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Larrondo 2008
Fotones, electrones, y ….
partículas cuánticas
ó
paquetes de onda
Larrondo 2008
Dualidad onda partícula
Se difractan si interactúan con objetos de tamaño comparable con su . Es decir en ese caso se comportan como ondas.
Larrondo 2008
Dualidad onda partícula
Si interactúan con objetos de tamaño >> la difracción es despreciable y en ese caso se comportan como partículas.
Larrondo 2008
Ventaja de los electrones
Su frecuencia y su longitud de onda son regulables mediante un incremento de su ímpetu.
Los electrones pueden utilizarse para fotografía y microscopía igual que los fotones, pero en casos en que los objetos son muchísimo más pequeños.
Larrondo 2008
Fotos enviadas por Sebastián Gómez (curso 2007)
Larrondo 2008
Fotos enviadas por Sebastián Gómez (curso 2007)
Larrondo 2008
Fotos enviadas por Sebastián Gómez (curso 2007)
Larrondo 2008
c
Larrondo 2008
Qué partículas son éstas?
Δx
Larrondo 2008
Fourier demostró (transformada de Fourier)
Larrondo 2008
Cambio de variables
Si intercambiamos x por t, se intercambia k por en la transformada de Fourier.
Larrondo 2008
TF para funciones del tiempo
F() = f (t) e−it dt−∞
∞
∫
f (t) =12π
F () e+it d−∞
∞
∫
Larrondo 2008
Y los paquetes se obtienen reemplazando k por (k-k0)
F(k −k0 ) = f (x) e−i(k−k0 )x∫
• La transformada de Fourier de un paquete es igual a la de la envolvente pero está centrada en k0.
• Un paquete con portadora k0 y envolvente f(x) se obtiene sumando senoides de distinto k, cuya amplitud y fase están dadas por F(k-k0)
Larrondo 2008
Preparación de un paquete de ondas
1. Elegimos la envolvente y mediante la Tabla de TF obtenemos la amplitud y fase de cada k
fourierTransform1.htm
2. Elegimos k0
Larrondo 2008
Ejemplo (ver tabla de TF)
Envolvente de f (x)
Envolvente de F (k)
Larrondo 2008
Y éste es el paquete gaussiano centrado en una portadora
σ 2π e−σ 2 (k−k0 )2
2portadora
Larrondo 2008
Pincipio de incerteza
ΔxΔk ≥
12
Larrondo 2008
Atención
La expresión anterior corresponde a una manera particular de medir el ancho de los pulsos, tanto en x como en k.
Note que en rigor un pulso gaussiano es indefinido.
El pulso gaussiano es el único que cumple la igualdad.
Larrondo 2008
Consecuencias del Pincipio de incerteza
ΔxΔpx ≥
h2
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Consecuencias del Pincipio de incerteza
No se pueden medir simultáneamente la posición en x y la componente x del ímpetu
con infinita precisión.
Larrondo 2008
Ejemplo del apunte
Larrondo 2008
Larrondo 2008
Larrondo 2008
Larrondo 2008
Larrondo 2008
Receta
Para obtener un paquete único de ancho finito tenemos que sumar
un continuo en k
Larrondo 2008
Paquete sen x / x
Larrondo 2008
Forma experimental de hacerlo?
Las partículas cuánticas se preparan mediante mediciones
del sistema!
Larrondo 2008
Los fotones
Se forman sumando ondas de Campo Electromagnético
Cada onda es solución de la ecuación de Ondas
La intensidad de la onda (el módulo al cuadrado del campo E) da la probabilidad que los fotones se encuentren en determinado lugar.
Larrondo 2008
Pero si bajamos la intensidad de la luz y el tiempo de exposición
Larrondo 2008
Pero si bajamos la intensidad de la luz y el tiempo de exposición
Larrondo 2008
Este es el resultado con bajo tiempo de exposición
Larrondo 2008
Este es el resultado con alto tiempo de exposición
Larrondo 2008
Los fotones
Se forman sumando ondas de Campo Electromagnético
Cada onda es solución de la ecuación de Ondas
La intensidad de la onda (el módulo al cuadrado del campo E) da la probabilidad que los fotones se encuentren en determinado lugar.
Larrondo 2008
Se forman sumando ondas de Campo de materia
que es un campo escalar complejo.Cada onda es solución de la ecuación
de SchrödingerLa intensidad de la onda (el módulo al
cuadrado del campo ) da la probabilidad que los electrones se encuentren en determinado lugar.
Los electrones
Larrondo 2008
Estas son las ecuaciones
−h2
2m∇2(r,t) +V(r,t) =ih
∂(r,t)∂t
Larrondo 2008
Y en una dimensión
∂2E(x,t)∂x2
=1c2
∂2E(x,t)∂t2
−h2
2m∂2(x,t)
∂t2+V(x,t) =ih
∂(x,t)∂t
Larrondo 2008
Solución de la ES
• Partícula libre (V=0): atención cos(kx- t) NO es solución pero exp[i(kx- t)] SI!
• Partícula en potencial V(x): separación de variables.
• El problema clásico y la representación en energías.
• Partícula en potencial constante
• Partícula en un potencial escalonado (potencial unidimensional)
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