View
221
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
1 |Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 2015
Mengenang Jejak Sebagian Kecil Bangsa Indonesia Yang Pernah Mengikuti Ujian
Sekolah Pada Awal Masa Kemerdekaan
UJIAN PENGHABISAN SEKOLAH MENENGAH TINGKAT ATAS
TAHUN 1950
1. SMA 1950
Berapakah m agar supaya fungsi 2 2 2 2 1mx m x m selalu (definit) positif untuk tiap-tiap
nilai real dari x?
Solusi:
Syarat fungsi 2 2 2 2 1mx m x m selalu (definit) positif untuk tiap-tiap nilai real dari x adalah
0a dan 0D , sehingga
0m .... (1)
2
2 2 4 2 1 0D m m m
2 24 4 2 0m m m m
2 3 4 0m m
1 4 0m m
1 4m .... (2)
Dari (1) (2) diperoleh 0 4m .
2. PPT 1950
Salah satu akar dari 23 20 4 0x x a besarnya dua kali dari pada salah satu akar dari
22 3 3 0x x a . Hitunglah a.
Solusi:
Persamaan kuadrat 22 3 3 0x x a akar-akarnya adalah p dan q.
22 3 3 0p p a ... (1)
Persamaan kuadrat 23 20 4 0x x a akar-akarnya 2p dan r.
2 2 23 2 20 2 4 0 12 40 4 0 3 10 0p p a p p a p p a .... (2)
3 Persamaan – 2 Persamaan (2) menghasilkan:
11 11 0p a
p a
Sehingga,
22 3 3 0a a a
22 6 0a a
2 3 0a a
0atau 3a a
Jadi, nilai 3a .
3. HBS (Hogere Burger School)-AMS (Algemeene Middelbare School) 1950
Ditentukan: 2 22 1 3 4 0x a x a a . Buat harga a yangmana:
a. kedua akarnya nyata (real)?
b. jumlah kedua akar yang nyata itu positif?
c. hasilkali kedua akar yang nyata itu positif?
d. kedua akarnya positif?
Solusi:
a. Syarat keadua akarnya (real) adalah 0D .
2 |Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 2015
2 22 1 4 1 3 4 0a a a
2 24 4 1 4 12 16 0a a a a
8 17 0a
17
8a
b. Syarat jumlah kedua akar yang nyata itu positif adalah 0D dan 1 2 0x x .
0D .
2 22 1 4 1 3 4 0a a a
2 24 4 1 4 12 16 0a a a a
8 17 0a
17
8a .... (1)
1 2 0x x
2 10
1
a
2 1 0a
1
2a .... (2)
Dari (1) (2) diperoleh 1 17
2 8a .
c. Syarat hasilkali kedua akar yang nyata itu positif adalah 0D dan 1 2 0x x
0D .
2 22 1 4 1 3 4 0a a a
2 24 4 1 4 12 16 0a a a a
8 17 0a
17
8a .... (1)
1 2 0x x 2 22 1 3 4 0x a x a a
2 3 40
1
a a
2 3 4 0a a
1 4 0a a
1atau 4a a .... (2)
Dari (1) (2) diperoleh 17
18
a atau 4a .
d. Syarat kedua akarnya positif adalah 0D , 1 2 0x x , dan 1 2 0x x .
0D .
2 22 1 4 1 3 4 0a a a
2 24 4 1 4 12 16 0a a a a
8 17 0a
17
8a .... (1)
17
8
41
3 |Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 2015
1 2 0x x
2 10
1
a
2 1 0a
1
2a .... (2)
1 2 0x x 2 22 1 3 4 0x a x a a
2 3 40
1
a a
2 3 4 0a a
1 4 0a a
1atau 4a a .... (3)
Dari (1) (2) diperoleh 17
18
a .
4. PPT 1950
Ditentukan fungsi 2 2y x ax a . Buktikan bahwa grafik fungsi ini senantiasa memotong
sumbu X pada dua titik yang berlainan?
Solusi:
Syarat grafik fungsi 2 2y x ax a memotong di dua titik berlainan adalah 2 4 0D b ac .
2
4 1 2 0a a
2 4 8 0a a
2
4 4 1 8 16 0D
Karena diskriminan bentuk kuadrat 2 4 8a a kurang dari 0, maka untuk nilai a real grafik fungsi
2 2y x ax a memotong di dua titik berlainan.
