View
20
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
LIMIT FUNGSI
Oleh :ALFITH, S.Pd, M.Pd
APA ITU LIMIT?Arti kata:
batas, membatasi, mempersempit,mendekatkan.
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
Dalam kehidupan sehari-hari,orang sering dihadapkan padamasalah-masalah pendekatansuatu nilai/besaran.
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
Contoh:a. Letak rumah Budi dekat dengan rumah Tono.b. Ketika hari sudah mendekati senja, datanglah yang
ditunggu-tunggu.c. Nilai ujian matematika Anton hampir 9.d. ……dst.
Pertanyaan:Seberapa dekat/mendekati/hampir besaran-besaranatau nilai-nilai pada contoh di atas denganbesaran/nilai yang sebenarnya?
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
Dari ketiga contoh tersebut, kitamungkin tidak mengetahuiletak/berat/nilai yangsesungguhnya.
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI(CONTOH-CONTOH LAIN TERKAIT DENGANMASALAH PENDEKATAN)
1. Perhatikan gambar berikut.
……. dst.
Di dalam lingkaran dibuat bidang segi n (npolygon) sehingga titik-titik sudut segi n tersebutberada pada lingkaran. Tentu dapatdibayangkan bahwa apabila n “sangat besar”,maka luas segi n akan mendekati luas lingkaran.
CONTOH-CONTOH LAIN TERKAIT DENGANMASALAH PENDEKATAN
2. Masalah penjumlahan:
4
3
4
1
2
1
8
7
8
1
4
1
2
1
16
15
16
1
8
1
4
1
2
1
CONTOH-CONTOH LAIN TERKAIT DENGANMASALAH PENDEKATAN
………………..
………………….dst.
32
31
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
211
211
2
1
2
1...
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
n
n
CONTOH-CONTOH LAIN TERKAIT DENGANMASALAH PENDEKATAN
Apabila jumlahan dilakukan untuk n “sangatbesar”, maka hasil jumlahan akan “mendekati” 1.
CONTOH-CONTOH LAIN TERKAIT DENGANMASALAH PENDEKATAN
3. Masalah mekanika:Seseorang berangkat ke tempat kerja menggunakansepeda motor, dari rumah pukul 07.00 sampai ketempat kerja pukul 07.30. Jarak rumah ke tempatkerja 15 km. Orang tersebut mengendarai sepedamotor dengan kecepatan rata-rata
km/jam3000.0730.07
15
CONTOH-CONTOH LAIN TERKAIT DENGANMASALAH PENDEKATAN
Secara umum, apabila pada pukul 07 lebih t menit,orang tersebut telah menempuh jarak x km, makakecepatan rata-rata orang tersebut berkendaraanadalah
km/jam.60
km/menitt
x
t
x
CONTOH-CONTOH LAIN TERKAIT DENGANMASALAH PENDEKATAN
Yang menjadi pertanyaan adalah berapasesungguhnya kecepatan orang tersebut dalamberkendaaan ketika jam menunjukkan pukul 07 lebiht menit?Pertanyaan ini sulit dijawab, karena nilaiperbandingan jarak tempuh dan selang waktu, yaitu
menjadi mendekati 0/0. Namun demikian nilaipendekatannya dapat ditentukan.
t
x
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
Salah satu masalah utama di dalam kalkulus adalahnilai slope/kemiringan suatu garis , yaitu ,ketika nilai tersebut menjadi hampir 0/0.
Nilai eksak slope dengan kondisi seperti tersebut diatas sangat sulit ditentukan, namun nilaipendekatannya tidaklah sulit untuk ditentukan.
Proses menentukan nilai pendekatannya itulah yangmenjadi ide dasar konsep limit.
xy
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
Perhatikan bahwa untuk berbagai nilai dan, maka nilai berupa bilangan rasional.
Oleh karena itu, ide dasar konsep limit tidak lainadalah barisan bilangan rasional.
xy
yx
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI(BARISAN BILANGAN RASIONAL)
Barisan bilangan rasional antara lain dapatditemukan dalam geometri, yaitu ketika seseorangakan menentukan hasil bagi keliling sebaranglingkaran dengan diameternya (bilangan π).
