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Mikrookonomik B1. Intertemporale Entscheidung
Paul Schweinzer
23. April 2009.
Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Intertemporale Entscheidung
◮ Literaturangaben:◮ Varian (2007), Kapitel 10, 11 und 30.3.
◮ Ausgangspunkt: Konsumententheorie, d.h.Konsumentscheidung uber die Zusammensetzungverschiedener Guterbundel.
◮ Alternative Interpretation: Entscheidung uberKonsumzeitpunkte (Intertemporale Entscheidungstheorie).
◮ Anwendungen: Investitions- und Sparentscheidungen, Finanz-und Kreditmarkte, Makrookonomie.
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Notation
◮ Es gebe T ∈ N verschiedene Zeitperioden.
◮ xt bezeichnet Anzahl an Einheiten eines Gutes in Periode t.
◮ Es wird nur ein (beliebig teilbares) Gut betrachtet, es konntez.B. stellvertretend fur einen Warenkorb stehen.
◮ Der Vektor x = (x1, x2, . . . , xT ) ist ein Konsumplan.
◮ Die Konsummenge X beschreibt die Menge aller moglichenKonsumplane, d.h. es gilt: x ∈ X . X beschreibt dieKonsummoglichkeiten eines Konsumenten.
◮ Eigenschaften: X sei eine abgeschlossene, beschrankte undkonvexe Teilmenge des R
T+ und enthalte 0.
◮ Ublicherweise Einschrankungen beim tatsachlichen Konsumz.B. durch begrenztes Budget ⇒ Budgetmenge.
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Budgetmenge
◮ Analog zur Konsumententheorie kann Konsument nur solcheKonsumplane wahlen, deren Gesamtpreis das verfugbareEinkommen des Konsumenten nicht ubersteigen.
◮ Preis: pt > 0 bezeichnet den Preis des Gutes in Periode t.
◮ Einkommen: mt ist das exogen gegebene monetareEinkommen eines Konsumenten in Periode t.
◮ Formal heißt das, der Konsument kann nur solcheKonsumplane x wahlen, die in der Budgetmenge B liegen.B enthalt alle xtpt , die kleinergleich dem zum Zeitpunkt t
verfugbaren Einkommen sind.
◮ B wird davon abhangen, ob Einkommen in Periode t inandere Perioden ubertragen werden kann.
◮ D.h., welche Instrumente der Kapitalmarkt bereitstellt (z.B.Sparkonten, Kredite, Renten. . . ).
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Budgetmenge ohne Kapitalmarkt
◮ Annahme: Ein Kapitalmarkt existiert nicht, Perioden-Einkommen mt kann nur in Periode t ausgegeben werden.
◮ Was ist die Budgetmenge B?
◮ Alle Konsumplane x , so dass die Kosten das Einkommen injeder Periode t nicht ubersteigen:
B = {x ∈ X : p1x1 ≤ m1, p2x2 ≤ m2, . . . , pT xT ≤ mT}.
◮ Das Optimierungsproblem ist trivial:Falls mehr Konsum besser ist, fallt der optimale Konsumplanmit dem verfugbaren Einkommen zusammen.
◮ Ist dieses Szenario realistisch?
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1 x1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2 x
2
Budgetmenge B
m2/p
2
m1/p
1
(m1/p
1,m
2/p
2)
m2/p
2 +
(1+r)m1/p
2
(m2/(1+r)+m
1)/p
1
Anfangs-Einkommen m1
und m2 bestimmen einenKonsumplan x1 = m1/p1
und x2 = m2/p2, der in derBudgetmenge liegen muß.
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1 x1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2 x
2
Budgetmenge B
m2/p
2
m1/p
1
(m1/p
1,m
2/p
2)
m2/p
2 +
(1+r)m1/p
2
(m2/(1+r)+m
1)/p
1
Budgetmenge beiEinkommen m1 und m2
ohne Zugang zumKapitalmarkt: x1 ≤ m1/p1
und x2 ≤ m2/p2.
