logistics

logisticslogistics

是物流定量分析

陈未亚534482547@qq.com

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Contents

物资调运方案优化表上作业法

资源合理配置线性规划法

库存管理中优化导数法

物流经济量微元变化积累4

主要内容

重点分析：• 一、单项选择题• 单项选择题有 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。其中第

1 章、第 3 章、第 4 章各 1 题，第 2 章 2 题。• 二、计算题• 计算题有 3 小题，每小题 7 分，共 21 分。其中第 2 章、

第 3 章、第 4 章各 1 题。• 三、编程题• 编程题有 2 小题，每小题 6 分，共 12 分。其中第 3 章、

第 4 章各 1 题。• 四、应用题• 应用题共 47 分。其中第 1 章、第 2 章、第 3 章各 1 题。

第一章物资调运方案的表上作业法

• 考核知识点：• 不平衡运输问题化为平衡运输问题，初始调运方

案的编制，物资调运方案的优化。• 考核要求：• 掌握将不平衡运输问题转化为平衡运输问题的方

法。• 熟练掌握编制初始调运方案的最小元素法。• 理解闭回路、检验数等概念。• 熟练掌握求最优调运方案的优化方法。

• 1.1 物资调运的表上作业法 • 物资调运问题• 例 1 现有三个产地 A 、 B 、 C 供应某种商品，供

应量分别为 50 吨、 30 吨、 70 吨；有四个销地Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，需求量分别为 30 吨、 60 吨、 20 吨、40 吨。产地 A 到销地Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的每吨商品运价分别为 15 元、 18 元、 19 元、 13 元；产地 B 到销地Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的每吨商品运价分别为 20 元、14 元、 15 元、 17 元；产地 C 到销地Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的每吨商品运价分别为 25 元、 16 元、 17 元、22 元。如下表所示。如何求出最优调运方案？

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运输平衡表与运价表

销地

产地

需求量

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 供应量 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ

30 60 20 40 150

15 18 19 13

20 14 15 17

25 16 17 22

我们将直接在运输平衡表与运价表上编制运输方案并进行计算、调整，以确定最优调运方案的方法称为表上作业法。

最小元素法编制初始调运方案

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运输调运方案的优化－－闭回路、检验数

闭回路：只有一个空格，其他拐弯处都有数字

1.3.2 检验数及调运方案调整的原则

检验数的概念检验数的概念

对于某调运方案，若某空格增加单位运量，则此空格的闭回路的奇数号拐弯处均须增加单位运量，偶数号拐弯处均须减少单位运量，总运费的改变量为奇数号拐弯处的运价和与偶数号拐弯处的运价和的差。称此总运费的改变量为检验数。当且仅当检验数为负数时，在此空格增加运

量能使总运费减少。如果检验数为大于等于零，则不需做调整。

检验数＝第 1 个拐弯处的单位运价－第 2 个拐弯处的单位运价＋第 3 个拐弯处的单位运价－第 4 个拐弯处的单位运价＋…

若某个空格检验数为正数时，该空格增加运输量将会增加运输总费用，所以不能在此处安排运输量若某空格检验数为负数时，在该空格安排运输量，就会降低运输总费用，所以应在此空格调入运输量，而且安排运输量越多，运输总费用下降越多。但最多只能安排该空格闭回路上偶数号拐弯处运量的最小值（即偶数号拐弯处能调出的最大运量）。

最优调运方案的判别标准

若某一物资调运方案的所有空格的检验数均非负，则该物资调运方案最优，此时的运输总费用最低。

小结： • 检验数实际上就是所有奇数号拐弯处单位运价总和减去所有偶数号拐弯处单位运价总和。 • 调运方案调整的原则。 • 最优调运方案的判别标准。

调整运输方案的原则

1.3.3 调运方案的优化• 物资调运方案优化的思路• (1) 按行列顺序的空格找闭回路，计算检验数。• (2) 若检验数非负，则对下一个空格继续找闭回路，计算检验数。依此类推。

若所有检验数均非负，则该方案为最优调运方案，此时的运输总费用最低。• (3(3) 若出现某检验数小于 0 ，则开始在该空格安排运输量（其它空格不必再考

虑了）。该运输量取闭回路中偶数号拐弯处运输量的最小值（称为调整量）。。

• (4) 进行优化调整：调整在闭回路中进行，所有奇数号拐弯处的运输量均加上调整量，所有偶数号拐弯处的运输量均减去调整量，并取差值为 0 的一个拐弯处作为空格（差值为 0 的拐弯处不只一个时，称为退化退化情形，此时，可任取一个拐弯处作为空格，其他拐弯处的差值 0 应看作运输量），得到一个新

的调运方案。• (5) 对新调运方案，重复 (1) ～ (4) 。

注意：对于退化情形，若所有检验数为负的空格的闭回路的偶数号拐弯处都包含有运量为 0 的格，则对应的闭回路无运量调出，此方案即为最优。

例如例例如例 11 中初始调运方案的优化中初始调运方案的优化

表 1-25 运输平衡表与运价表

调整量：＝min(30， 20)＝ 20

初始调运方案的检验数：初始调运方案的检验数： λλ 1212 ＝＝ 1818 －－ 1616 ＋＋ 2525 －－ 1515 ＝＝ 12 12 λλ 1313 ＝＝ 1919 －－ 1717 ＋＋ 2525 －－ 1515 ＝＝ 12 12 λλ 2121 ＝＝ 2020 －－ 1414 ＋＋ 1616 －－ 2525 ＝－＝－ 33 ＜＜ 00

