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Modelagem Da Mecânica Do Voo de Aeronaves Flexíveis e Aplicações de Controle
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Dados Internacionais de Catalogao-na-Publicao Diviso Biblioteca Central do ITA/CTA Silvestre, Flvio Jos Modelagem da Mecnica do Vo de Aeronaves Flexveis e Aplicaes de Controle / Flvio Jos Silvestre. So Jos dos Campos, 2007. 115f. Tese de Mestrado Curso de Ps-graduao em Mecnica e Controle de Vo, rea de Engenharia Aeronutica e Mecnica Instituto Tecnolgico de Aeronutica, 2007. Orientadores: Prof. Dr. Pedro Paglione. 1. Aeronaves Flexveis. 2. Teoria das Faixas. 3. Controle de Vo. I. Comando-Geral de Tecnologia Aeroespacial. Instituto Tecnolgico de Aeronutica. Diviso de Engenharia Aeronutica. II. Modelagem da Mecnica do Vo de Aeronaves Flexveis e Aplicaes de Controle
REFERNCIA BIBLIOGRFICA
SILVESTRE, Flvio Jos. Modelagem da Mecnica do Vo de Aeronaves Flexveis e Aplicaes de Controle. 2007. 115f. Tese de Mestrado Instituto Tecnolgico de Aeronutica, So Jos dos Campos.
CESSO DE DIREITOS NOME DO AUTOR: Flvio Jos Silvestre TTULO DO TRABALHO: Modelagem da Mecnica do Vo de Aeronaves Flexveis e Aplicaes de Controle TIPO DO TRABALHO/ANO: Tese de Mestrado/ 2007 concedida ao Instituto Tecnolgico de Aeronutica permisso para reproduzir cpias desta tese e para emprestar ou vender cpias somente para propsitos acadmicos e cientficos. O autor reserva outros direitos de publicao e nenhuma parte desta tese pode ser reproduzida sem a sua autorizao (do autor).
___________________________ Flvio Jos Silvestre CTA-ITA, Diviso de Engenharia Aeronutica. Pa. Mal. Eduardo Gomes, 50, Vila das Accias. CEP: 12228-900. So Jos dos Campos, S.P. Brasil.
iii
MODELAGEM DA MECNICA DO VO DE AERONAVES
FLEXVEIS E APLICAES DE CONTROLE
Flvio Jos Silvestre
Composio da Banca Examinadora: Prof. Dr. Luiz Carlos Sandoval Ges Presidente ITA Prof. Dr. Pedro Paglione Orientador ITA Prof. Dr. Paulo Afonso de Oliveira Soviero ITA Prof. Dr. Maher Nasr Bismarck-Nasr ITA Dr. Roberto Gil Annes da Silva CTA/IAE
ITA
iv
Dedicatria
Dedico este trabalho s pessoas mais importantes da minha vida:
minha famlia.
v
Agradecimentos
A Deus, que to sabiamente conduz as pessoas. minha famlia, minha motivao de todos os dias. Ao Prof. Paglione, pela sua impagvel orientao, no somente desta dissertao de
mestrado, mas durante o incio e o exerccio da carreira de docncia e de pesquisa. Aos meus colegas, devo dizer amigos, da Diviso de Engenharia Aeronutica e do
ITA, pela convivncia e por tornarem meu ambiente de trabalho to produtivo e agradvel. Especialmente, s minhas queridas Simone e Ana Maria.
Aos meus amigos, pelo companheirismo e pelas palavras de apoio. Em especial ao
colega de turma, colega de trabalho e grande amigo Andr Cavalieri, pelo incentivo, principalmente nestes momentos finais de dissertao.
vi
A importncia das coisas no est no tempo que elas duram, mas na
intensidade com que acontecem. Por isso existem momentos inesquecveis,
coisas inexplicveis e pessoas incomparveis.
(Fernando Sabino)
vii
Resumo
medida que a separao de freqncias entre os modos de corpo rgido da aeronave e os
modos de vibrao estrutural torna-se mais estreita, o tratamento tradicional da mecnica do
vo da aeronave considerada como corpo rgido pode no ser eficiente. Neste trabalho
apresentado um panorama sobre o tratamento da aeronave como corpo deformvel, tanto em
termos da dinmica do vo como do projeto de sistemas de controle. As equaes do
movimento tridimensional da aeronave so determinadas atravs do enfoque da mecnica
lagrangeana. As cargas aerodinmicas incrementais que aparecem devido vibrao so
modeladas atravs da teoria das faixas, com hiptese quase-esttica e em regime
incompressvel. A dinmica estrutural determinada atravs da tcnica de decomposio
modal. Desta forma, a influncia da vibrao sobre o carregamento aerodinmico
determinada em termos de derivadas de estabilidade estruturais generalizadas. O projeto de
sistemas de aumento de controle para aeronaves flexveis ento abordado. A dinmica
estrutural considerada como incerteza da planta nominal de corpo rgido ou como
perturbao de entrada. A aplicao do mtodo H para o projeto de controladores de
estrutura fixa ento estudada segundo duas diferentes metodologias. Os projetos tambm
contemplam a rejeio a entradas de rajada, segundo modelo estocstico de Dryden.
viii
Abstract
As the frequency separation between the rigid body modes and the structural dynamics
becomes tighter, the traditional aircraft flight mechanics treatment, there is, the rigid body
approximation, may be not efficient. This work presents an overview of the effects of treating
the aircraft as a flexible body, in the dynamics determination and in control applications. The
equations of the three-dimensional flexible aircraft motion are stated using Lagranges
equations. The incompressible quasi-steady strip theory aerodynamics approximation is used
for modeling the incremental aerodynamic loads due to structural vibration, which dynamics
is modeled through the modal decomposition technique. Doing so, the structural vibration
influence on the aircraft flight mechanics is evaluated in terms of generalized structural
stability derivatives. The general control augmentation problem for a flexible aircraft is then
discussed. Based on the rigid body approximation and modeling the flexible modes as
uncertainty of the plant or input disturbances, control augmentation systems are designed
applying the H approach to fixed structure output feedback controls, under two different
methodologies. The wind gust rejection is also imposed and the stochastic wind Dryden
model is assumed.
ix
Sumrio
LISTA DE FIGURAS................................................................................................. XI
LISTA DE TABELAS ............................................................................................... XII
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS................................................................. XIII
LISTA DE SMBOLOS............................................................................................XIV
1 INTRODUO...................................................................................................15
1.1 Ambientao .......................................................................................................................................... 15
1.2 Estado da arte........................................................................................................................................ 19
1.3 Objetivo.................................................................................................................................................. 23
2 FORMULAO .................................................................................................25
2.1 Sistemas de referncia........................................................................................................................... 25
2.2 Modelagem da dinmica estrutural..................................................................................................... 28 2.2.1 Construo da base modal .................................................................................................................. 30 2.2.2 Problema geral de vibrao ................................................................................................................ 31 2.2.3 Caso considerado................................................................................................................................ 32
2.3 Modelo aerodinmico incremental ...................................................................................................... 34 2.3.1 Determinao das cargas aerodinmicas incrementais ....................................................................... 35 2.3.2 Limitaes do modelo ........................................................................................................................ 40
2.4 Equaes do Movimento da Aeronave Elstica.................................................................................. 41 2.4.1 Determinao da lagrangeana e do funcional de dissipao............................................................... 41 2.4.2 Aplicao das equaes de Lagrange ................................................................................................. 47 2.4.3 Determinao das cargas generalizadas ............................................................................................. 48 2.4.4 Simplificao das equaes................................................................................................................ 52
2.5 Determinao das cargas generalizadas nos graus de liberdade das amplitudes modais, em termos de derivadas de estabilidade ............................................................................................................................... 52
2.5.1 Tratamento de asa e empenagem horizontal....................................................................................... 52 2.5.2 Tratamento da empenagem vertical.................................................................................................... 54
3 APLICAO NUMRICA..................................................................................56
3.1 Determinao numrica dos coeficientes de influncia...................................................................... 56
3.2 Avaliao fsica do sinal das derivadas de estabilidade estruturais.................................................. 70
x
3.3 Avaliao do deslocamento do eixo elstico ........................................................................................ 76
4 CONTROLE DE AERONAVES FLEXVEIS ......................................................79
4.1 Problema de controle geral................................................................................................................... 80
4.2 Mtodo da otimizao direta para controlador de estrutura fixa..................................................... 84 4.2.1 Rastreamento de taxa de arfagem comandada.................................................................................... 85
4.3 Mtodo H para controlador de estrutura fixa [9].............................................................................. 95 4.3.1 Rastreamento de taxa de arfagem comandada.................................................................................... 97
5 CONCLUSO ..................................................................................................101
5.1 Dificuldades encontradas e deficincias do trabalho ....................................................................... 103
5.2 Sugesto para trabalhos futuros ........................................................................................................ 104
5.3 Publicaes em decorrncia................................................................................................................ 106
REFERNCIAS.......................................................................................................107
APNDICE A RELAES FUNDAMENTAIS DA MECNICA DO VO ...........110
A.1 Matrizes de Transformao....................................................................................................................... 110
