M1 funciones límites

FUNCIONES

- Definiciones: Dado el conjunto lll y ul sutrconjunto D c l)1, defi¡imos como iúnción ,. f ,, de D

sobre lll a una aplicacién de fonna que a cada valor de D le haga c'.rresponder un

úrnico valor de :)t .

Simbólicarnente f :xeD -----r ffx) e ü

f(x) se lee "f de x" y es el vaior que asigna la ñrnción f al valor x peüeneciente a D y

que por lo tanto se denomina irnagen, J^d^ pt $, & r,

A D se le llama dominiqie definición de la función f

llama recorrido de f .

, .'".Dos funciones son, iguales si coinciden sus dominios y las imá-eenes dadas por, ¿unbas funcrones aleda t¡na de los elernentos de D.

Ejemplo: a) gláfico b) nurnérico

f :xe Vl -----+i ' [ -q):*2

3 - - - - - -+ f (31 :32=9

- 2 ----) f{- 2): (- 2)': 4

D = t l t

R e c s m d o : { * . $ 1 / x > 0 }

f(x ')

f(x)

(x.)

9t

g : x€ lii -----+ g(x): r[

3 ---:+ f(3): .vE

4 ---+ f@:^14: zD: { xc : } l 1x>0 }

Recorridr: : {*. !f / x > 0}

2.- Gráfica de una función: Se define como gráfica de una función f al c,rnjunto de p¿ntos decoordenadas P (x, (,,)) con xe D. Por lo tanto la ordenada de los puntos de la curva de lagráfica de la ñrnción vend¡á dada por l' = (x) de forma que esta expresión es otra lbrma de dar laecuación de la curva de la eráfica de f.

3.- Funcionps pares e impares: * Decimos que f(x) es una filrción par si Vx e D -+ f{-x) = f(x) .

Comolospuntos P(x . f (x ) ) y P ' { - r . f ( -x ) : f (x ) ) per tenecena lag¡á f ica-v - sons i rnér r i cosrespecto de OY, la gráfrca de la función también sei'á simétrica respecto de Oy y recíprocarnente.

Ello signitica que la gráfica es invariante respecto de un giro de l80o respecto al e.i* oy. El eie Oyes el eje de simetría de la gráfica de f,

E-iernplo: f (x):x2

Vr . f (-x) = (-x):= x2 : f (x)

* Decimos que f(r) es una función ünpal si Vr e D + f(-x) = -f(x) .

Corno lospuntos P (x, f(x)) y P'(-x, f(-r) =-(r)) pertenecen a la g:ifica-v son simétricos

respecto del origen de coordenadas O ,v recíprocarnente. la gráfica de (x) es siruétnca respecto de

O, e invariante respecto de un doble giro de l80o respecto del eje OY y dei eje OX .

E-iernplo: f(r): *:

Vx, f(-x) : (-x)¡- *x] = -f(x)

De la definición de función impar deducimos que f(-0) = f(0): -f(0) =+ ff0)-=il siempre que

x - 0 pertenezcaaD.

Luego si una fimción impar está definida en :i : 0. la gráfica pasará por O .

Función periódica: Decimos que

De aquí, también se cumple que

Ejemplo gráfico

(x) es periódica, con periodo T si Vx E D + f(x) = f(x + T) .

Vx e D-+ f(x) = f1x + kT) con keZ .

\

ft*+T) " |c*r ú*

*rT

Como si T curnple la condición de periodo, kT también la cumple. llamarett¡o= estrictamente

periodo T al menor de los valores que cunplen la condición.

5.- Operaciones con funciones: * Suma de funciones: Dadas dos firnciones f y g detinimos como suma

de dichas funciones a otra función s = l+ g del modo siguiente:

S I x ------) (f + g)(x): f(x) - g(x)

. ^ , . r 1 - 2Ejernplo: f (r) = r- , g(x) : : = ' ( f+ g)(x) : f (x) + g(x) :x-

x

4 .

