View
315
Download
9
Category
Preview:
Citation preview
MATERI PENYEGARAN KALKULUS
1 |Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo
Teori Bilangan
Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan
tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai
bilangan (terutama bilangan bulat berpangkat) beserta jenis dan operasi-operasinya.
Perhatikan skema bilangan dibawah ini:
Gambar 1. Skema Bilangan
MODUL 1
Bilangan Kompleks
Bilangan Imajiner Bilangan Real
Bilangan Rasional Bilangan Irrasional
Bilangan Bulat Bilangan Pecahan
Bilangan Bulat Positif O
(nol)
Bilangan Bulat Negatif
Bilangan Prima 1 ( satu ) Bilangan Komposit
MATERI PENYEGARAN KALKULUS
2 |Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo
Dari gambar 1. Dapat kita perhatikan bahwa bilangan kompleks adalah bilangan yang
menduduki tingkat tertinggi dari hierarki bilangan. Berdasar skema diatas itu pula dapat
kita bedakan macam-macam dari bilangan.
1.1. BILANGAN RIIL
Ada empat operasi dasar untuk bilangan riil yang sering dipergunakan, yaitu penjumlahan,
pengurangan, perkalian dan pembagian. Untuk sebarang bilangan riil a dan b, jumlahan,
selisih dan perkalian juga merupakan bilangan riil, akan tetapi untuk pembagiannya tidak
harus bilangan riil.
Sifat-sifat aljabar bilangan riil:
a. Assosiati untuk penjumlahan dan perkalian
(a + b) + c = a + (b + c)
(a x b) x c = a x (b x c)
b. Komutatif untuk penjumlahan dan perkalian
a + b = b + a
a x b = b x a
c. Unsur identitas terhadap penjumlahan dan perkalian
a + 0 = 0 + a
a x 1 = 1 x a = a
d. Unsur invers terhadap penjumlahan
a + (-a) = 0
1.2. BILANGAN BERPANGKAT
BILANGAN BERPANGKAT BULAT POSITIF
Definisi
Untuk bilangan bulat positif � dan sebarang bilangan real �, bilangan �� mempunyai
arti: � × � × � × … × � (sebanyak � faktor yang sama).
Bilangan � disebut basis dan bilangan � disebut pangkat atau eksponen.
Contoh :
1. 5 × 5 × 5 × 5 = 5� = 625
2. (− 2) × (− 2) × (− 2) × (− 2) × (− 2) = (− 2)� = − 2� = − 32
3. 5 × 5 × 5 × 5 = 5� = 625
4. (− 2) × (− 2) × (− 2) × (− 2) × (− 2) = (− 2)� = − 2� = − 32
BILANGAN BERPANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL
Definisi
Jika � bilangan tak nol, maka �� = 1.
Sedangkan jika � bilangan bulat dan � tak nol, maka ��� =�
�� .
MATERI PENYEGARAN KALKULUS
3 |Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo
Contoh :
1. 3� × 3� = 1 × 3� = 3� = 3���
2. 4�� =�
�� =�
��
Bilangan berpangkat bulat baik positif maupun negatif memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
Contoh :
1. 4� × 4� = 4��� = 4�
2. ��
��= 3��� = 3�
3. (2�)� = 2� × 2� × 2� × 2� = 2������� = 2�×� = 2��
4. (3 × 4)� = 3� × 4�
5. ��
��
�
=��
��
Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat adalah:
Jika bilangan � dan � bilangan bulat dan � sebarang bilangan real tak nol, maka:
1. �� × �� = ����
2. ��
�� = ����, dengan � ≠ 0.
3. (��)� = ���.
4. (� × �)� = �� × ��.
5. ��
��
�
=��
�� , � ≠ 0.
Contoh :
1. 4� + 4� = 4��� = 4�
2. ��
�� = 3��� = 3�
3. (2�)� = 2��� = 2��
4. (3�4)� = 3� � 4�
5. (�
�)� =
��
��
NOTASI ILMIAH
Untuk bilangan yang sangat besar maupun pada bilangan yang sangat kecil dapat dibuat
notasi ilmiahnya.
Definisi
Bentuk baku notasi ilmiah suatu bilangan adalah penulisan dalam bentuk � × 10�
dengan 1 ≤ � ≤ 10 dan : bilangan bulat.
Catatan : perpindahan letak tanda koma (desimal), yaitu pergeseran satu angka kekiri
berarti memunculkan satu faktor 101, sedangkan pergeseran kearah kanan berarti
memunculkan satu faktor 10-1.
