Integração Numérica – Regras de Newton-Cotes · Integração Numérica – Regras de...

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Integração Numérica – Regras de Newton-Cotes

primitivaro polinómio

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

I f f x d x p x d x I f

= ≈ =

Aproximar a função integranda por um polinómio interpolador, utilizando para nós deinterpolação os extremos do intervalo e nós igualmente espaçados no interior do intervalo

n=0 (interpolação grau zero) – regras do rectângulo à esquerda, à direita e do ponto médio

( )( ) ( )hI f b a f a= − ⋅

( )( ) ( )hI f b a f b= − ⋅ ( ) ( )2h

a bI f b a f + = − ⋅

(a+b)/2

Integração Numérica – Regras de Newton-Cotesn=1 (interpolação linear) – regra do trapézio

[ ]( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2h

f a f b b aI f b a f a f b+ − = − ⋅ = ⋅ +

(a+b)/2

n=2 (interpolação quadrática) – regra de Simpson

( ) 4 (( ) / 2) ( )( ) ( )6

( ) 4 ( )6 2

hf a f a b f bI f b a

b a a bf a f f b

+ ⋅ + + = − ⋅ − + = ⋅ + ⋅ +

Integração Numérica – Dedução da regra de Simpsonn=2 (interpolação quadrática) – Formula de Lagrange

0 2 0 11 22 0 1 2

0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h hh h h h

x x x x x x x xx x x xp x y y yx x x x x x x x x x x x

−− −

− ⋅ − − ⋅ −− ⋅ −= + +− ⋅ − − ⋅ − − ⋅ −

0 2 0 11 22 0 1 22 2 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 2

b b b b

a a a a

x x x x x x x xx x x xI f p x dx y dx y dx y dxh h h

− ⋅ − − ⋅ −− ⋅ −= = + +−

0 2 0 11 22 0 1 22 2 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 2

x x x x x x x xx x x xp x y y yh h h

− ⋅ − − ⋅ −− ⋅ −= + +−

0 2 0 11 22 2 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2

? ? ?b b b

x x x x x x x xx x x x dx dx dxh h h

− ⋅ − − ⋅ −− ⋅ − = = =−

= ⋅ + ⋅ + ⋅2 0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )p x y L x y L x y L x

Integração Numérica – Dedução da regra de SimpsonIntroduzindo a variável auxiliar z = x – x1 (z é a distância a x1)

3 2 321 2

2 2 2 2 2

3 32 2 20 2

2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) 1 1 1 2( ) ( )

2 2 2 2 3 2 2 3 3

( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 4 4( ) ( )

( ) ( )2

b h h h

ha h h

b h h h

ha h h

x x x x z z h z z h h hdx dz z zh dzh h h h h

x x x x z h z h z h hdx dz z h dz zhh h h h h

x x x x dxh

−− −

− ⋅ − ⋅ −= = − = × − = × =

− ⋅ − + ⋅ −= = − = − × − = × =− − −

− ⋅ − =

22 2 2 2

( ) 1 1 1 2( ) ( )

2 2 2 3 2 2 3 3

b h h h

ha h h

z h z z z h h hdz z zh dzh h h h

−− −

+ ⋅ = + = × + = × =

0 1 01 1

x x z x x z hz x x x z x

x x z x x z h− = + − = +

= − = + − = + − = −

Integração Numérica – Dedução da regra de SimpsonPelo que

− ⋅ − − ⋅ −− ⋅ −= = + +−

0 2 0 11 22 0 1 22 2 2

/3 4 /3 /3

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

b b b b

a a a a

x x x x x x x xx x x xI f p x dx y dx y dx y dxh h h

2 0 1 24

( ) ( )3 3 3

h h hI f p x dx y y y= = + +

0 1 24 ( )

( )6 6 6

( ) ( ) 4 ( )6 2

b a b a b aI f y y y

b a a bI f f a f f b

− × − −= + +

− + ⇔ = × + × +

Finalmente, atendendo a que h=(b – a)/2, resulta

Integração Numérica – Regras de Newton-Cotes

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ,..., , ] ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ,..., , ] ( ) ( )

n n n nb b b b b

n h n n n

a a a a a

f x p x E x f x p x f x x x x W x

f x d x p x d x E f x d x p x d x f x x x x W x d x

≈ → = − = ⋅

Para calcularmos o erro associado a cada regra de Newton-Cotes podemos integrar o erro daaproximação efectuada

Em face do valor deste integral é possível deduzir uma expressão específica para cada umadas regras

Trapézio:

Ponto médio:

Simpson:

31''( ) ( )

24hE f b aξ= ⋅ ⋅ −

31''( ) ( )

12hE f b aξ= − ⋅ ⋅ −

51''''( ) ( )

2880hE f b aξ= − ⋅ ⋅ −

ξ ∈[ , ]a b

Tabela com algumas regras de Newton-Cotes

Ponto médio ( )= − × +( ) ( ) ( ) / 2hI f b a f a b 3 (2)1( ) ( )

24hE b a f ξ= ⋅ − ⋅

Trapézio

Simpson

3/8 (de Simpson)

3 (2)1( ) ( )

12hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅

5 (4)1( ) ( )

2880hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅

7 (6)1( ) ( )

1935360hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅

−= + × =, ( )i i ib aa a i f f a

na0 a1 a2 an•••

a bn+1 pontos

[ ] ( )− × + ×= −= +0 1( ) ( )2

b aI f fb a f a b ff

( )−= × + +0 1 2( ) 46h

b aI f f f f

5 (4)1( ) ( )

6480hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅( )−= × + + +0 1 2 3( ) 3 38h

b aI f f f f f

( )−= × + + + +0 1 2 3 4( ) 7 32 12 32 790h

b aI f f f f f f

21( ) '( )

2hE b a f ξ= ± ⋅ − ⋅Rectânguloà esquerda, à direita = − × = − ×( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )h hI f b a f a I f b a f b

Nota: Algumas formulas de ordem superior exibem pesos negativos, facto considerado indesejável

Regra do trapézio corrigidaO polinómio interpolador pode interpolar também derivada(s) da função. O caso mais usualé considerar uma interpolação de Hermite utilizando para nós os extremos do intervalo [a,b]