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Budgetmenge mit Kapitalmarkt
◮ Annahme: ein Sparmarkt existiert, in jeder Periode kann zumZinssatz 1 + r Einkommen fur die Dauer von einer Periodeangelegt werden. Es gibt keine Kredite.
◮ Falls ein Betrag y in Periode t angelegt wird, steht in Periodet + 1 ein Betrag von (1 + r)y zur Verfugung.
◮ Manchmal wird 1 + r Brutto-Zinssatz und r derNetto-Zinssatz genannt.
◮ Was ist die Budgetmenge B?
B = {x ∈ X : p1x1 ≤ m1,
p2x2 + (1 + r)p1x1 ≤ m2 + (1 + r)m1, . . . ,T∑
t=1
(1 + r)T−tptxt ≤T∑
t=1
(1 + r)T−tmt}.
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1 x1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2 x
2
Budgetmenge B
m2/p
2
m1/p
1
(m1/p
1,m
2/p
2)
m2/p
2 +
(1+r)m1/p
2
(m2/(1+r)+m
1)/p
1
-(1+r)p1/p
2
Einkommen in t = 1 kannnach t = 2 ubertragenwerden, aber nichtumgekehrt.
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Budgetmenge
◮ Annahme: vollstandiger Kapitalmarkt, in jeder Periode kannzum Zinssatz 1 + r Einkommen fur die Dauer von einerPeriode angelegt oder ausgeliehen werden.
◮ Einkommen kann vorwarts und ruckwarts durch die Zeitreisen.
◮ D.h., wir haben relative Preise fur Periodeneinkommen undkonnen das Lebens-Einkommen in allen Perioden auch inEinkommen in einer beliebigen Periode t ausdrucken.
◮ Z.B. in t = 1 Einkommen:
y = m1 +m2
1 + r+
m3
(1 + r)2+ . . . +
mT
(1 + r)T−1.
◮ y nennt man auch Barwert (Gegenwartswert) desEinkommensstroms m1,m2, . . . ,mT .
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Budgetmenge
◮ Nachdem Perioden-Einkommen beliebig in andere Periodentransferiert werden kann, ergibt sich die Budgetmenge zu
B =
{
x ∈X : p1x1 +p2x2
1+r+ . . . +
pT xT
(1+r)T−1≤
T∑
t=1
mt
(1+r)t−1
}
.
◮ Das bedeutet: Der Barwert der Kosten eines Konsumplans x
darf den Barwert des verfugbaren Lebenseinkommens nichtubersteigen.
◮ Analogie zur Konsumentscheidung bei mehreren Gutern ineiner Periode, falls das Einkommen durch eineAnfangsausstattung an Gutern gegeben ist. Wie dort wird hierdas Einkommen endogenisiert.
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1 x1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2 x
2
Budgetmenge B
m2/p
2
m1/p
1
(m1/p
1,m
2/p
2)
m2/p
2 +
(1+r)m1/p
2
(m2/(1+r)+m
1)/p
1
-(1+r)p1/p
2
Einkommen in t = 1 kannnach t = 2 ubertragen werden,und umgekehrt. Budgetmengebestimmt durch
x1p1 +x2p2
1 + r≤ m1 +
m2
1 + r.
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Praferenzen uber intertemporale Konsumplane
◮ Wie uber Guterbundel hat ein Konsument auch Praferenzenuber intertemporale Allokation, also Konsumplane.
◮ Ubliche Annahme: die Praferenzen uber Konsumplane einesKonsumenten sind darstellbar durch eine Nutzenfunktionu(x1, x2, . . . , xT ).
◮ Meist machen wir die folgenden Annahmen◮ konvexe Praferenzen: Fur alle Konsumplane x , x ′ ∈ X ist die
Bessermenge {x ′ ∈ X : u(x ′) ≥ u(x)} konvex,◮ monotone Praferenzen: mehr Konsum eines Gutes ist
(schwach) besser als weniger.