Contoh :
1. Notasi Ilmiah dari 25000000 adalah 25000000 = 2,5 × 10�
2. Notasi Ilmiah dari 0,0000035 adalah 0,0000035= 3,5 × 10��
MATERI PENYEGARAN KALKULUS
4 |Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo
Selain bilangan berpangkat bulat maupun nol ada juga bilangan berpangkat pecahan yang
salah satunya akan dibahas pada subbab bentuk akar berikut ini.
1. Tuliskan dalam notasi eksponen:
(a). 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = (b). � × � × � × � × � × � × � × � × � =
(c). 3� × 3� × 3� × 3� × 3� × 3� = (d). (− 5) × (− 5) × (− 5) × (− 5) × (− 5) =
(e). (− 7�) × (− 7�) × (− 7�) × (− 7�) = (f). �
�×
�
�×
�
�×
�
�×
�
�=
(g). �−�
�� × �−
�
�� × �−
�
�� × �−
�
�� =
2. Hitunglah nilai dari:
(a). (5)� = (b). (− 7)� = (c). (− 5�)� =
(d). (− 3����)� = (e). (− 2����)� = (f). ��
��
��
=
(g). �−�
��
�
= (h). �−�
���
�
= (i). ����
���
�
=
3. Selesaikanlah:
(a). (2� + �)(2� + �) = (b). (�� + �)(�� − �) =
(c). (�� − ��)� = (d). (��� − ���)� =
(e). (���� − ����)� = (f). (2�� + ��)(�� − �) =
(g). (3�� + 2��)� = (h). (�� − ��)�(� + �) =
(i). (�� + ��)�(� − �) =
4. Sederhanakanlah:
(a). �����
���= (b).
������ �
��� ��= (c).
������
������ =
(d).����������
������ = (e). 30�2�− 15�2�2
5��− 5��3 = (f). �������
�����=
5. Nyatakan dalam bentuk bukan pecahan:
a. �
�� � b.
�
(��)� c.
�
(���)�
d. ��
�� � e.
�
��� � f.
�
(���� �)�
g. �
������� � h.
�
(��� ���)� i.
���� �
(���� �)�
6. Tuliskan ke dalam bentuk ilmiah:
a. 27.000.000.000.000 b. 0,0000000036 c. 0,00043500
d. 0,00000067 f. 74.300.000.000
SOAL-SOAL LATIHAN 1.2
MATERI PENYEGARAN KALKULUS
5 |Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo
1.3. BENTUK AKAR
Definisi
Akar (kuadrat) suatu bilangan � adalah bilangan positif yang kalau dipangkatkan dua,
menjadi bilangan semula yaitu �. Secara notasi matematika dapat dinyatakan dalam
bentuk :
√� = � jika �� = � dan � adalah bilangan positif.
Tulisan √� dibaca akar kuadrat dari �.
Operasi pada bentuk akar kuadrat dari � dapat di tuliskan dalam bentuk sifat-sifat berikut:
Sifat
Untuk bilangan real � berlaku:
1. ��� = � ����� � ≥ 0
2. ��� = − � ����� � < 0 (���ℎ������ ��ℎ�� − � �������� �������)
Sebagaimana pada bilangan yang lain juga dikenal operasi aljabar perkalian dan
penjumlahan bilangan bentuk akar.
Sifat
Untuk setiap �, b dan c bilangan positif berlaku:
1. √�� = �√���√�� (��������� ������ ����)
2. ��
�=
√�
√� (��������� ������ ����)
3. �√� + �√� = (� + �)√� (�������� ℎ�� ������ ����)
4. �√� − �√� = (� − �)√� (����������� ������ ����)
5. Perkalian Istimewa:
a. (� + �)(� − �) = �� − ��
b. (� ± �) = �� ± 2�� + ��
Contoh :
1. Hasil dari √64 = 8 karena 8� = 64
2. Hasil dari √125�
= 5, karena 5� = 125.