A.2 Relaes entre velocidades e velocidades angulares ................................................................................ 110
APNDICE B CARACTERIZAO DAS FORMAS MODAIS DA AERONAVE.112
xi
Lista de Figuras
FIGURA 1.1- (A) INTERAO TRADICIONAL ENTRE A MECNICA DE VO E A AEROELASTICIDADE; (B) TRATAMENTO INTEGRADO................................................................................................................................................... 17
FIGURA 1.2- MODELO INTEGRADO ESQUEMTICO DA MECNICA DO VO COM INFLUNCIA DA AEROELASTICIDADE..................................................................................................................................................................... 18
FIGURA 2.1- SISTEMAS DE REFERNCIA INERCIAL E DO CORPO .............................................................................. 25 FIGURA 3.1- GEOMETRIA DA AERONAVE: (A) FORMA EM PLANTA DA ASA E EMPENAGEM HORIZONTAL; (B) FORMA
EM PLANTA DA EMPENAGEM VERTICAL; E (C) VISO ESPACIAL..................................................................... 57 FIGURA 3.2- DOIS PRIMEIROS MODOS DE VIBRAO DA AERONAVE....................................................................... 59 FIGURA 3.3- COMPARAO DA CAPACIDADE DE ADAPTAO DAS DUAS FORMAS DE INTERPOLAO ESTUDADAS 60 FIGURA 3.4- COMPARAO DAS POSIES DOS PLOS CARACTERSTICOS, ............................................................ 63 FIGURA 3.5- COMPARAO DAS POSIES DOS PLOS CARACTERSTICOS, ............................................................ 64 FIGURA 3.6- RESPOSTA DA AERONAVE A UMA EXCITAO DO TIPO DOUBL NO PROFUNDOR (EXCITAO DE
PERODO CURTO)........................................................................................................................................... 66 FIGURA 3.7- RESPOSTA DA AERONAVE A UMA EXCITAO DO TIPO DOUBL NA MANETE DE COMBUSTVEL
(EXCITAO DE PERODO LONGO)................................................................................................................. 67 FIGURA 3.8- RESPOSTA DA AERONAVE A UMA EXCITAO DO TIPO DOUBL ACOPLADA NOS AILERONS E NO LEME
DE DIREO (I) ............................................................................................................................................. 68 FIGURA 3.9- RESPOSTA DA AERONAVE A UMA EXCITAO DO TIPO DOUBL ACOPLADA NOS AILERONS E NO LEME
DE DIREO (II) ............................................................................................................................................ 69 FIGURA 3.10- RESPOSTA DA AERONAVE A UMA EXCITAO DO TIPO DOUBL ACOPLADA NOS AILERONS E NO LEME
DE DIREO (III)........................................................................................................................................... 69 FIGURA 3.11- MAPEAMENTO DO LUGAR GEOMTRICO DAS RAZES PARA N DO PRIMEIRO MODO CRESCENTE ....... 70 FIGURA 3.12- FORMAS MODAIS FICTCIAS DE TORO PURA E FLEXO PURA ........................................................ 72 FIGURA 3.13- CONJUNTO DE TRANSFORMAES QUE LEVAM O SISTEMA DO CORPO AO SISTEMA DO EIXO MDIO . 76 FIGURA 4.1- DIAGRAMA DE BLOCOS DO PROBLEMA GERAL DE CONTROLE............................................................. 80 FIGURA 4.2- REPRESENTAO DA PLANTA REAL, EM TERMOS DE INCERTEZA MULTIPLICATIVA ............................ 82 FIGURA 4.3- APLICAO GRFICA DO CRITRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST ................................................... 83 FIGURA 4.4- DIAGRAMA DE BLOCOS DO SISTEMA EM MALHA FECHADA................................................................. 86 FIGURA 4.5- BARREIRAS DE REJEIO PERTURBAO E ROBUSTEZ DA ESTABILIDADE ....................................... 89 FIGURA 4.6- CARACTERSTICAS DO SISTEMA PARA GANHO INICIAL ESTABILIZANTE .............................................. 90 FIGURA 4.7- CARACTERSTICAS DO SISTEMA APS IMPOSIO DA BARREIRA DE REJEIO RAJADA................... 91 FIGURA 4.8- CARACTERSTICAS DO SISTEMA PARA GANHOS QUE MINIMIZAM JP.................................................... 92 FIGURA 4.9- RESPOSTA DE MALHA FECHADA PARA ENTRADA DE RAJADA ESTOCSTICA ....................................... 93 FIGURA 4.10- MODIFICAO DAS RESPOSTAS EM FREQNCIA DA AERONAVE CONTROLADA ............................... 94 FIGURA 4.11- MODIFICAO DA RESPOSTA TEMPORAL DA AERONAVE CONTROLADA DEVIDO ........................... 95 FIGURA 4.12- PLANTA DO PROBLEMA DE CONTROLE ............................................................................................. 96 FIGURA 4.13- COMPARAO ENTRE AS RESPOSTAS PARA DIFERENTES GANHOS RAJADA ESTOCSTICA VERTICAL
..................................................................................................................................................................... 99
xii
Lista de Tabelas
TABELA 3.1: PROPRIEDADES GERAIS DA AERONAVE .............................................................................................. 57 TABELA 3.2- CARACTERSTICAS AERODINMICAS POR UNIDADE DE ENVERGADURA DAS SUPERFICIES
SUSTENTADORAS .......................................................................................................................................... 58 TABELA 3.3- TIPOS DE INTERPOLAO ESTUDADOS............................................................................................... 60 TABELA 3.4- APLICAO DOS POLINMIOS INTERPOLANTES E RESPECTIVOS ERROS.............................................. 60 TABELA 3.5- DERIVADAS DE ESTABILIDADE E CONTROLE DE CORPO RGIDO (I)..................................................... 61 TABELA 3.6- DERIVADAS DE ESTABILIDADE E CONTROLE DE CORPO RGIDO (II) ................................................... 61 TABELA 3.7- DERIVADAS DE ESTABILIDADE ESTRUTURAIS .................................................................................... 62 TABELA 3.8- DERIVADAS DE ESTABILIDADE E CONTROLE DAS FORAS GENERALIZADAS (I) ................................. 62 TABELA 3.9- DERIVADAS DE ESTABILIDADE E CONTROLE DAS FORAS GENERALIZADAS (II) ................................ 62 TABELA 3.10- CARACTERSTICAS DA AERONAVE EM VO EQUILIBRADO ............................................................... 63 TABELA 3.11- PLOS CARACTERSTICOS PARA APROXIMAO DE CORPO RGIDO.................................................. 64 TABELA 3.12- PLOS CARACTERSTICOS PARA MODELO FLEXVEL ........................................................................ 64 TABELA 3.13- DERIVADAS DE ESTABILIDADE DE FORAS E MOMENTOS, CALCULADAS COM AS FORMAS MODAIS
FICTCIAS ...................................................................................................................................................... 74 TABELA 3.14- DERIVADAS DE ESTABILIDADE DE FORAS GENERALIZADAS, CALCULADAS COM AS FORMAS MODAIS
FICTCIAS ...................................................................................................................................................... 75 TABELA 4.1- GANHOS ENCONTRADOS NA SEQNCIA DE PROJETO ........................................................................ 94 TABELA 4.2- DETERMINAO DAS MATRIZES DE PONDERAO DE ESTADO E CONTROLE...................................... 98 TABELA 4.3- GANHOS ENCONTRADOS PARA DIFERENTES PONDERAES............................................................... 99 TABELA B. 1- PROPRIEDADES DAS FORMAS MODAIS ............................................................................................ 112 TABELA B. 2- FORMAS MODAIS SIMTRICA E ASSIMTRICA DA ASA .................................................................... 112 TABELA B. 3- FORMAS MODAIS SIMTRICA E ASSIMTRICA DA EMPENAGEM HORIZONTAL ................................. 113 TABELA B. 4- FORMAS MODAIS SIMTRICA E ASSIMTRICA DA EMPENAGEM VERTICAL ...................................... 114
xiii
Lista de abreviaturas e siglas
CA Centro Aerodinmico CG Centro de Gravidade (assumido na mesma posio do centro de massa) MIMO Sistemas de mltiplas entradas e mltiplas sadas (multiple input multiple
output) RA Referencial Aerodinmico RB Referencial do Corpo RI Referencial Inercial RM Referencial do Eixo Mdio SISO Sistemas de uma entrada e uma sada (single input single output)
xiv
Lista de Smbolos
Ae estado A calculado no equilbrio / propriedade A calculada no eixo elstico c corda c corda mdia aerodinmica
CAb coeficiente de influncia da fora generalizada A devido ao parmetro b D* matriz diagonal, com diagonal principal [ ]c b c D** matriz diagonal, com diagonal principal [ ]b c b F forma vetorial ou matricial K freqncia reduzida, definida por (c/2)/V, onde a freqncia de
vibrao, c/2 a semi-corda da seo, e V o mdulo da velocidade da aeronave
, d distribuio de sustentao e arrasto por unidade de envergadura em uma superfcie sustentadora, respectivamente
L, M, N componentes do momento das foras aerodinmica e propulsiva no CG da aeronave, escritas no RB
LB/A matriz de transformao do RA para o RB M(:,k)/M(k,:) k-sima coluna da matriz M / k-sima linha da matriz M mAC distribuio de momento aerodinmico por unidade de envergadura em torno
do CA da superfcie sustentadora
p, q, r componentes da velocidade angular da aeronave, escritas no RB Q fora generalizada u, v, w componentes da velocidade da aeronave, escritas no RB x, y, z componentes da posio de um ponto qualquer da aeronave em relao ao
CG, escritas no RB
X, Y, Z componentes da resultante das foras aerodinmica e propulsiva, escritas no RB
xCA posio longitudinal do centro aerodinmico no RB, para cada estao da envergadura
xCG, yCG, zCG componentes da posio do CG em relao ao RI, escritas no RB i amplitude do i-simo modo de vibrao
i campo escalar da i-sima forma modal, em uma direo
i campo vetorial da i-sima forma modal
ie deslocamento do eixo elstico segundo a i-sima forma modal
15
1 Introduo
1.1 Ambientao
Antes que qualquer discusso detalhada sobre o estado da arte das pesquisas na rea
de mecnica do vo de aeronaves flexveis seja iniciada, necessrio entender de que trata o
assunto e o que motiva seu estudo. A mecnica do vo e a dinmica estrutural devido
solicitao aerodinmica, ou a chamada aeroelasticidade, so assuntos tradicionalmente
tratados em separado [2], [8], [20]. De um lado, a mecnica de vo fornece as condies crticas
de vo equilibrado e em manobra, a partir das quais o envelope de vo da aeronave pode ser
determinado no sentido da preveno de fenmenos aeroelsticos; a aeroelasticidade, por sua
vez, prov limitantes de velocidade de operao e carregamento, que entram como batentes na
simulao da dinmica da aeronave e no clculo do seu desempenho (vide representao
esquemtica da Figura 1.1-(a)). Neste tratamento clssico, no entanto, do ponto de vista da
mecnica do vo, nenhuma influncia da dinmica estrutural durante o vo levada em
considerao na dinmica da aeronave, configurando o que se costuma chamar de
aproximao de corpo rgido. Do lado da aeroelasticidade, apesar de alguns graus de liberdade
de corpo rgido serem includos no estudo da vibrao estrutural, a determinao das
caractersticas de manobra de uma aeronave flexvel ainda no acontece[18].
O tratamento acima descrito se justifica sempre que a faixa de separao de
freqncias entre os modos caractersticos da resposta de corpo rgido e os modos de vibrao
estrutural for extensa, isto , quando a dinmica estrutural for caracterizada por altas
freqncias. Esta garantia, entretanto, tem perdido validade nos ltimos anos por algumas
razes. Uma delas diz respeito s especificaes de projeto das aeronaves modernas.
