View
2
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Muster Uebung 9, von J.Bruenecke, WQ, u.a.
Aufgabe 1
Simplify@Sqrt@x^2D, x <= 0DSimplify@Sqrt@x^2D, x ³ 0D-x
x
H* oder von Kai Benning *L"Da x
2= ÈxÈ = ±x für x Î R, da Simplify mit x Î R
nicht funktioniert nutze Reformulierung mit Assumptions um
es zu ermöglichen Hohne Redukion des DefinitionsbereichsL"PrintB" x
2= ", SimplifyB x
2, Assumptions ® x ³ 0ê x £ 0FF
H* oder von Tino Schulze & Laurenz Thyen *LSimplifyB x
2, Element@x, RealsDF
H* WQ: andere Versionen waeren *LSqrt@x^2D �� Refine@ð, x > 0D &
Sqrt@x^2D �� Refine@ð, x < 0D &
x
-x
Refine@Sqrt@x^2D, Assumptions -> x < 0D-x
H* PowerExpand Hexpands all powers of products and powers implicitly
assuming positive real valuesL allein gibt das falsche Resultat *LSqrt@x^2D �� PowerExpand
x
H* etwas tricky, von der Mma-Hilfe *LSqrt@x^2D �� PowerExpand@ð, Assumptions ® TrueD &
ãä Π FloorB 1
2-Arg@xD
ΠFx
ãä Π FloorB 1
2-Arg@xD
ΠF �. Arg@xD ® Pi
-1
H* 2., graphische Loesung von Tom Quaas *L
Plot@Sqrt@x^2D, 8x, -5, 5<, AxesLabel ® 8x, y<D
-4 -2 2 4
x
1
2
3
4
5
y
H*1. von Tobias Abel *Lf := Sqrt@y^2DSolve@f == k, yD88y ® -k<, 8y ® k<<H* Aus dem Betrag von y wurde wieder +-y ;
WQ: Ist aber falsch, wenn k>0 angenommen wird,
weil dann y<0 in der ersten Loesung ! Oder umgedreht ... *L
Aufgabe 2Clear@x, y, z, fD;f@x_, y_, z_D := x^2 + 3 y^2 + 7 z^2
r1 = 1 � Sqrt@6D;r2 = -1 � Sqrt@6D;r3 = 2 � Sqrt@6D;a = 1;
b = 2;
c = -1;
H*Gradient*LGf := Grad@f@x, y, zD, 8x, y, z<DGf
H*Richtungsableitung*LSimplify@Gf.8r1, r2, r3< �. x ® a �. y ® b �. z ® cDH*Alternative*LLimit@1 � h * Hf@a + h r1, b + h r2, c + h r3D - f@a, b, cDL, h ® 0D82 x, 6 y, 14 z<
-192
3
2 MusterUb9JBrueneckeUa.nb
H* Bild nach Tino Schulz *LSqrt@20.0D; Sqrt@20. � 3D; Sqrt@20. � 7D;p1 = RegionPlot3D@f@x, y, zD < 20, 8x, -4.47, 4.47<, 8y, -2.58, 2.58<,
8z, -1.69, 1.69<, PlotPoints ® 30, AxesLabel ® Automatic, BoxRatios ® AutomaticDH* Eigentlich wollte ich noch den Richtungsvektor ausgehend von dem
benannten Punkt einzeichnen, hatte aber nicht mehr genügend Zeit,
das auseinanderzuklamüsern. Was wäre dafür denn die effektivste Lösung? *Lp2 = Graphics3D@
8Arrowheads@0.1D, Arrow@Tube@ 881, 2, -1<, 2 81 + 1, 2 - 1, -1 + 2<<, 0.05DD<D;Show@p1, p2D
-4-2
02
4x
-2
0
2
y
-1
0
1
z
WQ : Siehe oben : Ist aber nur eine ' Scheinloesung' da die Funktion ueber dem
3 - dimensionalen Grundgebiet Hx, y, zL schon eine
3 - dimensionale Flaeche im 4 - dimensionalen Raum Hx, y, z, fL ist -- -
Dadurch uebersteigt sie unsere Anschauung. Durch f = constant = 20,
eine ' Hoehenflaeche' auf der der Ausgangspunkt liegt, kann man versuchen,
etwas Anschauung zu retten. Darauf ist ein Vektor in Richtung r angebracht.