3. Hasil dari √16 = 4 ����� − √16 = − 4, sedangkan √− 16 tidak ada.
4. √4 × 3 = √4 × √3 = 2 × √3 = 2√3
5. �2√5� × �√2� = 2√5 × 2 = 2√10
6. ���
�� =
√��
√��=
�
�
7. 5√2 − 3√2 = 2√2
8. 4√27 + 2√3 = 4√9 × 3 + 2√3 = 12√3 + 2√3 = 14√3
MATERI PENYEGARAN KALKULUS
6 |Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo
RASIONALISASI BENTUK AKAR
Rasionalisasi bentuk akar adalah mengubah penyebut yang berbentuk akar menjadi
penyebut yang tidak berbentuk akar. Ada 2 macam cara untuk merasionalisasi bentuk akar
yaitu:
1. Mengalikan bagian pembilang dan penyebut pada pecahan dengan penyebutnya.
2. Mengalikan masing -masing pembilang dan penyebut pada pecahan dengan sekawan
dari penyebutnya.
Contoh:
1. Rasionalkan bentuk ��
�.
Jawab: ��
�=
√�
√�×
√�
√�=
√�×�
�=
√��
�=
�
�√10
2. Rasionalkan bentuk akar dari �
��√�.
Jawab: �
��√�=
�
��√�×
��√�
��√�=
����√��
���√��(��√�)=
���√�
���=
�
�+
�
�√5
AKAR PANGKAT RASIONAL
Bagian ini akan dibahas bagaimana menyelesaikan perpangkatan dengan bilangan
pecahan.
Definisi
Jika � dan � adalah bilangan asli positif maka:
1. arti dari ��
� adalah √��
2. arti dari ��
� = ���
� ��
= � √��
��
3. arti dari ��
� = (��)�
� = √���
Contoh:
a. √27�
= 3 karena 3� = 27
b. √− 125�
= − 5 karena (− 5)� = − 125
c. (3)�
� = (3�)�
� = √3��= (√3
�)�
NILAI MUTLAK
Definisi
Nilai mutlak suatu bilangan real a dinotasikan dengan |�| dan didefinisikan dengan:
|�|= �� ���� � ≥ 0
− � ���� � < 0�
MATERI PENYEGARAN KALKULUS
7 |Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo
Berikut ini diberikan teorema-teorema dari nilai mutlak.
Teorema
Untuk setiap bilangan real � dan � maka berlaku:
1. ��� = |�|
2. |�|≥ 0 nilai mutlak suatu bilangan selalu tak negatif.
3. |− �|= |�| suatu bilangan dengan negatifnya mempunyai nilai mutlak sama.
4. 4.|��|= |�||�| nilai mutlak dari perkalian merupakan perkalian nilai mutlak.
5. ��
��=
|�|
|�| nilai mutlak dari pembagian adalah pembagian nilai mutlak.
Contoh :
Dapatkan himpunan penyelesaian dari :
a. |5 − 2�|= 11
b. �(� − 1)� = 5
Penyelesaian :
a. Jika |5 − 2�|= 11, maka i). |5 − 2�|= 5 − 2�, ���� 5 − 2� 0
5 − 2� = 11 Þ� = − 3
ii). |5 − 2�|= − (5 − 2�), ���� 5 − 2�0
− (5 − 2�) = 11Þ� = 8
Jadi himpunan penyelesaiannya: -3,8
Cara lain:
|5 − 2�|= 11 Þ �(5 − 2�)� = 11, dikuadratkan menjadi
(5 − 2�)� = 11�
(5 − 2� + 11)(5 − 2� − 11) = 0
(16 − 2�)(− 6 − 2�) = 0
�� = 8 , �� = − 3
b. �(� − 1)� = 5 , dikuadratkan :
(� − 1)� = 5�
(� − 1)� − 5� = 0
(� − 1 + 5)(� − 1 − 5) = 0
(� + 4)(� − 6) = 0
�� = − 4 , �� = 6
Jadi Himpunan penyelesaiannya : -4,6
MATERI PENYEGARAN KALKULUS
8 |Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo
1. Dapatkan akar kuadrat dari:
a. √64 b. √256 c. √625 d. √576
e. √1369 f. √4225 g. √10201
h. √2809 i. √15129 j. √14641
2. Sederhanakanlah:
a. 3√2 + 5√2 − 7√2 = b. 4√3 − 5√12 + 2√75 =
c. 4√5 + 3√125 − 4√75 = d. √75 + √48 − 2√12 =
e. 3��
�− 2�
�
�+ 2√3 = f. 3√2 − √32 + 4√50 =
3. Tentukanlah nilai dari:
a. √3 × √6 = b. − √24 × √5 =
c. 3√5 × 2√7 = d. ���
��=
e. �3 − 4√3��√3 − √2� = f. �3√6 + √5��2√3 + 5√2� =
g. �2√5 − 3√6��6√2 + 4√3� = h. √��� × √��� =
4. Rasionalkan bentuk akar berikut ini:
a. �
√�= b.
