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Teoría de amortización, amortización constante alemán, interés constante o americano, Cuota simple o doble en fechas.
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Amortizacin 1
Matemtica Financiera
Teora de Amortizacin
Lic. Armando Ramrez Guzmn
Amortizacin 2Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Simple 2
Matemtica Financiera
AmortizacinObjetivos de aprendizaje Definir el concepto de Amortizacin Clasificar los sistemas y modalidades de
amortizacin de prestamos Identificar los elementos econmicos de un
cuadro de servicio de deuda Elaborar de un cuadro de servicio de deuda
Amortizacin 3
Amortizacin Es el proceso financiero mediante el cual una deuda u obligacin se extingue
progresivamente por medio de pagos peridicos incluidos en el llamado Servicio de Deuda, el que incluye adems los intereses generados en cada periodo.
RK = AK + IK De cada pago, cuota o servicio de deuda, una parte se aplica a cubrir el inters generado
por la deuda y el resto a disminuir el prstamo por pagar, deuda residual o saldo insoluto. Cuando amortizamos una deuda o una obligacin estamos devolviendo el importe que se
ha recibido en prstamo.
Clasificacin Por la frecuencia de pago del servicio de deuda las modalidades son:
Vencido: cuando el pago se realiza al vencimiento de cada periodo. Anticipado: cuando el pago se realiza al inicio de cada periodo. Diferido: cuando el pago se realiza luego de cierto plazo, en las modalidades
con Perodo Diferido o Perodo de Gracia son aquellos, como los anteriores, que consideran periodos de gracia (m), en los cuales no se amortiza el prstamo pero se puede pagar o no intereses durante el periodo diferido.
Elementos de un Sistema Amortizacin El importe del prstamo o VA. El numero de pagos peridicos. El importe de los pagos peridicos. La tasa de inters que puede ser fija o variable. El cuadro de Servicio de Deuda.
Amortizacin 4
AmortizacinCuadro de Servicio de Deuda
En la elaboracin del cuadro de servicio de deuda solo se debe considerar el prstamo y la tasa de inters del prstamo pactada. El formato de cuadro de servicio de deuda es como sigue:
n: nmero de periodos de la operacin financiera. Cuota de Pago: es el Servicio de Deuda del periodo k (k = 0 hasta n). Cuota de Inters: es el importe por Intereses a pagar en el periodo K. Cuota de Amortizacin: es el importe de Amortizacin a pagar en el periodo K. Deuda Extinguida: es la parte del prstamo ya cancelado en el periodo K, es la
diferencia entre el prstamo y la deuda residual. Saldo Deudor o Deuda Residual: es el saldo por pagar del prstamo en el
periodo K.
n 0 1 2 3 n-1 nDESDIntAmortPago
Cuadro de Servicio de Deuda
Amortizacin 5
Sistemas UniformesRenta Uniforme, Pago Constante o Francs
En esta modalidad las cuotas de pago, rentas o servicios de deuda son iguales o uniformes o constantes R. Cuota de Pago: se calculan como si fuesen trminos de una renta
uniforme. Puede ser vencido o anticipado (el primer pago supone amortizacin).
Vencido: Anticipado:
Cuota de Inters
Cuota de Amortizacin
Saldo Deudor
Deuda Extinguida
1= KK SDiI
KKK IRA =
KKK ASDSD = 1
KKK ADEDE += 1
+
+=
1)1()1(
n
n
iiiVAR
+
+
+=
1)1()1(
)1( nn
iii
iVAR
Amortizacin 6
VA 30,000 US $n 6i 15% TEAi 1.17% TEM
R 5,207.00 US $
0 1 2 3 4 5 6
R R R R R R
VA= 30,00015% TEA
Fecha n Pago Int Amort SD DE0123456
Frances o de Pagos Uniformes Vencido
Amortizacin 7
n Pago Int Amort SD DE0123456789
Frances o de Pagos Uniformes Diferido S/I
VA 30,000 US $n 9 Mesesm 3 MesesnPagos 6 Mesesi 15% TEAi 1.1715% TEMVA3R US $
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
R R R R R R
VA= 30,00015% TEA
Amortizacin 8
VA 30,000 US $n 6i 15% TEAi 1.17% TEM
R US $
0 1 2 3 4 5 6
R R R R R R
VA= 30,00015% TEA
n Pago Int Amort SD DE0123456
Frances o de Pagos Uniformes Anticipado
Amortizacin 9
Amortizacin Constante o Alemn Consiste en cancelar el importe del prstamo o principal en
cuotas de amortizacin iguales A. Cuota de Amortizacin: Resulta de dividir el importe del prstamo
entre el nmero de cuotas de amortizacin.
