Model Ekonomi

MODEL EKONOMI

Dlm suatu perekonomian, hubungan antara variabel-variabel ekonomi yg satu dgn yg lainnya sangat kompleks. Untuk memudahkan hubungan antar variabel, memilih dr sekian banyak variabel yg sesuai dgn permasalahan ekonomi, kemuadian dihubungkan sedemikian rupa sehingga bentuk hubungan menjadi lebih sederhana dan relevan. Penyederhanaan ini disebut Model Ekonomi.Model Ekonomi dapat berbentuk matematika dan Non matematika.Jika berbentuk model matematika, maka terdiri dari satu atau sekumpulan persamaan.

KEMIRINGAN DAN TITIK POTONG SUMBU

Kemiringan (slope) dari fungsi linier dengan satu variabel bebas X adalah sama dengan perubahan dalam variabel terikat (dependent) dibagi dengan perubahan dalam variabel bebas (independent). Dan biasanya dilambangkan dengan huruf m. Jadi,

ΔY Y2 – Y1

Kemiringan = m = atau ΔX X2 – X1Y Y

YY

XX

X X

0 0

0 0

(a) Kemiringan positif

(b) Kemiringan negatif

(c) Kemiringan nol (d) Kemiringan tak tentu

BENTUK UMUM FUNGSI LINIER

Y=a0 + a1X

di mana a, tidak sama dengan nol.Bentuk ini disebut sebagai bentuk kemiringan-titik potong (slope-intercept). Bentuk seperti ini bila dilihat dari letak kedua variabel X dab Y, maka bentuk ini dapat disebut sebagai eksplisit. Karena variabel bebas X dan variabel terikat Y saling terpisah oleh tanda sama dengan (=)

MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS

Metode Dua Titik

Y – Y1 Y2 – Y1

=X – X1 X2 – X1

Y

0X

A (X1, Y2)

A (X1, Y1)

A (X, Y)

Carilah persamaan garis yang melalui titik (3, 2) dan (4,6)Penyelesaian : X1 = 3, X2 = 4, Y1 = 2, dan Y2 = 6

Y – Y1 Y2 – Y1

X – X1 X2 – X1

Y – 2 6 – 2 X – 3 4 – 3

Y – 2 = (X – 3)

Y – 2 = 4 (X – 3) Y = 4 X – 12 Y = 4 X - 10

=

6 – 2

4 – 3

Y

X

Y = 4X - 10

Persamaan garis Y = 4x - 10 ini grafiknya ditunjukkan oleh gambar 4.3.

0

5

1 2 3

(0,-10)

METODE SATU TITIK DAN SATU KEMIRINGAN

Y – Y1 = m (X – X1)Contoh 4.2.Carilah persamaan garis yang melalui titik (6, 4) dan kemiringannya -2/3

Penyelesaian :Diketahui (X, Y) = (6, 4) dan m = - 2/3

Y – Y1 = m (X – X1)Y – 4 = -2/3 (X – 6)Y = -2/3X + 4 + 4Y = -2/3X + 8

Persamaan garis Y = -2/3X + 8 ini grafiknya ditunjukkan oleh gambar 4.4.

0

2

4

6

8

Y

X

(0,8)

(12,0)

Y = - 2/3 X + 8

HUBUNGAN DUA GARIS LURUSY Y

YY

XX

X X

0 0

0 0

(a) Berpotongan (b) Sejajar

(c) Berimpit (d) Tegak Lurus

a1 ≠ b1

ao ≠ b0

a1 = b1

ao ≠ b0

a1 = b1

ao = b0

a1 .b1 = -1

ao ≠ b0

SISTEM PERSAMAAN LINIER

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER:DUA PERSAMAAN DENGAN DUA VARIABEL

METODE ELIMINASIContoh 5.1.Carilah nilai-nilai dari variabel X dan Y yang dapat memenuhi kedua persamaan berikut ini :

3X – 2Y = 7

2X – 4Y = 10

Penyelesaian :1. Variabel yang akan dieliminasikan adalah variabel Y.2. Karena variabel Y yang dipilih, maka Persamaan (5.1) harus dikalikan dengan konstanta 2, dan Persamaan

(5.2) dikalikan dengan konstanta 1, sehingga kedua persamaan menjadi, 3X – 2Y = 7 (kalikan dengan 2), maka 6X – 4Y = 14 2X + 4Y = 10 (kalikan dengan 1), maka 2X + 4Y = 10

3. Karena kedua koefisien dari variabel Y tandanya berbeda, maka harus dijumlahkan, dan menjadi, 6X – 4Y = 14 2X + 4Y = 10 + 8X + 0 = 24 X = 3

4. Subtitusikan nilai X = 3 kedalam salah satu persamaan semula agar diperoleh nilai Y. Bila disubtitusikan pada Persamaan (5.1), maka akan menghasilkan,3 (3) -2Y = 7 - 2Y = 7 – 9 Y = 1

(5.1)

(5.2)

METODE SUBSTITUSI

Contoh 5.2.3X – 2Y = 7 (5.1)2X + 4Y = 10

(5.2)

Misalkan variabel X yang dipilih pada persamaan (5.2), maka akan menjadi,2X = 10 – 4YX = 5 – 2Y (koefisien variabel X=1)

Karena Persamaan (5.2)’ yang dipilih, maka subtitusikan kedalam persamaan pertama, sehingga menjadi,

3 (5 – 2Y) – 2Y = 7 15 – 6Y – 2Y = 7

15 – 8Y = 7 -8Y = 7 – 15

Y = 1

Substitusikan nilai Y = 1 ini kedalam salah satu persamaan mula-mula, misalkan Persamaan (5.1)’, sehingga memperoleh hasil,

3X – 2 (1) = 7 3X = 7 + 2

X = 3

Jadi, himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan urut (3.1).