Aufgabe 3 a
Clear@x, y, k, a, t, Sol, MyStream1, MyPlot1D;H*Das funktioniert aus irgendeinem Grund nicht,
bevor man Mathematica neu gestartet hat. Manchmal aber doch...*LSol = DSolve@8y'@xD == k Ha - y@xDL, y@0D � 0<, y@xD, xD99y@xD ® a ã
-k x I-1 + ãk xM==
MusterUb9JBrueneckeUa.nb 3
k = 0.2
a = 2.0
MyStream1 = StreamPlot@81, k Ha - yL<, 8x, 0, 10<, 8y, 0, a<D;MyPlot1 =
Plot@8Sol@@1, 1, 2DD<, 8x, 0, 10<, PlotRange ® 80, a<, PlotStyle ® RedD;Show@MyPlot1, MyStream1D0.2
2.
0 2 4 6 8 10
0.5
1.0
1.5
2.0
Aufgabe 3 b
4 MusterUb9JBrueneckeUa.nb
Clear@x, y, k, a, t, SolD;a = 2.0;
k = 0.2;
Sol = DSolve@8y'@xD � k Ha - y@xDL^2, y@0D � 0<, y@xD, xDMyStream2 = StreamPlot@81, k Ha - yL^2<, 8x, 0, 10<, 8y, 0, a<D;MyPlot2 =
Plot@Sol@@1, 1, 2DD, 8x, 0, 10<, PlotRange ® 80, a<, PlotStyle ® GreenD;Show@MyStream2, MyPlot2D::y@xD ®
2. x
2.5 + x
>>
0 2 4 6 8 10
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
MusterUb9JBrueneckeUa.nb 5
In[1]:=
H* 3 bL 2.Teil, mit dem was ich mir denke, was gemeint war *LH* WQ: Sorry fuer den Verwechsler. Alle die es gemerkt haben,
bekommen einen Zusatzpunkt *LClear@x, y, k, a, t, SolD;a = 2.0;
b = 1.5;
k = 0.2;
Sol = DSolve@8y'@xD � k Ha - y@xDL Hb - y@xDL, y@0D � 0<, y@xD, xDMyStream4 = StreamPlot@81, k Ha - yL Hb - yL<, 8x, 0, 10<, 8y, 0, a<D;Sol@@1, 1, 2DD �� Chop
MyPlot4 =
Plot@Sol@@1, 1, 2DD, 8x, 0, 10<, PlotStyle ® Black, PlotRange ® 80, a<D;Show@MyStream4, MyPlot4DSolve::ifun : Inverse functions are being used by Solve, so some
solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. �
Out[5]= ::y@xD ®
1.5 I1.33333 - I1.33333 + 4.28838 ´ 10-16 äM 2.718280.1 xM
1. - I1.33333 + 4.28838 ´ 10-16 äM 2.718280.1 x
>>
Out[7]=
1.5 H1.33333 - 1.33333 ´ 2.718280.1 xL
1. - 1.33333 ´ 2.718280.1 x
Out[9]=
0 2 4 6 8 10
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
6 MusterUb9JBrueneckeUa.nb
Show@MyPlot1, MyPlot2, MyPlot4D
0 2 4 6 8 10
0.5
1.0
1.5
2.0
WQ : hier war k etwas gross gewaehlt;
ich habe es verkleinert. Bei kleinerem k und a > 1 :
Zu Beginn ist die Reaktion 2. Ordnung schneller,
aber sie wird von der 1. Ordnung irgendwann ueberholt. Diese gleicht sich bei
grossen Zeiten schneller an den Grenzwert an. Bei b < a ist b der Grenzwert.
