Introdução à Teoria de Estoques

Introdução à

Teoria de Estoques

Guilherme Missio Tong – RA: 135970

Ricardo Santos – RA: 122380

Johnny Alouizor – RA: 123733

Simulação de Sistemas - MS614/MT702 - 29/09/2016

Resumo

• Motivação

• Tipos de Estoque

• Características de Sistemas de Estoque

• Modelos

• Exemplos

Motivação

• Economia de escala

• Incertezas

• Especulação

• Transporte

• Logística

Tipos de Estoque

• Matéria Prima

• Componentes

• Work-in-progress (WIP)

• Itens Terminados

Características de Sistemas de Estoque

• Demanda

• Constante

• Variável

• Tempo de Reposição

• Tempo de Revisão

• Contínuo

• Periódico

Custos de um Estoque

• Custos de Manutenção

• Custo do espaço físico utilizado

• Taxas e seguros

• Quebras e deterioção

• Custo de oportunidade de investimento alternativo

h = Ic

em que c é o valor da unidade do estoque I é a taxa anual de juros

Custos de um Estoque

• Custos ao Fazer um Pedido

em que C(x) é o custo de encomendar ou produzir x unidades.

Custos de um Estoque

• Custos de Penalização

• Custo de não ter estoque para satisfazer a demanda.

• Caso “Back-Ordered” - inclui custo por atraso

• Caso “demanda perdida” - inclui o custo do lucro perdido pela não-venda

Modelo EOQ (Economic Order Quantity)

• Hipóteses:

• Taxa de demanda é conhecida e é uma constante λ por unidade de tempo.

• Falhas ao atender a demanda não são permitidas

• Não há tempo de reposição, i.é, a reposição é instantânea

• Os custos considerados são:

• Setup

• Fazer um pedido

• Manter o estoque

Modelo EOQ (Economic Order Quantity)

Falhas não são permitidas

Atender a demanda no

t = 0.

reposição imediata

Modelo EOQ (Economic Order Quantity)

• Objetivo

• Encontrar Q que minimize o custo médio por unidade de tempo.

• Ciclo começa com Q unidades e termina com zero unidades em estoque

• As unidades são consumidas por uma taxa constante λ.

• Logo, tamanho do ciclo é T = Q/λ.

• Custo de fazer um pedido: C(Q) = K + cQ.

Modelo EOQ (Economic Order Quantity)

• Custo anual médio:

Modelo EOQ (Economic Order Quantity)

• Custo anual médio G(Q) é formado por três custos:

• Custo de Setup (K λ/Q)

• Custo de compra (λc)

• Custo de manutenção (h.(Q/2))

Modelo EOQ (Economic Order Quantity)

Minimizar G(Q):

G(Q) é uma função convexa em Q

Logo, valor ótimo ocorre em:

G’(Q) = 0

Modelo EOQ (Economic Order Quantity)

Minimizar G(Q):

G(Q) é uma função convexa em Q

Logo, valor ótimo ocorre em:

G’(Q) = 0

EOQ

Modelo EOQ (Economic Order Quantity)

• Exemplo: Papelaria.

• Uma papelaria vende lápis HB02 a uma taxa constante de 60 lápis por semana. Os lápis

custam 2 centavos cada e vendidos a 15 centavos cada. A papelaria paga R$12,00 para

iniciar um pedido, os custos de manutenção são baseados em uma taxa de 25% a.a.

Determine o número ótimo de lápis a serem comprados pela papelaria e o tempo entre

os pedidos. Quais os custos de setup e manutenção anuais?

Modelo EOQ (Economic Order Quantity)

• Taxa Constante de Consumo: λ = 60*52 = 3120 lápis a.a

• Custo de manutenção: h = I.c = 0.25*0.02 = 0.005

• 𝑄 =2𝐾λℎ

= 2∗12∗3120

0.005= 3870

• T = 𝑄

λ= 1.24 anos.

