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MA13_U07
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Triângulos eCircunferências
Sumário
7.1 Tangência e ângulos no círculo . . . . . . . . . . . . 2
7.2 Círculos associados a um triângulo . . . . . . . . . . 22
Unidade 7 Tangência e ângulos no círculo
7.1 Tangência e ângulos no círculo
Comecemos esta seção estudando uma das mais importantes noções da
Geometria Euclidiana, qual seja, a de reta e círculos tangentes.
Dizemos que um círculo Γ e uma reta r são tangentes ou, ainda, que a
reta r é tangente ao círculo Γ, se r e Γ tiverem exatamente um ponto P em
comum. Nesse caso, P é denominado o ponto de tangência de r e Γ.
A proposição a seguir ensina como construir uma reta tangente a um círculo
dado e passando por um ponto do mesmo.
Proposição 1 Sejam Γ um círculo de centro O e P um ponto de Γ. Se t é a reta que
passa por P e é perpendicular a←→OP , então t é tangente a Γ.
Demonstração Seja R o raio de Γ. Se Q 6= P é outro ponto de t (Figura 7.1), temos
QO > PO = R, uma vez que QPO = 90◦ é o maior ângulo do triângulo
OPQ. Portanto, Q /∈ Γ e, assim, P é o único ponto comum a t e a Γ.
t
O
P
Q
Figura 7.1: círculo e reta tangentes.
O próximo exemplo exercita a construção explicitada na demonstração acima.
Exemplo 2 Nas notações da �gura abaixo, construa, com régua e compasso, uma reta
r, tangente a Γ em P .
2
Unidade 7Triângulos e Circunferências
Solução
O
P
Descrição dos passos.
1. Trace a reta←→OP .
2. Construa, pelo ponto P , a reta r, perpendicular a←→OP .
Não é difícil provar (cf. Problema 1, página 15) que a reta tangente a
um círculo Γ por um ponto P do mesmo é única. Por outro lado, se P for
exterior ao círculo, provaremos na Proposição 11 que há exatamente duas retas
tangentes a Γ e passando por P .
Voltemo-nos, agora, ao estudo de certos ângulos em um círculo. Dado,
no plano, um círculo Γ de centro O, um ângulo central em Γ é um ângulo
de vértice O e tendo dois raios OA e OB por lados. Em geral, tal ângulo
central será denotado por ∠AOB e o contexto tornará claro a qual dos dois
ângulos ∠AOB estamos nos referindo. Por de�nição, a medida do ângulo
central ∠AOB é igual à medida do arco_
AB correspondente. O exemplo a
seguir mostra que ângulos centrais iguais subentendem cordas também iguais.
Exemplo 3Se A, B, C e D são pontos sobre um círculo Γ, tais que os ângulos centrais
∠AOB e ∠COD são iguais, então AB = CD.
DemonstraçãoSuponha (cf. Figura 7.2) que AOB = COD < 180◦ (o caso AOB =
COD > 180◦ pode ser tratado de modo análogo). Como AO = CO, BO =
DO e AOB = COD, os triângulos AOB e COD são congruentes por LAL,
de sorte que AB = CD.
Outra importante classe de ângulos em um círculo é aquela formada pelos
ângulos inscritos. Por de�nição, um ângulo inscrito num círculo é um ângulo
3
Unidade 7 Tangência e ângulos no círculo
A
B
CD
O
Figura 7.2: cordas de ângulos centrais iguais.
cujo vértice é um ponto do círculo e cujos lados são duas cordas do mesmo. A
proposição a seguir nos ensina a calcular sua medida.
Proposição 4 Se AB e AC são cordas de um círculo de centro O, então a medida do
ângulo inscrito ∠BAC é igual à metade da medida do ângulo central ∠BOC
correspondente.
Demonstração Consideremos três casos separadamente:
(a) O ângulo ∠BAC contém o centro O em seu interior (Figura 7.3): como
os triângulos OAC e OAB são isósceles, de bases respectivamente AC e AB,
temos OAC = OCA = α e OAB = OBA = β, digamos. Segue, pois, que
BAC = α + β e, pelo teorema do ângulo externo (Corolário 3.7, Unidade 3),
que COA′ = 2α e BOA′ = 2β. Daí,
BOC = BOA′ + COA′ = 2(α + β) = 2BAC.
(b) O ângulo ∠BAC não contém o centro O (Figura 7.4): uma vez mais, temos
OAC e OAB isósceles de bases AC e AB. Ademais, sendo OAC = OCA = α
e OAB = OBA = β, temos BAC = β − α e, novamente pelo teorema do
ângulo externo, COA′ = 2α e BOA′ = 2β. Logo,
BOC = BOA′ − COA′ = 2(β − α) = 2BAC.
4
Unidade 7Triângulos e Circunferências
A
B
C
OA′
Figura 7.3: ângulo inscrito quando o centro pertence ao mesmo.
A
B
C
OA′
Figura 7.4: ângulo inscrito quando o centro não pertence ao mesmo.
(c) O centro O está sobre um dos lados de ∠BAC: a análise deste caso é
análoga àquela dos dois casos anteriores e será deixada como exercício para o
leitor.
Dados um círculo Γ de centro O e uma corda AB de Γ, um caso particular
importante da proposição anterior é aquele em que AB é um diâmetro de Γ
(Figura 7.5). Sendo P um ponto de Γ distinto de A e de B, segue da referida
proposição que
APB =1
2· 180◦ = 90◦.
O caso limite de um ângulo inscrito é aquele de um ângulo de segmento
(Figura 7.6): seu vértice é um ponto do círculo e seus lados são um uma corda
e o outro a tangente ao círculo no vértice do ângulo. A proposição a seguir
mostra que podemos calcular a medida de ângulos de segmento de maneira
5
Unidade 7 Tangência e ângulos no círculo
A B
P
O
Figura 7.5: ângulo inscrito em um semicírculo.
análoga ao cálculo das medidas de ângulos inscritos.
