View
772
Download
25
Category
Preview:
DESCRIPTION
nnnnnnnnnnnnnnnnnnn
Citation preview
I. I. BarthaBartha VV. . JavgureanuJavgureanu N. N. MarcoieMarcoie
HidraulicăHidraulică
I. Bartha, V. Javgureanu, N. Marcoie. Hidraulică, Vol. II:
Lucrarea se adresează studenţilor şi specialiştilor din domeniul
hidrotehnicii, hidroamelioraţiilor şi ingineriei mediului, dar poate fi oportună pentru o sferă mai largă de specialităţi. Referenţi: dr. ing. Mihail Luca
dr. ing. Ilie Rusu
Manualul cuprinde noţiuni de hidraulica curgerilor cu nivel liber,
mişcări potenţiale, mişcarea aluviunilor, hidraulică subterană şi noţiuni de modelare hidraulică. În fiecare capitol aspectele teoretice sunt exemplificate prin probleme practice concrete reprezentative.
Lucrare finanţată de GRANT; Cod CNCSIS: 33371/2004
ISBN 973-730-039-4 © I. Bartha, V. Javgureanu, N. Marcoie Apărută în 2004.
Prefaţă
Acest manual are scopul de a-i sprijini pe cei care învaţă Hidraulică,
pentru a o folosi în soluţionarea problemelor tehnice şi ştiinţifice.
Prin conţinutul său, modul de expunere, lucrarea este adresată
studenţilor, dar poate fi folosită şi de specialiştii care vin în contact cu
probleme din domeniul hidraulicii, pentru lărgirea şi aprofundarea
cunoştinţelor şi pentru rezolvarea unor probleme tehnice.
Manualul este structurat pe 11 capitole şi cuprinde mişcările efluente,
hidraulica albiilor deschise, noţiuni de mişcări bifazice de apă – solid,
hidraulica subterană şi noţiuni de modelare hidraulică. Sunt descrise
aspectele teoretice - fizice şi matematice – ale fenomenelor, precum şi
aplicaţiile acestora în domeniul Hidrotehnicii, Ingineriei Mediului şi altor
ramuri ale tehnicii. Fiecare capitol cuprinde şi câteva exemple concrete,
care înlesnesc înţelegerea expunerilor. S-a renunţat la anumite metode
depăşite istoric prin posibilităţile oferite de tehnica modernă de calcul.
Prin manual se doreşte punerea la îndemâna celor interesaţi a unui
material didactic şi tehnico-ştiinţific în sfera hidraulicii aplicate.
Lucrarea este rezultatul unei îndelungate experienţe didactice şi
tehnico-ştiinţifice, al unor colaborări fructuoase între specialişti din ţări cu
limbă oficială identică şi între generaţii diferite.
Mulţumim şi pe această cale tuturor celor care ne-au sprijinit sub
diferite forme, atât moral, cât şi material în elaborarea şi apariţia acestui
manual.
Autorii
EDITURA „PERFORMANTICA“, Iaşi, B-DUL CAROL I, nr. 3-5,
performantica@inventicaincd.ro tel./fax. 0232 214763
EDITURĂ ACREDITATĂ DE CNCSIS BUCUREŞTI, 1142/30.06.2003
Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României: BARTHA Iosif Hidraulică - Vol. 2 / Iosif Bartha, Vasile JAVGUREANU, Nicolae MARCOIE – Iaşi: Performantica, 2004 560 p., 24 cm, ISBN 973-730-039-4 I. JAVGUREANU Vasile II. MARCOIE Nicolae CZU 532(075.8) B 35
Referenţi ştiinţifici: Dr. ing. Mihail Luca Dr. ing. Ilie Rusu Consilier editorial:
Prof. univ. dr. Traian D. Stănciulescu
Secretar editorial: Octav Păuneţ
© Toate drepturile asupra acestei ediţii aparţin Autorilor şi Editurii „PERFORMANTICA“, Iaşi, România
Hidraulică vol. II 5
CUPRINS
11. Mişcări efluente ...................................................................................13
11.1 Curgerea permanentă prin orificii............................................ 13
11.1.1 Curgerea prin orificii mici, libere ............................ 14
11.1.2 Curgerea prin orificii mici, înecate........................... 22
11.1.3 Curgerea prin orificii mari, libere............................. 23
11.1.4 Curgerea prin orificiile stăvilarelor
în albii orizontale...................................................... 25
11.1.5 Curgerea prin orificii cu vârtej.................................. 31
11.2 Curgerea permanentă prin ajutaje............................................ 32
11.2.1 Curgerea prin ajutajul cilindric exterior.................... 32
11.2.2 Tipuri de ajutaje folosite în tehnică.......................... 35
11.2.3 Conducte scurte privite ca ajutate............................. 38
11.3 Jeturi lichide............................................................................. 39
11.3.1 Jetul liber................................................................... 40
11.3.2 Jetul înecat................................................................ 46
11.4 Curgerea lichidelor prin orificii şi ajutaje
cu sarcină variabilă.................................................................. 47
11.4.1 Timpul de golire al rezervoarelor.............................. 47
11.4.2 Timpul de egalizare al nivelului în
două rezervoare......................................................... 49
11.5 Deversoare............................................................................... 50
11.5.1 Teoria fundamentală a debitului............................... 52
11.5.2 Clasificarea deversoarelor......................................... 53
11.5.3 Deversoare cu perete subţire..................................... 61
11.5.4 Deversoare cu profil gros.......................................... 67
11.5.5 Deversoare cu profil curb.......................................... 71
11.5.6 Deversorul cu prag lat............................................... 76
11.5.7 Alte tipuri de deversoare........................................... 78
11.6 Aplicaţii.................................................................................... 85
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 6
12. Mişcarea uniformă a lichidelor cu suprafaţă liberă......................... 93
12.1 Noţiuni generale....................................................................... 93
12.1.1 Parametrii geometrici şi hidraulici ai canalelor........ 94
12.2 Legile curgerii uniforme a lichidelor în albii regulate ............ 95
12.2.1 Relaţia generală a curgerii uniforme în canale......... 95
12.2.2 Distribuţia vitezelor pe secţiune................................ 96
12.2.3 Curenţi aeraţi............................................................. 98
12.2.4 Instabilitatea mişcării uniforme................................ 99
12.3 Calculul hidraulic al albiilor regulate deschise
în mişcare uniformă............................................................... 100
12.3.1 Problema de verificare a canalelor
în mişcare uniformă.................................................. 100
12.3.2 Problema de dimensionare a canalelor
în mişcare uniformă................................................ 100
12.4 Calculul hidraulic al canalelor închise.................................... 114
12.4.1 Calculul hidraulic al canalelor circulare................... 114
12.5 Calculul tehnico-economic al canalelor.................................. 118
12.6 Viteze admisibile pe canale..................................................... 119
12.7 Pierderi locale de sarcină în curenţi
permanenţi cu nivel liber......................................................... 121
12.8 Aplicaţii.................................................................................... 126
13. Mişcarea permanentă lent (gradual) variată a
lichidelor cu suprafaţă liberă.............................................................. 134
13.1 Ecuaţia diferenţială a mişcării permanente lent
(gradual) variate a curenţilor cu nivel liber............................. 135
13.2 Studiul energetic al curenţilor permanenţi
cu suprafaţă liberă.................................................................... 137
13.2.1 Energia specifică a curentului şi a secţiunii.............. 137
13.2.2 Variaţia energiei specifice a secţiunii în
lungul curentului....................................................... 138
13.2.3 Stările curenţilor permanenţi.................................... 139
13.2.4 Recunoaşterea stării curentului................................. 144
13.3 Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a
lichidelor în mişcare lent (gradual) variată.............................. 145
13.3.1 Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a
lichidelor în mişcarea permanentă lent
variată pentru I > 0..................................................... 145
Hidraulică vol. II 7
13.3.2 Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a
lichidelor în mişcarea permanentă gradual
variată pentru I = 0..................................................... 155
13.3.3 Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a
lichidelor în mişcarea permanentă gradual
variată pentru I < 0..................................................... 156
13.4 Metode de calcul ale curbelor suprafeţei libere
în albii cilindrice şi prismatice................................................ 158
13.4.1 Exponentul hidraulic al albiei................................... 158
13.4.2 Soluţionarea ecuaţiei mişcării gradual variate
în albii regulate prin metoda exponentului
hidraulic al albiei (B. A. Bahmetev).......................... 161
13.4.3 Calculul suprafeţei libere în mişcarea
permanentă gradual variată prin metoda
diferenţelor finite....................................................... 169
13.4.4 Construirea curbelor suprafeței libere pe râuri
cu albie majoră sau albii bifurcate............................. 172
13.4.5 Principalele tipuri de probleme la calculul
suprafeţei libere în mişcare permanentă
gradual variată........................................................... 173
13.5 Aplicaţii.................................................................................... 175
14. Mişcarea permanentă rapid variată a lichidelor cu
suprafaţă liberă.................................................................................... 189
14.1 Saltul hidraulic......................................................................... 189
14.1.1 Formele saltului hidraulic......................................... 190
14.1.2 Ecuaţia fundamentală a saltului hidraulic
în albii orizontale...................................................... 194
14.1.3 Ecuaţia saltului hidraulic în albii
dreptunghiulare cu pantă mare.................................. 201
14.2 Alte forme de mişcări permanente rapid variate
ale curenţilor cu suprafaţă liberă............................................. 202
14.2.1 Pragul urcător............................................................ 202
14.2.2 Treaptă coborâtoare.................................................. 204
14.2.3 Prag de fund.............................................................. 205
14.2.4 Pilă în albie................................................................ 206
14.3 Aplicaţii.................................................................................... 206
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 8
15. Racordarea biefurilor.......................................................................... 211
15.1 Propagarea perturbaţiilor în albii deschise.............................. 211
15.2 Trasarea curbei suprafeţei libere la racordarea
biefurilor.................................................................................. 214
15.2.1 Racordarea biefurilor în albii regulate
(uniforme) la schimbare de pantă.............................. 215
15.2.2 Racordarea biefurilor în albii regulate
(uniforme) prin construcţii cu lame efluente............. 223
15.3 Relaţii de calcul ale mărimilor hidraulice în racordarea
biefurilor prin construcţii cu lame efluente.............................. 230
15.3.1 Relaţii de calcul pentru racordări în regim de
fund al vitezei............................................................ 230
15.3.2 Relaţii de calcul pentru racordări în regim de
suprafaţă al vitezei.................................................... 234
15.4 Aplicaţii.................................................................................... 235
16. Disiparea energiei. Disipatori de energie........................................... 245
16.1 Noţiuni generale. Tipuri de disipatoare................................... 245
16.2 Controlul racordării în bieful aval fără construcţii
speciale de disipare a energiei................................................. 247
16.3 Controlul racordării şi disipării energiei cu salt înecat
în bazine disipatoare................................................................ 249
16.3.1 Calculul hidraulic al bazinelor disipatoare
simple........................................................................ 249
16.3.2 Bazine disipatoare complexe.................................... 254
16.3.3 Alte forme de bazine disipatoare de energie............. 257
16.4 Racordarea biefurilor şi disiparea energiei în jeturi libere...... 260
16.5 Racordarea biefurilor prin căderi în trepte.............................. 265
16.6 Calculul hidraulic al canalelor rapide (jilipuri)....................... 267
16.6.1 Calculul jilipurilor cu pereţi netezi........................... 267
16.6.2 Calculul jilipurilor cu macrorugozitate
artificială................................................................... 270