FUNGSI PERMINTAAN

Qdx,t = ƒ (Px,t, Py,t, Yt, PeX,t+1,St)

Dimana Qdx,t = Jumlah produk X yang dibeli/diminta oleh konsumsi dalam periode t.Px,t = Harga produk X dalam periode t.Py,tt = Harga produk yang saling berhubungan dalam periode t.Yt = Pendapatan konsumen dalam periode t.Pe

x,t+1 = Harga produk X yang diharapkan dalam periode mendatang t + 1.St = Selera dari konsumen pada periode t.

Qdx = ƒ(Px)Bila fungsi permintaan (6.2) ini ditranformasikan kedalam bentuk persamaan linier, maka bentuk umumnya adalah,Qx = a – bPx

Dimana Qx = Jumlah produk X yang dimintaPx = Harga produk Xa dan b = Parameter

X

(0,P)

(Q,0)

Qd = a - bp

P

0

Penyelesaian :

Diketahui: P1 = 100; P2 = 75; Q1 = 10; Q2 = 20Q – Q1 Q2 – Q1

P – P1 P2 – P1

Q – 10 20 – 10P – 100 75 – 100

(Q – 10) = 10/-25 (P-100)

(Q – 10) = 40 – 2/5 P

Q = 50 – 2/5 P atau Q + 2/5P – 50 = 0

Kurva permintaan ini ditunjukkanoleh Gambar 6.2.

0

25

50

75

100

P

Q

(0,125)

(50,0)

Q = 50 – 2/5 P

Contoh 6.1.

Suatu produk jika harganya Rp. 100 akan terjual 10 unit, dan bila harganya turun menjadi Rp. 75 akan terjual 20 unit. Tentukanlah fungsi permintaannya dan gambarkanlah grafiknya?

10 20 30 40 50

=

=

FUNGSI PERMINTAAN KHUSUS

Q

p

0

D

Q

p D

0

FUNGSI PENAWARAN

Qsx,t = ƒ(Px,t , Tt , PF,t , PR,t , Pex,t+1)

Dimana Qsx,t = jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsen dalam periode t.Px,t = harga produk X dalam periode tTt = Teknologi yang tersedia dalam periode tPF,t = harga faktor-faktor produksi dalam periode tPR,t = harga produk lain yang berhubungan dalam periode tPe

x,t+1 = harapan produsen terhadap harga produk dalam perideo t + 1

Qsx = g (Px)

Dimana Qsx = jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsenPx = Harga produk X

Qsx = a + bP

P

Q0

Qs = a + bP

- a/b

S

Contoh 6.2.

Jika harga suatu produk adalah Rp. 500, maka jumlah yang akan terjual sebanyak 60 unit. Bila harganya meningkat menjadi Rp. 700, maka jumlah produk yang terjual sebanyak 100 unit. Tunjukkanlah fungsi penawarannya dan gambarkanlah dalam satu diagram

Penyelesaian :

Diketahui: P1 = 500; P2 = 700; Q1 = 60; Q2 = 100Q – Q1 Q2 – Q1

P – P1 P2 – P1

Q – 60 100 – 60P – 500 700 – 500

(Q – 60) = 40/200 (P-500)

(Q – 60) = -100 +1/5 P

Q = -40 + 1/5 P atau Q + 1/5P + 40 = 0

Kurva permintaan ini ditunjukkan oleh Gambar 6.5.

0

100

P

Q

(0,125)

(50,0)

(60, 500)

100

200

300

400

500

600

700

80604020

=

=

Q = -40 + 0,2P

FUNGSI PENAWARAN KHUSUS

Q

p

0

S

Q

p

0

S

KESEIMBANGAN PASAR SATU MACAM PRODUK

Q

p

0

Pe E (Qe, Pe)

Qd

Qe

Qs

Contoh 6.3Jika fungsi permintaan dan penawaran dari suatu barang ditunjukkan oleh :

Qd = 6 – 0,75 PQs = -5 + 2P

a) Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar?b) Tunjukkanlah secara geometri keseimbangan pasar tersebut!

Penyelesaian:a) Syarat keseimbangan Qd = Qs

Bila Qd = Qs, maka 6 – 0,75P = -5 + 2P -2,75P = -11 P = 4 Untuk memperoleh nilai Q substitusikan nilai P = 4 kedalam salah satu persamaan permintaan atau penawaran sehingga,

Q = 6 – 0,75 (4)Q = 6 – 3Q = 3Jadi, harga dan jumlah keseimbangan E(3,4).

b) Menggambarkan keseimbangan pasar :Untuk fungsi permintaan Q = 6 – 0,75 P Jika P = 0, maka Q = 6, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (6,0) Jika Q = 0, maka P = 8, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0,8)

Untuk fungsi permintaan Q = -5 + 2P Jika P = 0, maka Q = -5, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (-5,0) Jika Q = 0, maka P = 2,5, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0,5/2)

Grafik keseimbangan pasar ini ditunjukkan oleh Gambar 6.9

Q

p

0

2,5

E (3, 4)

(6, 0)

1

Qs = -5 + 2P

2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

7

8(0, 8)

Qd = 6 – 0,75P

PENGARUH PAJAK PADA KESEIMBANGAN PASAR

Jika fungsi permintaan adalah,

P = f(Q)

P = F(Q)

Pt = F(Q) + t,

P = f(Q) dan Pt = F (Q) + t

Q

P

0

P2E (Qe, Pe)

Qe

St

SEt (Qt, Pt)

P1

PePt

CA

B

Qt

P – t = F(Q)Q = G(Pt – t)Permintaan P = f(Q)Penawaran : Q = G(Pt – t)

Contoh 6.6Jika fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan olehP = 15 – Q dan fungsi penawaran P = 0,5Q + 3. Terhadapprodukn tersebut dikenakan pajak oleh Pemerintah sebesar Rp 3 perunit.(a) Berapakah harga dan jumlah keeimbangan pasar sebelum dan

sesudah kena pajak?(b) Berapa besar penerimaan pajak total oleh Pemerintah?(c) Berapa besar pajak yang ditanggung oleh konsumen dan

produsen?(d) Gambarkan harga dan jumlah keseimbangan sebelum dan setelah

pajak dalam satu diagram!

