Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas

Jueves 16 de febrero de 2012Novena clase de 1:30 horas.Van 12:00 horas

I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales

1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico

II. El formalismo de la Mecánica Cuántica

III. Descripción cuántica del átomo.

IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.

†

:

, , ,

ET V E E T

T x y x T y x y V

T

Sea un espacio euclidiano lineal

Si para todo

es la transformación adjunta o hermitiana de

:

, , ,

Sea un espacio euclidiano

lineal

Si para todo

la transformación es hermitiana

ET V E ET

T x y x T y x y V

T

:

, , ,

Sea un espacio euclidiano

lineal

Si para todo

la transformación es antihermitiana

ET V E ET

T x y x T y x y V

T

*

: ,

,

:

b

a

f a b C f f a f b

f g f x g x dx

D D f f

es infinitamente diferenciable y

Producto escalar:

es un espacio euclidiano

Definimos la transformación lineal:

*

** *

*

,

,

b

a

b

a

b

a

dD f g f x g x dxdx

df b g b f a g a f x g x dxdx

df x g x dx f D gdx

*

: ,

,

:

b

a

f a b C f f a f b

f g f x g x dx

D D f f

es infinitamente diferenciable y

Producto escalar:

:Sea un espacio euclidiano

lineal es un valor propio y es el vector propio.

a) Si es hermitiana, es real:

b) Si es antihermitiana, es imaginario

puro:

ET V E E T

x

T

T

1

1

*

,...,

:

,...,

n

ij

n

ij ji

e e V E

T V E E

A a T

e e

T a a

i j

T

Sea una base ortonormal de

Sea lineal

Sea la representación matricial de

respecto a la base

a) es hermitiana si y sólo si

para toda y para toda

b) es *ij jia a

i j

antihermitiana si y sólo si

para toda y para toda

1

1

,...,

:

,...,

n

ij

n

e e V E

T V E E

A a T

e e

T A

Sea una base ortonormal de

Sea lineal

Sea la representación matricial de respecto

a la base

a) es hermitiana si y sólo si es autoadjunta o

ó hermitiana, es dec †

†

A A

T A

A A

ir,

b) es antihermitiana si y sólo si es antihermitiana,

es decir,

:

,, 0

Sea un espacio euclidiano lineal

Si es hermitiana ó antihermitiana, y y son valores propios distintos con vectorespropios y entonces y son ortogonales:

ET V E E T

T

x y x yx y

1

: dim

,..., n

ET V E E T V n

Tn

u u TV

Sea un espacio euclidiano

lineal y

Si es hermitiana ó antihermitiana, entonces existen vectores propios de , que forman una baseortonormal de .

,..., n

k

k

T

u

1

La matriz de relativa a esta base es=diag

donde es el valor propiocorrespondiente al vector propio

1

: dim

,..., n

E T V E E T V nT n

u u T V

Sea un espacio euclidiano lineal y Si es hermitiana ó antihermitiana, entonces existen vectores propios de , que forman una base ortonormal de .

1,...,

ij

n

A a

diag

Toda matriz cuadrada

hermitiana o antihermitiana essimilar a la matriz diagonal =

de sus valores propios.

1

1 †

,

.

C C AC

C

C C

La matriz que la diagonaliza, esi) La formada por los vectores propios normalizadosii) La matriz es no singular y es unitaria, es decir,

1,...,

ij

n

A a

diag

Toda matriz cuadrada hermitiana o antihermitiana es

similar a la matriz diagonal = de sus valores propios.

Transformacioneslineales

Matrices

Transformacioneslineales

Matrices

1

1 2 3

ˆ ˆ,..., .

:

, , ,...,

ˆ

n

n

i i

S e e V

L V WL

A a a a a

a L e

Sea una base de

Sea una transformación lineal.Entonces la matriz asociada a es:

donde

1

1 2 3

ˆ ˆ,..., .

:

, , ,...,

ˆ

n

n

i i

S e e V

L V WL

A a a a a

a L e

Sea una base de

Sea una transformación lineal.Entonces la matriz asociada a es:

donde

ALas columnas de la matriz , son lostransformados de los vectores de la base.

2 2

2

2

2

:

, 2 ,

Dominio:

Contradominio o codominio:

Imagen o rango:

Este mapeo es lineal

F

F x y x y x y

R R

RR

R

2 2: , 2 ,

1,0 2,1 0,1 1,1

2 11 1

F F x y x y x y

F F

A

R R

2 2: , 2 ,

1,0 2,1 0,1 1,1

1 0 1,0 1 0 2 1 2

0 1 1,0 0 1 2 1 1

1 0 0,1 1 0 1 1 1

0 1 0,1 0 1 1 1 1

2 11 1

F F x y x y x y

F F

F

F

F

F

A

R R

2 2: , 2 ,

1,0 2,1 0,1 1,1

21 0 1,0 1 0 2

12

0 1 1,0 0 1 11

11 0 0,1 1 0 1

1

10 1 0,1 0 1 1

1

2 11 1

F F x y x y x y

F F

F

F

F

F

A

R R

1

1 2 3

ˆ ˆ,..., .