16.6.3 Calculul canalelor cu trepte în curgere aerată........... 274
16.7 Aplicaţii.................................................................................... 282
Hidraulică vol. II 9
17. Mişcarea nepermanentă a lichidelor cu suprafaţă liberă................ 287
17.1 Consideraţii generale. Tipuri de unde...................................... 287
17.2 Ecuaţiile mişcării nepermanente în albii................................. 288
17.2.1 Ipotezele care stau la baza modelului
unidimensional.......................................................... 288
17.2.2 Forma integrală a ecuaţiilor Saint-Venant................ 289
17.2.3 Forma diferenţială a ecuaţiilor Saint-Venant............ 292
17.2.4 Forme generalizate ale ecuaţiilor Saint-Venant........ 293
17.2.5 Forme simplificate ale ecuaţiilor Saint-Venant........ 295
17.2.6 Forme liniarizate ale ecuaţiilor Saint-Venant........... 297
17.3 Metode de integrare ale ecuaţiilor Saint-Venant..................... 299
17.4 Noţiuni privind caracteristicile. Condiţii iniţiale şi la
limită........................................................................................ 300
17.5 Scheme cu diferenţe finite pentru integrarea ecuaţiilor
Saint Venant............................................................................. 303
17.5.1 Principiul metodei cu diferenţe finite....................... 303
17.5.2 Schemă implicită în patru puncte.............................. 305
17.5.3 Schemă explicită de integrare a ecuaţiilor
Saint Venant.............................................................. 312
17.6 Unde de translaţie.................................................................... 314
17.7 Valuri....................................................................................... 316
17.7.1 Definiţii. Clasificarea valurilor................................. 316
17.7.2 Valuri marine. Acţiunea valurilor
asupra construcţiilor................................................. 317
17.8 Aplicaţii.................................................................................... 320
18. Curgeri bifazice.................................................................................... 331
18.1 Difuzie, dispersie, mişcări polifazice, curgeri stratificate....... 331
18.1.1 Difuzia laminară........................................................ 332
18.1.2 Difuzia turbulentă..................................................... 333
18.1.3 Dispersia turbulentă.................................................. 335
18.2 Curgeri polifazice şi mişcări stratificate.................................. 336
18.2.1 Curgeri polifazice...................................................... 337
18.2.2 Curgeri stratificate..................................................... 338
18.3 Mişcarea aluviunilor................................................................ 339
18.3.1 Caracterizarea aluviunilor prin prisma
transportului hidraulic............................................... 340
18.3.2 Despre conceptul de concentraţie............................. 346
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 10
18.3.3 Ecuaţiile fundamentale ale mişcării aluviunilor....... 347
18.3.4 Mişcarea aluviunilor târâte....................................... 350
18.3.5 Mişcarea aluviunilor în suspensie............................. 360
18.3.6 Cazuri practice de mişcări bifazice
lichid-solid................................................................ 364
18.4 Hidraulica mişcării gheţurilor.................................................. 388
18.4.1 Mişcarea zaiului........................................................ 388
18.4.2 Mişcarea(plutirea) sloiurilor..................................... 390
18.4.3 Condiţiile formării şi menţinerii podului de
gheaţă şi condiţiile formării zăpoarelor.................... 391
18.4.4 Curgerea apei sub podul de gheaţă........................... 396
18.5 Aplicaţii.................................................................................... 398
19. Mişcări potenţiale................................................................................ 404
19.1 Noţiuni generale. Definiţii....................................................... 404
19.2 Mişcări potenţiale plane........................................................... 407
19.2.1 Studiul mişcărilor potenţiale cu ajutorul
funcţiilor analitice de variabile complexe................. 410
19.2.2 Exemple tratare indirectă a mişcărilor
potenţiale plane.......................................................... 411
19.3 Metode de tratare directă a problemelor de
mişcări potenţiale plane........................................................... 417
19.3.1 Metoda transformărilor conforme............................. 417
19.3.2 Metoda analitică aproximativă prin diferenţe
finite.......................................................................... 422
19.3.3 Metode experimentale............................................... 424
19.4 Aplicaţii.................................................................................... 426
20. Mişcarea apelor subterane.................................................................. 431
20.1 Schema teoretică a curgerii permanente a apei subterane
în regim saturat........................................................................ 432
20.1.1 Schematizarea curgerii.............................................. 433
20.1.2 Legea fundamentală a filtraţiei (legea lui Darcy)...... 434
20.1.3 Domeniul de valabilitate al legii lui Darcy............... 435
20.1.4 Coeficientul de filtraţie şi de permeabilitate............. 436
20.1.5 Legea filtraţiei în afara zonei de valabilitate a
legii lui Darcy............................................................ 438
20.1.6 Mişcarea apei subterane în medii poroase
Hidraulică vol. II 11
stratificate.................................................................. 439
20.2 Bazele hidrodinamice ale filtraţiei........................................... 442
20.2.1 Spectrul hidrodinamic............................................... 445
20.2.2 Calculul parametrilor hidraulici ai filtraţiei
cu ajutorul spectrului hidrodinamic.......................... 446
20.2.3 Mişcări plane verticale cu suprafaţă liberă............... 448
20.2.4 Mişcări plane verticale în medii poroase
neomogene, anizotrope............................................. 449
20.2.5 Mişcări plane verticale în medii ortotrope................ 450
20.2.6 Mişcări plane orizontale............................................ 451
20.2.7 Spectrul hidrodinamic în medii neomogene,
anizotrope.................................................................. 453
20.2.8 Metode pentru construirea spectrului
hidrodinamic.............................................................. 455
20.3 Calculul filtraţiei prin metode hidraulice................................ 455
20.3.1 Mişcarea uniformă a apelor subterane...................... 455
20.3.2 Mişcarea permanentă lent variată a curenţilor
subterani.................................................................... 457
20.3.3 Ipoteza lui Dupuit generalizată................................. 464
20.3.4 Ipoteza lui Hooghoudt............................................... 469
20.3.5 Mişcarea nepermanentă a curenţilor subterani
cu nivel liber.............................................................. 469
20.4 Calculul hidraulic al captărilor apelor subterane..................... 473
20.4.1 Captarea apelor subterane prin puţuri....................... 473
20.4.2 Mişcarea apelor subterane spre drenuri.................... 497
20.5 Filtraţia apei prin corpul construcţiilor din pământ................. 502
20.5.1 Filtraţia prin corpul barajelor de pământ.................. 503
20.5.2 Filtraţia prin corpul digurilor.................................... 516
20.6 Aplicaţii................................................................................... 520
21. Elemente de modelare hidraulică....................................................... 525
21.1 Noţiuni generale. Modele utilizate în modelarea hidraulică 525
21.1.1 Modele fizice şi numerice......................................... 525
21.2 Modele hidraulice.................................................................... 527
21.2.1 Consideraţii preliminare............................................ 527
21.2.2 Modele hidraulice convenţionale.............................. 528
21.2.3 Modele hidraulice distorsionate................................ 529
21.2.4 Modele de tip Froude şi Reynolds............................. 531
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 12
21.3 Modelarea curgerilor cu suprafaţă liberă şi cu pat fix............. 532
21.3.1 Modelarea hidraulică a râurilor şi canalelor
deschise..................................................................... 532
21.3.2 Modelarea structurilor hidrotehnice.......................... 536
21.3.3 Modele mixte............................................................ 537
21.3.4 Modelarea curgerilor sub presiune............................ 538
21.3.5 Modelarea schemelor de amenajare a râurilor.......... 539
21.3.6 Tehnica modelării hidraulice.................................... 539
21.4 Aplicaţii.................................................................................... 542
Bibliografie................................................................................................. 545
Anexe............................................................................................................549
Hidraulică vol. II 13
CAPITOLUL 11
MIŞCĂRI EFLUENTE
Curgerea permanentă a fluidelor din recipienţi prin secţiuni relativ
mici, într-un spaţiu ocupat de acelaşi sau de alt fluid se numeşte mişcare
efluentă. În categoria acestor mişcări se încadrează curgerea prin orificii şi
ajutaje, jeturile (vânele) de fluid rezultate, curgerea peste deversoare, cu lama
deversantă aferentă.
Aceste mişcări se caracterizează prin curburi pronunţate ale liniilor de
curent şi, implicit, variaţii importante ale parametrilor geometrici şi hidraulici –
secţiune de curgere, viteză, presiune şi nivel (la curgeri cu nivel liber) – în
lungul curentului. La trecerea prin secţiunea de curgere curentul ia forma vânei
lichide care se menţine, cu variaţii de formă, şi după trecerea în mediul aval.
În raport cu variabila timp, aceste mişcări pot fi permanente
(staţionare) sau nepermanente. Se studiază pe larg mişcările staţionare şi numai
câteva cazuri practice de mişcări variabile cu timpul.
11.1. CURGEREA PERMANENTĂ PRIN ORIFICII
Se numeşte orificiu o deschizătură în peretele sau fundul unui
rezervor, prin care fluidele curg, conturul fiind în întregime în contact cu
fluidul în mişcare. Rolul obişnuit al unui orificiu este măsurarea sau controlul
curgerii.
După dimensiunea pe verticală a orificiilor în raport cu sarcina
(presiunea) sub care lucrează acestea pot fi mici şi mari. La orificiile mici
(fig. 11.1) se poate considera că sarcina este constantă pe orificiu, pe când la
orificiile mari (fig. 11.2) sarcina este şi trebuie considerată variabilă pe
secţiunea orificiului.
După condiţiile de curgere orificiile pot funcţiona liber (v. fig. 11.1)
sau înecat (fig. 11.2). La orificiile libere vâna lichidă se dezvoltă în gaz şi
descrie o anumită traiectorie, în general parabolică pe când la orificiile înecate
vâna se dezvoltă în acelaşi fluid din care este format jetul şi păstrează o poziţie
aproximativ orizontală.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 14
Fig. 11.1. Orificiu mic liber Fig. 11.2. Orificiu mare liber
Fig. 11.3. Orificiu cu funcţionare înecată
Curentul de lichid se dezlipeşte de muchia orificiului la paramentul
amonte, sau dacă muchia amonte este rotunjită, aceasta are rol de dirijare a
liniilor de curent. În această privinţă se întâlnesc orificii cu muchii ascuţite,
teşite şi rotunjite.
Orificiile pot avea diferite forme geometrice, de obicei regulate, însă
cele mai des întâlnite în practică sunt cele circulare şi dreptunghiulare.
Legile curgerii prin orificii sunt comune tuturor fluidelor, însă
coeficienţii determinaţi experimental se referă în special la apă.
11.1.1. Curgerea prin orificii mici, libere
Convenţional se consideră orificiu mic, acel orificiu la care înălţimea
secţiunii sale d este cel mult H/10.
Elementele analizate se referă la contracţie, viteză, debit şi traiectoria
vânei lichide.
H>>dH
d
1
2
H~d
H
H
d
H
Hidraulică vol. II 15
10. Contracţia vânei lichide
Urmărind spectrul curgerii prin orificii se observă că firele de curent
din recipient descriu traiectorii curbe, convergente spre orificiu, curbura lor
fiind mai pronunţată în apropierea orificiului. La orificiile cu muchii ascuţite
firele de curent se dezlipesc de perete la muchia amonte şi datorită inerţiei îşi
păstrează curbura. La distanţa δ de perete firele de curent devin paralele, vâna
având secţiune minimă. Această secţiune poartă numele de secţiune contractată (fig. 11.4).
