LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES1º BACH

Definición de Límite

)siendo a y l

El límite cuando x se aproxima a “a” de f(x) es “l” si para toda sucesión de x que se aproxima a “a”, sus imágenes se aproximan a “l”

Cálculo de límites gráficamente

Definición de Límites laterales

a+)siendo a y l

-)siendo a y l

Unicidad del límite

lim𝑥→𝑎+¿ 𝑓 (𝑥 )= lim

𝑥 →𝑎−𝑓 (𝑥 )=𝑙¿

¿

Ejemplo:

Ejercicios:

• Pág 266: 1, 2, 4

1-

Cálculo de límites analíticamente

• Basta con sustituir x por a.

Ejemplos:

𝐥𝐢𝐦𝒙→∞

𝒙𝟑−𝒙+𝟐

𝐥𝐢𝐦𝒙→∞

𝟐𝒙

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎+¿ 𝟏

𝒙𝟑 ¿

𝐥𝐢𝐦𝒙→∞

𝟐−𝒙

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐

𝒇 (𝒙)

𝐥𝐢𝐦𝒙→∞

𝒙−𝟐𝟎

Más ejemplos:

• Ejercicios: Pág 267: 6, Pág 268: 7

Indeterminaciones:

• Se llama indeterminación a aquel cálculo que no se puede determinar su valor, sino que éste depende del tipo de funciones de las cuales provenga.• Son: 0·

Resolución de indeterminaciones:

Ejemplos:

= 114

=

Ejemplos:

Ejemplos:

Y tampoco son indeterminaciones cuando uno de los infinitos tiene mayor grado que el otro, en cuyo caso el límite es el infinito de mayor grado

Ejemplos:

0· Realizamos la operación

Ejemplos:

𝟏∓∞ : 𝒔𝒆𝒓𝒆𝒔𝒖𝒆𝒍𝒗𝒆𝒏𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐

Ejemplos:

1∞

Continuidad

Una función f(x) es continua en x = a si

Esto exige que,

Ejemplos gráficos:

Discontinuidades:• Evitable: y

• De salto finito:

• De salto infinito: al menos uno de los límites laterales es + o -

∄ 𝑓 (𝑎)ó

≠ 𝑓 (𝑎)

Ejemplo gráfico:

• Las funciones elementales son continuas en su dominio

• Si f y g son dos funciones continuas en x = a y t – f es continua en x = a– t·f es continua en x = a– f·g es continua en x = a– f/g es continua en x = a siempre que g(a)0

Ejemplos analíticos:

f(x) =

f(x) =

f(x) =

Ejercicios:

• Pág 269: 18• Pág 270: 19, 21, 22, 23

Asíntotas

• A.V. : Surgen de los números que anulan al denominador y no al numerador.

• A.H. : Puede haber solo una.

• A.O. : Si hay A.H. no hay oblicuas; en caso contrario puede que haya y solo una. Para que exista, el valor de m no puede ser 0 porque en tal caso sería A.H.

Cálculo de ASÍNTOTAS DE FUNCIONES RACIONALES

Ejemplos:

Ejemplos:

• y =

• y =

• y =