Cuota de Inters
Cuota de Pago
Saldo Deudor
Deuda Extinguida
nAmortizacideCuotasNrostamoA Pr=
1= KK DEiI
KKK IAR +=
KKK ASDSD = 1
KKK ADEDE += 1
Amortizacin 10
n Pago Int Amort SD DE0123456
Alemn o de Amortizacin Constante
VA 30,000 US $n 6 Mesesi 15.00% TEAi 1.1715% TEM
A = US $
0 1 2 3 4 5 6
A A A A A A
VA= 30,00015% TEA
Amortizacin 11
Inters Constante o Americano En esta modalidad la cuotas de Inters son iguales.
Cuota de Inters Cuota de Amortizacin: se amortiza el total del prstamo
en el ltimo periodo . Cuota de Pago
Saldo Deudor
Deuda Extinguida
stamoiIK Pr=
KKK ASDSD = 1
KKK ADEDE += 1
KKK IAR +=
Amortizacin 12
0 1 2 3 4 5 6
I I I I I IVA
VA= 30,00015% TEA
VA 30,000 US $n 6 Mesesi 15% TEAi 1.1715% TEM
I= US $
n Pago Int Amort SD DE0123456
Americano o de Interes Constante
Amortizacin 13
Sistemas VariablesRenta Variable
Renta Variable en Progresin Geomtrica g En este modalidad las cuotas de pago, rentas o servicios de deuda son
variables con igual aumento o disminucin en progresin geomtrica g. Cuota de Pago: se calculan como una renta variable en PG.
Cuota de Inters
Cuota de Amortizacin
Saldo Deudor
Deuda Extinguida KKK ADEDE += 1
1= KK SDiI
KKK IRA =
KKK ASDSD = 1
++
+++=
nn
n
gigiiVAR )1()1(
)1()1()1(
Amortizacin 14
VA 30,000 US $nPagos 6 Mesesi 15% TEAi 1.1715% TEMg 5%
R US $
n Pago Int Amort SD DE0123456
Pagos Crecientes Geometricamente g
0 1 2 3 4 5 6
VA=30,00015% TEA
R2)05.01( +R 3)05.01( +R
4)05.01( +R16)05.01( +R
1)05.01( +R
Amortizacin 15
Renta Variable en Progresin Aritmtica G En este modalidad las cuotas de pago, rentas o servicios de deuda son
variables con igual aumento o disminucin en progresin aritmtica G. Cuota de Pago: se calculan como una renta variable en PA.
Cuota de Inters
Cuota de Amortizacin
Saldo Deudor
Deuda Extinguida KKK ADEDE += 1
1= KK SDiI
KKK IRA =
KKK ASDSD = 1
+
+
++
+
+=
nn
n
n
n
in
iii
iG
iiiRVA )1()1(
1)1()1(
1)1(
Amortizacin 16
0 1 2 3 4 5 6R
R+500R+2*500
R+3*500R+4*500
R+(6-1)*500
VA=30,00015% TEAPrestamo 30,000 US $
nPagos 6 Mesesi 15% TEAi 1.1715% TEMG 350 US $
R US $
n Pago Int Amort SD DE0123456
Pagos Crecientes Aritmeticamente G
Amortizacin 17
Suma Dgitos En este sistema las cuotas de pago, rentas o servicios de deuda son
variables, primero se calcula la cuota de amortizacin en funcin a un factor de amortizacin multiplicado por el digito del periodo deamortizacin Factor de Amortizacin
Cuota de Amortizacin
Cuota de Pago
Cuota de Inters
Saldo Deudor
Deuda Extinguida KKK ADEDE += 1
1= KK SDiI
KKK ASDSD = 1
nAmortizacideperiodosdigitosVAFactor
=
nkDondenFactorA kK
,...,3,2,1==
KKK IAR +=
Amortizacin 18
VA 30,000 US $n 6 Mesesi 15.00% TEAi 1.1715% TEM
Factor US $
Dig n Pago Int Amort SD DE0
1 12 23 34 45 56 6
21
Suma Digitos
Amortizacin 19
Con periodos variables
En este modalidad los periodos de pago o de servicios de deuda variables. Cuota de Pago: se calcula con periodicidad diaria segn sea
Renta Uniforme, Renta Variable en PG o Renta Variable
Cuota de Inters, se calcula por los das transcurridos entre fechas.