Pentru secţiuni particulare – cerc cu
diametrul „d” şi pătrat cu latura
„a” – distanţa de la peretele amonte
(secţiune de dezlipire) la secţiunea
contractată este δ = 0,6d sau δ=0,5a. Raportul secţiunii contractate Ac şi
secţiunea orificiului A este coeficientul
de contracţie:
ε=Ac/A (11.1)
Fig. 11.4. Contracţia vânei lichide
Mărimea coeficientului de contracţie depinde de caracterul contracţiei
care poate fi completă, imperfectă şi incompletă. Contracţia completă are loc
dacă pereţii şi fundul recipientului nu influenţează curbura firelor de curent. Se
consideră contracţia completă dacă muchia orificiului este la o distanţă de trei
ori mai mare dată de elementele perturbatoare decât mărimea orificiului.
Contracţia imperfectă are loc dacă orificiul se află mai aproape de elementele
de perturbare decât cele arătate anterior; iar contracţia este incompletă dacă
orificiul se află lângă peretele lateral sau pe fundul rezervorului.
Coeficientul de contracţie variază în limite destul de largi;
experimentele arată ε Є (0,56; 0,67), iar calculele teoretice, prin aplicarea
teoremei impulsului, conduc la
01
24
22
2
=+−ϕ
επ
ε (11.2)
AA
δ
c
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 16
cu valori ),,(ε 6070...5620∈ . Teoria mişcărilor potenţiale, prin transformări
conforme, indică:
611,02
=+
=π
πε (11.3)
20. Viteza şi debitul fluidului la orificii mici
Se consideră un orificiu mic, cu muchie ascuţită în peretele vertical al
unui rezervor cu două camere (fig. 11.5.). Orificiul se consideră cu funcţionare
liberă, nivelul amonte constant, în cele două camere 1 şi 2 presiunea gazului
deasupra lichidului fiind p1, respectiv p2, astfel încât curgerea are loc din
rezervorul 1 către 2.
Particulele de fluid urmează traiectorii curbe, mc fiind una dintre ele,
cu punctul m în camera 1, iar c în 2, în centrul jetului din secţiunea contractată.
Fig. 11.5. Curgerea prin orificiul mic
Aplicând ecuaţia energiei între punctele m şi c, rezultă:
mccc
mmm hrz
p
g
uzh
p
g
u+++=+++
γγ2
2
1
2
22 (11.4)
Cu exprimarea pierderilor sub forma (8.1. – vol 1)g
uhr c
mc2
2
ζ= , se obţine:
]2
[21
1 21
2
γζ
pp
g
uHgu m
c
−++
+= (11.5)
Relaţia (11.5) exprimă în general legătura între viteza în secţiunea contractată
şi sarcina pe orificiu.
mm
Um
c
c
m
Uc
P1 P2
V0
Plan de referinta
12
H
h
zz
d
Hidraulică vol. II 17
Vitezele în lungul diferitelor linii de curent diferă şi în locul lor se
utilizează viteza medie de apropiere, v0. În secţiunea contractată profilul de
viteză este cvasiuniform şi în loc de uc se utilizează viteza medie vc, cu
acceptarea corecţiei Coriolis αc = 1. Cantitatea:
ζ
ϕ+
=1
1, (11.6)
este coeficientul de viteză şi după înlocuirile necesare (11.5.) devine:
−++=
γ
αϕ 21
20
22
pp
g
vHgvc , (11.7)
relaţie care poate fi folosită şi pentru gaze când detenta lor sub diferenţa de
presiune p1 - p2 este neglijabilă şi se utilizează greutatea lor specifică la
presiunea medie.
Când presiunea în cele două rezervoare este aceeaşi, p1 = p2, se obţine:
0
2
0 2)2
(2 gHg
vHgvc ϕ
αϕ =+= , (11.8)
unde H0 este sarcina totală sub care lucrează orificiul. Uneori şi viteza de
apropiere este nesemnificativă şi utilizarea numai a sarcinii H în calcule nu
introduce erori semnificative.
Coeficientul ζ la orificii mici are valori între 0,02…0,08, coeficientul
de viteză φ variind în limitele 0,96…0,99. Coeficientul de viteză poate fi privit
ca raportul vitezei medii reale a fluidului prin orificiu şi vitezei teoretice a unui
fluid eulerian, dată de relaţia lui Toricelli, φ=vc/vt. Utilizând ecuaţia de continuitate se obţine debitul orificiului:
)(2)(2 210
210
γµ
γεϕ
ppHg
ppHgAVAQ cc
−+=
−+== (11.9)
în care
εϕµ = (11.10)
este coeficientul de debit cu valori între 0,59 şi 0,66.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 18
Experienţele lui Bazin evidenţiază repartiţia vitezelor şi presiunilor în
secţiunea orificiului (tab. 11.1, fig. 11.6).
Fig. 11.6. Repartiţia vitezei şi presiunii relative în secţiunea orificiului
Distribuţia relativă a vitezei în secţiunea orificiului
Tabelul 11.1
0r
r
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
gH
u
2
0,636
0,636
0,645
0,652
0,660
0,670
0,680
0,688
0,703
0,703
Variaţiei de viteză în secţiunea orificiului îi corespunde şi o variaţie de
presiune, presiunea maximă fiind în centrul orificiului, cu valoarea ~ 0,6γH, scăzând spre contur la zero. În general coeficientul de viteză este subunitar
datorită pierderilor de energie, dar la orificii verticale s-au obţinut experimental
şi valori uşor supraunitare (1,01…1,04), care s-au explicat prin presupunerea
că, din cauza variaţiei continue de formă a vânei pe traiectorie s-ar putea să se
producă presiuni vacumetrice în unele puncte.
A
A
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.6h0
r
0.703
0.636
0.703
H
r
r
u2gH
h=pH
r
Hidraulică vol. II 19
30. Factorii care influenţează coeficientul de debit
a. Viteza de acces. Relaţiile prezentate sunt valabile când rezervorul
din care are loc curgerea are o secţiune mare în raport cu secţiunea orificiului.
Pentru orificii la capăt de conductă, cu secţiune de curgere în conductă relativ
mică, coeficientul de debit creşte cu reducerea secţiunii amonte de curgere
(fig. 11.7 şi fig. 11.8), dar este dependent şi de sarcină.
Fig. 11.7. Orificiu circular la capăt Fig. 11.8. Variaţia lui µ cu
de conductă în perete normal pe axa sarcina totală şi raportul secţiunilor
conductei şi orificiului
Într-o asemenea situaţie, înlocuind viteza de acces din ecuaţia de
continuitate, se obţine:
+=
−
=
4
2
4
22
112
1
2
D
dgHA
D
d
gHAQ µµ
µ
µ (11.11)
Pentru orificiu în interiorul conductei, în mod asemănător, se obţine:
+
−=
−
−
=4
221
4
2
21
2
112
1
2
D
dppgA
D
d
ppgA
Q µγ
µ
µ
γµ
(11.12)
care se foloseşte şi pentru gaze însă greutatea specifică a gazului se determină
pentru presiunea medie sau, ( )215,0 ppp += .
d
H=p/
DV0
µ= f ( , H )dD 0
0,5
0,45
0,40
0,350,300,25
d/D
5 10 15 20 250,59
0,60
0,61
0,62
0,63
H (m)0
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 20
b. Forma muchiei orificiului
La orificii cu muchie ascuţită jetul se dezlipeşte la muchia orificiului.
Practic nu se pot obţine muchii ascuţite, dar se poate realiza dezlipirea şi
contracţia completă. La orificii cu muchie rotunjită, rotunjirea are rol de dirijare
a firelor de lichid şi contracţia nu mai este completă (fig. 11.9.). Dacă rotunjirea
are raza r, coeficientul de debit creşte cu aceasta astfel: pentru orice procent de
rotunjire (r/d = 0,01), µ creşte cu 3,1%. Constatarea este valabilă pentru
r/d ≤ 0,1.
Rotunjiri mai pronunţate ale muchiei orificiului conduc la creşterea
substanţială a coeficientului de debit care poate ajunge chiar la valoarea de 0,98
însă legea variaţiei coeficientului de debit diferă.
Fig. 11.9. Efectul rotunjirii muchiei
orificiului asupra contracţiei.
c. Rugozitatea peretelui în jurul orificiului, în funcţie de mărimea sa,
are efect asupra componentelor vitezei de lângă perete. Creşterea rugozităţii
reduce viteza la paramentul amonte şi, implicit, contracţia. Un orificiu cu
parament amonte şlefuit are coeficient de debit cu până la 2 % mai mic decât
orificiul în perete cu parament amonte aspru.
d. Vâscozitatea crescândă a lichidului implică creşterea coeficientului
de debit tot pe seama reducerii contracţiei datorită micşorării componentelor
tangenţiale la parament ale vitezei.
40. Traiectoria şi inversia jetului
a. Traiectoria. Pentru sarcini pe orificiu de H = 6…7 m, efectul
frecării jetului cu aerul se poate neglija, traiectoria fiind parabolică.
Se consideră un orificiu mic în peretele vertical al unui rezervor şi se
urmăreşte traiectoria unei particule din centrul de greutate al jetului din
secţiunea contractată (fig. 11.10.).
d
r
Hidraulică vol. II 21
În punctul O particula este lansată
cu viteza vc şi este acţionată de
acceleraţia gravitaţională g,
mişcarea pe orizontală poate fi
considerată uniformă, iar pe
verticală accelerată, neglijându-se
frecările cu aerul. După timpul t particula ajunge în punctul M(x,z),
coordonatele drumului parcurs de
particulă după cele două direcţii
fiind:
Fig. 11.10. Traiectoria jetului
2
2
1gtz
tvx c
=
=
(11.13)
Dacă din aceste ecuaţii parametrice ale traiectoriei se elimină timpul,
rezultă:
2
2
2cv
xgz = (11.14)
sau după înlocuirea vitezei de lansare cu (11.8), rezultă
0
2
2
4 H
xz
ϕ= (11.15)
Se observă traiectoria parabolică a jetului dacă frecarea cu aerul este
neglijată. Ecuaţia traiectoriei jetului este uneori folosită la determinarea
coeficientului de viteză. Măsurându-se sarcina constantă H0 şi perechea de
coordonate (x, z), în lungul traiectoriei, având ca origine a axelor de coordonate
centrul secţiunii contractate, rezultă, după prelucrări statistice, coeficientul de
viteză ϕ.
b. Inversia jetului. Jetul rezultat de la diferite forme de orificii
prezintă un fenomen interesant şi anume: inversia jetului.
Forma jetului este asemănătoare cu cea a orificiului numai până la
secţiunea contractată. În (fig. 11.11) sunt prezentate formele succesive ale
jetului în lungul traiectoriei.
x
z
H
Vc
g
X
Z
M(x,z)
0
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 22
Fig. 11.11. Inversia jetului lichid
După parcurgerea acestor forme jetul revine la secţiunea iniţială şi,
ciclic ia cele patru forme în lungul său dacă nu este dispersat de frecarea cu
aerul şi de tensiunea superficială. În lungul jetului se observă un fenomen de
răsucire al acestuia, secţiunile succesive având formele relative din fig. 11.11.