Aproximando a função a integrar por um polinómio de Hermite, com informação da funçãoe da primeira derivada, considerando para nós de interpolação os pontos extremos dointervalo resulta,

5 (4)1( ) ( )

720hE b a f ξ= ⋅ − ⋅

A formula possui dois termos: um termo que tem os valores dafunção, e que é idêntico à regra do trapézio, e um termo que têm osvalores das derivadas. O termo das derivadas pode ser entendidocomo uma correcção ao termo que têm os valores da função. Poressa razão a regra designa-se por regra do trapézio corrigida

Regra do Trapézio corrigida (polinómio interpolador de grau 3)

p(x)[ ] [ ]2

( ) ( ) (( )

( ) ( )12

' 'hb aI f f a b a f a ff b b−+ ⋅ −−= ⋅ +

A expressão do erro correspondente é,

Regras de Integração

Mudança de variável para o intervalo [–h, +h]: ( )ξ

ξ ξ ξ+

= = ⋅ II( ) ( ) ( ) ( )

I f f x dx f x J d

Transformação linear:

ξ ξξ

− + −= + = =( ) ,2 2 2

b a b a dx b ax Jh h d ha b x-h +h ξ

Se o Jacobiano for constante: ( )ξ ξ+

−= = ( ) ( ) ( )2

b aI f f x dx f x dh

Se f(x) for um polinómio de grau ≤ n, i.e., f(x) = pn(x),então f(x(ξ )) também é um polinómio de grau ≤ n(na variável ξ ), i.e., f(x(ξ )) = pn(ξ )

( )ξ ξ+

−= = ( ) ( )2

b aI f p x dx p dh

Exemplo: ( ) ( )ξ ξ ξ ξ ξ+ +

− −

− −= = + = + + 5 1 1

5 1 5 1( ) 2 3 4 12 9

2 2I f x dx d d

Regras de Integração com pontos dispostos simetricamente

Num intervalo simétrico (em relação à origem) se a função for impar (anti-simétrica):

Se a função for impar e se a regra de integração tiver pontos dispostos simetricamente emrelação à origem e se os pesos dos pontos dispostos simetricamente forem iguais:

( )ξ ξ+

= =( ) 0

I f f d

ξ ξ ξ ξ= − + − + +1 1 2 2 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )hI f A f A f A f A f

[ ] [ ]ξ ξ ξ ξ= × − + + × − +1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )A f f A f f

= × + × =1 20 0 0A A

Ou seja, se a função for impar e se a regra tiver pesos iguais para os pontos dispostossimetricamente, então o valor obtido pela regra é igual ao valor exacto

-ξ1 ξ2

Integração Numérica – Grau de uma regraUma regra diz-se de grau n se integrar sem erro todos os polinómios de grau ≤n e existirpelo menos um polinómio de grau n+1 que não é integrado exactamente.

ξ= − ⋅ − ⋅31( ) ''( )

12hE b a f

Exemplos:

Da análise (da ordem da derivada) da expressão doerro, constata-se que funções de grau 1 (logo comsegunda derivada nula) são integradas sem erro e quefunções de grau 2 (logo com segunda derivada nãonula) são integradas com erro, logo a regra do trapéziotem grau 1

Regra do Trapézio (polinómio interpolador de grau 1)

Atendendo ao grau do polinómio interpolador, a regraintegra (pelo menos) funções lineares.

Integração Numérica – Grau de uma regra

Regra do ponto médio (polinómio interpolador de grau 0)

Contudo, da análise (da ordem da derivada) daexpressão do erro, constata-se que funções de grau 1(logo com segunda derivada nula) são integradas semerro e que funções de grau 2 (logo com segundaderivada não nula) são integradas com erro, logo aregra do ponto médio tem grau 1

Exemplos (cont.):

ξ= ⋅ − ⋅3 (2)1( ) ( )

24hE b a f a b

(a+b)/2

Atendendo ao grau do polinómio interpolador, a regraintegra (pelo menos) funções constantes.

Integração Numérica – Grau de uma regra

Regra de Simpson (polinómio interpolador de grau 2)

Contudo, da análise (da ordem da derivada) daexpressão do erro, constata-se que funções de grau 3(logo com quarta derivada nula) são integradas semerro e que funções de grau 4 (logo com quartaderivada não nula) são integradas com erro, logo aregra do ponto médio tem grau 3

Exemplos (cont.):

ξ= − ⋅ − ⋅5 (4)1( ) ( )

2880hE b a fa b

(a+b)/2

p(x)Atendendo ao grau do polinómio interpolador, a regraintegra (pelo menos) funções quadráticas.

Dedução alternativa da regra de Simpson

1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( )

I f f x d x A f h A f A f h I f

= ≈ ⋅ − + ⋅ + ⋅ =

Nota: Devido à linearidade do operador integral, se a regra integrarsem erro os monómios 1, x, x2, ..., xn, então integra sem erro todosos polinómios de grau ≤ n

Exercício: a) Deduzir o valor dos pesos Ai de modo à regra seguinte ter o maior grau possível.

Resolução:

Temos 3 incógnitas (A1, A2, A3)

→ necessitamos de 3 equações

2 20 1 2 0 1 2( ) ... 1 ...n n

n n np x dx a a x a x a x dx a dx a x dx a x dx a x dx= + + + + = + + + +

b) Indicar o grau da regra e a expressão do erro.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (0) ( )

I f f x d x

I f A f h A f A f h

= ⋅ − + ⋅ + ⋅

–h h

( ) 1f x = →

1 2 3 1 2 3

( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2

( ) ( ) (0) ( )

I f f x d x d x x h

I f A f h A f A f h A A A

− −

= = = = = ⋅ − + ⋅ + ⋅ = + +

1 2 3 2A A A h + + =

( )f x x= →

( ) ( ) ( ) ( ) 02

( ) ( ) (0) ( )( ) 0

xI f f x d x x d x

I f A f h A f A f hA h A A h

−− −

= = = == ⋅ − + ⋅ + ⋅

= ⋅ − + ⋅ + ⋅

1 3 1 30A h A h A A − ⋅ + ⋅ = =

2( )f x x= →

1 2 32 2 2

2( ) ( ) ( ) ( )3 3

( ) ( ) (0) ( )

xI f f x d x x d x h

I f A f h A f A f h

A h A A h

−− −

= = = == ⋅ − + ⋅ + ⋅= ⋅ − + ⋅ + ⋅

1 3 1 32 23 3

A h A h h A A h ⋅ + ⋅ = + =

Dedução alternativa da regra de SimpsonResulta o sistema de 3 equações lineares (a 3 incógnitas)

A A A h

Solução 1 3

= = = ×

Ou seja,

3( )f x x= →

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 04

2( ) 4 06

2 4 0 06

xI f f x d x x d x

hI f f h f f h

−− −

= = = =

= × − + × +

= × − + × + =

Grau da regra de Simpson

Pelo modo como foi construída, a regra tem (pelo menos) grau 2. Terá grau 3?