Ir

X

e(. ,lr*r)

Propiedades:

J

f+g :g* ¡ (conmuta t iva)

(f + g) + h: f + (-s+ h): f '+ g r h (asociat iva)

Elemento neutro: a (función ntila)

o . x - - - - - J o ( x ) : Q

Sugráf icaes el ejeOX ysiempre cumple Vf, f+o : f

Función opuesta: llamarernos fmción opuesta de f , (-f ) , a l¡r función

-f . x ------+ (-f)(x) : - f(x)

Evidentetnente Vx e D, f(r) + (-0(x) = f{x) + (-f(x)) = tl

La gráfrca de la función opueste de f es simétrica de la gráfiea de f respecto al

eje OX

* Producto por un número real: Dados i, e:)t y una fi.mción f , defirimos el produeto de f por i" a

la función p: ) , ' f de modo que

p : x - - - - - e p ( x ) : ( ¡ " . f X x ) : f ' ( x )

Ejemplo: f(x): "z

(2 '0 ( * ) = 2 ' f (x ) :2 x :

a)

b)

c)

d)

* Función identidad :. I :

Su gráfica viene dada por

------) I(x) = x

= x que es la bisectriz del prtmer cuatlrante

X

v

* Composición de funciones. Dad¿rs dos funciones f

compuesta con g) a la función siguiente :

=t(4

=i-f )c*r

B' | : x -------+(9. t)tx) - g ( ' f t \))

y g , d e f i n i m o s g n f { ' g s o b r e f ó f

Gráficamente

En general g " f + fo g . es decir. la cumposición de

funcicnes no iiene la propiedad con¡intativa.e (f(r))

* Función inversa: Sea una función f : x -------* f(*) = y

Si la correspondencia inversa y + x es tirnción, es decir, si a cada "y" te coresponde

una única x , o lo que es lo mismo, si cada "y" es imagen dada por f de una sola x , dicha

correspondencia inversa define una firncion llamada función inversa de f . f -i

, de frrnna que

^ - l ^ _ '

t ' : y - - - - - - ) t ' ( ) ' ) = "

Por lo tanto no toda función tiene inversa. Así:

x t

x 2

K l

x 2

+

l ll---+ | v,

tlk - lY ¡t x lt- l \ lr tv 't l

Dt i

- ¡ - l .r r - ( K )

x-1x3

Conociendo la gráfrca de una función f " podemos saber si

inversa. Si una recta horizontal cualquiera corta a la gráfica

existirá f -'(r)

.

Por el contrario, si alguna recta horizo¡rtal corta a la gráfica de

no existirá f -t(*)

dicha función tie¡¡e o no función

de f(x) , a lo su:¡rq en un punto,

f{x) en más de un Funto, entonces

5

Teniendo en cuenta la definición de función inversa tenemos que si un pulrto P {:<, y) penenece ala gráfica de f , el punto P'(y, t), simétrico ,Jel anterior respecro de Ia bisectriz del primer

cuadrante peftenecerá a la gráfica de f I. Las gr'áticas de f y f I son sirnétricirs res'ecto tJe Ia

Aplicando la definición de composición de funciones tenemos

que :

I f - 'o f : fc f - l - ¡r - t

Í c^I r "

I: función iei¿nridad f(x): x.

Su -sráfica es l¿r bisectriz del primer cuadrante ,t Valor absoluto de una función:

( * ) :g(x) < 0

g(x) > o

6.- Sucesiones : Se llama sucesión de números reales a toda fi¡rción en la que el c¡rrninio D coincide

con N (conjunto de números naturales)

En estas condiciones se ernplea una nrltación especial: f (n) = Sn, Ejemplo: t-{l) =

asl :1 l

r ( l ) :l z ' | 1I f t L

f ( 2 )=2 2 + l 5

Como casos particulares de sucesiones citaremos:

a ) S u c e s i ó n a r i U n é t i c a ( p r o g r e s i ó n a r i t n i é t i c a ) + S n : f { n ) : a + b n c L } ñ a . b e } 1 . S u

expresión ft¡ncional es lineal.

b) Sucesión geornétr ica (prog¡esión gecrnénica) + Sn= f (n): a.b* con a. be t t t . Su

expresión fincional es exponencial (la vürernos rrrás adelante)

Para encontrar las exptesiones típicas de las progresiones a partir de las defi¡iciones tendremos encuenla:

* Progresiones aritlnéticas : S , , : a * b nS n - S n _ i : b ( c t e ) V n > I

S n _ i - o ' b ( n - t )

b recibe el nombre de "diterencia" de la progresiirn aritmética.

|.- e(xl Vx /l s (x ) l= j

L e(x.) Vx I

ll

- n n l + l

bisectriz del primer cuadrante.

