View
236
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Universitas JemberJurusan Matematika - FMIPA
MAM 1516 Analisis Kompleks
Deadline: Wednesday, 29–10–2014; 23:55 Tugas 2 – Template Jawaban
Nama Kelompok: Group JNama Anggota:1. Darul Afandi (111810101041)2. Wahyu Nikmatus Sholihah (121810101010)3. Irawati NIM (121810101021)4. Kiki Kurdianto (121810101041)5. Reyka Bella Desvandai (121810101080)
1 Nama Anggota 1:Darul Afandi (111810101041)
Jawaban soal No 40.———————————————————————————————————————-
Soal no.40:Hitunglah Hitung
∮(5z4 − z3 + 2)dz disekeliling (a) Lingkaran |z | = 1, (b) bujur sangkar
dengan titik-titik sudut (0,1),(1,0),(1,1) dan (1,0), (c) kurva yang dibatasi parabola y = x2
dari (0,0) ke (1,1) dan y = x2 dari (1,1) ke (0,0)
Solusi:
a. Hitung∮
(5z4 − z3 + 2)dz disekelilingLingkaran |z | = 1Penyelesaiaan:
|z| = 1√x2 + y2 = 1
x2 + y2 = 1 → r = 1
x = r cos θ = cos θ → dx = − sin θ dθ
y = r sin θ = sin θ → dy = cos θ dθ
0 ≤ θ ≤ 2π
z4 = re4πθ
z4 = 1(cos 4θ + i sin4θ)
z3 = (cos 3θ + i sin3θ)
=
∮c
(5z4 − z3 + 2)dz
=
∫ 2pi
0
5(cos 4θ + isin4θ)− (cos 3θ + i sin3θ) + 2(dx + idy)
=
∫ 2pi
0
(5 cos 4θ + 5i sin 4θ − cos 3θ − i sin 3θ + 2)(− sin θ dθ + i cos θ dθ)
=
∫ 2pi
0
−5 cos 4θ sin θ + 5i cos 4θ cos θ − 5i sin 4θ sin θ − 5 sin 4θ cos θ + cos 3θ sin θ
− i cos 3θ cos θ + i sin 3θ sin θ + sin 3θ cos θ − 2 sin θ + 2i cos θ dθ∫−5
2(sin 5θ − sin 3θ)− 5
2(sin 5θ + sin 3θ) +
1
2(sin 4θ − sin 2θ) +
1
2(sin 4θ + sin 2θ)
+ 2 cos θ dθ + i
∫5
2(cos 5θ + cos 3θ)− 5
2(cos 5θ − cos 3θ)− 1
2(cos 4θ + cos 2θ)
− 1
2(cos 4θ − cos 2θ) + 2 sin θ dθ
=
∫−5
2sin 5θ +
5
2sin 3θ − 5
2sin 5θ − 5
2sin 3θ +
1
2sin 4θ − 1
2sin 2θ +
1
2sin 4θ +
1
2sin 2θ
+ 2 cos θ dθ + i
∫5
2cos 5θ +
5
2cos 3θ − 5
2cos 5θ +
5
2cos 3θ − 1
2cos 4θ − 1
2cos 2θ
− 1
2cos 4θ − 1
2cos 2θ + 2 sin θ dθ
=
∫−5 sin 5θ + sin 4θ + 2 cos θ dθ + i
∫5 cos 3θ − 4 cos 4θ − cos 2θ + 2 sin θ dθ
= [5.1
5cos 5θ − 1
4cos 4θ + 2 sin θ + i(5.
1
3sin 3θ − 1
4sin 4θ − 1
2sin 2θ − 2 cos θ)]2θ
0
= [cos 5θ − 1
4cos 4θ + 2 sin θ + i(
5
3sin 3θ − 1
4sin 2θ − 2 cos θ)]2π
0
= [cos 10π − 1
4cos 8π + 2 sin 2π + i(
5
3sin 6π − 1
4sin 8π − 1
2sin 4π − 2 cos 2π)]
− [cos 0− 1
4cos 0 + 2 sin 0 + i(
5
3sin 0− 1
4sin 0− 1
2sin 0− 2 cos 0)]
= [1− 1
4+ 0 + i(0− 0− 0− 2)]− [1− 1
4+ 0 + i(0− 0− 0− 2)]
2
=3
4− 2i)− (
3
4− 2i)
=3
4− 2i− 3
4+ 2i
b. Bujursangkar dengan titik-titik sudut (0, 0), (1, 0), (1, 1), dan (0, 1)
C1=Pada titik (0, 0) ke (1, 0) memiliki persamaan y = 0, dy = 0
∫ 1,0
0,0
(5z4 − z3 + 2)dz =
∫ 1
0
5((x + iy)4 − (x + iy)3 + 2)d(x + iy)
=
∫ 1
0
5((x + iy)4 − (x + iy)3 + 2)d(x + iy)
=
∫ 1
0
(5(x + 0)4 − (x + 0)3 + 2)dx
=
∫ 1
0
5x4 − x3 + 2dx
= [x5 − (1
4)4 + 2x]10
= [1− (1
4) + 2]
=11
4
C2=Pada titik (1, 0) ke (1, 1) memiliki persamaan x = 1, dx = 0
3
∫ 1,1