• Custo de manutenção médio: h𝑄

2= 0.005

3870

2= R$9,675 reais

• Custo médio anual do setup: 𝐾λ

𝑄= 𝑅$9,675 reais

Modelo de Estoques

com tempo de reposição

Modelo EOQ (Economic Order Quantity)

• Até agora já vimos que os estoques têm um papel fundamental na logística.

Em geral, eles permitem que o cliente compre o produto que deseja, no

momento e no local que melhor lhe convém.

Modelo EOQ (Economic Order Quantity)

Com uma taxa de demanda conhecida e constante λ e uma reposição instantânea temos:

Modelo EOQ (Economic Order Quantity)

• Agora, vamos considerar que existe um certo tempo de reposição, ou seja,

devemos fazer o pedido antes que o estoque chegue ao nível zero.

𝜏

Modelo EOQ (Economic Order Quantity)

• Vamos definir como R, o nível mínimo do estoque para darmos inicio o

pedido de maneira que a compra chegue ao mesmo tempo que o estoque

zerar

• É fácil de se ver que R = λ𝜏 onde λ é a taxa constante de demanda e 𝜏 é igual

ao tempo de reposição para a chegada do produto comprado.

Modelo EOQ (Economic Order Quantity)

• Considerando o mesmo exemplo da papelaria anterior.

• Suponha que os lápis demorem 4 semanas para chegarem. Então o nível

ótimo de pedido de reposição será R = λ𝜏 = 3120 x4

52= 240.

Extensão do EOQ

Taxa de Produção

Finita

• Uma hipótese implícita no modelo EOQ é de que os itens são obtidos de um fornecedor externo e então é razoável assumir que o lote inteiro é entregue ao mesmo tempo.

• Se tentarmos usar o modelo EOQ supondo que a taxa de produção é finita podemos obter resultados bizarros.

• Com isso precisaremos fazer algumas modificações no modelo EOQ.

Modelo com taxa de produção finita

• Itens são produzidos a uma taxa P < ∞ e que P > λ.

• Onde λ é a taxa de demanda (assumida ser constante).

Modelo com taxa de produção finita

Compare os gráficos:

Modelo EOQ Modelo com taxa de produção finita

Notação:

Seja:

• 𝑄 o tamanho de cada lote produzido;

• 𝑇 o tempo entre duas rodadas de produção;

• 𝑇1: o tempo em que ocorre a produção (e a demanda também);

• 𝑇2: o tempo em que ocorre só a demanda;

• Observe que 𝑇 = 𝑇1 + 𝑇2 e que agora o nível máximo de estoque não é 𝑄, apesar de

ser o tamanho do lote produzido no ciclo.

• Durante 𝑇1 a produção vai sendo consumida ao mesmo tempo pela demanda

(constante).

• Como visto 𝑄 é o que produzimos ao longo de 𝑇1 e no final do ciclo estamos com

zero unidades no estoque.

• Então temos que 𝑄 = 𝜆𝑇,

pois 𝜆𝑇 é o número de unidades consumidas ao longo do ciclo.

• Definiremos 𝐻 como o nível máximo do estoque durante o ciclo.

• Logo: 𝐻 = 𝑃 − 𝜆 𝑇1

pois H foi construído durante o tempo 𝑇1, com taxa igual a 𝑃 − 𝜆 , sendo 𝑃 > 𝜆.

• Mas temos 𝑄 = 𝑇1𝑃 pois o lote só é produzido durante o tempo 𝑇1 e sabemos que

o tamanho dele é 𝑄.

• Portanto reescrevemos 𝐻 = 𝑃 − 𝜆𝑄

𝑃= 𝑄 1 −

𝜆

𝑃.