�√��√���√�
√�= c.
�
��√�=
d. �√�
��√�= e.
�
√��√�= f.
�√�
√���√�=
g. �√��√��
�����√�= h.
�
√��√�= f.
�√���√�
√���=
5. Tentukan hasilnya:
a. 64�
� = b. 27�
� = c. ���
���
�
�=
d. ���
����
��
�
�
�
e. (49��)�
� = f. (2��)��
� =
g. 2� × 2�
� = h. (���)�
� = i. ���
���
���
=
6. Tuliskan ke dalam bentuk yang lebih sederhana:
a. √27���= b. √���� = c. �125�������
=
d. ������
��
�= e. �
������
���
�
= f. √2��
√� + � =
g. �(���)��
√���= h. �√�
�= i. �������
�
=
7. Hitunglah nilai |�| jika :
a. � = 5
b. � = − 56
c. � = √7
d. � = − √6
e. � = − ��
SOAL-SOAL LATIHAN 1.3
MATERI PENYEGARAN KALKULUS
9 |Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo
1.4. KETERBAGIAN / PEMBAGIAN
Suatu pembagian di notasikan dengan cb
a (baca: a dibagi b sama dengan c),
artinya cba . (a sama dengan b kali c).
Dari notasi a, b, c ini memiliki kemungkinan:
1. Jika 0b maka 00
b karena 0.0 b
2. Jika 0a maka 0
atak punya arti karena andaikan saja m
a
0 maka ma .0
dan tampak bahwa tidak ada nilai m yang memenuhi.
3. 0
0 bentuk tak tentu karena andaikan saja n
0
0 maka n.00 berarti nilai n
yang memenuhi tidak tunggal.
4. 0
a, dengan a adalah bilangan berhingga.
Contoh:
1. 2
1
2
1
2
0
2. 3. 12
13
12
49
3
1
4
3
3
1
6
0
4
3
3. 2
1
2
10
2
12
4. 4. 12
2
2
1
2
1
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Untuk mendapatkan FPB dari dua bilangan atau lebih adalah sbb:
Dicari dulu faktor persekutuan dari bilangan-bilangan itu. Bilangan paling besar dari
faktor-faktor persekutuan itu merupakan FPB dari bilangan tersebut.
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Untuk mendapatkan KPK dari dua bilangan atau lebih adalah sbb:
Dicari dulu kelipatan dari bilangan-bilangan itu. Kemudian tentukan kelipatan
persekutuannya. Bilangan paling kecil dari kelipatan persekutuan itu merupakan KPK dari
bilangan tersebut.
MATERI PENYEGARAN KALKULUS
10 |Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo
Contoh:
Dapatkan FPB dan KPK dari 12 dan 18.
Penyelesaian:
Faktor dari 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Faktor dari 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Jadi FPB dari 12 dan 18 adalah 6.
Kelipatan dari 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ….
Kelipatan dari 18: 18, 36, 54, 72, 90, ……
Jadi KPK dari 12 dan 18 adalah 36.
Bilangan Prima
Bilangan prima adalah bilangan asli yang mempunyai tepat dua faktor. Misal: 2, 3, 5, 7,
11, 13, 19, 23. Jadi bilangan prima adalah bilangan asli yang mempunyai faktor adalah
bilangan 1 dan bilangan itu sendiri. Jadi dengan faktor bilangan prima, cara mendapatkan
FPB dan KPK adalah sbb:
1. Setiap bilangan diuraikan menjadi pergandaan faktor-faktor primanya.
2. FPB adalah pergandaan faktor yang bersekutu dengan pangkat terkecil yang ada
disetiap bilangan.
3. KPK adalah pergandaan semua faktor yang ada, dimana jika ada faktor yang
sama harus diambil satu yang pangkatnya tertinggi.
Contoh:
Dapatkan FPB dan KPK dari 12 dan 18.
Penyelesaian:
12 = 2. 2. 3 = 2�. 3; 18 = 2. 3. 3 =2. 3�.
Sehingga: FPB = 2 . 3 = 6
KPK = 2�. 3� = 36
OPERASI PADA BILANGAN PECAHAN
Penyederhanaan Pecahan:
Contoh
1. 12
18=
2.2.3
2.3.3=
2
3
2. 36
45=
2.2.3.3
5.3.3=
4
5.