1,0
(5z4 − z3 + 2)dz =
∫ 1
0
5((x + iy)4 − (x + iy)3 + 2)d(x + iy)
=
∫ 1
0
5((x + iy)4 − (x + iy)3 + 2)d(x + iy)
=
∫ 1
0
(5(1 + iy)4 − (1 + iy)3 + 2)idy
= i
∫ 1
0
5(1 + 4iy − 6y2 − 4iy3 + y4)
− (1 + 3iy − 3y2 − iy3) + 2dy
= i
∫ 1
0
(5 + 20iy − 30y2 − 20iy3 + 5y4)
− 1− 3iy + 3y2 + iy3 + 2dy
= i
∫ 1
0
(6 + 17iy − 27y2 − 19iy3 + 5y4)dy
= i[6y +17
2iy2 − 9y3 − 19
4iy4 + y5]10
= i[(6 +17
2i− 9− 19
4i + 1)− 0]
= i[−2 +15
4]
= −15
4− 2i
C3=Pada titik (1, 1) ke (1, 0) memiliki persamaan x = 1 dx = 0
4
∫ 1,0
1,1
(5z4 − z3 + 2)dz =
∫ 0
1
5((x + iy)4 − (x + iy)3 + 2)d(x + iy)
=
∫ 0
1
5((x + iy)4 − (x + iy)3 + 2)d(x + iy)
=
∫ 0
1
(5(1 + iy)4 − (1 + iy)3 + 2)idy
= i
∫ 0
1
5(1 + 4iy − 6y2 − 4iy3 + y4)
− (1 + 3iy − 3y2 − iy3) + 2dy
= i
∫ 0
1
(5 + 20iy − 30y2 − 20iy3 + 5y4)
− 1− 3iy + 3y2 + iy3 + 2dy
= i
∫ 0
1
(6 + 17iy − 27y2 − 19iy3 + 5y4)dy
= i[6y +17
2iy2 − 9y3 − 19
4iy4 + y5]01
= i[0− (6 +17
2i− 9− 19
4i + 1)]
= i[2− 15
4]
= 2i +15
4
C4=Pada titik (1, 0) ke (0, 0) memiliki persamaan y = 0, dy = 0
∫ 0,0
1,0
(5z4 − z3 + 2)dz
=
∫ 0
1
(5(x + 0)4 − (x + 0)3 + 2)dx
=
∫ 0
1
5x4 − x3 + 2dx
= [x5 − (1
4)4 + 2x]01
= [0− (1− (1
4) + 2)]
= −11
4
Penyelesaiannya yang diinginkan adalah :
C1 + C2 + C3 + C4 = (11
4) + (−15
4− 2i) + (2i +
15
4) + (−11
4)
= 0
c. Kurva Pada Parabola y = x2 dari(0, 0) ke (1, 1) dan y2 = x dari (1, 1) ke (0, 0)
5
1). Lintasan C1, y = x2 → dy = 2x dx∮c
(5z4 − z3 + 2) dz
=
∮c
[5(x + iy)4 − (x + iy)3 + 2] (dx + idy)
=
∮c
5(x4 + y4 − 6x2y2 + 4ix3y − 4ixy3)− (x3 − 3xy2 + 3ix2y − iy3) + 2(dx + i2x dx)
=
∮c
5x4 + 5y4 − 30x2y2 + 20ix3y − 20ixy3 − x3 + 3xy2 − 3ix2y + iy3 + 2 (dx + i dy)
=
∮c
5x4 + 5(x2)4 − 30x2x4 + 20i x3x2 − 20ix− x6 − x3 + 3xx4 − 3ix2x2 + ix6
+ 2 (dx + i2x dx)
=
∮c
5x4 + 5x8 − 30x6 + 20ix5 + 20ix7 − x3 + 3x5 − 3ix4 + ix6 + 2 (dx + i2x dx)
=
∫5x4 + 5x8 − 30x6 − x3 + 3x5 + 2− 40x6 + 40x8 + 6x5 − 2x7 dx + i
∫10x5 + 10x9
− 60x7 + 20x5 − 20x7 − 2x4 + 6x6 − 3x4 + x6 + 4x dx
=
∫45x8 − 2x7 − 70x6 + 9x5 + 5x4 − x3 + 2 dx
+ i
∫(10x9 − 80x7 + 7x6 + 30x5 − 5x4 + 4x) dx
= [45
9x9 − 2
8x8 − 70
7x7 +
9
6x6 +
5
5x5 − 1
4x4 + 2 dx
+ i(10
10x10− 80
8x8 +
7
7x7 +
30
6x6 +
5
5x5 +
4
2x2)]10
= [5x9 − 1
4x8 − 10x7 +
3
2x6 + x5 − 1
4x4 + 2x + i(x10− 10x8 + x7 + 5x6 − x5 + 2x2)]10
= [5− 1
4− 10 +
2
3+ 1− 1
4+ 2 + i(1− 10 + 1 + 5− 1 + 2)]− 0[
20− 1− 40 + 6 + 4− 1 + 8
4
+ i(−2)] =−4
4− 2i
= −1− 2i
6
2). Lintasan C2, x = y2 → dx= 2y dy∫ 0
1
(5x4 + 5y4 − 30x2y2 + 20ix3y − 20ixy3 − x3 + 3xy2 − 3ix2y + iy3 + 2) (dx + idy)
=
∫ 0
1
(5y8 + 5y4 − 30y8y2 + 20iy6y − 20iy2y3 − y6 + 3y2y2 − 3iy4y + iy3 + 2) (2y dy + i dy)
=
∫ 0
1
(5y8 + 5y4 − 30y6 + 20iy7 − 20iy5 − y6 + 3y4 − 3iy5 + iy3 + 2) (2y dy + i dy)
=
∫ 0
1
(5y8 + 20iy7 − 31y6 − 23iy5 + 8y4 + iy3 + 2) (2y dy + i dy)
=
∫ 0
1
10y9 − 20y7 − 62y7 + 23y5 + 16y5 − y3 + 4y dy + i
