Mathematik in der Musik

Mathematikin derMusik

GradusSuavitatis

Johannes Hergt

GliederungEinige Grundbegriffe der Musik1.1. Frequenzbegriff1.2. Die Intervalle1.3. Konsonanzen und Dissonanzen

Gradus Suavitatis2.1. Bedeutung und Geschichte2.2. Formel2.3. Ermitteln des Konsonanzgrades aller Intervalle innerhalb Oktave

3. Quellen

Einige Grundbegriffe der Musik

1.1. FrequenzbegriffDefinition: Mit Frequenz bezeichnet man allgemein die Anzahl von Ereignissen innerhalb eines bestimmten Zeitraums. (Wikipedia)

1.1. FrequenzbegriffDie Einheit der Frequenz ist Hertz (Hz):

sHz

11

1.2. Die Intervalle

1.3. Konsonanzen und DissonanzenKonsonanz – Wohlklang bzw. Zusammenklang

Dissonanz – auflösungsbedürftiger Klang

1.3. Konsonanzen und Dissonanzen

„Eine Konsonanz hört sich gut an.“

„Eine Dissonanz hörtsich nicht gut an.“

Gradus Suavitatis

2.1. Bedeutung und Geschichte- Gradus Suavitatis = die Tonstufe des guten Geschmacks- Gradus Suavitatis = Grad der Lieblichkeit

- Formel zur Bestimmung des Konsonanzgrades - eines Intervalls

- von Euler 1739 in St. Petersburg entwickelt

2.2. Formel

- Gegeben sei ein Frequenzverhältnis

zyxyx ),(

- Bedingung: x und y müssen teilerfremd sein!

- Formel: - Man bilde den Produktwert

y

x

- Man zerlege z in seine Primfaktoren nen

ee pppz ...2121

)1(...)1()1(1 2211 nn pepepe- und setze ein in:

2.2. Formel

- Beispiel:- große Septime mit dem Frequenzverhältnis

8

15

120815)8,15( - Produktwert

- Primfaktoren: 532120 3

- Einsetzen: 10)15()13()12(31

2.3. Ermitteln des Konsonanzgrades

- Gegeben sei ein Frequenzverhältnis

zyxyx ),(

- Bedingung: x und y müssen teilerfremd sein!

- Formel: - Man bilde den Produktwert

y

x

- Man zerlege z in seine Primfaktoren nen

ee pppz ...2121

)1(...)1()1(1 2211 nn pepepe- und setze ein in:

Proportionen Intervall Konsonanzgrad

1/1 Prime 116/15 Kleine Sekunde

9/8 Große Sekunde

6/5 Kleine Terz

5/4 Große Terz

4/3 Quarte

45/32 Tritonus

3/2 Quinte

8/5 Kleine Sexte

5/3 Große Sexte

9/5 Kleine Septime

15/8 Große Septime 102/1 Oktave

13

5

4

8

7

14

8

8

7

9

Proportionen Intervall Konsonanzgrad

1/1 Prime 116/15 Kleine Sekunde 139/8 Große Sekunde 86/5 Kleine Terz 85/4 Große Terz 74/3 Quarte 5

45/32 Tritonus 143/2 Quinte 48/5 Kleine Sexte 85/3 Große Sexte 79/5 Kleine Septime 915/8 Große Septime 102/1 Oktave 2

2.3. Ermitteln des KonsonanzgradesAn der Tabelle zu erkennen ist:Je niedriger der Wert in der Spalte des Konsonanzgerades ist, desto lieblicher (also konsonanter) ist das Intervall.Die Prime ist folglich am „reinsten“, der Tritonus ist nach Euler für das menschliche Ohr hingegen sehr unharmonisch.Überraschend ist meiner Meinung nach, dass der Tritonusnach dem „Gradus Suavitatis“ weniger lieblich klingt als einekleine Sekunde. Das menschliche Ohr scheint letztere alsunharmonischer aufzufassen.Ebenfalls überraschend für mich war, dass die Quarte unddie große Sexte nach Euler lieblicher klingen sollen als eine kleine Terz. Musikerfahrene Menschen (allerdings nichtMusikexperten) halten Terzen nach der Quinte fürdie harmonischsten Intervalle.

3. Quellen

www.wikipedia.de

www.math.uni-hamburg.de

www.was-ist-musik.de.ki

www.pdp7.org