B
A
C
O
Figura 7.6: medida de um ângulo de segmento.
Proposição 5 Nas notações da Figura 7.6, a medida do ângulo de segmento ∠BAC é
igual à metade do ângulo central ∠AOB correspondente.
Demonstração Seja BAC = α. Como←→AC⊥
←→AO, temos ABO = BAO = 90◦−α e, daí,
BOA = 180◦ − 2(90◦ − α) = 2α = 2BAC.
Outra maneira útil de generalizarmos ângulos inscritos é considerar ângulos
ex-cêntricos mas, nesse caso, há dois tipos distintos, quais sejam, os interiores
e os exteriores. Um ângulo ex-cêntrico interior (Figura 7.7) é um ângulo
formado por duas cordas de um círculo que se intersectam no interior do mesmo;
6
Unidade 7Triângulos e Circunferências
um ângulo ex-cêntrico exterior é um ângulo formado por duas cordas de um
círculo que se intersectam no exterior do mesmo.
A
B
C
D
O
E
Figura 7.7: medida de um ângulo ex-cêntrico interior.
A proposição a seguir ensina como calcular medidas de ângulos ex-cêntricos.
A esse respeito, veja também o Problema 16, página 18.
Proposição 6Sejam AB e CD duas cordas de um círculo, cujas retas suportes se
intersectam em um ponto E.
(a) Se E for interior ao círculo, então a medida do ângulo ex-cêntrico interior
∠AEC é igual à média aritmética das medidas dos arcos_
AC e_
BD
subentendidos.
(b) Se E for exterior ao círculo, então a medida do ângulo ex-cêntrico exterior
∠AEC é igual ao módulo da semidiferença das medidas dos arcos_
BD
e_
AC subentendidos.
Demonstração(a) Basta aplicar sucessivamente o teorema do ângulo externo (Corolário 3.7,
Unidade 3) e o resultado da Proposição 4:
AEC = ADC +BAD =1
2
_
AC +1
2
_
BD.
(b) Exercício.
7
Unidade 7 Tangência e ângulos no círculo
Exemplo 7 Sejam A, B, C e D pontos sobre um círculo Γ, tais que as cordas AC e BD
se intersectam no interior de Γ. SeM , N , P e Q denotam, respectivamente, os
pontos médios dos arcos_
AB (que não contém C),_
BC (que não contém D),_
CD (que não contém A) e_
AD (que não contém B), prove que←→MP⊥
←→NQ.
Demonstração Nas notações do enunciado e da �gura abaixo, sejam_
AB = 2α,_
BC = 2β,_
CD = 2γ e_
AD = 2δ. Então α + β + γ + δ = 180◦ e_
MN = α + β e_
PQ = γ + δ. Portanto, sendo E o ponto de concurso de MP e NQ, temos
MEN =1
2(
_
MN +_
PQ) =1
2((α + β) + (γ + δ)) = 90◦.
A
B
C
D
M
N
P
Q
E
A proposição a seguir estabelece a existência e explica como construir um
importante lugar geométrico, o arco capaz de um ângulo dado.
Proposição 8 Dados um segmento AB e um ângulo α, com 0◦ < α < 180◦, o LG dos
pontos P do plano tais que APB = α é a reunião de dois arcos de círculo,
simétricos em relação à reta←→AB e tendo os pontos A e B em comum. Tais
arcos são os arcos capazes de α em relação a AB.
Demonstração Primeiramente, analisemos o caso 0◦ < α < 90◦. Seja (cf. Figura 7.8)
P /∈←→AB tal que APB = α. Se P ′ é o simétrico de P em relação à reta
←→AB (cf. Problema 4 da Seção 2, Unidade 2), então
←→AB é a mediatriz de PP ′
8
Unidade 7Triângulos e Circunferências
A B
P
P ′
Figura 7.8: APB = AP ′B.
e, daí, AP = AP ′ e BP = BP ′. Portanto, os triângulos ABP e ABP ′
são congruentes por LLL, de sorte que AP ′B = APB = α. Analogamente,
AP ′B = α acarreta APB = α, de forma que, para estudar o LG pedido,
podemos nos restringir somente aos pontos P situados em um dos semiplanos
que a reta←→AB determina. Doravante, suporemos que tal semiplano é aquele
situado acima da reta←→AB (cf. Figura 7.9).
A B
P
P ′
O
Figura 7.9: arco capaz (superior) de α sobre AB.
Em tal semiplano, seja O o ponto tal que AOB é um triângulo isósceles de
base AB, com AOB = 2α (note que 0◦ < 2α < 180◦ no caso que estamos
considerando). Sendo OA = OB = R, seja Γ o arco de círculo, de centro O
e raio R, situado acima da reta←→AB. Sendo P um ponto qualquer de Γ, temos
pelo teorema do ângulo inscrito que
APB =1
2AOB = α,
de modo que P pertence ao LG procurado.
Seja, agora, P ′ um ponto do semiplano superior, tal que P ′ /∈ Γ; mostremos
que P ′ não pertence ao LG desejado. Sendo R a região limitada do plano,
9
Unidade 7 Tangência e ângulos no círculo
delimitada por Γ e AB, há duas possibilidades: P ′ ∈ R ou P /∈ R ∪ Γ.
Analisemos o caso em que P ′ ∈ R, sendo a análise do outro caso totalmente
análoga. Nas notações da Figura 7.9, segue do teorema do ângulo externo e
da discussão do parágrafo anterior que
AP ′B = APB + PAP ′ > APB = α,
de sorte que P ′ não pertence ao LG procurado.
Voltemo-nos, agora, ao caso em que α = 90◦, observando inicialmente que,
como no caso anterior, um argumento de simetria reduz o problema aos pontos
do semiplano situado acima da reta←→AB. Agora, a discussão do parágrafo
imediatamente posterior à prova da Proposição 6.54 garante que todo ponto
do semicírculo de diâmetro AB situado no semiplano superior pertence ao LG
em questão (Figura 7.10).