∫(5y8 + 40y8 − 31y6
− 46y6 + 8y4 + 2y4 + 2 dy
=
∫ 0
1
10y9 − 82y7 + 39y5 − y3 + 4y dy + i
∫(5y8 + 40y8 − 31y6 − 46y6 + 8y4 + 2y4 + 2 dy
= [10
10y10− 82
8y8 +
39
6y6 − 1
4y4 + 2y2 + i(
45
9y9 − 77
7y7 +
10
5y5 + 2y)]01
= [y10− 41
4y8 +
13
2y6 − 1
4y4 + 2y2 + i(5y − 11y7 + 2y5 + 2y)]01
= (1− 41
4+
13
2− 1
4+ 2 + i(5− 11 + 2 + 2))
= −(4− 41 + 26− 1 + 8 + i
4(−2)) = (
−4
4− 2i) = 1 + 2i
∴ Jadi, C1 + C2
= (−1− 2i) + (1 + 2i)
= −1 − 2i + 1 + 21
= 0
2 Nama Anggota 2: Wahyu Nikmatus sholihah (121810101010)
Jawaban soal no.39———————————————————————————————————————-
Soal No.39Hitunglah
∮C
z2dz disekeliling lingkaran (a) |z| = 1 dan (b) |z − 1| = 1
7
Jawab(a)
|z| = 1√x2 + y2 = 1
x2 + y2 = 1
x = rcosθ dx = −sinθdθ 0 ≤ θ ≤ 2π
y = rsinθ dy = cosθdθ
∮C
z2dz
=∮C
(x− iy)2(dx + idy)
=∮C
(x2 − y2 − 2ixy)(dx + idy)
=∫ 2π
0(cos2 θ − sin2 θ − 2i cos θ sin θ)(− sin θdθ + i cos θdθ)
=∫ 2π
0(cos2 θ − sin2 θ − i sin 2θ)(− sin θdθ + i cos θdθ)
=∫ 2π
0(− cos2 θ sin θ + sin3 θ + i sin 2θ sin θ + i sin3 θ − i sin2 θ cos θ + i sin 2θ cos θ)dθ
=∫ 2π
0(sin3 θ − cos2 θ sin θ + sin 2θ cos θ)dθ + i
∫ 2π
0(cos3 θ − sin2 θ cos θ + sin 2θ sin θ)dθ
= ((− cos θ + 13cos3 θ) + (1
3cos3 θ) + (−1
3cos 3θ − cosθ))|2π
0
+ i((sin θ − 13sin3 θ)− (1
3sin3 θ) + (2
3sin 3θ))|2π
0
= ([(−1 + 13) + 1
3+ (−1
3− 1)]− [(−1 + 1
3) + 1
3+ (−1
3− 1)])− i(0)
= ([−2 + 13]− [−2 + 1
3])− 0
= 0− 0= 0Hasil yang didapat adalah 0
(b)
|z − 1| = 1√(x− 1)2 + y2 = 1
(x− 1)2 + y2 = 1
(x− 1) = rcosθ
y = rsinθ
x = rcosθ − 1 dx = −sinθdθ 0 ≤ θ ≤ 2π
y = rsinθ dy = cosθdθ
∮C
z2dz
=∮C
(x− iy)2(dx + idy)
=∮C
(x2 − y2 − 2ixy)(dx + idy)
=∫C
x2dx−∫C
y2dx− 2i∫C
xydx + i∫C
x2dy − i∫C
y2dy + 2∫C
xydy
=∫C
x2dx−∫C
y2dx + 2∫C
xydy + i(∫C
x2dy −∫C
y2dy − 2∫C
xydx)∫C
x2dx−∫C
y2dx + 2∫C
xydy ...... persamaan (1)
i(∫C
x2dy −∫C
y2dy − 2∫C
xydx) ...... persamaan (2)
8
Persamaan (1)∫C
x2dx−∫C
y2dx + 2∫C
xydy
=∫ 2π
0(cos θ + 1)2(− sin θdθ)−
∫ 2π
0sin2 θ(− sin θdθ) + 2
∫ 2π
0(cos θ + 1)(sin θ) cos θdθ
=∫ 2π
0(cos2 θ + 2 cos θ + 1)(− sin θdθ) +
∫ 2π
0sin3 θdθ + 2
∫ 2π
0(cos θ + 1)(sin θ) cos θdθ
= −∫ 2π
0(cos2 θ sin θ + 2 cos θ sin θ + sin θ)dθ+
∫ 2π
0sin3 θdθ+2
∫ 2π
0(cos2 θ sin θ + cos θ sin θ)dθ
=∫ 2π
0(cos2 θ sin θ)dθ −
∫ 2π
0sin θdθ +
∫ 2π
0sin3 θdθ
= (13cos3 θ)|2π
0 − (12sin2 θ)|2π
0 + (− cos θ + 13cos3 θ)|2π
0
= 0− 0 + 0= 0
Persamaan (2)i(
∫C
x2dy −∫C
y2dy − 2∫C
xydx)
= i[∫ 2π
0(cos θ + 1)2(cos θdθ)−
∫ 2π
0sin2(cos θdθ)− 2
∫ 2π
0(cos θ + 1)(sin θ)(− sin θdθ)]
= i[∫ 2π
0(cos3 θ + 2 cos2 θ + cos θ)dθ −
∫ 2π
0sin2 cos θdθ + 2
∫ 2π
0(sin2 θ cos θ + sin2 θ)dθ]
= i[∫ 2π
0(cos3 θ + 2 cos2 θ + cos θ)dθ +
∫ 2π
0sin2 cos θdθ + 2
∫ 2π
0(sin2 θ)dθ]
= i[((sin θ + 13sin3 θ) + 2( θ
2+ 1
2sin θ) + (sin θ))|2π
0 + (13sin3 θ)2π
0 + ( θ2− 1
2sin θ)2π
