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Microondas

Tema 5: Diseño de filtros de microondas

Pablo Luis López Espí

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Microondas ITT-ST Tema 5

1

Índice

Método de las pérdidas de inserciónRespuestas y prototipos paso bajoTransformaciones en frecuenciaInversores de inmitanciaTransformación de Richards y Equivalencias de KurodaFiltros paso bajo con secciones de líneaFiltro paso alto con stubs en cortocircuitoFiltro paso banda con líneas acopladas

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Microondas ITT-ST Tema 5

2

Método de las pérdidas de inserción

PDG

ZG= Z0

ZL= Z0

Red pasiva y sin pérdidas referida a Z0

ΓIN

( ) ( )2

21 2 2

1

1 1DG

i

DG IN IN

Pl SP

= = =− Γ − Γ

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Microondas ITT-ST Tema 5

3

Funciones de transferencia

Respuesta de un filtro pasivo y sin pérdidas:

Epsilon es una constante de rizado, F() es una función característica y omega es la pulsación.

( ) ( )2

21 2 2

11 n

S jFε

Ω =+ Ω

2 22

21

1( ) 10 log 10 log 1 ( )( )

i ndBL F

S jε⎡ ⎤Ω = = + Ω⎣ ⎦Ω

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Microondas ITT-ST Tema 5

4

Respuestas máximamente plana y elíptica

221 2

1( )1 nS jΩ =+Ω

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Microondas ITT-ST Tema 5

5

Respuesta Chebychev

221 2 2

1( )1 ( )n

S jTε

Ω =+ Ω

1010 1rL

ε = −

1

1

cos( cos ) 1( )

cosh( cosh ) 1n

nT

n

−

−

⎧ Ω Ω ≤⎪Ω = ⎨Ω Ω ≥⎪⎩

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

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6

Prototipos paso bajo en escalera

42g g0g

1g 3g

4gg2

1gg0 3g

(n impar)(n par)

n+1gng

(n par)

n+1g

(n impar)

ng

ng

n+1g gng n+1

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

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7

Prototipo Butterworth

( )

1

1.0

2 12sin 1...

21.0

o

i

n

g

ig para i n

ng

π

+

=

−⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠=

10log 10 1

2log

aL

a

n

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠≥Ω

n g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10

1 2.0000 1.0000

2 1.4142 1.4142 1.0000

3 1.0000 2.0000 1.0000 1.0000

4 0.7654 1.8478 1.8478 0.7654 1.0000

5 0.6180 1.6180 2.0000 1.6180 0.6180 1.0000

6 0.5176 1.4142 1.9318 1.9318 1.4142 0.5176 1.0000

7 0.4450 1.2470 1.8019 2.0000 1.8019 1.2470 0.4450 1.0000

8 0.3902 1.1111 1.6629 1.9616 1.9616 1.6629 1.1111 0.3902 1.0000

9 0.3473 1.0000 1.5321 1.8794 2.000 1.8794 1.5321 1.0000 0.3473 1.0000

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

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8

Prototipo Chebychev

1 2

1.0

coth4

n

para n imparg

para n parβ+

⎧⎪= ⎨ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

( ) ( )

( )

1

1 2 2

2 sin2

2 1 2 34sin sin

2 21 2,3,...1

sini

i

gn

i in n

g para i ng i

n

πγ

π π

πγ−

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =

−⎡ ⎤+ ⎢ ⎥

⎣ ⎦

ln coth17.37

sinh2

rL

n

β

βγ

⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

101

10

1

10 1cosh10 1

cosh

s

r

L

L

a

n

−

−

−

−≥Ω

n g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 g11

1 0.6986 1.0000

2 1.4029 0.7071 1.9841

3 1.5963 1.0967 1.5963 1.0000

4 1.6703 1.1926 2.3661 0.8419 1.9841

5 1.7058 1.2296 2.5408 1.2296 1.7058 1.0000

6 1.7254 1.2479 2.6064 1.3137 2.4758 0.8696 1.9841

7 1.7372 1.2583 2.6381 1.3444 2.6381 1.2583 1.7372 1.0000

8 1.7451 1.2647 2.6564 1.3590 2.6964 1.3389 2.5093 0.8796 1.9841

9 1.7504 1.2690 2.6678 1.3673 2.7273 1.3673 2.6678 1.2690 1.7504 1.0000

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

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9

Prototipo elíptico

3

g0

2g

2g'

