima por ser indiferente. Destaca-se
igualmente que a posição inicial representou o equilíbrio instável por coincidência, em geral a
posição inicial não costuma ser a posição do equilíbrio. É igualmente importante ver que se for
1Qr
PL , não existe nenhum ângulo que verificava uma posição estacionária, excepto da
posição zero, e por isso o problema teria somente uma solução, desta vez estável. O gráfico da
função V para o caso em que a força Q é dez vezes maior, visualiza-se abaixo. Verifica-se que
nenhuma posição corresponde a um máximo ou mínimo (local) excepto do zero.
Em casos mais complicados, é possível usar o
produto interno para calcular o trabalho das
forças externas. Para isso é necessário
introduzir um referencial para se poderem
definir os vectores. A posição do referencial é
completamente arbitrária. Admitindo o
referencial na posição indicada abaixo
r
cos
r
sinL
1 cosL
inicialfinal
P
P
QQ x
y
A
A
B B
equilíbrio
estável
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O vector da força 0,P P realiza o trabalho no caminho definido pelo
1
sin , cos , 1 sin , cos 1cos cos
rAA A A L L r L r L L
cos 1 1 cosP P AA PL PL
que coincide com a relação definida anteriormente.
O vector da força ,0Q Q realiza o trabalho no caminho definido pelo
1
,0 ,0 1 ,0cos cos
rBB B B r r
11
cosQ Q BB Qr
que coincide com a relação definida anteriormente.
Sublinha-se mais uma vez que a posição inicial foi arbitrária e não dependeu do ângulo .
Devido à derivada segundo o usada na resolução do problema, a contribuição da posição
inicial ficou anulada, no entanto a sua importância está no facto de permitir introduzir as
quantidades que definem a posição final (de equilíbrio) com sinais e valores correctos.
Problema
Uma carga P de 500N é aplicada ao mecanismo
representado no ponto C. Sabendo que a mola se encontra
indeformada quando 15º , determine o valor de
correspondente ao equilíbrio. Considere r=150mm,
L=500mm e k=8000N/m. Use o princípio do mínimo da
energia potencial. Confirme que a posição encontrada
corresponde ao equilíbrio estável. Despreze o peso das
partes envolvidas.
Resolução:
Efeito da força externa: para introduzir o trabalho realizado
pela força externa é preciso arbitrar alguma posição inicial
do mecanismo, que não depende do ângulo . Para o caso
representado na figura ao lado tem-se:
1 cosP PL
Para determinar este valor vectorialmente, tem que se
introduzir um referencial. Para o caso representado na
figura ao lado tem-se:
inicial
final
P
1 cosL
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O vector da força 0,P P realiza o trabalho no
caminho definido pelo
sin , cos 0,
sin , cos 1
AA A A L L L
L L
cos 1 1 cosP P AA PL PL
que coincide com a relação definida anteriormente.
A contribuição da mola pode-se determinar somente como o valor da energia potencial de
deformação acumulado na posição final, que está assim sempre relacionado à forma da mola
indeformada, ou seja a mola está na posição final alongada pelo comprimento do arco que
corresponde ao ângulo 15
180
que é
15
180r
porque a posição indeformada
corresponde ao ângulo de 15º . Sublinha-se que para o cálculo do comprimento de um arco
os ângulos têm que ser introduzidos em radianos. Sublinha-se igualmente que um
alongamento sobre uma superfície circular não faz da mola uma mola rotacional, a mola é
linear, tal como desenhado. O valor da energia potencial da mola é 2
21 15
2 180molaV kr
Na realidade seria mais correcto considerar a subtracção de dois níveis, inicial e final. Na
posição inicial a mola tinha já acumulado o valor 2
2
,
1 15
2 180mola inicialV kr
E por isso dever-se-ia utilizar
2 2
2 2
, ,
1 15 1 15
2 180 2 180mola final mola mola inicialV V V kr kr
No entanto o valor ,mola inicialV não afectará o resultado, porque não depende do valor do
ângulo e por isso seria eliminado depois de derivado. Neste caso, ao contrário do trabalho
das forças, o valor inicial não está a ajudar de maneira nenhuma à determinação do valor da
energia acumulada na posição final, por isso pode ser omisso desde o início. Isso implica que
a posição inicial utilizada para o cálculo do trabalho das forças pode ser arbitrada sem
qualquer ligação à posição indeformada das molas.