Penyelesaian

Pd = Ps, maka 15 – Q = 0,5Q + 3 -1,5Q = -12 Q = 8P = 15 – 8P = 7

Jadi, keseimbangan pasar sebelum kena pajak E (8, 7)

Keseimbangan setelah pajakPermintaan : Pd = 15 – Q Penawaran setelah pajak : Pst = 0,5Q + 3 + 3

Pst = 0,5Q + 6Jika Pd = Pst, maka 15 – Q = 0,5Q + 6

-1,5Q = -9 Q = 6

P = 15 – 6P = 9

Jadi, keseimbangan pasar setelah kena pajak Et (6, 9)

Penerimaan pajak total oleh Pemerintah:

T = (3) (6) = 18

Besarnya pajak yang ditanggung oleh konsumen:

(9 – 7)(6) = 12

Besarnya pajak yang ditanggung oleh produsen:

18 – 12 = 6 atau (7 – 6)(6) = 6

Grafik keseimbangan pasar setelah kena pajak ini ditunjukkan oleh Gambar 12

Q

P

0

6E (8, 7)

8

St

SEt (6, 9)

3

12

15

9

62 4 10 12 14

P = 0,5 Q + 6

P = 0,5 Q + 3

P = 15 - Q

15

PENGARUH SUBSIDI PADA KESEIMBANGAN PASAR

P = F(Q) – St

S = s Qs

Q

P

0

P2

(Q, 0)

Qs

S

SSEt (Qe, Pe)

P1

Pe

Ps

C AB

Qt

(0, P)

E (Qs, Ps)

Contoh 6.7Fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan oleh P = 15 – Q dan fungsi penawaran P = 0,5Q + 3.

Jika pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp. 1,5 per unit produk, (a) berapakah harga dan jumlah keseimbangan sebelum dan sesudah subsidi? (b) berapa besar subsidi yang diberikan oleh Pemerintah? (c) berapa besar subsidi yang dinikmati oleh konsumen dan produsen? (d) Gambarkanlah dalam satu diagram!

Penyelesaian:a) Keseimbangan pasar sebelum subsidi adalah P = 7 dan Q = 8 (lihat penyelesaian contoh 6.6

sebelumnya)b) Fungsi penawaran sebelum subsidi: Ps = 0,5Q + 3

Fungsi penawaran setelah subsidi: Pss = 0,5Q + 3 – 1,5 = 0,5Q + 1,5

Jika Pd = Pss, maka 15 – Q = 0,5Q + 1,5 -1,5Q = -13,5

Q = 9P = 15 – 9 = 6

Jadi, keseimbangan setelah subsidi Es (9,6)b) Besarnya subsidi yang diberikan oleh Pemerintah:

S = (1,5)(9) = 13,5C) Besarnya subsidi yang dinikmati oleh konsumen adalah :

(7 – 6)(9) = 9Besarnya subsidi yang dinikmati oleh konsumen adalah :13,5 – 9 = 4,5 atau (7,5 – 7)(9) = 4,5

Grafik keseimbangan pasar setelah subsidi ini ditunjukkan oleh gambar 6.14

Q

P

0

Es(9, 6)

P = 15 - Q15

E (8, 7)

14

13

12

11

10

9

8

1

23

4

5

67

7,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

P = 0,5Q + 3

Ps = 0,5Q + 1,5

ANALISIS PULANG POKOK

TC = FC + VQTR = P.Q

TR = TCPQ = FC + VQ

PQ – VQ = FC Q (P – V) = FC

FC FCQ = atau QE = (P – V) (P – V)

Rugi

Laba

TR, TCTR = P. Q

TC = FC + VC

BEPRp

0 QeQ

TR = TC TR = FC + VQ

TR – VQ = FC

VQ TR = - (TR) = FC TR

VQTR 1 - = FC TR

VQTR 1 - = FC (P)(Q)

VTR 1 - = FC P

FCTR = V 1- P

Contoh 6.8Suatu perusahaan menghasilkan produknya dengan biaya variabel per unit Rp. 4.000 dan harga jualnya per unit Rp. 12.000. Manajemen menetapkan bahwa biaya tetap dari operasinya Rp. 2.000.000. Tentukanlah jumlah unit produk yang harus perusahaan jual agar mencapai pulang pokok?

Penyelesaian:Diketahui : V = Rp. 4.000; P = Rp 12.000; dan FC = Rp. 2.000.000

FC 2.000.000Q = =

(P – V) (12.000 – 4.000)

2.000.000 =

8.000 = 250 unit

100 200 300 400

3

2

1

0

TR, TC(dalam juta) TR = 12000 Q

TC = 2.000.000 + 4.000 Q

FC = 2.000.000

VC = 4.000 Q

Q

Grafik dari kurva pulang pokok ini ditunjukkan oleh gambar 6.16

FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN

C = a + bYd

Y = (a + bYd) + sS = Y – (a + bYd) atauS = -a + (a - b) Yd

MPS + MPC = 1

Dissaving

Saving

C.SC = Y

C = a + bY

a

0 YeY

E

- a

S = -a + (1 – b) Y

450

Contoh 6.9Jika fungsi konsumsi ditunjukkan oleh persamaanC = 15 + 0,75Yd, pendapatan disposibel Rp. 30 miliar

(a) Berapa Konsumsi agregate, bila pendapatan disposibel Rp 30 miliar?

(b) Berapa besar keseimbangan pendapatan nasional?(c) Gambarkanlah fungsi konsumsi dan tabungan secara bersama-

sama!