11.1.2. Curgerea prin orificii mici, înecate
Se consideră un rezervor compartimentat de un perete vertical în care
este practicat un orificiu mic. Nivelul constant în ambele compartimente este
deasupra muchiei superioare a orificiului, între compartimente existând
diferenţa de nivel H = H1 - H2 (fig. 11.12).
Fig. 11.12. Orificiu înecat
Procedând în mod analog ca la orificiul cu funcţionare liberă,
rezultă:
0
2
00 2)2
(21
1gH
g
vHgVc ϕ
α
ζ=+
+= (11.16)
respectiv debitul:
02gHAQ µ= (11.17)
1
0
2c
c1 2A A c
Vc
V0
a
PaH
H H
H
Hidraulică vol. II 23
sau când viteza de apropiere se poate neglija:
1 22 2 ( )Q A gH A g H Hµ µ= = − (11.18)
De remarcat este faptul că în cazul orificiilor mici înecate coeficientul
de debit este cu circa 2 % mai mic decât la orificii libere.
11.1.3. Curgerea prin orificii mari, libere
Orificiul se consideră mare dacă dimensiunea acestuia pe verticală este
de acelaşi ordin de mărime cu sarcina sub care are loc curgerea. Astfel, sarcina
în diferite puncte pe o verticală nu poate fi considerată constantă şi viteza diferă
apreciabil.
Se consideră un orificiu mare, de formă oarecare, care descarcă apă în
atmosferă sub sarcină constantă (fig. 11.13).
Fig. 11.13. Curgerea prin orificiul mare
În calcule orificiul mare se împarte într-o infinitate de orificii mici, de
fâşii orizontale, care pot fi considerate dreptunghiuri elementare de înălţime
dH. Pe un astfel de orificiu elementar se admite sarcina H şi viteza pe secţiune
constante.
Debitul elementar al unui astfel de orificiu mic virtual este:
gHdHHbdQ 2)(µ= (11.19)
Admiţând coeficientul de debit constant pentru toate fâşiile elementare, debitul
total se obţine prin integrarea relaţiei
dHHHbgQH
H∫=
2
1
)(2µ (11.20)
Integrala se poate efectua dacă se cunoaşte funcţia b(H). Astfel, pentru un
orificiu mare, de formă dreptunghiulară b(H) = b şi se obţine:
Pa
H b(H)
dHdH
H2
1
p=pa
H
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 24
)(23
22
3
12
3
2 HHgbQ −= µ (11.21)
Pentru orificii mari cu muchie ascuţită şi contracţie completă se poate accepta
µ = 0,6 fără a comite erori apreciabile (sub 5 %). La orificii dreptunghiulare,
chiar relaţia orificiilor mici asigură o precizie acceptabilă folosind sarcina
medie:
+−=
22)( 21
12
HHgHHbQ µ (11.22)
Coeficientul de debit pentru orificiile mari cu contracţie incompletă
sau imperfectă variază în limite largi, între 0,65 şi 0,95 (tab. 11.2)
Coeficientul de debit pentru orificii mari
Tabelul 11.2 Nr
.
Felul orificiului µ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Orificii mijlocii, contracţie perfectă……..................................................
Orificii mari, contracţie perfectă……………………...............................
Orificii de fund cu contracţie laterală perfectă, după gradul de
perfecţie………………………………….............................................
Orificii de fund cu contracţie laterală redusă………….............................
Orificii de fund cu intrare laterală racordată………….............................
Orificii de fund prevăzute cu stavile cu pereţi curbi, netezi
Tip a
α=45o…………………………………………………............................
α=60o……......………………………………………..............................
α=70o………..………………………………………..............................
Tip b
a/r<=1………………......…………………………….............................
0,63
0,70
0,65-0,70
0,70-0,75
0,80-0,85
0,80-0,85
0,85-0,90
0,90-0,95
0,90
Hidraulică vol. II 25
11.1.4. Curgerea prin orificiile stăvilarelor în albii orizontale
Deschiderile stăvilarelor sunt considerate orificii mari. Ele pot fi pe
creasta deversantă a unui deversor, amonte de o cădere într-o albie sau într-o
albie cu fund continuu. Primele cazuri de stăvilar se calculează ca orificii mari
având contracţie completă, incompletă sau imperfectă, însă orificiul de stăvilar
în albie cu fund continuu prezintă particularităţi şi se calculează diferit.
10. Curgerea liberă sub stăvilare
Orificiul de stavilă funcţionează liber atunci când nivelul apei din aval
se găseşte sub muchia superioară a orificiului (fig. 11.14). În albie de secţiune
dreptunghiulară firele de curent se curbează numai pe verticală, de sus în jos,
curentul suferind o contracţie pe verticală, secţiunea contractată fiind,
aproximativ, la o distanţă egală cu înălţimea orificiului. Adâncimea contractată
(hc) este:
ch aε= ⋅ (11.23)
unde a este deschiderea orificiului pe verticală, iar εεεε - coeficientul de
contracţie.
H
a
HH
~a
0
1
202
v0/2g
hc= a
α0
Vc
0 0
Fig. 11.14. Orificiu de stavilă liber
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 26
Viteza în secţiunea contractată se obţine din ecuaţia energiei, scrisă
secţiunilor 0 - c.
g
vh
g
vH
g
v cc
cc
222
22
2
2
00 ζαα
++=+ (11.24)
În secţiunea contractată distribuţia vitezelor este cvasiuniformă şi se
poate accepta αc = 1, rezultând:
)(2)2
(21
102
2
00
2 ccc hHghg
vHgV −=−+
+= ϕ
α
ζ (11.25)
Valorile coeficientului de viteză se încadrează în limitele 0,92…1,0.
Debitul curs rezultă din ecuaţia de continuitate în mişcare permanentă:
)(2)(2 0202 aHgabhHgabVAQ ccc εµεϕ −=−== (11.26)
Atât studiile teoretice cât şi cele experimentale arată dependenţa coeficienţilor
ε, ϕ şi µ de deschiderea relativă a stăvilarului a/H2. (tab. 11.3.).
Variaţia coeficienţilor ε, ϕ şi µ cu deschiderea relativă a stăvilarului
Tabelul 11.3. Deschiderea
relativă a
stăvilarului
a/H2
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
Coeficient de
contracţie pe
verticală εεεε
0,615
0,61
7
0,62
0
0,62
2
0,62
5
0,62
9
0,63
3
0,63
8
0,64
5
0,65
2
0,66
1
0,67
2
Coeficient de
debit µµµµ
0,611
0,61
2
0,61
3
0,61
4
0,61
4
0,61
6
0,61
7
0,61
9
0,62
1
0,62
3
0,62
5
0,62
8
Coeficient de
viteză ϕϕϕϕ
0,994
0,99
2
0,99
0
0,98
7
0,98
3
0,97
9
0,97
4
0,96
9
0,96
3
0,95
5
0,94
6
0,93
3
Cele arătate anterior sunt pentru stăvilarele verticale.
În cazul stăvilarelor înclinate amonte (fig. 11.15) peretele stavilei are
rol de dirijare a firelor de curent şi se modifică coeficienţii de contracţie, viteză
şi de debit.
Hidraulică vol. II 27
Fig. 11.15. Orificiu de stavilă înclinată spre amonte
După Jukovski coeficientul de contracţie se exprimă prin:
1
0 22
2sin
2sin1
sin2
cos1
1
−
+
+= ∫k
kk
ttg
k
dk
k
π
θθ
θθθ
πε (11.27)
iar deschiderea relativă este:
∫
+
=
kk
kk
ttg
k
dk
k
ttg
H
a π
θθ
θθθ
0 22
2
2sin
2sin1
sin2
cos
(11.28)
în care πk este unghiul stavilei faţă de orizontală, iar t- numere pozitive
oarecare pentru calibrarea ecuaţiei (11.28). Integrala
∫
+
=k
kk
ttg
k
dkI
π
θθ
θθθ
0 22
2sin
2sin1
sin2
cos
(11.29)
se soluţionează numeric (ex. metoda trapezelor), astfel fiind posibilă
determinarea lui ε şi a/H din relaţiile:
Ik
k
+=
π
πε (11.30)
şi
k
k
ttg
H
a2
=
ε (11.31)
Experienţele confirmă justeţea relaţiei lui Jukovski (fig. 11.16)
hθ
a
Hc
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 28
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,70,60
0,64
0,68
0,72
0,76
0,80
0,84
0,88
0,92
0,96
10
a/H
ε θ
0o
10o
20o
30o
45o
o90
Fig. 11.16. Graficul funcţiei ε=f(a/H, θ)
Debitul specific tranzitat pe sub stavilă este:
−
= θεθµ ,2,
H
aaHgab
H
aQ (11.32)
Mărimea coeficientului de debit se determină experimental, fiindcă nu
există posibilităţi teoretice de calcul nici pentru µ, nici pentru ϕ. Graficul din
fig. 11.17. arată dependenţa µ(a/H, θ). Aproximarea empirică a coeficientului
de debit conduce la relaţia:
( )( )θ
θµ00178,0151,0
05055,00256,1
−
−=
H
a (11.33)
pentru care erorile nu depăşesc ± 2 %.
Hidraulică vol. II 29
0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,3 0,4 0,5 0,60,56
0,58
0,60
0,68
0,70
0,72
0,74
0,76
0,78
0,80
0,82
0,84
0,86
0,88
0,90
0,92
a/H
µθ
100
020
030
045
090
Fig. 11.17. Graficul funcţiei µ=f(a/H, θ)
Pe baza celor arătate la curgerea liberă sub stavile înclinate pot fi
construite stăvilare regulatoare automate de debit dacă stavila înclinată este
mobilă şi este acţionată de nivelul apei din amonte cu ajutorul unui flotor
(fig.11.18). Caracteristica de reglaj a unui astfel de stăvilar corespunde
fig. 11.19, care are elementele constructive: b = 1 m; a = 0,18 m; R = 1,03 m.
Funcţionarea liberă a stăvilarului se asigură prin existenţa pragului de fund.
Fig. 11.18. Schema stăvilarului
cu mască flotabilă
1) stăvilar vertical, 2) oblon mobil, 3) flotor,
4) articulaţie cilindrică, 5) braţele flotorului,
6) instalaţia de manevrare a stavilei verticale,
7) prag de fund.
Ra
H
h
h
p
12
3
4
5
6
7
θQ
c
a
1
2
4
5 37
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 30
Fig. 11.19. Curba de reglaj a stăvilarului
cu mască flotabilă.
20. Curgerea înecată sub stăvilare
Orificiul de stavilă funcţionează înecat când nivelul apei din aval se
găseşte deasupra muchiei superioare a orificiului (fig. 11.20).
Fig. 11.20. Orificiu de stavilă cu funcţionare înecată
La aceste orificii debitul tranzitat se calculează tot cu o relaţie de forma
(11.26), dar în care sarcina sub care are loc curgerea este:
Z0 = H02 - hz (11.34)
Nu se foloseşte în loc de hz valoarea hav fiindcă în general hz < hav şi ar
conduce la supradimensionări (uneori chiar cu 50 %). Relaţia pentru calculul
lui hz, după M.D.Certousov (utilizând ecuaţia teoremei impulsului), este:
2
2
2 2 HH
hnnnh av
z
−−+= (11.35)
în care:
H
a
HH0
1
202
v0/2g
zz
h h
zz
h
c zav
0 ''0
α0
∆ cresterea debitului
fata de stavila
plana verticala
stavila vertic
ala
480 490 500 510 520 5300,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4Hmax
Hmin
H
q(l/sm)
H(m)
qm
in
qn
qm
ax
Hidraulică vol. II 31
( )
( )aHh
ahan
av
av22
2
2
1,1
1,2
βµε
εβαµ
−
−= (11.36)
cu 2H
hav=β .
