View
2
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
”for theoretical discoveries of topological phase transitions and topological phases of matter”
Gilles MontambauxLaboratoire de Physique des Solides, CNRS
Université Paris-Sud, Orsay, France
Le prix Nobel de Physique 2016
Topologie et matière condensée
Journées X-ENS-UPS, 9 mai 20172
« Applications pratiques dans une ou deux décades … »« Nouveaux matériaux moins consommateurs en énergie … »« Ordinateurs du futur … »« Transport de l’énergie et de l’information plus loin et plus vite… »
Topologie = « robustesse » :
Un état « topologiquement » protégé ne peut pas être perturbé
Topologie: « l'étude des déformations spatiales par des transformations continues »
3
Ω(~r)Géométrie courbure
Topologie nombre de trous
ZΩ(~r) · ds = 4π(1− g)
Gauss-Bonnetg=1
g=0
g=2
g
pté locale
pté globale
4
“topological phase transitions and topological phases of matter”
M. Kosterlitz(U. Brown)
D. Thouless(U. Washington)
D. Haldane(U. Princeton)
5
La transition de Kosterlitz-Thouless (1973)
La chaîne de Haldane (1983)
L’effet Hall quantique TKNN (1982)
Le modèle de Haldane (1988)
Les isolants topologiques (2005)
“Topological phase transitions and topological phases of matter”
graphène
“isolant topologique”
La transition de Kosterlitz-Thouless
(1973)
Nouveau concept de transition de phase où les défauts topologiques jouent un rôle crucial
La transition de Kosterlitz-Thouless
hm(~r)m(~0)i = Cte
Contexte : les transitions de phase années 70 :
On comprend que les transitions de phase présentent des caractéristiques universelles
Paramètre d’ordre
Brisure spontanée de symétrie
Fonction de corrélation
Exemple : magnétismeT
phase ordonnée phase désordonnéeTc
Exposants critiques
T
Exposants critiquesExemple
Classes d’universalité : deux paramètres seulementla dimension d’espace dla dimensionnalité du paramètre d’ordre n
Théorie de Landau (champ moyen, néglige les fluctuations)Très peu de solutions exactes (Onsager, 1944, d=2, n=1)
Exemple : magnétismeT
phase ordonnée phase désordonnéeTc
Contexte : les transitions de phase années 70 :
On comprend que les transitions de phase présentent des caractéristiques universelles
La transition de Kosterlitz-Thouless
9
Théorie de Landau exposants de champ moyen,
Solution exacte, Onsager d=2, n=1 (Ising)
Modèle canonique : transition para-ferromagnétisme
Le modèle d’Heisenberg
Importance des fluctuationsGroupe de renormalisation
1970’s K. Wilson, L. Kadanoff, M.E. Fisher, E. Brézin, J.C. Le Guillou, J. Zinn-Justin, etc…
Classes d’universalité1982
fluctuations
d=2, n=2 aimants ou supraconducteurs, 4He superfluide
condensat supra : amplitude et phase n=2
Pas d’ordre à longue distance
mais ordre algébrique : décroissante lente des corrélations
À basse dimension, les fluctuations thermiques et quantiques sont importantesPas d’ordre à longue distance
Peierls (1934) Mermin-Wagner-Hohenberg (1966)
À pas de transition de phase à température finie avec brisure spontanée de symétrie continue(Transition de phase à T= 0K)
2d Ising (transition)
2d XY (pas de transition)
d=2, n=1
d=2, n=2
11
Modèle X-Y
Ordre algébrique : décroissante lente des corrélations
des défauts topologiques, des vortex, enroulement de l’angle
Configurations topologiquement distinctes
des vortex + et des vortex -
++
-
Kosterlitz-Thouless :
-
+
d=2, n=2
La transition de Kosterlitz-Thouless…
… est une transition de dissociation des vortex
À basse température, les vortex forment des paires liéeset ne perturbent pas l’ordre algébrique à longue distance
À haute température, dissociation des paires de vortex décroissance exponentielle des corrélations