Untuk mengetahui hasil bagi keliling sebaranglingkaran dengan diameternya, kita gambarkanpoligon (segi banyak) beraturan di dalam lingkaran.
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI(BARISAN BILANGAN RASIONAL)
Betul bahwa keliling setiap poligon tidak akanpernah sama dengan keliling lingkaran. Akantetapi apabila jumlah sisi poligon “cukup besar”,maka selisih antara keliling lingkaran dengankeliling poligon tersebut sangatlah kecil, lebihkecil dari sebarang bilangan positif yangdiberikan, misalkan0.00000000000000000000000000000001
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI(BARISAN BILANGAN RASIONAL)
Jadi, apabila jumlah sisi poligon terus diperbesar ,misalkan dari 4 sisi, 5 sisi, …, 60 sisi, 61 sisi, 62, 63,64, dan seterusnya, dan kita lakukan pembagiankeliling masing-masing poligon dengan diamterlingkaran, maka kita akan dapatkan barisanbilangan rasional, yang masing-masing bilangannilainya kurang dari hasil bagi keliling lingkarandengan diameternya (sebut π).
Bilangan di dalam barisan yang kita dapatkantersebut, “semakin lama akan semakin dekat” denganπ (yaitu limit atau batas barisan).
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI(GENERALISASI MASALAH)
Pada prinsipnya, nilai-nilai yang terletak padasumbu Y dapat dipakai untuk menggambarkan nilaisebarang besaran. Demikian pula nilai-nilai yangterletak pada sumbu X.
Apabila nilai pada sumbu Y menyatakan jaraktempuh benda yang bergerak dan nilai pada sumbu Xmenyatakan waktu tempuh, maka slope mempunyaiarti kecepatan/laju rata-rata.
ARTI LEBIH UMUM: Kecepatan/laju rata-ratadiartikan sebagai perbandingan perubahan suatubesaran terhadap perubahan besaran yang lain.
FUNGSI
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekalidijumpai adanya keterkaitan atau hubungan antarasatu obyek dengan obyek yang lain. Misalnya antarapedagang dan pembeli suatu barang, antara majikandan pelayan, antara bank dan nasabah, dst.
Hubungan-hubungan tersebut secara umum disebutrelasi.
Secara sistemik, suatu relasi menggambarkanhubungan antara anggota dari suatu kumpulanobyek dengan anggota dari kumpulan obyek yanglain.
Relasi yang memenuhi syarat tertentu, yaitu apabilasetiap unsur dalam suatu kumpulan obyekmempunyai hubungan dengan tepat satu obyek darikumpulan yang lain, disebut fungsi.
FUNGSI
Secara matematis, pengertian fungsi diberikansebagai berikut:
Diberikan himpunan tak kosong A dan B. Relasidari A ke B adalah suatu himpunan .
Relasi dari A ke B sehingga untuk setiap anggotaA berelasi dengan tepat satu anggota B disebutfungsi dari A ke B.
BAR
FUNGSI
Jika sebarang anggota A diwakili denganvariabel x dan anggota B yang oleh fungsi fberelasi dengan x adalah y, maka fungsi f biasadiberikan dengan rumus
)(xfy
LIMIT FUNGSI
Dari contoh-contoh masalah pendekatansebagaimana diuraikan di atas, kiranya secaramatematis dapat dibuat rumusan umumnya:
“Apabila diberikan suatu fungsi f dengan rumusy=f(x), maka berapa nilai y apabila x “sangat
dekat” dengan c?”
Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapacontoh berikut.
LIMIT FUNGSI
Contoh 1. Diberikan . Berapa nilaipada saat x “sangat dekat” dengan 0?
Jawab:Nilai eksak yang menjadi jawaban pertanyaan diatas sulit ditentukan, bahkan tidak mungkin.Mengapa demikian? Karena kita tidak dapatmemberikan kepastian nilai x yang dimaksud.
Meskipun demikian, nilai pendekatan untukyang dimaksud bisa ditentukan. Perhatikantabel berikut.