Penyelesaian:a) Jika Yd = Rp. 30 miliar, maka C = 15 + 75 (30)

= 15 + 22,5 = 37,5 miliar

b) Yd = C + S atau S = Y – CS = Yd – (15 + 0,75Yd)S = -15 + 0,25 Yd

Gambar Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan

c) Keseimbangan pendapatan terjadi bila S = 0Jadi, 0 = -15 + 0,25 Yd

0,25Yd = 15 15Yd = = (15)(4) = 60 miliar 0,25C = 15 + 0,75 (60)C = 15 + 45 = 60 miliar

C.SY = C

E (60,60)

0 60Y

- 15

S = -15+ 0,25 Yd

C = 15 + 0,75 Yd

15

30

60

MODEL PENENTUAN PENDAPATAN NASIONAL

Y = C + I + G + X – MC = a + BYDimana: Y = Pendapatan Nasional

C = Konsumsi NasionalI = InvestasiG = Pengeluaran PemerintahX = EksporM = Impor

Y = a + bY + I0 + G0 + X0 – M0 atau(1-b)Y = a + I0 + G0 + X0 – M0

Jadi, nilai pemeceahan keseimbangan pendapatan Nasional adalah : a + I0 + G0 + X0 – M0

Y = (1 – b)

b(a + I0 + G0 + X0 – M0)C = a + bY = a + (1 – b)

= a (1 – b) + b(a + I0 + G0 + X0 – M0) (1 – b)

a + b(a + I0 + G0 + X0 – M0)C = (1 – b)

Contoh 6.10Diketahui model pendapatan Nasional sebagai berikut :Y = C + I + GC = 25 + 0,75YI = I0 = 50G = G0 = 25

(a) Tentukan tingkat keseimbangan pendapatan Nasional!(b) Gambarkanlah grafik fungsi permintaan agregate

Penyelesaian:Keseimbangan pendapatan Nasional jika hanya ada satu sektor, yaitu sektor konsumsi rumah tangga, C, maka nilainya adalah,S = 0S = -25 + 0,25YO = -25 + 0,25Y0,25Y = 25Y = 100

Jika I = I0 = 50 miliar, makaY = C + IY = 25 + 0,75Y + 50Y - 0,75Y = 750,25Y = 75Y = 300

Jika I = I0 = 50 miliar; dan G = G0 = 25 miliar, makaY = C + I + GY = 25 + 0,75Y + 50 + 25Y = 100 + 0,75YY – 0,75Y = 1000,25Y = 100Y = 400

Jadi, keseimbangan pendapatan Nasional mula-mula hanya sektor konsumsi rumah tangga (C) adalah 100 miliar. Setelah ada pengeluaran investasi (1) 50 miliar, maka keseimbangan pendapatan Nasional berubah menjadi 300 miliar. Selanjutnya, jika ditambah lagi pengeluaran pemerintah (G) sebesar 2 miliar, maka keseimbangan pendapatan Nasional menjadi 400 miliar. Keseimbangan pendapatan Nasional ini dapat dilihat pada Gambar 6.19

Y = CY = C + I + GY = C + I

Y = 25 + 0,75Y

Y

6005004003002001000

400

300

200

100

75

25

E

E1

E11

C, S

FUNGSI NON LINEAR1. Fungsi Kuadrat Y = f(X) = aX2 + bX + c Y Y

X X

Koordinat titik puncak diperoleh dgn rumus:

- b - (b2 – 4ac) Titik puncak = ----- , --------------- 2a 4a

-b ± b2 – 4ac X1.2 = --------------------

2aContoh:Jika fungsi kuadrat Y = X2 – 8X + 12 Carilah koordinat titik puncak dan gambarkan

- b - (b2 – 4ac) Koordinat Titik puncak = ----- , --------------- 2a 4a

Koordinat titik puncak diperoleh dgn rumus:

Contoh :Jika fungsi kuadrat Y = X2 – 8X + 12, carilah koordinat titik puncak dan gambarkanlah parabolanya? Penyelesaian :

Koordinat titik puncak

Untuk X = 0, maka Y = 12Titik potong sumbu Y adalah (0,12) Untuk Y = 0, maka X2 – 8X + 12 = 0

a4ac4b(

,a2b 2

44864(

,28

)4,4(

Titik potong sumbu X adalah (2,0) dan (6,0). Berdasarkan nilai-nilai penyelesaian dari titik puncak dan titik potong sumbu X dan Y, maka kurva parabolannya dapat digambarkan seperti 7.3.

Koordinat titik puncak Y

x(2,0)

2

(0,12) (8,12)

Y = a0 = a1X +a2X2+a3X3

GGGGGGGGGG

a4ac4b(

,a2b 2

)1(4)3)(1(42(

,)1(2

2 2

)4,1(4

16,

22

FUNGSI PANGKAT TIGA Polinomial tingkat 3 dengan satu variabel bebas disebut sebagai kubik, dan mempunyai bentuk umum : Y = a0 + a1 X + a2X2 + a3X3

dimana : a3tidak sama dengan nol. fungsi kubik ini bila digambarkan dalam bidang koordinat Cartesius, kurvanya mempunyai dua lengkung (concave) yaitu : lengkung ke atas dan lengkung ke bawah, seperti tampak pada gambar di samping.

Y = a0 = a1X + a2X2+a3X3

Y

xa0

0

Contoh Jika fungsi permintaan adalah Q = 64 – 8P – 2P2, gambarkanlah fungsi permintaan tersebut dalam satu diagram!

Penyelesaian : Jika P = 0, maka Q = 64, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (64,0) Jika Q = 0, maka 64 - 8P – 2P2 = 0 atau

P = 4P – 32 = 0(P + 8) (P – 4) = 0P = -8 (Tidak memenuhi) P = 4

Jadi, titik potong dengan sumbu P adalah (0,4) dan (0, -8).