物资调运方案的优化

例例 11中第二调运方案的优化中第二调运方案的优化

调整量：＝min(20， 40)＝ 20

第二个方案的检验数：第二个方案的检验数： 1212＝＝ 1818－－ 1414＋＋ 2020－－ 1515＝＝ 99

1313＝＝ 1919－－ 1717＋＋ 1616－－ 14 14 ＋＋ 2020－－ 1515＝＝ 99

2323＝＝ 1515－－ 1717＋＋ 1616－－ 1414＝＝ 00 2424＝＝ 1717－－ 2020＋＋ 1515－－ 1313 ＝－＝－

11＜＜ 00

物资调运方案的优化表 1-27 运输平衡表与运价表

调整量：＝min(20， 40)＝ 20

物资调运方案的优化

第三个方案的检验数：第三个方案的检验数： 1212 ＝＝ 1818－－ 1313＋＋ 1717－－ 1414＝＝ 8 8

1313 ＝＝ 1919－－ 1717＋＋ 1616－－ 14 14 ＋＋ 1717－－ 1313＝＝ 8 8

2121 ＝＝ 2020－－ 1515＋＋ 1313－－ 1717＝＝ 1 1

2323 ＝＝ 1515－－ 1717＋＋ 1616－－ 1414＝＝ 0 0

3131 ＝＝ 2525－－ 1515＋＋ 1313－－ 17 17 ＋＋ 1414－－ 1616＝＝ 4 4

3434 ＝＝ 2222－－ 1616＋＋ 1414－－ 1717＝＝ 3 3

例例 11中最优方案与最低运输总费用中最优方案与最低运输总费用

minminSS＝＝ 30×1530×15＋＋ 20×1320×13＋＋ 10×14 10×14

＋＋ 20×1720×17＋＋ 50×1650×16＋＋ 20×17 20×17 ＝＝ 23302330（元）（元）

结论：任何平衡运输问题必有最优调运方案

物资调运问题不平衡运输问题

平衡运输问题

本章知识小结

用最小元素法编制初始调运方案

按顺序的空格找闭回路，求检验数

所有检验数非负出现负检验数

最有调运方案，计算最低运输费用

优化调整，得新方案

第二章资源合理利用的线性规划法

2.1 资源合理利用的线性规划模型

物资调运问题

例 1 现有三个产地 A ， B ， C 供应某种商品，供应量分别为 50 吨、 30 吨、 70 吨；有四个销地Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，需求量分别为 30 吨、 60 吨、 20 吨、 40 吨。产地

A 到销地Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的每吨商品运价分别为 15 元、18 元、 19 元、 13 元；产地 B 到销地Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的每吨商品运价分别为 20 元、 14 元、 15 元、 17 元；产地 C 到销地Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的每吨商品运价分别为 25

元、 16 元、 17 元、 22 元。如何求出最优调运方案？试建立线性规划模型。

列表分析题意　　　　

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2.1 资源合理利用的线性规划模型

(2) 确定目标函数 : 目标函数就是使问题达到最大值或最小值的函数。设运输总费用为 S ，故目标函数为： min S ＝ 15x11 ＋ 18x12 ＋ 19x13 ＋ 13x14 ＋ 20x21

＋ 14x22 ＋ 15x23 ＋ 17x24 ＋ 25x31

＋ 16x32 ＋ 17x33 ＋ 22x34

其中 min S 表示使运输总费用 S 最小。

(3) 考虑约束条件 : 约束条件就是各种资源的限制条件及变量非负限制。

建立例 1 的线性规划模型

(1)(1) 引进变量引进变量设产地 A 运往销地Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的运输量分别为 x11 ， x12 ， x13 ， x14 ；产地 B 运往销地Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的运输量分别为 x21 ， x22 ， x23 ， x24 ；产地 C 运往销地Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的运输量分别为 x31 ， x32 ， x33 ， x34 。

产地 A 的总运出量应等于其供应量，即 x11 ＋ x12 ＋ x13 ＋ x14 ＝ 50 同理，对产地 B 和 C ，有 x21 ＋ x22 ＋ x23 ＋ x24 ＝ 30 x31 ＋ x32 ＋ x33 ＋ x34 ＝ 70 运进销地Ⅰ的运输量应等于其需求量，即 x11 ＋ x21 ＋ x31 ＝ 30

同理，对销地Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，有 x12 ＋ x22 ＋ x32 ＝ 60 x13 ＋ x23 ＋ x33 ＝ 20 x14 ＋ x24 ＋ x34 ＝ 40 运输量应非负，故