1)( xxf )(xf
)(xf
LIMIT FUNGSI
x f(x) x f(x)–1 0 1,24 2,24
–0,55 0,45 0.997 1,997
–0,125 0,875 0,00195 1,00195
–0,001 0,999 0,0000015 1,0000015
–0,000001 0,999999 0,000000001 1,000000001
… … … …
LIMIT FUNGSI
Dari tabel di atas dapat dilihat, apabila nilai xsemakin “dekat” dengan 0, maka akansemakin “dekat” dengan 1.
CATATAN:Adalah suatu kebetulan bahwa .
Dengan grafik, dapat digambarkan sebagaiberikut.
)(xf
1)0( f
LIMIT FUNGSI
Dari grafik dapat dilihat, apabila x sangat“dekat” dengan 0, baik untuk x<0 maupun untukx>0, maka sangat “dekat” dengan 1.
1
)(xf
LIMIT FUNGSI
Contoh 2. Diberikan
Berapa nilai pada saat x sangat “dekat”dengan 1?
Jawab:Untuk kasus ini, jelas bahwa tidak adaatau tak terdefinisi.
Yang menjadi pertanyaan, apakah hal ituberakibat juga tidak ada untuk setiap xsangat “dekat” dengan 1?
1
1)(
2
x
xxg
)(xg
)1(g
)(xg
LIMIT FUNGSI
Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita perlumenganalisanya dengan cermat.
Perhatikan bahwa untuk ,
(Dalam hal ini, kita definisikan ).
Selanjutnya, untuk berbagai nilai , nilaig(x) dapat dilihat pada tabel berikut.
)(11
)1)(1(
1
1)(
2
xfxx
xx
x
xxg
1x
1)( xxf
1x
LIMIT FUNGSI
x g(x) x g(x)0 1 1,24 2,24
0,557 1,557 1,0997 2,0997
0,799999 1,799999 1,00195 2,00195
0,999999001 1,999999001 1,0000015 2,0000015
0,999999999 0,999999999 1,000000001 2,000000001
… … … …
LIMIT FUNGSI
Dengan grafik, nilai g(x) untuk berbagai nilai xyang sangat “dekat” dengan 1 dapat dilihat padagambar berikut.
1
2
LIMIT FUNGSI
Jadi, baik dari tabel maupun dari grafik,diperoleh bahwa semakin “dekat” nilai x dengan1, maka nilai g(x) semakin “dekat” dengan 2.
Selanjutnya, perhatikan contoh berikut.
LIMIT FUNGSI
Contoh 3. Diberikan
Berapa nilai pada saat x sangat “dekat”dengan 1?
1,1
1,1
1
)(
2
x
xx
x
xh
)(xh
LIMIT FUNGSI
Jawab:Jelas bahwa . Muncul pertanyaan serupadengan pertanyaan pada Contoh 2, yaitu:
Apakah keadaan tersebut, yaitu , akanmengakibatkan juga akan bernilai 1 ketikax sangat “dekat” dengan 1?
)(xh1)1( h
1)1( h
LIMIT FUNGSI
Sama halnya seperti fungsi g pada Contoh 2,bahwa untuk ,
(Dalam hal ini, kita definisikan ).
Selanjutnya, untuk berbagai nilai , nilaih(x) dapat dilihat pada tabel berikut.
)(11
)1)(1(
1
1)(
2
xfxx
xx
x
xxh
1x
1)( xxf
1x
LIMIT FUNGSI
x h(x) x h(x)0 1 1,24 2,24
0,557 1,557 1,0997 2,0997
0,799999 1,799999 1,00195 2,00195
0,999999001 1,999999001 1,0000015 2,0000015
0,999999999 0,999999999 1,000000001 2,000000001
… … … …
LIMIT FUNGSI
Dengan grafik, nilai h(x) untuk berbagai nilai xyang sangat “dekat” dengan 1 dapat dilihat padagambar berikut.
1
2
LIMIT FUNGSI
Jadi, baik dari tabel maupun dari grafik,diperoleh bahwa semakin “dekat” nilai x dengan1, maka nilai h(x) semakin “dekat” dengan 2.