4. ���
����=
�.�.�.�
�.�.�.�.�=
�
��
Penjumlahan dan pengurangan pecahan:
Contoh 5
12+
7
18=
5.3
12.3+
7.2
18.2=
15
36+
14
36=
29
36
MATERI PENYEGARAN KALKULUS
11 |Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo
Caranya:
1. menyamakan penyebut dengan mencari KPK dari penyebut. KPK dari 12 dan 18
adalah 36.
2. Jika penyebut sudah sama, maka pembilangnya dijumlahkan, tetapi penyebut
tetap.
Contoh 3
8+
2
5−
1
4=
3.5
8.5+
2.8
5.8−
1.2.5
4.2.5=
15 + 16 − 10
40=
21
40
Contoh 1
8−
2
3+
1
4=
3 − 8 + 6
24=
1
24
1. Sederhanakan pecahan berikut :
a. ��
�� b.
���
��� c.
��
�� d.
��
�� e.
���
��� f.
���
����
2. Selesaikan :
a. �
��+
�
�� =
b. �
�−
�
�+
�
�� =
c. ��
��−
�
�+
�
� =
d. �
�+
��
��−
��
�� =
e. �
��+
�
� =
f. �
�+
�
�−
�
� =
g. ��
��−
�
�+
��
�� =
h. �
�+
��
��−
�
�−
�
� =
SOAL-SOAL LATIHAN 1.4
MATERI PENYEGARAN KALKULUS
12 |Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo
Logaritma Logaritma adalah kebalikan dari pemangkatan. Hal ini didasari akan seringnya
sebuah pertanyaan/ permasalahaan dari sebuah pertanyaan “ pangkat berapa sama
dengan ini. Dengan logaritma, perhitungan bilangan yang sangat besar dapat
disederhanakan.
2.1. PENGERTIAN LOGARITMA
Logaritma adalah invers bilangan berpangkat, seperti pada definisi berikut ini:
Untuk bilangan positif � dan � ≠ 1 maka arti dari
log �� = � adalah �� = �.
Dari definisi di atas, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan :
1. � adalah basis/bilangan pokok logaritma dan � adalah hasil logaritma.
2. � positif maka �� > 0 sehingga � juga positif.
3. � tidak boleh sama dengan 1.
4. �� = 1 maka log 1� = 0
Contoh :
1. log 100�� = 2
2. log 16� = 4
3. log 0,00001�� = − 5
4. log�
��
� = 2
5. log 8�� =�
�
2.2. SIFAT-SIFAT LOGARITMA
Untuk sebarang bilangan positif � > 1 , � > 0 dan � > 0 maka berlaku:
1. log(�. �) = log � + log ����
2. log ��
��� = log �� − log ��
3. log ��� = � log ��
4. log �� =����
����
5. jika diketahui 0 < � < � maka log �� < log ��
6. jika diketahui 0 < � < � maka log �� > log ��
MODUL 2
MATERI PENYEGARAN KALKULUS
13 |Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo
Selesaikan soal-soal berikut ini:
1. Dapatkan nilai dari logaritma berikut:
a. 64log2 = b.
9
1log27
= c. 125log25
=
d. 125log5
1
= e.64log2
= f. 128
1log2
=
g.3log81
= h. 9
1log27
= i. 10�������� =
j. 10������,���� = k. 10����� =
2. Jika log 2�� = 0,31 dan log 3�� = 0,48 , dapatkan nilai dari logaritma berikut:
�. log 18�� = �. log�
�
�� = �. log 36�� =
�. log 12�
�� = �. log √144�� = �. log 120 =
�. log 7,5 = h. log 15 = i. log 3600 =
3. Hitunglah:
a. log 5� × log 2� × log 6� =
b. log 6� × log 5� × log 6� =
c. log 5� × log 5� × log 2� =
d. 2� log 5� ��
× log 2� × log 6� =
4. Nyatakan kedalam bentuk � dan � jika log 3� = � dan log 5� = � untuk logaritma
berikut ini:
�. log 30� = �. log 50� =
�. log 150� = �. log 15�
� =
�. log�
��
� = �. log�
���
�
� =
�. log 0,15� = ℎ. log 300�� =
�. log 0,3�,�� = �. log 600�,� =
SOAL-SOAL LATIHAN 2
MATERI PENYEGARAN KALKULUS
14 |Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo
Persamaan dan Pertidaksamaan Persamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda “sama dengan” atau “=” ,.