Podemos escribir S n : á + b n : a + b l t - ¡ b * b - a + b = b ( n - l ) : S , + b l n - l )

* Progresiones geoméü icas:

Sn = s .b " LS n - l = u - b t ' - t - j

¡ ¡ _ h1 - - U

s- n - l

b recibe el nombre de "razón" de la progresión geométnca y podemos escribir :

b n . n - lS n - ? ' b n : a ' : - ' b : a b b ' ' - ' - S , b " '

n -

7.- Funciones polinómicas: Las funciones más básicas que podemos manejar s.in las funciones

p o l i n ó m i c a s : f ( x ) : á n X n + a n r x n - ] + " ' + a i f * i l o

Si f(x) : Pr(x) (polinomio de l" gradcr) su gráfica es una recta y recibe et uoi¡rbre de función

lineal

Si el pol inomio es de 2o grado f(x): a:rr+ b r* c. su gráf icaes unaparábr: iade ejevert¡cal

(véase f(x) : *: ) . Su concavidad depende del signo de "a" y su posición relatir,'a re specto del eje

OX viene dada por las raices del polinomio de 2o grado

Las fiulciones polinómicas de grado superior son. ett general. complejas y'- cornü ejemplo veremos

f(x) : *:

y = a x - r b

7

8.- Transformación de tunciones: Dada la función "n" : f(x) estudiaremos la relacién d¿ su sráfica con

las gráficas de las funciones siguientes:

* y: f(r) + k : Su gráfica corresponderá a 7a trasiación vertical de la graiica original de

* y : ( r _ a )

y : (x) haciaambaen unarnedidaigual a k si k >0 .v- haciaabajo si k < 0.

Su gráfica correspLrndc a la h'aslación horizontal de la Eáfica *nginal hacia la

derechaenunamedidaigual a "a" si a> 0 yhacia la izquier.de ri a < 0.

Su gráfica corresponde a "alalgar'' la gr'áfica original d. y = {x) verticalnente

en una rnedi,la dada por el fact¡:r k si k > 0.

si k <0, el factorde "distensión" sería i r l v además giraremoslagráf ica

180o respecto al eje OX.

Su gráfica corresponde a "comprirnir" horizontalments la griitica originai por

un factor k si k > 0 . Si k < 0 comprimi¡emos según trn factor I k I y

giraremos l80o respecto al eje OY.

* y = k ' f { x )

* Y : f ( k ' x ) :

LIiv-tITE DE FUNCIONES

Límite de una función en un punto:

( "

Supongamos querer estudia¡ el compofirrmiento de tt-;: ]t--[ )

de l ounto x :2

Se olrserva que al aproúrnar los valores de x a l. Ios valores de

f(x) se acercan a 4 {ver con la calculadoral

Diremos que -l es el línite de f(x) cuanrJo x iiende a 2 si los

valores de t1x) son todo lo cercanos a "l como nosotros

queramos. en todos ios puntos distirrtos de 2, que estén

suficientemente próximos a x: 2 ; es decir. si todos los puntos

del eiltorno inmediato de x = 2 toman valor,e: de f(x) todo lo

celcanos que quer¿rmos a 4 (comprobar con Ia ealculadora)

Obsén'ese que la idea de lín-rite no tiene en cuenta en rungún sentido lo que ocurra en x: 2. sino

lo que ocurra en las proximidades de x:2.

En general, diremos que I- : *111.

f(x) si los valores que toma f(x) en trdos los puntos

suficientemente próximos a x0 (e-rcepto .\il ) son todo lo cercanos que queramos a L.

Límites laterales.

Decimos que L es límite de (xi cuando x tiende a rí) por su derecha ( L = lü*_f(x)) cua¡do,3 IL i

los valores de (x) se acercan todo lo clue queran'ios a L en todos los puntos a l¿ derecha de x,,,

suficientemente próximos a xo.

Análogamente se define el límite por la izquierda ( L: lim _ f(x))

x - ) x 0

Eiemplo:

[ . x+ l s i x c lI

f ( x ) : { 3 s i x=1Il - *+1 s i x> l

l im f (x) = 1 i* (x + l ) = 2x ->1 - x -+ l -

l im f ( x )= 11 t t r ( - x+ l )=Or + , +

x - + t x + l

( 1 ) : 3

Se demuestra que la condición necesaria y suliciente para que f1x) teng¡r iím¡re en x0 es que

existan los lílnites laterales a izquierda -v derecha y arnbos coincidan

s i x *2

si x = 2 to ias Proximidades

. li /

- - - - 4f.