◮ Intuition: Kombination von zwei gleich guten Konsumplanenwird gegenuber jedem der beiden Konsumplane praferiert.
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Konvexe Praferenzen graphisch
x1
x2
x'
xu(tx+(1-t)x') > u(x) = u(x')
Indi!erenzkurve
Besser-Richtung
Jede positive Mischungder Konsumplane x undx ′ liegt in der Besser-menge von x .Ausgewogene Konsum-plane werden praferiert.
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Optimale intertemporale Konsumentscheidung
◮ Analog zur Konsumententheorie maximiert der Konsumentseinen Nutzen uber alle Konsumplane in der Budgetmenge:
maxx∈X
u(x) s.d. x ∈ B .
◮ Unter monotones Praferenzen und vollstandigem Kapitalmarktist das Optimierungsproblem
maxx∈X
u(x) s.d.
T∑
t=1
ptxt
(1 + r)t−1=
T∑
t=1
mt
(1 + r)t−1.
◮ Bezeichne die Losung dieses Problems mit x∗.
◮ Graphisch: x∗ ist Tangentialpunkt von Budgetmenge undIndifferenzkurve.
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2
x1
*
m2
m1
x2
* x*
m
Bg
I
Optimaler Konsumplan x∗
ist Tangentialpunkt vonBudgetgerade Bg undIndifferenzkurve I . Wennx∗
1 > m1/p1, dann ist derKonsument Kreditnehmer.
(Vereinfachende Annahme in der Graphik: p1 = p2 = 1.)
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Optimale intertemporale Konsumentscheidung
◮ Ubliche Annahme: Exponentielles Diskontieren
u(x) = u(x1) + δu(x2) + δ2u(x3) + . . . + δt−1u(xt).
◮ δ ist der Diskontfaktor, mit dem zukunftiger Nutzen bewertetwird.
◮ δ mißt Ungeduld eines Konsumenten: je hoher δ, destowichtiger ist dem Konsumenten zukunftiger Konsum imVergleich zu gegenwartigem Konsum.
◮ Vorteil dieser Formulierung: Verhalten des Konsumenten istkonsistent uber die Zeit.
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Optimale intertemporale Konsumentscheidung
◮ Optimierungsproblem mit zwei Perioden:
maxx1,x2
u(x1) + δu(x2) s.d. p1x1 +p2x2
1 + r= m1 +
m2
1 + r.
◮ Aus der Budgetgleichung folgt x2 = (1+r)(m1−p1x1)+m2
p2.
◮ Einsetzen ergibt die Bedingung erster Ordnung
∂u(x1)
∂x1= (1 + r)
p1
p2δ∂u(x2)
∂x2.
◮ Das bedeutet, der Grenznutzen einer Einheit zukunftigenKonsums entspricht genau dem Grenznutzen einer Einheitgegenwartigen Konsums zum Preis (1 + r)p1
p2.
◮ Bedingung erster Ordnung auch hinreichend?
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Veranderung des Zinssatzes
◮ Was passiert bei Anderung des Zinssatzes 1 + r?
◮ Die Kosten fur Kreditaufnahme bzw. die Ertrage ausErsparnissen verandern sich.
◮ D.h. der Preis fur zukunftigen Konsum verandert sich imVergleich zum Preis fur gegenwartigen Konsum.
◮ Dadurch verandert sich die Budgetmenge:◮ Bei einer Zinssenkung kommen kreditfinanzierte Konsumplane
hinzu, ersparte fallen weg.◮ Bei einer Zinserhohung fallen kreditfinanzierte Konsumplane
weg, ersparte kommen hinzu.