Procurando reduzir o custo do produto final e o custo de operao, a indstria aeronutica tem
16
optado por estruturas leves, materiais de baixa densidade e critrios apertados de projeto
estrutural. A demanda pelo aumento da quantidade de assentos necessita de fuselagens longas.
A reduo de arrasto impe a preferncia por superfcies sustentadoras de espessura reduzida
e fuselagens delgadas. Conseqentemente a aeronave aumenta suas propores, torna-se leve,
e um aumento de sua flexibilidade pode ser observado [30]. O aumento da flexibilidade
estrutural acompanhado de uma reduo da separao da faixa de freqncias entre as
freqncias caractersticas de resposta de corpo rgido e de vibrao estrutural, o que significa
que desprezar a influncia da dinmica estrutural sobre a mecnica do vo da aeronave pode
no ser uma boa aproximao. Neste caso, anlises de desempenho e qualidade de vo, e
projeto de sistemas de controle podem ser comprometidos, tornando necessrio o
desenvolvimento de um modelo integrado, esquematicamente representado na Figura 1.1-(b).
Outra razo para a preocupao com os efeitos da dinmica estrutural o surgimento
de uma nova categoria de aeronaves, as aeronaves no-tripuladas, que podem ser projetadas
para executar manobras de alto fator de carga, bastante em excesso ao que os pilotos humanos
podem suportar [14]. As manobras de alto fator de carga causam deslocamentos estruturais que
podem ser no desprezveis. O clculo da interao entre estes deslocamentos e a dinmica da
aeronave deve, neste caso, ser realizado durante a simulao do vo, o que tambm exige um
modelo integrado entre a mecnica de vo e a dinmica estrutural.
17
Figura 1.1- (a) Interao tradicional entre a mecnica de vo e a aeroelasticidade; (b) tratamento integrado
A pergunta agora concerne em como se processam estas interaes, e a resposta est
principalmente no carregamento aerodinmico e nas propriedades de distribuio de massa.
As manobras durante o vo causam modificao do carregamento aerodinmico, que por sua
vez provocam variao dos deslocamentos estruturais. Esta variao acompanhada por uma
redistribuio de massa e, portanto, por alteraes nos momentos de inrcia e na localizao
do CG da aeronave, parmetros fundamentais para a determinao do seu movimento. A
modificao destes parmetros d novas caractersticas manobra em realizao, resultando
em alterao do carregamento e fechando o ciclo de dependncia. O outro efeito da variao
dos deslocamentos estruturais a modificao direta do carregamento aerodinmico atravs
da alterao das caractersticas de forma do corpo e da induo de carregamento pelo
movimento. Por exemplo, a vibrao de uma asa pode alterar o carregamento aerodinmico
atravs da variao de sua forma (toro) bem como da induo de ngulo de ataque em cada
Aeroelasticidade Mecnica do Vo
Limite de envelope de vo
Condies crticas de operao
Aeroelasticidade Mecnica do Vo
Influncia mtua
(b)
(a)
18
seo da envergadura pelo movimento de flexo. Uma representao esquemtica das
interaes entre as duas grandes rea no modelo integrado apresentada na Figura 1.2.
Figura 1.2- Modelo integrado esquemtico da mecnica do vo com influncia da aeroelasticidade
Muito embora a apresentao do problema tenha sido bastante geral, importante
observar que outros efeitos ainda podem contribuir com esta interao, como, por exemplo, a
modificao do ngulo do eixo de ao da trao devido toro estrutural da asa, para
aeronaves onde a se localizam os beros dos motores. A influncia de cada efeito deve ser
tratada caso a caso. Oportunamente, os efeitos que sero considerados neste trabalho sero
elucidados.
Uma vez entendido o conceito da mecnica de vo de aeronaves flexveis, a seo
seguinte faz um apanhado geral do grau de desenvolvimento deste tema.
Manobra
Variao do carregamento aerodinmico
Dinmica
Dinmica estrutural
Distribuio de massa
Aproximao de corpo rgido
19
1.2 Estado da arte
A preocupao com um modelo integrado entre a mecnica de vo e a dinmica
estrutural no to recente. Um dos pioneiros na formalizao das idias e na proposta de um
modelo integrado foi Milne [19]. Em [19], Milne apresenta o problema de trs graus de
liberdade do movimento longitudinal (u, w, e ), linearizado em torno de uma condio de
equilbrio (condio de operao). Para representar as cargas aerodinmicas incrementais, a
teoria das faixas utilizada, com incorporao da hiptese de rigidez das sees ao longo da
envergadura. A dinmica estrutural obtida atravs da imposio direta, em pontos de
controle, das relaes entre tenses e deformaes no volume e das relaes de
compatibilidade de deslocamentos. A condio de vo equilibrado obtida atravs da soluo
analtica das equaes integradas e o estudo da estabilidade feito atravs da teoria de
pequenas perturbaes. Milne tambm aborda em seu trabalho a problemtica na seleo de
um sistema de referncia para corpo deformvel. Assim como a grande maioria dos trabalhos,
ele aborda o sistema de referncia do eixo mdio, que ser apresentado na seo 2.1, j que as
relaes que definem este sistema de referncia simplificam bastante as equaes do
movimento, pois reduzem consideravelmente o acoplamento entre os graus de liberdade
elsticos e de corpo rgido.
Seguindo a mesma escolha do sistema de referncia do eixo mdio, Cavin III e Dusto
[5] deduzem a partir do Princpio de Hamilton as equaes gerais do movimento da aeronave
flexvel, e tratam a dinmica estrutural atravs de uma aproximao de elementos finitos.
Seguindo a mesma abordagem para a deduo das equaes do movimento, em [29]
Waszak e Schimidt apresentam as equaes da aeronave elstica tambm simplificadas pela
adoo do sistema de referncia do eixo mdio, e pela hiptese de que o eixo mdio pode ser
considerado coincidente com o sistema de referncia do corpo, fixo na aeronave no-
deformada. Desta forma, o acoplamento entre os graus de liberdade elsticos e de corpo rgido
20
se d exclusivamente atravs do carregamento aerodinmico. A dinmica estrutural
modelada atravs da tcnica de decomposio modal e da mesma forma que Milne, as cargas
aerodinmicas incrementais so determinadas atravs da teoria das faixas, com abordagem
quase-estacionria. A grande contribuio de Waszak e Schmidt foi o desenvolvimento de um
modelo bastante similar ao modelo de corpo rgido, com a influncia estrutural tratada atravs
de coeficientes de influncia, em analogia s derivadas de estabilidade e controle
convencionais[8], [20]. Apesar da deduo geral, os resultados so aplicados apenas para o
movimento longitudinal, utilizando os quatro primeiros modos de vibrao. A mesma
metodologia tambm est presente nos trabalhos de Schmidt e Raney[21] e deriva dos
relatrios tcnicos de Waszak et al. [28].
Paralelamente ao trabalho de Waszak et al., Buttrill et al.[4], buscando um modelo
mais preciso, eliminaram a simplificao de considerar o sistema de referncia do eixo mdio
coincidente com o sistema de referncia do corpo, abrindo mo da similaridade com o modelo
de corpo rgido. Consideraram em seu estudo, portanto, a variao de inrcias causada pelo
movimento do RM em relao ao RB, alm das aceleraes que advm deste movimento. As
principais concluses mostram que a influncia do acoplamento inercial se torna importante
quando as cargas aerodinmicas so pequenas ou se as taxas angulares forem de mesma
ordem de grandeza das freqncias de vibrao. Uma excelente comparao entre os estudos
de Waszak et al. e Buttrill et al. apresentada por Waszak, Buttrill e Schmidt em [27].
Em [26] Vink e Jonge estudam o movimento de dois graus de liberdade (H e ) de
uma aeronave simples, atravs da deduo das equaes no RB. Novamente a teoria das
faixas empregada na determinao das cargas aerodinmicas incrementais. A novidade est
na incluso do atraso da resposta aerodinmica no estacionria, atravs da aplicao da
funo de Theodorsen. Rajadas de vento tambm so includas no modelo. A estrutura
21
representada por um conjunto de vigas, e a dinmica estrutural determinada atravs de
modos assumidos. A mesma metodologia descrita em detalhes por Koops[12].
Wu [30] tambm trata a dinmica da aeronave deformvel, desenvolvendo as equaes
linearizadas do movimento longitudinal utilizando o mtodo da resposta indicial para a
modelagem das cargas aerodinmicas incrementais, em regime compressvel e
incompressvel.
Em [16], Meirovitch e Tuzcu discutem as vantagens e desvantagens da utilizao do
eixo mdio na deduo das equaes do movimento da aeronave elstica. No caso da adoo
do RM sem as devidas transformaes das foras ou modificaes nas inrcias durante o vo
(Waszak et al.[27], [28], [29]), questionam a validade do resultado final. Desta forma, em [14],
[15] e [16], Meirovitch e Tuzcu apresentam a deduo das equaes do movimento integrado
no referencial do corpo, fixo, portanto, na aeronave no deformada. A modelagem
aerodinmica incremental tambm feita via teoria das faixas. Focando a aplicao de
controle, dividem o modelo integrado atravs da teoria de perturbaes, nas variveis de
corpo rgido sem influncia estrutural e uma parcela aditiva devido a esta influncia. Desta
forma, o modelo integrado d origem a dois sistemas de equaes de diferentes ordens de
grandeza. Assumindo que controle seja aplicado no sentido de supresso dos efeitos
estruturais sobre as variveis de corpo rgido, o primeiro sistema de equaes torna-se
independente, e fornece entradas para o segundo problema, para o qual leis de controle
precisam ser determinadas.
At agora, apenas o estgio de desenvolvimento da dinmica de aeronaves incluindo
a flexibilidade foi comentada, pouco tendo sido falado a respeito das aplicaes de controle
para este novo tipo de aeronave. Uma das preocupaes refere-se degradao das
qualidades de vo pela influncia da vibrao estrutural, e neste sentido, estudos tm sido
desenvolvidos visando a supresso destes efeitos. Em [15] e [16], Meirovitch e Tuzcu
22
preocupam-se com a lei de controle para a dinmica perturbada, atravs do mtodo LQR. Em
[1], Alazard desenvolve um sistema de aumento de controle lateral para uma aeronave
flexvel, sendo o projeto dividido em duas partes: a primeira considera a dinmica de corpo
rgido e garante desempenho para aproximao de corpo rgido e robustez da estabilidade, na
presena de modos flexveis; a segunda se preocupa com controle para aumento do
amortecimento dos modos de vibrao, isto , para a melhoria das qualidades de vo. O
projeto feito atravs de realimentao dinmica de sada, combinando alocao de plos,
sntese H2 e especificao de robustez no domnio da freqncia e a eficincia verificada
atravs de exemplo numrico.