Nouveau type de transition de phase, induite par des défauts topologiques13
Argument entropique
Énergie libre associée à un vortex
Prolifération de vortex libres
Vortex liés
Nouveau type de transition de phase, induite par des défauts topologiques14
La transition solide-liquide à 2 dimensions
T>Tc1 Apparition de dislocations brisure de l’ordre translationnel à longue distance
phase “hexatique”
T>Tc2 Apparition de disinclinaisons brisure de l’ordre orientationnel à longue distance
Kosterlitz, Nelson, Halperin, Young
Observations expérimentales4He suprafluideFilms supraconducteursSystèmes magnétiques 2D
Atomes froids pas de condensation de Bose à 2Dobservation de la transition de Kosterlitz-Thouless (J. Dalibard, ENS)
La transition de Kosterlitz-Thouless
15
La transition de Kosterlitz-Thouless
dislocation disinclinaison
L’effet Hall quantique
“TKNN”
(1982)
Thouless, Kohmoto, Nightingale, den Nijs
L’effet Hall quantique : première réalisation d’un « isolant topologique » 17
L’effet Hall (1879)
Conductivité transverse ou de Hall
résistivitétransverse
résistivitélongitudinale
18
L’effet Hall quantique (1980) K. von Klitzing
19
L’effet Hall quantique (1980)
20 2c e
h
1985
RK =h
e2= 25812.807557(18)Ω
Von Klitzing, 4 fév. 1980
2Hq hRp e
* pe eq
L’effet Hall quantique fractionnaire (1983)
1998
Stormer, Tsui, Laughlin
21
Effet Hall Quantique
Métrologie
Isolants topologiquesInteractions électroniques
Désordre et localisation États de bords et physique 1D
Géométrie non-commutative
Équation de Dirac et graphène
Gravitation…Théorie des champs, cordes
Information quantique
22
Sous fort champ magnétique, trajectoires fermées quantifiées
Niveaux de Landau
B
Deux ingrédients importants, les bords et le désordre
pulsation cyclotron
L.D. Landau (1908-1968)
23
Sous fort champ magnétique, trajectoires fermées quantifiées
Niveaux de Landau
B
Choix de jauge, dite de Landau
24
Parenthèse : dérive sous champ électrique
B
E0 2
E BvB
25
En présence d’un potentiel de désordre V(r), les trajectoires cyclotron s’enroulent autour des équipotentielles,et sont localisées. Elles sont piégées par le désordre.
0 2
V Bve B
0v V
Dans l’échantillon, le désordre est décrit par un potentiel V(r) aléatoire dû aux impuretés de substitution
+
+
26
Les trajectoires de bord sont insensibles au désordre
Le courant est porté par les états de bords
M. Büttiker
1V 2V
Isolant en volumeConducteur « chiral » parfait sur les bords
28
Isolant en volumeConducteur « chiral » parfait sur les bords
B
1
2( )n c cE n V r
1V 2V
FE
29 Isolant en volumeConducteur « chiral » parfait sur les bords
B
1
2( )n c cE n V r
1V 2V
FE
30
B
Les trajectoires de bord, chirales, sont insensibles au désordre
B
« skipping orbits »
Les bords et le désordre
M. Büttiker
Les trajectoires en volume sont piégées par le désordre
Isolant en volumeConducteur « chiral » parfait sur les bords
V2 V1
0LR 2
HeI n Vh
nH canaux de conduction parfaite, localisés sur les bords
quantum de conductanceR. Landauer (1957)
États de volume piégés par le désordreEn surface, pas de rétrodiffusion robustesse des plateaux de Hall
32
33
Conductance d’un gaz unidimensionnel
22eG Th
Formule de Landauer
Conducteur parfait 22eGh
Conductance quantum
1 2( )I G V V
1V 2VT
I
34
1D wire
Very qualitatively…
I =charge
temps= e
energie
h= e
e∆V
h
1 2( )I G V V
I =e2
h∆V
22eGh
⇒
1V 2VT
I
Conductance d’un gaz unidimensionnel
L’entier est le nombre de canaux de bords
C’est aussi une propriété topologique en volume (nombre de Chern)
“bulk-edge correspondence”
L’effet Hall quantique
Premier exemple d’«isolant topologique»
D. Thouless
2016 “TKNN”35
Électrons dans un cristal
36
Q : tout est dans le spectre ?