约束条件为：

4,3,2,1;3,2,10

342414

332313

322212

312111

34333231

24232221

14131211

(4) 写出线性规划问题。

)4,3,2,1;3,2,1(0

221716251715

142013191815min

342414

332313

322212

312111

34333231

24232221

14131211

343332312423

222114131211

xxxxxx

xxxxxxS

物流管理中的线性规划问题例 2 某物流企业计划生产 A ， B 两种产品，已知生产 A 产品 1 公斤需要劳

动力 7 工时，原料甲 3 公斤，电力 2 度；生产 B 产品 1 公斤需要劳动力

10 工时，原料甲 2 公斤，电力 5 度。在一个生产周期内，企业能够使用的劳动力最多 6300 工时，原料甲 2124 公斤，电力 2700 度。又已知生产

1 公斤 A ， B 产品的利润分别为 10 元和 9 元。试建立能获得最大利润的线性规模型。

建立例 2 的线性规划模型

解 (1) 设置变量：设生产 A 产品 x1 公斤，生产 B 产品 x2 公斤。

(2) 确定目标函数： max S ＝ 10x1 ＋ 9x2

(3) 考虑约束条件：生产 A 产品 x1 公斤需要劳动力 7x1 工时，生产 B 产品

x2 公斤需要劳动力 10x2 工时，生产 A ， B 产品所需劳动力总和不能超过企业现有劳动力，即有

7x1 ＋ 10x2≤6300

同理，对原料甲及电力，有 3x1 ＋ 2x2≤2124

2x1 ＋ 5x2≤2700

产品产量应非负，故　　

约束条件为：

　 (4) 写出线性规划模型。

变量，就是待确定的未知数，也称决策变量。变量一般要求非负。

目标函数 : 某个函数要达到最大值或最小值，也即问题要实现的目标，就是目标函数。目标是求最大值的，用 max ；求最小值的，用 min 。

约束条件，就是变量所要满足的各项限制，包括变量的非负限制。它是一组包含若干未知数的线性不等式或线性等式。资源包括人力、资金、设备、原材料、电力等。要根据各种资源的限制，确定取等式或不等式。

将目标函数与约束条件写在一起，就是线性规划模型。

我们通常将目标函数写在前面，约束条件写在目标函数的后面。

• 设置变量；

• 确定目标函数；

• 考虑约束条件；

• 写出线性规划模型。

　 2.2 矩阵的概念

整存整取定期储蓄

存期三个月六个月一年二年

年利率(%) 2.88 4.14 5.67 5.94

项目 1月份 2月份 3月份

天然气 m3 25 24 26

电 (kw·h) 135 125 130

水 m3 8 8 9

北京市居民超表纪录卡

学生成绩表

姓名数学语文英语

张建中 80 82 80

林勇 75 84 75

王建明 85 80 83

崔也 86 90 90

王宾 91 90 95

上面这些长方形表，抽象出来就是我们要讲的矩阵 .

这里对矩阵作一些说明：

CBA ,,

矩阵一般用大写英文字母表示：如等

横向称行，竖向称列 .

——

每一个位置上的数都是 A的元素

矩阵定义请看教材第 2章定义2.1.

矩阵

，如 1是A的第 2行第 2列的元素，记为：

的第 1 行第 4 列的元素，记为：

补充内容：特别地，当 1m 时，矩阵只有一行，即

naaa 11211

时，矩阵只有一列，即

时，矩阵的行列数相同，即

称为行矩阵

称为列矩阵

nmijaA

称为阶矩阵（或阶方阵）

在 n阶矩阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线 .行列数相同的矩阵称为同型矩阵 . 即：两个矩阵的行数相等、列数也相等时。

中各个元素的前面都添加一个负号得到的矩阵称为负矩阵，在矩阵

记为

例如

这里是的负矩阵

零矩阵所有元素都为零的矩阵。例如

单位矩阵：主对角线上的元素全是 1，其余元素全是 0的阶矩阵

称为单位或

特殊矩阵

矩阵，记作

k I kI

数量矩阵：主对角线上的元素为同一个数，其余元素全是 0的阶矩阵

称为数量矩阵，记作

对角矩阵：主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵，即

naaa ,,,diag 21 naaa ,,, 21 A

nnnn aaa

有时也记作或

三角矩阵：主对角线上方的元素全为零的方阵称为下三角矩阵，它形如

主对角线下方的元素全为零的方阵称为上三角矩阵，它形如

上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵 .

对称矩阵：若矩阵 A ＝ (aij) 是 n阶方阵，且满足 aij ＝ aji ，对任意 i 和 j 均成立，则称A 为对称矩阵。

][ ijij baBA C BA, ][ ijij baBAC

矩阵加法

用记为的和，即

规定如下同形，于是同形 .（ 1 ）

(2) 对应元素分别相加 .

例： A=2 -1 4

1 3 6B=

-2 1 1求 A+B

A+B=2+0 -1+5 4+3

1-2 3+1 6+1

-1 4 7

ijij ac A OA 0 AA 1

OA 0 A

矩阵的数量乘法

，则

同形

，即中每个素都乘以

特别地：

注意：中定义为，等式左边是数 0与矩阵的乘积，而右边是零矩阵 .

(1) 和

98748510311 c

2314253312 c

92748310421 c

2214233422 c

2398nmijaA ][

11][ nmijbB

1mn AB

CAB C 1nm][ ijcC njinjiij babac 11

其中

= { ，

1．仅当时，才能做乘法

2．若，则 ——

3．若，则

(矩阵乘法定义请阅读教材第 2 章定义 2.5)

( 行乘列法则 )

A TA A TA

将第一行元素写在第一列处，第二行元素写在第二列处，

的转置矩阵 .

矩阵的转置

这样就可得到

B IBAAB A

B A BA 1

逆矩阵

可表为

可逆矩阵

，如果存在一个矩阵，使得

则称是可逆矩阵，称是的逆矩阵，记为

（ 1 ）设矩阵

例 2.1 某公司准备投资 200万元兴办 A ， B 两种第三产业，以解决公司 800名剩余劳动力的工作安排问题；经调查分析后得知，上述 A 种第三产业每万元产值需要劳动力 5人、资金 2.50万元，可得利润 0.50万元； B 种第三产业每万元产值需要劳动力 7.5人、资金 1.25万元，可得利润 0.65万元 . 问如何分配资金给这两种第三产业，使公司既能解决 800名剩余劳动力的安排问题，又能使投资所得的利润最大？试写出线性规划模型（不要求求解） . 【分析】解： (1) 确定变量：设投资 A种第三产业 x1万元产值，投资 B种第三产业 x2万元产值 . 显然，x1≥0 ， x2≥0. (2) 确定目标函数：设利润为 S ，则目标函数为：max S＝ 0.50x1＋ 0.65x2

(3) 列出各种资源的限制：劳动力限制： A种第三产业每万元产值需要劳动力 5人，故 A种第三产业共需要劳动力 5x1人；同理， B种第三产业共需要劳动力 7.5x2人 . 800名剩余劳动力都需要安排，故5x1＋ 7.5x2＝ 800

资金限制： A种第三产业共需要资金 2.50x1万元， B种第三产业共需要资金 1.25x2万元，故

2.50x1＋ 1.25x2≤200

(4)写出线性规划模型：

20025.150.2

8005.75

65.050.0max

例 2.2 设

求： (1) 2BT－ A ； (2) AB

解： 2BT

2BT－ A

例 2.3 写出用 MATLAB软件求矩阵 A ＝

的逆矩阵的命令语句 .