Si alguno de los límites laterales no existe, o si existiendo los dos límites later¡rles son distintos.

diremos que no existe el límite de Ia furrción f(x) ¿uando x fiende a x ¿ ( 3 lirn f(x) ).X--)I,¡

Límites en el infinito. Límites infinitos:

I

Sea la función f(x) : I

cuya griífica es la de la figriraX

Se observa que cuando los valores positivos de x crecen.

los de f(x) van tomando cada vez valores más próximos

a cero.

De hecho los valores de f(x) son tan próximos a ceto collro

queramos en todos los puntos pala los que x es suficientemente grande. Di¡ernos en este caso que

cero es el límite al que tiende t{x) cuando x tiende a rnás infinjto:

0: l im f(x).\ -+ +!c

En general diremos que L es el límite al que tiende (x) cuando x tiende a

escribiremos: L : lim f(") , si los valores de f{x) son todo lo cercanos a

en.las proxirnidades de x = $ por la derecha_

f t * l - - !

más infinito, y lo

L como queramos,

siempre que los r;;::" x sean suficientemente grandes y positivos.

De fbrma totalmente análoga definiremos L : lim f(x) para los

suficientemente pequeños y negativos.

valores de x que sean

Si f(x) tiene límite L (fi¡ito) en + "o ó - co

y=L en +co ó -co respect ivamente.

dirernos que f(x) tiene una asintotit lrorizontal (A H)

Si analiza:nos el comportarniento de f{:x) : r

x

obsen'amos que los valores de f(x) se hacen todo lo grandes que quer¿ul1os y de signo positivo,

siempre que los valores de x se aproximen suficientemente a cero por dicho ledc. Diremos que

f(x) tiende a + co cuando x tiende a cero por la de{echa:

l im* (x): * co\--)(r'

De forma completamente análoga y razonando sobre lo que ocrÍre a la izquierda ijel valor cero de

x . podremos afirmar para dicha función que f(:i) fiende a -ao cuando x tierrd* a cero por la

izquierda:

lim f(x) = -*r + 0 -

t nI V

Generalizando, diremos que lim f(x) : + co (ó -o ) cuurdo al apro.rirnar r suficientemenrex+xj

o x e por su derech4 todos los valores de f{x) son tnayores que cualquier canfid¿d k positiva

fijada de antemano (o menores que cualquier cantidad k negativa fijada de antct:ano).

Análogamente definiremos lim _ f(x) : + oc (ó -.o )

](--)Xrr

* Cuando ambos límites laterales de t]x) en x 6 Son infinitos del mismo:€igs diremos que

tim f(x): + oo ó - oo . respectivamente (según los casos)

f(") =+ en

Podremos decir que Im f(x) = a6r-+ 0

* Si alguno de los límites laterales de t1x) en x e es i co diremos que f(x) tiene una asintota

vertical ۟ X: Xn

También puede generalizarse el concepto de límite cuando f(x) crece o decrece ilimitadamente,

pudiéndose definir

I t* f(x) = a¡6x:o ver i f ica I r+o+

I lim f(x) = a"6I x - + 0 -

lirn f(x) = -F qox-+ + rc

l im f(x) = - .o](-+ - lc

* \u1*f(x)=-*

l im f (x )=a"6x-) -:c

(Ver ejemptos)

Dada la función (x) , diremos que i¿ fi.urción f(x) esContinuidad de una función en un ounto:

continua en el punto x 0 si se verifica que

En el caso en el que la definición ( I ) no se cumpla diremos que

( l )

f(x) no es continua en xo (o sea,

(x) es discontinua en x e )

Para que pueda cumplirse la definición rie firnción contiuua en un punto x,¡ ha dc verificarse:

a) f(xo ) deberá estar definido -+ x¡ € D

b) [m f(x) deber'á estar definido -+ Existir'án los dos límites laterales i¡umar¿in un valorx-J\{)

finito) en rs ]Íunboscoincidirán

f(x) =

il

c) l im f ( r ) : f (xo)x--)x0

-) el valor del límite coircidirá con el valor de la iuncién sfl x,r

Gráficarnente ello significa que a partir del punto P (x o , (x o )) un pequeño des¡l:rzamiento hacia

la izquierda o hacia la derecha por la gráf*rca de la f-unción se reaiizará de forma e*ttinua- es decir.

sin realizar nineún salto finito ni infinito.