( ) ( ) ( )

1 2 3( ) ( ) (0) (

) 4 06

hhI f f h f

I f A f h A f A f h

= ⋅ − +

= − + × +

⋅ + ⋅

( ) 0 ( )hI f I f = = , pelo que tem grau 3

4( )f x x= →

( ) ( ) ( )

2( ) ( ) ( ) ( )5 5

2( ) 4 06

2 44 06 6

x hI f f x d x x d x

hI f f h f f h

h hh h

−− −

= = = =

= − + × +

= + × + =

5 52 4( ) ( )5 6 hh hI f I f = =≠

Terá grau 4?

pelo que não tem grau 4, ouseja a regra de Simpson temgrau 3

Qual a expressão do erro?

A aplicação da regra a um polinómio de grau 3 não origina erro, mas a um polinómio degrau 4 já origina. Então a expressão do erro será do tipo, E = C . f(4)(ξ)

Qual o valor de C?

Se f(x)=x4, então f(4)=24, pelo que E = 24C.5 5

52 4 4Por outro lado, ( ) ( )5 6 15hh hE I f I f h= − = − = −

5 54 1Então, 24 (2 )15 2880

C h C h= − = − 5 (4)1resultando, (2 ) ( )2880

E h f ξ= −

Tabela com algumas regras de Newton-Cotes

Ponto médio ( )= − × +( ) ( ) ( ) / 2hI f b a f a b 3 (2)1( ) ( )

24hE b a f ξ= ⋅ − ⋅

Trapézio

Simpson

3/8 (de Simpson)

3 (2)1( ) ( )

12hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅

5 (4)1( ) ( )

2880hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅

7 (6)1( ) ( )

1935360hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅

−= + × =, ( )i i ib aa a i f f a

na0 a1 a2 an•••

a bn+1 pontos

[ ] ( )− × + ×= −= +0 1( ) ( )2

b aI f fb a f a b ff

( )−= × + +0 1 2( ) 46h

b aI f f f f

5 (4)1( ) ( )

6480hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅( )−= × + + +0 1 2 3( ) 3 38h

b aI f f f f f

( )−= × + + + +0 1 2 3 4( ) 7 32 12 32 790h

b aI f f f f f f

21( ) '( )

2hE b a f ξ= ± ⋅ − ⋅Rectânguloà esquerda, à direita = − × = − ×( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )h hI f b a f a I f b a f b

Nota: Algumas formulas de ordem superior exibem pesos negativos, facto considerado indesejável

Integração Numérica – Regras de Gauss

nós deinterpola ão

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n i i h

I f f x d x p x d x A f x I f↑

= ≈ = ⋅ = Em Newton-Cotes os nós de interpolação estão definidos “à partida” (nós equidistantes), oque limita o grau de exactidão da regra de integração

Regras de integração

Regras de integração de Gauss - Nas regras de Gauss a posição dos nós de interpolação éescolhida “do melhor modo possível”

Dispomos de 2N parâmetros (os valores dos pesos Ai e a localização dos pontos xi)

Os pesos e a localização são parâmetros

a definir

( ) ( )i

I f A f x=

→ a regra terá grau 2N – 1

Regra de Gauss com 2 pontos

1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )hI f f x d x A f x A f x I f

= ≈ ⋅ + ⋅ =

Nota: Devido à linearidade do operador integral, se a regra integrar sem erro os monómios1, x, x2, ..., xn, então integra sem erro todos os polinómios de grau ≤ n

Exercício: a) Deduzir o valor dos pesos Ai e a localização das abcissas xi de modo à regraseguinte ter o maior grau possível.

Resolução:

Temos 4 incógnitas (A1, A2, x1, x2)

2 20 1 2 0 1 2( ) ... 1 ...n n

n n np x dx a a x a x a x dx a dx a x dx a x dx a x dx= + + + + = + + + +

b) Indicar o grau da regra.

1 1 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )h

I f f x d x

I f A f x A f x

= ⋅ + ⋅

( ) 1f x = →

1 1 2 2 1 2

( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2

( ) ( ) ( )h

I f f x d x d x x

I f A f x A f x A A

− −

= = = = = ⋅ + ⋅ = +

1 2 2A A + =

( )f x x= →

1 1 12

1 1 2 2 1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) 02

( ) ( ) ( )h

xI f f x d x x d x

I f A f x A f x A x A x

−− −

= = = = = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

1 1 2 2 0A x A x ⋅ + ⋅ =

2( )f x x= →

1 1 132

2 21 1 2 2 1 1 2 2

2( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )h

xI f f x d x x d x

−− −

= = = = = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

2 21 1 2 2

2( ) ( )

3A x A x ⋅ + ⋅ =

3( )f x x= →

1 1 143

3 31 1 2 2 1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) 04

( ) ( ) ( ) ( ) ( )h

xI f f x d x x d x

−− −

= = = = = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

3 31 1 2 2( ) ( ) 0A x A x ⋅ + ⋅ =

Resulta o sistema de 4 equações não lineares (a 4 incógnitas)

1 1 2 2

2 21 1 2 2

3 31 1 2 2

2( ) ( )

( ) ( ) 0

A x A x

⋅ + ⋅ =

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

Solução 1 2

− = =

Ou seja, = × − + × += ⋅ + ⋅

1 1 2 2( ) ( ) ( )1 1

( ) 1 13 3hh I fI f A f x A ff x f

4( )f x x= →

1 1 154

2( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 1 2( ) 1 1

9 9 93 3 3 3h

xI f f x d x x d x

I f f f

−− −

= = = =

= × − + × = − + = + =

2 2( ) ( )

5 9 hI f I f = =≠

Grau da regra de Gauss com 2 pontos

Pelo modo como foi construída, a regra tem (pelo menos) grau 3.