0 ]= i[(0 + 2((π + 0)− 0) + 0 + 0 + 2((π − 0)− 0)]= i[2π + 2π] = 4iπ
Persamaan (1) + Persamaan (2)= 0 + 4iπ= 4iπ
Hasil yang didapat adalah 4iπ
3 Nama Anggota 3:Irawati (121810101010)
Jawaban soal no 42 dan 46.———————————————————————————————————————Soal No.42Hitunglah
∫C
z2dz + z2dz sepanjang kurva yang didefinisikan oleh z2 + 2z z + z2 = (2− 2i)z +
(2 + 2i)z dari titik z=1 ke z=2+2i
Solusi∫C
z2dz + z2dz
didefinisikan oleh :
z2 + 2zz + z2 = (2− 2i)z + (2 + 2i)z dari titik z = 1 ke z = 2 + 2i
9
∫C
(x− iy)2d(x + iy) + (x + iy)2d(x− iy)
=
∫C
(x2 − 2ixy − y2)(dx + idy) + (x2 + 2ixy − y2)(dx− idy)
=
∫C
(x2 − 2ixy − y2)dx + i(x2 − 2ixy − y2)dy + (x2 + 2ixy − y2)dx + i(x2 + 2ixy − y2)dy
=
∫C
x2 − 2ixy − y2 + x2 + 2ixy − y2)dx + i(x2 − 2ixy − y2 − x2 − 2ixy + y2)dy
=
∫C
(2x2 − 2y2)dx + i(−4ixy)dy
=
∫C
(2x2 − 2y2)dx + (4xy)dy..............................................P ers(1)
Misal z = x + iy dan z = x− iy, maka:
z2 + 2zz + z2 = (2− 2i)z + (2 + 2i)z
x2 + 2ixy − y2 + 2(x + iy)(x− 2y) + x2 − 2ixy − y2 = (2− 2i)(x + iy) + (2 + 2i)(x− iy)
2x2 − 2y2 + 2x2 + 2y2 = 2x + 2iy − 2ix + 2y + 2x− 2iy + 2ix + 2y
4x2 = 4x + 4y
x2 = x + y
y = x2 − x............................................................................................pers(2)
dy = (2x− 1)dx...................................................................................pers(3)
Persamaan (2) dan (3) disubtitusikan ke persamaan (1):∫C
(2x2 − 2(x2 − x))dx + 4x(x2 − x)(2x− 1)dx
=∫C
2x− 2(x4 − 2x3 + x2)dx + 4x(2x3 − 3x2 + x)dy
=∫C
(2x2 − 2x2 + 4x3 − 2x2)dx + (8x4 − 12x3 + 4x2)dx
=∫ 2
0(6x4 − 8x3 + 4x2)dx
= 65x5 − 2x4 + 4
3x3]21
= 65(31)− 2(15) + 4
3(7)
= 24815
10
Jadi∫C
z2dz + z2dz sepanjang kurva yang didefinisikan oleh z2 + 2zz + z2 = (2− 2i)z +
(2 + 2i)z dari titik z = 1 ke z = 2 + 2i adalah 24815
Soal No.46Hitunglah
∮(5x + 6y − 3)dx(3x− 4y + 2)dy di sekeliling suatu segitiga di bidang xy dengan
titik sudut (0,0), (4,0) dan (4,3)
Solusi∮(5x + 6y − 3)dx(3x− 4y + 2)dy
menggunakan teorema Green :
pada titik(0, 0)(4, 3)
y − y1
y2− y1=
x− x1
x2− x1y − 0
3− 0=
x− 0
4− 0(y − 0)4 = (x− 0)3
4y = 3x
y =3
4x
∮Pdx + Qdy =
∫ ∫R
(dQ
dx− dP
dy)dxdy
=
∫ ∫R
(d
dx(3x− 4y + 2)− d
dy(5x + 6y − 3))dxdy
=
∫ ∫R
(3− 6)dxdy
=
∫ ∫R
(−3y)dydx
=
∫ 4
0
∫ 34y
0
(−3y)dydx
=
∫ 4
0
(−3y)]340 ydx
=
∫ 4
0
(−3(3
4y)− 0)dx
=
∫ 4
0
(−9
4x)dx
= −9
8x2]40
= −9
8.42 − 0
= −9
8.16
= −18
11
Jadi∮
(5x + 6y − 3)dx(3x− 4y + 2)dy di sekeliling suatu segitiga di bidang xydengan titik sudut (0, 0) , (4, 0) dan(4, 3) adalah − 18
4 Nama Anggota 4:Kiki Kurdianto (121810101041)
Jawaban soal no 50 dan 72———————————————————————————————————————
Soal No 50:Periksa teorema green di bidang untuk
∮C
x2ydx + y3 − xy2dy dimana C batas daerah yang
dikelilingi suatu lingkaran x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 16.