5. SMA 1950
Dari deret ukur (deret geometri) turun tak terhingga dengan suku-suku real harga limit
jumlahnya sama dengan kuadrat suku pertama. Harga kebalikan suku kedua, harga
kebalikan suku ketiga, harga kebalikan suku keempat dikurangi dengan 8 merupakan deret
hitung (deret aritmetika). Tentukanlah suku pertama dan perbandingan (reden, rasio) dari
deret ukur tadi.
Solusi:
2
1
aS a
r
1a ar
1
1a
r
.... (1)
Deret hitung (deret aritmetika): 2 3 4
1 1 18
u u u .... (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
3 2 4 3
1 1 1 18
u u u u
2 3 2
1 1 1 18
arar ar ar
17
8
41
1
2
4 |Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 2015
2 31 8r r ar r
2 312 1 8
1r r r
r
2 2 3 32 2 1 8r r r r r r
3 29 3 3 1 0r r r
23 3 1 3 1 0r r r
23 1 3 1 0r r
2 13 1 0(ditolak)atau
3r r
1 1 3
13 21
3
r a
6. PPT 1950
Pada sebuah deret ukur suku yang pertama ialah a dan perbandingannya (rasio) sama dengan
2 log 3x .
a. Untuk harga x yang manakah, maka ada had (limit) jumlah suku-suku deret itu?
b. Berapa besar limit itu?
Solusi:
a. 1r
2 log 3 1x
2 2log 3 log2x
3 2x
5x
b. Ambillah 1
rp
, sehingga
1 11
111
n
n
a r aS
r p
p
1lim 1
1 1 1 11 1 1
nn
a a a aS
rp
p p p
21 log 3
a
x
7. SMA bg B, 1950
Hitunglah x dari persamaan
a) 12
5 2 5550
log log52
xxx
b) 8 8 3
6
x
xx
a a
aa a
Solusi:
a) 12
5 2 5550
log log52
xxx
25 5 2 550log log5
2
xxx
5 |Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 2015
2 2 4 2 55 2 5 5log
2
x x x
x
3 4 95 2 5x x x
3
3 9
2 51
2 5
x x
3 3 92 5 2 5x x
3
3 32 5 2 5x
3x
b) 8 8 3
6
x
xx
a a
aa a
8
38
6 2
x
x x
a a
aa a
8
3 68 2
x xx
a a
8 4 8
98
x x x
a a
5 8
98
x
a a
5 8
98
x
5 8 72x
5 80x
16x
8. SMA bg B, 1950
Sebuah parabool dengan puncak 1,2A
liwat titik 2,5B . Dari titik 2
1,3
C
dibuat
garis singgung pada parabool itu. Tentukan persamaan-persamaan parabool dan garis
singgung. Gambarkan kedua persamaan tersebut dalam satu grafik.
Solusi:
Persamaan parabolanya adalah 2
2 4
b Dy a x
a a
2
1 2y a x
2
2,5 1 2B y a x
2
5 2 1 2a
5 2a
3a
2 23 1 2 3 6 5y x x x
Ambillah persamaan garis singgungnya adalah y mx n .
2 21,
3 3C m n
6 |Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 2015
2
3n m
2
3y mx m
223 6 5
3y mx m y x x
223 6 5
3mx m x x
23 3 2 9 18 15mx m x x
29 18 3 13 3 0x m x m
Syarat garis menyinggung parabola adalah 2 4 0D b ac , sehingga:
2
18 3 4 9 13 3 0m m
236 12 52 12 0m m m
2 16m
16 4m
Persamaan garis singgungnya adalah 2 2
4 4 4 43 3
y x x dan 2 1
4 4 4 33 3
y x x
9. SMA bg B, 1950
Carilah x (atau log x ) dari persamaan: 2log log15 1
log log log77 2
x
x xx x
Solusi: 2log log15 1
log log log77 2
x
x xx x
log15
log log 7log10log 7 2x x xx x x
log15log
log10 2
x
x
x
xx
x
log
log
158x
xx
x
Ambillah log xx y , sehingga
158y
y
2 8 15 0y y
3 5 0y y
X
Y
O 1
23 6 5y x x 1x
5
2
2 1 2
24 4
3y x
14 3
3y x
7 |Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 2015
3 5y y
log log3 5x xx x
log log 3 log log 5x x x x
2 2log 3 log 5x x
log 3 log 5x x
10. PPT bg. B, 1950
Carilah x dalam
102
1 1log 3 log5
loglog
x x
xx
xx
.