Em resumo, a energia potencial é dada por:
2
21 151 cos
2 180P molaV V PL kr
A condição do extremo dita:
2 15sin 0
180
dVPL kr
d
inicial
final
A
A
P
x
y
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A equação acima só pode ser resolvida numericamente. Da definição do problema verifica-se
que o ângulo pode tomar valores no intervalo de 0,180º , depois a mola não enrolava
sobre a superfície. O gráfico da função V ( em radianos) visualiza-se como:
Pode-se assim confirmar visualmente que existe uma solução no intervalo admissível que
corresponde à posição do equilíbrio estável. Esta solução é única. Numericamente
1,647rad 94,3º que está dentro de 0,180º e por isso a solução encontrada é
fisicamente possível. Na análise pode ainda ajudar o gráfico da primeira e da segunda
derivada.
A primeira derivada (à esquerda) indica a única solução encontrada: 1,647rad 94,3º . A
segunda derivada (à direita) indica que a posição encontrada corresponde ao equilíbrio estável
porque a segunda derivada tem neste lugar o valor positivo. Numericamente:
2 2
2
2 2cos 94,3º 198,96
d V d VPL kr
d d
Realça-se que a posição inicial era arbitrária, podia-se
igualmente usar por exemplo a posição da figura ao
lado, ou qualquer outra. Para a figura ao lado, verifica-
se que a força P faz trabalho negativo:
cosP PL
Comparando este valor com o valor anterior, confirma-se
que o termo que envolve o ângulo é exactamente igual,
inclusive o sinal. Por esta razão a sua contribuição à
derivada da energia potencial será igual como no cálculo
anterior.
inicial
final
PcosL
equilíbrio
estável
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Problema
No ponto C do mecanismo representado aplica-se uma força
F de 200N e P de 150N. A constante da mola é k = 2000N/m,
e a mola encontra-se indeformada quando 0 . Determine
o valor de correspondente ao equilíbrio. Use o princípio do
mínimo da energia potencial. Confirme que a posição
encontrada corresponde ao equilíbrio estável. Despreze o
peso das partes envolvidas.
Considere r=100mm e L=500mm.
Resolução:
Efeito da força externa: para introduzir o trabalho realizado
pela força externa é preciso arbitrar alguma posição inicial
do mecanismo que não depende do ângulo . Para o caso
representado na figura ao lado tem-se:
cosP PL
1 sinF FL
A contribuição da mola pode-se determinar como o valor da
energia potencial de deformação acumulado na posição final,
que está relacionado à forma da mola indeformada, ou seja a
mola está na posição final alongada pelo comprimento do
arco que corresponde ao ângulo que é r . O valor da
energia potencial da mola é
2 21
2molaV kr
Em resumo, a energia potencial é dada por:
2 21cos 1 sin
2P F molaV V PL FL kr
A condição do extremo dita:
2sin cos 0dV
PL FL krd
A equação acima só pode ser resolvida numericamente. Da definição do problema verifica-se
que o ângulo pode estar no intervalo de 0,180º , depois a mola não enrolava sobre a
superfície. O gráfico da função V ( em radianos) visualiza-se como:
P
P
inicial
final
PF
equilíbrio
estável
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Pode-se assim confirmar que existe uma única posição do equilíbrio estável. Numericamente
pode-se resolver 1,905rad 109,1ºest que está dentro do intervalo de valores admissíveis
de 0,180º . Na análise pode ainda ajudar o gráfico da primeira e da segunda derivada.