Solusi:Perhitungan dengan Teorema Green
MisalP = x2y maka ∂P/∂y = x2
Q = y3 − xy2 maka ∂Q/∂x = −y2
∮C
x2ydx + y3 − xy2dy =
∫ ∫∂Q
∂x− ∂P
∂xdA
=
∫ 2π
0
∫ 2
4
(−y2 − x2)rdrdΘ
=
∫ 2π
0
∫ 2
4
(−r2 sin2 Θ− r2 cos2 Θ)rdrdΘ
=
∫ 2π
0
((−r4/4) sin2 Θ− (r4/4) cos2 Θ)]24dΘ
=
∫ 2π
0
(−4 sin2 Θ− 4 cos2 Θ− (−64 sin2 Θ− 64 cos2 Θ))dΘ
=
∫ 2π
0
(60 sin2 Θ + 60 cos2 Θ)dΘ
= 60
∫ 2π
0
(sin2 Θ + cos2 Θ)dΘ
= 60
∫ 2π
0
(1)dΘ
= 60.Θ]2π0
= 60.2π − (−60).0
= 120π
Perhitungan dengan menggunakan Integral Garis
Untuk x2 + y2 = 16x = 4cost → maka∂x = −4 sin tdty = 4sint → maka∂y = 4 cos tdt
12
dengan 0 < t < 2π
Maka,
∫ 2π
0
((4 cos t)2(4 sin t))d(4 cos t) + ((4 sin t)3 − (4 cos t)(4 sin t)2)d(4 sin t)dx
=
∫ 2π
0
((16 cos2 t.4 sin t)(−4 sin t))d(t) + ((64 sin3 t− 64 sin2 t cos t)(4 cos t)2)d(t)dx
=
∫ 2π
0
((−256 cos2 t sin2 t + 256 cos t sin3 t− 256 cos2 t sin2 t))d(t)
=
∫ 2π
0
((−512 cos2 t sin2 t + 256 cos t sin3 t))d(t)
=
∫ 2π
0
(−512 cos2 t sin2 t)d(t) +
∫ 2π
0
(256 cos t sin3 t)d(t)
∫ 2π
0
(−512 cos2 t sin2 t)d(t) = −512
∫ 2π
0
(cos2 t sin2 t)d(t)
= −512
∫ 2π
0
(1 + cos 2t
2
1− cos 2t
2)d(t)
=−512
4
∫ 2π
0
((1 + cos 2t)(1− cos 2t))d(t)
= −128
∫ 2π
0
((1− cos 2t + cos 2t− cos2 2t))d(t)
= −128
∫ 2π
0
(1− cos2 2t)d(t)
= −128
∫ 2π
0
(1− cos2 2t)d(t)
= −128
∫ 2π
0
(1− 1
2(1 + cos 4t))d(t)
= −128
∫ 2π
0
(1− 1
2− cos 4t
2)d(t)
= −128
∫ 2π
0
(1
2− cos 4t
2)d(t)
= −128[
∫ 2π
0
(1
2)dt− 1
2
∫ 2π
0
(cos 4t)dt]
= −128([1
2t]2π
0 − 1
2
∫ 2π
0
(cos w)dw
4)
= −128([1
2t]2π
0 − [1
8sin 4t]2π
0 )
= −128(π − (1
8sin 8π − 1
8sin 0))
= −128π + 16sin8π
= −128π
13
∫ 2π
0
(256 cos t sin3 t)d(t) = 256
∫ 2π
0
(cos t sin3 t)d(t)
= 256
∫ 2π
0
((1− cos2 t)(cos t)(sin t))d(t)
= 256
∫ 2π
0
(cos t− cos3 t)(sin t))d(t)
= 256[
∫ 2π
0
(cos t sin t)dt−∫ 2π
0
(cos3 t sin t)dt]
= 256[
∫ 2π
0
(u sin t)du
− sin t−
∫ 2π
0
(u3 sin t)du
− sin t]
= 256([−1
2u2 +
1
4u4]2π
0 ]
= 256([−1
2cos2 t +
1
4cos4 t]2π
0 ]
= 256[(−1
2+
1
4)− (
−1
2+
1
4)]
= 0
Sehingga,∫ 2π
0((4 cos t)2(4 sin t))d(4 cos t) + ((4 sin t)3 − (4 cos t)(4 sin t)2)d(4 sin t)dx = −128π
Untuk x2 + y2 = 4x = 2 cos t → maka∂x = −2 sin tdty = 2 sin t → maka∂y = 2 cos tdtdengan −2π < t < 0
Maka,
∫ 0
−2π
((2 cos t)2(2 sin t))d(2 cos t) + ((2 sin t)3 − (2 cos t)(2 sin t)2)d(2 sin t)dx
=
∫ 0
−2π
((4 cos2 t.2 sin t)(−2 sin t))d(t) + ((8 sin3 t− 8 sin2 t cos t)
(2 cos t)2)d(t)dx
=
∫ 0
−2π
((−16 cos2 t sin2 t + 16 cos t sin3 t− 16 cos2 t sin2 t))d(t)
=
∫ 0
−2π
((−32 cos2 t sin2 t + 16 cos t sin3 t))d(t)
=
∫ 0
−2π
(−32 cos2 t sin2 t)d(t) +
∫ 0
−2π
(16 cos t sin3 t)d(t)
14
∫ 0
−2π
(−32 cos2 t sin2 t)d(t) = −32
∫ 0
−2π
(cos2 t sin2 t)d(t)
= −32
∫ 0
−2π0
(1 + cos 2t
2
1− cos 2t
2)d(t)
=−32
4
∫ 0
−2π
((1 + cos 2t)(1− cos 2t))d(t)
= −8
∫ 0
−2π
((1− cos 2t + cos 2t− cos2 2t))d(t)
= −8
∫ 0
−2π
(1− cos2 2t)d(t)
= −8
∫ 0
−2π
(1− cos2 2t)d(t)
= −8
∫ 0
−2π
(1− 1
2(1 + cos 4t))d(t)
= −8
∫ 0
−2π
(1− 1
2− cos 4t
2)d(t)
= −128
∫ 0
−2π
(1
2− cos 4t
2)d(t)
= −8[
∫ 0
−2π
(1
2)dt− 1
2
∫ 0
−2π
(cos 4t)dt]
= −8([1
2t]0−2π −
1
2
∫ 0
−2π
(cos w)dw
4)