Cuota de Amortizacin
Saldo Deudor
Deuda Extinguida KKK ADEDE += 1
+=
1)1(1
1idePeriodo
nn
KK
kk
iSDI
KKK IRA =
KKK ASDSD = 1
Amortizacin 20
03-May 27-Jun 02-Ago 29-Sep0 55 91 149 Das
R R R R55
91149
VA= 25,000VA 30,000 US $i 15% TEAi 0.03883% TED
R US $
Fecha n Pago Int Amort SD DE03-May 0 7,716.13 0.00 7,716.13 22,283.87 7,716.1327-Jun 55 7,716.13 480.93 7,235.20 15,048.66 14,951.3402-Ago 36 7,716.13 211.80 7,504.33 7,544.33 22,455.6729-Sep 58 7,716.13 171.80 7,544.33 0.00 30,000.00
149 30,864.54 864.54 30,000.00
Pagos Uniformes con Periodos Variables
Amortizacin 21
Renta Uniforme Vencidacon tasa de inters y periodos variables
Cuota de Pago: se calcula la Renta Uniforme R1 con la i1 y n1, luego se calcula el saldo deudor al momento del cambio de tasa de inters, con este saldo deudor y i2 y n2 se calcula la nueva R2.
Cuota de Inters
Cuota de Amortizacin
Saldo Deudor
Deuda ExtinguidaKKK ADEDE += 1
KKK IRA =
KKK ASDSD = 1
1= KK SDiI
Amortizacin 22
Fecha n Pago Int Amort SD DE03/05/12 0
123
Fecha n Pago Int Amort SD DE01234
Pagos Uniformes Vencido Tasa y Periodo Variable
Pagos Uniformes Vencido Tasa y Periodo Variable
a. b.VA 30,000 US $ VA3 US $n1 6 Meses n2 4 Bimestresi1 15% TEA i2 1% TEMi1 1.1715% TEM i2 2.0100% TEBR1 US $ R2 US $
Amortizacin 23
Cuota Simple y Doble en Fechas Cuota de Pago
Cuota de Inters: se calcula por los das transcurridos entre fechas.
Cuota de Amortizacin
Saldo Deudor
Deuda ExtinguidaKKK ADEDE += 1
KKK IRA =
KKK ASDSD = 1
+=
1)1(1
1idePeriodo
nn
KK
kk
iSDI
Fecha 3/5/12 3/6/12 3/7/12 3/8/12 3/9/12 3/10/12 3/11/12 3/12/12 3/1/13 3/2/13 3/3/13 3/4/13 3/5/13
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
R 2R R R R R 2R R R R R R
A Valor Actual 31 61 92 123 153 184 214 245 276 304 335 365
VA=30,000
Amortizacin 24
Fecha n Pago Int Amort SD DE03/05/12 30,000.00 0.0003/06/12 31 2,304.91 363.23 1,941.67 28,058.33 1,941.6703/07/12 30 4,609.81 328.70 4,281.11 23,777.22 6,222.7803/08/12 31 2,304.91 287.89 2,017.02 21,760.20 8,239.8003/09/12 31 2,304.91 263.47 2,041.44 19,718.76 10,281.2403/10/12 30 2,304.91 231.00 2,073.90 17,644.86 12,355.1403/11/12 31 2,304.91 213.64 2,091.27 15,553.59 14,446.4103/12/12 30 4,609.81 182.21 4,427.60 11,125.99 18,874.0103/01/13 31 2,304.91 134.71 2,170.19 8,955.80 21,044.2003/02/13 31 2,304.91 108.43 2,196.47 6,759.32 23,240.6803/03/13 28 2,304.91 73.88 2,231.03 4,528.30 25,471.7003/04/13 31 2,304.91 54.83 2,250.08 2,278.22 27,721.7803/05/13 30 2,304.91 26.69 2,278.22 0.00 30,000.00
30,000.00
Cuotas Dobles
VA 30,000 US $i 15.00% TEAi 0.03883% TEDnPagos 12 meses
R 2,304.91 US $2R 4,609.81 US $
Amortizacin 25
Tasa de Costo de Crdito TCC Es la tasa de inters efectiva que hace equivalente el flujo de ingresos y
el flujo de egresos derivados de la operacin de crdito, es decir en el flujo de caja de la deuda aparte del prstamo y de los interesescalculados a la tasa del prstamo hay que considerar las comisiones y retenciones originadas por la operacin de crdito.