A primeira derivada (à esquerda) indica a solução estacionária encontrada. A segunda derivada
(à direita) indica que esta posição corresponde ao equilíbrio estável porque a segunda
derivada tem neste lugar o valor positivo. Numericamente:
2 2
2
2 2cos sin 109,1º 139,05
d V d VPL FL kr
d d
Problema
Determine a energia potencial do sistema da
figura ao lado na posição que corresponde a
uma rotação pelo ângulo finito no sentido
horário. Considere que a posição visualizada na
figura corresponde ao nível zero e que as
molas rotacional e linear estão nesta posição
indeformadas.
Resolução
A energia potencial será determinada como a
soma de todas as contribuições.
O peso da barra AB:
O ângulo inicial é definido por 0,3
arctan0,4
Assim o trabalho do peso é:
sin sin2
sin 0,15 0,2sin 0,15 1 cos2
ABP AB AB AB
AB AB
ABP h P
ABP P
A
B C
D Dr
k
k
0,3
0, 4 0, 4 m
0,1
B
A
A
ABP
ABP
ABh
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O peso da barra BC:
sin2BCP BC
BCP
O peso do disco D:
1 cos sin
0,1 1 cos 0,8sin
DP D
D
P CD BC
P
A mola rotacional:
21
2kV k
A mola linear:
2
21sin 0,32 sin
2kV k BC k
A energia potencial total do Sistema:
AB BC Dk k P P PV V V
B C
Dk
sinBC
cosCD
BCP
BCP
DP
DP
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Força crítica Em alguns casos acontece que uma estrutura está em equilíbrio e este facto não depende do
valor da força aplicada. Os casos mais comuns envolvem estruturas rectas com a carga
aplicada no seu eixo. Nestes casos é possível considerar o valor da força como parâmetro e
usando a metodologia explicada na parte anterior, é possível analisar a qualidade do equilíbrio
como função do valor da força aplicada. Assim é possível definir o valor da força que faz a
separação entre o equilíbrio estável e instável, ou seja o valor da força para a qual a segunda
derivada de energia potencial na posição do equilíbrio é nula. Depois, para as forças menores o
valor da segunda derivada é positivo e o correspondente equilíbrio é estável; e para as forças
maiores o valor da segunda derivada é negativo e o correspondente equilíbrio é instável. A
força que faz esta separação chama-se a força crítica.
Como explicado anteriormente, a avaliação do equilíbrio pode-se fazer da seguinte maneira:
aplica-se um “impulso”, ou seja, desloca se a estrutura da sua posição do equilíbrio, e depois
liberta-se. Se depois desta libertação voltar à sua posição inicial, o equilíbrio é estável. Da
mesma maneira é necessário proceder na parte de cálculo. O “impulso”, ou seja, a introdução
da posição deformada deveria envolver deslocamentos finitos, no entanto basta considerar os
deslocamentos pequenos, mas não infinitesimais, porque a forma indeformada corresponde
ao parâmetro nulo. Este facto é de extrema importância. Com deslocamentos infinitesimais
não se consegue determinar a força crítica, porque as funções trigonométricas dos ângulos
infinitesimais envolvem apenas o primeiro termo da expansão Taylor e assim apenas os termos
de ordem máxima 1 (lineares). Usar estes termos no PTV é aceitável, porque no trabalho
virtual não há termos quadráticos. No entanto, usar estes termos juntamente com a energia
potencial em que a energia de uma mola rotacional envolve o ângulo com expoente 2 (termo
quadrático), já não é possível porque depois o trabalho e a energia formavam termos de
ordem diferente. Por esta razão tem que se adicionar mais termos na expansão Taylor, até
envolver os termos quadráticos.
Em resumo, as funções trigonométricas que correspondem aos deslocamentos pequenos, mas
não infinitesimais, podem simplificar-se:
sin e 2
cos 12
Isso alterou a simplificação da função co-seno, mas não a função do seno, porque o termo com
expoente 2 na expansão do seno é nulo.