A B
P
O
Figura 7.10: arco capaz (superior) de 90◦ sobre AB.
Reciprocamente, se P é um ponto do semiplano superior, tal que APB =
90◦, e O é o ponto médio de AB, então o Corolário 5.16, da Unidade 5,
garante que PO = 12AB = AO. Assim, P pertence ao semicírculo de centro
O e diâmetro AB.
Por �m, para o caso 90◦ < α < 180◦, remetemos o leitor ao Problema 17,
página 18.
A prova da proposição anterior também ensina como construir os arcos
capazes de um ângulo α sobre AB, quando 0◦ < α ≤ 90◦: se α = 90◦, temos
somente de construir o círculo de diâmetro AB. Suponha, pois 0◦ < α < 90◦.
Nas notações da prova da referida proposição, como OAB = OBA, temos
OAB = OBA =1
2(180◦ − AOB) =
1
2(180◦ − 2α) = 90◦ − α;
10
Unidade 7Triângulos e Circunferências
assim, obtemos o centro O do arco capaz superior como sendo a interseção
das semirretas que partem de A e de B, estão situadas em tal semiplano e
formam ângulos de 90◦ − α com o segmento AB. Observamos, por �m, que
o caso 90◦ < α < 180◦ pode ser tratado de modo análogo (cf. Problema 17,
página 18).
Exemplo 9Construa com régua e compasso o arco capaz superior de α sobre AB.
Demonstração
α
A B
Descrição dos passos.
1. De acordo com a discussão acima, construa, no semiplano superior, as
semirretas−→AX e
−→BY tais que BAX = ABY = 90◦ − α.
2. Marque o centro O do arco capaz pedido como o ponto de interseção das
semirretas−→AX e
−→BY .
O próximo exemplo mostra que há uma relação simples (e, conforme veremos
nos problemas desta seção, útil) entre os arcos capazes de um ângulo e de sua
metade.
Exemplo 10A �gura abaixo mostra um dos arcos capazes do ângulo α sobre o seg-
mento AB. Construa, com régua e compasso, o arco capaz de 12α sobre AB,
correspondente ao arco capaz dado.
Solução
11
Unidade 7 Tangência e ângulos no círculo
A B
O
Descrição dos passos.
1. Trace a mediatriz do segmento AB e marque seu ponto O′ de interseção
com o arco capaz dado.
2. Use o teorema do ângulo inscrito para mostrar que o arco de centro O′ e
raio OA = OB, contido no mesmo semiplano que o arco dado é o arco
pedido.
Dentre outros problemas interessantes, podemos usar arcos capazes para
examinar o problema de traçar as tangentes a um círculo por um ponto exterior
ao mesmo, conforme ensina nosso próximo resultado.
Proposição 11 Dados, no plano, um círculo Γ e um ponto P exterior ao mesmo, há
exatamente duas retas tangentes a Γ e passando por P .
Demonstração Sejam O o centro do círculo dado e A e B os pontos de interseção do
mesmo com aquele de diâmetro OP (Figura 7.11). Pelas discussões anteriores,
os semicírculos superior e inferior do círculo traçado podem ser vistos como
os arcos capazes de 90◦ sobre OP e, daí, OAP = OBP = 90◦. Portanto,
OA⊥←→AP e OB⊥
←→BP , de sorte que, pela Proposição 2, as retas
←→AP e
←→BP
são tangentes ao círculo dado.
Reciprocamente, se r é uma reta passando por P e tangente ao círculo
dado em X, digamos, então OX⊥←→XP , ou, o que é o mesmo, OXP = 90◦.
Logo, X pertence a um dos arcos capazes de 90◦ sobre OP , i.e., X pertence
ao círculo de diâmetro OP . Mas aí, X está sobre a interseção do círculo dado
com aquele de diâmetro OP e, portanto, X = A ou X = B.
12
Unidade 7Triângulos e Circunferências
O
Γ
P
A
B
Figura 7.11: tangentes a um círculo por um ponto exterior.
Conforme ensina o próximo exemplo, a demonstração da proposição acima
pode ser facilmente formatada em passos que, uma vez executados, fornecem a
construção, com régua e compasso, das tangentes a um círculo dado, passando
por um ponto também dado e exterior ao mesmo.
Exemplo 12Nas notações da �gura a seguir, construa, com régua e compasso, as retas
tangentes a Γ e passando por P .
Demonstração
Γ
OP
Descrição dos passos.
1. Marque o ponto médio M do segmento OP .
2. Trace o círculo γ, de centro M e raio OM = MP .
3. Marque os pontos A e B, de interseção dos círculos γ e Γ; as tangentes
pedidas são as retas←→AP e
←→BP .
13
Unidade 7 Tangência e ângulos no círculo
A proposição a seguir estabelece duas propriedades bastante úteis das tan-
gentes traçadas a um círculo a partir de um ponto exterior ao mesmo.
Proposição 13 Sejam Γ um círculo de centro O e P um ponto exterior ao mesmo. Se
A,B ∈ Γ são tais que←→PA e
←→PB são tangentes a Γ (Figura 7.12), então:
(a) PA = PB.
(b)←→PO é a mediatriz de AB.
(c)←→PO é a bissetriz dos ângulos ∠AOB e ∠APB.
(d)←→PO⊥
←→AB.
O P
A
B
Figura 7.12: propriedades das tangentes por um ponto exterior.
Demonstração Como OA = OB e PAO = PBO = 90◦, os triângulos POA e POB
são congruentes, pelo caso especial CH de congruência de triângulos retângulos
(cf. Problema 1, Unidade 3); em particular, PA = PB, APO = BPO e
AOP = BOP .
Agora, como P e O equidistam de A e de B, segue da Proposição 6.5
(Unidade 6) que←→PO é a mediatriz do segmento AB. Logo,
←→PO⊥
←→AB.