:

, , ,...,

ˆ

n

n

i i

S e e V

L V WL

A a a a a

a L e

Sea una base de

Sea una transformación lineal.Entonces la matriz asociada a es:

donde

ALas columnas de la matriz , son lostransformados de los vectores de la base.

1

1 2 3

ˆ ˆ,..., .

:

, , ,...,

ˆ

n

n

i i

S e e V

L V WL

A a a a a

a L e

Sea una base de

Sea una transformación lineal.Entonces la matriz asociada a es:

donde

ˆ ,j i ije a a

L

El escalar es el elemento

de la matriz correspondiente a latransformación .

1

1 2 3

ˆ ˆ,..., .

:

, , ,...,

ˆ

n

n

i i

S e e V

L V WL

A a a a a

a L e

Sea una base de

Sea una transformación lineal.Entonces la matriz asociada a es:

donde

ˆ ˆ,j i ije Le a

L

El escalar es el elemento

de la matriz correspondiente a latransformación .

I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales

1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico

II. El formalismo de la Mecánica Cuántica

III. Descripción cuántica del átomo.

IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.

Advanced Quantum TheoryPaul RomanAddison-Wesley, 1965ISBN 0201064952

Quantum Mechanics, Concepts and ApplicationsN. Zettili; Wiley 2001

Quantum mechanics. Second editionV.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000

Quantum PhysicsF. Scheck. Springer, 2007

Essential Quantum MechanicsGary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922

Introduction to Quantum MechanicsD. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051

Principles of quantum mechanics. Second editionR. Shankar 0306447908

1. A cada estado de un sistemafísico le corresponde una funciónde onda , .

La función de onda es un vectoren un espacio de Hilbert.

x t

2

3. (La hipótesis de Born) El cuadradode la función de onda,

, , ,

es la densidad de probabilidad delsistema.

x t x t x t

2

3. El cuadrado de la función de onda,

, , ,

es la densidad de probabilidad del sistema.

x t x t x t

2 Probabilidad de encontrar a la partícula,

entre y , al tiempo x t dx

x x dx t

2

Para una partícula en un estado ,la probabilidad de que esté entre

y es entonces

Prob( ) ,b

a

a b

a x b t x t dx

2

Es claro, que se tiene que tener

Prob , 1x x t dx

2

Para una partícula en un estado , la probabilidad de que esté

entre y es entonces Prob( ) ,b

a

a b a x b t x t dx

Un espacio de Hilbert es un espacioeuclidiano completo.

1. Es un espacio vectorial2. Tiene un producto escalar3. Es completo4. Es separable

22 , : ,b

a

a b f a b f x dx

L a R C

Sean : y :entonces

( )

Sea , entonces( )

f g

f g x f x g x

ccf x cf x

R C R C

C

22 , : ,b

a

a b f a b f x dx

L a R C

2 , es un espacio vectoriala bL

2

*

Sean , , ,

definimos

,b

a

f g a b

f g f x g x dx

L a

2 *Sean , , ,definimos ,b

a

f g a b f g f x g x dx L a

2

2*

Sean , ,

,b b

a a

f a b

f f f x f x dx f x dx

L a

2, , ,

V

x y x x y y

x y V

x y

En un espacio euclidiano , todos losproductos escalares satisfacen ladesigualdad de Cauchy-Schwarz

para todos los y en

La igualdad se cumple si y sólo si y sondependientes.

2

2 2 2*

Sean , , ,

,b b b

a a a

f g a b

f g f x g x dx f x dx g x dx

L a

2

En un espacio euclidiano , todos los productos escalares satisfacen la desigualdad

de Cauchy-Schwarz , , , para todos los y en .

V

x y x x y y x y V

22 , : ,

es un espacio vectorial

b

a

a b f a b f x dx

L a R C

*

Con la definición de producto escalar

,

es un espacio euclidiano

b

a

f g f x g x dx

22

*

, : ,

es un espacio euclidiano con ,

b

a

b

a

a b f a b f x dx

f g f x g x dx

L a R C

¿Es este espacio completo?

El teorema de Riesz-Fischer lo afirma

22

*

, : ,

con el producto escalar ,

es un espacio de Hilbert

b

a

b

a

a b f a b R C f x dx

f g f x g x dx

L a

*

Para este tipo de espacio de Hilbertse puede encontrar una base ortonormalinfinita numerable ; 1, 2,3, ;

es decir,

,

i

b

k l k l kla

i

x x dx

2

1

*

Si , , entonces

donde

,

k kk

b

k k ka

f a b

f

f x f x dx

L a

1

1

Sea . Entonces

si para

n

n k kk

k kk

n

f

f

f f n N

1

Si

para toda en el espacioentonces se dice que el conjunto

; 1,2,3,

es completo.