= −8([1
2t]0−2π − [
1
8sin 4t]0−2π)
= −8(−π − (1
8sin 0− 1
8sin(−2π)))
= 8π
15
∫ 0
−2π
(16 cos2 t sin3 t)d(t) = 16
∫ 0
−2π
(costsin3t)d(t)
= 16
∫ 0
−2π
((1− cos2 t)(cos t)(sin t))d(t)
= 16
∫ 0
−2π
(cos t− cos3 t)(sin t))d(t)
= 16[
∫ 0
−2π
(cos t sin t)dt−∫ 0
−2π
(cos3 tsint)dt]
= 16[
∫ 0
−2π
(u sin t)du
− sin t−
∫ 0
−2π
(u3 sin t)du
− sin t]
= 16([−1
2u2 +
1
4u4]2π
0 ]
= 16([−1
2cos2 t +
1
4cos4 t]0−2π]
= 16[(−1
2+
1
4)− (
−1
2+
1
4)]
= 0
Sehingga,∫ 0
−2π((2cost)2(2sint))d(2cost) + ((2sint)3 − (2cost)(2sint)2)d(2sint)dx = 8π
jadi nilai yang diinginkan adalah C1 + C2 = −128π + 8π = −120π
soal no 72Tunjukkan secara langsung bahwa
∫ 3+4i
4−3i(6z2 + 8iz)dz memiliki nilai sama sepanjang lintasan
C yang menghubungkan titik-titik 3+4i dan 4-3i untuk (a) suatu garis lurus, (b) garis lurus dari3+4i ke 4+4i dan kemudian dari 4+4i ke 4-3i. (c) lingkaran |z| = 5.
a. Suatu garis lurus
3 + 4i → (3, 4)4− 3i → (4,−3)
Persamaan garis dari kedua titik tersebut adalah y = −7x + 25
16
∫ 3+4i
4−3i
(6z2 + 8iz)dz =
∫ 4
3
6(x + iy)2 + 8i(x + iy)d(x + iy)
=
∫ 4
3
6(x2 − y2 + 2xiy) + 8i(x + iy)d(x + iy)
=
∫ 4
3
6(x2 − (−7x + 25)2 + 2xi(−7x + 25)) + 8ix− 8(−7x + 25)
(dx− 7idx)
=
∫ 4
3
6(x2 − (49x2 − 350x + 625)− 14x2i + 50xi) + 8ix + 56x− 200
(dx− 7idx)
=
∫ 4
3
6(x2 − 49x2 − 350x + 625− 14x2i + 50xi) + 8ix + 56x− 200
(dx− 7idx)
=
∫ 4
3
−288x2 + 2100x− 3750− 84x2i + 308xi + 81x + 56x− 200
(dx− 7idx)
=
∫ 4
3
(−288x2 + 2156x− 3950) + i(84x2 + 308x)(dx− 7idx)
=
∫ 4
3
(−288x2 + 2156x− 3950− 588x2 + 2100x)dx+
i
∫ 4
3
7(288x2 − 2156x + 3950) + (−84x2 + 308x)dx
=
∫ 4
3
(−876x2 + 4312x− 3950)dx + i
∫ 4
3
(1932x2 − 14784x + 27650)dx
= [292x3 + 2156x2 − 3950]43 + [644x3 − 7392x2 + 27650x]43= (−18688 + 34496− 15800 + 7884− 19404 + 11850)+
i(41216− 118272 + 17388 + 66528− 829950)
= 388− 266i
(b) garis lurus dari 3+4i ke 4+4i dan kemudian dari 4+4i ke 4-3i
C1=garis lurus dari 3+4i ke 4+4i
3 + 4i → (3, 4)4 + 4i → (4, 4)
Persamaan garis dari kedua titik tersebut adalah y=4 maka ∂y = 0∂x
17
C1 =
∫ 3+4i
4−3i
(6z2 + 8iz)dz =
∫ 4
3
6(x + iy)2 + 8i(x + iy)d(x + iy)
=
∫ 4
3
6(x2 − y2 + 2xiy) + 8i(x + iy)d(x + iy)
=
∫ 4
3
6(x2 − (4)2 + 2xi(4)) + 8i(x + i4)(dx + idy)
=
∫ 4
3
6x2 − 96 + 48xi + 8ix− 32(dx + idy)
=
∫ 4
3
(6x2 − 128) + i(56x)(dx + idy)
=
∫ 4
3
(6x2 − 128)dx− 56xdy+
i
∫ 4
3
(6x2 − 128)dy − 56xdx
=
∫ 4
3
(6x2 − 128)dx + i
∫ 4
3
56xdx
= [2x3 − 128x]43 + i[28x2]34= (128− 512− 54 + 384) + i(448− 252)
= −54 + 196i
C2=garis lurus dari 4+4i ke 4-3i
4 + 4i → (4, 4)4− 3i → (4,−3)
Persamaan garis dari kedua titik tersebut adalah x=4 maka ∂x = 0∂y
18
C2 =
∫ 3+4i
4−3i
(6z2 + 8iz)dz =
∫ −3
4
6(x + iy)2 + 8i(x + iy)d(x + iy)
=
∫ −3
4
6(x2 − y2 + 2xiy) + 8i(x + iy)d(x + iy)
=
∫ −3
4
6((4)2 − y2 + 2(4)iy) + 8i(4 + iy)(dx + idy)
=
∫ −3
4
96− 6y2 + 48yi + 32i− 8y(dx + idy)
=
∫ −3
4
(96− 6y2 − 8y) + i(48y + 32)(dx + idy)
=
∫ −3
4
(96− 6y2 − 8y)dx− (48y + 32)dy+
i
∫ −3
4
(96 + 6y2 − 8y)dy − (48y + 32)dx
=
∫ −3
4
(−48y − 32)dy + i
∫ −3
4
96− 6y2 − 8y
= [−24y2 − 32y]−34 + i[96y − 2y3 − 4y2]−3