14
Unidade 7Triângulos e Circunferências
1. * Dados no plano um círculo Γ e um ponto P sobre o mesmo, mostre
que a reta tangente a Γ em P é única. (Sugestão: seja s uma reta que
passa por P , distinta da tangente t construída na Proposição 1. Sejam
O o centro de Γ e α a medida do ângulo agudo formado pelas retas s e t.
Marque o ponto Q ∈ s, situado no mesmo semiplano que O em relação
a t e tal que POQ = 2α. Mostre que Q ∈ Γ.)
2. São dados, no plano, uma reta r e um ponto A ∈ r. Identi�que e
construa, com régua e compasso, o LG dos pontos do plano que são
centros dos círculos tangentes à reta r no ponto A. (Sugestão: supondo
o problema resolvido, seja O o centro de um dos círculos pedidos. Então←→AO⊥r em A, de forma que O pertence à reta s, perpendicular à reta r
em A.)
3. São dados, no plano, retas concorrentes r e s e um ponto P ∈ r. Cons-trua, com régua e compasso, os círculos tangentes a r e s, sendo P
o ponto de tangência com a reta r. (Sugestão: supondo o problema
resolvido, seja O o centro de um dos círculos pedidos. Pelo problema
anterior, O pertence à reta perpendicular a r por P . Por outro lado,
como O equidista de r e de s, ele também pertence à bissetriz de um dos
ângulos formados por tais retas. Há duas soluções.)
4. São dados, no plano, um segmento de comprimento R e uma reta r.
Identi�que e construa, com régua e compasso, o LG dos pontos do plano
que são centros dos círculos de raio R, tangentes à reta r. (Sugestão:
observe que, se O é o centro de um tal círculo, então a distância de O a
r é igual a R.)
5. Temos, no plano, duas retas concorrentes r e s. Dado um real R > 0,
construa todos os círculos de raio R, tangentes simultaneamente a r e
a s. (Sugestão: supondo o problema resolvido, se O é o centro de um
dos círculos pedidos, então O pertence à bissetriz de um dos ângulos
formados por tais retas e está à distância R de r. Há quatro soluções.)
6. Sejam a, b e c três retas dadas no plano, com a ‖ b e c concorrente com
a e b. Construa, com régua e compasso, os círculos tangentes a a, b e
c. (Sugestão: supondo o problema resolvido, se O é o centro de um dos
15
Unidade 7 Tangência e ângulos no círculo
círculos pedidos, então O equidista de a e de b, bem como pertence à
bissetriz de um dos ângulos formados por a e c. Há duas soluções.)
Para os problemas 7 a 9 a seguir, dizemos que dois círculos são:
• exteriores se não tiverem pontos comuns e tiverem interiores dis-
juntos;
• interiores se não tiverem pontos comuns mas o interior de um deles
contiver o outro;
• secantes se tiverem dois pontos em comum;
• tangentes se tiverem um único ponto comum; nesse último caso,
os círculos são tangentes exteriormente se tiverem interiores dis-
juntos e tangentes interiormente caso contrário.
7. * Dados círculos Γ1(O1;R1) e Γ2(O2;R2), prove que Γ1 e Γ2 são:
(a) exteriores se, e só se, O1O2 > R1 +R2.
(b) tangentes exteriormente se, e só se, O1O2 = R1 +R2.
(c) secantes se, e só se, |R1 −R2| < O1O2 < R1 +R2.
(d) tangentes interiormente se, e só se, O1O2 = |R1 −R2|.
(e) interiores se, e só se, O1O2 < |R1 −R2|.
(Sugestão: observe, inicialmente, que P ∈ Γ1∩Γ2 se, e só se, PO1 ≤ R1
e PO2 ≤ R2; nesse caso, use a desigualdade triangular para concluir que
|R1 − R2| ≤ O1O2 ≤ R1 + R2. Analise, agora, cada um dos itens
separadamente.)
8. São dados, no plano, um círculo Γ de centro O e um ponto A ∈ Γ.
Identi�que e construa, com régua e compasso, o LG dos centros dos
círculos tangentes a Γ em A. (Sugestão: seja Γ′ um círculo de centro O′
e raio R′. Se O′ ∈←→AO \ {A} e R′ = AO′, mostre que Γ′ tangencia Γ
em A.)
9. São dados, no plano, um círculo Γ, de centro O e raio R, e um segmento
de comprimento r. Identi�que e construa, com régua e compasso, o LG
16
Unidade 7Triângulos e Circunferências
dos centros dos círculos de raio r e tangentes a Γ. Em que medida o
LG em questão depende dos valores R e r? (Sugestão: se Γ′ tem centro
O′ e raio r e tangencia Γ, então, pelo Problema 7, página 16, temos
OO′ = R± r.)
10. São dados, no plano, um círculo Γ e pontos A, P e Q, tais que P,Q ∈ Γ
e os segmentos AP e AQ tangenciam Γ e medem 5cm cada. Escolhemos
pontos B ∈ AP e C ∈ AQ tais que BC também tangencia Γ. Calcule
os possíveis valores do perímetro do triângulo ABC. (Sugestão: sendo
R o ponto de tangência de←→BC e Γ, temos BR = BP e CR = CQ.
Conclua, a partir daí, que o perímetro de ABC é igual a AP + AQ.)
11. Sejam ABCD um quadrado de lado a e Γ o círculo de centro A e raio
a. Marcamos pontos M e N , respectivamente sobre BC e CD, tais
que MN tangencia Γ. Quais os possíveis valores do ângulo MAN?
(Sugestão: sendo P o ponto de tangência, temos, pela Proposição 13,
que MAP = 12BAP e NAP = 1
2DAP .)
12. As retas r e s são concorrentes em A e tangentes a um círculo Γ, de
centro O. Pontos P ∈ r e Q ∈ s são tais que←→PQ tangencia Γ e deixa A
e O em semiplanos opostos. Se PAQ = 30◦, calcule POQ. (Sugestão:
sendo B, C e R, respectivamente, os pontos de tangência das retas←→AP ,
←→AQ e
←→PQ com Γ, temos, pela Proposição 13, que POR = 1
2BOR e
QOR = 12COR. Use, agora, o fato de que a soma dos ângulos do
quadrilátero ABOC é igual a 360◦.)
