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Incontro laboratoriale 5
Verso la generalizzazione
Attività con la Matematòca e la bilancia
Giancarlo NavarraGREM, Università di Modena e Reggio Emilia
Modena - 17 mqrzo 2015
Numerosi paesi hanno inserito l’early algebra nei loro curricoli nei quali
danno spazio in aritmetica agli aspetti relazionali del numero, alla simmetria dell’uguaglianza, al riconoscimento di rappresentazioni numeriche equivalenti, alla valorizzazione delle proprietà aritmetiche per il confronto tra numeri, allo studio di relazioni in contesti realistici.
Rivisitazione dell’insegnamento dell’algebra
MEMO Modena - 17 marzo 2015 2
NCTM (National Council of Teachers of Mathematics, USA)Fig. 3.1. The Content Standards should receive different emphases across the
grade bands.
MEMO Modena - 17 marzo 2015 3
Verso la generalizzazione
Il gioco della Matematòca
MEMO Modena - 17 marzo 2015 4
Le tessere ‘aritmetiche’
MEMO Modena - 17 marzo 2015 5
Togli 1al punteggio
del dado
Moltiplicaper 4
il punteggiodel dado
Raddoppiail punteggio
del dadoe togli 2
Aumentadi 2
il punteggiodel dado
Fai due volteil punteggio
del dado
Sottrai 0al punteggio
del dado
Il campo di gioco
MEMO Modena - 17 marzo 2015 6
Start
MEMO Modena - 17 marzo 2015 7
d-1
d×4
d×2-2 d+2
d×2 d-0
Le tessere algebriche
Dal linguaggio naturale a quello algebrico
MEMO Modena - 17 marzo 2015 8
d-1 d×2-2 d+2
Togli 1al punteggio
del dado
Raddoppiail punteggio
del dadoe togli 2
Aumentadi 2
il punteggiodel dado
Il campo di gioco
MEMO Modena - 17 marzo 2015 9
Start
MEMO Modena - 17 marzo 2015 10
(d-0)x4dx2+3 dx0+5
Sottrai 0al punteggio
del dadoe moltiplica
per 4
Raddoppiail punteggio
del dadoe aggiungi 3
Moltiplicaper 0
il punteggiodel dado
e aggiungi 5
Dal linguaggio algebrico a quello naturale
Parafrasi
MEMO Modena - 17 marzo 2015 11
Raddoppiail punteggio del dado
Moltiplica per 2il punteggio del dado
Fai due volteil punteggio del dado
d×2
=
=
(Brioshi)
Doppio del
Punteggiodel dado
MEMO Modena - 17 marzo 2015 12
Aggiungi 2al punteggio
del dadoe poi togli 1
Rita ha lanciato il dado senza mostrare il punteggio.I suoi compagni vedono che sposta il segnalino di 5 caselle.
Come si può rappresentare in linguaggio matematico questa situazione in modo che Brioshi capisca quello che è successo?
Argomenta la risposta.
Situazione problematica 1
MEMO Modena - 17 marzo 2015 13
d+d d×2d-d2×d 0×d
Secondo te ci sono delle tessere dove un giocatore farebbe lo stesso numero di passi?
1) Argomenta la risposta.
2) Prepara il messaggio che comunichi a Brioshi la tua risposta.
Situazione problematica 2
MEMO Modena - 17 marzo 2015 14
d-1 d×0
La classe di Brioshi sta giocando a Matematòca.Sappiamo che due squadre hanno i segnalini su queste tessere:
Al loro turno lanciano il dado. Poi ci mandano il seguente messaggio:
d-1=d×0
È possibile capire quale è stato il punteggio del dado? Argomenta la risposta.
Situazione problematica 3
MEMO Modena - 17 marzo 2015 15
2d d+4
Su quale fra queste due tessere vorresti che fosse il tuo segnalino?
Argomenta la risposta.