11.1.5. Curgerea prin orificii cu vârtej
Dacă orificiul este în plan orizontal şi are o secţiune mare în raport cu
sarcina H, se formează o depresiune care coboară din ce în ce mai mult, iar
mişcarea ia caracterul unui vârtej dacă există vreo cauză a unei mişcări
excentrice (fig. 11.21).
d
r
z
r
z
H
0
P
P0
0u
u0
Fig. 11.21. Curgerea prin orificiu de fund cu vârtej
Acest vârtej, cu axa verticală trecând prin centrul orificiului, se
suprapune mişcării de curgere prin orificiu. Mişcării considerată pornită din
repaus (fluidul fiind considerat eulerian), i se poate aplica ecuaţia curgerii pe
linia de vârtej între două puncte oarecare, unul pe marginea pâlniei la suprafaţă
(cu parametrii r0 şi p0) şi unul în interior (cu parametri r şi p).
g
upz
g
upz
22
22
00
0 ++=++γγ
(11.37)
unde u şi u0 sunt viteze de rotaţie datorită vârtejului. Echilibrarea forţei
centrifugale necesită respectarea relaţiei:
gr
u
dr
dp 2γ= (11.38)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 32
Diferenţiind prima ecuaţie faţă de r şi ţinând seamă că z este
independent de r, se obţine:
dr
duu
gdr
dp γ−= (11.39)
Din ultimele două ecuaţii rezultă:
0)(
==+dr
rud
dr
duru (11.40)
sau
r
ruu 00= (11.41)
ceea ce arată că circulaţia este constantă pentru orice cerc de rotaţie în jurul
axului pâlniei.
Dacă punctul de coordonate (r, p) este situat tot pe suprafaţa pâlniei,
p = p0, rezultă:
−=−
2
0
2
2
0
2
0
0
11
2 rrg
ruzz (11.42)
Debitul orificiului este mai mic în cazul formării pâlniei, deoarece
lichidul este îndepărtat de orificiu de către vârtej.
Dacă se iau precauţii ca apa să fie perfect liniştită nu se va forma
pâlnia.
11.2. CURGEREA PERMANENTĂ PRIN AJUTAJE
Ajutajele sunt conducte foarte scurte, de diferite forme, care sunt
ataşate etanş orificiilor. Curgerea prin aceste ajutaje diferă substanţial de
curgerea prin orificii prin faptul că peretele ajutajului are rol de dirijare a vânei
lichide.
Ajutajele pot fi exterioare şi interioare, în funcţie de partea orificiului
la care se ataşează, iar după formă pot fi cilindrice, conice (convergente,
divergente), conoidale, speciale etc.
11.2.1. Curgerea prin ajutajul cilindric exterior
Ataşând exterior unui orificiu circular cu muchie ascuţită un tub
cilindric, cu acelaşi diametru, având lungimea câteva diametre, se obţine un
ajutaj cilindric exterior (fig. 11.22).
Hidraulică vol. II 33
Fig. 11.22. Ajutaj cilindric exterior
Dacă muchia amonte a ajutajului este ascuţită jetul se dezlipeşte de
perete şi formează secţiunea contractată Ac = ε A. Dacă lungimea ajutajului îndeplineşte condiţia l < 1,5 D jetul rămâne
dezlipit, nu atinge peretele ajutajului şi iese în atmosferă, funcţionând aproape
ca un orificiu. Antrenarea aerului de către jet creează vârtejuri de aer între
peretele ajutajului şi jet, fapt care într-o oarecare măsură influenţează
parametrii curgerii.
Dacă lungimea ajutajului l > 1,5 D jetul se lipeşte de peretele tubului
în aval de secţiunea contractată şi iese în atmosferă cu secţiune egală cu cea a
ajutajului.
Aplicând ecuaţia energiei între secţiunea 0 şi e se obţine viteza la
ieşire:
02gHVe ϕ= (11.43)
cu
ζα
ϕ+
=e
1 şi
g
vHH
2
2
00
α+= (11.44)
Coeficientul 1~eα , iar D
li λζζ += . În cazul lungimii mici a ajutajului
(l/D = 3…5) pierderile liniare se pot neglija, ţinând cont numai de pierderea la
Vc VeAD
V0
HH0
c
e
e
i
i
0V0/2g
h
h
l
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 34
intrare cu muchii vii, deci 5,0~ =iζζ . În aceste condiţii 82,0~ϕ . Pentru
secţiunea de ieşire coeficientul de contracţie, 1==A
Aeeε , ecuaţia debitului
devenind:
00 282,02 gHAgHAQ e ≅= ϕε (11.45)
Comparativ cu debitul orificiului de acelaşi diametru, debitul ajutajului este
mai mare cu circa 34 %.
În secţiunea contractată, între vâna lichidă şi peretele ajutajului există
un spaţiu de vârtejuri unde presiunea este mai mică decât cea atmosferică.
Viteza în secţiunea contractată este superioară vitezei din secţiunea de intrare
sau de ieşire. În secţiunea contractată 98,0~ϕ şi 64,0~ε , rezultând
Vc = Vi/0,64 şi 06,0~ζ .
Ecuaţia energiei, scrisă secţiunilor 0 - c, cu 1≅cα şi
0282,0 gHVc = , permite calculul presiunii în secţiunea contractată cu relaţia:
074,0 Hp
h cvac −≅=
γ (11.46)
Valoarea presiunii vacuumetrice măsurate în secţiunea contractată indică valori
hvac ~ 0,75 H0, apropiată de valoarea calculată.
Această presiune vacuumetrică nu poate fi inferioară presiunii de
vaporizare în cazul funcţionării normale a ajutajului. Acceptând în loc de pv
vidul absolut rezultă mCA 33,075,0 0 −≥− H , sau mCA 77,130 ≤H . La sarcini
H0 superioare, la care în secţiunea contractată se atinge presiunea de vaporizare,
în ajutaj apar fenomene de cavitaţie şi de dezlipire a jetului de peretele
ajutajului ceea ce atrage după sine scăderea coeficientului de debit. Reducerea
acestui coeficient la valori apropiate coeficientului de debit caracteristic
orificiilor nu are loc brusc, datorită antrenării şi circulaţiei aerului între jet şi
peretele ajutajului (cel puţin pentru ajutaje cu diametre de ordinul milimetrilor).
Viteza mare a jetului antrenează aerul spre ieşire în apropierea suprafeţei
jetului, iar lângă peretele ajutajului are loc intrarea aerului (fig. 11.23). În
secţiunea contractată presiunea este inferioară presiunii atmosferice – mişcarea
aerului cu turbioane are loc cu pierderi de energie – şi orificiul funcţionează la
sarcina H0 - hvac. Acceptând în relaţie H0, va fi influenţat µ . Prin experimentări
chiar s-a remarcat un histerezis al coeficientului de debit (fig. 11.24).
Hidraulică vol. II 35
Fig. 11.23. Circulaţia în ajutaj Fig. 11.24. Variaţia coeficientului de debit
după dezlipire la ajutaj cu fenomene de cavitaţie
Lungimi ale ajutajului de peste (3…5)D implică scăderea
coeficientului de debit (şi viteză) datorită creşterii pierderilor liniare. Pentru
02,0=λ lungimea ajutajului care asigură acelaşi coeficient de debit ca orificiul
este l = 55 D.
11.2.2. Tipuri de ajutaje folosite în tehnică
Ajutajele sunt frecvent folosite în tehnică în diferite scopuri: mărirea
coeficientului de debit faţă de orificiu; realizare de jet compact sau destrămat;
instrumente pentru măsurare sau de limitare a debitului etc. Deseori
mCA 130 >H , iar evitarea fenomenelor de cavitaţie se realizează prin
modelarea formei în lung a ajutajului. Se utilizează ajutaje conice (convergente
şi divergente), conoidale, combinate şi, uneori ajutaje interioare tip Borda.
Principalele lor caracteristici corespund (tab. 11.4).
În tehnica hidroameliorativă ajutajele sunt frecvente ca duză de
aspersor, (conic convergent - cilindric), elemente de distribuţie la microirigaţie
prin rampe perforate (ajutaje cilindrice şi conic convergente). În tehnologia
hidromecanizării se întâlnesc ajutaje la hidromonitoare (conic convergent -
cilindric); în hidroenergetică la ajutajele turbinelor Pelton; la furtune de
pompieri şi duze pentru stingerea incendiilor; jetul fântânilor arteziene se
obţine cu diferite forme de ajutaje lucrând la sarcini diferite, deseori variabile.
Motoarele termice cu aprindere prin scânteie sau prin compresie utilizează
frecvent ajutajele la carburatoare, injectoare, stropitoare, duze de purjare etc. În
tehnica pulverizării în diferite scopuri se utilizează tot ajutaje de diferite forme.
hvac
L
d
ajutaj
orificiuH
µ0,6 0,82
3
5
10
12
0
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 36
Tehnica propulsiei prin jet precum şi tehnica militară, adeseori apelează
la ajutaje şi orificii.
Tipuri de ajutaje şi caracteristicile lor
Tabelul 11.4
Schema ajutajului
Denumire.
Caracteristici hidraulice
utilizate
Valoarea coeficientului
de debit
1 2 3
Ajutaje exterioare
1. Ajutaj cilindric exterior
normal
l = (3…5) d,
cu muchie ascuţită
82,0=µ
2. Ajutaj cilindric
exterior normal
l = (3…5) d, cu muchie rotunjită
)97,0...82,0∈µ
90,0=mµ
β
3. Ajutaj cilindric exterior
înclinat l = (3…5) d cu muchie ascuţită
β 0 10 20 30
µ 0,82 0,80 0,78 0,76
β 40 50 60
µ 0,75 0,73 0,72
β
4. Ajutaj conic convergent
946,0max =µ pentru
12413o=β
β µ β µ
90 0,873 15 0,942
60 0,892 13,24 0,946
45 0,909 11 0,938
36 0,920 7 0,908
30 0,925 6 0,896
22 0,931 5 0,883
18 0,937 4 0,857
6 0,82
d
l
l
R
Hidraulică vol. II 37
5. Ajutaj conoidal
l = 0,6 d Este profilat după forma vânei
994,0...956,0=µ
6. Ajutaj conic divergent cu
muchia rotunjită.