解：用MATLAB软件求 A的逆矩阵的命令语句为：

>>A=[3 -4 5; 2 -3 1; 3 -5 -1];

>>inv(A)

例 2.4 写出用 MATLAB软件将线性方程组

的增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵的命令语句 .

解：用MATLAB软件将增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵的命令语句为：

>>A=[1 2 -1 4; 2 -1 1 1; 1 7 -4 11];>>B=[2; 1; 5];>>D=[A B];>>rref(D)　　　　

例 2.5 写出用 MATLAB软件解下列线性规划问题的命令语句：

)321(0

5.023max

，，jx

解：用 MATLAB软件解上述问题的命令语句为：>>C=-[3 2 0.5]; >>A=[2 1 0; 0 2 4];>>B=[30 50];>>LB=[0 0 0];>>[X, fval]=linprog(C, A, B, [], [], LB)

经济批量问题相关的概念经济批量问题相关的概念

库存库存：：指处于储存状态的物品或商品。指处于储存状态的物品或商品。经济批量模型经济批量模型：：通过平衡进货采购成本和库存保管成本，确定一个最通过平衡进货采购成本和库存保管成本，确定一个最佳的订货数量来实现最低总成本的方法。佳的订货数量来实现最低总成本的方法。

经济批量经济批量（或（或最优订货批量最优订货批量）：）：是使年库存成本与订货成本之和最小是使年库存成本与订货成本之和最小的订货批量。的订货批量。

经济批量问题经济批量问题

例例 11 设某公司按年度计划需要某种物资设某公司按年度计划需要某种物资 DD 单位，已知该物资每单位每单位，已知该物资每单位每年库存费为年库存费为 aa 元，每次订货费为元，每次订货费为 bb 元，为了节省总成本，分批订货，假元，为了节省总成本，分批订货，假定公司对这种物资的使用是均匀的，如何求订货与库存总成本最小的订定公司对这种物资的使用是均匀的，如何求订货与库存总成本最小的订货批量。货批量。

年平均库存量

设订货批量为 q 单位，由假定，平均库存量为

q/2 ，因为每单位该物资每年库存费为 a 元，则：年库存成本＝ (q/2)×a 。可见，库存成本与订货批量成正比，如图 1 。

年库存成本年库存成本

年订货成本年订货成本

该公司每年需要该物资 D 单位，即年订货次数为 D/q ，因为每次订货费为 b 元，则：年订货成本＝ (D/q)×b 。可见，订货成本与订货批量成反比，如图 2 。

年订货与库存总成本年订货与库存总成本

年订货与库存总成本 C(q)由年库存成本与年订货成本组成，即

如图 3 。其中 q* 为经济批量。

小结：小结：年库存成本；年库存成本；年订货成本；年订货成本；年订货与库存总成本。年订货与库存总成本。

常量——只取固定值的量这门课程中讨论的量在研究问题的过程中不是保持不变的．如圆的面积与半径的

关系：S =π考虑半径 r 可以变化的过程．面积和半径叫做变量．变量——可取不同值的量变域——变量的取值范围

函数

我们考虑问题的过程中，不仅是一个变量，可能有几个变量．比如两个变量，要研究的是两个变量之间有什么关系，什么性质．函数就是变量之间确定的对应关系．比如股市中的股指曲线，就是时间与股票指数之间的对应关系．又如银行中的利率表

存期六个月一年二年三年五年

年利率 (%)

5.40 7.47 7.92 8.28 9.00

},)({ Dxxfyy

函数定义设 x, y是两个变量， x的变域为 D，如果存在一个对应规则 f，使得对 D内的每一个值 x都有唯一的 y值与 x对应，则这个对应规则 f 称为定义在集合 D上的一个函数，并将由对应规则 f 所确定的 x与 y之间的对应关系，记为

称 x为自变量， y为因变量或函数值， D为定义域．

我们要研究的是如何发现和确定变量之间的对应关系．

集合称为函数的值域．

1. 常数函数： y = c．这个函数在它的定义域中的取值始终是一个常数，它在直角坐标系中的图形就是一条水平线．

2. 幂函数： y = xα， (α∈R )．以 x为底，指数是一个常数．当 α = 1时就是 y = x，它的图形是过原点且平分一、三象限的直线；当 α=2时就