Koordinat titik puncak

a4D

,a2b

8576

,48

)72,02(

Berdasarkan titik-titik potong dengan sumbu Q dan P serta koordinat titik puncat, maka gambar dari fungsi permintaan Q = 64 – 8P – 2P2 dapat digambarkan seperti di bawah.

Y

Q

(2,0)

2

(0,4)

(64,0)

Q =64 – 8P – 2P2

(72,-2)

3

4

1

-1

-2

8 16 24 32 40 48 56 64 72

P

KESEIMBANGAN PASAR Contoh :

Carilah secara aljabar dan geometri harga dan jumlah keseimbangan dari fungsi permintaan dan penawaran berikut ini :

Pd = 24 – 3Q2

Ps = Q2 + 2Q + 4

Penyelesaian : Syarat keseimbangan pasar adalah Pd = Ps

24 – 3Q2 = Q2 + 2Q + 44Q2 + 2Q - 20 = 0

Substitusikan nilai Q yang memenuhi ke dalam salah satu persamaan permintaan penawaran, sehingga diperoleh nilai P, yaitu

P = 24 – 3(2)P = 24 – 12 = 12

83242

,Q8

)}20)(4)(4{(42 Q

2,12,1

28

182Q

1

memenuhitidak5,28

182Q

1

Jadi, jumlah dan harga keseimbangan pasar adalah E (2,12).Selanjutnya, berdasarkan fungsi permintaan Pd = 24 – 3 Q2 dan fungsi penawaran Ps = Q

2 + 2Q + 4, maka gambar dari keseimbangan pasar dapat digambarkan seperti dibawah. s

Q2

(3,19)

P =24 – 3Q

2,83

0

4

1

8

16

24

P

20

12 E 1(2,2)

P =q2 + 2Q + 4

FUNGSI PENERIMAAN TOTAL

Penerimaan total dari suatu perusahaan (produsen) adalah hasil kali antara per unit produk dengan jumlah produk yang dijual, atau rumusnya adalah,

TR = P . Qdimana : TR = Penerimaan Total

Q = Jumlah produk yang dijualP = Harga produk per unit

Jika fungsi permintaan linier dan menurun dari kiri atas ke kanan bahwa berarti harga P tidak tetap, maka penerimaan total (TR) akan berbentuk fungsi kuadrat. Jadi, bila fungsi permintaan dinyatakan oleh P = b – aQ, maka akan diperoleh persamaan penerimaan total,

TR = P . QTR = ( B – aQ)QTR = bQ – aQ2

Fungsi penerimaan total bila digambarkan dalam bidang koordinat akan berbentuk kurva parabola yang terbuka ke bawah dan memotong sumbu Q di dua titik, yaitu : Q = 0 danxxx. Karena puncak yang maksimum, yaitu :

Titik Puncak

Contoh Diketahui fungsi permintaan P = 20 – 2Q, carilah penerimaan total maksimum dan gambarkanlah kurva dan penerimaan total dalam satu diagram!

a4D

,a2b

Penyelesaian : TR = PQTR = (20 – 2Q)QTR = 20Q – 2Q2

TR = Maksimim

Jika TR = 0, maka 20Q – 2Q2 = 02Q (10–Q) = 0

Q1 = 0

Q2 = 10

Kurva penerimaan total ini ditunjukkan oleh Gambar di bawah.

)2(4)20(

,)2(2

20 2

)50,5(8

)400(,

420

Q2

P =20 – 2Q

0

10

1

(0,20) 20

50

P, TR

40

308,30

TR = 20Q – 2Q2

3 4 5 6 7 8 9 10

(10,0)(0,0)

2,30

(5, 50)

KURVA INDEFERENS

Kurva indiferens menunjukkan titik-titik kombinasi dari barang X dan Y yang dapat membrikan tingkat kepuasan atau utilitas total yang sama bagi konsumen. Kurva indiferens dapat diperoleh dari fungsi utulitas yang berbentuk,

U = f (X, Y)dimana : U = Tingkat utilitas atau kepuasan total

konsumen. X = Jumah barang X yang dikonsumsi X = Jumah barang Y yang dikonsumsi

Bila kurva indiferens ini digambarkan dalam bidang koordinat Cartesius, maka akan tampak seperti gambar dibawah.

F (X, Y) = U

B (X2, Y2)

A (X1, Y1)

X

Y

X2X10

Y2

Y1

f3 (X, Y) = U3

X

Y

X2X1

0

Y2

Y1

A C D

B

X3

f2 (X, Y) = U2

f1 (X, Y) = U1

KALKUS DIFERENSIAL : FUNGSI DENGAN SATU

VARIABEL BEBAS • ATURAN DIFERENSIASI: FUNGSI DENGAN SATU VARIABEL BEBAS

Aturan 1 : Fungsi Konstan Derivatif dari suatu fungsi konstan adalah

sama dengan nol. Jika Y = f (X) = K, di mana K adalah suatu konstantamaka = f’ (X) =0.

Contoh 13.3Jika Y = f (X) = 15,Maka = f’ (X) = 0

dY

dX

dY

dX

Aturan 2 : Fungsi Pangkat.Derivatif dari suatu fungsi pangkat adalah pangkat dikalikan dengan koefisien sementara situ pangkatnya dikurangi satu.