Aufgabe 4
MusterUb9JBrueneckeUa.nb 7
Clear@x, y, zD;f@x_, y_D := x + y
H* von T.Quaas *L" Für das Integrationsgebiet ergibt sich die markierte
Fläche in der x - y - Ebene im nachfolgenden Plot: "
Show@Plot@0, 8x, 0, 4.5<, PlotRange ® 80, 8.5<, AxesLabel ® 8x, y<D,Plot@82 x, x � 3<, 8x, 1, 3<, PlotStyle ® 8Red, Blue<,Filling ® 81 ® 82<<, FillingStyle ® GrayD,
Plot@82 x, x � 3<, 8x, 0, 1<, PlotStyle ® 8Red, Blue<, PlotLegends ® 82 x, x � 3<D,Plot@82 x, x � 3<, 8x, 3, 4<, PlotStyle ® 8Red, Blue<DD
Für das Integrationsgebiet ergibt sich die markierte
Fläche in der x - y - Ebene im nachfolgenden Plot:
0 1 2 3 4
x
2
4
6
8
y
2 x
x
3
H* von Tino Schulze *L
8 MusterUb9JBrueneckeUa.nb
PlotB:2 x, x
3
>, 8x, 1, 3<, PlotStyle ®
8Directive@Red, Dashed, ThickD, Directive@Green, Dashed, ThickD, None<,Filling ® 81 ® 882<, Yellow<<, GridLines ® 883, 0<, 8<<,GridLinesStyle ® Directive@Brown, Dashed, ThickD,PlotLegends ® :2 x, 1
3
x>, AxesLabel ® 8x, y<F
1.5 2.0 2.5 3.0
x
1
2
3
4
5
6
y
2 x
x
3
H*nested Integral*LIntegrate@Integrate@f@x, yD, 8y, x � 3, 2 x<D, 8x, 1, 3<DIntegrate@f@x, yD, 8x, 1, 3<, 8y, x � 3, 2 x<D845
27
845
27
MusterUb9JBrueneckeUa.nb 9
Show@Plot3D@f@x, yD, 8x, 1, 3<, 8y, 1 � 3, 6<D,RegionPlot3D@z £ f@x, yD && y >= x � 3 && y <= 2 x,
8x, 1, 3<, 8y, 1 � 3, 6<, 8z, 0, 10<DD
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
2
4
6
2
4
6
8
H* Abbildung nach Tom Schilling
BoxRatios®Automatic funktioniert fuer x zu y
AspectRatio®1.43 ist fuer f verwendet *L
10 MusterUb9JBrueneckeUa.nb
Show@Plot3D@f@x, yD, 8x, 1, 3<, 8y, 1 � 3, 6<, PlotRange ® 80, 9.1<, AxesLabel ® 8x, y, f<,BoxRatios ® Automatic, AspectRatio ® 1.43, MeshFunctions ® 8ð3 &<D,
RegionPlot3D@f@x, yD > z - 0.1 && y > x � 3 && y < 2 x, 8x, 1, 3<, 8y, 1 � 3, 6<,8z, 0, 9.1<, Mesh ® None, PlotStyle ® Directive@Yellow, Opacity@0.75DD,BoundaryStyle ® Directive@Red, ThickD, PlotPoints ® 50D
D1.0
1.52.0
2.53.0
x
2
4
6
y
0
2
4
6
8
f
Aufgabe 4b
x und y sind in der Funktion vertauschbar. Deshalb können
auch die Integrationsgrenzen einfach vertauscht werden. D. h. man
kann auch x von y � 3 bis 2 y und y von 1 bis 3 integrieren.Kommentar WQ : Man kann sozusagen das unsymmetrische Integrationsgebiet
unter der symmetrischen Funktion spiegeln. Formal sieht das wie eine
Vertauschung der Grenzen aus.
H* von T.Quaas *LStyle@"Zum Test: ", Blue, 15DZum Test:
MusterUb9JBrueneckeUa.nb 11
à1
3
ày�32 yHx + yL âx ây == à
1
3
àx�32 xHx + yL ây âx
True
b) Die formale Antwort von Kai Benning ist natuerlich richtig:
"Für die Integration in umgekehrter
Reihenfolge ist die untere Integrationsgrenze
xu = 1 für y £ 2 und xu =Hy - 1L
2
für 2 £ y £ 6
und die obere Integrationsgrenze
xo = 3*y für y £ 1 und xo = 3 für 1 £ y £ 6"
12 MusterUb9JBrueneckeUa.nb
Recommended