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Komparative Statik im Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2
m
x*
x**
B(r1)B(r
2)
−(1 + r1)p1p2
Ausgangssituation:Optimale intertemporaleKonsumentscheidung x∗
bei Einkommen m undZinssatz 1 + r1. K istKreditnehmer in t = 1.
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Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Komparative Statik im Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2
m
x*
x**
B(r1)B(r
2)
−(1 + r2)p1p2
Zinssatz erhoht sich aufr2 > r1.Neue Budgetgerade istDrehung der alten um m.x∗ ist nicht mehr in derBudgetmenge enthalten.
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Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Komparative Statik im Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2
m
x*
x**
B(r1)B(r
2)
Optimaler Konsumplan istnun x∗∗. Zinserhohung be-wirkt Konsumverlagerungvon Periode 1 nach 2—hier so stark, dass KKreditgeber wird.
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Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Veranderung des Zinssatzes
◮ Im graphischen Beispiel bewirkt die Zinserhohung, daßzukunftiger Konsum billiger wird und der Konsument dengegenwartigen Konsum einschrankt.
◮ Muss der gegenwartige Konsum immer sinken, wenn derZinssatz steigt?
◮ Um diese Frage zu beantworten, konnen wir dieSlutsky-Gleichung benutzen.
◮ Zur Erinnerung: Die Slutsky-Gleichung besagt, dass dieNachfrage-Anderung nach einem Gut im eigenen Preis sich inSubstitutionseffekt und Einkommenseffekt aufteilen laßt.
◮ Der Substitutionseffekt ist der Preisanderung entgegengesetzt.
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Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Veranderung des Zinssatzes
◮ Eigener Preis: Preis fur eine Einheit x1 ist p1(1 + r) gemessenin monetarem Einkommen in Periode 2.
◮ Slutsky-Gleichung formal:
∂x∗
1
∂p1(1+r)︸ ︷︷ ︸
=∂xh
1
∂p1(1+r)︸ ︷︷ ︸
+
(m1
p1− x∗
1
)∂x∗
1
∂m︸︷︷︸
,
Nachfrageanderung = Substitutions- + Einkommenseffekt
◮ Einkommenseffekt: Anderung von 1 + r wirkt auf Einkommenm1 und Konsum x1, Nettoeffekt ist entscheidend.
◮ Falls Zinssatz steigt und Konsum ein normales Gut:Substitutionseffekt ist negativ und Einkommenseffekt positiv.
◮ D.h. Kreditnehmer werden ihren gegenwartigen Konsumverringern, Kreditgeber konnten ihn auch erhohen.
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Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Slutsky-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2
x**
1x
*
1
x*
x**
B(r1)B(r
2)SE
EE
m
m1
xh
1
Ausgangssituation:optimale intertemporaleKonsumentscheidung x∗ beiEinkommen m und Zins r1.Konsument ist Kreditgeber.
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Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Slutsky-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2
x**
1x
*
1
x*
x**
B(r1)B(r
2)SE
EE
m
m1
xh
1
Zinserhohung auf r2 > r1,neue Budgetgerade istDrehung der alten um m.
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Slutsky-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2
x**
1x
*
1
x*
x**
B(r1)B(r
2)SE
EE
m
m1
xh
1
Substitutionseffekt xh1 − x∗
1 :Budget wird so angepasst,dass der alte Nutzen geradeerreicht wird, ergibt xh
1 .
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Slutsky-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall graphisch
Konsum in Periode 1
Ko
nsu
m in
Pe
rio
de
2
x**
1x
*
1
x*
x**
B(r1)B(r
2)SE
EE
m
m1
xh
1
Neuer optimaler Konsum-plan x∗∗ bei r2 ergibt Ein-kommenseffekt x∗∗
1 − xh1 .
Gesamteffektx∗∗
1 − x∗
1 = SE + EE .
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Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Inflation
◮ Preis des Konsumgutes in Periode t ist gegeben mit pt .
◮ D.h. Guterpreise konnen im Zeitablauf steigen (Inflation) odersinken (Deflation).