Terá grau 4?

pelo que não tem grau 4, ou seja a regrade Gauss com 2 pontos tem grau 3

→ as regras de Gauss com N pontos tem grau 2N – 1

Comparação da regra do trapézio com regra de GaussTrapézio (2 pontos)

[ ]( ) ( ) ( )2h

b aI f f a f b−= ⋅ +

Gauss com 2 pontos1 1 2 2( ) ( ) ( )hI f A f x A f x= ⋅ + ⋅

Para [ , ] [ 1, 1]

1 1( ) 1 1

I f f f

= − +

= × − + × +

Grau 1

Grau 3

Regras de Gauss-Legendre

Para Gauss-Legendre os pesos Ai e a localização dos pontos xi encontra-se tabelado para ointervalo [a,b]=[–1,+1].

( ) ( ) ( ) ( )

I f f x dx A f x I f=

= ≈ ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dx

I f f x dx f x J d F d A F I f

ξ ξ ξ ξ ξ ξ+ +

=− −

= = ⋅ = ≈ ⋅ =

Para utilizarmos a informação das tabelas é necessário efectuar uma mudança de variávelpara o intervalo [–1,+1],

Mudança de variável para o intervalo [–1,+1]

1 1( ) ,

2 2 2dx b ax a b Jd

ξ ξξξ

− + −= × + × = =a b x-1 +1 ξ

Regras de Gauss-Legendre no intervalo [-1,+1]

Nº de pontos, N

( ) ( )N

I f A F ξ=

O erro associado às formulas de Gauss-Legendre (com N pontos) é,

Abcissas ξi Pesos Ai

2 1 3± 1

3 / 58 95 9

η η+= × − × = ∈+ ×

42 1 (2 )

( !)( ) ( ) , , [ , ]

(2 1) ((2 )!)N N

h N NNE C b a f C a b

4(3 2 6 / 5) / 7

(3 2 6 / 5) / 7

± −

(18 30) 36

ξ ξ+

( ) ( )I f F d

Regras de Gauss – regra de Gauss-LobattoAs regras de Gauss são uma família de regras, à qual a regra de Gauss-Legendre pertence.

= ≈ ⋅ =escolher a melhor

localização poss v l1

( ) ( ) ( ) ( )

I f f x dx A f x I f

Existem outras regras de Gauss, pertencentes a esta família

Gauss-Legendre

Gauss-Legendre-Lobatto – regra de Gauss-Legendre que inclui os nós extremos do intervalo

⋅= ≈ × =+ ⋅ +escolher a melhor

lização possível

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

I f f x dx A f x IA a B f b ff

Os coeficientes A, B, Ai e a posição dos pontos xi são parâmetros a determinar

Nota: Para 2 pontos a regra de Gauss-Lobatto é idêntica à regra do trapézio e para 3 pontosé idêntica à regra de Simpson

[ ] [ ]ξ ξ+

⋅ − + + ⋅ − + += ≈ + =1

10 ( 1) ( 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )) hI f f x d x IA A f ff ff

Exercício: a) Deduzir o valor dos pesos A0 e A1 e a localização da abcissa ξ de modo à regraseguinte ter o maior grau possível.

Resolução:Temos 3 incógnitas (A0, A1, ξ )

b) Indicar o grau da regra.

[ ] [ ]ξ ξ

= ⋅ − + + ⋅ − +

( ) ( ) ( )

( ) ( 1) (1) ( ) ( )h

I f f x d x

I f A f f A f f

( ) 1f x = →[ ] [ ]ξ ξ

− −

= = = == ⋅ − + + ⋅ − + == ⋅ + + ⋅ + = +

0 1 0 1

( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2

( ) ( 1) (1) ( ) ( )

(1 1) (1 1) 2 2h

I f f x d x d x x

I f A f f A f f

A A A A

1 2 1A A + =

Regra de Gauss-Lobatto com 4 pontos

2( )f x x= →

( )f x x= →

[ ] [ ]

1 1 12

( ) ( ) ( ) ( ) 02

( ) ( 1) (1) ( ) ( )

( 1 1) ( ) 0h

xI f f x d x x d x

I f A f f A f f

ξ ξξ ξ

−− −

= = = == ⋅ − + + ⋅ − + == ⋅ − + + ⋅ − + =

[ ] [ ]

1 1 132

2 2 20 1 0 1

2( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( 1) (1) ( ) ( )

(1 1) (( ) ) 2 2h

xI f f x d x x d x

I f A f f A f f

A A A A

ξ ξ ξ

−− −

= = = == ⋅ − + + ⋅ − + == ⋅ + + ⋅ − + = + ⋅

A A ξ + ⋅ =

3( )f x x= →

[ ] [ ]

1 1 143

3 30 1

( ) ( ) ( ) ( ) 04

( ) ( 1) (1) ( ) ( )

( 1 1) ( ) 0h

xI f f x d x x d x

I f A f f A f f

−− −

= = = == ⋅ − + + ⋅ − + == ⋅ − + + ⋅ − + =

4( )f x x= →

[ ] [ ]

1 1 154

4 4 40 1 0 1

2( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( 1) (1) ( ) ( )

(1 1) (( ) ) 2 2h

xI f f x d x x d x

I f A f f A f f

A A A A

ξ ξ ξ

−− −

= = = == ⋅ − + + ⋅ − + == ⋅ + + ⋅ − + = + ⋅

A A ξ + ⋅ =

Resulta o sistema de 3 equações não lineares (a 3 incógnitas)

+ ⋅ = + ⋅ =

Solução

= = = ±

Ou seja,

[ ] [ ] [ ]0 1( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1)1 5 1 1

5 56 6hI f A f f A f f f f f fξ ξ = ⋅ − + + + ⋅ − + + = ⋅ − + + + ⋅ + −

5( )f x x= →

1 1 165

5/2 5/2

1 5 1 15 56 6

( ) ( ) ( ) ( ) 06

( ) ( 1) ( 1)

1 5 1 1( 1 1) ( ) 0 0 0

6 6 5 5

xI f f x d x x d x

I f f f f f

−− −

= = = =

= × − + + + × + =

= × − + + × − + =

0 0, ou seja, ( ) ( )hI f I f = =

Grau da regra de Gauss-Lobatto com 4 pontos

Pelo modo como foi construída, a regra tem (pelo menos) grau 4.

