ma3-5.pdf

DRZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARUdepartmanza matematicke naukestudijski programi: matematika,matematika-fizika,matematika-informatikamatematika- druga godina , matematika-fizika,matematika-informatika -cetvrta godina OAS

MATEMATICKA ANALIZA 3( pismeni deo ispita,jun 2015)

1 . Date su funkcije

f(x) =

{2x2y2

x2−xy+y2, za x2 + y2 > 0

0, za x2 + y2 = 0, g(x) =

{x3+y3

x2+y2, za x2 + y2 > 0

0, za x2 + y2 = 0

. U tacki (0, 0) ispitati

(a) diferencijabilnost funkcija f i g .

10+10=20

(b) neprekidnost parcijalnih izvoda∂f

∂x,∂f

∂y,∂g

∂xi∂g

∂y.

10+10=20

2. (a) Ako je F C1-funkcija na R3 i z = z(x, y) funkcija implicitno zadana jednakoscuF (ax2 − by2, ax2 + cz2, by2 + cz2) = 0 , proveriti tacnost jednakosticz

ax

∂z

∂x+

cz

by

∂z

∂y+ 1 = 0.

(b) Dokazati da je jednacinom xyz4 − x2z3 + z − 1 = 0 u okolini tacke (0, 0) implicitnodefinisana funkcija z = f(x, y), f(0, 0) = 1 i naci vrednost

izraza∂2f

∂x2+

∂2f

∂x∂y+

∂2f

∂y2u tacki (0, 0)

10+10=20

3. Ispitati prirodu stacionarnih tacaka i naci uslovne ekstreme funkcijef(x, y, z) = xy2z3 pri uslovu x + 2y + 3z = 12 za x > 0, y > 0, z > 0

20

4. Data je funkcija

f(x, y) =

{sin x2

y, 0 < y < x2

0, y ≤ 0 ili y ≥ x2

. Dokazati da je funkcija f neprekidna u (0, 0) duz svake prave koja prolazi kroz koor-dinantni pocetak ( neprekidna kroz skup {(x, tx) ∈ R2 : x ∈ R} za svako t ∈ R ) i nacikrivu(odrediti skup iz R2) koja prolazi kroz koordinantni pocetak ,takvu da osim u (0, 0),f ima ima vrednost 1, a zatim izvesti zakljucak o neprekidnosti funkcije f u (0, 0).

20∑=100

broj bodova· · · = · · ·ocena/55-64=6/65-74=7/75-84=8/85-94=9/95-100=10