是 y = x2，它的图形是过原点且开口向上的抛物线；当 α=3时就是 y = x3，它的图形是过原点的立方曲线．

3. 指数函数： y = ax， ( a >0， a≠1)．底数是常数，指数是变量．例如 y = ex， y = (

1 ) x ．所有指数函数的图形都过 (0,1) 点，当 a>1 时，函数单调增加，当a<1

基本初等函数

时，函数单调减少． 4. 对数函数： y = log a x， ( a >0， a≠1)．以 a为底的 x 的对数．例如 y =

lnx， y = log 2x， y =．所有对数函数的图形都过 (1,0) 点，当 a>1 时，函数单调增加；当 a<1 时，函数单调减少．

5. 三角函数：正弦函数： y = sin x．余弦函数： y = cos x ．

20010,)10(3.04

100,4)(

)20(,)8(,)3( FFF

20010,)10(3.04

100,4)(

m 4)3( F

4)8( F

m 7)20( F

例 1 设国际航空信件的邮资与重量的关系是

解：

用 3替代，由第一个关系式表示，得到

同样可以得到

用 20替代，由第二个关系式表示，得到

分段函数

经济分析中常见的三种函数：第一种叫做成本函数，第二种叫做收入函数，第三种叫做利润函数．我们先介绍成本函数．

一种产品的成本可以分为两部分：固定成本 , 比如，生产过程中的设备投资，或使用的工具，不管生产产品与否，这些费用都是要有的，它是不随产量而变化的，这种成本称为固定成本．变动成本，比如每一件产品的原材料，这些费用依赖于产品的数量，这种成本称为变动成本．

总成本就是固定成本加上变动成本 C = +

经济函数

成本应与产品的产量有关，这种函数表示为 C(q) = c0 + C １ (q)

这就是成本函数．其中总成本 C(q)是产量 q的函数， c0与产量无关，变动成本

C １ (q)也是产量 q的函数．

我们引入平均成本的概念总成本除以产量 q，就是产量为 q时的平均成本，用来表示．

1 、总成本函数

2 、利润函数

对于运输企业：利润 = 运输收入 - 总成本设运输某商品 q 单位的价格为 p ，则收入函数为 R(q)=pq我们将需求量 q 表示为 p 的函数，称为需求函数设成本函数为 C(q) ，则利润函数为： L(q)=R(q)-C(q)

设某物流公司运输 q件某商品的固定成本为 1000 元，单位变动成本为20 元 /件，该商品的需求函数为 q=200-5p ，求利润函数。解：成本函数为： C(q)=1000+20q 收入函数为： R(q)=pq=q(40-0.2q) 则利润函数为 : L(q)=R(q)-C(q) =q(40-0.2q)-(1000+20q) = 10002.020 2 qq

极限的概念研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势 . 例 1 圆的周长的求法 .早在公元 263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正

……五边形、正八边形、正十六边形等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长 . 例 2 讨论当时，的变化趋势 .

导数

例 3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势 .

“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子•天下

函数极限概念：（ P151 定义 3.7 ）

)(lim0

Axf )( )( 0xx

记为：

时当 qqqqCC 00),( )()( 0 qqCqC

导数概念三个引例边际成本问题瞬时速率问题曲线切线问题引例 1：边际成本问题

—总产量

（当自变量产生改变量，相应的函数也产生改变量）

已知 C— 总成本，

导数

)()( 00

qCqqCq

)()(lim 00

（成本平均变化率）

（边际成本）

导数的定义：（ P158 定义 3.10 ）

xx aaa

sin)(cos

cos)(sin

导数公式 *

)(),( xvxu x )()( xvxu x

)()())()(( xvxuxvxu

)())(( xvcxcv c

导数的加法法则

在点处可导，则在点处可导亦可

（为常数）

设导，且

导数的乘法法则''') uvvuuv （

导数的除法法则

边际概念导数在经济分析中的应用

1. 边际成本在引进导数概念时，我们已经接触过边际成本概念，譬如说在连续化生产的

工厂中，可以知道总成本与总产量之间的函数关系，由此可以求出平均成本，即总成本除总产量就是平均成本．同时又引进了边际成本的概念，就是总产量达到一定时刻，再增加生产一个单位产量时，单位成本增加量（成本函数的导数就是边际成本）。

)(qC q

——产量 ——成本函数

——平均成本函数

——产量为时的边际成本函数，用 MC 表示

时，再生产一个单位产品所增加的成本 .

经济意义：产量为

2 、边际收入

q 运输量

R(q) 收入函数

收入的平均变化率

)(' qR 边际收入（边际收入是收入函数关于运输量 q 的导数）。用 MR 表示

3 、边际利润

q 运输量

L(q) 利润函数

)(' qL 边际利润，用 ML 表示

因为利润函数等于收入函数减去总成本函数，即L(q)=R(q)-C(q), 两边求导得 :ML(q)=MR(q)-MC(q)

单调性判别什么叫函数的单调性？函数的单调性 : 一个函数在一个区间之间随着自变量的增加，函数值也在增加，叫做单调增加的；如果随着自变量的增加，函数值却在减少，叫做单调减少的．从函数本身或图形，都能判断函数的单调性，但有时还需要用导数工具判别单调性．

先考察 y = ，它的图形是抛物线线在 x > 0 处，函数单调上升；在 x < 0 处，函数单调下降．　

当在 x > 0 这一边的每一点处都有切线时，切线的特征是：切线与 x 轴正向的夹角一定小于 90．

当在 x < 0 这一边的每一点处都有切线时，切线的特征是：切线与 x 轴正向的夹角一定大于 90．

时，当时，当

定理设函数 y = f (x) 在区间 [a, b] 上连续，在区间 (a, b)内可导 . (1) 如果 x (a, b) 时，

(x) > 0 ，则 f (x) 在 (a, b) 上单调增加； (2) 如果 x (a, b) 时，

(x) < 0 ，则 f (x) 在 (a, b) 上单调减少．意义：利用导数的符号判别函数的单调性．说明：闭区间 (a, b)换成其它区间，如， (- ,b)， (a, +