Solusi:
102
1 1log 3 log5
loglog
x x
xx
xx
log 2 log 3 log5 log10x x x xx x
log 2 log 3 log5 log10 0x x x xx x
25 5 6log 0
10
xx x
2 5 61
2
x x
2 5 6 2x x
2 5 4 0x x
21 4 0x x
1(ditolak,bilanganpokok logaritma 1)atau 4(diterima)x x
11. PPT bg. B, 1950
Kalau ditentukan bahwa 5log 0,4x , hitunglah xy x .
Solusi:
Ambillah 5 0,4a , sehingga
1 1
log log0,4 0,6021 1 0,07965 5
a
1,2012a
log 1,2012 0,7988 2x
0,0629x
xy x
log log xy x
log logy x x
log 0,0629 0,7988 2 0,0756 0,9244 1y
0,8402y
12. SMA bg. B Peladjar Pedjuang, 1950
Carilah x dan y dari: 2 4 5 2 12 2 16x y x y
log log 3 4 log 2 log log 3 4 log 4x y x y
Solusi:
8 |Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 2015
2 4 5 2 12 2 16x y x y 2 2 22 2
1632 2
x y x y
2 2 22 16 2 512x y x y
Ambillah 22x y p , sehingga
2 16 512 0p p
32 16 0p p
32 16p p
2 22 32(diterima) 2 16(ditolak)x y x y 2 52 2x y
2 5x y
5 2x y .... (1)
log log 3 4 log 2 log log 3 4 log 4x y x y
1
log log 3 4 log 2 log log 3 44
x y x y
1
log log 3 4 log 2log 3 44
x y x y
21
log log 3 4 log log 3 416
x y x y
21
3 4 3 416
x y x y
2
3 4 16 3 4 0x y x y
3 4 3 4 16 0x y x y
3 4 0x y (ditolak) atau 3 4 16 0x y .... (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:
3 5 2 4 16 0y y
15 6 4 16 0y y
10 1y
1
10y
1 1 15 2 5 2 5 5
10 5 5x y
13. SMA bg. B Peladjar Pedjuang, 1950
Dari persamaan: 2 29 3 9 18 0x kx k k , ditentukan 2 12x x . Berapakah k? Hitung juga harga
maksimum dari 2 21 2x x .
Solusi:
Akar-akar persamaan kuadrat 2 29 3 9 18 0x kx k k adalah 1 2danx x .
2 12x x .... (1)
1 2
3
9 3
k kx x
.... (2)
2
1 2
9 18
9
k kx x
.... (3)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:
9 |Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 2015
1 1
32
9 3
k kx x
19
kx 2
2
9
kx
Substitusikan 19
kx dan 2
2
9
kx ke persamaan (3), sehingga
22 9 18
9 9 9
k k k k
2 22 9 81 162k k k
27 81 162 0k k
7 18 9 0k k
18
97
k k
22 2
1 2 1 2 1 22x x x x x x
2 23 9 182
9 9
k k k
2 22 18 36
9
k k k 21
2 49
k k
2
912
29
bk
a
2 2 21 2
max
19 2 9 4 5
9x x
14. PPT bg. B, 1950
Fungsi 2 2logy ax bx c menjadi = 0 untuk 0x dan untuk 6x . Harga maksimum = 2.
a. Berapakah besarnya c?
b. Buktikan dengan perhitungan bahwa 1
3a dan 2b . Isilah harga yang didapat untuk
a, b, dan c itu dalam bangun 2ax bx c yang akan kita sebut z.
c. Untuk harga-harga x yang manakah 0z . Berapakah y dalam hal ini?
d. Untuk harga z yang manakah z negatif? Apakah akibatnya bagi y?
e. Untuk harga x yang manakah z positif lebih kecil dari 1? Apakah tanda y dalam hal ini?
f. Untuk harga x yang manakah z lebih besar dari pada 1? Apakah tanda y?
g. Buatlah sesuai dengan ketentuan-ketentuan dan pendapatan-pendapatan tadi itu sebuah lukisan
2 logy z .