Terá grau 5?

pelo que a regra de Gauss-Lobattocom 4 pontos tem grau 5

6( )f x x= →

1 1 176

6/2 6/2 3

1 5 1 15 5

2( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( 1) ( 1)

1 5 1 1 1 5 2 1 1 26(1 1) ( ) 2

6 6 5 5 6 6 5 3 7

xI f f x d x x d x

I f I f f f f f

−− −

= = = =

= = × − + + + × + =

= × + + × + = × + × = + =

2 26( ) ( )

7 75 hI f I f = =≠

Terá grau 6?

pelo que não tem grau 6, ou seja a regra deGauss-Lobatto com 4 pontos tem grau 5

→ as regras de Gauss-Lobatto com N pontos tem grau 2N – 3

O erro associado às formulas de Gauss-Lobatto (com N pontos) é,3 4

2 1 (2 2)3

( 1) (( 2)!)( ) ( ) , , [ , ]

(2 1) ((2 2)!)N N

h N NN N NE C b a f C a b

N Nη η− − − ⋅ − ⋅ −= × − × = ∈

− × −

Regras compostasUm modo de reduzir o erro cometido no cálculo aproximado do integral é subdividir ointervalo [a,b] em N subintervalos e aplicar as regras “básicas” anteriormente estudadas.

Em termos genéricos a regra do trapézio compostapode ser apresentado como

Ex: Regra do trapézio composta com 3 subintervalos iguais (N=3)

[ ] [ ] [ ]≈ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +1 1 20 32( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2h h hf a f f f f fa a aa a

1 1( )( ) )( ()2 2

h f a f bf aI f h

a1 a2 a3IIb

h=(b – a)/Nh=

= = + + 31 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a ba ab

a a a a a

I f f x dx f x dx f x dx f x dx

= + = + +

1 2( ) ( )1 1( ) (

2 hf ah If bf a a ff

= + + +

0 3II II

1 21 1( ) ( ) ( ) ( )2 2

af f aah f a f

Regras compostasPara determinarmos o erro cometido podemos somar a contribuição do erro cometido emcada um dos subintervalos.

Resumindo, o erro da regra do rectângulo composta é

ξ ξ ξ= + + = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅0 1 1 2 2 3

3 3 3[ , ] [ , ] [ , ] [ , ] 1 0 1 2 1 2 3 2 3

1 1 1( ) ''( ) ( ) ''( ) ( ) ''( )

12 12 12a b a a a a a aE E E E a a f a a f a a f

ξ ξ−= − ⋅ ⋅ ∈2( ) ''( ) , [ , ]12h

b aE f h a b

a1 a2 a3IIb

h = − − = ⋅

( ) /h b a Nb a N h

ξ ξ ξ= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅3 3 31 2 3

1 1 1''( ) ''( ) ''( )

12 12 12h f h f h f

= − ⋅ ⋅3

1''( )

ξ−= − ⋅ ⋅2( )''( )

12b a h f

ξ= − ⋅ ⋅ ⋅31''( )

12h N f

Tabela com algumas regras compostas

Ponto médio composta −

= × + 1

( ) ( 2)N

I f h f a h ξ−= ⋅ ⋅ 2''( )24h

b aE f h

Trapézio composta

Simpson composta

Trapéziocorrigidacomposta

ξ−= − ⋅ ⋅ 2''( )12h

b aE f h

ξ−= − ⋅ ⋅(4) 4( )2880hb aE f h

−= = + ×, ib ah a a i h

Na0 a1 a2 an•••

a bN intervalos

= × + +

1 1( ) ( ) ( ) ( )

I f h f a f a f b

= × + + × + × +

( ) ( ) ( ) 2 ( ) 4 ( 2)6

hI f f a f b f a f a h

ξ−= ± ⋅ ⋅'( )2h

b aE f hRectângulo

à esquerda, à direita composta

= × = × 1

( ) ( ) , ( ) ( )N N

h i h i

I f h f a I f h f a

[ ]−

= × + + + −

1 1( ) ( ) ( ) ( ) '( ) '( )

2 2 12

hI f h f a f a f b f a f b ξ−= ⋅ ⋅(4) 4( )720hb aE f h

Integração com splines – integração com splines cúbicos• Um modo de obter regras de integração semelhante às compostas é utilizando splines.

• A utilização de splines de grau zero conduz às regras do rectângulo compostas, enquantoa integração com spline de grau 1 conduz à regra do trapézio composta.

• A utilização de splines de grau superior conduz a regras diferentes das regras compostasanteriormente estudadas.

Integração com splines cúbicos

No troço i o spline cúbico é dado por

( ) ( ) ( ) ( ) ( )i

xb b N

ia a x

I f f x dx S x dx S x dx I S

= ≈ = =

( ) ( )( )

i ii i i

i i i ii i i i

x x x xS x M Mh h

h x x h x xy M y Mh h

−−

−− −

− −= + +

− −+ − + −

x1 x2 x3IIb

hi = xi – xi-1hi

S3(x)S2(x)

Integração com splines – integração com splines cúbicosPrimitivando

3 3 2 21 1

1 1 1( ) ( )

( )6 6 6 6

i i i i i ii i i i i i i

i i i ix x

x x x x h x x h x xS x dx M M y M y M dxh h h h

− −

− −− − −

− − − −= + + − + −

4 4 2 2 2 21 1

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

24 24 6 2 6 2

i i i i i ii i i i i i

i i i i x

x x x x h x x h x xM M y M y Mh h h h

− −− − −

− − − −= + − + −

− −

3 3 2 2

1 1 124 24 6 2 6 2i i i i i i

i i i i i ih h h h h hM M y M y M− − −

= + + − + −

( ) ( )3

1 12 24i i

i i i ih hy y M M− −= + +−

Somando a contribuição de todos os troços resulta

( ) ( )3

( ) ( )2 24

i ii i i i

h hI S S x dx y y M M− −

= = + +

Nota: a expressão tem umaparte idêntica à regra dotrapézio composta mais umtermo correctivo com base nos“momentos” (2as derivadas)