µ este raportat la secţiunea
cea mai mică. Vâna este lipită
numai pentru oo 7...5=β şi
are gol la mijloc
3,2...96,0=µ
7. Ajutaj conic convergent
divergent 3,25,1 −=µ
3,2max =µ pt. 16min
=A
Aiesire
a
b
d
D
D
8. Ajutaj: a) conic-convergent
(pompieri)
b) conoidal-cilindric
(hidromonitor)
ϕµ == ;2
1
D
d
4
3 ′′φ 983,0=µ
8
31′′φ 959,0=µ
9. Ajutajul turbinei Pelton.
Injector
97,0≅µ
β
βτ
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 38
Ajutaje interioare (tip Borda)
1. Ajutaj cilindric interior
1.1. Ajutaj conic divergent
interior
Dl 5,2≅
Forma ajutajului influenţează
puţin coeficientul de debit
52,051,0 −=µ
11.2.3. Conducte scurte privite ca ajutaje
Evacuarea apelor din spatele digurilor, barajelor, curgerea prin podeţe
tubulare sub presiune (fig. 11.25) – când lungimea conductelor este relativ mică
în raport cu diametrul - poate fi privită curgere prin ajutaje, debitul descărcat
fiind :
gHAQ 2µ= (11.47)
Coeficientul de debit depinde de forma conductei (circulară, dreptunghiulară
etc.), de forma intrării în conductă, şi raportul L/D. Dacă DL 50≤ coeficientul
µ corespunde (tab. 11.5) în caz contrar pierderile se calculează ca pentru
conducte scurte.
Coeficienţii de debit pentru conducte scurte, asimilate ca ajutaje
Tabelul 11.5 Intrare în
conductă
L
(m)
D (m)
0,305 0,46 0,61 0,915 1,22 1,525 1,83
Buză tăiată
oblic
3,05
6,10
9,15
12,20
15,25
0,86
0,79
0,73
0,68
0,65
0,89
0,84
0,80
0,76
0,73
0,91
0,87
0,83
0,80
0,77
0,92
0,90
0,87
0,85
0,83
0,93
0,91
0,89
0,88
0,86
0,94
0,92
0,90
0,89
0,88
0,94
0,93
0,91
0,90
0,89
Intrare
dreaptă cu
muchii vii
3,05
6,10
9,15
12,20
15,25
0,80
0,74
0,69
0,65
0,62
0,81
0,77
0,73
0,70
0,68
0,80
0,78
0,75
0,73
0,71
0,79
0,77
0,76
0,74
0,73
0,77
0,76
0,75
0,74
0,73
0,76
0,75
0,74
0,74
0,73
0,75
0,74
0,74
0,73
0,72
Hidraulică vol. II 39
Fig. 11.25. Conductă scurtă de golire, asimilată ca ajutaj.
De fapt aceste conducte de golire sunt privite ca ajutaje atâta timp cât
profilul vitezei în lungul conductei nu este stabilizat, stratul limită nu este
dezvoltat pe întreaga secţiune (fig. 11.26). La intrarea în conductă profilul de
viteză este uniform apoi se dezvoltă stratul limită care, la anumită distanţă de la
intrare, se extinde pe întreaga secţiune:
• în laminar DRl es 03,0= ;
• în turbulent Dls 50≈ .
Fig. 11.26. Profilul de viteză în conducte scurte asimilate cu ajutaje
11.3. JETURI LICHIDE
După cum s-a mai arătat vâna lichidă aval de orificiu sau ajutaj se
poate dezvolta în aer - vână liberă – sau în acelaşi lichid-vână înecată. Deşi
există studii teoretice numeroase, descrierea jetului conţine numeroşi
coeficienţi determinaţi experimental.
D
HV0
lsv
u~cu=c u(r)
u(r)
u(r)δ δ
i
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 40
11.3.1. Jetul liber
În 11.1.1. s-au studiat caracteristicile jetului liber de la orificii, pentru
sarcini mici (H = 6…7 m), lansate după orizontală şi cât timp frecarea cu aerul
se poate neglija.
Într-un caz mai general, se consideră un jet lansat dintr-un orificiu, sub
unghi θ faţă de verticală, secţiunea contractată fiind la distanţa R de la origine,
iar originea la o distanţă b faţă de un plan orizontal arbitrar P (fig. 11.27.). Se
consideră axa x pe orizontală, iar z pe verticală şi se aplică unui tronson din
jetul aruncat teorema mişcării centrului de masă.
Fig. 11.27. Traiectoria vânei de lichid în aer
Ecuaţia mişcării este:
MM r M g=ɺɺ (11.48)
cu proiecţiile pe axele de coordonate:
0M
M
X
Z g
=
= −
ɺɺ
ɺɺ (11.48
’)
Condiţiile iniţiale ale acestui sistem sunt:
t=0 sin
cos
M
M
X R
Z R
θ
θ
=
= şi 0
0
sin
cos
M
M
X V
Z V
θ
θ
=
=
ɺ
ɺ (11.49)
cu gHV 20 ϕ=
Integrând ecuaţiile (11.48’) în condiţiile (11.49) se obţine:
R
θ
Xo
b
M(x,z)
PB
X0
V0
rM
ΖΜ
XM
x
Hidraulică vol. II 41
=
=
θ
θ
cos
sin
01
01
VC
VC
y
x;
=
=
θ
θ
cos
sin
2
2
RC
RC
z
x
coordonatele traiectoriei devenind:
( )
( ) 2
sin 2 sin
1cos 2 cos
2
M
M
X R gH t
Z R gH t gt
θ φ θ
θ φ θ
= + = + −
(11.50)
După eliminarea timpului din sistemul (11.50), se obţine:
2
2 2 2 2
1
4 2 sin 4 sinM M M
R RZ ctg X X
H H Hθ
φ φ θ φ θ
= − + + −
(11.51)
sau
( ) ( )2 2 2 2 22 sin 2 sin 4 sin 0M M MX H R X R H Zφ θ θ φ θ− + + + ⋅ = (11.52)
Bătaia jetului X0 rezultă din ecuaţia (11.52) în care ZM = - b,
( ) ( )2 2 2 2 22 sin 2 sin 4 sin 0M MX H R X R H bφ θ θ φ θ− + + − ⋅ = (11.53)
deci prima soluţie a acestei ecuaţii este:
( ) ( )2
2 2 2 2 2sin 2 sin sin 2 sin 4 sinMX H R H R R H bφ θ θ φ θ θ φ θ= + + + − − ⋅ (11.54)
Bătaia maximă a vânei 0
X se obţine prin anularea primei derivate a
funcţiei (11.54) în raport cu variabila θ .
Termenii care conţin R, în general, se pot neglija, datorită distanţei
mici dintre secţiunea orificiului şi cea contractată, obţinând:
2 2 2 22 sin 2 4 sin 0M M MX HX H Zφ θ φ θ− + ⋅ = (11.52’)
şi
( )2
2 2 2 2sin 2 sin 2 4 sinMX H H H bφ θ φ θ φ θ= + + ⋅ (11.54’)
Când b este neglijabil se obţine relaţia cunoscută:
22 sin 2MX Hφ θ= (11.55)
În toate cazurile ecuaţiile (11.54, 11.54’, 11.55) prezintă un maxim pentru 045=θ , fiind neglijată frecarea cu aerul.
Particulele de lichid vor fi dispersate de o parte şi alta a punctului B,
unde centrul de masă întâlneşte planul P.
Pentru jetul vertical 0=θ înălţimea de ridicare maximă rezultă:
g
VH
22
2
0
ϕ= , (11.56)
însă această înălţime este teoretică, fiind neglijată frecarea cu aerul.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 42
La presiuni mai mari de 6…7 mCA, de ordinul 10…35 mCA, bătaia
maximă a jetului se obţine pentru unghi de lansare faţă de orizontală între
30…40o. Înălţimea de ridicare şi bătaia maximă sunt mai mici, datorită
pierderilor de energie prin frecări interne şi cu aerul. Lansarea jetului depinde
de forma ajutajului.
Jetul de apă iese în atmosferă în general compact, dar după un anumit
parcurs nu mai are unitate ci este format din trâmbe secundare care, la rândul
lor, se descompun pe traseu până la picături şi cad în această formă. Forţele
care participă la destrămarea jetului sunt: cele rezultate din diferenţe de
presiune interioare, rezistenţa aerului şi tensiunea superficială, iar ca forţă
stabilizatoare - vâscozitatea. În fig. 11.28. se reprezintă schematic structura
jetului de apă. Datorită fenomenelor de destrămare - pulverizare se formează o
zonare a jetului în lungime şi în secţiune transversală.
Zona 1: este vână compactă, transparentă în centru, care se subţiază spre aval şi
dispare la sfârşitul sectorului I.
Zona 2: este compusă din fire de lichid cu bule de aer, începe la suprafaţa
jetului din sectorul I (în secţiunea 1) şi formează exteriorul jetului I şi miezul
sectorului II. Dispare la sfârşitul sectorului II.
Zona 3: este compusă din picături izolate şi fire de lichid care se mişcă în aer;
ea începe în sectorul II la suprafaţă şi formează tot jetul din sectorul III. Zona
de picături şi fire de lichid în aer sau cu bule de aer are aspect alb-lăptos şi nu
este transparentă.
Fig. 11.28. Structura jetului de apă în aer
S ec to r I S ec to r II S ec to r III
1
1
2
2
3
3
z ona I
zon a II
z ona II
zona IIIzon a III
Hidraulică vol. II 43
Studiile efectuate asupra jetului liber, dezvoltat în atmosferă, arată că
înălţimea jetului vertical este:
Hg
VHHHV ∆−=∆−=
22
2
0
ϕ (11.57)
unde H∆ reprezintă pierderile de energie. Prin analogie cu pierderile de energie
liniare
g
V
d
HKH V
2
2
1=∆ (11.59)
sau
g
V
d
HKH
2
2
2=∆ (11.59’)
Admiţând 2
2
2
0 VV
=ϕ
şi notând χ=d
K1 ecuaţiile 11.59 şi 11.59’ devin
H
HHV
χ+=
1 (relaţia lui geruL ɺɺ ) (11.60)
şi
−=
d
HKHHV
21 (11.60’)
χ are dimensiunea 1−L şi valori [ ]0228,0;0014,0∈χ pentru d = 10…50 mm.
Coeficientul χ poate fi calculat după relaţia:
( )2
4
101
105,2
D+
⋅=
−
χ (11.61)
D fiind diametrul jetului în origine, exprimat în m.
Între coeficienţii K1 şi K2 există relaţia:
d
HK
KK
2
21
1−
= (11.62)
Pe o anumită lungime a jetului acesta este compact, apoi pulverizat
(fig. 11.29). Lungimea jetului compact este indiferentă de înclinarea sa;
înfăşurătoarea jetului compact la diferite unghiuri de lansare faţă de orizontală
este un cerc cu raza Rc = Hc. Înălţimea părţii compacte HC a jetului se defineşte
convenţional astfel: lungimea de la ajutaj până în secţiunea în care jetul
transportă, într-un cerc cu diametrul de 38 cm, 90 % din debitul ajutajului de
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 44
lansare şi într-un cerc cu diametrul de 26 cm 75 % din debitul ajutajului.
Această înălţime se defineşte:
VCC HRH β== (11.63)
Valorile coeficientului β corespund tabelului 11.6. Se mai poate
utiliza relaţia empirică:
( )
1
363
42,5
104,21
03044,01
−
−
++=
dd
eHH C (11.64)
Curba înfăşurătoare a jetului (partea compactă şi pulverizată), în
coordonate polare este (fig. 11.29)
Vp HR α= (11.65)
cu valorile lui α conform tabelului 11.7.
Fig. 11.29. Traseul jetului lichid în atmosferă
Valorile coeficientului ( )Hβ
Tabelul 11.6 ( )mHV 7 9,5 12 14,5 17,2 20 24,5 26,8 30,5 35 40 48,5
β 0,840 0,840 0,835 0,825 0,815 0,805 0,785 0,760 0,725 0,690 0,650 0,600
Valorile coeficientului ( )θα
Tabelul 11.7
( )0θ 0 15 30 45 60 75 90
α 1,40 1,30 1,20 1,12 1,07 1,03 1,00
Hv
Lmax
Rc=Hc
Rp
compact
pulverizat
H
L0
θ
Hidraulică vol. II 45
La presiuni de peste 7 mCA bătaia maximă a jetului se realizează
pentru unghiuri 045<θ , fiind cuprinse între 30…40o.