Situazione problematica 4
d 2d d+4
MEMO Modena - 17 marzo 2015 16
1
2
3
4
5
6
1×2
2×2
3×2
4×2
5×2
6×2
1+4
2+4
3+4
4+4
5+4
6+4
Situazione problematica 4
d 2d d+4
1 1×2 1+4
2 2×2 2+4
3 3×2 3+4
4 4×2 4+4
5 5×2 5+4
6 6×2 6+4
MEMO Modena - 17 marzo 2015 17
2
4
6
8
10
12
5
6
7
8
9
10
Situazione problematica 4
d d×2 d+4
1 1×2 2 1+4 5
2 2×2 4 2+4 6
3 3×2 6 3+4 7
4 4×2 8 4+4 8
5 5×2 10 5+4 9
6 6×2 12 6+4 10
MEMO Modena - 17 marzo 2015 18
1) Se d<4 conviene la tessera ‘d+4’
2) Se d=4 è indifferente
3) se d>4 conviene la tessera ‘2d’
Situazione problematica 4
Curr
icolo
di m
ate
mati
caSeconda secondaria primo grado
Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3 19
4) Alfio è sulla tessera arancione e Maria sulla blu. Al loro turno lanciano il dado e ottengono entrambi 5. Con stupore dei compagni percorrono anche lo stesso numero di caselle!I compagni vorrebbero verificare il percorso di Maria ma una macchia di gelato è caduta sulla tessera.Racconta a Brioshi l’episodio in modo che possa verificare la correttezza del percorso di Maria.
Sottrai 1 alpunteggiodel dado
e moltiplicaper 4
Raddoppia ilpunteggiodel dado
e aggiung i
Verso la generalizzazione
Il gioco della Matematòca
Unità 3: Verso il numero sconociuto
www.progettoaral.wordpress.comCurricolo nella prospettiva
early algebra
MEMO Modena - 17 marzo 2015 20
Verso la generalizzazione
Dalla bilancia a piattiall’equazione di primo grado
MEMO Modena - 17 marzo 2015 21
Malara N.A. & alii, Percorsi di insegnamento in chiave prealgebrica nella scuola dell’obbligo, Pitagora Editrice Bologna, 2004Navarra G., Giacomin A., Unità 6, Dalla bilancia a piatti all’equazione, Pitagora Editrice Bologna, 2003
MEMO Modena - 17 marzo 2015 22
La bilancia artigianale e il principio fondamentale
Fase 1: manipolazione
MEMO Modena - 17 marzo 2015 23
La bilancia artigianale e il principio fondamentale
Fase 1: manipolazione
MEMO Modena - 17 marzo 2015 24
Situazione problematica 1
sale 200g
Fase 1: manipolazione
MEMO Modena - 17 marzo 2015 25
Situazione problematica 2
sale 50g 120g sale 50g 70g
50g
120g
Primo PrincipioSe si tolgono pesi uguali dai piatti di una bilancia in equilibrio, essa rimane in equilibrio.
sale 50g 70g
50g
MEMO Modena - 17 marzo 2015 26
sale
50g 120g
Situazione problematica 2
MEMO Modena - 17 marzo 2015 27
Situazione problematica 2
sale
50g 120g
MEMO Modena - 17 marzo 2015 28
Situazione problematica 2
sale
50g 120g
MEMO Modena - 17 marzo 2015 29
Situazione problematica 2
sale
50g 70g
50g
sale
50g 120g
MEMO Modena - 17 marzo 2015 30
Situazione problematica 3
sale 100g
Secondo PrincipioSe si dividono per lo stesso numero i contenuti dei piatti di una bilancia in equilibrio, essa rimane in equilibrio.
sale sale 200g:2
MEMO Modena - 17 marzo 2015 31
Situazione problematica 4
sale
150g
sale
sale
sale
sale150g
sale
sale
salesale
sale
50gsale Si applicano prima il
primo e poi il secondo principio della bilancia.