Expressão para o custo anual médio:

• Como o estoque decresce linearmente de 𝐻 para zero, temos que o nível de estoque médio é 𝐻

2e o custo médio de setup é

𝐾

𝑇, logo temos a

função-custo descrita abaixo:

𝐺 𝑄 =𝐾

𝑇+ ℎ

𝐻

2= 𝐾

𝜆

𝑄+ ℎ

𝑄

21 −

𝜆

𝑃

• Definindo ℎ′ = ℎ 1 −𝜆

𝑃e o substituirmos por ℎ teremos:

𝑄∗ =2𝐾𝜆

ℎ′

EXEMPLO

• Uma empresa produz memórias de computador para vários clientes. O

gerente da empresa observou que a demanda é relativamente constante em

2500 unidades por ano. A memória é produzida a uma taxa de 10000

unidades por ano. O departamento de contabilidade determinou que o custo

de iniciar uma rodada de produção é da ordem de R$ 50,00 reais, cada

unidade produzida custa R$2,00 reais para a companhia e o custo de

manutenção foi calculado com base em 30% de juros anuais.

Determine:

• (1) o tamanho ótimo do lote numa rodada de produção;

• (2) o tempo total de cada rodada de produção;

• (3) o custo médio anual de setup e de manutenção;

• (4) o maior nível de estoque no ciclo;

Solução

• Temos: 𝑃 = 10.000 unidades por ano,

• 𝜆 = 2500 unidades por ano,

• 𝐾 = R$ 50,00

• Vamos primeiro calcular ℎ = 𝐼𝑐 = 0,30 𝑥 2 = 0,60 unidades por ano.

• E ℎ′ = ℎ 1 −𝜆

𝑃= 0,60 1 −

2500

10000= 0,45

𝑄∗ =2𝐾𝜆

ℎ′= 745. (1)

𝑇 =𝑄

𝜆=

745

2500= 0,298 anos (2)

• O tempo de produção é dado por 𝑇1 =𝑄

𝑃=

745

10000= 0,0745 anos.

• O tempo 𝑇2 = 𝑇 − 𝑇1 = 0,2235 anos.

Solução

• Com isso teremos que o custo médio anual de setup e manutenção é igual a:

𝐺 𝑄∗ =𝜆

𝑄∗+ ℎ

𝑄∗

2=

50 × 2500

745+

0,45 ×745

2= 335,41 (3)

𝐻 = 𝑃 − 𝜆 𝑇1 = 10.000 − 2.500 × 0,0745 = 558 (4)

Solução

Curiosidade

Vocês conseguem pensar em um

modelo de produção sem que haja

estoque?

• Desenvolvido após a Segunda Guerra Mundial por o engenheiro Taiichi Ohno.

• Necessidade de desenvolver um sistema para fabricar automóveis de muitas classes

diferentes em pequenos volumes com o mesmo processo

• A essência do Sistema Toyota de Produção é a perseguição e eliminação de toda e

qualquer perda (MUDA em japones): “princípio do não-custo”

• Combinação de duas metodologias: Just in Time (JIT) e a Autonomação (ou Jidoka)

Sistema de produção -TPS

Just in Time & Jidoka

JIT = cada processo deve ser suprido com os itens e quantidades certas, no tempo e lugar certo

Objetivo: identificar, localizar e eliminar as perdas, garantindo um fluxo contínuo de produção

Três fatores:

Fluxo contínuo redução do lead time de produção eliminação das perdas por

estoque, perdas por espera

Takt time tempo necessário para produzir um componente ou um produto

completo, baseado na demanda do cliente

Produção puxada o fornecedor produzirá só quando

houver demanda de seu cliente

𝑇𝑎𝑘𝑡 𝑇𝑖𝑚𝑒 =𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛í𝑣𝑒𝑙

𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

lógica de “produzir ao ritmo da demanda”o tempo de ciclo de cada operador deve ser idealmente igual ao takt time

A produção puxada é viabilizada através do kanban:

informa ao processo-fornecedor exatamente o que, quanto e quando produzir

• Objetivo: controlar e balancear a produção, eliminar perdas, permitir a reposição de

estoques baseado na demanda e constituir-se num método simples de controlar

visualmente os processos

JIDOKA = consiste em facultar ao operador ou à máquina a autonomia de parar o processamento sempre que for detectada qualquer anormalidade no processamento