Jika Y = f (X) = Xn, di mana n adalah bilangan nyata, maka = f’ (X) = nXn-1

Contoh 13. 14Jika Y = X3, maka = 3X2

Contoh 13.15 Jika Y = X0, maka = 0Contoh 13.16Jika Y = , maka = 4X-5 = -

dY

dX dY

dX

1

X4

dY

dX

dY

dX 4

X5

Contoh 13.17Jika Y = = X1/2, maka

Aturan 3 : Konstanta kali dengan fungsi pangkat. Jika Y = f(X) = KXn, di mana K adalah

Konstana maka = f’(X) = n.KXn-1

Contoh 13.18 Jika Y = f (X) = 3X2 = = 6XContoh 13.19Jika Y = f (X) = , maka dapat ditulis Y = 2X3

Sehingga = -6X-4=

XX2

1X

21

dXdY

21/

dY

dX dY

dX 2

X3

dY

dX

-6

X4

Aturan 4: Penjumlahan atau Pengurangan dari suatu Fungsi. Derivatif dari suatu penjumlahan atau pengurangan adalah sama dengan penjumlahan atau pengurangan dari derivat-derivat itu. Jika Y = f(X) + g(X), di mana f dan g dapat didiferensiasikan, maka = f’(X) + g’(X)

Contoh 13.20 Jika Y = X2 + 6X. Ini berarti f(X) = X dan g(X) = 6X, maka

f’(X) = 2X dan g’(X) = 6, sehingga

= f’(X) + g’(X) = 2X +6

dY

dX

dY

dX

Aturan 5 : Hasil Kali Fungsi Derivatif dari hasil kali dua fungsi yang dapat didiferensiasikan adalah sama dengan fungsi pertama dikalikan dengan derivatif dari fungsi yang kedua ditambah fungsi kedua dikalikan dengan derivatif dari fungsi yang pertama. Jika Y = U.V, di mana U = f(X) dan V = g(X), atau Y = [f(X).g(X)]. maka = [f(X).g’(X)+(X).f’(X)] atau =UV + VU

Contoh 13.21 Jika Y = f(X) = (X2+4) dan Y = g(X)=(X+3) Atau Y = (X2+4) (X+3)

dY

dX

dY

dX

Maka : = [f(X).g’(X) + g(X).f’(X)]

= (X2+4) (1) + (X+3)(2X)

= X2+4+6X+2X2

= 3X2 + 6X + 4

dXdY

dXdY

dXdY

dXdY

Aturan 6 : Hasil Bagi Derivat dari hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan hasil kali derivatif fungsi pembilang dengan fungsi penyebut dikurangi hasil kali fungsi pembilang dengan derivatif fungtsi penyebut, dan kesemuanya ini dibagi dengan kuadrat dari fungsi penyebutnya.

Jika Y = , di mana U = f(X) dan V = g(X) atau Y =

Maka = atau =

Contoh 13.22 Jika Y =

VU

)(

)(

Xg

Xf

dXdY

2)]X(g[)X('g).X(f[)]X(g).X('f[

dXdY

2VUVV'U

?dXdY

carilah,)3X()4X( 2

9X6X4X6X

)3X()]4XX6X2[(

)3X()]1)(4X[)]3X)(X2[(

dXdY

2

2

3

22

2

2

ATURAN DIFERENSIASI FUNGSI DENGAN DUA VARIABEL BEBAS

Aturan diferensiasi fungsi dengan dua variabel bebas yang berbeda mencakup fungsi berantai, fungsi yang dipangkatkan, dan fungsi inverse.

Aturan 7 : Fungsi Berantai Jika Y= f(U) dan U = g(X), di mana kedua fungsi ini dapat didiferensiasikan, maka

Fungsi berantai ini sering juga disebut sebagai fungsi dari suatu fungsi atau fungsi gabungan. Hal ini dikarenakan bahwa kedua fungsi, dan ditulis menjadi Y = f[g(X)].

Contoh 13.23Jika Y=5U2, di mana U = 3X + 4, maka = (10U) (3) = 30U = 30(3X+4)

= 90X + 120

)]X('g).U('f[dXdY

atau)dXdU

.dUdY

(dXdY

)dXdU

.dUdY

(dXdY

ELASTISITAS HARGA DARI PERMINTAAN

Qdx,t = f (Pxt) atau disingkat Qdx= f (Px)

Ehd,x =

XbarangaarghpersentasePerubahanXbarangdariinyadimyangjumlahpersentasePerubahan

atauP

P.

QQ

PP

QQ

PPP

QE

QQ

1

hd

1

QP

.PQ

Ehd

QP

.

dQdP

1E

hd

1. Jika |Ehd| <1, permintaan di titik itu adalah inelastis terhadap harga.

2. Jika |Ehd| =1, permintaan di titik itu adalah unitary terhadap harga.

3. Jika |Ehd| >1, permintaan di titik itu adalah elastis terhadap harga.

4. Jika |Ehd| =0, permintaan di titik itu adalah inelastis sempurna terhadap harga.

5. Jika |Ehd| =∞, permintaan di titik itu adalah elastis sempurna terhadap harga.

D

P

Q

Ehd>1

(a) Elastis

D

P

Q

Ehd=1

(b) Unitary

D

P

Q

Ehd<1

(c) Enelastis

D

P

(d) Elastis Sempurna

Ehd>∞

Q

D

P Ehd=0

(e) Enelastis Sempurna Q

Contoh 15.1 Jika fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh Q = 150 – 3P, berapakah elastisitas permintaannya jika tingkat harga P = 40, P dan P = 10?

