Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas

Jueves 1 de marzo de 2012Clase 13 de 1:30 horas.Van 19:30 horas

Advanced Quantum TheoryPaul Roman.Addison-Wesley, 1965. ISBN 0201064952

Quantum Mechanics, Concepts and ApplicationsN. Zettili; Wiley 2001

Quantum mechanics. Second editionV.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000

Quantum PhysicsF. Scheck. Springer, 2007

Essential Quantum MechanicsGary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922

Introduction to Quantum MechanicsD. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051

Principles of quantum mechanics. Second editionR. Shankar 0306447908

I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales

1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico

II. El formalismo de la Mecánica Cuántica

III. Descripción cuántica del átomo.

IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.

El estado de un sistema físico está

exhaustivamente caracterizado por

un vector de estado .

El vector de estado es un vector de

un espacio de Hilbert o su

generalización (rigged Hilbert space).

Toda función de onda puede

ser desarrollada en términos

de las funciones propias

ˆdel operador asociado a

alguna variable dinámica .

i

A

A

, ,

donde

ˆ

n nn

n n n

x t c x t

A a

Toda función de onda puede ser desarrollada

en términos de las funciones propias del

ˆoperador asociado a alguna variable dinámica .

i

A A

La medición de las variables dinámicas

(cantidades físicas u observables)

colapsa el vector de estado del sistema

al vector propio de la cantidad observada;

es decir, el vector de estado se reduce

al vector propio perteneciente al valor

propio observado al realizar la medición.

Una superposición coherente

, ,

se colapsa a una función propia

cuando se hace una medición.

n nn

j

x t c x t

1) = donde

ó

2) donde ,

a a a

a a a aa

a

c c

Medicióna a a

a

c

Un sistema físico existe simultaneamente

de manera parcial en todos los estados

teóricos posibles, pero cuando se efectua

una medición se obtiene un resultado

que corresponde a sólo una de las

configuraciones posibles.

No todas las variables dinámicas pueden ser medidas simultaneamente.

La medición de las variables dinámicas (cantidades físicas u observables)

colapsa el vector de estado del sistema al vector propio de la cantidad

observada; es decir, el vector de estado se reduce al vector propio

perteneciente al valor propio observado al realizar la medición.

Para que dos variables dinámicas puedan ser medidas

simultaneamente deben tener vectores propios comunes.

La condición necesaria y suficiente para que dos o más

variables dinámicas puedan ser medidas simultaneamente

es que los operadores correspondientes conmuten.

Dos operadores tienen vectores propios comunes si y sólo si conmutan.

2 22 2 2 2

22 2

2

ˆ

ˆ

ˆ1 1ˆ ˆ2 2 2 2

1ˆ2 2

x x x

dp p i

dx

p pH m x H m x

m m

dH m x

m dx

2 22 2

2

1/4 2

1

2 2

1exp

22 !

10,1,2,...

2

n nn

n

dm x E

m dx

m m m xx H x

n

E n n

0

n nn

x c x

1/ 4 21

exp22 !

10,1,2,...

2

n nn

n

m m m xx H x

n

E n n

0

n nn

x c x

1/ 4 21

exp22 !

10,1,2,...

2

n nn

n

m m m xx H x

n

E n n

1/ 4 2

0

1 1exp 0,1,2,...

2 22 !n n nn

n nn

m m m xx H x E n n

n

x c x

; ,

2 0

1/ 4 2

4 4

Molécula de H : Tiene 0.543

Medimos la energía vibracional

y encontramos 2.44 eV.

Entonces sabemos que está en el estado 4,

y la función de onda se colapsó a

1 exp28 6

n

m m m xx H x

2 2

2

La ecuación de Schrödinger

2

er E r

m r

4

2 2

1 1,2,3...

2e

n

m eE n

n

2 2

2

2

er E r

m r

3

2 113

0 0 0 0

29

0 2

1 !2 2 2, , exp ,

2 !

1,2,3...; 1;

donde

5.3 10 cm

l

l mnlm n l l

e

n l r r rr L Y

na na na nan n l

n l n m l

am e

2 2 4

22 2

1 ; 1,2,3...

2 2e

n

e m er E r E n

m r n

1

1 0

, , , ,n l

nlm nlmn l m l

r c r

2 2 42

2 2

3

2 113

0 0 0 0

1 ; 1,2,3...