Solusi:
a. 2 20 logx y ax bx c
2 20 log 0 0a b c
20 logc
1c
b. 2 26 0 log 6 6 1x a b
36 6 1 1a b
36 6 0a b
6b a .... (1)
2 22 2
max
4 4 1log log 2
4 4
b ac b ay
a a
10 |Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 2015
2 44
4
b a
a
2 4 16b a a
2 12b a .... (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
2
6 12a a
236 12 0a a
12 3 1 0a a
10(ditolak) (diterima)
3a a
16 2
3b
212 1
3z x x
c. 212 1 0
3z x x
2 6 3 0x x
2
6 6 4 1 3
2 1x
6 36 12
2
6 48
2
6 4 3
2
3 2 3
3 2 3 3 2 3x x
Karena 0z , maka 2 log0y adalah tidak didefinisikan, karena numerus harus bernilai positif.
d. 212 1 0
3z x x
2 6 3 0x x
3 2 3 3 2 3 0x x
3 2 3 atau 3 2 3x x
Akibatnya fungsi y tidak mempunyai nilai (tidak terdefinisi) untuk interval tersebut.
e. 212 1 1
3z x x
2 6 3 3x x
2 6 0x x
6 0x x
0 6x x
Sehingga 0y .
f. 212 1 1
3z x x
2 6 3 3x x
2 6 0x x
6 0x x
0 6x
Sehingga 0y .
3 2 3 3 2 3 0 6
3 2 3 3 2 3 0 6
11 |Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 2015
g. Grafik fungsi 2 2 21log log 2 1
3y z x x
15. PPT bg. B, 1950
Grafik fungsi x p
yqx r
melalui titik 1, 1 dan memotong dari sumbu-sumbu positif bagian-
bagian yang sama = 4. Tentukan p, q, dan r dan asymtot-asymtot dari garis lengkung itu.
Solusi:
1, 1x p
yqx r
1
11
p
q r
1q r p
1p q r .... (1)
4,0x p
yqx r
4
04
p
q r
4 0p
4p .... (2)
0,4x p
yqx r
0
40
p
q r
4r p .... (3)
Dari persamaan (2) dan (3) diperoleh 4 4 1r r .
Substitusikan 4p dan 1r ke persamaan (1) sehingga diperoleh
4 1 1q
4q
13
4 14
4 1 4 1 4
xy
x x
Jadi, asymtot tegak 1
4x dan asymtot datar
1
4y .
16. SMA bg. B Peladjar Pedjuang, 1950
Gambarlah grafik 2
2
2 5 7
8 16
x xy
x x
.
Solusi:
X
Y
O 1
2 2 21log log 2 1
3y z x x
1
2
2 1 6 3 4 5 1
3
12 |Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 2015
Grafik memotong sumbu X, jika 0y , sehingga
2
2
2 5 70
8 16
x x
x x
22 5 7 0x x
2 7 1 0x x
7
12
x x
Jadi, koordinat titik potongnya adalah 3,5;0 dan 1,0 .
Grafik memotong sumbu Y, jika 0x , sehingga
2
2
2 0 5 0 7 7
160 8 0 16y
Jadi, koordinat titik potongnya adalah 7
0,16
.
2
2
2 5 7
8 16
x xy
x x
2
13 162
8 16
x
x x
2
13 162
4
x
x
Asymtot datar adalah 2y .
Asymtot tegak adalah 4x
Menentukan koordinat titik potong asymtot datar dengan grafik.
2
2
2 5 72
8 16
x x
x x
2 22 16 32 2 5 7x x x x
21 39x
39 13 6
121 7 7
x
Jadi, koordinat titik potongnya adalah 6
1 ,27
.
Suatu nilai y tercapai untuk nilai-nilai x yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat dalam x
berikut ini.
2
2
2 5 7
8 16
x xy
x x
2 28 16 2 5 7x y xy y x x
2 22 8 5 16 7 0x y x xy x y
22 8 5 16 7 0y x y x y
Persamaan kuadrat ini mempunyai akar-akar real, jika
2
8 5 4 2 16 7 0y y y
2 264 80 25 64 100 56 0y y y y
180 81 0y
81
180y
9
20y
Jadi, harga minimum relatifnya adalah 9
0,4520
y
13 |Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 2015
2
2
7 2 5 7
20 8 16
x x
x x
2 27 56 112 40 200 140x x x x
247 144 28 0x x
2144 144 4 47 28
2 47x
144 26.000
94
144 161,2
94
144 161,20,2
94x
atau
144 161,23,3
94x
Jadi, koordinat titik minimum realtif adalah 9
0,2;20
dan
93,2;
20
.
Sketsa grafik fungsi 2
2
2 5 7
8 16
x xy
x x
.
Bersambung
X
Y
O 1
2
4
2 1 6 3 4 5
6
4x
2y
61 ,2
7
0,2; 0,45 3,3; 0,45
10
3,5;0
Recommended