View
333
Download
15
Category
Preview:
Citation preview
38
INTEGRAL LIPAT DUA
Luas daerah yang diarsir (merah) a : y . x
Apabila y 0 ; x 0 maka luas bidang tersebut menjadi integral yang
ditulis sebagai berikut :
sx
rx
my
ky
dxdyA .
Untuk menghitungnya dimulai dari bagian dalam kemudian bagian luar.
sx
rx
my
kydxdyA .
sx
rx
my
kydxy
sx
rx
sx
rxxkmdxkm
rskmA .
O r s X
Y
m
k
x
y
39
KESIMPULAN
Pernyataan 2
1
2
1
,y
y
x
xdydxyxfA
disebut Integral lipat dua / Double Integral
Langkah penyelesaian :
1) f (x,y) diintegrasikan terhadap x (dengan menganggap y konstan) dengan
batas x=x1 dan x=x2.
2) Hasilnya kemudian diintegrasikan terhadap y dengan batas y=y1 dan y=y2.
Contoh soal :
Hitunglah 2
1
4
22 dydxyxI
Jawab : 2
1
4
22 dydxyxI
dyxyx
4
2
2
1
2 22
1
dyyy 2
14288
21
22
12646 yydyy
= (12+8) – (6+2)
= 20-8 = 12
40
PENERAPAN
Tentukan luas daerah yang
dibatasi oleh y=5
4x sumbu x,
dan ordinat pada x = 5.
PENYELESAIAN
Luas elemen yang diarsir = y . x
Jika y 0 dan x 0, maka :
5
0 0
1y
dxdyA
5
01
5
00
1 dxydxyy
Tetapi 5
41
xy , maka :
105
2
5
45
0
5
0
2
xdx
xA satuan luas.
O
Y
5 X x
y1 = 5
4x
y
41
Contoh Penerapan 2
Tentukan momen kedua dari
empat persegi panjang 6m x
4m mengelilingi sumbu yang
melalui salah satu titik
sudutnya dan tegak lurus
kepada bidang persegi
panjang tersebut.
Jawab :
a = y . x
Momen kedua p terhadap oz = a (op)2
= y . x (x2 + y2)
Jika x 0 dan y 0 maka :
6
0
4
0
22 dxdyyxA
6
0
26
0
4
0
32
3
644
3dxxdx
yyx
4
6
0
3
4161282883
64
3
4cm
xx
42
BENTUK PENULISAN LAIN INTEGRAL LIPAT DUA
Kadang-kadang integral lipat dua ditulis dengan cara yang sedikit
berbeda, sebagai berikut :
Hitunglah : dyxxdx 1
0
23
0
Kunci pengerjaannya : Diselesaikan mulai integral yang paling
kanan, kemudian berurut-urutan kekiri.
Penyelesaian :
3
0
1
0
2 dyxxdxI
1
0
3
0
2
yxxydx
23
0xxdx
3
0
2 dxxx
=
3
0
32
3
1
2
1
xx
5,492
9
43
INTEGRAL LIPAT TIGA
Urutan penyelesaiannya dari paling dalam
f
e
d
c
b
adzdydxzyxf ..,,
Contoh :
Hitunglah :
3
1
1
1
2
0..2 dzdydxzyxf
Jawab :
3
1
1
1
2
0..2 dzdydxzyxI
3
1
1
1
2
0
2 .22
1dzdyxzxyx
3
1
1
1
1
1
2 222 dzzy
3
1222222 dzzz
3
144 dzz
31224 zz
= (12-18) – (4-2) = -8
44
Penentuan Volume dengan Integral Lipat
Elemen volume x . y . z
1. Penjumlahan elemen tersebut kearah kolom menghasilkan :
zyxz
z
z
y
y
y
yVc ..
0
1
1
2
2. Jika sekarang jumlahkan kolom-kolom di antara y = y1 dan y
= y2, diperoleh volume irisan.
zyxz
z
z
y
y
y
yVs ..
0
1
1
2
3. Kemudian, penjumlahan terhadap semua irisan diantara x=x1
dan x=x2 memberikan volume total.
zyxz
z
z
y
y
y
y
x
x
x
xV ..
0
2
1
2
1
2
Selanjutnya, seperti biasa, jika x 0, y 0, dan z 0,
2
1
2
1
1
0..
x
x
y
y
zdzdydxV
45
Contoh 1.
Sebuah benda dilingkupi oleh bidang z = 0, bidang x = 1, x = 4,
y = 2, y = 5 dan permukaan z = x + y. Tentukanlah volume benda
tersebut.
Jawab :
Pertama-tama seperti apakah bentuk bendanya?
Bidang z = 0 adalah bidang x-y dan bidang x = 1 mempunyai
posisi sebagai berikut :
Dengan cara yang sama, gambarkanlah bidang-bidang sisi
vertikalnya.
Sampai disini gambarnya nampak seperti ini :
46
Jika sekarang tandai ketinggian, yang dihitung pada masing-
masing perpotongnnya (z = x + y), didapatkan
Ini barulah persiapan untuk menyelesaikan persoalan, agar kita tahu
bagaimana menangani integralnya.
Untuk tahap perhitungannya, pindahkan kebingkai berikut.
47
1) Volume elemen x . y . z
2) Volume kolom x . y
)(
0
yx
z
z
3) Volume irisan x
dy
yx
z
zdy
y
y
02
5
4) Volume total benda
dz
yx
z
zdy
y
ydx
x
x
02
5
1
4
Kemudian, sebagaimana biasanya, jika x 0, y 0, z 0,
hubungan ini menjadi :
yx
zdydxV0
5
2
4
1
V yxdydxdzdydxyx
5
2
4
10
5
2
4
1
5
2
24
1
5
2
4
1 2)(
yxydxdyyxdx
48
dxxxxdx
2
21322
2
255
4
1
4
1
4
12
4
1
2
2132
1
2
21
2
3xx
xx
24132
2
12138448
2
1 = 54 satuan3
Contoh :
Hitunglah isi benda yang dibatasi oleh silinder x2 + y2 = a2, bidang
z = y dan z = 0.
Penyelesaian :
Pada gambar tersebut diberikan ¼ bagian dari benda batas-batasnya :
z1 = 0 ; z2 = y
y1 = 0 ; y2 = 22 xa
49
x1 = 0 ; x2 = a
Jadi,
22
0 00..4
xa yadxdydzI
22
00..4
xaadxdyyI
dxyI
xaa
22
0
2
0 2
14
dxyIxaa 22
02
02
dxxaIa 22
02
33
0
32
3
12
3
12 aaxxaI
a
3
3
4aI
50
KESIMPULAN
Kunci untuk menyelesaikan integral lipat tiga/dua :
1. Untuk integral yang ditulis dalam bentuk :
dydxyxfx
x
y
y.,2
1
2
1
Pengerjaannya mulai dari dalam keluar.
2. Untuk integral yang ditulis dalam bentuk :
dxyxfdyx
x
y
y,2
1
2
1
Pengerjaannya dari kanan ke kiri
Recommended