LIMIT FUNGSI
Dari Contoh 1, Contoh 2, dan Contoh 3, apabilakita perhatikan beberapa hal yang sama (dalamhal ini tidak usah memperhatikan nilai fungsi di0 untuk Contoh 1 dan nilai fungsi di 1 untukContoh 2 dan Contoh 3), berturut-turut kitakatakan: Limit f(x) untuk x mendekati 0 sama dengan 1, Limit g(x) untuk x mendekati 1 sama dengan 2, Limit h(x) untuk x mendekati 1 sama dengan 2,
dan masing-masing ditulis dengan
2)(limdan,2)(lim,1)(lim110
xhxgxfxxx
LIMIT FUNGSI
Dengan demikian, dapat diturunkan definisilimit fungsi secara formal, yaitu sebagai berikut.
Definisi 4. Fungsi f dikatakan mempunyai limitL untuk x mendekati c, ditulis
jika untuk nilai x yang sangat “dekat” dengan c,tetapi , berakibat f(x) “mendekati” L.
Lxfcx
)(lim
cx
SIFAT-SIFAT DASAR LIMIT FUNGSI
(i)
(ii)
(iii) Jika dan ada, danmaka:
(a)
(b)
)(lim xfcx
)(lim xgcx
kkcx
lim
cxcx
lim
Rk
)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx
)(lim)(lim xfkxkfcxcx
SIFAT-SIFAT DASAR LIMIT FUNGSI
(c)
(d)
)(lim).(lim)().(lim xgxfxgxfcxcxcx
0)(limasalkan,)(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xg
xf
xg
xfcx
cx
cx
cx
SIFAT-SIFAT DASAR LIMIT FUNGSI
(e) untuk sebarang ,
.0)(limgenap,untukasalkan
,)(lim)(lim)3(
0)(limasalkan
,)(lim)(lim)2(
)(lim)(lim)1(
/1/1
xfn
xfxf
xf
xfxf
xfxf
cx
n
cx
n
cx
cx
n
cx
n
cx
n
cx
n
cx
Nn
CONTOH-CONTOH
1. Hitung .
Penyelesaian:
63lim 2
1
xx
x
261)1(3
61lim3
6)1(lim3
6limlim3lim63lim
2
2
1
2
1
11
2
1
2
1
x
x
xxxx
x
x
xxxx
CONTOH-CONTOH
2. Hitung .
Penyelesaian:3
152lim
2
2
x
xxx
3
32
152.22
3limlim
15limlim2lim
3lim
152lim
3
152lim
2
22
22
2
2
2
2
22
2
xx
xxx
x
x
x
x
xx
x
xx
x
xx
CONTOH-CONTOH
3. Hitung .
Penyelesaian:15
1lim
2 xx
3
1
12.5
1
1limlim5
1
)15(lim
1
15
1lim
15
1lim
15
1lim
2/1
2/1
22
2/1
2
2/1
2
2/1
22
xxx
xxx
xx
xxx
CONTOH-CONTOH
4. Hitung .
Penyelesaian:Karena ,
maka sifat
tak dapat langsung digunakan. Apakah dengandemikian limit yang ditanyakan menjadi tak ada?
1
23lim
2
2
1
x
xxx
023limdan01lim 2
1
2
1
xxx
xx
)(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
cx
cx
cx
CONTOH-CONTOH
Perhatikan bahwa untuk , .
Oleh karena itu,,
1
2
)1)(1(
)2)(1(
1
232
2
x
x
xx
xx
x
xx
2
1
11
21
)1(lim
)2(lim1
2lim
1
23lim
1
1
12
2
1
x
xx
x
x
xx
x
x
xx
1x
CONTOH-CONTOH
5. Hitung .
Penyelesaian:
2
35lim
2
2
x
xx
3
2
39
22
35
2lim
352
22lim
352
95lim
35
35.
2
35lim
2
35lim
22
222
2
2
2
22
2
2
2
x
x
xx
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
LIMIT TAK HINGGA
Untuk , definisi limit dapat dituliskansebagai berikut.