Mărimea relativă a celor trei sectoare ale jetului poate fi modificată
prin construcţia ajutajului în funcţie de destinaţia jetului. Astfel pentru
combaterea incendiilor se potriveşte structura jetului din sectorul II, pentru
irigaţie prin stropire structura jetului din sectorul III (picături), injectoarele de
combustibil ale motoarelor sau pentru împrăştiat ierbicide, insecticide,
fungicide lucrează în domeniul zonei pulverizate (uneori se utilizează
injectoare sonice). Jeturile de plasmă la tăierea metalelor sau jeturile de apă ale
hidromonitoarelor au nevoie de jeturi compacte cât mai lungi. Pulverizarea
jetului este mai pronunţată dacă jetului i se atribuie o mişcare elicoidală.
Aspersoarele asigură jet destrămat şi prin rotirea lor, mărimea
picăturilor de ploaie artificială de 1 – 2 mm trebuie să fie distribuită uniform pe
o distanţă cât mai mare. Duzele conic – convergente - cilindrice asigură acest
deziderat (uneori chiar se foloseşte spărgător de jet) la presiuni 2 - 6 bar, şi
viteză de rotaţie 1 - 3 rot/min. Dispozitivul care asigură rotirea este şi spărgător
de jet (turbină, prism sau cupă). Unghiul de lansare a jetului este de 32o faţă de
orizontală, bătaia după Pikalora fiind:
L = 0,42 H + 1000 d, (11.66)
(relaţia este valabilă pentru H/d > 1000).
La jetul de hidromonitor, cu presiune de lucru 3 - 15 bar, lungimea de
bătaie este:
3 2415,0 dHL θ= (11.67)
unde θ este unghiul de lansare faţă de orizontală H în m, iar d în mm. Relaţia
este recomandată pentru 00 32...5=θ , d = 5…50 mm şi H = 30…80 mCA.
La fântâni decorative se folosesc diferite forme de ajutaje cu efecte
variate şi jeturi de diferite feluri.
Jeturile în aer îndreptate în direcţie opusă produc prin ciocnire o formă
de disc în plan vertical de formă circulară. Încărcate electric jeturile se atrag sau
se resping în funcţie de încărcare electrică.
Jetul fragmentat de vibrarea ajutajului se foloseşte la imprimante cu
jet de cerneală. Tronsoanele de jet încărcate electrostatic sunt deflectate
diferenţiat de câmp magnetic comandat, care, împreună cu deplasarea uniformă
a hârtiei pe direcţie ortogonală formează matricea de imprimare.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 46
11.3.2. Jetul înecat
Spre deosebire de jetul liber, la cel înecat procesul de amestec dintre
fluidul injectat şi mediu joacă un rol important, determinând structura jetului
(fig. 11.30).
Fig. 11.30. Structura jetului înecat
Un jet înecat este format dintr-un nucleu - cu mişcare ordonată şi
viteză constantă V0 (viteza de lansare) – şi o parte turbulentă – în care vitezele
scad pe direcţia radială din cauza frânării şi amestecului cu fluidul înconjurător.
Nucleul scade în diametru în lungul zonei iniţiale; pentru un jet rotund
conicitatea nucleului fiind 00
2 15...14=θ . În zona principală viteza maximă
este în axa jetului dar scade treptat până la stingerea jetului (V = 0) după o lege
hiperbolică de forma:
xconstvm /= (11.68)
Conicitatea divergentă a jetului înecat este 00
1 30...20=θ şi depinde
de forma ajutajului şi de natura fluidului.
Bătaia jetului este distanţa de la ajutaj până la secţiunea 3 unde jetul se
stinge.
Calculul jetului înecat este o operaţie complexă şi se bazează pe
numeroşi coeficienţi experimentali. Viteza axială depinde de diametrul şi forma
ajutajului şi de distanţa x. Experienţele arată că presiunea în lungul jetului
practic este constantă şi egală cu ceea a mediului ambiant.
Vitezele în interiorul jetului depind de distanţa de la axă-coordonata r
şi de viteza iniţială V0. În punctul B, definit prin coordonatele (x, r), viteza este:
2
2
3
1
−=
xm R
r
v
v (11.69)
z o n a p r in c ip a laz o n a in i t ia l a
θθ
V o V o
V o V 1
r R x
x
n u c le u
p a r t et u r b u le n t a
Vo
1 2 3
B
R x
x0
v
2= 1 4 - 1 5
o
1= 2 0 - 3 0
r
Hidraulică vol. II 47
Dacă D0 = 2R0 este diametrul iniţial al jetului, atunci:
m
x
v
v
R
R 0
0
3,3= (11.70)
iar distanţa de bătaie
xx aRx /max = (11.71)
unde ax = 0,066…0,076 este un coeficient experimental.
Cunoaşterea structurii jetului submers are importanţă mare la
realizarea motoarelor cu ardere internă cu injecţie, a motoarelor cu jet (rachete),
turbinelor cu gaz, ventilaţii, dispersia apei calde în emisar ş.a.
Elementele constructive ale ajutajelor au rol determinant în
caracteristicile jeturilor rezultate şi necesită studii experimentale fiindcă
rezultatele sunt valabile numai pentru fiecare construcţie în parte.
Ataşarea unui jet de lichid la un perete adiacent este efectul Coandă.
Jetul poate adera la un perete plan sau curb, pe o lungime mare şi poate fi
deflectat cu unghiuri mari (chiar până la 1800). Efectul a fost observat în 1910
de inventatorul şi omul de ştiinţă român Henri Coandă. Efectul Coandă are
numeroase aplicaţii tehnice din domenii diferite.
11.4. CURGEREA LICHIDELOR PRIN ORIFICII ŞI
AJUTAJE SUB SARCINĂ VARIABILĂ
Curgerea lichidelor prin orificii, ajutaje, conducte scurte sub sarcină
variabilă are loc la golirea rezervoarelor, lacurilor de acumulare, la egalizarea
nivelului între două rezervoare - ecluze, când nivelul lichidului are variaţii în
timp, deci mişcarea este nepermanentă. Variaţia nivelului în rezervoare este
relativ lentă în timp şi pentru intervale scurte se poate asimila mişcarea cu una
permanentă.
Se va dezbate problema timpului de golire al rezervoarelor şi timpul
de egalizare în două rezervoare.
11.4.1. Timpul de golire al rezervoarelor
Se consideră un rezervor a cărei secţiune orizontală S(h) este o funcţie
de cota h. Acest rezervor se goleşte printr-un orificiu, de secţiune A şi având
coeficient de debit µ (fig. 11.31). Rezervorul poate fi alimentat cu un debit
Qa.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 48
Fig. 11.31. Schema pentru calculul timpului de
golire al unui rezervor
10. Debit de alimentare nul
Volumul de apă descărcat de orificiu în timpul dt este egal cu scăderea
volumului din rezervor:
dtghAdhhS 2)( µ=− (11.72)
După separarea variabilelor, rezultă:
dhh
hS
gAdt
)(
2
1
µ−= (11.73)
Golirea rezervorului de la cota h0 la cota h1 are loc în timpul t0-1, care
se obţine prin însumarea timpilor elementari
∫∫ −==−
1
0
)(
2
11
0
10
h
h
dhh
hS
gAdtt
µ (11.74)
Problema este soluţionată dacă se cunoaşte funcţia S(h), exact sau printr-o
metodă de integrare aproximativă.
10.a. În cazul unui rezervor prismatic S(h) = const., rezultând:
−=−
2
1
12
1
0102
2hh
gA
St
µ (11.75)
La golirea totală (h1 = 0) se obţine:
)(
2
2
2
00
0
hQ
W
hgA
Sht
orifg ==
µ (11.76)
deci timpul de golire este dublu faţă de timpul necesar curgerii aceluiaşi volum
sub sarcină constantă h0.
10.b. În cazul unui rezervor oarecare (ex. lacuri de acumulare) S(h)
este arbitrară şi se recurge la soluţionarea ecuaţiei (11.74) prin diferenţe finite.
Diferenţa de nivel h0 - h1 se împarte în ‚n’ părţi, fiecărei cote hi corespunzând
o suprafaţă Si (determinată prin planimetrare).
A
S(h)
Qa
µ1
0dh h
h
h
Hidraulică vol. II 49
( )( )
( )∑∑+
++−
+
−+==
n
ii
iiiin
ihh
hhSS
gAtt
1 1
11
1
102
1
µ (11.77)
20. Debit de alimentare existent, Qa
Variaţia de volum în rezervor pe înălţimea dh este egală cu produsul
diferenţei debitului evacuat şi de alimentare şi timpul dt
( )dtQghAdhhS a−=− 2)( µ (11.78)
rezultând
∫−
−=−
1
02
)(10
h
h a
dhQghA
hSt
µ (11.79)
Când integrala nu se poate rezolva prin calcule riguroase se recurge la diferenţe
finite:
( )( )
( )∑ ∑−+
−+==
−
−−−
n n
aiii
iiiii
QhhgA
hhSStt
1 1 1
11
102
1
µ (11.80)
Debitul de alimentare poate fi constant sau o funcţie oarecare (de obicei de
timp-hidrograf afluent).
11.4.2. Timpul de egalizare al nivelului în două rezervoare
Se consideră două rezervoare cu secţiunile orizontale S1 şi S2
constante, legate între ele printr-un orificiu (ajutaj, conductă scurtă) cu
caracteristicile µ şi A. Cotele luciului apei în cele două rezervoare sunt z,
respectiv z’ peste planul orizontal al axului orificiului, diferenţa de nivel fiind h
= z - z’ (fig. 11.32).
În timpul dt din rezervorul R1 curge prin orificiu în R2 volumul de
lichid:
dtzzgAdW )(2 ′−= µ (11.81)
Scăderea de volum în R1 este:
dzSdW 1−= (11.82)
iar creşterea de volum în R2 zdSdW ′= 2 . (11.83)
Egalizarea acestor volume conduce la:
dtzzgAzdSdzS )(221′−=′=− µ (11.84)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 50
Fig. 11.32. Schema pentru calculul timpului de egalizare
a nivelului în două rezervoare.
Secţiunile orizontale S1 şi S2 fiind constante se poate scrie:
2112 SS
dzzd
S
zd
S
dz
+
−′=
′=− (11.85)
Făcând substituirea z - z’ = h şi dz - dz’ = dh, se obţine
21
2
SS
dhSdz
+= (11.86)
Din dtzzgAdzS )(21′−=− µ se determină dt,
( ) ( ) ghSSA
dhSS
zzgA
dzSdt
22 21
211
+−=
′−−=
µµ,
sau integrat în intervalul [h, 0], rezultă:
( ) ( ) hQSS
hSS
gASS
hSSt
21
21
21
21 22
2+
=+
=µ
(11.87)
unde Qh este debitul orificiului înecat lucrând la sarcina h.