k kk

i

f

f

i

2

1

*

Si , , entonces

donde

,

k kk

b

k k ka

f a b

f

f x f x dx

L a

2

1

*

Si , , entonces

donde , ' ' '

k kk

b

k k ka

f a b f x x

f x f x dx

L a

1

1 1

, ,

,

k k j jj

j k j j jk kj j

f x

* * *

1 1

* *

1 1

* *

1 1 1

,b b

k k l lk la a

b

k l k lk l a

k l kl k kk l k

f g f x g x dx x x dx

x x dx

2

1

*

Si , ,entonces

donde , ' ' '

k kk

b

k k ka

f a b f x x

f x f x dx

L a

*

1 1

*

1

*

1

' ' '

' ' ' ' ' '

' '

b

k k k kk k a

b b

k kka a

k kk

f x x x f x dx x

f x x x dx f x x x dx

x x x x

2

1

*

Si , , entonces

donde , ' ' '

k kk

b

k k ka

f a b f x x

f x f x dx

L a

*

1

Se dice que un conjunto ortonormalde funciones es completo, si sesatisface la relación

' 'k kk

x x x x

00 0

xx

x

00 0

xx

x

0 0

1x dx

f x x x dx f x

2

2

ˆ

2

H E

V r r E rm

2 2

2

Una dimensión y 0

2

V

d x E xm dx

2

2

2V r r E r

m

2

22

d xk x

dx

1 2 ikx ikxx Ae x Be

22

22d x

E xm dx

1 2 ikx ikxx Ae x Be

2 2*

2*

En particular, si tenemos

i k k xikx ik xk k

k k

x x dx A e e dx A e dx

k k

x x dx A dx

Si el rango sobre el cual el espacioestá definido es infinito

el espacio de Hilbert

no es separable; es decir, no existeuna base infinita numerable.

x

En ese caso denotaremoslas funciones base como

;

donde es continuo y varíade a .

k

k

Si el rango sobre el cual el espacio está definido esinfinito el espacio de Hilbert no es

separable; es decir, no existe una base infinita numerable.

x

En el punto el valor delas funciones de la base ;

se denotará ; .

x

k

k x

Si el rango sobre el cual el espacio está definido esinfinito el espacio de Hilbert no esseparable; es decir, no existe una base infinita numerable.

x

*

La condición de completez se escribe

; ; ' 'k x k x dk x x

Si el rango sobre el cual el espacio está definido esinfinito el espacio de Hilbert no es

separable; es decir, no existe una base infinita numerable.

x

*

En este caso las funciones de onda no se puedennormalizar.Se normalizan en el sentido de la delta de Dirac

; , ; ; '; 'k k k x k x dx k k

*

Sea una función del espacio.Entonces

;

donde

; , ;

f

f k k dk

k k f k x f x dx

*; ; ; , ;f k k dk k k f k x f x dx

*

*

; , ; , ' '; '

' ' '; ;

' ' ; ';

' ' '

k f k k k dk

dk dk k k k

dk k dk k k

dk k k k k

*,f g k k dk

*

*

; ; ; , ;

; ; ; , ;

f k k dk k k f k x f x dx

g k k dk k k g k x g x dx

2*,f f k k dk k dk

*; ; ; , ;f k k dk k k f k x f x dx

1 2 ikx ikxx Ae x Be

2 2*

2*

En particular, si tenemos

i k k xikx ik xk k

k k

x x dx A e e dx A e dx

k k

x x dx A dx

1

Transformada de Fourier:

12

Transformada inversa de Fourier:

12

i x

i x

F f f x e dx

f x F F e d

F

F

2exp ;f x A x x R

11

A

2exp ;

1Transformada de Fourier: 2

i x

f x A x x R

F f f x e dx

F

2

2x i xAF f e e dx

F

2exp ;

1Transformada de Fourier: 2

i x

f x A x x R

F f f x e dx

F

2 2

2 22 2 2

2

2 2

2 2

4 4

2 4

x i x x i xA AF f e e dx e dx

x i x x i x x i x

x i

F

2exp ;

1Transformada de Fourier: 2

i x

f x A x x R

F f f x e dx

F

2 2

22

24

2

2 2

2 2

x i x x i x

x ix i x

A AF f e e dx e dx

A AeF e dx e dx

F

2exp ;

1Transformada de Fourier: 2

i x

f x A x x R

F f f x e dx

F

2

2

2

;2

x ie dx

x i d dx

e d

2exp ;

1Transformada de Fourier: 2

i x

f x A x x R

F f f x e dx

F

22

2 2

42

4 4

2

2 2

x iAe e dx

Ae Ae

2exp ;

1Transformada de Fourier: 2

i x

f x A x x R

F f f x e dx

F

2

2exp exp42

La transformada de Fourier de una gaussianaes otra gaussiana

AA x

F

2

2 1exp exp42

F x

F

2

2 1exp 10 exp4020

F x

F

2

2 1exp 100 exp400200

F x

F

2

2 1exp 1000 exp40002000

F x

F

0 0x x x dx x

Nota: Estas "funciones" no satisfacen lascondiciones que hemos impuesto para laexistencia de la transformada de Fourier.No son funciones, son distribuciones.

12

1 2

x

F

F