MEMO Modena - 17 marzo 2015 32
Situazione problematica 5
270g
salesalesale
sale
sale
sale
sale60g270g
salesale
sale60g
salesale
sale
sale
sale60g270g
60g
210gsale
sale
60g
210g60g
sale
sale sale
MEMO Modena - 17 marzo 2015 33
La rappresentazione della bilanciaFase 2: rappresentazione
MEMO Modena - 17 marzo 2015 34
La rappresentazione della bilanciaFase 2: rappresentazione
Fase 3: rappresentazione algebrica
MEMO Modena - 17 marzo 2015 35
Situazione problematica 2: l’equazione
sale 50g 120g sale 50g 70g
50g
120g
s + 50 = 120s + 50 = 50 + 70s + 50 = 50 + 70s = 70
sale 50g 70g
50g
MEMO Modena - 17 marzo 2015 36
Situazione problematica 2: l’equazione
sale 50g 120g sale 50g 70g
50g
120g
s + 50 = 120s + 50 - 50 = 120 - 50s + 50 - 50 = 120 - 50s = 70
sale 50g 70g
50g
MEMO Modena - 17 marzo 2015 37
Situazione problematica 3: l’equazione
sale 100g
s + s =200(s + s) : 2 = 200 : 2 s = 100
200gsale sale
s × 2 = 200s × 2 : 2 = 200 : 2 s = 100
MEMO Modena - 17 marzo 2015 38
Situazione problematica 4: l’equazione
sale
150g
sale
sale
sale
sale150g
sale
sale
salesale
sale
50gsale
150 + a = a + a + a + a150 + a = a + a + a + a150 = a + a + a150 : 3 = (a + a + a) : 3 50 = a
MEMO Modena - 17 marzo 2015 39
Situazione problematica 4: l’equazione
sale
150g
sale
sale
sale
sale150g
sale
sale
salesale
sale
50gsale
150 + a = a + a + a + a150 = 3a150 : 3 = 3a : 3 50 = a
MEMO Modena - 17 marzo 2015 40
Situazione problematica 5: l’equazione
sale
270g
sale
sale
sale
salesale
sale60g270g
salesale
sale60g
salesale
sale
sale
sale60g270g
60g
210g
sale
sale 270+b+b=b+b+b+b+b+60270+b+b=b+b+b+b+b+60270 = b + b + b + 6060 + 210 = b + b + b + 60210 = 3b210 : 3 = 3b : 370 = b
Curr
icolo
di m
ate
mati
ca
Dalla quarta primaria alla prima secondaria
NB: oggetti con lo stesso nome hanno peso uguale.
Su un piatto di una bilancia in equilibrio ci sono sei bottiglie di latte, un peso di 0,1 kg e un altro di 0,5 kg.Sull’altro ci sono tre pesi, rispettivamente di 1,3, 0,2 e 0,3 chilogrammi e cinque bottiglie di latte.
Rappresenta la situazione in modo che Brioshi possa trovare il peso di una bottiglia di latte.
Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3 41
Fase 4: problemi verbali
MEMO Modena - 17 marzo 2015 42
Curricolo, Prove di costruzione/verifica delle competenze C3
Curr
icolo
di m
ate
mati
ca
Dalla quarta primaria alla prima secondaria1. Alvise appoggia sul
tavolo, alto 70 centimetri, uno sgabello alto 30 centimetri e ci sale sopra.In questo modo è alto come suo padre che ha una statura di 1,80 m.
Rappresenta la situazione in linguaggio matematico in modo che si possa trovare l’altezza di Alvise.
Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3 43
=
Fase 4: problemi verbali con supporto iconico
MEMO Modena - 17 marzo 2015 44
MEMO Modena - 17 marzo 2015 45
Fase 4: problemi verbali con supporto iconico
MEMO Modena - 17 marzo 2015 46
Curricolo, Prove di costruzione/verifica delle competenze C5
MEMO Modena - 17 marzo 2015 47
Fase 4: problemi verbali senza supporto iconico
MEMO Modena - 17 marzo 2015 48
Date
Incontro Malara e/o Navarra Giorno Data
M 0 mar 17.09
M 1 mer 15.10
M 2 mar 11.11
M 3 mar 09.12
M 4 mar 20.01
M 5 mer 25.02
M 6 mar 17.03
M concl mer 29.04
MEMO Modena - 17 marzo 2015 49
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