4
= (−216 + 96 + 384 + 128) + i(−288 + 54− 36− 384 + 128 + 64)
= 392− 462i
Jadi, nilai yang diinginkan adalah C1 + C2 = (−54 + 196i) + (392− 462i) = 338− 266i
(c) lingkaran |z| = 5 x2 + y2 = 5x = 5 cos ty = 5 sin tDimana 0 ≤ t ≤ 2π
5 Nama Anggota 5:Reyka Bella Desvandai (121810101080)
Jawaban soal no 38 dan 61.———————————————————————————————————————Soal No.38Hitunglah:
∫ 2−i
i
(3xy + iy2)(dx + idy)
a. sepanjang garis lurus yang menghubungkan z = i dan z = 2-ib. sepanjang kurva
x = 2t− 2, y = 1 + t− t2
jawab :a. sepanjang garis lurus yang menghubungkan z = i dan z = 2-i
19
batas dari (i) sampai dengan (2-i)maka titik bergerak dari (0,1) sampai (2,-1)
x = (x(1)− x(0))t + x(0)
x = (2− 0)t + 0
x = 2t
dx = 2
y = (y(1)− y(0))t + y(0)
y = (−1− 1)t− 1
y = −2t− 1
dy = −2
maka batas t dari :
0 ≤ t ≤ 1 ∫ 1
0
(6t(−2t + 1) + i(−2t + 1)2(2− 2i)dt∫ 1
0
(−12t2 + 6t + i(4t2 − 4t + 1))(2− 2i)dt∫ 1
0
(−12t2 + 6t + 4t2i− 4ti + i)(2− 2i)dt∫ 1
0
(−24t2 + 24t2i + 12t− 12ti + 8t2i + 8t2 − 8ti− 8t + 2i + 2)dt∫ 1
0
(−16t2 + 32t2i + 4t− 20ti + 2i + 2)dt
= −16
3t3 +
32
3t3i + 2t2 − 10t2i + 2ti + 2t
= (−16
3+
32
3i + 2− 10i + 2i + 2)− 0
= (−16
3+ 2 + 2) + (
32
3− 10 + 2)i
= (12− 16
3) + (
32− 24
3)i
= −4
3+
8
3i
b. sepanjang kurva
x = 2t− 2, y = 1 + t− t2
x = 2t− 2 y = 1 + t− t2 (1)
dx = 2 dy = −2t + 1 (2)
(3)
20
mencari batas t terlebih dahulu x =2t-2batas bawah = imaka melalui titik (0,1)ketika x = 0, maka diperolehx = 2t-20 = 2t-22 = 2tt = 1batas atas = 2-imaka melaui titik (2,-1)ketika x = 2, maka diperoleh2 = 2t-24 = 2tt = 2
1 ≤ t ≤ 2 ∫ 2
1
(3xy + iy2)(dx + idy)∫ 2
1
(3(2t− 2)(1 + t− t2) + i(1 + t− t2)2)(2 + (−2t + 1)i)∫ 2
1
((6t3 + 12t2 − 6 + i(t4 − 2t3 − t2 + 2t + 1))(2))dt+∫ 2
1
((6t3 + 12t2 − 6 + i(t4 − 2t3 − t2 + 2t + 1))(i− 2ti))dt∫ 2
1
(−12t3 + 24t2 − 12 + 2t4i− 4t3i− 2t2i + 4ti + 2i)dt +
∫ 2
1
(−6t3i + 12t4i)+
(12t2i− 24t3i− 6i + 12ti− t4 + 2t5 + 2t3 − 4t4 + t2 − 2t3 − 2t + 4t2 − 1 + 2t)dt∫ 2
1
(2t5 − 5t4 − 12t3 + 29t2 − 13 + i(14t4 − 34t3 + 10t2 + 16t− 4))dt
=1
3t6 − t5 − 3t4 +
29
3t3 − 13t + i(
14
5t5 − 34
4t4 +
10
3t3 + 8t2 − 4t)
t=2
=64
3− 32− 48 +
232
3− 26) + i(
448
5− 136 +
80
3+ 32− 8)
=64
3− 106 + (
232
3+ i(
1344− 1680 + 400
15)
=−22
3+ i(
64
15)
t=1
21
=1
3− 1− 3 +
29
3− 13− i(
14
5− 34
4+
10
3+ 8− 4)
= 10− 17 + i(168− 510 + 200 + 240
60)
= −7 + i(98
60)
hasil pengintegralan (t=2)-(t=1)
= (−22
3+ i(
64
15))− (−7 + i(
98
60))
= (−22
3+ 7) + i(
64
15− 98
60))
= −1
3+ i
79
30
Soal No.61:Periksa Teorema Cauchy untuk fungsi
z3 − iz2 − 5z + 2i
jika C adalaha. lingkaran
|z| = 1
b. lingkaran
|z − 1| = 2
c. ellips
|z − 3i|+ |z + 3i| = 20
jawab :
z3 − iz2 − 5z + 2i ∮C
z3 − iz2 − 5z + 2idz
z = x + iy ∮C
(x + iy3 − i(x + iy2)− 5(x + iy) + 2i)dz∮C
(x3 − 3xy2 + 2xy − 5x + 3x2yi− iy3 − x2i + iy2 − 5yi + 2i)dz∮C
(x3 − 3xy2 + 2xy − 5x) + i(3x2y − y3 − x2 + y2 − 5y + 2)dz
22
u = x3 − 3xy2 + 2xy − 5x
∂u
dx= 3x2 − 3y2 + 2y − 5
∂u
dy= −6xy + 2x
v = 3x2y − y3 − x2 + y2 − 5y + 2
∂v
dx= 6xy − 2x
∂v
dy= 3x2 − 3y2 + 2y − 5
a.