Continuidad lateral:

Dirernós que f(x) es continua a la deresha de r,1 cuando

Diremos que (x) es continua a la izquierda de x ¡ cuando

Ejemplo:

l im f(r) : f (x¡ )x - + x [

l im f(x) : t{x¡ )X - + f n

l - x+ lf ( r ) : {

I x+ l

Vemos que l im f(x):0x - > l -

s i x<1

s i x> l

]=

n l im f(x) -a |r-*)

no ¿1 ¿¿;.t{^La úñ x--1

x + l

limx - > l -

r ( x ) :2

Ahora bien.

(o lo que es

izquierda)

f ( t ¡ = g

f ( l ) : t im f (x) : 0 .r - > l -

lo mismo, el trazo de f(x) es

luego f(x) es continua a la iequierda de x : 1,

continuo desde el punto y : 0 ien x : 1) hacia la

Puede demostrarse que:

* Todas 1as ñlnciones polinómicas son cr¡ntinuas en toda la recta real.

* La sum4 resta y producto de dos funciones continuas en un punto es ot'a ñlncion continua en el

mismo punto.

* El cociente de dos firnciones continuas en un punto es otra finción continua en el mismo punto,

excepto en los puntos en los que se anula el denominador.

12

Cálculo de límltes de operaciones con funciones:

Se puede demostrar que si

L : l im f(x) y L' : l im g(r) entonces.

f -+ \¡¡ X-+ \0

* l i m [ f ( x ) + g ( x ) ] : L + L '\--) \¿ ..

(r *')

* l i m k f ( x ) : k LX -> X()

\100)

* l i m f ( x ) ' g ( r ) : L ' L 'S-+ X¡

( fo.)

f l x ) Lx t i m = : ; s i L ' + or -+x , , B(x ) L

(t'd (si L' : 0" coinprobar la posibilidad de límite infixito)

* l i rn [ f (x)]e(x) - ¡L ' (s i L *0 ó L, +0)

X-) Xg

(t e)

Casos en los que inteniene un límite inl'inito:

S i l i m f ( x ) : L y l i m g ( x ) : + o { L ' )\--) xg x-) x¡

( t*) ( t * ,)

llamaremos forma simbólica del límite a la expresión que se obdene de sustizur¡ en las reglas de

operaciones de límites del apartado arterior L y L' por sus valores finitos o infinitos. según los

casos.

Así, la forma de lim [f(x) + g(x)] será L * .¡ y daremos ei valor del límite:X-+ Xg

l+-o- )

l i m [ f ( x ) + g ( x ) ] : + c o\ - ) \ ^

( t * )

Simbolizando el caso de operaciones de lírnltes de funcicnes por sus formas respcutivas

I J

il.* : * 'l\ K - c a

= - c o s l

L: l im f ( * ) y + coK--+\0

f * * s il im k ' g ( r )= j -

x* )x ¡ [+ to s l

I +oo)

Si

l im f (x ) 'g (x ) =X-)\6

( t * )

f( x)lim ----:--- : u

x+:<¡ 9tx)(+ o-\

: l i m g i x ) :\--+tt{)

k > 0

k < 0

L > 0

L < 0

t o s i L > 0

* c o S l L < U

wl.¿,lizat los laterales si L = 0

k rO - )k.0 J

LrO lL .0 )

si

si{ ,

*

I L .*J*- sil T * s i

I L ^ Il - = { , It - l\ c o l

* l im f(x¡e(s)x-+\9

l'¡ oo)

(¡ . / . \ | j O S l* l i m g ( x ) " t ' = l

* * * o ' ' [ 0 s i

¡ + _ )

cDcorno: - )

. . r(x)I t m ^ =

x--+x¡ 8(x)

{+ p¿l

r,,r, [r * 1l' yz - + " c \ z )

=- * s i L>0

L

3 = - * s i L<0L

3 - analizar laterales; ver *i existe límite0

_Jo- l**

s i 0 < L < 1 y L ' = + c o ó s i L > l y L ' = - . {

s i 0 < L < l y L ' = - c c ó s i L > 1 y L ' : + c ¿

L ' = * c o y L > 0

L ' = * c o y L < 0

son iguales a un nirmerü irracional que

En todos estos casos, el valor del lírnite de la operación de fi.mciones, sr* puede calcular

directamente. Llamaremos a estas situaciones fonnas determlnadas de límite.