13. Dois círculos Γ e Σ se intersectam em dois pontos distintos A e B.
Escolhemos X ∈ Γ e Y ∈ Σ tais que A ∈ XY . Prove que a medida do
ângulo ∠XBY independe da direção da reta←→XY . (Sugestão: observe,
inicialmente, que XBY = 180◦ − BXY − BY X. Em seguida, use
o teorema do ângulo inscrito para mostrar que as medidas dos ângulos
∠AXB e ∠AY B independem da direção da reta←→XY .)
14. As cordas AB e CD de um círculo Γ são perpendiculares em E, um
ponto situado no interior do círculo. A reta perpendicular a AC por E
intersecta o segmento BD em F . Prove que F é o ponto médio de
17
Unidade 7 Tangência e ângulos no círculo
BD. (Sugestão: use o teorema do ângulo inscrito para mostrar que os
triângulos DEF e BEF são ambos isósceles.)
15. Sejam A, B e C pontos sobre um círculo Γ, tais que os arcos menores_
AB,_
AC e_
BC medem todos 120◦. Se P é um ponto de Γ situado no
arco menor_
BC, prove que PA = PB+ PC. (Sugestão: se O é o ponto
sobre AP , tal que PQ = BP , mostre que o triângulo BPQ é equilátero
e, daí, que AQB = 120◦. Em seguida, use as hipóteses, juntamente com
os fatos já deduzidos e o teorema do ângulo inscrito, para mostrar que os
triângulos ABQ e CBP são congruentes por LAAo.)
16. Prove o item (b) da Proposição 6. Veri�que, ainda, que as fórmulas para o
cálculo das medidas de ângulos ex-cêntricos permanecem válidas quando
um dos lados do mesmo contiver uma corda do círculo e o outro for
tangente ao círculo. (Sugestão: em ambos os casos, adapte o argumento
da prova do item (a) da Proposição 6.)
17. * Analise a construção dos arcos capazes de um ângulo α sobre o seg-
mento AB, quando 90◦ < α < 180◦. (Sugestão: mostre que o centro de
cada um de tais arcos é o simétrico do centro de cada um dos arcos de
180◦ − α sobre AB.)
18. Construa o triângulo ABC, conhecendo os comprimentos a do lado BC,
ha da altura relativa a BC e a medida α do ângulo ∠A. (Sugestão: após
marcar um segmento BC de comprimento a, obtenha o vértice A como a
interseção de dois lugares geométricos: os arcos capazes de α sobre BC
e as paralelas à reta←→BC, situadas à distância ha.)
19. * Sejam ABC um triângulo e P eM , respectivamente, os pés da bissetriz
interna e da mediana relativas ao lado BC. Se P e M coincidirem,
prove que ABC é isósceles de base BC. (Sugestão: se A = α, veja
o vértice A como a interseção de dois arcos capazes de α2, construídos
respectivamente sobre BM e CM . Em seguida, use a igualdade BM =
CM para concluir que AB = AC.)
20. * Construa um quadrado ABCD, conhecendo o comprimento l de seus
lados e as posições dos pontos M , N e P , situados respectivamente sobre
18
Unidade 7Triângulos e Circunferências
os lados AB, AD e sobre a diagonal AC. (Sugestão: use o fato de que
MAP = NAP = 45◦ para obter A como a interseção de dois arcos
capazes de 45◦, respectivamente sobre MP e NP . Em seguida, marque
B ∈−→AM e D ∈
−→AN , tais que AB = AD = l.)
21. De um triângulo ABC, conhecemos as posições dos vértices B e C, a
medida α do ângulo ∠BAC e o semiplano β, dentre os determinados pela
reta←→BC, no qual está situado o vértice A. Quando A descreve o arco
capaz de α sobre BC, situado no semiplano β, encontre o LG descrito
pelo incentro I de ABC. (Sugestão: use o resultado do Problema 13,
Unidade 3.)
22. * São dados, no plano, dois círculos exteriores Γ e Σ. Construa, com
régua e compasso, todas as retas tangentes simultaneamente a Γ e Σ.
(Sugestão: inicialmente, observe que há quatro tangentes comuns aos dois
círculos, as quais se dividem em dois tipos: duas tangentes, ditas externas,
que deixam os dois círculos em um mesmo semiplano e duas outras, ditas
internas, que os deixam em dois semiplanos opostos. Analisemos a con-
strução de uma tangente que deixa os círculos em um mesmo semiplano
(para as tangentes do outro tipo, adapte a construção acima descrita).
Sejam r uma tal tangente, O e O′ os centros e R e R′ os raios de Γ
e Σ, respectivamente, e T e T ′ os pontos de tangência de r com Γ e
Σ, também respectivamente; supondo, sem perda de generalidade, que
R > R′, trace a reta s, paralela a r e passando por O′ e marque o ponto
S de interseção do raio OT com s. O triângulo OO′S é retângulo em S
e tal que OS = R−R′; construa-o para obter o ponto S e, em seguida,
marque a interseção T da semirreta−→OS com Γ; por �m, trace a tangente
desejada r como a paralela à reta s passando pelo ponto T .)
23. * Dois círculos Γ1(O1;R1) e Γ2(O2;R2) são secantes, intersectando-se
nos pontos A e B. Dado um segmento de comprimento l, explique
como traçar, com régua e compasso, uma reta passando por A (dita
secante aos círculos), intersectando Γ1 e Γ2 respectivamente em X e em
Y (com X, Y 6= A), e tal que XY = l. Explique sob que condições
há solução. (Sugestão: supondo o problema resolvido, sejam M e N ,
respectivamente, os pontos médios dos segmentos AX e AY , de forma
19
Unidade 7 Tangência e ângulos no círculo
que MN = l2. Construa, então, um triângulo O1O2P , retângulo em P e
tal que O1P ‖MN . Mostre que haverá solução se, e só se, O1O2 ≥ l2.)