使定理结论成立的区间，称为 y = f (x) 的单调区间．

)( )(xf

极值概念 3.2 函数极值3.2.1 函数极值及其求法首先要明确什么叫函数极值，先看定义：定义 3.1 设函数 f (x)在点 x0的某邻域内有定义．如果对该邻域内的任意一点 x (x x0)，恒有 f (x) f (x0)，则称 f (x0)为函数

的极大 (小 )值，称 x0为函数函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称

为极值点．大家看下面这个图形：

的极大 ( 小 ) 值点．

哪些点是极大值点呢？可以看到 x1 是极大值点， x4也是极大

值点．端点 b 是不是极大值点呢？

极大值点是指它的函数值要比周围的值都大，

而端点 b 的右边是没有函数值，所以它不是极大值点．

极值点即导数等于零或导数不存在的点

极大值点： x1, x4 ；极小值点： x2, x5

再找一找哪些是极小值点？ x2 是一个极小值点， x5也是一个极小值点．

x3 是极大值点还是极小值点呢？不是，它不是极值点，因为找不到

一个小范围，使它的函数值成为最大或最小．

最大值、最小值及其求法极值与最值的区别： · 极值是在其左右小范围内比较 · 最值是在指定的范围内比较所以，说到最大（小）值，要使问题提得明确，就必须明确指定考虑的范围．如

果在指定的范围内函数值达到最大，它就是最大值．

这个函数在区间 [a ， f]内的极大值点是，b,d ；极小值点是 c,e．现在要问这个函数在闭区间 [a ， f] 上最大值点是哪一个，那么应该是整个指定区间上曲线最高处的点就是最大值点．从图中可以看出，端点 f 处的函数值最大，所以点 f 就是该函数在区间[a ， f] 上的最大值点．同样，从图中可以看出 c 是区间 [a ， f] 上最小值点．

x0 a b c d e f

明确了最值点与极值点的区别后，最值点的求法也就较容易得到了．函数 f (x)在 [a， b]上的最值点一定在端点、驻点和不可导点中．端点： a， b 驻点：使 (x) = 0的点 ,

不可导点： (x) 不存在的点

求经济批量的实例求经济批量的实例

例例 1 1 设某公司平均每年需要某材料 80000件，该材料单价为 20 元 /件，每件该材料每年的库存费为材料单价的 20％。为减少库存费，分期分批进货，每次订货费为 400 元，假定该材料的使用是均匀的，求该材料的经济批量。解设订货批量为 q 件，则平均库存量为 q/2 件，该材料每件每年库存费为 20×20％元，年库存成本＝ (q/2)×20×20％；年订货次数为 80000/q ，每次订货费为 400 元，年订货成本＝ (80000/q)×400 。故年订货与库存总成本函数为：

320000002)(

0)( qC

对年库存总成本函数求导得：

得 q＞ 0 内的惟一驻点：

q ＝ 4000 （件）即经济批量为 4000 件。

(80000/q)×400 C(q)=(q/2)×20×20％ +

小结：小结：列出库存总成本函数；列出库存总成本函数；求导，求驻点，得到经济求导，求驻点，得到经济

批量批量。。令

求最小平均成本的实例[ 例 56] 设某公司运输某物资 q 个单位时的总成本 ( 单位：万元 ) 函数是： C (q)＝ q2 /4 ＋ 6q ＋ 100 ，问运输量为多少时，平均成本最小？解平均成本函数为：

求导数，得

令＝０得惟一驻点 q ＝ 20 （运输量不能为负值）故，当运输量 q ＝ 20 单位时平均成本最小。

65/2)( qqL

求最大利润的实例

[ 例 57] 设物流市场的运价 p （单位：百元 / 吨）与运输量 q （单位：吨）的关系是 q ＝ 50－ 5p ，运输总成本函数 C (q) ＝ 2 ＋ 4q ，求最大利润时的运输量及最大利润。解由运输需求函数 q ＝ 50－ 5p 得价格 p ＝ - q/ 5 ＋ 10 收入函数为： R (q) ＝ pq ＝ (- q/5 ＋ 10)q ＝ - q2 /5

＋ 10q 利润函数为： L (q) ＝ R (q)－ C (q) ＝ - q2 /5 ＋ 6q－ 2 求导数，得

所以，获最大利润时的运输量是 q ＝ 15 吨，最大利润为： L (15) ＝ -1/5×152 ＋ 6×15－ 2 ＝ 43(百元 )

＝ 0 得惟一驻点 q ＝ 15 （吨）

25002500)(

500)250( C

例 3.1 已知某厂生产某种产品的成本函数 C(q)＝ 500＋ 2q ，其中 q 为该产品的产量，如果该产品的售价定为每件 6 元，试求：

(1) 生产该产品的固定成本；(2) 利润函数；(3) 当产量 q 为 250件时的平均成本 . 解： (1) 固定成本就是当产量为零时的总成本，设为 C0 ，有C0＝ C(0)＝ 500 ( 元 )

(2) 由题意知，收入函数 R(q)＝ 6q ，因此，利润函数L(q)＝ R(q)－ C(q)＝ 6q－ (500＋ 2q)＝ 4q－ 500 (3) 平均成本函数

当产量 q ＝ 250件时，平均成本

（元 /件）

yxy x 求，e)2( 3

求，

)e)(2(e)2( 33 xx xxy

xxx xxxx e)23(e)2(e3 3232

)1)((ln)1()(ln

)(ln21

2)(ln)1(1

例 3.2 求下列函数的导数：

(1) 设(2)

设解：

例 3.3 写出用 MATLAB软件求函数 )1ln( 2xxy

的导数的命令语句 .