g10g

1g g

2g

g'2

g

4g

4g' gn n+1

n-1g

n-1g' gn+1

ggn-1g3

(n par)

n-1g

4g

4g'

gn

g'n-1n+1 ng n+1g

(n impar)

ng

n-1g

(n par) (n impar)

(a)

(b)

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

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10

Prototipo elíptico (II)

n Ω a La dB g1 g2 g’2 g3 g4 g’4 g5

3

1.44931.69492.00002.5000

13.569818.857124.001230.5161

0.74270.83330.89490.9471

0.70960.84390.93751.0173

0.54120.32520.20700.1205

0.74270.83330.89490.9471

4

1.20001.24251.29771.39621.50001.70902.0000

12.085614.125916.534320.301223.737829.534336.0438

0.37140.42480.48770.56750.62820.70940.7755

0.56640.64370.72840.84670.94011.06881.1765

1.09290.89020.71550.52610.40730.27300.1796

1.11941.14451.17281.21381.24711.29431.3347

0.92440.92890.93220.93450.93520.93480.9352

5

1.05001.10001.14941.20001.25001.29871.40851.61291.81822.0000

13.878520.029124.545128.303131.491134.248439.594747.569854.021558.9117

0.70810.81300.87260.91440.94480.96811.00581.04811.07301.0876

0.76630.92421.00841.06521.10601.13661.18621.24161.27411.2932

0.73570.49340.38450.31630.26940.23520.18160.12440.09190.0732

1.12761.22451.30971.38201.44151.49041.57711.68431.75221.7939

0.20140.37190.49910.60130.68290.74890.86381.00311.09031.1433

4.38122.13501.44501.09330.88270.74260.54360.35400.25500.2004

0.04990.29130.43020.52970.60400.66150.75780.86920.93670.9772

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

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11

Transformaciones en frecuencia

Paso bajo Paso alto

' o ii

c

Z LLω

=

' ii

o c

CCZ ω

=

iL

iC

1'ic o i

CZ Lω

=

iC

iL

' oi

c i

ZLCω

=

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

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12

Transformaciones en frecuencia (II)

Paso banda Banda eliminada

iL 'iL 'iC

iC 'iL 'iC

'

'

i oi

o

io i o

L ZL

CL Z

ω

ω

⎧ =⎪ Δ⎪⎨ Δ⎪ =⎪⎩

'

'

oi

o i

ii

o o

ZLCCC

Z

ω

ω

Δ⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪ Δ⎩

'

1'

i oi

o

io i o

L ZL

CL Z

ω

ω

Δ⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪ Δ⎩

'

'

oi

o i

ii

o o

ZLC

CCZ

ω

ω

⎧ =⎪ Δ⎪⎨ Δ⎪ =⎪⎩

iL'iL

'iC

iC 'iL

'iC

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

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13

K K C

C

L

J J

L

(a)

(b)

Inversores de inmitancia

Un inversor de inmitancia esuna red de dos puertas en elque se cumple que:

ó

Es un cuadripolo pasivo,recíproco y sin pérdidas en elque S11 y S22 son reales.El desfase entre puertas hade ser de ± 90º

2

12

KZZ

=2

12

JYY

=

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

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14

C

0Z K0,1

La1

J0Y 0,1

(a)

(b)