◮ Bezeichne die Preissteigerung von einer Periode t auf Periodet + 1 mit 1 + π = pt+1
pt.
◮ Wir nennen π die Inflationsrate.
◮ Fur jede Einheit des Konsumsgutes, die in t gespart wird,erhalt man in t + 1
pt
pt+1(1 + r) =
1 + r
1 + π≡ 1 + ρ
Einheiten des Gutes.
◮ Wir nennen ρ den Realzinssatz und r den Nominalzinssatz.
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Inflation
◮ Der nominale Zinssatz r gibt den monetaren Zinsertrag an,wahrend ρ den Zinsertrag in Guter-Einheiten angibt.
◮ Zusammenhang:
1 + r = (1 + ρ)(1 + π),
ρ =r − π
1 + π≈ r − π.
◮ Wer profitiert von steigender Inflation, Kreditnehmer oderKreditgeber?
◮ Bei steigender Inflation erfordern monetare Zahlungs-versprechen in der Zukunft weniger Einsatz von realen Gutern(z.B. Arbeit), also profitieren Schuldner.
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Barwert
◮ Bewertung von zukunftigem Einkommen?
◮ Zum Beispiel zwei beliebige Einkommensstromem = (m0, . . . ,mT ) und m′ = (m′
0, . . . ,m′
T ).
◮ Annahme: vollstandiger Kapitalmarkt, Zinssatz fur einePeriode ist 1 + r und bleibt konstant uber alle Perioden.
◮ Einfache Methode, um m und m′ zu vergleichen: Den Wertbeider Zahlungsstrome in einer vorgegebenen Periode t zuvergleichen.
◮ Der Barwert ist der Wert in der ersten Periode t = 0:
BW (m) = m0 +m1
1 + r+
m2
(1 + r)2+ . . . +
mT
(1 + r)T.
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Barwert & Zukunftswert
◮ Der Wert eines Einkommenstroms in einer Periode t > 1 istein Zukunftswert:
ZWt(m)=(1+r)tm0+(1+r)t−1m1+. . .+(1+r)t−T mT .
◮ Falls BW (m) > BW (m′), dann
- gilt dasselbe fur alle Zukunftswerte ZWt(m) > ZWt(m′),
t = 1, 2, . . . ,T und- jeder Konsument mit monotonen Praferenzen (d.h. mehr
Konsum ist besser) wird m gegenuber m′ vorziehen.
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Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Barwert einer ewigen Rente (Annuitat)
◮ Betrachten wir eine unendliche Folge von gleich hohen Aus-zahlungen m, z.B. aus Landwirtschaft, am Periodenende.
◮ Kann man auch diesen (Haushalts-)Einkommensstrom mittelsBarwertes bewerten und vergleichen?
◮ Bei konstantem Zinssatz 1 + r ergibt sich der Barwert zu
BW (m)=0 +m
1+r+
m
(1+r)2+
m
(1+r)3+ . . .
BW (m)=1
1+r
(
m +m
1+r+
m
(1+r)2+ . . .
)
=m + BW (m)
1+r.
◮ Also ist der Barwert der ewigen Rente m: BW (m) =m
r.
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Beispiel
◮ Angenommen Sie erhalten das Angebot, 10 Euro sofort zubekommen und dafur den Rest des Semesters pro Woche 1Euro zuruckzahlen (TG hatte noch 11 Wochen).
◮ Zahlungsstrom:m = (10,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1).
◮ Ist das ein gutes Geschaft?
◮ Dispositionkredit hat Zinssatz von ca. 1 % im Monat, alsoetwa 0, 25 % pro Woche.
◮ Barwert:
BW (m) = 10 −
11∑
t=1
1
(1, 0025)t= −0, 84.
◮ Angebot impliziert Zinssatz von mehr als 1, 7 % pro Woche.