Llamaremos formas indeterminadas de límite a aqueilas que erigen algún tipa de operación previa

con las ftinciones que en él intervienen si queremos obtener su valor; son siete ;r se simbolizan

rl' 0 ' c o )c v t - @ , ;

( La obtención de los valores de los limites de tbnna indeterminada se detalLuá en las clases

prácticas)

El número e: Puede demostrarse que los lfu¡ites siguientes:

%l i m ( I + z ) -z . - > 0

llamaremos "e" (z será cualquier funcíou de x que tiende en la referencia indie¡u1a a los límites

mencionados)

t4

FUNICiON EXPONENCIAL FU\ICIÓ}{ T,OGARÍT\,IICA

* Función exponencial: llamaremos funcién exponencial de base "a" ( a > 0. ilÉ I ). a la que

asigna acadavalor real r el valor, tanibien real. a' :

f (x )= a* = xe :H - l -+ a - e : ) l

Su representación gráfic4 en función de los valores de "a" será la siguiente:

( l )

Propiedades: 1) a* > 0 Vx e !l

positivos)

2 ) a o : 1

3 ) S i a > l : l i m

( la función exponencial toma siempre valores estrictamente

a\ :0 ; l i rnx J + f l

ax: +oo : l i rn a\ - ) - : c

a * : 0 t l i m a - \

- \ - \' : + c a . l i m a - * : 0

! - ) + :c

: 0 : l i m a - x = + c o\--t + -i

4 ) S i a < l : l i ¡ 1 a \ = . o ; l i mI--) - Jc K - + + i c

Aunque, en teorí4 se puede considerar la posibilidad de que "a" tome distilltos vgiüres ¡eales, en Ia

práctica, los más utilizados son: a: l0 (exponencial decimal) y a= e (expr:nencial natural).

cuyas gráficas y características corresponden al caso general de a > 1.

Puede demostrarse que la función exponencial es cóntirua a lo largo de toda la reera real.

* Función logarítrnica: " Llatna¡nos logzu'itrno en base a > 0, de un número n:= 0. al exponente al

que hay que elevaÍ "a" para obtener n "

A la finción que hace corresponder a r-:*da número real positivo, x , su logarirrrro sn base "a",

también número real, le llamaremos función logaríturica en base "a" : log* x

f ( x ) : l o g u \ = r = ! t + f , l o g u x e l R

Para su representación gráfica: es evidente que la función exponencial y la tuncion logariínica

con las mismas bases son una la función inversa de la ofa siendo sus gráfi*:rs, por lo tanto,

sirnétricas respecto de la bisectriz del prirner cuad¡arrte.

t5

tLC'Í

o

Arálogamente a la función exponencial, en ia

práctica las bases rnás utilizarlas son a : l0

(logaritmos decimales) y a = e (logantrnos

nepedanos o naturales, dzuldo lugru a las frurciones

y = l o g x , ( a : 1 0 ) ; y = L . \ , ( a : e ) .

Propiedades: las propiedades más impoüantes de la ñmción logaritrnica son:

l ) D : { x e } 1 / x > 0 } = ¡ 1 -

2 ) l o g o 1 : 0 , y a q u e a o - I

3 ) logu a : I , yu q , r . u ' : u

4 ) S i a > l y 0 < x < l + l o g u x < 0

x > f - + l o g . x > 0

S i 0 < a < l y 0 < x < l + l o g " x > 0

x > 1 - ) l o g u x < 0

5) Si a> I :+ , t$. to*u

x : -co

.11-to*o x: + co

S i 0 < a c l : + l i m l o g u x : r e ox-> 0-

* 9 . ' l o g u x = - c t i

6) Reglas de operaciones con logariünos:

* loga A+ logo B: logo A 'B

* l o g u A - l o g o B : l o g . A I B

t -* l o g a A ^ : k l o g o A

* k : l o g o a k

x u l o g o r - " y l og" a t : . t i (propiedad de la función inve¡ia)