24. Dois círculos Γ1(O1;R1) e Γ2(O2;R2) são secantes, intersectando-se nos
pontos A e B. Explique como traçar com régua e compasso a secante
aos círculos, passando por A e tendo comprimento máximo. (Sugestão:
analise a solução do problema anterior.)
25. Temos, desenhado no plano, um triângulo ABC. Dado um segmento
de comprimento a, construa, com régua e compasso, um triângulo equi-
látero MNP , de lado a e tal que A ∈ NP , B ∈ MP e C ∈ MN .
(Sugestão: inicialmente, considere os arcos capazes de 120◦, construídos
sobre os lados e exteriormente ao triângulo ABC. Em seguida, aplique a
construção do Problema 23, página 19.)
26. Temos, desenhado no plano, um triângulo ABC. Construa, com régua
e compasso, um triângulo equilátero MNP , tendo o maior lado possível
e tal que A ∈ NP , B ∈ MP e C ∈ MN . (Sugestão: analise a
solução dos dois problemas anteriores, procurando adaptá-las à condição
de comprimento máximo possível para o lado de ABC.)
27. De um triângulo ABC, conhecemos as posições dos vértices B e C e a
medida α do ângulo ∠A. Conhecendo a soma l dos comprimentos dos
lados AB e AC, construa com régua e compasso a posição do vértice
A. (Sugestão: supondo o problema resolvido, seja A′ o ponto sobre a
semirreta−→BA, tal que BA′ = l. Mostre, com o auxílio do teorema do
ângulo externo, que BA′C = α2. Agora, construa A′ como a interseção
de dois lugares geométricos: o círculo de centro B e raio l, juntamente
com os arcos capazes de α2sobre BC. Por �m, A é a interseção de A′B
com a mediatriz do segmento A′C.)
O resultado do problema a seguir é conhecido como o teorema da corda
quebrada, sendo devido a Arquimedes.
28. São dados um círculo Γ e pontos A, B e C sobre o mesmo, tais que
AB > AC. Marcamos o ponto médio M do arco_
BC que contém A,
20
Unidade 7Triângulos e Circunferências
bem como o ponto N , pé da perpendicular baixada de M ao segmento
AB. Prove que BN = AN + AC. (Sugestão: marque o ponto A′ ∈−→BA \ AB, tal que AA′ = AC. Em seguida, use o teorema do ângulo
externo para mostrar que BA′C = 12BAC. Agora, use a solução do
Exemplo 10 para mostrar que o círculo de centro M e raio MB = MC
passa pelo ponto A′. Por �m, use este fato, juntamente com←→MN⊥
←→A′B,
para concluir que BN = A′N .)
21
Unidade 7 Círculos associados a um triângulo
7.2 Círculos associados a um triângulo
De posse dos conceitos de arcos capazes e tangência de retas e círculos,
retomamos aqui nosso estudo dos pontos notáveis de um triângulo.
Proposição 14 Todo triângulo admite um único círculo passando por seus vértices. Tal
círculo é dito circunscrito ao triângulo e seu centro é o circuncentro do mesmo.
Demonstração Seja ABC um triângulo de circuncentro O (�gura 7.13). Como O é o ponto
A B
C
O
s
t
r
Figura 7.13: circuncentro e círculo circunscrito a um triângulo.
de interseção das mediatrizes dos lados do triângulo, temos OA = OB = OC.
Denotando por R tal distância comum, segue que o círculo de centro O e raio
R passa por A,B,C. Existe, portanto, um círculo passando pelos vértices de
ABC.
Reciprocamente, o centro de um círculo que passe pelos vértices de ABC
deve equidistar dos mesmos. Portanto, o centro pertence às mediatrizes dos
lados de ABC, donde coincide com o ponto de interseção das mesmas, que é o
circuncentro O. Por �m, o raio do círculo, sendo a distância de O aos vértices,
é igual a R.
22
Unidade 7Triângulos e Circunferências
Proposição 15Se ABC é um triângulo de circuncentro O, então O está no interior (resp.
sobre um lado, no exterior) de ABC se, e só se, ABC for acutângulo (resp.
retângulo, obtusângulo).
Demonstração[ Sejam Γ o círculo circunscrito a ABC, M o ponto médio de BC. Há três
casos a considerar:
(a) O está no interior de ABC (�gura 7.14): no triângulo OAB temos AOB =
2ACB. Por outro lado, 0◦ < AOB < 180◦, donde 2ACB < 180◦ ou, ainda,
ACB < 90◦. Analogamente, ABC < 90◦ e BAC < 90◦, donde ABC é
acutângulo.
A B
C
O
M
Γ
Figura 7.14: O está no interior de ABC.
(b) O está sobre um lado de ABC (�gura 7.15): suponha, sem perda de
generalidade, que O ∈ BC. Nesse caso, BC é diâmetro de Γ e O é o ponto
médio de BC, de maneira que
BAC = 90◦ =1
2
_
BXC =1
2180◦ = 90◦.
(c) O está no exterior de ABC (�gura 7.16): suponha, sem perda de generali-
dade, que O e A estão em semiplanos opostos em relação à reta←→BC. Como
a medida do arco_
BC que não contém A é claramente maior que 180◦, temos
BAC =1
2
_
BXC >1
2180◦ = 90◦,
23
Unidade 7 Círculos associados a um triângulo
B C
A
O
X
Γ
Figura 7.15: O está sobre um lado de ABC.
B C
A
M
O
X
Γ
Figura 7.16: O está no exterior de ABC.
e ABC é obtusângulo em A.
Corolário 16 Seja ABC um triângulo acutângulo de circuncentro O. Se M é o ponto
médio do lado AB, então AOM = BOM = ACB.
Demonstração Imediata a partir da prova do item (a) da proposição anterior, tendo-se em
conta que
AOM = BOM =1
2AOB = ACB.