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Wertpapiernachfrage
◮ Finanzinstrumente darstellbar als Zahlungsstrome der Art(m0,m1, . . . ,mT ).
◮ m mit m0 ≫ 0 und mt < 0 fur t > 0 kann z.B. einenRaten-Kredit darstellen.
◮ Bei Anleihen gilt das Gegenteil, z.B. m0 ≪ 0, mt > 0 fur0 < t < T und mT ≫ 0 (m0 ist Kaufpreis in t = 0).
◮ Falls Kapitalmarkt vollstandig mit Zinssatz 1 + r , sindZahlungsstrome anhand ihrer Barwerte vergleichbar.
◮ BW (m) > BW (m′) impliziert, dass Budgetmenge unter m dieunter m′ strikt enthalt. Also zieht jeder Konsument mit strengmonotonen Praferenzen m gegenuber m′ strikt vor.
◮ Man sagt, m dominiert m′.
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Arbitrage
◮ Annahme: Zahlungsstrom m eines Wertpapiers dominiert deneines anderen m′. Was folgt fur die Wertpapiernachfrage?⇒ m′ wird nicht nachgefragt.
◮ Angenommen Konsumenten konnen Zahlungsstrome auchverkaufen (man denke z.B. an Kredite).
◮ Was halten Sie von folgenden Plan: Zahlungsverprechen m′
abgeben und Einkommensstrom m akzeptieren.
◮ Barwert dieses Planes: BW (m) − BW (m′) > 0, egal obBW (m) positiv oder negativ.
◮ D.h. jeder Konsument wird gleichzeitig m nachfragen und m′
anbieten, sooft wie moglich.
◮ Also konnen m und m′ nicht beide gehandelt werden.
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Arbitrage
◮ Allgemein: Falls sich durch geschicktes Kombinierenverschiedener Zahlungsstrome mit Sicherheit ein positiverBarwert erreichen laßt, nennt man dies eine Moglichkeit furArbitrage.
◮ Wir erwarten, dass fur alle Wertpapiere, die tatsachlichgehandelt werden, keine solche Arbitragemoglichkeit existiert(Arbitragefreiheit).
◮ Tatsachlich sorgen beispielsweise Hedge-Fonds furArbitragefreiheit auf Kapitalmarkten.
◮ Theoretische Implikation: Alle sicheren Zahlungsstrome, diegehandelt werden, mussen den gleichen Barwert haben!
◮ Annahme dabei: keine Transaktionskosten.
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Diskussion
◮ Intertemporale Konsumentscheidung entspricht Wahl zwischenGutern ”Konsum heute”und ”Konsum morgen”.
◮ Gangige Annahme: Praferenzen der Form
u(x) =T∑
t=0
δtu(xt).
◮ δ nennt man Diskontfaktor, kann als Geduld interpretiertwerden:
◮ δ < 1: zukunftiger Konsum wird niedriger bewertet alsheutiger,
◮ δ > 1: zukunftiger Konsum wird hoher bewertet als heutiger.
◮ Falls Realzinssatz 1 + ρ = 1/δ, wird im Optimum in allenPerioden gleichviel konsumiert.
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Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung
Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion
Diskussion
◮ Wichtige Eigenschaft dieser Praferenzen: δ ist konstant uberdie Zeit (exponentielles Diskontieren).
◮ Vorteil: Optimale Konsumplane sind konsistent.
◮ Beispiel: 3 Perioden, Zinssatz 1 + r und stabile Preise pt = 1.
◮ Grenzrate der Substitution zwischen Periode 1 und 2:
GRS12 =δ ∂u(x2)
∂x2
∂u(x1)∂x1
.
◮ Grenzrate der Substitution zwischen Periode 2 und 3:
GRS23 =δ2 ∂u(x3)
∂x3
δ ∂u(x2)∂x2
= GRS12.
◮ Optimierungsproblem sieht in jeder Periode ”gleich” aus.
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