Integração adaptativa

Há 2 variantes da integração adaptativa:

• não iterativa – o número de vezes que se efectuam subdivisões é de apenas uma

• iterativa – o número de vezes que se efectuam subdivisões não é definida à partida (é resultado da verificação do critério do erro)

• Considerar uma subdivisão inicial do intervalo [a,b]

• Distribuir a tolerância disponível pelos troços

• Tendo em conta a expressão teórica do erro,estimar para cada troço a correspondente derivada

• Estimar o erro cometido em cada troço

• No caso do erro exceder a tolerância atribuída aesse troço, então subdividir devidamente o troço

ξ ξ= ⋅ ⋅ ≈( ) )( ) (( ) ( ),pk k ki i i if DfE C h

O método tenderá a colocar mais subintervalos onde a correspondente derivada for maior

aIIa0 a1 a2

ε1 ε2 ε3

ε ε=−

≈ ⋅ ⋅( )ki

piE DC h

Integração adaptativa – método que procura que o resultado obtido tenha um erro inferior auma tolerância ε especificada pelo utilizador

Integração adaptativa não iterativaExemplo: Utilizando a regra do trapézio composta

Para o troço [ai-1, ai] de dimensão hi

31 ''( )12h i iE f hξ= − ⋅ ⋅

Na integração adaptativa não iterativa, geralmente, aderivada é aproximada por uma diferença finita apropriada

( )1 1

( ) 2 ( 2) ( )''( )2

i i ii i

f a f a h f af Dh

ξ − −− ⋅ + +≈ =I I

A estimativa de erro para o troço i é obtida através de

3112i i iE D h= − ⋅ ⋅I I

a1 a2 a3IIb

ai-1 ai-1+h/2 ai

( ) ( ) ( )2

ih i i

hI f f a f a−

Integração adaptativa não iterativaSe a estimativa de erro |Ei| for superior à tolerância εi que está disponível para esse troço,então esse troço é subdividido em mi subintervalos de modo ao erro nesse troço passar aser inferior à tolerância disponível.

Erro para o troço i após a subdivisão em mi subintervalos

3112i i i iE m D h = × − ⋅ ⋅

I I ai-1 ai

mi subintervalos

i i ih h m=ih

i i ii

hE m Dm

= × − ⋅ ⋅

I I 32

i i ii

E D hm

= × − ⋅ ⋅

Pretendemos que, após a subdivisão do troço i, o erro nesse troço seja inferior à tolerânciadisponível para esse troço,

1i i i i

ε ε< × < 2 ii

Recuperando a expressão do erro para o intervalo i resulta 3112i i i im D h ε> ⋅ ⋅I I

expressão onde se admitiu que aderivada em cada subintervalo éaproximada por Di’’

Integração adaptativa não iterativaA expressão anterior pode ser reescrita em termos da tolerância “total” ε

εεε

= ⋅ ⋅− − > = ⋅ ⋅> ⋅ ⋅ −

i i ii

i i i i

hD hb a b am D hh

m D h b a

− > ⋅ ×

12i i ib am D hI I

m1 subintervalos

m2 subintervalos

m3 subintervalos

a0 a1 a2 a3

aIIa0 a1 a2

bIIa3troço 1 troço 2 troço 3Subdivisão inicial

Subdivisão final

calcular I1 calcular I2 calcular I3

Ih=I1+I2+I3

Integração adaptativa iterativaComparativamente ao método não iterativo, o algoritmo iterativo descrito em seguidapossui as seguintes diferenças:

• se a estimativa do erro for superior à tolerânciapermitida a esse troço, então o troço é divididoao meio

• o número de vezes que se efectuam subdivisõesnão é definido à partida (é resultado daverificação do critério do erro)

• a estimativa de erro é actualizada para os novostroços

• a estimativa do erro não recorre a diferençasfinitas – em cada troço o erro é estimadorecorrendo a 2 aproximações do integral paraesse troço

ai bitroço em avaliação

subdivisão em 2 troços

2 1( )iE I Iα≈ ⋅ −

2 1( )E I Iα≈ ⋅ −

subdivisão em 2 troços

troço em avaliação

Integração adaptativa iterativaExemplo: Calcular I(f) utilizando a regra do trapézioadaptativa iterativa com um tolerância ε = 10–2

Regra do trapézio – dedução da estimativa do erro

( ) 1''( )12 1

b aE f ξ−= − ⋅ ⋅

( ) 1''( )12 2

b aE f ξ−= − ⋅ ⋅

1 1'' ''( )

( ) '' 112

b aE I I Dξ≈

− = − ≈ − ⋅ ⋅

( ) 1''( ) ''( )

12 12h hb ahN

b a b aE f h E fN

ξ ξ−=

− −= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅a b

N subintervalos

1 subintervalo

2 subintervalos

2 2'' ''( )

( ) 1''12 4

b aE I I Dξ≈

− = − ≈ − ⋅ ⋅

2 1( ) 1

(*) (**) '' 112 4

b aI I D− − − ≈ − ⋅ ⋅ −

2 13''

( ) 1112 4

I IDb a

− ≈

− − ⋅ −

Para 1 subintervalo, N=1

Para 2 subintervalos, N=2

Subtraindo as 2 expressões

exp(5 )( ) ( ) , ( )

90xI f f x dx f x= =

Integração adaptativa iterativa

11 1( ) ( )2 2i iI h f a f b = +

Substituindo a aproximação da derivada na expressão do erro para 2 troços

1 subintervalo

2 subintervalos

21 1( ) ( ) ( )

2 2 2i i ihI f a f c f b = + +

( ) 3( )