PenyelesaianJika P = 40, maka Q = 30 dan = -3

Jika P = 25, maka Q = 75

Jika P = 10, maka Q = 120

dPdQ

)unitary(1|1|7525

3QP

.dPdQ

|E|h

)elastis(4|4|3040

3QP

.dPdQ

|E|h

)inelastis(41

|41

|12010

3QP

.dPdQ

|E|h

ELASTIS HARGA DARI PENAWARAN

Qsx,t= f(Px,t) atau disingkat Qsx = f(Px)

1. Jika Ehs = 0, maka penawaran inelastis terhadap harga.

2. Jika Ehs < 1, maka penawaran inelastis terhadap harga.

3. Jika Ehs = 1, maka penawaran unitary terhadap harga.

4. Jika Ehs > 1, maka penawaran elastis terhadap harga.

5. Jika Ehs=∞, maka penawaran elastis sempurna terhadap harga.

P

Q

Ehs>1S

P

Q

P

Q

Ehs<1

P

Ehs=∞

Q

P

Ehs=0

Q

S

0

Ehs=1

0

S

0

S

0

S

0

BIAYA TOTAL, RATA-RATA, DAN MARGINAL

TC = f (Q) Di mana : TC = Biaya total

Q = Jumlah produk yang dihasilkan

Dan biaya marginal, MC, dapat didefenisikan sebagai tingkat perubahan dari biaya total, TC, terhadap perubahan satu unit produk yang dihasilkan, Q dan dinyatakan oleh,

Q)Q(f

QTC

AC

)Q('fdQ

dTCMC

Berbagai macam fungsi dapat digunakan untuk menyatakan fungsi biaya. Tetapi fungsi-fungsi biaya ini harus mengikuti asumsi-asumsi dalam teori ekonomi sebagai berikut :

1. Jika tidak ada produk yang dihasilkan, biaya total adalah nol atau positif, yaitu f (0) > 0. f (0) ini merupakan biaya tetap atau sering disebut biaya overhead produksi.

2. Biaya total harus meningkat bilamana Q bertambah, sehingga biaya marginal f’ (Q) selalu positif.

3. Biaya total untuk memproduksi sejumlah produk tertentu dalam jumlah yang sangat besar biasanya mencapai titik dimana titik ini meningkat dengan laju yang makin tinggi. Dengan demikian, kurva biaya total akan cekung ke atas, yaitu f” (Q)>0. akan tetapi, dalam suatu range tertentu (terbatas) kurva biaya total sering kali lengkung ke bawah, sesuai dengan biaya marginal yang menurun, dan keadaan ini sering terjadi.

FUNGSI BIAYA TOTAL LINIER

Jika fungsi biaya total linier adalah, Tc = aQ + b, di mana a>0,b> 0, maka

Biaya rata-rata, AC =

Biaya marginal, MC,

Biaya rata-rata marginal, MAC =

Q

bA

Q

TC

aQ

dTC

2Q

b

Q

dTC

TC, AC, MC

AC = a + b/Q

Q0

TC = aQ + b

FUNGSI BIATA TOTAL KUADRAT

Jika fungsi biaya total kuadrat adalah, TC = aQ2 + bQ + c, di mana a > 0,b > 0, c >0, maka

Biaya rata-rata,

biaya marginal,

biaya rata-rata marginal,

,Q

cbaQ

Q

TCAC

dan,baQ2Q

dTCMC

,Q

ca

Q

dACMAC

2

Q

AC, MC

0

AC = aQ + b(c/Q)

MC =23 aQ

bac2;

c

a

(0,b)

Q

TC

0

T`C = aQ + b(c/Q)

a4

2bC;

a2

b

(0,c)

PENERIMAAN TOTAL, RATA-RATA, DAN MARGINAL Jika fungsi permintaan P = f(Q), dimana P adalah harga produk per unit dan Q adalah jumlah produk yang diminta, maka penerimaan total TR, adalah hasil kali antara jumlah produk yang diminta atau yang terjual dengan harga produk per unit, atau dapat dirumuskan menjadi

TR = P . Q = f (Q).QPenerimaan rata-rata, adalah penerimaan total TR dibagi dengan jumlah produk yang terjual Q, dan rumusnya adalah,

Jadi, penerimaan rata-rata, AR, sama dengan harga produk per unit, P, juga sama dengan fungsi permintaan, sehingga dapat ditulis kembali rumusnya menjadi,

AR=P=f (Q)Selanjutnya, penerimaan marginal dapat didefinisikan sebagai tambahan penerimaan total yang diakibatkan oleh adanya tambahan satu unit produk yang terjual atau secara matematis adalah derivatif pertama dari fungsi penerimaan total terhadap Q, dan rumusnya adalah,

PQ

Q.P

Q

TRAR

)Q('fQ

dTRMR

HUBUNGAN ANTARA PENERIMAAN MARGINAL DAN ELASTIS HARGA PERMINTAAN

Elastisitas harga dari permintaan adalah,

Substitusikan nilai ini kedalam Persamaan (15.11), akan diperoleh hasil,

)Q(dQ

dPP

dQ

)Q.P(d

dQ

dTRMR

Q

P.

dP

dQEhd

QdQdP

P

Q

P.

dQdP

1Ehd

QE

P

dQ

dP

hd

QQE

PPMR

hd

QE

PPMR

hd

Dengan demikian, penerimaan margimal adalah hasil kali antara harga produk per unit dengan satu dikurangi kebalikan dari elastisitas harga permintaan. Jadi,

1. Jika Ehd = 1 dan P>0, maka MR = 0

2. Jika Ehd > 1 dan P>0, maka MR > 0

3. Jika Ehd < 1 dan P>0, maka MR < 0

Penerimaan marginal MR dan elastisitas Ehd ini bila dihubungkan dengan penerimaan total TR akan diperolah :

4. Jika Ehd = 1, maka MR = 0, sehingga penerimaan total TR akan maksimum.

5. Jika Ehd >1, maka MR>0, sehingga penerimaan total TR akan selalu menaik.

6. Jika Ehd <1, maka MR<0, sehingga penerimaan total TR akan selalu menurun.

maka,negatifbernilaiEkarena,E

11PMR hd

hd

hdE

11PMR

Contoh 15.6 Jika diketahui fungsi permintaan seorang monopoli adalah P=18-3Q, carilah penerimaan total maksimum? Gambarkanlah kurva AR, MR, dan TR dalam satu diagram!