Amortizacin 26
BibliografaAliaga Valdez, Carlos. Matemticas Financieras: Un enfoque practico. Prentice Hall Pearson Educacin. 1 Edicin, Colombia. 2002: Captulo 14.
Vento Ortiz, Alfredo. Finanzas Aplicadas. Universidad del Pacifico. 6ta Edicin. Lima. 2004: Captulo IV y V.
Amortizacin 27
Mapa Conceptual Amortizacin
Amortizacin
Alemn Amortizacin
Constante
Francs Renta
Uniforme
Americano Inters
Constante
Renta Variable
Vencido DiferidoAnticipado
C/I
S/I
Con periodos variables
+
+=
1)1()1(
n
n
iiiVAR
stamoiIK Pr=nAmortizacideCuotasNrostamoA Pr=
KKK ADEDE += 1KKK ASDSD = 1
KKK IRA =
1= KK SDiI
n
KKK IAR +=
PG PA
Amortizacin 28Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Simple 28
Matemtica Financiera
Fondo AcumuladoObjetivos de aprendizaje Definir el concepto de fondo acumulado Clasificar los sistemas y modalidades de fondo
acumulado Identificar los elementos econmicos de un
cuadro de fondo acumulado Elaborar de un cuadro de fondo acumulado
Amortizacin 29
Fondo de Acumulado Es el proceso financiero mediante el cual realizando una serie de depsitos o abonos
peridicos durante un plazo "n, los cuales generan intereses a una tasa "i" por perodo, se desea acumular un monto o un fondo o un valor futuro.
Un fondo de amortizacin es una reserva de dinero que se realiza con el fin de realizar grandes pagos que se deben realizar al cabo de un tiempo.
Clasificacin Por el tipo de deposito:
Renta Uniforme. Renta Variable: en progresin geomtrica o aritmtica. Renta Irregular.
Por la frecuencia del deposito: Vencido: cuando el deposito se realiza al vencimiento de cada periodo. Anticipado: cuando el deposito se realiza al inicio de cada periodo. Diferido: cuando el deposito se realiza luego de cierto plazo. Irregular.
Elementos de un Fondo de Acumulado El valor futuro. Fecha del depsito. El numero de depsitos peridicos. El importe de los depsitos peridicos. La tasa de inters por periodo, que puede ser fija o variable. El cuadro de Fondo de cumulado.
Amortizacin 30
Fondo AcumuladoCuadro de Fondo Acumulado
El formato de cuadro de Fondo Acumulado es como sigue:
Fecha: del depsito. n: nmero de periodos de la operacin financiera. Cuota de Pago: es el Depsito del periodo k (k = 0 hasta n). Cuota de Inters: es el importe por Intereses ganados en el periodo K. Adicin al Fondo AF: es la suma del importe del Pago e Intereses del
periodo K. Fondo Acumulado FA: es el monto de dinero que se va acumulando al
periodo K, resulta de sumar el FAK-1 mas la AFK.
Adicin al FondoFondo Acumulado
0123:
n
Fondo de AmortizacinPago IntersFecha n
Amortizacin 31
VF 50,000 US $nPagos 6 Trimi 8.00% TEAi 1.9427% TET
R 7,937.70 US $0 1 2 3 4 5 6
R R R R R R
VF=50,000
Fecha n Cuota de Inters
Cuota de Pago
Adicin al Fondo
Fondo Acumulado
0123456
Fondo de Amortizacin Pago Uniforme Vencido
Amortizacin 32
0 1 2 3 4 5 6
R R R R R R
VF=50,000VF 50,000 US $nPagos 6 Trimi 8% TEAi 1.9427% TETR US $
Fecha n Cuota de Inters
Cuota de Pago
Adicin al Fondo
Fondo Acumulado
0123456
Fondo de Amortizacin Pago Uniforme Anticipado
Amortizacin 33
BibliografaAliaga Valdez, Carlos. Matemticas Financieras: Un enfoque practico. Prentice Hall Pearson Educacin. 1 Edicin, Colombia. 2002: Captulo 13.
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