• separação entre a máquina e o homem: a detecção pode ser uma função da máquina, enquanto a solução ou correção do problema continua como responsabilidade do homem

• poka-yoke: mecanismo de detecção de anormalidades que impede a execução irregular

de uma atividade

• Os dispositivos poka-yoke são a maneira pela qual o conceito do jidoka é colocado em

prática. A aplicação dos dispositivos poka-yoke permite a separação entre a máquina

e o homem e o decorrente exercício do jidoka

Outros modelos

Dúvida

• Será que no dia-a-dia a taxa de demanda é sempre constante?

Dúvida

• Será que no dia-a-dia a taxa de demanda é sempre constante?

• Será que a reposição dos estoques nunca apresentam falhas?

Outros modelos

• Podemos salientar que, na prática, o trabalho da logística é de diminuir o

risco de ter perdas:

(i) Por Ruptura, ou seja, acabou produto e o cliente saiu insatisfeito;

(ii) Por superestocagem que se refere a questão interna como: Imobilização de capital de

giro, obsolescência, perecibilidade, etc.

Outros modelos

• Modelos de duas Gavetas (SILVA et al., 2008)

• O estoque é dividido em duas gavetas. Findando a primeira, faz-se o pedido. A segunda

deve ser suficiente para atender a demanda até o pedido ser atendido.

• Ou, quando terminar a primeira gaveta, é disparado um novo pedido que deverá

abastecer a primeira gaveta e o conteúdo utilizado da segunda.

• Neste ultimo caso, pode-se utilizar a formula relativa ao nível minimo de estoque para

disparar o gatilho do pedido.

Outros modelos

• A partir do conceito de EOC, aprimoraram-se outros modelos que têm

como objetivo incorporar incertezas em seus sistemas (Nahmias, 2001).

• Tais modelos podem ser segmentados em dois grupos:

• O primeiro se refere ao Modelo de revisão periódica que estabelece

intervalos de tempo em que os níveis de estoque serão verificados.

Outros modelos

• O segundo é o Modelo de revisão contínua. Segundo Silver et al. (1998),

nos modelos de revisão contínua, os estoques são monitorados

continuamente e um pedido é disparado sempre que o nível de estoque

atingir o ponto de pedido.

Outros modelos

• As formas mais comuns de administrar os estoques são: lotes econômicos, modelosmatemáticos ou sistemas computacionais.

• Para fazer previsões, geralmente utiliza-se os modelos de séries temporais.

• As filosofias, como o Just in Time, e teorias, como a Teoria das Restrições, alimentamesses sistemas de controle como filosofias para administrar a produção e controlaros estoques.

Simulações

• Diversas técnicas são utilizadas para apoiar a análise dos sistemas produtivos.

Dentre elas, uma que se destaca é a Simulação de Eventos.

• A simulação utiliza-se de modelos de um sistema real ou imaginário, com o

propósito de avaliar o comportamento randômico desse sistema sob várias

condições.

Simulação no ARENA

• Exemplo 1:

Um fornecedor de galinhas "galinhas Pepe" preenche a cada dois dias 30

frangos congelados. Estes são armazenados no congelador da distribuidora. O

tempo entre as encomendas seguirá uma distribuição exponencial com média

de 2 horas durante as 24 horas do dia que a distribuidora permanece aberta.

Estimou-se que o número de galinhas de cada pedido segue uma distribuição

discreta de acordo com as probabilidades descritas na tabela a seguir:

Simulação no ARENA

• Observe que se o pedido não pode ser satisfeito inteiramente, será um

pedido perdido.

• Inventario inicial de galinhas é igual a 10.