Para realimentao de sada via controladores de estrutura fixa, Gadewadikar et al. [9]
demonstram condies necessrias e suficientes para garantia da minimizao da norma H
da razo sada/distrbio. A partir de seus resultados, desenvolvem um algoritmo simples para
o projeto do controlador H de estrutura fixa, sem a necessidade da determinao de ganhos
inicias estabilizantes para garantir a convergncia. Este procedimento pode ser utilizado para
projeto de controle de aeronaves flexveis, utilizando aproximao de corpo rgido e
modelando a dinmica estrutural como distrbio, sendo que neste caso, a preocupao com
a resposta de corpo rgido da aeronave, ou seja, h garantia de robustez da estabilidade e do
desempenho, mas nada se pode afirmar sobre a supresso do nvel de vibrao.
A preocupao com a robustez dos projetos de sistemas de controle em relao
dinmica estrutural j est presente em livros clssicos da mecnica de vo. Em [23], Stevens
e Lewis assumem um modelo bastante simplificado da variao da planta (dinmica da
aeronave) com a incluso de um modo flexvel e verificam, para o controlador desenvolvido
sob aproximao de corpo rgido, se a barreira de robustez da estabilidade garantida. A
mesma preocupao pode ser encontrada em livros tradicionais de controle [13], [22].
23
Encerrando a apresentao do estado de desenvolvimento sobre o tema, em [11]
Joshi e Kelkar desenvolvem aplicao de controle no movimento longitudinal, tratando os
modos estruturais no modelados como incerteza da planta. Encontrou melhores resultados
para dinmica aumentada com dois primeiros modos, em comparao com a aproximao de
corpo rgido e todos os modos no modelados.
1.3 Objetivo
Parte importante deste trabalho dedicada ao desenvolvimento de um modelo
integrado mais geral possvel entre a dinmica das variveis de corpo rgido e a influncia da
dinmica estrutural, sem que, no entanto, a generalidade faa perder: a simplicidade do
equacionamento; a similaridade do modelo com a aproximao clssica de corpo rgido; e,
talvez mais importante, a noo fsica desta influncia.
A partir das equaes de Lagrange [10], no captulo 2 as equaes gerais do
movimento da aeronave flexvel so determinadas. O eixo mdio escolhido como sistema de
referncia e a hiptese de pequenas perturbaes assumida para consider-lo coincidente
com o sistema de referncia do corpo, fixo na aeronave no deformada. As cargas
generalizadas so determinadas a partir das relaes de transformao das coordenadas
cartesianas para as coordenadas generalizadas [10]. Emprega-se a teoria das faixas, sob
hiptese quase-estacionria e regime incompressvel na modelagem das cargas aerodinmicas
incrementais devido dinmica estrutural, negligenciando, desta forma, a inrcia de resposta
do carregamento aerodinmico incremental. A influncia da fuselagem na gerao de
carregamento aerodinmico incremental devido sua capacidade aerodinmica desprezada.
A dinmica estrutural, por sua vez, modelada atravs da decomposio modal. Apenas os
deslocamentos perpendiculares s superfcies sustentadoras so considerados e as formas
modais so linearizadas em torno do eixo elstico da superfcie, resultando em um
24
deslocamento e uma toro equivalentes em cada faixa. Desta forma, as cargas generalizadas
incrementais em cada um dos graus de liberdade (seis de corpo rgido e um a mais para cada
modo considerado) so determinadas em funo de coeficientes de influncia, similares s
conhecidas derivadas de estabilidade e de controle.
Neste sentido, este trabalho uma extenso do trabalho desenvolvido por Waszak et
al. [27], [28], [29],com a incluso da influncia da dinmica estrutural no movimento ltero-
direcional da aeronave. Na ausncia de modelo mais completo e adequado, no captulo 3 a
mesma aeronave apresentada em [28] utilizada, bem como as duas formas modais
disponveis.
Duas discusses so ainda acrescentadas: a interpretao fsica dos novos
coeficientes de influncia bem como a avaliao de sinal; e a avaliao do deslocamento do
eixo mdio em relao ao RB, durante o vo, para validar a hiptese na qual se baseia toda a
deduo.
Obtida a dinmica da aeronave flexvel, no captulo 4 o problema geral de controle
para tal aeronave estudado. A planta nominal considera a dinmica de corpo rgido e a
influncia da dinmica estrutural modelada como incerteza multiplicativa do modelo ou
como entrada de distrbio. Atravs de dois exemplos, duas diferentes tcnicas de projeto
mostram a imposio de barreiras de robustez da estabilidade e do desempenho e a obteno
de sistemas de aumento de controle projetados sob a aproximao de corpo rgido, e que
continuam eficientes apesar da influncia da dinmica estrutural. O estudo da influncia das
perturbaes, em forma de vento estocstico, tambm modelado e estudado.
Finalmente no captulo 5, um panorama geral do estudo desenvolvido traado,
levantando vantagens, contribuies, falhas e possveis problemas da formulao/aplicao.
Para o leitor interessado em continuar o desenvolvimento deste tema, uma sugesto para
trabalhos futuros completa o escopo do trabalho.
25
2 Formulao
2.1 Sistemas de referncia
Na deduo das equaes que governam o movimento da aeronave, importante
saber quais so os sistemas de referncia utilizados e a relao entre eles.
Os trs primeiros sistemas de referncia so bastante conhecidos na literatura e
usados corriqueiramente na mecnica do vo [20], a saber: sistema inercial, solidrio Terra,
assumida, portanto, plana e sem rotao; sistema de referncia do corpo, fixo no CG da
aeronave, com eixo xB na direo do eixo de simetria da fuselagem, vista em planta, eixo yB
perpendicular a xB e apontando no sentido da asa direita, e eixo zB na direo e sentido de
xByB; e o sistema de referncia aerodinmico, tambm localizado no CG da aeronave, com
eixo xA orientado segundo direo e sentido do vetor velocidade relativa da aeronave em
relao ao vento (escoamento no perturbado), eixo zA perpendicular a xA e contido no plano
de simetria da aeronave, apontando para o piso, e eixo yA com direo e sentido de zAxA.
Vetores escritos no sistema aerodinmico (foras aerodinmicas) podem ser levados ao
sistema do corpo atravs da matriz de transformao LB/A, da mesma forma que do sistema do
corpo para o sistema inercial atravs da matriz de transformao LI/B [23].
A Figura 2.1 apresenta o sistema de referncia do corpo e o sistema inercial, bem
como a localizao de um elemento de massa qualquer da aeronave.
Figura 2.1- Sistemas de referncia inercial e do corpo
xB
yB
zB
xI
yI Referencial Inercial (RI)
0RG
pG
RG
Referencial do Corpo (RB)
zI
26
Para o caso da aeronave considerada como corpo rgido, os referenciais
aerodinmico e do corpo esto bem definidos e podem ser utilizados sem ambigidade.
Considerando a aeronave como corpo flexvel, no entanto, deve ser observado que a vibrao
estrutural modifica a distribuio de massa, e conseqentemente, a localizao do CG. Os
referenciais aerodinmico e do corpo sero definidos, neste caso, a partir da aeronave no
deformada.
Um outro sistema de referncia, no entanto, bastante til na deduo das equaes
do movimento da aeronave elstica por simplificar a expresso da energia cintica, como ser
visto oportunamente. Trata-se do sistema do eixo mdio [19], [29], [14], definido como o
referencial no qual os momentos linear e angular causados pelos deslocamentos estruturais se
anulam, isto :
0V
RM
dp dVdt
=G
(2.1)
0V
RM
dpp dVdt
=GG (2.2)
Portanto, o eixo mdio se localiza na aeronave, sem estar fixo a algum de seus
pontos, e sua posio varia de acordo com a dinmica estrutural.
Escrevendo a posio de um elemento de massa qualquer em relao ao CG da
aeronave no deformada como:
e dp p p= +G G G (2.3)
onde epG a parcela esttica, portanto de corpo rgido, e dpG a parcela de deslocamento
elstico, as equaes (2.1) e (2.2) podem ser reescritas[29]:
27
0dV
RM
dp dVdt
=G
(2.4)
( ) 0de dVRM
dpp p dVdt
+ =GG G (2.5)
Em geral, as deflexes mais importantes, durante a vibrao, so perpendiculares
superfcie sustentadora, isto , os movimentos de avano/ atraso e de alongamento/
compresso das superfcies so desprezveis. Neste caso, dpG e d
RM
dpdt
G so colineares.
Considerando ainda que o movimento estrutural no altera a densidade em cada ponto, as
equaes (2.4) e (2.5) podem ser simplificadas [29]:
0dVRM
d p dVdt
= G (2.6)
0e dVRM
d p p dVdt
= G G (2.7)As equaes (2.6) e (2.7) governam, respectivamente, a posio da origem e o
conjunto de rotaes que definem o eixo mdio em relao ao sistema do corpo, fixo na
aeronave no deformada. A equao (2.6), em especial, mostra que o sistema de referncia do
eixo mdio tem sua origem no CG instantneo da aeronave.
Conforme ser visto na deduo das equaes do movimento da aeronave flexvel, a
adoo do eixo mdio simplifica a expresso da energia cintica, reduzindo os termos devido
ao acoplamento entre a cintica de corpo rgido e o movimento estrutural. No tratamento da
dinmica estrutural de pequenas amplitudes de oscilao, o eixo mdio move-se muito pouco
em relao ao sistema de referncia do corpo. Neste caso, pode ser aproximado pelo RB para
as demais aplicaes. Portanto, durante a deduo das equaes, estes dois sistemas de
referncia sero confundidos e usados indistintamente. Esta ultima hiptese anula os termos
de acoplamento entre os graus de liberdade elsticos e de corpo rgido restantes.
28
2.2 Modelagem da dinmica estrutural
A modelagem da parcela de deformao dpG de cada ponto da aeronave, quando
submetida a um carregamento externo, bastante simplificada atravs da utilizao da
transformao em base modal, mtodo que provou ser eficiente na soluo de problemas
aeroelsticos [2]. A base modal construda atravs da soluo do problema de vibrao livre
da estrutura, e a descrio do processo desenvolvida por Bismarck [2] ser resumidamente
repetida aqui.