解：用MATLAB软件求导数的命令语句为： >>clear; >>syms x y; >>y=log(x+sqrt(1+x^2)); >>diff(y)

例 3.4 写出用 MATLAB软件求函数 x

的二阶导数的命令语句 . 解：用MATLAB软件求导数的命令语句为： >>clear; >>syms x y; >>y=exp(-3*x)/(x-3^x); >>diff(y,2)

例 3.5 某企业运输某物品 q 吨时的总成本（单位：元）为 C(q) ＝400 ＋ 0.05q2 ，求运输 100 吨物品时的边际成本 .

解：边际成本函数为：MC(q)＝ 0.1q运输 100 吨物品时的边际成本为：MC(100) ＝ 10 （元 / 吨）

边际成本函数就是成本函数的导数，确定运输量时的边际成本就是相应的导数值．

qqqCqMC 1.0)05.0400()()( 2

101001.0)()100( |100

例 3.6 某工厂生产某种商品，年产量为 q （单位：百台），成本为 C （单位：万元），其中固定成本为 2万元，而每生产 1百台，成本增加 1万元．市场上每年可以销售此种商品 4百台，其销售收入 R 是 q 的函数

R(q)＝ 4q－ 0.5q2 q [0 ， 4]

问年产量为多少时，其利润最大？解：因为固定成本为 2万元，生产 q 单位商品的变动成本为 1×q万元．所以成本函数C(q)＝ q + 2由此可得利润函数L(q)＝ R(q)－ C(q)＝ 3q－ 0.5q2－ 2又因为

＝ 3－ q

令＝ 0 ，得驻点 q＝ 3.这里， q＝ 3 是利润函数 L(q) 在定义域内的唯一驻点．所以， q＝ 3 是利润函数 L(q) 的极大值点，而且也是 L(q) 的最大值点．即当年产量为 3百台时，其利润最大．

40020000

%20202

80000002

80000002)(

0)( qC

例 3.7 设某企业平均每年需要某材料 20000件，该材料单价为 20 元 /件，每件该材料每年的库存费为材料单价的 20％ . 为减少库存费，分期分批进货，每次订货费为 400 元，假定该材料的使用是均匀的，求该材料的经济批量 .

解：设订货批量为 q ，则库存总成本为

令得 q＞ 0内的唯一驻点 q ＝ 2000（件） .

故，经济批量为 2000件

4.1 由边际成本确定成本的微元变化 - 微分

)(QC )(QC引例：成本函数的导数又称为边际成本，记为

MC(Q) ，表示成本函数在 Q 处的变化率。当 )(Q 很小时，成本函

)](,[ QQQ )(QC )(Q 0)( Q数在的微小变化可表示为。当

)(QC )(Q )(QC )(Qd时，记为表示成本函数在 Q 处的微元变化，称为成本函数在 Q 处的微分。对于一般函数 y ＝ f (x) ，引进微分概念如下：

定义 4.1 设函数 y ＝ f (x) 在点 x0 处可导， x 为 x 的改变量，则称 xxf )( 0

为函数 y ＝ f (x) 在点 x0 处的微分，记作

0d)(d 0 xxyxf 或

并称函数 y ＝ f (x) 在点 x0 处是可微的。

如果函数 y ＝ f (x) 在区间 (a ， b) 内的每一点都可微，则称函数 y ＝ f (x) 在区间 (a ， b) 内可微，记作 dy或 d f (x) ，即

xxfy )(d

xxxxx 1d

xxfxyy d)(dd

当 y ＝ f (x) ＝ x 时，有，即自变量 x 的微分 dx 即为自变量增

量 ∆ x ，于是函数的微分可写成

由微分式 xxfy d)(d

可得

可得 )(d

, 故导数又称为微商。

计算函数 y ＝ f (x) 的微分，实际上可归结为计算导数。

0 xx0 X0+∆x

　 [ 例 1] 设运输某物品 q 个单位时的边际成本为 )(qC ，求运输量从 a

单位增加到 b 单位时成本的增量。

解运输量从 a 单位增加到 b 单位时成本的增量为 )()( aCbC

由于运输量从 a 单位增加到 b 单位过程中成本的增量是成本函数 C(q)在 [a,b] 的每一点处微元变化的累积，即

d)(baq

)(qC此和式对 [a,b] 的每一点 q 求连续和，此和式有意义时，称为

在 [a,b] 上的定积分。

记为 b

aqqC d)(

定积分的定义和性质

定义 4.2 设函数 f (x) 在区间 [a ， b] 上有定义，且和式

qqCqqC d)(d)(],[

故运输量从 a 单位增加到 b 单位时成本的增量

)()( aCbC =

qqCqqC d)(d)(],[

一般地，

d)(bax

)(xf xxfb

xxfxxfb

d)(d)(],[

有意义，称之为函数在 [a,b] 上的定积分，记为

，即

)()( xfxF )()(d)( aFbFxxfb

)(xf xxf d)(

且若有，则有

称为积分号， x 称为积分变量，称为被积函数，

称为被积表达式， a 和 b 分别称为积分的下限和上限， [a ， b] 称为积分区间。

[ 例 5] 由曲线 y ＝ f (x) （ f (x)≥0 ），直线 x ＝ a ， x ＝ b 和 x轴所围成的图形称为曲边梯形，如图 4-2 所示。求曲边梯形的面积。