( )121

112 43 4

( ) 1 4

I Ib a

b ab a

− ≈ −− ⋅ − ≈ ⋅ ⋅ ⋅− ≈ − ⋅ ⋅

−−−−

( )2 2 113

E I I ≈ ⋅ −

Resumindo, para um troço de dimensão h, o valor da regrado trapézio com 1 e com 2 subintervalos é

( )2 2 113

E I I≈ ⋅ −e o erro (para 2 subintervalos) pode ser estimado por

Opção: divisão inicial em 2 troços ii

ε ε=−

tolerância ε = 1x10–2

1/20 tolerância εi = 5x10–3

Integração adaptativa iterativaTroço [0, 1/2] , h=1/2 , tolerância εi = 5x10–3

exp(5 )( ) ( ) , ( )

1 subintervalo

0 1/21/4

2 subintervalos

11 1 1(0) (1 2) 0.0366182 2 2

I f f = + =

21 1 1(0) (1 4) (1 2) 0.0280044 2 2

I f f f = + + =

( ) 32 2 1 2

10.002871 3 10

3E I I E −= ⋅ − = − ×Estimativa de erro

3 32 3 10 5 10 iE ε− −= × < × = OK

Integração adaptativa iterativaTroço [1/2, 1] , h=1/2 , tolerância εi = 5x10–3

exp(5 )( ) ( ) , ( )

1 subintervalo

1/2 13/4

2 subintervalos

11 1 1(1 2) (1) 0.4460992 2 2

I f f = + =

21 1 1

(1 2) (3 4) (1) 0.3411644 2 2

I f f f = + + =

( ) 32 2 1 2

10.034978 35 10

ε− −= × > × =

3 32 35 10 5 10 iE

dividir o troço [1 2 , 1] em dois troços

tolerância ε = 1x10–2

13/4 εi = 2.5x10–3

3/41/2 εi = 2.5x10–3

erro |E2|= 3x10–311/2 tolerância εi = 5x10–3

erro |E2|= 35x10–3

ε ε=−

Integração adaptativa iterativaTroço [1/2, 3/4] , h=1/4 , tolerância εi = 2.5x10–3

1/2 3/4

1 subintervalo

1/2 3/45/8

2 subintervalos

11 1 1

(1 2) (3 4) 0.0759774 2 2

I f f = + =

21 1 1

(1 2) (5 8) (3 4) 0.0696008 2 2

I f f f = + + =

( ) 32 2 1 2

10.002126 2.1 10

3 32 2.1 10 2.5 10 iE ε− −= × < × = OK

Integração adaptativa iterativaTroço [3/4, 1] , h=1/4 , tolerância εi = 2.5x10–3

1 subintervalo

3/4 17/8

2 subintervalos

11 1 1

(3 4) (1) 0.2651864 2 2

I f f = + =

21 1 1

(3 4) (7 8) (1) 0.2429268 2 2

I f f f = + + =

( ) 32 2 1 2

10.007420 7.4 10

ε− −= × > × =

3 32 7.4 10 2.5 10 iE

dividir o troço [3 4 , 1] em dois troços

0 1tolerância ε = 1x10–2

1/20 εi = 5x10–3

|E2|= 3x10–311/2 εi = 5x10–3

|E2|= 35x10–3

3/41/2 εi = 2.5x10–3

|E2|= 2.3x10–313/4 εi = 2.5x10–3

|E2|= 7.4x10–3

17/8 εi = 1.25x10–3

7/83/4 εi = 1.25x10–3

Integração adaptativa iterativaTroço [3/4, 7/8] , h=1/8 , tolerância εi = 1.25x10–3

3/4 7/8

1 subintervalo

3/4 7/813/16

2 subintervalos

11 1 1

(3 4) (7 8) 0.0846958 2 2

I f f = + =

21 1 1

(3 4) (13 16) (7 8) 0.08270816 2 2

I f f f = + + =

( ) 32 2 1 2

10.000662 0.7 10

3E I I E −= ⋅ − = − = ×Estimativa de erro

3 32 0.7 10 1.25 10 iE ε− −= × < × = OK

Integração adaptativa iterativaTroço [7/8, 1] , h=1/8 , tolerância εi = 1.25x10–3

1 subintervalo

7/8 115/16

2 subintervalos

11 1 1

(7 8) (1) 0.1582318 2 2

I f f = + =

21 1 1

(7 8) (15 16) (1) 0.15451916 2 2

I f f f = + + =

( ) 32 2 1 2

10.001237 1.24 10

3 32 1.24 10 1.25 10 iE ε− −= × < × = OK

0 1tolerância ε = 1x10–2

1/20 εi = 5x10–3

|E2|= 3x10–311/2 εi = 5x10–3

|E2|= 35x10–3

3/41/2 εi = 2.5x10–3

|E2|= 2.3x10–313/4 εi = 2.5x10–3

|E2|= 7.4x10–3

17/8 εi = 1.25x10–37/83/4 εi = 1.25x10–3

|E2|= 0.7x10–3 |E2|= 1.24x10–3

0 1I[0, 1]= ?

1/20I[0, 1/2]= 0.028004

3/41/2

I[1/2, 3/4]= 0.069600 13/4

I[7/8, 1]= 0.154519

7/83/4

I[3/4, 7/8]= 0.082708

Valor obtido para o integral

→ = 0.334832hI

0 1/2 13/4 7/8

Valor exacto ( )1

5 15 5

e 1 1( ) e e 1 0.327585

90 5 90 450

xxI f dx= = = − =

×Erro efectivo

[0, 1] [0, 1 2] [1 2, 3 4] [3 4, 7 8] [7 8, 1]