Quantidade de galinha por pedido

Simulação no ARENAChegada de galinhas numa distribuidora:

Simulação no ARENA

• O vídeo da simulação se encontra no link abaixo:

• https://www.youtube.com/watch?v=j04aps8mhNU

Simulação no ARENA

Exemplo 2:

Simulação no ARENA

• O vídeo da simulação se encontra no link abaixo:

• https://www.youtube.com/watch?v=yR0GAnrpA0w

Algo a mais ...

Distribuições:

• Falta de Memória;

• Erlang

• Falta de memória

(1) Seja X a variável aleatória que fornece o numero de falhas até o primeiro sucesso.

𝑋~𝐺𝑒𝑜 𝑝Ρ 𝑥 = 𝑗 = 𝑝(1 − 𝑝)𝑗 , 𝑗 = 0, 1, …Se 𝑋 é variável aleatória discreta com distribuição geométrica, então, para todo 𝑗, 𝑘 =1, 2, … temos que:

Ρ 𝑋 > 𝑗 + 𝑘 𝑋 ≥ 𝑗) = 𝑃(𝑋 > 𝑘)

Isso significa, por exemplo, a probabilidade de que nascer 12 meninos antes da

primeira menina, dado que já nasceram 10 meninos, é a mesma de que nascessem

2 meninos antes da primeira menina.

Este resultado reflete a falta de memória ou desgaste da distribuição geométrica.

• Se X é uma variável aleatória com distribuição exponencial, então sua probabilidade condicional obedece a equação:

• Isso significa que a probabilidade de que seja necessário esperar, por exemplo, mais que 30 minutos até que o ônibus chegar, dado que já passou mais de 20 minutos, é a mesma de que esse evento ocorra depois dos 10 minutos iniciais.

• Este resultado reflete a falta de memória.

• Usado em estudos de confiabilidade como sendo o modelo para o tempo até a falha de um equipamento

• É um modelo muito utilizado para componentes eletrônicos.

Distribuição ERLANG

• Seja X uma variável aleatória com distribuição Gama de parâmetros

𝛼 𝑒 𝛽, denotando-se 𝑋 ~ 𝐺𝑎𝑚𝑎 𝛼 , 𝛽 .

• Sua função de densidade é dada por:

• para 𝜶 ,𝜷>0

Distribuição ERLANG

• Os casos particulares da distribuição 𝐺𝑎𝑚𝑎 𝛼 , 𝛽 são:

(1) 𝐘 ~ 𝑮𝒂𝒎𝒂 𝟏 ,𝜷 , tal que 𝑌 tenha a distribuição exponencial com parâmetro 𝜷.

(2) 𝒁 ~ 𝑮𝒂𝒎𝒂 𝝂/𝟐, 𝟏/𝟐 , tal que 𝑍 tenha a distribuição qui-quadrado com 𝝂 graus de liberdades.

(3) 𝑾~𝑮𝒂𝒎𝒂 𝜶 , 𝟏 tal que 𝑊 tenha distribuição Erlang com parâmetro 𝜶.

Referências

• NAHMIAS, S. Production and operation analysis. 4 ed. Boston: McGraw-Hill, 2001.

• SILVER, E. A.; PETERSON, R.; PYKE, D. F. Inventory Management and Production Planning and Scheduling. 3 ed. New York: John Wiley & Sons, 1998.

• V.P. SINGH. Sistem Modeling and Simulation, 2009.

• TAYFUR A., BENJANIN MELAMED. Simulation modeling and Analysis with Arena. Amsterdam, Boston, 2007

• http://www.lume.ufrgs.br/handle/10183/103735 (acesso 25/09/2016)

• http://www.logisticadescomplicada.com/entendendo-o-lote-economico-de-compras-lec-ou-eoq/ (acesso 27/09/2016)

• https://portogente.com.br/portopedia/74113-lote-economico-de-compra (acesso 27/09/2016)

• http://www.leg.ufpr.br/~paulojus/CE210/ce210/node4.html(acesso 23/09/2016)

• https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_Erlang(acesso 28/09/2016)