1,2K

La2

2,3K n,n+1K

Lan

n+1Z

J JCa1 1,2 a2 2,3 C Jn,n+1an n+1Y

( 1)1 10,1 , 1 , 1

0 1 1 11... 1

, ,ai a io a an ni i n n

i i n ni n

L LZ L L ZK K Kg g g g g g

+ ++ +

+ += −

= = =

( 1)1 10,1 , 1 , 1

0 1 1 11... 1

, ,ai a io a an ni i n n

i i n ni n

C CY C C YJ J Jg g g g g g

+ ++ +

+ += −

= = =

Inversores de inmitancia (II)

Prototipos paso bajo con inversores

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

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15

Inversores de inmitancia (III)

C0Y J0,1 p1L

Z0

CL

K0,1

p3p2Jp1 1,2 Cp2L J2,3 L p3C Jn,n+1 n+1Y

CL

K1,2 2,3K

J2,3

CL

Kn,n+1 Zn+1

(a)

(b)

( 1)0 0 1 0 0 10,1 , 1 , 1

0 1 1 11... 1

, ,si s is sn ni i n n

c c i i c n ni n

L LZ L L ZK K Kg g g g g gω ω ω+ +

+ ++ += −

Δ Δ Δ= = =

Ω Ω Ω

0 0 1 ( 1) 0 100,1 , 1 , 1

0 1 1 11... 1

, ,p pi p i pn ni i n n

c c i i c n ni n

Y C C C C YJ J J

g g g g g gω ωω + +

+ ++ += −

Δ ΔΔ= = =

Ω Ω Ω

s1 s1 s2 s2 sn sn

Prototipos paso banda con inversores

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Microondas ITT-ST Tema 5

16

Transformación de Richards

Fue realizada por Richards en 1948 para sintetizar una red LC mediante líneas de transmisión.

La respuesta en frecuencia de los filtros así diseñados es periódica de periodo 4ωC.

Todos los stubs del filtro tienen la misma longitud eléctrica (λ/8) por este motivo estos filtros se llaman equiproporcionados

( )p

dtg d tgvωβ⎛ ⎞

Ω = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Z = 1/C

CjB

l=λ/8

Z = L

l=λ/8

BC C

XL L

C

jXL

C

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

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17

Equivalencias de Kuroda

Las equivalencias de Kuroda permiten construir físicamente los diseñosrealizados con stubs aplicando la transformación de Richards.

Separar físicamente stubs con líneas de transmisión.Transformando stubs serie en stubs paralelo o viceversa.Cambiando impedancias características irrealizables en otras másapropiadas.

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Microondas ITT-ST Tema 5

18

Equivalencias de Kuroda (II)

1Z2

Z1

Z2

1Z

1n Z1

2

1n Z2

2n

Z1

1Z2n

2 2

1

1 ZnZ

= +

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Microondas ITT-ST Tema 5

19

Equivalencias de Kuroda (III)

2ZZ1 n

Z12n

Z12

1:n2

1Z

Z1

2 n :12

n Z21

1n Z21

2 2

1

1 ZnZ

= +

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Filtro paso bajo con stubs

El filtro de la imagen ha sido diseñado empleando las equivalencias de Kuroda y las transformaciones de Richards

Microondas ITT-ST Tema 5

20Stubs λ/8 en abierto

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Microondas ITT-ST Tema 5

21

Equivalente de una sección de línea:

Filtros con secciones cortas de línea

Para secciones de altaimpedancia y longitud menor de45º, la línea equivale a unabobina. Para secciones de bajaimpedancia equivale a uncondensador.