Un peu de théorie des bandes
Des propriétés intéressantes sont codées dans
Électrons libres
Particules dans un potentiel périodique (a)
Fonction de Bloch
Isolant ou métal selon la position du niveau de Fermi
R : NON
isolantF
métal
1ère zone de Brillouin
Des propriétés intéressantes sont codées dans
métal
isolant
définie sur un tore
TKNN
est un entier (nb de Chern)
connection de Berry
courbure de Berry
Un peu de théorie des bandes
Géométrie
Topologie
Équations du mouvement semiclassiques
métal
isolant
1ère zone de Brillouin
métal
isolant
Courant dans un gap
nombre de Chern
Nature topologique de l’effet Hall quantique “TKNN”
Équations du mouvement semiclassiques
Energy levels and wave functions of Bloch electrons in rational and irrational magnetic fields, Douglas Hofstadter, Phys. Rev. B 14 (1976) 2239
0
0
he
Le papillon de Hofstadter
2Ba
a
41
La loi de Hofstadter…
« Il faut toujours plus de temps que prévu,
même en tenant compte de la Loi de Hofstadter. »
42
Les modèles sur réseau
Couplage entre états atomiques localisés
a
ECouplage entre états atomiques localisés
E
Les modèles sur réseau
44
E
, , 1 , 1 1, 1,H m n m n m nt m n nt t t m
Couplage entre états atomiques localisésE
,m n 1,m n1,m n
, 1m n
, 1m n
Les modèles sur réseau
45
2Ba
Les modèles sur réseau : avec un champ magnétique
46
0
3 0
3 0
3
0
3 0
3 0
3
Exemple : 0
3
Les modèles sur réseau : avec un champ magnétique
47
0
3 0
3 0
3
0
3 0
3 0
3
Exemple : 0
3
Périodicité triplée 3 bandes
q bandes
q sous-bandes E(kx,ky)
Périodicité selon x : q apq
Les modèles sur réseau : avec un champ magnétique
48
00
2
0
3
E
E E
Les modèles sur réseau : avec un champ magnétique
49/p q
q solutions E(kx,ky) q sous-bandes
période 1Symétrie 1-
pq
p/q=1/3
p/q=10/31
3 bandes
31 bandes !!
ener
gy
magnetic flux50
/p q
q solutions E(kx,ky) q sous-bandes
période 1Symétrie 1-
pq
p/q=1/3
p/q=10/31
3 bandes
31 bandes !!
ener
gy
magnetic flux51
/p q
q solutions E(kx,ky) q sous-bandes
période 1Symétrie 1-
pq
p/q=1/3
p/q=10/31
3 bandes
31 bandes !!en
ergy
magnetic flux52
Wannier, TKNN, AvronSimon, Bellissard
Gap structure and topology
1
23
-1
-2
-2
2
-3 3
1
-3
-1
2
H H
filled
H ii
e nh
n C
nH est un nombre topologique
Ci nombre de Chern, caractérise chaque bande53
Gap structure and topology
1
23
-1
-2
2
2
-3 3
1
3
-1
Avron
Wannier, TKNN, AvronSimon, Bellissard nH est un nombre topologique
Ci nombre de Chern, caractérise chaque bande
2
H H
filled
H ii
e nh
n C
54
http://www.nobelprize.org/55
En résumé, dans le régime d’effet Hall quantique:
Isolant en volume à cause du désordreConducteur « chiral » parfait sur les bords
C’est un isolant non trivial :Il est isolant en volume, mais conducteur parfait sur les bords (protégé topologiquement)
Correspondance « bulk-edge »
C’est le premier exemple d’isolant topologique
Isolants topologiques 2007 …….
Isolants en volume, états conducteurs en surface topologiquement protégés
Pour l’EHQ, cet état nécessite la brisure de l’invariance par renversement du temps induite par le champ magnétique
Même physique en l’absence de champ magnétique ?56
Du graphène aux isolants topologiques
Concevoir un système physique qui présente les mêmescaractéristiques que l’effet Hall quantique,
isolant en volume, conducteur parfait en surface,
en l’absence de champ magnétique, sans briser l’invariance par renversement du temps.