Para pequenas perturbaes, faz-se a hiptese de que o comportamento elstico da
estrutura da aeronave linear. Discretizando a estrutura da aeronave em n pontos de controle
Pj, o deslocamento ( ), ,dp x y zG em qualquer ponto da aeronave pode ser escrito em funo das suas 3n coordenadas cartesianas, escolhidas como as coordenadas generalizadas qi do
problema:
( )
( )
1
2
1 2 3
3
, , ...
, ,
d d dd
n
n
di
i
qqp p pp x y z
q q qq
x y zp qq
= = = ==
N q
G G GG#
G
(2.8)
onde ( ), ,x y zN a matriz de transformao dos deslocamentos para as coordenadas generalizadas.
Desta forma, o funcional de energia cintica pode ser determinado com se segue:
29
( ) ( ) ( )
,
, , , ,1 , , .21 .2
1 .21212
d d
V
d dk iV
k i
d dk iV
k i
k k i i
T
p x y z p x y zT x y z dV
t tp pq q dVq q
p pq dV qq q
q M q
= = =
= = =
=
q Mq
G G
G G G G
(2.9)
onde M denominada de matriz de massa do sistema mecnico.
Da mesma maneira, recordando as relaes de tenses e deformaes, e de
deformaes e descolamentos, o funcional de energia potencial de deformao tambm pode
ser determinado:
( )( ) ( )
( ) ( )
1212121212
T
V
T
V
T T
V
TT T
V
T
U dV
dV
dV
dV
= =
= =
= = = =
=
C
dNq C dNq
q dN C dN q
q Kq
(2.10)
onde o tensor de tenses; o tensor de deformaes; C a matriz constitutiva do
material; d o operador diferencial que relaciona o tensor de deformaes com o vetor de
descolamentos; e finalmente K a matriz de rigidez do sistema.
As foras de dissipao estrutural DFG
so idealizadas de natureza viscosa e
linearmente dependentes das velocidades generalizadas. Atravs do clculo do trabalho
realizado por estas foras quando um deslocamento virtual ocorre, a funo de dissipao de
Rayleigh [10] pode ser determinada, de forma que:
30
12
TD = q Bq (2.11)
onde B a matriz de dissipao, ou de amortecimento viscoso, e seus termos so calculados
como mostrado a seguir:
,dD
k i Vi k
pFB dVq q
= G G (2.12)
A dinmica estrutural obtida ento atravs da aplicao das equaes de
Lagrange[10] do movimento:
ii i i
d L L D Qdt q q q + =
(2.13)
onde L = T U a lagrangeana do sistema, e Qi representa a carga generalizada no grau de
liberdade i, que pode ser obtida atravs de:
i Vi
pQ f dVq= GG
(2.14)
sendo fG
a fora por unidade de volume que atua em cada ponto da estrutura da aeronave, e
que no deriva de um potencial generalizado, como na modelagem anterior.
Substituindo na equao (2.13) as expresses de L e D, a equao diferencial que
governa a dinmica estrutural pode ser finalmente encontrada.
+ + =M q Bq K q Q (2.15)
2.2.1 Construo da base modal
A base modal obtida atravs da soluo do problema de vibrao livre no-
amortecida, que simplifica a equao (2.15) para:
31
{ }0+ =M q K q (2.16)Assumindo soluo na forma 0 i
Pte=q q , com 2i iP = , a equao (2.16) se transforma no problema de autovalor:
[ ] { }0 0i =K M q (2.17)Bismarck [2] mostra que os auto-valores i so todos reais positivos, e que os auto-
vetores correspondentes i so vetores reais e ortogonais com relao s matrizes de massa e
de rigidez, isto :
0, 0,0, 0,
T Tk i k j k i k j
k j k j
= = = =
K M (2.18)
i representam 3n formas independentes a partir da superposio das quais a forma
geral da estrutura em considerao obtida no problema de vibrao livre no-amortecida.
Estes auto-vetores, tambm conhecidos como formas modais da estrutura, podem ser obtidos
de maneira experimental, ou a partir de uma modelagem de elementos finitos.
As relaes de (2.18) motivam ento o uso dos auto-vetores i como base para a
escrita da soluo do problema geral de vibrao (2.15), uma vez que trazem grande
simplificao ao problema, como ser visto a seguir.
2.2.2 Problema geral de vibrao
Sendo o vetor que coleta as amplitudes i de cada um dos modos, e a matriz
cujas colunas so os auto-vetores i , a soluo do problema de vibrao pode ser
transformada para a forma:
=q (2.19)e (2.15) pode ser ento reescrita como:
32
N NT T T T+ + =
+ + =
+ + =
M B K Q M B K Q
(2.20)
As matrizes e so matrizes diagonais devido propriedade de ortogonalidade
dos auto-vetores (2.18), conforme demonstrado por Bismarck [2], e so denominadas matriz
de massa e matriz de rigidez generalizadas. Para estruturas aeronuticas, de acordo com
Bismarck [2], o efeito do amortecimento estrutural pequeno comparado aos termos de
inrcia e rigidez. Neste caso, o problema simplificado ao assumir-se que a matriz de
amortecimento generalizada tambm diagonal. Logo a equao vetorial de dimenso 3n,
diferencial de segunda ordem, desacoplada em 3n equaes diferenciais escalares, de
segunda ordem.
2, ,
( )( ) 1, 2,...,3
( )2
ii i ii i ii i i
ii ii ii i i
ii ii ii
ii i n i i n i i
ii
tt i n
t
+ + = + + = =
+ + =
(2.21)
2.2.3 Caso considerado
Na seo anterior, os trs deslocamentos possveis em cada ponto da estrutura foram
considerados no estudo do problema de vibrao. No entanto, as seguintes consideraes
podem ser assumidas:
(i) os deslocamentos em xB e yB da asa e empenagem horizontal so desprezveis
em relao aos deslocamentos em zB;
(ii) os deslocamentos em xB e zB da empenagem vertical so desprezveis em
relao aos deslocamentos em yB;
33
(iii) alm de os deslocamentos da fuselagem serem pequenos em relao aos
deslocamentos das superfcies sustentadoras, sua capacidade de sustentao
reduzida.
Com base nestas consideraes, tratam-se neste trabalho apenas os deslocamentos
elsticos das superfcies sustentadoras, e neste caso, apenas as deflexes verticais (asa e
empenagem horizontal) e laterais (empenagem vertical). Como o processo de obteno,
descrito na seo anterior, baseia-se em um modelo discreto da estrutura, faz-se necessria a
interpolao das formas modais, que passam a ser representadas por componentes escalares
no domnio de cada superfcie. Da expresso (2.8), para deslocamentos escalares, pode-se
escrever ento:
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )( )( )
( ) ( )
, ,
1
21 2
1
, , , , ,
, ,
, , , , , ,
, ,
d
x y z
n
n
n
i ii
p x y z t N x y z t
N x y z t
tt
x y z x y z x y z
t
x y z t
=
= == =
= = =
q
# (2.22)
onde i so as componentes escalares das formas modais interpoladas.
Na aplicao da teoria das faixas, procedimento que ser esclarecido na seo 2.3 a
seguir, os incrementos de foras e momentos aerodinmicos baseiam-se em variaes dos
ngulos de ataque de cada faixa, causadas pelo movimento de flexo e toro da superfcie.
Esses movimentos so obtidos atravs da linearizao das formas modais em torno do eixo
elstico da estrutura da superfcie considerada. Desta forma, o deslocamento linearizado pode
ser escrito como:
34
( ) ( ) ( )
N N( )
1 flexotoro
, , , , , , , , ,dd d e e
ene i
i ii
pp x y z t p x y z t x y z t xx
x tx
=
= + = = +
(2.23)
2.3 Modelo aerodinmico incremental
Para o estudo integrado de aeronaves flexveis, necessrio adotar um modelo que
represente a variao das cargas aerodinmicas, isto , as cargas incrementais, devido
dinmica estrutural. A exemplo do que foi desenvolvido por Waszak [29] para o movimento
longitudinal, esta variao ser calculada em termos de coeficientes de influncia,
equivalentes s derivadas de estabilidade da mecnica do vo tradicional de corpo rgido [20],
que sero superpostos ao modelo de corpo rgido da aeronave-modelo, descrita
oportunamente nas sees seguintes.
Um modelo que permite tal tratamento baseado na teoria das faixas (1), com
abordagem quase-estacionria (2) e em regime incompressvel (3). (1) A aproximao da
teoria das faixas consiste em dividir a superfcie geradora de sustentao em faixas e em
assumir que, em cada faixa, o escoamento bidimensional e, portanto, no interage com o
escoamento das outras faixas [3], [6], [7]. Efeitos de ponta de asa no so, portanto, considerados
nesta formulao. De acordo com Silva [6], a teoria das faixas constitui-se em um boa
aproximao para asas de alongamento elevado e cujas propriedades das sees tenham pouca
variao ao longo da envergadura. (2) A adoo da aproximao quase-esttica implica em
considerar que as cargas aerodinmicas incrementais, a cada instante de tempo, dependem
apenas do movimento do aeroflio naquele instante, isto , o histrico do movimento
negligenciado quanto sua influncia na variao das cargas aerodinmicas [7]. Esta ltima
35
aproximao equivalente a assumir valor unitrio para a funo C(k) de Theodorsen, no caso
do perfil, e, portanto, que a freqncia reduzida dos modos de vibrao, k, tende a zero [3]. (3)
Fenmenos relacionados compressibilidade do ar devido vibrao estrutural no so
estudados, nem tampouco contabilizados. A considerao destes efeitos, apesar de no fazer
parte deste trabalho, seria bastante simples atravs da correo das caractersticas das
superfcies sustentadoras pelas relaes de Prandtl-Glauert.
Alm das duas aproximaes discutidas acima, uma outra ser ainda assumida: a de
que a influncia da flexo e toro de cada faixa nas cargas aerodinmicas levada em conta
apenas em termos de modificao do ngulo de ataque da respectiva faixa da superfcie
sustentadora, no modificando, portanto, a sua capacidade de gerar sustentao. Em outras
palavras, despreza-se a modificao geomtrica do perfil (arqueamento e espessura) causada
pela deformao do corpo. A mesma aproximao est presente nos trabalhos da mesma linha
de Waszak e Schmidt [29], e Meirovitch e Tuzcu [14], e j fora assumida por Yates [31] na
determinao de fenmenos aeroelsticos de asas.