Definisi 5. Fungsi f dikatakan mempunyai limitL untuk x mendekati ∞ , ditulis
jika untuk nilai x yang “sangat besar takterbatas” arah positif berakibat f(x) “mendekati”L.
Lxfx
)(lim
c
LIMIT TAK HINGGA
Untuk , definisi limit dapat dituliskansebagai berikut.
Definisi 6. Fungsi f dikatakan mempunyai limitL untuk x mendekati ─∞ , ditulis
jika untuk nilai x yang “sangat besar takterbatas” arah negatif berakibat f(x) “mendekati”L.
Lxfx
)(lim
c
LIMIT TAK HINGGA
Definisi 7. Fungsi f dikatakan mempunyai limittak hingga untuk x mendekati c , ditulis
jika untuk nilai x yang “sangat dekat” dengan c,tetapi berakibat nilai f(x) menjadi “besartak terbatas” arah positif.
)(lim xfcx
cx
LIMIT TAK HINGGA
Definisi 8. Fungsi f dikatakan mempunyai limitnegatif tak hingga untuk x mendekati c , ditulis
jika untuk nilai x yang “sangat dekat” dengan c,tetapi berakibat nilai f(x) menjadi “besartak terbatas” arah negatif.
)(lim xfcx
cx
LIMIT TAK HINGGA
Definisi 9. Fungsi f dikatakan mempunyai limittak hingga untuk x mendekati tak hingga ,ditulis
jika untuk nilai x yang “cukup besar” arahpositif, berakibat nilai f(x) menjadi “besar takterbatas” arah positif.
)(lim xfx
LIMIT TAK HINGGA
Untuk limit-limit
didefinisikan secara sama.
)(limdan,)(lim,)(lim xfxfxfxxx
LIMIT TAK HINGGA
Dari definisi-definisi di atas, mudah dipahami:
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
x
lim.601
lim.4
lim.501
lim.3
0untuk,1
lim.2
0untuk,1
lim.1
0
0
CONTOH-CONTOH
7lim)3(lim73lim.3
0
)1(,1
lim1
1lim.2
.11
lim)1(lim1
lim.1
2
2
0020
xxx
yx
xxx
xxxx
xyyx
xx
x
x
CONTOH-CONTOH
1. Hitunglah
Penyelesaian:Perhatikan bahwa
Hal ini berakibat nilai limit yang ditanyakanmenjadi susah dikatakan. Apakah limittersebut tak ada?
52
13lim
2
2
xx
xx
)52(limdan)13(lim 22 xxxxx
CONTOH-CONTOH
Perhatikan bahwa
Oleh karena itu, menggunakan sifat limitdiperoleh
31
3
521
13lim
52
13lim
2
2
2
2
xx
x
xx
xxx
2
2
22
22
2
2
521
13
)521(
)13(
52
13
xx
x
xxx
xx
xx
x
CONTOH APLIKASI LIMIT FUNGSI
Contoh 6. Tunjukkan bahwa keliling lingkarandengan jari-jari R sama dengan .
Penyelesaian: Dibuat segi n beraturan di dalamlingkaran sehingga setiap titik sudutnya beradapada lingkaran.
R2
CONTOH APLIKASI LIMIT FUNGSI
Keliling segi n tersebut adalah
Untuk n cukup besar, maka nilai akanmendekati keliling lingkaran. Oleh karena itu,keliling lingkaran adalah
n
nRnRnLn 1
2cos122cos12
22
nL
RLL nn
2lim
CONTOH APLIKASI LIMIT FUNGSI
Contoh 7. Suatu partikel bergerak mengikutipersamaan
dengan t menyatakan waktu (dalam jam) danS(t) menyatakan jarak tempuh. Berapakecepatan partikel pada jam 2?
0,4)( 2 ttttS
CONTOH APLIKASI LIMIT FUNGSI
Penyelesaian:Kecepatan rata-rata partikel dari jam 2 sampaidengan jam 2+h, dengan adalah
Apabila diambil h sangat kecil mendekati 0,maka akan diperoleh kecepatan pada saat jam 2,yaitu
hh
ShSvh
8
)2()2(0h
8lim)2(0
hh
vv
SELESAI
Recommended