57
Du graphène aux isolants topologiques
Modèle de Haldane (1988), variante du graphène
Effet Hall quantique sans champ magnétique
D. Haldane
201658
Le graphènet
21
3
*
0 ( )
( ) 0k
f kH
f k
A B
( )
112 i k
ue
k
i kru e k k
k k k kH u u
Fonction d’onde à 2 composantes
AB
59
Le graphène
k
( ) ( )k f k
1
*
0 ( )
( ) 0k
f kH
f k
A B
( )
112 i k
ue
k
1
Fonction d’onde à 2 composantes
( ) arg[ ( )]k f k
phase de Berry
Le graphène t
21
3*
0 ( )
( ) 0k
f kH
f k
A B
yk xkE
K’K
« Dirac point »
Équation de Dirac à 2d
( ) p c p
H = c
µ0 ±px−ipy
±px+ipy 0
¶A B
A = B
Le graphène t
21
3*
0 ( )
( ) 0k
f kH
f k
A B
yk xkE
« Dirac point »
Équation de Dirac à 2d
QED in a pencil trace… (K. Novoselov)
Relativistic quantum physics in a benchtop experiment(A. Geim)
( ) p c p
A = B
Le graphène gappé, nitrure de bore (BN) t
21
3*
( )
( )k
f kH
f k
A B
yk xkE
« Dirac point »
Équation de Dirac à 2d
A B
2 4 2 2( ) p m c p c
A = B2 2( ) ( )k f k
t
21
3
*
0 ( )
( ) 0k
f kH
f k
A B
Graphène (fermions de Dirac sans masse) :
les deux atomes sont identiques, c’est un semi-métal
yk xkE
Microondes (Nice)
états de bord
( )kE f k
x
xk
K- K0B
64
t
2
13
yk xkE
Nitrure de Bore (fermions de Dirac massifs) :
les deux atomes sont différents, c’est un isolant
*
( )
( )k
f kH
f k
A B
22 ( )kE f k
Isolant “trivial”
F
états de bord
xk
K- K
B
B
65
*
( )
( )k
f kH
f k
A B
( ) ( )K K
Isolant “trivial”
Haldane : changer le signe du gap entre K et -K
22 ( )kE f k
F
xk
K- KB
B
66
( ) ( )K K
Isolant “topologique”
Haldane : changer le signe du gap entre K et -K
22( ) ( )kE f kk
F
xk
K- K*
( )
(
( )
( ))k
f kH
f k
k
k
A B
( )B xk
( )B xk
67
( ) ( )K K
F
xk
Le spectre en volume est inchangé mais il y a deux états de bord dispersifs, topologiquement protégés.
K- K*
( )
(
( )
( ))k
f kH
f k
k
k
A B
22( ) ( )kE f kk
( )B xk
( )B xk
68
( ) ( )K K ( ) ( )K K Isolant “trivial” Isolant “topologique”
un état de bord chiral protégé topologiquement
K- KK- K
1
1
1
1
1
1
6
-2-2
-2 -2
-2-2
*
( )
( )k
f kH
f k
A B
A
B
A
B
A
B
*
( )
(
( )
( ))k
f kH
f k
k
k
A B
Modèle de Haldane (1988), variante du graphèneEffet Hall quantique sans champ magnétique
A
B
A
B
A
B
Le gap change de signe entre les points K et K’
1
1
1
1
1
1
6
-2-2
-2 -2
-2-2
*
( )
( )k
f kH
f k
A B
A
B
A
B
A
B
Modèle de Haldane (1988), variante du graphèneEffet Hall quantique sans champ magnétique
A
B
A
B
A
B
Pas de champ magnétique, mais brisure d’invariance par renversement du temps
Effet Hall quantifié 71
un état de bord chiral protégé topologiquement sans champ magnétique,
Mais on a brisé l’invariance par renversement du temps 72
Les isolants topologiques
(2005)
C. Kane and E.J. Mele, Quantum spin Hall effect in graphene (PRL 2005)73
C. Kane and E.J. Mele, Quantum spin Hall effect in graphene (PRL 2005)
Nouvel ingrédient : le couplage spin-orbite
Deux copies du modèle de HaldaneLe couplage spin-orbite ne brise pasl’invariance par renversement du temps
Les électrons de spin opposé « voient » un champ interne opposé
spin
spin
Effet Hall quantique
Les états de spin + ou – se déplacent dans la même direction
Effet Hall quantique de spin
Les états de spin + ou – se déplacent dans des directions opposées
Science,766, 318 (2007)
L’effet Hall quantique de spin 2006 – 2007
Pas de champ magnétique, mais couplage spin-orbite
Les états de spin + ou – se déplacent dans des directions opposées
Isolants topologiques 3D 2007 …….
Isolants en volume, états conducteurs en surface topologiquement protégés
Recommended