2.3.1 Determinao das cargas aerodinmicas incrementais
2.3.1.1 Tratamento da asa e da empenagem horizontal
A variao do ngulo de ataque em cada seo da superfcie sustentadora, baseado na
aproximao quase-estacionria, pode ser definida como:
,,
1flexo
toro
1 en z iez i i is
i s
s u x
=
= (2.24)
onde ficam explcitas as parcelas geradas pela flexo e toro equivalentes em torno do eixo
elstico. O subscrito s denota uma seo qualquer da superfcie sustentadora, u a
velocidade em xB do escoamento no perturbado, e n o nmero de modos assumidos. O
36
ngulo de ataque de uma faixa pode ser determinado atravs da mdia dos valores de suas
duas sees das extremidades.
A variao do ngulo de ataque local de cada seo provoca variaes no arrasto e na
sustentao por unidade de envergadura na seo, que podem ser calculadas, com base na
teoria das faixas, por:
212s s ss
V c C = AA (2.25)
212s s d ss
d V c C = (2.26)
Logo, sendo jy a largura da faixa j, a variao de sustentao e arrasto da faixa j
pode ser calculada como:
212j j j jj
L V c C y = A (2.27)
212j j d j jj
D V c C y = (2.28)
onde, novamente, as propriedades da faixa j podem ser obtidas atravs da mdia das
propriedades de suas duas sees extremas.
Considerando infinitesimais as larguras das faixas, as variaes nas foras
aerodinmicas, escritas no referencial do corpo, podem ser determinadas por:
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
/ 2 / 22
/ // 2 / 2
,
1 10 02
b b d
B A B Ab b
A EH
X d y c y C y yY dy V S dy
SZ y c y C y y
= = L L
AA (2.29)
onde /B AL a matriz de transformao do referencial aerodinmico para o referencial do
corpo.
Recuperando a expresso (2.24), a contribuio do i-simo modo de vibrao pode
ser encontrada, como se segue:
37
( )( )( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
/ 2,2
// 2
,
/ 2*2 * 1
/ ,/ 2
1 1 02
1 12 ( ) 02 2
b ei dz i
i B A ibi A EH
b de
e B A z i ie b
X C yY V S c y y dy
S xZ C y
C yV S V c y y dy
V SuC y
= + +
L
D D L
A
A
(2.30)
onde *D a matriz diagonal, cuja diagonal principal dada por c b c .
Da expresso (2.30), podem ser determinados os coeficientes de influncia das foras
X, Y e Z com relao amplitude modal do i-simo modo de vibrao e sua derivada,
utilizando a analogia abaixo.
*2
,, ,
12 2
X Xi ii
i Y i Y ii ie
i A EH Z Zi iA EH A EH
C CXY V S C C
VZ C C
= +
D (2.31)
A alterao da distribuio do carregamento da superfcie sustentadora causa
tambm uma variao nos momentos que solicitam a aeronave no centro de massa. A seguir,
essas variaes sero determinadas, igualmente no referencial do corpo. Seja ( )yrG a posio do centro aerodinmico do perfil de cada estao da envergadura. A variao dos momentos
aerodinmicos em relao ao CG determinada atravs de:
( )( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
/ 2
// 2
,
/ 2** 12 **
// 2
0
1 ( ) 02
b
B Ab
A EH
b d
B Ab
L d yM r y dyN y
c y C y yV S r y dy
Sc y C y y
= =
L
DD L
A
GA
G (2.32)
onde **D a matriz diagonal, cuja diagonal principal dada por b c b .
Novamente, utilizando a expresso (2.24), a contribuio do i-simo modo de
vibrao pode ser determinada.
38
( ) ( )( )( )
( )
( ) ( )( )( )
( )
/ 2** 1,2 **
// 2
,
/**2 ** ** 2 1
/ ,/ 2
1 ( ) 02
1 12 (( ) ) 02 2
i b edz i
i B A ibi A EH
b de
e B A z ie b
L C yM V S r y c y y dy
S xN C y
C yV S V r y c y y dy
V SuC y
= + +
DD L
DD D L
A
A
G
G2i
(2.33)
Da expresso (2.33), podem ser determinados os coeficientes de influncia dos
momentos L, M e N com relao amplitude modal do i-simo modo de vibrao e sua
derivada, utilizando a analogia abaixo.
**2 **
,, ,
12 2
L Li i i
i M i M ii ie
i N NA EH i iA EH A EH
C CL
M V S C CV
N C C
= +
DD (2.34)
As expresses (2.35), (2.36), (2.37) e (2.38) a seguir resumem as expresses finais
das parcelas dos coeficientes de influncia devidas tanto asa quanto empenagem
horizontal:
39
( )( )( )
( )/ 2
,/
/ 2
,
1 0X i b ed
z iY B Ai
bZ i A EH
C C yC c y y dy
S xC yC
= L
A
(2.35)
( ) ( ) ( )( )
( )/ 2
* 1/ ,
/ 2
,
12 ( ) 0X i b d
eY e B A z ii
bZ i A EH
C C yC V c y y dy
SuC yC
= D L
A
(2.36)
( ) ( )( )( )
( )/ 2** 1
,/
/ 2
,
( ) 0L i b ed
z iM B Ai
bN i A EH
C C yC r y c y y dy
S xC yC
= D L
A
G (2.37)
( ) ( )( )( )
( )/ 2
** 2 1/ ,
/ 2
,
12 (( ) ) 0L i b d
eM e B A z ii
bN i A EH
C C yC V r y c y y dy
SuC yC
= D L
A
G (2.38)
2.3.1.2 Tratamento da empenagem vertical
O tratamento da empenagem vertical quanto contribuio de sua vibrao nas
cargas aerodinmicas incrementais formalmente o mesmo apresentado anteriormente.
Considera-se, sem perda de generalidade, que a empenagem vertical est acima do CG e tem
envergadura b/2.
A variao do ngulo de ataque da empenagem vertical pode ser escrita
analogamente expresso (2.24):
,,
1flexo
torso
1 en y iey i i is
i s
s u x
=
= (2.39)
Como a variao da sustentao da empenagem vertical, no entanto, est na direo
do eixo yA, os coeficientes de influncia da seo anterior ficam modificados por:
40
( )( )( ) ( )
0,
// 2
1
0
X i edy i
Y B Aib
Z i EV
C C zC c z C z z dz
S xC
= L A (2.40)
( ) ( ) ( )( ) ( )0* 1 / ,/ 2
12 ( )0
X i de
Y e B A y iib
Z i EV
C C zC V c z C z z dz
SuC
= D L A (2.41)
( ) ( )( )( ) ( )
0** 1,
// 2
( )
0
L i edy i
M B Aib
N i EV
C C zC r z c z C z z dz
S xC
= D L AG (2.42)
( ) ( )( )( ) ( )
0** 2 1
/ ,/ 2
1 2 (( ) )0
L i de
M e B A y iib
N i EV
C C zC V r z c z C z z dz
SuC
= D L AG (2.43)
2.3.2 Limitaes do modelo
A aproximao quase-estacionria restringe o uso da metodologia adotada para
modos de vibrao estrutural com baixa freqncia reduzida k. medida que o valor de k
aumenta, o valor da parte real da funo de Theodorsen diminui, enquanto que a parte
imaginria da mesma funo aumenta, traduzindo-se no aumento da importncia do efeito de
memria nas cargas incrementais. Yates [31] encontrou bons resultados com o seu modelo,
baseado na mesma aproximao, para valores de k at 0.2, para freqncia reduzida definida
como k = (c/2)/V.
Por outro lado, lanar mo da teoria das faixas, e da aproximao de ausncia de
deformao do perfil, em termos de arqueamento, pressupe o tratamento de superfcies
sustentadoras de alto alongamento e pouco afiladas, o que exclui o tratamento de asas delta,
por exemplo.
41
Oportunamente, ser mostrado que a aeronave-modelo escolhida viola algumas
destas hipteses, e as razes de sua escolha sero apresentadas.
2.4 Equaes do Movimento da Aeronave Elstica
Nesta seo sero deduzidas as equaes que governam a dinmica da aeronave
flexvel atravs das equaes de Lagrange do movimento [10]. Seguindo a metodologia
proposta por Waszak [29], o referencial do eixo mdio ser utilizado por simplificar a
expresso de energia cintica, reduzindo termos de acoplamento entre a cintica de corpo
rgido e a cintica de deformao. No entanto, luz da hiptese de pequenas perturbaes,
pode-se negligenciar o movimento do RM em relao ao RB, de forma que, como colocado
em 2.1, possam ser utilizados indistintamente. Portanto, a partir de agora, o termo referencial
do corpo servir para designar ambos os referenciais, a menos que sejam especificados de
outra forma.
As coordenadas generalizadas escolhidas so as componentes da posio do centro
de massa da aeronave em relao ao sistema inercial, 0RG
, escrito no sistema do corpo: xCG,
yCG, zCG; os ngulos de rotao de Euler [20]: , , ; e as n amplitudes modais: i, 1,...,i n= . A seguir, sero determinadas: as expresses de energia cintica e de energia potencial,
determinando, portanto, a forma da lagrangeana do sistema; a funo de dissipao de
Rayleigh; e as expresses das cargas generalizadas em cada grau de liberdade.
2.4.1 Determinao da lagrangeana e do funcional de dissipao
De acordo com a Figura 2.1, a posio de um elemento diferencial de massa dV da aeronave, em relao ao referencial inercial, pode ser calculada em funo da posio deste
42
elemento de massa em relao ao referencial do corpo e da posio deste referencial em
relao ao referencial inercial, isto :
0R R p= +G G G (2.44)
A energia cintica da aeronave pode ser ento escrita como:
12 V
dR dRT dVdt dt
= G G
(2.45)
E considerando que o referencial do corpo se move com velocidade angular G em relao ao referencial inercial, a velocidade do elemento de massa pode ser ento determinada
atravs de:
0 0
RB
dR dRdR dp dp pdt dt dt dt dt
= + = + + G GG G G G G (2.46)
onde RB
dpdt
G representa a variao temporal de pG em relao ao referencial do corpo.
Substituindo (2.46) em (2.45):
0 012 V RB RB
dR dRdp dpT p p dVdt dt dt dt
= + + + + G GG GG GG G (2.47)
Expandindo a equao (2.47), temos:
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0
1 1 12 2 2V V V RB RB
V V VRB RB
BA C
ED F
dR dR dp dpT dV p p dV dVdt dt dt dt
dR dRdp dpdV p dV p dVdt dt dt dt
= + + +
+ + +
G G G GG GG G
G GG GG GG G
(2.48)
Os termos A, B, C, D, E, e F sero discutidos separadamente, como se segue.