Penyelesaian : TR = P.Q

= (18 – 3Q)Q=18Q – 3Q2 18 – 6Q = 0 6Q = 18 Q = 3

Substitusikan nilai Q = 3 ke dalam persamaan TR, sehingga diperoleh TRmaks = 18 (3) – 3(3)2

= 54 – 27= 27

dQ

dTR

)maksimum(06dQ

TRd2

2

Jadi, total penerimaan maksimum adalah 21dan jumlah produk yang harus dijual Q=3.

Jika Q = 0, maka TR = 0, sehingga titik potong dengan sumbu TR adalah (0,0) Jika TR = 0, maka

18Q – 3Q2 = 0Q(18 – 3Q)= 0

Q1 = 0, sehingga titik potong sumbu Q adalah (0,0)

18 – 3Q = 0 Q2 = 6, sehingga titik potong sumbu Q adalah (6,0)

Q618dQ

dTRMR

Q618Q

Q3Q18

Q

TRAR 2

2Q3Q18TR

TC, AC, MC

Q

5

10

15

1820

25

30

1 2 3 4 5 6

(5,15)

TR = 18Q – 3Q2

(6,0)

(3, 27)

(1,15)

P= 18 – 3Q

0

LABA MAKSIMUM Setelah kita mempelajari berbagai fungsi biaya dan fungsi penerimaan dari suatu perusahaan pada subbab sebelumnya, maka sekarang kita bisa menentukan besar-kecilnya laba (Profit). Ternyata laba yang diinginkan oleh suatu perusahaan atau seorang produsen adalah laba yang maksimum. Laba adalah selisih antara penerimaan total dengan biaya total, atau secara matematika dapat dinyatakan dengan rumus,

=TR – TC atau = (P.Q) – (AC.Q)di mana : = Laba

TR= Penerimaan total TC= Biaya total

Ingat bahwa baik TR maupun TC adalah fungsi dari Q. oleh karena itu, untuk memperoleh tingkat Output Q yang dapat memaksimumkan laba kita harus memenuhi syarat pertama yang diperlukan. (necessary condition) untuk suatu maksimum yaitu : Mendiferensialkan fungsi laba terhadap Q, kemudian disamakan dengan nol. Hasilnya adalah,

Karena maka persamaan di atas, dapat ditulis kembali menjadi, MR = MC Jadi, syarat pertama untuk suatu output Q yang optimum secara ekonomi adalah penerimaan marginal sama dengan biaya marginal. tetapi syarat yang pertama ini belum menjamin adanya suatu maksimum, bisa juga suatu minimum. Oleh karena itu, kita harus memeriksa lebih lanjut syarat kedua yang mencukupkan (sufficent condition), yaitu : derivatif kedua dari fungsi laba terhadap Q harus lebih kecil nol. Hasilnya adalah,

atau0dQ

d

0dQ

)TCTR(d

0dQ

dTC

dQ

dTR

dQ

dTC

dQ

dTR

,MCdQ

dTCdanMR

dQ

dTR

Karena , maka persamaan di atas, dapat ditulis kembali menjadi,

dMR < dMCjadi syarat yang kedua dMR < dMC adalah cukup untuk membuat suatu output Q yang memaksimumkan laba. Secara ekonomi ini berarti bahwa bila tingkat perubahan MR lebih kecil dari tingkat perubahan MC pada output Q di mana MR = MC, maka tingkat output Q tersebut akan memaksimum laba.

atau0dQ

d2

2

0dQ

TCd

dQ

TRd2

2

2

2

,dMCdQ

TCddandMR

dQ

TRd2

2

2

2

TR = f(Q) = R(Q)

TC = f(Q) = C(Q) Laba

Rugi MR

H

MCJ

Mg

Rugi

Q (a)

TR, TC

0 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5

= R(Q) - C(Q)

K

Q1 Q2 Q3 Q4

0

M

Q (b)

Q (c)

MC = f(Q)

dMR < dMC- +

MR = f(Q)

Q3 Q1 0

N

MR, MC

Contoh 15.8Jika diketahui fungsi permintaan dari suatu perusahaan P = 557 – 0,2Q dan fungsi biaya total adalah TC = 0,05Q3 – 0,2Q2 + 17Q + 7000, maka :

a. Berapakah jumlah output yang harus dijual agar supaya produsen memperoleh laba yang maksimum?

b. Berapakah laba maksimum tersebut?c. Berapakah harga jual per unit produk?d. Berapakah harga total yang dikeluarkan oleh perusahaan?e. Berapkaah penerimaan total yang diperoleh dari perusahaan?

Penyelesaian : TR = P.Q = (557 – 0,2Q)Q =557Q – 0,2Q2

= TR – TCp = TR – TC p = (557Q – 0,2Q2) – (0,05Q3 – 0,2Q2 + 17Q + 7000) = 0,15Q2 + 540= 0 0,15Q2 = 540 Q2 = 3.600 Q = = + 60 = -0,3Q

Jika Q = 60, maka = 0,3 (60) = - 18 < 0 (Maksimum)

2

2

dQ

d

600.3

dQ

d

2

2

dQ

d

Jadi, maks = -0,05 (60) 3 + 540 (60) + 7.000= -0,05 (216.000) + 32.400 + 7.000= -10.800 + 32.400 + 7.000 = 14.600

Karena Q = 60, maka P = 557 – 0,2 (60) = 557 – 12 = 545TC = 0,05 (60) 3 – 0,2 (60) 2 + 17 (60) + 7.000 = 18.100TR = 667 (60) – 0,2 (60) 2 = 32.700

Jadi, dapat disimpulkan bahwa perusahana harus menjual produknya seharga Rp. 545 per unit, dengan jumlah produk sebanyak 60 unit agar dapat memaksimumkan laba sebesar Rp. 14.600 di mana penerimaan total perusahaan adalah Rp. 32.700 dan biaya total yang dikeluarkan adalah sebesar Rp. 18.100.