EJERCICIOS

Hallar los dominios de las siguientes funciones:

a) f(x): xt + I

X ,a) t(x) : , , .

x - + l

b ) f ( x ) : =

c ) f ( x ) : d) f (x):

2.- Representar gráficamente las siguientes funciones:

a) f(x):

x r +1 s i

l s i

x - l s

x < 0

0 < x < 2

i x > 2

3.- Discutir la paridad de las siguientes funciones:

b)f(x)=7i l

b) f(x) =

x - lc) t(x) = -

X

, hallar:

l ) y= f ( x )+ l

2 ) y : f ( x - l )

3 ) y : 2 f ( x ) ( : * ' )

4 ) y : f ( 2 x )

^ . x .) ) y : t ( - )- 2

d)f(x)=lr ' l

^ Dada la gráfica de una función f(x) en ( 0 , 2 l, dibujar la gráfica de dicha función en [- 2,2 )

c) si f(x) es periódica de periodo T : 2

5 . - Dadas las funciones - xt ( x ) :

x _ l y g ( x )

a) f - l (x ) y g - r (x ) s iex is ten

b ) g . f y f o g

c) comprobar que fo f-r = I

Escr ibir los pr imeros términos de la sucesión en la Que a ¡ :2 y &n:3 an- r .

Hallar la expresión de la fórmula de recurrencia y del término n-simo de los múltiplos de 5

R e p r e s e n t a r g r á f i c a m e n t e : a ) f ( x ) : l * ' - 5 x + 6 1 O l f ( x ) : x ' - Z l x l

)Y '

Dada f(x) : ^ . comparar las gráficas dez

6.-

7. -

8. -

9. -

x^

x - j

a) si f(x) es par b) si f(x) es impar

10.- Dada la función f'(x) =|

* * l s i x < - l

1 3 s i x=- l

l - " * 2 s i x> - l

x) , continuidad de f(x).

l ,* ' - t s i xro Il ( x ) : l ; t ( x ) = l

l2*-3 s i x>0 t

lim (x) ,x - + - 1

lim (x - + - l

t l . Dada la gráfica f(x) Hallar: lim f(x),x -+0

b) f(x):

l im f(x),x -+ I -

x<0

0<x<2

x>2

lim (x), l im (x), l imx - + l - x - + + o o x - + - c o

c o n t i n u i d a d e n x = 0 .

r(x)

x2 + l s i

I s i

x - l s i

0s ir tx - l l s l

0 s i

x<0

0<xS2

x>2

1 aI J . -

, . 2 x - l , . x ' - lllm ------:- ; |lm ---:- ;

x - + " o 3 x ' + l x - + l x ' - 1

J**r-:hm - - l l im

x - + 3 3 - x x - - + l

x - l )) ; l l m x -

X_ x _+ * co

.I?- (- *'+ x + 2)

2xs +7; l l m 1

x - + - c c x ' + I

. rG*¡ - :r / x + 1 5 - r / 3 x + 1 3

t l

IX I;

x<2

x>2

14.-

1 5.- Estudiar la continuidad de E[x]

D[x]

parte entera de x

parte decimal de x

r(x):16.- Estudiar la continuidad de f(x) = -fx ' - 4

| 2 - * ' s iI[ 2 * -6 s i

s i x<1

s i x> l

IX

J. .1

t7.-l x 2 + l s i x < 0

Hal la r losva lo res de ay bparaquef (x ) : ] o* *a s i 0<x<1 seacont inuaentodoB

| : s i x > 1

¿Qué valor habría que dar a f(2)para que f(x) : i-: 1 fuera continua en x = 2?

xt _ 32

-r4a

I

il 1 Continuidad de a) f(x) =

Ca lcu la r l os l ím i t es : l im* - l I l im x - l

; l imx - + l x f I x - + - 1 x + l x - + 0

_IT** ' ' , .gT_(* '-5x+7)' , IT-(* ' -3x+2) ;

t . . { ^ , . x l - l , . x l + 2 x - ll l m ( - x ' + j . \ - + ) ) : l l m . : l l m i l

x - + t o x - + l x ' - 1 x - + m ¡ ' + 3 x ' + 2

hallar gráficamente lim._ f(x) ,x - t - l

18 . -