Problema
Considere a estrutura visualizada na figura abaixo. Determine o valor da força crítica do
sistema, considerando as molas indeformadas na posição mostrada. Examine outras posições
de possível equilíbrio.
dados: 15 /k kN m , 20k kNm , 2L m
k
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Resolução
A posição deformada visualiza-se acima, devido à simetria a deformada é simétrica. Devido às
deformações não infinitesimais, é necessário manter os comprimentos das barras inalterados.
O trabalho das forças aplicadas é:
2
22 1 cos 2 1 12
P PL PL PL
A energia potencial do sistema é:
2 22 2 2 2 21 1 1
2 sin 22 2 2
V PL k k L PL k kL
É de notar que a mola rotacional acumula a energia que correspondente ao ângulo de 2 ,
que é o ângulo relativo entre as barras na posição deformada.
A primeira derivada é:
22 4dV
PL k kLd
Verifica-se que a única posição de equilíbrio é a posição 0 tal como assumido. Desta
expressão é impossível encontrar outras posições de equilíbrio, porque é válida apenas para
ângulos pequenos perto do zero.
A segunda derivada é: 2
2
22 4
d VPL k kL
d
A força crítica corresponde ao valor nulo, ou seja 2 24 4 20 15 2
35kN2 2 2
crit
k kLP
L
Nota-se que o valor da força é positivo. Na realidade este problema só ocorre nas estruturas
sujeitas à compressão. Se a força for de sentido oposto, o equilíbrio seria estável para
qualquer valor da força. Pode-se ainda analisar o gráfico da segunda derivada da energia
potencial em função da força aplicada.
L L
2
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Vê-se que a função 2
2
d V
d é linear e decrescente. Isso confirma que para as forças menores de
35kN, mesmo com o sinal negativo que corresponderia às forças de sentido oposto, ou seja, de
tracção, o equilíbrio é estável. Para as forças maiores que 35kN o equilíbrio é instável.
Realça-se que a simplificação introduzida nas funções trigonométricas não era obrigatória.
Poder-se-ia proceder sem simplificações, o que apenas complicava as derivadas, mas não
alterava o resultado. A formulação completa permitiria analisar outras posições de equilíbrio
além da forma assumida de 0 . Neste caso:
2 21 1
2 1 cos 2 sin2 2
V PL k k L
22 sin 4 sin cosdV
PL k kLd
Confirma-se que a posição 0º corresponde a uma posição estacionária, no entanto
também para um dado valor da força, pode existir outra posição de equilíbrio. Admitindo por
exemplo 33kN<PcritP , 42,73º é também estacionário.
A segunda derivada:
2
2 2 2
22 cos 4 cos sin
d VPL k kL
d
Admitindo a posição analisada 0º
2
2
20 2 4
d VPL k kL
d
Que corresponde à relação anterior e por isso o valor da força crítica será novamente de 35kN.
Admitindo a outra posição
2
242,73º 12,21 0
d V
d
Pode-se concluir que esta posição corresponde ao equilíbrio instável.
Neste problema, para forças maiores que crítica não existe outra posição de equilíbrio. Os
ângulos que resolvem a equação são maiores que 90º , o que é fisicamente impossível.
Problema
Considere a estrutura visualizada na figura ao lado.
Determine o valor da força crítica do sistema,
considerando as molas indeformadas na posição
mostrada. O apoio móvel na extremidade da mola
assegura que a mola vai ficar sempre na posição
horizontal.
Resolução
A energia potencial do sistema é:
P
k
L
k
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
22
2 2 2 2
1 11 cos sin
2 2
1 1 1
2 2 2
V PL k k L
PL k kL
A primeira derivada é:
2dVPL k kL
d
Verifica-se que a posição de equilíbrio é a posição
0º tal como assumido. Desta expressão é
impossível encontrar outras posições de equilíbrio,
porque é válida apenas perto do zero.
A segunda derivada é: 2
2
2
d VPL k kL
d
A força crítica corresponde ao valor nulo, ou seja 2
crit
k kLP
L
P
k
L
k
L
P
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