Sedangkan pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda “ , , , , ” .
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya.
3.1. Persamaan Persamaan Linier
Persamaan linier adalah persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertingginya satu.
Contoh :
1. 6x + 12 = 0 ( persamaan linier satu variabel )
2. 8x + 4y = 6 ( persamaan linier dua variabel )
3. 2x + 3y – 5z =0 ( persamaan linier tiga variabel )
Bentuk umum persamaan linier :
ax + b = 0
dengan a0 dimana a adalah koefisien x dan b adalah konstanta.
Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan linier satu variable:
1. Kelompokkan variable pada satu sisi dan sisi lainnya untuk konstanta
2. Jumlahkan / kurangkan variable maupun konstantanya
3. Bagi konstanta dengan koefisien variable.
Contoh :
Tentukan nilai x dari persamaan linier 8x – 3 = 2x + 9
Penyelesaian :
8x – 3 = 2x + 9 8x - 2x = 9 + 3
6x = 12 x = ��
�= 2
Persamaan Kuadrat
Bentuk umum dari persamaan kuadrat dengan variable tak diketahui � adalah
��� + �� + � = � Dengan a,b,c bilangan diketahui dan � ≠ 0. Bilangan � disebut koefisien dari bagian
kuadrat, b disebut koefisien dari bagian linier dan c merupakan konstanta atau
tetapan.
MODUL 3
MATERI PENYEGARAN KALKULUS
15 |Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo
Akar-akar Persamaan Kuadrat
Ada beberapa cara untuk menentukan akar dari persamaan kuadrat. Diantaranya
adalah :
a. Memfaktorkan.
Dari persamaan kuadrat ��� + �� + � = 0 dapat difaktorkan menjadi bentuk
(� + �)(� + �)=0
Sehingga didapatkan dua kemungkinan yaitu
(� + �)=0 atau (� + �)=0
Dengan demikian akan didapatkan akar-akar persamaan � = − � dan � = − �.
Contoh :
Dapatkan akar persamaan dari �� + 4� + 3 = 0
Penyelesaian :
Pertama dapatkan dulu faktor dari 3, yaitu 1 dan 3. Selanjutnya jumlah keduanya
harus sama dengan 4 dan hasil perkaliannya sama dengan 3.
Jadi 1 + 3 = 4 dan 1 x 3 = 3.
persamaan dapat diubah dulu dalam bentuk
(� + 1)(� + 3)= 0
(� + 1) = 0 ��� (� + 3) = 0
Sehingga diperoleh ��=-1 dan ��=-3.
b. Rumus Kuadrat /Rumus ABC
Akar persamaan kuadrat ��� + �� + � = 0 , � ≠ 0,
dapat dicari dengan rumus
��,�=��± √������
��
Contoh :
Dapatkan persamaan kuadrat dari 2�� − 4� − 6 = 0
Penyelesaian:
Persamaan diatas mempunyai a=2, b=-4 dan c=-6. Dengan menggunakan rumus
ABC diperoleh
��,�=�(��)± �(��)���.�.��
�.�
=�± √�����
� =
�± √��
�
=�± �
�
=1± 2
Sehingga diperoleh ��=3 dan ��=-1.
MATERI PENYEGARAN KALKULUS
16 |Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo
1. Dapatkan akar-akar persamaan kuadrat dibawah ini dengan menggunakan
faktorisasi dan rumus ABC :
a. x� − 5x + 6 = 0
b. x� − 7x + 12 = 0
c. 12x� − 7x + 1 = 0
2. Dengan bantuan rumus ABC selesaikan persamaan :
a. � − 5√� − 6 = 0
b. �3�� + 10� − 5 = 0
3.2. Pertidaksamaan
Pertidaksamaan Linier Pertidaksamaan linier adalah pertidaksamaan yang variabelnya memiliki pangkat
tertingginya satu.
Bentuk umum pertidaksamaan linier dengan satu variable :
�� + � < 0. (����� ���� ∶> , ≤ , ≥ , ≠ )
Dimana a adalah koefisien dan b adalah konstanta.
Sifat-sifat Pertidaksamaan.
1. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika ditambah atau dikurang dengan suatu
bilangan tertentu
a. Jika a > b a + c > b + c ; a – c > b – c
b. Jika a < b a + c < b + c ; a – c < b – c
2. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika dikali atau dengan suatu bilangan positif
a. Jika � > � dan � > 0 �� > �� dan �
�>
�
�
b. Jika � < � dan � > 0 �� < �� dan �
�<
�
�
3. Tanda pertidaksamaan akan berbalik jika dikali atau dengan suatu bilangan negatif
a. Jika � > � dan � < 0 �� < �� dan �
�<
�
�
b. Jika � < � dan � < 0 �� > �� dan �
�>
�
�
4. Pemangkatan pertidaksamaan
a. Jika � > � > 0 �� > �� > 0, �� > �� > 0, �� > �� > 0 dan seterusnya. Secara
umum �� > ��; � bilangan asli
b. Jika � < � < 0 �� > �� > 0, �� < �� < 0, �� > �� > 0 , dan seterusnya.
c. Secara umum : �� > ��; � bilangan genap dan �� < ��; � bilangan ganjil
SOAL-SOAL LATIHAN 3.1
MATERI PENYEGARAN KALKULUS
17 |Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo
5. Sifat – sifat lain :
a. Jika � > � dan � < � maka � > �
b. Jika � > � dan � > � maka � + � > � + �
c. Jika � > � > 0 atau � < � < 0 maka �
�<
�
�
d. Jika �
�> 0 maka �� > 0
Dengan sifat-sifat pertidaksamaan diatas, kita bisa menyelesaikan atau
mendapatkan himpunan penyelesaian dari sebuah pertidaksamaan.
Contoh :
Dapatkan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3x – 2 < x + 6 .
Penyelesaian :
3x – 2 < x + 6
3x – 2 - x < x + 6 – x
2x – 2 < 6
2x – 2 + 2 < 6 + 2
2x < 8
x < �
�
x< 4
Pertidaksamaan Pecahan Linier
Bentuk umum : �(�)
�(�)> 0 , ( ������ ���� ∶ < , ≤ , ≥ , ≠ )
dengan syarat : �(�) ≠ 0
Langkah-langkah penyelesaian:
1. Ruas kanan dinolkan
2. Tentukan pembuat nol pembilang dan penyebut pada ruas kiri
3. Gambar pada garis bilangan
4. Tentukan himpunan penyelesaiannya.
Contoh :
Dapatkan 0125
52
x
x
Penyelesaian:
025
2552
x
xx
025
37
x
x
, berdasar langkah ke 3 didapatkan
7
3x
, 5
2x
MATERI PENYEGARAN KALKULUS
18 |Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo
+ - +
Jad Himpunan penyelesaian : 7
3x
5
2x
Pertidaksamaan Kuadrat
Langkah-langkah untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah :
a. Ubah Pertidaksamaan kuadrat dalam bentuk persamaan kuadrat.
b. Dapatkan akar-akar persamaan kuadra tersebut.
c. Buatlah gambar pada garis bilangan.
d. Tentukan himpunan penyelesaiannya.
Contoh :
Selesaikan pertidaksamaan x2 – 5x – 6 < 0
Penyelesaian :
Ubah menjadi persamaan kuadrat �� − 5� − 6 = 0
Dengan faktorisasi didapat akar-akar persamaan
(� − 2)(� − 3) = 0
�� = 2 ��� �� = 3
+ - +
2 3
Jadi Himpunan penyelesaiannya : 2 < � < 3
Pertidaksamaan Bentuk Akar
Pertidaksamaan bentuk akar
a. Jika axf )( untuk � > 0 �(�) ≤ �� ,dengan syarat �(�) ≥ 0.
b. Jika axf )( untuk � < 0 � = ∅
c. Jika )(xf )(xg �(�) < �(�), dengan syarat �(�) ≥ 0, �(�) ≥ 0
Contoh :
Tentukan nilai � yang memenuhi pertidaksamaan berikut :
1. 24 x < 3
2. 431 xx Penyelesaian:
1. 4� − 2 < 9 → 4� < 11 → � <��
�
2. � + 1 ≤ 3� − 4 → − 2� ≤ − 5 → � ≤�
�
MATERI PENYEGARAN KALKULUS
19 |Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo
Selesaikan soal-soal berikut:
1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 23x 2x 8 0 untuk x R adalah …
2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x 5 x 6 x 112 2 adalah ...
3. Himpunan penyelesaian dari
2x 3x 5 x 31 1
3 3
adalah …
4. Himpunan penyelesaian dari x x 2log 9 log x ialah …
5. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 25 2 1log x 2x 3
2 adalah …
6. Nilai � yang memenuhi pertidaksamaan 2
2
x x 2
11 3x x
9 1
273
adalah ...