24
Unidade 7Triângulos e Circunferências
Proposição 17Todo triângulo admite um único círculo contido no mesmo e tangente a
seus lados. Tal círculo é dito inscrito no triângulo e seu centro é o incentro do
mesmo.
DemonstraçãoSeja I o incentro de um triângulo ABC (�gura 7.17). Como I é o ponto
de interseção das bissetrizes internas de ABC, temos que I equidista dos lados
de ABC. Sendo r tal distância comum aos lados, segue que o círculo de centro
I e raio r está contido em ABC e tangencia seus lados. A unicidade do círculo
A
B C
I
Figura 7.17: círculo inscrito em um triângulo.
inscrito pode ser estabelecida mediante um argumento análogo ao da unicidade
do círculo circunscrito, sendo portanto deixada ao leitor.
Exemplo 18Construa com régua e compasso os círculos inscrito e circunscrito ao
triângulo ABC dado a seguir.
Solução
A
B
C
Descrição dos passos.
1. Para o círculo inscrito, comece construindo o incentro I de ABC.
25
Unidade 7 Círculos associados a um triângulo
2. Em seguida, trace a reta r que passa por I e é perpendicular ao lado BC.
3. Se M for o ponto de interseção da reta r com o lado BC, então o círculo
inscrito é aquele de centro I e raio IM .
4. Quando ao círculo circunscrito, construa, inicialmente, o circuncentro O
de ABC.
5. O círculo circunscrito é aquele de centro O e raio OA.
Associados a todo triângulo há, ainda, três outros círculos notáveis, os
círculos ex-inscritos aos lados do triângulo.
Proposição 19 Em todo triângulo ABC, existe um único círculo tangente ao lado BC e
aos prolongamentos dos lados AB e AC. Tal círculo é o círculo ex-inscrito ao
lado BC e seu centro é o ex-incentro de ABC relativo a BC (ou ao vértice
A).
Demonstração Sejam r e s as bissetrizes externas dos vértices B e C do triângulo ABC e
Ia seu ponto de interseção (o leitor pode checar sem di�culdade que as porções
das retas r e s situadas na região angular ∠BAC formam ângulos agudos com
o lado BC, de forma que r e s realmente concorrem em tal região angular).
Como Ia ∈ r e r é bissetriz, segue que
d(Ia,←→BC) = d(Ia,
←→AB).
Do mesmo modo, uma vez que Ia ∈ s, concluímos que d(Ia,←→BC) = d(Ia,
←→AC).
Denotando por ra a distância comum de Ia às retas suportes dos lados, segue
que o círculo de centro Ia e raio ra tangencia BC e os prolongamentos de AB
e AC (a unicidade do mesmo é deixada ao leitor).
Observações 20.
i. Em geral, dado um triângulo ABC, denotamos o centro e o raio do
círculo circunscrito respectivamente por O e R, do círculo inscrito res-
pectivamente por I e r, e do círculo ex-inscrito a BC respectivamente
por Ia e ra.
26
Unidade 7Triângulos e Circunferências
A C
BIar
s
Figura 7.18: o círculo ex-inscrito ao lado BC do triângulo ABC.
ii. Todo triângulo ABC admite exatamente três círculos ex-inscritos; con-
soante as notações estabelecidas no item i., denotamos os centros e raios
dos círculos ex-inscritos a AC e AB respectivamente por Ib, Ic e rb, rc.
Uma consequência imediata da prova da proposição acima é o seguinte
Corolário 21Em todo triângulo, a bissetriz interna relativa a um vértice concorre com
as bissetrizes externas relativas aos outros dois vértices no ex-incentro.
Proposição 22Seja ABC um triângulo de lados AB = c, BC = a, CA = b e
semiperímetro p (�gura 7.19). Sejam D, E e F os pontos onde o círculo ins-
crito em ABC tangencia os lados BC, CA e AB, respectivamente, e suponha,
ainda, que o círculo ex-incrito a BC tangencia tal lado em M e os prolonga-
mentos de AC e AB respectivamente em N e P . Então:
(a) BD = BF = p− b, CD = CE = p− c, AF = AE = p− a.
(b) AN = AP = p.
(c) BM = BP = p− c, CM = CN = p− b.
(d) EN = FP = a.
(e) O ponto médio de BC também é o ponto médio de DM .
27
Unidade 7 Círculos associados a um triângulo
Demonstração(a) Denotando AE = AF = x, BD = BF = y e CD = CE = z, obtemos
o sistema x+ y = c
y + z = a
z + x = b
.
Somando ordenadamente essas igualdades, obtemos x+ y + z = 2p e, daí,
x = (x+ y + z)− (y + z) = p− a.
Analogamente, y = p− b e z = p− c.
A C NE
I
Ia
BF
P
D
M
Figura 7.19: alguns segmentos notáveis do triângulo ABC.
(b) Sendo AN = AP = u, temos
2u = AN + AP = (AC + CN) + (AB + BP )
= (AC + AB) + (CN + BP )
= (b+ c) + (CM + BM)
= b+ c+ BC = a+ b+ c = 2p,
de modo que u = p.
(c) É claro que BM = BP e que CM = CN . Por outro lado,
BP = AP − AB = p− c e CN = AN − AC = p− b.
28
Unidade 7Triângulos e Circunferências
(d) Façamos a prova de que EN = a (provar que FP = a é análogo):
EN = AN − AE = p− (p− a) = a.
(e) Basta provar que CM = BD, o que já �zemos acima.
Os cálculos da proposição acima são úteis em muitos problemas, valendo
mesmo a pena memorizar pelo menos os resultados dos itens (a), (b), (d) e
(e). Observe, ainda, que os itens (c), (d) e (e) são decorrências praticamente
imediatas dos itens (a) e (b).
Terminemos esta seção com um resultado que fornece outra relação entre
o incentro e os ex-incentros de um triângulo.