2 2

1 !2 2 2, , exp ,

2 !

en

l

l mnlm n l l

e m er E r E n

m r n

n l r r rr L Y

na na na nan n l

4

2 2

1 1,2,3...

2

, , ,

1,2,3...; 1;

en

mnlm nl l

m eE n

n

r R r Y

n l n m l

1

2

0

2 1n

l

l n

1 (1,0,0)

2 (2,1,0) (2,1,1) (2,1,-1) (2,0,0)

3 (3,2,2) (3,2,1) (3,2,0) (3,2, 1) (3,2, 2) (3,1,1) (3,1,0) (3,1, 1) (3,0,0)

n

n

n

4

2 2

12

0

1 1,2,3...

2

, , ,

1,2,3...; 1;

2 1

en

mnlm nl l

n

l

m eE n

n

r R r Y

n l n m l

l n

3 (3,2,2) (3,2,1) (3,2,0) (3,2, 1) (3,2, 2)

(3,1,1) (3,1,0) (3,1, 1) (3,0,0)

n

4

2 2

1

1 0

1 1,2,3...

2

, , , ,

en

n l

nlm nlmn l m l

m eE n

n

r c r

1.51 eV 3E n

2

3 30

, , , ,l

lm lml m l

r c r

3 (3,2,2) (3,2,1) (3,2,0) (3,2, 1) (3,2, 2)n

4

2 2

1 1,2,3...

2

1.51 eV 3

en

m eE n

n

E n

342.58 1 j0 s 2L l

2

32 322

, , , ,m mm

r c r

320

3 (3,2,0)

, , , ,

n

r r

2

34

4

2

1 1,2,3...

2

1.51 eV 3

j s 22.58 10

en

m eE n

n

E n

lL

0 j s 0zL m

2

2

2

Necesitamos

ˆ ˆ ˆ , y

para poder determinar el estado del sistema.

Tenemos que

ˆ ˆ, 0

ˆ ˆ, 0

ˆ ˆ, 0

z

z

z

H L L

H L

H L

L L

Un conjunto de operadores hermitianos

ˆ ˆˆ, , , ... es llamado un conjunto

completo de operadores que conmutan

(complete set of commuting operators

CSCO) si conmutan entre ellos y si el

conjunto de sus e

A B C

stados propios comunes

es completo y no degenerado (único).

Para un sistema dado existe

siempre un conjunto completo

de operadores que conmutan.

La medición simultanea de este "conjunto completo"

de variables dinámicas independientes es llamada

una "medición completa", y significa conocer con

certeza lo valores propios de todas las variables

compatibles (que conmutan).

Para un sistema dado existe siempre

un conjunto completo

de operadores que conmutan.

Una medición completa de este

tipo proporciona el máximo de

información que se puede

obtener de un sistema cuántico.

La caracterización completa de un sistema

en un instante dado requiere la medición

de todas las variables dinámicas compatibles

que pertenecen al conjunto completo de

operadores que conmutan.

Una vez hecho esto, se usan los vectores

propios comunes de estas variables dinámicas

compatibles que caracterizan el estado del

sistema.

Es este vector propio común de

todos los miembros del conjunto

completo de operadores que

conmutan en el cual el estado

es proyectado con la medición

completa (maximal).

Este es el vector de estado.

1 2

1 2 3

1 2 3

, ,...,

Si el conjunto completo de operadores que

conmutan consiste de las variables dinámicas

, , ,...,

y sus valores propios son

, , ,...,

entonces denotaremos el estado como

=n

n

n

Usaremos de aquí en adelante

la notación de Dirac. La notación

de Dirac no sólo simplifica la

escritura y la presentación de

las fórmulas, sino que permite

pensar ciertas expresiones de

una manera diferente.

En adelante, casi siempre,

denotaremos a los vectores

en lugar de como ;

es decir, los vectores ahora

son , con "algo adentro"

para identificarlos.

x x

1

2

0

x

ya v

z

t

Por ahora, son simple y sencillamente

los vectores de nuestro espacio vectorial.

Los llamaremos también "kets" .

Una funcional lineal

(formas lineales, uno-formas, covectores)

es una función

:

tal que

f V

f f f

C

El conjunto de las funcionales lineales,

con las operaciones usuales de suma y

multiplicación por un escalar, es un

espacio vectorial.

Una funcional lineal es una función :

tal que

f V

f f f

C

El conjunto de las funcionales lineales,

con las operaciones usuales de suma y

multiplicación por un escalar, es un

espacio vectorial.