Ecuaciones de diseño:

Z11 – Z12 Z11 – Z12

Z12

( )( )

11 22

12 21

cot

cosC

C

Z Z jZ g d

Z Z jZ ec d

β

β

= = −

= = −

11 12 2CdZ Z jZ tg β⎛ ⎞− = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

0

0

HG HGHG

LWLW LW

LZdZZ Cd

Z

β

β

=

=

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Filtros con secciones cortas de línea

Microondas ITT-ST Tema 5

ZHG

ZLW

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Microondas ITT-ST Tema 5

23

Filtros con líneas acopladas

Se ajustan los valores de las admitancias características de los inversores J para que las terminaciones sean unitarias y los circuitos resonantes sean todos idénticos

RG = 1

L0 L0C0 C0 RL = 1J01 J12 JN, N+1

0 001

1

CJg

ω Δ= 0 0

, 11 1

i ii

CJg g

ω+

+

Δ= 0 0

, 11

N NN N

CJg gω

++

Δ=

0 1 2

2 1

0

ω ω ωω ωω

=

−Δ =

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Microondas ITT-ST Tema 5

24

Filtros con líneas acopladas (II)

Línea microstrip acoplada

S

1

2Φ = βd = π/2

Z0 Z0J

Φ Φ

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Microondas ITT-ST Tema 5

25

Filtros con líneas acopladas (III)

S1

1

2

Φ = βd = π/2 Φ = βd = π/2

S2

Z0 Z0J

Φ Φ

Z0 Z0J

Φ Φ

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Microondas ITT-ST Tema 5

26

Filtros con líneas acopladas (IV)

Resonador microstrip en lambda/2λ/2

Z0 C0 L0

00

0

00

0

2

2

ZL

YC

πωπω

=

=

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Microondas ITT-ST Tema 5

27

Filtros con líneas acopladas (V)

Acoplamiento de las líneas

20

0

20

0

1

1

e

o

Z J JZZ J JZ

= + +

= + −0 0

0 0

e o

e o

Z ZCZ Z

−=

+0 2 4 6 8

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Distancia entre t

Aco

plam

ient

o (u

nida

des

natu

rale

s)

010 12

Jg gπΔ

= , 11 12i i

i

Jg gπ

++

Δ=

, 112N N

N N

Jg gπ

++

Δ=

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Filtros con líneas acopladas (VI)

Microondas ITT-ST Tema 5

28Filtro de orden N=3

Líneas resonantes λ/ en abierto

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Otros filtros paso banda

Microondas ITT-ST Tema 5

29Condensadores de acoplo

Filtro de gap

Filtro con resonadores en anillo

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Microondas ITT-ST Tema 5

30

Filtros paso alto con stubs en corto

Se consigue un filtro de orden 2n-1 empleando únicamente n stubs.

=1yo

Stubs en corto circuito de longitud eléctrica θc

y1,2

1

θc

y2 n-1

y y

2θc

n-1,ny =1y

o

ny

2θc

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Microondas ITT-ST Tema 5

31

Filtros paso alto con stubs en corto (II)

Respuesta de periodo PI

cc

ff

θ θ=

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Microondas ITT-ST Tema 5

32

Filtros paso alto con stubs en corto (III)

Elementos para filtros paso alto óptimamente distribuidos de 0.1 dB de rizado

n11 θcy1yn

y1,2yn-1,n

y2yn-1

y2,3yn-2,n-1

y3yn-2

y3,4

225º30º35º

0.154360.220700.30755

1.134821.115971.08967

325º30º35º

0.196900.286200.40104

1.120751.092201.05378

0.181760.307260.48294

425º30º35º

0.224410.323000.44670

0.111131.078421.03622

0.237320.394430.60527

1.103611.064881.01536

525º30º35º

0.240680.342520.46895

1.105401.071191.02790

0.271100.439850.66089

1.093171.050950.99884

0.296590.482840.72424

625º30º35º

0.250380.353460.48096

1.101991.067201.02354

0.290730.463830.68833

1.087251.043950.99126

0.330310.526150.77546

1.083021.037940.98381

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Microondas ITT-ST Tema 5

33

Filtros paso alto con stubs en corto (IV)

Stubs de longitud θc terminados en cortocircuito

Líneas de longitud 2·θc