其中，

成本增量可记为

aqqMCaCbC d)()()(

由定义 4.2 可知

曲边梯形面积可记为： b

axxfA )d(

由定积分的概念，容易得到下列几个简单结果：

axxfxxf )d()d(

0)d( a

（ 1 ）

（ 2 ）

（ 3 ）

)()( xfxF

axFaFbFxxf )()()(d)(

记为

xx d)12(2

12)( 2 xxx

1)(d)12( xxxx

4.2.2 微积分基本定理

定理 4.1 对被积函数 f (x) ，若有，则

此公式称为牛顿—莱布尼兹 (N—L) 公式，简称为 N－ L 公式，它是积分学的基本公式。 [ 例 7] 计算定积分

。解：因为

＝ (22―2)―(12―1) ＝ 2

所以

已知求总成本函数边际成本

C (x) C’(x) ‖（） MC

已知总成本 C (x)，求边际成本 C’(x)，就是求导数．反之如果已知边际成本，用MC表示，要求总成本，这就是我们要讨论的问题，也就是要知道哪一个函数的导数等于MC．我们引进一个概念：

原函数

( )’ = MC求已知

定义 1.1 若对任何 xÎD ， F¢(x) = f(x) ，则称 F(x) 为 f(x) 的原函数．

例如 (x3)’ = 3x2 x

F(x) f(x)

x3 是 3x2x 的原函数

)(xf xxf d)(

定义 1.2

的所有原函数的全体称为不定积分．记作

其中称为被积函数

称为积分变量，

称为积分符号．

1)( xx

)1,0(ln)( aaaaa xx

xx e)e(

正因为求导与求不定积分互为逆运算，所以导数基本公式和积分基本公式也是互逆的．也就是说，有一个导数公式，反过来就有一个积分公式．先让我们回顾一下导数基本公式 :

)1,0(ln

d aaca

cx xx ede

将以上这些公式反过来看，我们就能得到积分基本公式：

检验不定积分计算的正确与否，就是将计算结果求导数，看是否等于被积函数．由此可见，积分基本公式固然很重要，但最最重要的还是导数基本公式．

)(,)( xgxf

xxgxxfxxgxf d)(d)(d)]()([

)(xf k

xxfkxxkf d)(d)(

xxxxxxx dd2d)2( 22

先介绍不定积分的性质积分基本性质 :1. 若是可积函数，则有

2. 若是可积函数，为非 0常数，则有 :

有了积分基本公式和这两条性质，我们就可以把一些基本的函数的不定积分计算出来．例如　

xxxx dd2 2

cxx 32

12 cxx 32

这种利用不定积分的运算性质和积分基本公式直接计算出不定积分的方法称为直接积分法．

)(xF xxF d)( cxxFxF d)()(

)0()(d)(0

FxFxxFx

4.5.1 由边际物流量求该物流量和增量的实例在 3.3.7节中介绍了已知经济函数 F (x) ( 如总成本函数 C (q) 、收入函数 R (q) 和利润函数 L (q) 等 ) ，则其边际经济函数就是它的导数。作为导数的逆运算，若对已知的边际经济函数，求不定积分

可得原经济函数

其中，积分常数 -c由 F (0) ＝ F0 的具体条件确定。

由牛顿－莱布尼兹公式

)0(d)()(0

FxxFxFx

xxFaFbFF

ad)()()(

00d)()( cqqMCqC

qqMCCq

移项，得到变上限定积分 (把上限变量看作待定常数，类似定积分计算 ) 表示的原经济函数经济函数从自变量 a 到 b 的增量定义为

运输量从 q1 单位到 q2 单位时的成本增量为：

1. 总成本函数及其增量设运输量为 q 时的边际成本为 MC (q) ，固定成本为 C (0) ＝ c0 ，则总成本函数为：

2d)32()(0

232)3( 2

2 qqqqq

6)3(d)32(2

1 qqqqC

[ 例 ] 经调查研究，某物品运输量为 q 单位时的边际成本（单位：万元/ 单位）为 MC (q) ＝ 2q ＋ 3 ，已知固定成本为 2万元，求：

(1) 总成本函数 C (q) ；

(2) 运输量从 1 单位增加到 2 单位时成本的增量。解 (1) 总成本函数为：

(2) 运输量从 1 单位增加到 2 单位时成本的增量。

qqMRqR0

qqqMRR

qqMRqR0

2. 收入函数及其增量

设运输量为 q 时的边际收入为 MR (q) ，我们总是假定 R (0) ＝ 0 ( 运输量为 0时收入为 0) ，则收入函数为：

运送运输量从 q1 单位到 q2 单位时的收入增量为：

[ 例 ] 已知某企业运输某物品 q 单位时的边际收入 ( 单位：元 / 单位 ) 为 MR

(q) ＝ 100－ 2q ，求运输 40 单位时的收入，并求再增加运输 10 单位时所增加的收入。

2400)100(d)2100()40(40

0 qqqqR

100)100(d)2100(50

40 qqqqR

在运输 40 单位后再运输 10 单位所增加的收入为：

( 元 )

]d)([d)( 000cqqMCqqMR

00d)]()([ cqqMCqMR

3. 利润函数及其增量设运输量为 q 时的边际成本为 MC(q) ，边际收入为 MR (q) ，固定成本为 C (0)＝ c0 ，则利润函数为：

L (q) ＝ R (q) － C (q)

qqqMLL

运送运输量从 q1 单位到 q2 单位时的利润增量为：

00d)]()([)( cqqMCqMRqL

10d)]4.013()2.025[()10(10

0 qqqL

01d)6.012( qq

8010)3.012(10

边际收入 ( 单位：元 / 单位 ) 为 MR (q) ＝ 25 － 0.2q ，固定成本为 10 元，求运送

解由利润函数

直接求出

（元）

[ 例 ] 已知运输某物品的边际成本 ( 单位：元 / 单位 ) 为 MC (q) ＝ 13＋ 0.4q ，

10 单位物品时的利润。

MATLAB

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