*

El espacio vectorial de las

funcionales lineales es el

espacio dual de , y se

denota .

V

V

Dado un vector fijo , construimos

:

con la regla

,

V

f V

f

C

Dado un vector fijo , construimos

: con la regla ,

V

f V f

C

Es fácil demostrar (háganlo),

que es una funcional lineal.

Dado un vector fijo , construimos

: con la regla ,

V

f V f

C

Introducimos una nueva notación:

entonces escribimos

,

f

f

Dado un vector fijo , construimos

: con la regla ,

V

f V f

C

Introducimos una nueva notación:

entonces escribimos

,

f

f

A la funcional lineal le llamamos "bra"

Dado un vector fijo , construimos

: con la regla ,

V

f V f

C

Introducimos una nueva notación: f

*

Los kets son vectores del espacio .

Los bras son elementos (también vectores)

del espacio dual .

V

V

Los vectores columna son

los "kets" .x

* * *1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

Del teorema de Plancherel sabemos que

en un espacio vectorial de 3 dimensiones:

, , , ,x y z x y z x x y y z z

1

* * * * * *2 2 2 1 1 2 1 2 1 2

1

Pensemoslo como matrices:

x

x y z y x x y y z z

z

* * *1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

Del teorema de Plancherel sabemos que

en un espacio vectorial de 3 dimensiones:

, , , ,x y z x y z x x y y z z

Los vectores renglón son

los "bras" .

Los vectores renglón son los "bras" .

Los "bras" son los transpuestos

conjugados de los "kets"

Los vectores renglón son

los "bras" .

1 0 1a

u v w x

El producto escalar queda entonces:

"de manera natural".

a b

El producto escalar queda entonces:

"de manera natural".

a b

es un"bra-ket", obvio,

de bracket.

a b

ˆSi , entonces ' .f V A f f V

Linealidad:

ˆ ˆ ˆA r f s g rA f sA g

ˆSi , entonces ' .f V A f f V

Los operadores también actuan

sobre los bras:

ˆ'f B f

ˆ ˆ ˆf r g s A r f A s g A

Linealidad:

ˆ ˆ ˆA r f s g rA f sA g

1 1 1

Si se conoce la acción de un operador

sobre los vectores de la base 1 ,...,

ˆ = ' ,

se conoce su acción sobre cualquier vector

ˆ ˆ ˆ 'n n n

i i ii i i

n

A i i

A f A f i f A i f i

ˆSea : un operador lineal.

ˆTenemos para todo .

A todo operador lineal le podemos

asociar una matriz.

¿Cómo la encontramos?

A V V

g A f f V

1

1 1

1 1

ˆ

donde

ˆ ˆ ˆAdemás

así que

ˆ ˆ

n

i ii

n n

j jj j

n n

i j ij jj j

g A f

g g i g i g

A f A f j f A j

g i A f f i A j a f

1

1 11 12 1 1

2 21 2

1

. . . .

. . . .

. . . .

n

i ij jj

n

n n nn n

g a f

g a a a f

g a f

g a a f

1 1

ˆ

ˆ ˆn n

i j ij jj j

g A f

g i A f f i A j a f

ˆija i A j

11 12 1

21

1

. .

. .

. .

n

n nn

a a a

a

a a

La misma matriz sirve para los bras.

ˆSea : un operador lineal.

ˆTenemos para todo .

Entonces

ˆ ˆ

A V V

g A f f V

A i A j

ˆ

1 0 0

0 1 0

0 0 1

.

.

0 0 0 1

iji I j i j

x xa xb xc

y a b c ya yb yc

z za zb zc

¿Le podemos asignar algun significado

al productor exterior ?f g

¿Le podemos asignar algun significado

al productor exterior ?f g

En resumen,

Así que podemos considerar a

un operador.

f g h f g h f g h g h f

f g h g h f

f g

1 1 1

1

1

Si el conjunto 1 , 2 ,..., ,... es completo

"Abusando" de la notación

n n n

ii i i

n

i

n

i

j

f f i i f i i i f

f i i f

i i I

El objeto

actua sobre el vector ,

y da .

i i

f

i f i

1 1 1

n n n

ii i i

f f i i f i i i f

El objeto es un operador lineal,

se le llama el proyector sobre el ket ,

ˆy se le denota como i

i i

i

P i i

= .i i f i f i

1 1 01 0

0 0 0 0

0 0 0 00 1

1 0 1

x x x

y y

x x

y y y

= .i i f i f i

=i i f i f i

= cos

= cos

a a c a c a a c a

e e c e c e c e

1

1

Ya que esto es cierto para todo ,

ˆ

n

i

n

i

x i i x

x

i i I

1 1 1

n n n

ii i i

x x i i x i i i x

1

ˆn

i

i i I

A esta relación se le llama relación de

completez.