7. Nilai � yang memenuhi 2x 3x 4 x 13 9 adalah …
8. Nilai-nilai � yang memenuhi 2
2
3x 7x 142
x 3x 4
adalah …
9. 2 2
3 5
x 3x 2 x 4x 3
berlaku untuk …
10. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen
2x 42x 4 19
27
SOAL-SOAL LATIHAN 3.2
MATERI PENYEGARAN KALKULUS
20 |Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo
TRIGONOMETRI
4.1. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
C
α
A B
Hubungan antara ukuran Sudut dan Radian Satu radian ekivalen dengan
����
�=
����
Dan 1�ekivalen dengan
��� rad. Nilai berkaitan dengan3,14…
SIFAT-SIFAT Perbandingan Trigonometri
a. Sudut di kuadran II
Sin (180�-a) = Sin a Cot (180�-a) = -Cot a
Cos (180�-a) = -Cos a Sec (180�-a) = -Sec a
Tan (180�-a) = -Tan a Csc (180�-a) = Csc a
DEFINISI 4.4.1. Perbandingan Trigonometri
a. Sin a =���� ����� �����a
���� ������ =
��
��
b. Cos a =���� ������� �����a
���� ������ =
��
��
c. Tan a =���� ����� ����� a
���� ������� ����� a =
��
�� atau
Tan a =��� a
��� a
d. Cot a =�
��� a (dibaca cotangen)
e. Sec a =�
��� a (dibaca secan)
f. Csc a =�
��� a (dibaca cosecan)
MODUL 4
MATERI PENYEGARAN KALKULUS
21 |Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo
b. Sudut di kuadran III
Sin (180�+a) = -Sin a Cot (180�+a) = Cot a
Cos (180�+a) = -Cos a Sec (180�+a) = -Sec a
Tan (180�+a) = Tan a Csc (180�+a) = -Csc a
c. Sudut di kuadran IV
Sin (360�-a) = -Sin a Cot (360�-a) = -Cot a
Cos (360�-a) = -Cos a Sec (360�-a) = Sec a
Tan (360�-a) = -Tan a Csc (360�-a) = -Csc a
d. Sudut dengan kelipatan n
Sin (a + n. 360�) = Sin a Cot (a + n. 360�) = Cot a
Cos (a + n. 360�) = Cos a Sec (a + n. 360�) = Sec a
Tan (a + n. 360�) = Tan a Csc (a + n. 360�) = Csc a
Contoh :
1. Sin 137� = Sin (180�-43) = Sin 43�
2. Cos 217�= Sin (180�+37) = -Cos 37�
3. Cos 320�= Sin (360�-40) = Cos 40�
Rumus-rumus Trigonometri a. Rumus jumlah dan selisih dua sudut
Sin (a+b) = Sin acosb + cos asin b
Sin (a− b) = Sin acosb - cos asin b
Cos (a+b) =Cos acosb - Sin asin b
Cos (a− b) =Cos acosb + Sin asin b
b. Rumus sudut ganda
Sin 2a = 2Sin a Cos a
Cos 2a = Cos �a-Sin �a
Tan 2a = ���� a
����� �a
MATERI PENYEGARAN KALKULUS
22 |Universitas Nahdlatul Ulama Sidoarjo
c. Rumus jumlah sinus dan cosinus
Sin a+Sin b = 2sin a�b
� cos
a�b
�
Sin a - Sin b = 2cos a�b
� sin
a�b
�
Cos a+Cos b = 2cos a�b
� cos
a�b
�
Cos a - Cos b= -2sin a�b
� sin
a�b
�
Contoh :
Cos 75�+Cos 15� = 2cos �������
� cos
�������
�
= 2cos45�cos30�
= 2(�
�√2) (
�
�√3)
= �
�√6
1. Diberikan sudut x lancip dengan sin � =�
�.
Dapatkan cos � , tg � , sec � , cosec � , sec �
2. Diberikan sudut lancip � dengan sin � =�
�. Dapatkan sin 2� , cos 2� , tg 2�.
3. Sebuah kapal pesiar berlayar kea rah timur sejauh 30 mil, kemudian melanjutkan
perjalanan ke arah 30° sejauh 60 mil. Jarak kapal pesiar terhadap posisi saat mulai
berangkat adalah ……….
4. Sederhanakanlah:
a
a
a
a
6sin
2sin
6cos
2cos
SOAL-SOAL LATIHAN 4.1
Recommended