Proposição 23Seja ABC um triângulo qualquer, I seu incentro, Ia seu ex-incentro
relativo a BC e M o ponto onde o círculo circunscrito a ABC intersecta o
segmento IIa (cf. �gura 7.20). Então, M é o ponto médio do arco BC que
não contém A e
MB = MC = MI = MIa.
A
C
B
IM
Ia
Figura 7.20: incentro, ex-incentro e ponto médio do arco correspondente
DemonstraçãoComo MAB = MAC = 12A, segue do teorema do ângulo inscrito que os
arcos_
MB e_
MC que não contêm A são iguais e, portanto, M é seu ponto
médio. Como arcos iguais subentendem cordas iguais, temos MB = MC.
Veja, agora, que BMI = BMA = BCA = C e
IBM = IBC + CBM =1
2B + CAM
=1
2B +
1
2A.
29
Unidade 7 Círculos associados a um triângulo
Portanto,
BIM = 180◦ − IBM −BMI
= 180◦ − 1
2B − 1
2A− C
= A+ B + C − 1
2B − 1
2A− C
=1
2B +
1
2A = IBM,
de modo que o triângulo IBM é isósceles de base BM . Assim, IM = BM =
CM .
Deixamos como exercício para o leitor provar a igualdade BM = MIa; o
argumento é análogo ao acima.
30
Unidade 7Triângulos e Circunferências
1. Construa o triângulo ABC conhecendo os comprimentos do raio R do
círculo circunscrito e a e b dos lados BC e AC, respectivamente.
2. Sejam ABC um triângulo qualquer e M e N , respectivamente, os pontos
onde as bissetrizes interna e externa relativas ao vértice A intersectam o
círculo circunscrito a ABC. Prove que MN é um diâmetro desse círculo.
3. Seja ABC um triângulo qualquer e sejam M , N e P os pontos onde as
bissetrizes internas de ABC, relativas respectivamente aos vértices A, B
e C, intersectam o círculo circunscrito ao triângulo (M 6= A, N 6= B,
P 6= C). Prove que o incentro de ABC é o ortocentro de MNP .
4. Sejam a, b e c três retas do plano, duas a duas concorrentes mas não
passando as três por um mesmo ponto. Construa com régua e compasso
os pontos do plano equidistantes de a, b e c.
5. * Prove que, em todo triângulo, os pontos simétricos do ortocentro em
relação às retas suportes de seus lados estão situados sobre o círculo
circunscrito. (Sugestão: sejam ABC um triângulo acutângulo (a prova
nos demais casos é análoga), H seu ortocentro, Ha o pé da altura relativa
a A. Como←→HHa⊥
←→BC basta mostrarmos que, sendo P o outro ponto de
interseção da reta←→AH com o círculo circunscrito a ABC, tem-se HHa =
HaP . Para tanto, use o teorema do ângulo inscrito para estabelecer a
congruência dos triângulos BHaP e BHaH por ALA.)
6. De um triângulo ABC conhecemos as posições dos vértices B e C, a
medida α do ângulo ∠BAC e o semiplano β, dos determinados pela
reta BC, no qual está situado o vértice A. Quando A descreve o arco
capaz de α sobre BC, situado no semiplano β, encontre o LG descrito
pelo ortocentro H de ABC. (Sugestão: use o resultado do problema
anterior.)
7. De um triângulo ABC conhecemos as posições dos vértices B e C, a
medida α do ângulo ∠BAC e o semiplano β, dos determinados pela reta
BC, no qual está situado o vértice A. Quando A descreve o arco capaz
de α sobre BC situado no semiplano β, encontre o LG descrito pelo ex-
31
Unidade 7 Círculos associados a um triângulo
incentro Ia relativo a BC. (Sugestão: use o resultado do Problema 15
da Unidade 3.)
8. Seja ABC um triângulo retângulo em A e H o pé da altura relativa à
hipotenusa BC. Sejam, ainda, I1 e I2 os incentros dos triângulos ABH
e ACH. Prove que A é o ex-incentro do triângulo I1HI2 relativo ao lado
I1I2. (Sugestão: use o resultado do problema anterior.)
9. Construa o quadrado ABCD, conhecendo as posições de quatro pontos
M,N,P,Q situados respectivamente sobre os lados AB, BC, CD e
DA. (Sugestão: adapte a sugestão dada para o Problema 20, página 18,
utilizando o resultado da Proposição 23.)
10. (OIM.) Em um triângulo ABC, marcamos os pontos Q e R, de tangência
do lado BC respectivamente com o círculo inscrito em ABC e ex-inscrito
a ABC em relação ao lado BC. Se P é o pé da perpendicular baixada de
B à bissetriz interna de ABC relativa ao vértice A, mostre que QPR =
90◦. (Sugestão: sendo M o ponto médio do lado BC, use o resultado
do Problema 16 da Unidade 5, para calcular PM em função de AB = c
e AC = b; em seguida, calcule QR em função de a e b com o auxílio da
Proposição 22 e use o resultado do Problema 12 da Unidade 3.)
11. Construa o triângulo ABC, conhecidos os comprimentos p de seu semiperímetro,
a do lado BC e ra do círculo ex-inscrito ao lado BC. (Sugestão: nas
notações da Figura 7.19, observe que o triângulo ANIa é retângulo em
N e tal que AN = p, NIa = ra; portanto, podemos construí-lo. Após
executar tal construção, trace o círculo ex-inscrito ao lado BC (o qual
tem centro Ia e raio ra), bem como a outra tangente ao mesmo pas-
sando por A. Note, agora, que podemos marcar sobre AN o ponto de
tangência E do círculo inscrito em ABC com o lado AC, uma vez que
AE = a. Após fazê-lo, marque o incentro I de ABC, como a inter-
seção de AIa com a reta perpendicular a AN e passando por E. Por
�m, trace o círculo inscrito em ABC (o qual tem centro I e raio IE) e
uma das tangentes comuns internas aos círculos inscrito e ex-inscrito (cf.
Problema 22, página 19), obtendo os pontos B e C.)
32
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