*

ˆ

ˆ

i i

i i

P f i i f i f

f P f i i f i

ˆ ˆ ˆi j ij jPP i i j j P

0

0

0

0 0 0 1 0 0 01

0

0

i i

0

0

0

0 0 0 1 0 0 01

0

0

i i

0 0 0 0 0

0 0

0

00 0 0 1 0 0 0

1 1

0

0

0 0 0

i i

i ki il kl likl

P k i i l

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ij

k

ik kjk k

AB i AB j i AIB j

i A k k B j

i A k k B j a b

†

*†

Sea un operador lineal.

Se define el operador adjunto

como aquel que cumple

, ,

para todo par de vectores y .

En la notación de Dirac,

A

A x y x Ay

x y

y A x x A y

*

Sea un operador lineal.

El operador es hermitiano

si

para todo par de vectores

e .

A

y A x x A y

x y

El estado de un sistema físico está

exhaustivamente caracterizado por

un vector de estado .

El vector de estado un vector de un

espacio de Hilbert o su

generalización (rigged Hilbert space).

La caracterización completa de un sistema

en un instante dado requiere la medición

de todas las variables dinámicas compatibles

que pertenecen al conjunto completo de

operadores que conmutan.

Una vez hecho esto, se usan los vectores

propios comunes de estas variables dinámicas

compatibles que caracterizan el estado del

sistema.

Es este vector propio común de

todos los miembros del conjunto

completo de operadores que

conmutan en el cual el estado

es proyectado con la medición

completa (maximal).

Este es el vector de estado.

1 2

1 2 3

1 2 3

, ,...,

Si el conjunto maximal consiste

de las variables dinámicas

, , ,...,

y sus valores propios son

, , ,...,

entonces denotaremos el estado como

=n

n

n

1 2 3

En notación de Dirac

, , , , n

1

1 2

1 2

,...,

Si el conjunto minimal consiste de las

variables dinámicas (observables)

, , ... ,

y los valores propios son

, , ,

entonces denotaremos el estado como

n

n

n

1 1

2 2

1

Se tiene entonces

Ya que los vectores propios de un operador

hermitiano forman un conjunto ortonormal

completo, dos estados ,..., que difieren

en al menos un índice son ortogonal

n n

n

es.

1 2, , , 1 2 3

1 2 3

Un estado arbitrario del sistema

puede ser expresado como la

superposición

, , , ,

donde la suma va sobre todos los

valores posibles del conjunto de

índices , , , , .

n n

n

c

1 2, , , 1 2 3

Una estado de la forma

, , , ,

no es un estado propio del

conjunto maximal, sin embargo es

un estado perfectamente bien

definido del sistema.

n nc

1 2 3

Consideremos una base ortonormal y completa

de un espacio de Hilbert separable.

Esto quiere decir que la base es numerable,

y la denotaremos como

, , ,..., ,....

Como es ortonormal y completa:

n n

n m

1

ˆ

nm

n nn

I

1 1

ˆ

donde

n n n nn n

n n

I a

a

1

donde n n n nn

a a

11

22

nn

a

a

a

1

* *

1 1 1

ˆ

donde

n nn

n n n n n nn n n

n n

I

a

a

*

1

donde n n n nn

a a

* * *

1 2

1 2

* * *1 2, ,..., ,...

n

n

na a a

*

1 1

* * *

, 1 , 1 1

,n n m mn m

n m n m n m nm n nn m n m n

a b

a b a b a b

1

donde n n n nn

b b

*

1

donde n n n nn

a a

*

1n n

n

a b

1

2* * *1 2, ,..., ,...n

n

b

b

a a a

b

n n

n n

1 1 1 2

2 1 2 2 2

1 2

n m

m

n n n m

U

n n

1

donde

n n n nn

n n

n mn m mn m nm

a a

U U

1

donde

; con

ˆ

n n n nn

n n n mn m mn m nm

jl j l

a a

U U

A A