0.028004 0.069600 0.082708 0.154519 0.334832

I I I I I= + + + =

= + + + =

efectivo exacto 0.327585 0.334832 0.007247aproximadoE I I= − = − = −

2 2efectivo 0.7 10 1 10 (tolerância)E ε− −× < × =

Valor obtido para o integral

Método de Romberg

[ ]1 2

1 1( ) ( ) ( ) ( ) '( ) '( )2 2 12

( )720

hI f h f a f a f b f a f bI I E

b aE I I f hξ

= × + + + − → = +− = − = ⋅ ⋅

Para a regra do trapézio corrigida composta

[ ]2 4

1 2(4) 4

1 1( ) ( ) ( ) '( ) '( ) ( )2 2 12 720

C h hT

h b aI I E h f a f a f b f a f b f hξ−

− = + = ⋅ + + + − + ⋅ ⋅

2 2Se ( ) é possível demonstrar quenf x C +∈

regrado

2 4 6 2 2 2,0 1

( )n nh nI T C h C h C h C h h +

= + + + + + +… O

regrado

apézio

1ou seja, ( )hI T C h h↑

= + +O

Método de Romberg0Considere-se uma sequência = e aplique-se a regra do trapézio

, 14 ( ) (*)kk k kkh I T C h C h h+→ += + O

1 1,0 1 2 ( )2 2 2

k k kk k k

h h hh I T C C h+ + = → = + + +

Eliminando o termo h2 do erro da aproximação

21,0 1

1 ( )4

**1 (4

)k kk k C hI T C h h+ = + ++ O

1,0 ,4 6

204 (**) (*)4

4 1 1 )4 (k k k kI I T h hT C+ + − +

− = − O

1,0 4 6,2

0 1 ( )4

T TC h hI + −

1,0 ,0,1

4 1k k

T TT + −

Ou seja, a aproximação do integral com erro de ordem h4 é

4 62,1

1 ( )4 kk kI T C h h− += O

Método de Romberg

2 1,0 1 2 ( )4 4 4

k k kk k k

h h hh I T C C h+ + = → = + + +

21,0 1

1 ( )4

)k kk k C hT C h hI + + = ++ O

2,0 1,04 6

14 (**) (* 1) 44 4

4 ( )k k k kI h hI CT T+ + + − +

− =− − O

2,0 63

1 ( )41

T TI C h h

+ + − +−

De modo análogo ao anterior, considerando agora hk+1 e hk+2

1 1,0 1 2 ( )2 2 2

k k kk k k

h h hh I T C C h+ + = → = + + +

22,0 12

1 ( )1 **4

)k kk k C hI T C h h+ = + ++ O

2,0 1,01,1

4 1k k

T TT + +

−1,14 6

1 ( )4k k kC hI T h+ −= +O

Método de Romberg

2 2 61,1 ,

2144 (**) ) (4 )(* kk kI I T T h+ − =− +− O

22,0 1, 602

T ThI + +−

Combinando as expressões de Tk,1 e de Tk+1,1, com o intuito de eliminar o termo h4,

21,1 ,1

4 1k k

T TT + −

=−,2

6( )k kI T h+= O

( *)( *)k k kI T C h h+= +− O

, 2 ((14

) *)k k kI T C h h+= − O

Método de Romberg

O procedimento efectuado pode ser generalizado, de modo a eliminar-se os sucessivostermos de h2m, conseguindo-se assim aproximações com erro de ordem h2m+2.

1, 1 , 1,

mk m k m

T TT + − −−

2 2( )mkk mI T h ++= O

A formula de recorrência para Tk,m surge por vezes escrita na forma

1, 1 , 1, 1, 1 4 1

k m k mk m k m m

T TT T + − −

−= +

O método de Romberg é normalmente aplicado com a regra do trapézio, mas também podeser aplicado com outras regras tais como a regra do ponto médio ou de Simpson (esteúltimo caso requereria uma redefinição da formula de recorrência)

A formula de recorrência poderia ter sido deduzida através da formula de Aitken-Neville(tal como se efectuou para o método de Richardson)

Método de RombergFormula de recorrência

1, 1 , 1,

mk m k m

T TT + − −−

Tabela

Erro de ordem h2

Regra dos trapézios

Erro deordem h4

Erro deordem h6

Erro deordem h8

Formula de recorrência

Método de Romberg

Ex: Aplicar método de Romberg (utilizando a regra do trapézio) ao cálculo do integral2

xI e dx−=

Regra dos trapézios

Opção: iniciar processo com 2 subintervalos Nota: resolução em precisão simples

,01 1 1, , ( ) ( ) ( )

2 2 2 2k

hh h T h f a f a f b−

= = = × + +

0 0,01 1 1 1 10, 2, , (0) (1) 0.73137002 2 2 2 2

k N h T f f f = = = = × + + =

1 1,01 1 1 1 1 3 11, 4, , (0) (1) 0.74298384 4 2 4 2 4 2

k N h T f f f f f = = = = × + + + + =

2,0212, 8, , 0.74586538

k N h T= = = = =…

3 3,013, 16, , 0.7465842

16k N h T= = = = =…

0 11/2

0 11/2 3/41/4

Método de Romberg

Formula de recorrência 1, 1 , 1,

mk m k m

T TT + − −−

Tabela

Para m=1

11,0 ,0

44 1k k

T TT + −

1,0 0,00,1

4 4 0.7429838 0.7313700 0.74685514 1 4 1T T

T× − × −= = =

− −

2,0 1,01,1

4 4 0.7458653 0.7429838 0.74682584 1 4 1T T

T× − × −= = =

− −

3,0 2,02,1

40.7468238

4 1T T

T× −

= = =−

0.7468551

1 2 0.7313700

1 4 0.7429838

1 8 0.7

468258

0.7468238458653

1 16 0.7465842

Método de Romberg

mk m k m

T TT + − −−

Tabela

Para m=2

21,1 ,1

44 1k k

T TT + −

1,1 0,10,2

16 16 0.7468258 0.7468551 0.746823816 1 16 1T T

T× − × −= = =

− −

2,1 1,11,2

16 16 0.7468238 0.7468258 0.746823716 1 16 1T T

T× − × −= = =

− −

0,10 0,0

0.7468551

1 2 0.7313 0.7468238

1 4 0.7429838

1 8 0.7458653

1 16 0.7465842

468258

0.7468

Método de Romberg

mk m k m

T TT + − −−

Tabela

Para m=3

31,1 ,1

44 1k k

T TT + −

1,2 0,20,3

64 64 0.7468237 0.7468238 0.746823764 1 64 1T T

T× − × −= = =

− −

0,2 0,3

1 2 0.7313700

1 4 0.74

0.7468551

0.746825

0.7468238

0.74682378

0.746823

1 8 0.7458653

1 16 0.746584

0.746 7

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