Sejam u, v e w as componentes do vetor velocidade da aeronave, quando escrito no
sistema do corpo. Ento:
43
( )0 0
2 2 2
1212
V
dR dRA dVdt dt
m u v w
= =
= + +
G G
(2.49)
onde m a massa total da aeronave.
Sejam p, q, e r as componentes de G , quando escrito no sistema do corpo. Ento:
[ ] [ ] [ ] [ ]0 0
0RB
T T T TCG CG CG CG CG CG
CG CG CG
CG CG CG
CG CG CG
dR dR Rdt dt
u v w x y z p q r x y z
u x qz ryv y rx pzw z py qx
= +
= + = + = + = +
G G GG
(2.50)
Das relaes de transformao dos referenciais onde so definidos os ngulos de
Euler para o referencial do corpo [20], temos que:
0 00 0
0 0
sincos sin coscos cos sin
pqr
pqr
= + + = = + =
T T T T T T
(2.51)
onde as matrizes de transformao so apresentadas, por convenincia, no Apndice A.
De posse das relaes (2.50) e (2.51), o primeiro termo (2.49) da expresso de
energia cintica pode ser colocado como funo das coordenadas generalizadas e suas
derivadas.
Da definio da didica de inrcia [20] I, e sendo x, y, e z as componentes do vetor pG ,
quando escrito no sistema do corpo, temos que:
44
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2 2
12
12
121 22
V
T
V
T
xx yy zz xy xz yz
B p p dV
y z xy xzxy x z yz dVxz yz x y
I p I q I r I pq I pr I qr
= + = + = +
= =
= + + + +
I
G GG G
(2.52)
onde a forma matricial de G . Assume-se que, para pequenas perturbaes, a didica de inrcia no sofre variaes sensveis devido ao movimento estrutural.
De (2.51), B tambm pode ser escrito em funo das coordenadas generalizadas e
suas derivadas.
Relembrando que e dp p p= +G G G , onde epG a parcela esttica, e partindo de (2.9) e da
transformao modal (2.19), C pode ser reescrito em termos das amplitudes modais:
( )2
1
121212
d dV
RB RB
T T
n
ii ii
dp dpC dVdt dt
=
= =
= =
=
M
G G
(2.53)
Da equao (2.4), temos:.
0
0
VRB
dV
RB
dR dpD dVdt dt
dR dp dVdt dt
= =
=
G G
G G
0= (2.54)
Como o sistema de referncia do corpo se localiza no seu centro de massa, temos
que:
45
( )( )
0
0
0
V
V
V
dRE p dVdt
dR p dVdt
dR p dVdt
= =
= =
=
G G GG G GG G G
0
=
(2.55)
E finalmente, da identidade vetorial ( ) ( )a b c c a b = G GG G G G , segue que: ( )
VRB
VRB
VRB
dpF p dVdt
dpp dVdt
dpp dVdt
= = = = =
G G G
G GG
GG
0
==
G (2.56)
A expresso de energia cintica assume ento sua forma final:
( ) ( )2 2 2 2 2 22
1
1 1 22 2
12
xx yy zz xy xz yz
n
ii ii
T m u v w I p I q I r I pq I pr I qr
=
= + + + + + + + +
(2.57)
onde (2.50) e (2.51) so empregados para deix-la em funo das coordenadas generalizadas e
suas derivadas temporais.
A energia potencial do sistema corresponde soma da energia potencial
gravitacional e da energia potencial de deformao:
G SU U U= + (2.58)
Sendo CGz a coordenada em zI da posio do CG da aeronave escrita no RI, a sua
energia potencial gravitacional pode ser determinada por:
46
( )[ ]
( )
/
/
(3,:)
(:,3)
sin cos sin cos cos
G
TI B CG CG CG
TTB I CG CG CG
CG CG CG
U mgz
mg x y z
mg x y z
mg x y z
= = = = = =
L
L (2.59)
onde a expresso / (3,:)I BL designa a terceira linha da matriz /I BL , assim como / (:,3)B IL , a
terceira coluna da matriz /B IL .
De (2.10), e da transformao modal (2.19), a energia potencial de deformao pode
ser escrita como:
2
1
2 2,
1
12121212
TS V
T T
n
ii iin
ii n i ii
U dV
=
=
= =
= = =
=
K (2.60)
Logo:
( ) 2 2,1
1sin cos sin cos cos2
n
CG CG CG ii n i ii
U mg x y z =
= + (2.61)A lagrangeana do sistema fica determinada, a partir de (2.57) e (2.61), por:
L T U= (2.62)A funo de dissipao estrutural pode ser obtida atravs de (2.11) e da
transformao modal (2.19):
2
1
2,
1
1212
T T
n
ii ii
n
ii i n i ii
D
=
=
= = =
=
B
(2.63)
47
2.4.2 Aplicao das equaes de Lagrange
As equaes do movimento de Lagrange sero mais uma vez utilizadas para a
deduo das equaes que governam o movimento da aeronave flexvel. Ento, para a k-
sima coordenada generalizada, temos:
kk k k
d L L D Qdt q q q + =
(2.64)
Devido s intensas manipulaes analticas que resultam da aplicao da equao
acima, as derivaes e simplificaes foram feitas com a ajuda do programa Mathematica.
Nesta seo, apenas as formas j simplificadas sero apresentadas.
(a) Grau de liberdade xCG:
( )sinXQ m u rv qw g = + + (2.65)(b) Grau de liberdade yCG:
( )cos sinYQ m v ru pw g = + (2.66)(c) Grau de liberdade zCG:
( )cos cosZQ m w qu pv g = + (2.67)(d) Grau de liberdade :
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2 2
cos cos
cos sin
xx yy zz xy xz yz
CG
CG
Q I p I I qr I pr q I pq r I q r
my w pv qu g
mz v pw ru g
= + + + + ++ + ++ + +
(2.68)
(e) Grau de liberdade :
48
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2
cos sin cos sin cos sin
cos sin cos sin
cos sin
cos sin cos
si
xx yy zz
xy xz
yz
CG
CG
Q I pr pq I q pq I pr r
I p qr p q I p r p qr
I r pq q pr
mx w pv qu v pw ru g
my u qw rv g
= + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
+ + +
( )
( )n sin
sin cosCGmz u qw rv g
+ + + +
(2.69)
(f) Grau de liberdade :
( )( )( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )
2 2
2 2
2 2
sin cos sin cos
sin cos sin cos
sin cos sin cos
sin sin cos cos
sin sin cos cos
xx
yy
zz
xy
xz
yz
Q I p pq pr
I qr pq q
I qr r pr
I q pr p qr p q
I r pq p r p qr
I q r
= + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
+
( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
sin sin cos cos
sin cos cos
sin cos cos
sin sin cos
CG
CG
CG
r pq q pr
mx w pv qu v pw ru
my w pv qu u qw rv
mz v pw ru u qw rv
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +
(2.70)
(g) Grau de liberdade i :
( )2, ,2ii i i n i i n i iiQ = + + (2.71)Para a soluo das equaes de (2.65) a (2.71), necessrio conhecer as cargas
generalizadas, que sero determinadas a seguir.
2.4.3 Determinao das cargas generalizadas
Para a k-sima coordenada generalizada, a carga generalizada Qk pode ser
determinada, como em (2.14) para a dinmica estrutural, a partir de:
49
k Vk
RQ f dVq= GG
(2.72)
onde fG
designa a fora distribuda atuante na aeronave, por unidade de volume, que no
deriva de um potencial, como o caso da fora peso e das foras de dissipao estrutural.
Logo fG
representa os efeitos das foras aerodinmica e propulsiva.
Sendo fx, fy e fz as componentes de fG
escritas no RB, temos:
(a) Grau de liberdade xCG:
( ) [ ]( )/ /T TX I B x y z I B CG CG CGVCG
Q f f f x x y y z z dVx
X
= + + + = = L L (2.73)
(b) Grau de liberdade yCG:
( ) [ ]( )/ /T TY I B x y z I B CG CG CGVCG
Q f f f x x y y z z dVy
Y
= + + + = = L L (2.74)
(c) Grau de liberdade zCG:
( ) [ ]( )/ /T TZ I B x y z I B CG CG CGVCG
Q f f f x x y y z z dVz
Z
= + + + = = L L (2.75)
(d) Grau de liberdade :
( ) [ ]( )/ /T TI B x y z I B CG CG CGVCG CG
Q f f f x x y y z z dV
Yz Zy L
= + + + =
= + + L L (2.76)
(e) Grau de liberdade :
( ) [ ]( )( ) ( )
/ /
sin cos
T TI B x y z I B CG CG CGV
CG CG CG CG
Q f f f x x y y z z dV
Xy Yx N Xz Zx M
= + + + = = + L L (2.77)
(f) Grau de liberdade :
50
( ) [ ]( )[ ]( ) ( )
/ /
sin
sin cos cos
T TI B x y z I B CG CG CGV
CG CG
CG CG CG CG
Q f f f x x y y z z dV
Yz Zy L
Xz Zx M Yx Xy N
= + + + = =
+ + + +
L L (2.78)
(g) Grau de liberdade i : Neste caso, necessrio expressar a posio dos pontos da aeronave em funo das
amplitudes modais. Com base em (2.3):
e d
e d
e d
x x xy y yz z z
= + = + = + (2.79)
Como visto na seo 2.2.3, apenas o movimento estrutural das superfcies
sustentadoras ser considerado. As contribuies da asa e empenagem horizontal, e da
empenagem vertical, sero tratadas separadamente.