|z| = 1√x2 + y2 = 1
x2 + y2 = 1
x = cost dx = −sint
y = sint dy = cost
0 ≤ t ≤ 2π
untuk menunjukkan suatu fungsi berlaku teorema Cauchy yaitu :∮C
f(z)dz = 0
karena f(z) = u + iv analitik dan memiliki turunan yang kontinu, mengakibatkan
∂u
dx=
∂v
dy(4)
∂v
dx= −∂u
dy(5)
(6)
kontinu di dalam dan pada C. sehingga teorema Green dapat digunakan dan diperoleh :∫ 2π
0
(−∂v
dx− ∂u
dy)dxdy + i(
∫ 2π
0
(∂u
dx− ∂v
dy))dxdy = 0
23
∂u
dx= 3x2 − 3y2 + 2y − 5
= 3(cost)2 − 3(sint)2 + 2(sint)− 5
= 3cos2t− 3sin2t + 2sint− 5
∂u
dy= −6xy + 2x
= −6(cost)(sint) + 2cost
= −6costsint + 2cost
∂v
dx= 6xy − 2x
= 6costsint− 2cost
∂v
dy= 3x2 − 3y2 + 2y − 5
= 3cos2t− 3sin2t + 2sint− 5
∫ 2π
0
(−∂v
dx− ∂u
dy)dxdy + i(
∫ 2π
0
(∂u
dx− ∂v
dy))dxdy = 0
=
∫ 2π
0
(−(6costsint− 2cost)− (−6costsint + 2cost))− sintcost+
i
∫ 2π
0
(3cos2t− 3sin2t + 2sint− 5− (3cos2t− 3sin2t + 2sint− 5)− sintcost
=
∫ 2π
0
0 + i
∫ 2π
0
0
= 0
Berdasarkan persamaan diatas terbukti bahwa fungsi
|z| = 1
terbukti analitik
b.
|z − 1| = 2√x2 + y2 + (−1)2 = 2
x2 + y2 + 1 = 4
x2 + y2 = 3
x =√
3cost dx = −√
3sint
y =√
3sint dy =√
3cost
0 ≤ t ≤ 2π
karena f(z) analitik maka pada kasus ini harus dibuktikan :∫ 2π
0
(−∂v
dx− ∂u
dy)dxdy + i(
∫ 2π
0
(∂u
dx− ∂v
dy))dxdy = 0
24
∂u
dx= 3x2 − 3y2 + 2y − 5
= 3(√
3cost)2 − 3(√
3sint)2 + 2(√
3sint)− 5
= 9cos2t− 9sin2t + 2√
3sint− 5
∂u
dy= −6xy + 2x
= −6(√
3cost)(√
3sint) + 2(√
3cost)
= −18costsint + 2√
3cost
∂v
dx= 6xy − 2x
= 6(√
3cost)(√
3sint)− 2(√
3cost)
= 18costsint− 2√
3cost
∂v
dy= 3x2 − 3y2 + 2y − 5
= 3(√
3cost)2 − 3(√
3sint)2 + 2(√
3sint)− 5
= 9cos2t− 9sin2t + 2√
3sint− 5
∫ 2π
0
(−∂v
dx− ∂u
dy)dxdy + i(
∫ 2π
0
(∂u
dx− ∂v
dy))dxdy = 0∫ 2π
0
((−(18costsint− 2√
3cost)− (−18costsint + 2√
3cost))−√
3sint√
3cost+
i
∫ 2π
0
((9cos2t− 9sin2t + 2√
3sint− 5)− (9cos2t− 9sin2t + 2√
3sint− 5))−√
3sint√
3cost∫ 2π
0
0 + i
∫ 2π
0
0
= 0
c.
|z − 3i|+ |z + 3i| = 20√x2 + y2 + (−3i)2 +
√x2 + y2 + (3i)2 = 20
2√
x2 + y2 − 9 = 20
4(x2 + y2 − 9) = 400
x2 + y2 − 9 = 100
x2 + y2 = 109
x =√
109cost dx = −√
109sint
y =√
109sint dy =√
109cost
25
Recommended