(g.1) Contribuio da asa e da empenagem horizontal:
De (2.22) podemos escrever:
1
d d
d dn
d i ii
x zy z
z =
=
(2.80)
E a partir da aproximao (2.23):
( )1
1
n
d i ii
ene ei
i ii
z
x xx
=
=
= = = +
(2.81)
Logo a parcela da carga generalizada no grau de liberdade i contribuda pela asa e empenagem horizontal pode ser encontrada a partir da expresso a seguir:
51
( ) [ ]( )( )
( )[ ]( )[ ] ( )
/ /,
/ 2
// 2
/
3,: 0
3,: 0
T TI B x y z I B e CG e CG e d CGi V
iA EH
ee e i
z i zV
ebT e i
B A i CAb
eT e i
B A CA
Q f f f x x y y z z z dV
f f x x dVx
L d mx
L d x x dyx
= + + + + = = + = = +
+
L L
A
A
(2.82)
(g.2) Contribuio da empenagem vertical:
De (2.22) podemos escrever:
1
d dn
d i ii
d d
x y
y
z y
=
=
(2.83)
E a partir da aproximao (2.23):
( )1
1
n
d i ii
ene ei
i ii
y
x xx
=
=
= = = +
(2.84)
Logo a parcela da carga generalizada no grau de liberdade i contribuda pela empenagem vertical dada por:
( ) [ ]( )( )
( )[ ]( )[ ] ( )
/ /
/ 2
/0
/
2,: 0
2,: 0
T TI B x y z I B e CG e d CG e CGi V
iEV
ee e i
y i yV
bT e
B A i
eT e i
B A CA
Q f f f x x y y y z z dV
f f x x dVx
L d
L d x x dzx
= + + + + =
= + = = +
+
L L
A
A
(2.85)
Aqui, o perfil da empenagem vertical foi considerado simtrico, portanto o momento
em torno do seu centro aerodinmico nulo.
52
2.4.4 Simplificao das equaes
Substituindo as expresses de (2.73) a (2.78) respectivamente nas equaes de (2.65)
a (2.70), as seis equaes do movimento em funo das foras e momentos no referencial do
corpo podem ser finalmente encontradas:
sinXu rv qw gm
= + (2.86)
cos sinYv ru pw gm
= + + (2.87)
cos cosZw qu pv gm
= + + (2.88)
( ) ( ) ( )2 2xx xy xz yz yy zz xz xyI p I q I r I q r I I qr p I q I r L = (2.89)( ) ( ) ( )2 2xy yy yz xz zz xx xy yzI p I q I r I r p I I pr q I r I p M + = (2.90)( ) ( ) ( )2 2xz yz zz xy xx yy yz xzI p I q I r I p q I I pq r I p I q N + = (2.91)
Somam-se a estas equaes as equaes dos graus de liberdade da dinmica
estrutural, isto , as equaes das amplitudes modais:
2 ,, ,2
i iA EH EV
i i n i i n i iii
Q Q
++ + = (2.92)
2.5 Determinao das cargas generalizadas nos graus de liberdade das amplitudes modais, em termos de derivadas de estabilidade
2.5.1 Tratamento de asa e empenagem horizontal
Assumindo a hiptese quase-estacionria, o ngulo de ataque local em cada
superfcie sustentadora pode ser escrito como:
53
CAs s s
qx pyiu u
= + + + (2.93)
onde s deve-se dinmica estrutural, e pode ser calculado a partir da expresso (2.24).
Assumindo comportamento linear para os coeficientes de arrasto e sustentao, e
considerando ainda que o escoamento em cada faixa bidimensional, isto , desprezando a
interferncia entre as faixas, o termo [ ]0 Td A da expresso (2.82) pode ser escrito como: 0
2
0
02
0
02
0
02
10 02
1 0 02
1 0 02
1 02
d d s
s
d d
s
d dCA
s s
d d s
d C CV c
C C
C CV c
C C
C Cqx pyV c i
u uC C
C C iV c
C
+ = = + = + = = + + + + =
+=
A A
A A
A A
A
0
1
0 0 0
10 0
d d dCA
s
d dn eek
k k kk
C C Cxy p q
u uC i C C C
C C
x uC C
=
+ + + + + +
A A A A A
A A
(2.94)
Substituindo (2.94) em (2.82), chega-se expresso final da contribuio de asa e
empenagem para a carga generalizada nos graus de liberdade estruturais, em forma de
derivadas de estabilidade:
2
, 1 1, , , ,,0 ,
12 2
n n
kieA EH k k
p qi i i ii ik kcQ V Sc C C C C p C q CV = =
= + + + + + (2.95)Tais derivadas podem ser obtidas pelas expresses seguintes:
54
( ) ( )/ 2 0// 2 0
,01 3,: 0
b d d se ee e i i
i CA B A CAb s
i m
C C iC c x x L c c dy
Sc x xC C i
+ = + +
A A (2.96)
( ) ( )/ 2 // 2
,1 3,: 0
b dee e i
i CA B Ab
i
CC c x x L dy
Sc xC
= +
A (2.97)
( ) ( )/ 2 /2/ 2
,2 3,: 0
b dee ee i
i CA B Ab
pi
CV yC c x x L dy
x uSc C
= +
A (2.98)
( ) ( )/ 2 /2/ 2
,2 3,: 0
b dee ee i CA
i CA B Ab
qi
CV xC c x x L dy
x uSc C
= +
A (2.99)
( ) ( )/ 2 // 2
,1 3,: 0
b de ee e i k
i CA B Ab
i k
CC c x x L dy
Sc x xC
= +
A (2.100)
( ) ( )/ 2 /2/ 2
,2 13,: 0
b dee eee i
i CA B A kb
i k
CVC c x x L dy
x uSc C
= +
A (2.101)
2.5.2 Tratamento da empenagem vertical
Analogamente, o ngulo de ataque em cada faixa da empenagem vertical pode ser
escrito como:
CAs s
r x p zu u
= + + (2.102)
onde s determinado pela expresso (2.39).
A resultante aerodinmica em cada seo da empenagem vertical pode ser escrita,
portanto, como:
55
2
1
12
0 0 0 0
1
0 0
d d dCA
d dn eek
k k kk
d C C CxzV c C C p C r
u u
C CC C
x u
=
= + + + +
A A A
A A
A
(2.103)
Logo, a contribuio da empenagem vertical para a fora generalizada nos graus de
liberdade estruturais pode ser escrita da mesma forma que (2.95):
2
1 1, , ,, ,
12 2
n n
kieEV k k
p ri i ii ik kcQ V Sc C C C p C r CV = =
= + + + + (2.104)onde:
( ) ( )0 // 2
,1 2,:
0
dee e i
i CA B Ab
i
CC c x x L C dz
Sc x
= + A (2.105)
( ) ( )0 /2/ 2
,2 2,:
0
dee ee i
i CA B Ab
pi
CV zC c x x L C dz
x uSc
= + A (2.106)
( ) ( )0 /2/ 2
,2 2,:
0
dee ee i CA
i CA B Ab
ri
CV xC c x x L C dz
x uSc
= + A (2.107)
( ) ( )0 // 2
,1 2,:
0
de ee e i k
i CA B Ab
i k
CC c x x L C dz
Sc x x
= + A (2.108)
( ) ( )0 /2/ 2
,2 12,:
0
dee eee i
i CA B A kb
i k
CVC c x x L C dz
x uSc
= + A (2.109)
56
3 Aplicao numrica
3.1 Determinao numrica dos coeficientes de influncia
Para aplicao numrica do modelo desenvolvido para a mecnica de vo de
aeronaves flexveis, necessrio que sejam conhecidos, alm dos seus parmetros
geomtricos e de distribuio de massa:
as propriedades aerodinmicas das suas superfcies sustentadoras; a sua decomposio modal, ou suas propriedades estruturais que permitam
uma modelagem de elementos finitos.
Encontrar um modelo de aeronave com todas estas informaes uma tarefa bastante
rdua fora de uma indstria aeronutica, ou de um ambiente onde haja um projeto de
desenvolvimento de uma aeronave em andamento ou concludo.
Neste sentido, este captulo aborda uma aeronave semelhante a discutida nas
referncias [29] e [28], uma vez que a ltima referncia apresenta dois modos, um simtrico e
outro assimtrico, para asa e empenagens, bem como as derivadas de estabilidade de corpo
rgido. Ainda assim, alguns parmetros no so explicitamente fornecidos, mas podem ser
estimados. Por exemplo, a partir das derivadas de estabilidade de corpo rgido da aeronave,
assumindo comportamento linear para as foras e momentos aerodinmicos nas superfcies
sustentadoras, distribuio uniforme de presso e, portanto, ignorando efeitos tridimensionais
do escoamento, as propriedades de cada seo da superfcie sustentadora podem ser
estimadas. Outros parmetros, no entanto, no so fornecidos e nem podem ser estimados.
Neste caso, arbitr-los de acordo com dados histricos.
A aeronave abordada pelas referncias [29] e [28] semelhante ao bombardeiro
americano B-1 Lancer, cujas propriedades mais gerais so apresentadas na Tabela 3.1.
57
Tabela 3.1: Propriedades gerais da aeronave
Propriedades Valor Unidade m (massa) 130640 kg Ixx 1.29106 kg.m2 Iyy 8.67106 kg.m2 Izz 9.62106 kg.m2 Ixz
momentos eprodutosde inrcia
-7.14104 kg.m2 b (envergadura da asa) 22.71 m cm (corda mdia aerodinmica) 4.66 m S (rea de referncia) 180.80 m2
Condio de Vo V (velocidade de cruzeiro) 200.40 m/s H (altitude) 1500 m
A Figura 3.1, por sua vez, mostra a geometria da aeronave em duas vistas planares e
uma espacial.
Figura 3.1- Geometria da aeronave: (a) forma em planta da asa e empenagem horizontal; (b) forma em
planta da empenagem vertical; e (c) viso espacial
(a) (b)
(c)
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Na ausncia de um modelo mais completo, e sem perda de generalidade, assumiu-se
que, para todas as superfcies sustentadoras, a distribuio de coeficiente de sustentao por
unidade de envergadura constante, bem como a distribuio de coeficiente de arrasto e de
coeficiente de momento em torno do centro aerodinmico, na condio de ausncia de toro
estrutural. Neste caso, o conhecimento das propriedades aerodinmicas destas superfcies fica
completo atravs da tabela. O coeficiente de arrasto e o coeficiente de momento em torno do
CA foram desprezados para as empenagens, j que o arrasto e o momento em torno do CA
gerados por estas superfcies so desprezveis em relao aos gerados pela asa. A Tabela 3.2
traz as caractersticas aerodinmicas das superfcies sustentadoras, estimadas a partir dos
resultados apresentados em [29].
Tabela 3.2- Caractersticas aerodinmicas por unidade de envergadura das superficies sustentadoras
Superfcie ,0CA ,C A ,0dC ,dC ,m CAC ASA 0.239 1.200 0.028 0.200 0.000
EMPENAGEM HORIZONTAL 0.035 5.020 0.000 0.000 0.000
EMPENAGEM VERTICAL 0.000 5.5437 0.000 0.000 0.000
Para a dinmica estrutural, conforme j mencionado, foram considerados os dois
primeiros modos de vibrao da aeronave, um simtrico e outro assimtrico, disponveis em
[28] e repetidos no Apndice B. Ambos os
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