11.5. DEVERSOARE
Prin deversor se înţelege o construcţie sau o instalaţie peste care curge
un lichid cu suprafaţă liberă. Standardele definesc deversoarele drept
construcţii hidrotehnice dispuse într-un curent cu suprafaţă liberă în scopul
menţinerii unui nivel sau pentru măsurarea debitelor.
h
z'
dz'
dz
z
R1 R2
S1S2
,Aµ
Hidraulică vol. II 51
Elementele deversoarelor corespund (fig. 11.33).
Fig. 11.33. Elementele deversoarelor
1. Caracteristicile geometrice sunt: forma profilului transversal
(rezultat printr-o secţiune verticală în lungul curgerii 11.33.a); creasta sau
coronamentul (c) deversorului este linia punctelor cu cotă maximă de pe
deschidere; grosimea (δ) a deversorului este gabaritul profilului transversal la
creastă; lungimea (b) a deversorului este lungimea crestei; pragul amonte (p1)
şi aval (p) reprezintă înălţimea crestei peste fundul biefului amonte şi aval;
forma deschiderii deversorului din vederea aval (fig. 11.33.b); înclinările
deversorului faţă de verticală, direcţia curentului sau a crestei faţă de
orizontală.
2. Elementele hidraulice determină fenomenul şi caracteristicile
curgerii şi sunt caracterizate prin: sarcina pe deversor (H) este diferenţa dintre
cota nivelului apei (măsurată la o distanţă de 2…3H în amonte) şi cota
coronamentului; sarcina totală (H0) este sarcina corectată cu termenul cinetic
de apropiere ( gVhv 2/2
0α= ); viteza de apropiere (V0) cu care soseşte curentul
la deversor; debitul (Q) descărcat; căderea (z) - este diferenţa de nivel amonte
β
B/2
δ
b/2
c.
Ho H
h= v /2g
pp
hz z
θ
(2...3)H
δP.S.
L.D.
P.I.
α 02
0
0
n
V
Qa.
1
v
dhh
B/2
b/2
b.
c
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 52
- aval; căderea totală (z0) este căderea corectată cu termenul cinetic de
apropiere; adâncimea de înecare (hn) este diferenţa dintre cota luciului aval şi
cota crestei deversorului; lama deversantă (LD) este jetul de lichid care trece
prin deschidere şi este limitată de pânza superioară (PS) şi inferioară (PI).
11.5.1. Teoria fundamentală a debitului
Dezvoltarea formulelor debitului descărcat datează din începuturile
istoriei teoriei hidraulice şi în principal se referă la forma dreptunghiulară a
deschiderii.
Sunt uzuale două căi de a ajunge la relaţia generală a deversoarelor:
împărţirea lamei în fâşii orizontale cu înălţime dh şi considerarea curgerii prin
fâşie ca la orificii mici, apoi însumarea debitelor elementare şi prin utilizarea
teoremei produselor de la analiza dimensională (1.2.2. – vol 1).
Conform figurii 11.33. debitul elementar este:
( ) dhhhgbdQ v ⋅+= 2µ (11.86)
care se integrează pe domeniul [0, H], obţinând:
( )
−+= 2
3
2
3
23
2vv hhHgbQ µ (11.87)
Notând cu m0 coeficientul de debit al deversorului pentru funcţionare normală
µ3
20 =m (11.88)
rezultă
−= 2
3
2
3
00 2 vhHbmQ (11.89)
Când hv este neglijabil (H/p1 foarte mic) rezultă:
2
3
00 2 HgbmQ ≅ (11.90)
Termenul cinetic hv este o funcţie de debit, deci relaţiile (11.89 şi
11.90) sunt implicite şi soluţionarea lor necesită iteraţii succesive de calcul.
Când termenul cinetic hv este atât de mic în comparaţie cu sarcina H
încât este neglijabil, se obţine:
2
3
0 2 HgbmQ ≅ (11.91)
Hidraulică vol. II 53
Uzual se utilizează relaţiile (11.90) şi (11.91), uneori efectul
termenului cinetic asupra debitului fiind inclus în coeficientul de debit.
În decursul timpului s-au întreprins numeroase experienţe asupra
deversoarelor. Deşi experimentările individuale sunt consistente, rezultatele
mai multor cercetări dau valori diferite cu abateri de câteva procente între ele.
Coeficientul de debit pentru funcţionare normală m0 se numeşte
coeficient de formă şi depinde de profilul transversal al deversorului
(caracteristică principală).
Coeficientul de debit al deversorului:
...2110 kkmmm ⋅⋅⋅⋅⋅= εσ (11.93)
este un produs al coeficientului de formă şi coeficienţilor de corecţie ai
factorilor care influenţează curgerea - înecarea, contracţia, înclinarea, aerarea
lamei, tensiunea superficială etc. Coeficienţii de corecţie sunt unitari pentru
condiţii normale şi diferiţi de unitatea când sunt abateri de la normalitate.
Formula (11.93) este aproximativă prin introducerea separată a
corecţiilor. Coeficientul m este o funcţie complexă determinat de ansamblul
fenomenului de curgere peste deversor (1.2.2).
Prezentarea în continuare conţine clasificarea deversoarelor, calculul
celor cu profil dreptunghiular, apoi alte forme de deversoare.
11.5.2. Clasificarea deversoarelor
Există o mare varietate de deversoare – ca tip, formă, funcţional – iar
utilizarea lor depinde de o serie de criterii.
Clasificarea deversoarelor se face în funcţie de parametri:
• geometrici
- grosimea peretelui;
- forma profilului;
- forma deschiderii;
- înclinarea - crestei faţă de orizontală;
- deversorului faţă de liniile de curent;
- deversorului faţă de verticală;
- forma în plan.
• hidraulici
- felul racordării cu bieful aval;
- condiţiile de acces al lichidului la deversor;
- felul lamei deversante etc.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 54
10. După grosimea peretelui deversoarele se împart în trei categorii:
10.a. cu perete subţire (sau muchie ascuţită) – fig. 11.34. – la care
curgerea nu este influenţată de grosimea δ a crestei, lama deversantă se
dezlipeşte de muchia amonte ca la orificii (excepţie făcând curgerea cu lamă
lipită)
Fig. 11.34. Deversor cu muchie ascuţită.
10.b. cu perete gros şi profil curb (fig. 11.35), la care lama
deversantă se lipeşte de coronamentul deversorului. În această categorie se
încadrează diferite forme ale profilului: deversoare poligonale sau curbe
utilizate frecvent în practica inginerească.
Fig. 11.35. Deversoare cu profil gros şi curb: a, b) profil poligonal; c) profil curb
10.c cu prag lat (fig. 11.36) la care curgerea în partea centrală are
caracteristici de curent gradual variat.
Fig. 11.36. Deversor cu prag lat
p
h
δ
v /2g
H H
p
V0
02
0
av
1
α
H
δ
a
H
b
c
c
c
H
δ
Hidraulică vol. II 55
20. După forma profilului deversoarele pot fi poligonale sau curbe
(v. fig. 11.35).
30. După forma deschiderii: deversoarele, în general, au forme
geometrice regulate simple – dreptunghiulară, trapezoidală, triunghiulară,
circulară etc., sau compuse: proporţional (hiperbolic cu dreptunghi, dublu
trapezoidal etc.), fig. 11.37.
Fig. 11.37. Formele deschiderii deversoarelor
Anumite forme ale deschiderii sunt specifice deversoarelor pentru
măsurarea debitelor, altele sunt utilizate pentru descărcătoare sau alte scopuri
tehnice.
40. Înclinarea deversoarelor se referă la: aşezarea lor în plan faţă de
direcţia curentului – se disting deversoare normale (frontale), oblice şi paralele
(fig. 11.38); poziţia crestei faţă de orizontală – existând deversoare cu creastă
orizontală sau înclinată (fig. 11.40).
b
θ
bb
a bc
Fig.11.38. Înclinarea deversoarelor faţă de direcţia curentului
a) normal, b) oblic, c) paralel
ab
c
d
e
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 56
a
θ
b
υ
c
Fig. 11.39. Înclinarea paramentului amonte al deversorului faţă de verticală
a) normal, b) înclinat amonte, c) înclinat aval
a b
υ
Fig. 11.40. Înclinarea crestei deversorului faţă de orizontală
a) orizontal, b) înclinat
Înclinarea deversorului faţă de direcţia curentului se introduce în
calcule prin coeficientul de debit (11.93) printr-un coeficient de corecţie k1
(tab. 11.8)
Corecţia înclinării deversorului faţă de direcţia curentului
Tabelul 11.8
( )0θ 15 30 45 60 90
k1 0,86 0,91 0,94 0,96 1
50. După forma în plan există deversoare rectilinii, poligonale, curbe
(arc de cerc, cerc), margaretă, crocodil etc. (fig. 11.41)
Fig. 11.41. Forma în plan a deversoarelor
Hidraulică vol. II 57
Efectul formei în plan al deversorului se introduce în calcule prin
corectarea coeficientului de debit (11.93) prin coeficientul k2. La deversor
poligonal pentru calculul debitului se însumează lungimea crestelor rectilinii
care compun deversorul; pentru fiecare se ţine seama de oblicitatea faţă de
direcţia curentului.
La deversoare în arc de cerc:
1
2 1p
Hnk −= (11.94)
în care n are valorile din tabelul 11.9.
Coeficienţi n pentru deversoare în arc de cerc
Tabelul 11.9 Forma albiei ( )0θ
15 30 45 60 75 90
Albie lată 0,71 0,35 0,20 0,4 0,04 0,00
Albie îngustă 0,83 0,48 0,28 0,13 0,04 0,00
Criteriile hidraulice clasifică deversoarele după cum urmează:
60. După felul racordării cu bieful aval există deversoare neînecate,
când adâncimea nivelului din bieful aval nu are influenţă asupra curgerii şi
deversoare înecate, când poziţia nivelului din aval influenţează debitul
descărcat de deversor (fig. 11.42). Adâncimea de înecare hn este diferenţa
între cota luciului apei din bieful aval şi cota crestei deversorului şi poate avea
valori negative şi pozitive. De obicei pentru hn > 0 intervine influenţa nivelului
aval asupra debitului descărcat, dar la anumite deversoare efectele de înecare
pot apare şi la valori negative ale lui hav.
Fig.11.42. Racordarea deversoarelor cu bieful aval
a) neînecat, b) înecat, c)efectul adâncimii de înecare asupra debitului descărcat
H-const
hh _
av
n
H-const
hhn
av
+
a b cQ
înecat
neînecat
av
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 58
Efectul înecării asupra debitului descărcat se introduce prin coeficientul de
înecare:
)/( 0Hhf n=σ (11.95)
70. După condiţiile de acces al lichidului la deversor se disting:
70.a. deversoare fără contracţie laterală, când frontul de acces are
lăţimea frontului deversant (fig. 11.43.a) şi
70.b. deversoare cu contracţie laterală, când lăţimea albiei amonte
este superioară frontului deversant şi aceasta poate fi divizat de pile
(fig. 11.43.b).
Fig. 11.43.. Condiţiile de acces al apei la deversor.
Efectul condiţiilor de acces, a contracţiei laterale asupra debitului
descărcat se introduce prin coeficientul de contracţie care depinde de forma
culeilor, pilelor, avansului acestora, lungimea câmpului deversant fată de
lăţimea albiei de acces.
1( , , , , )f b B p Hε α= (11.96)
80. Forma lamei deversante depinde de profilul crestei deversorului
şi de aerisirea spaţiului dintre lama deversantă, paramentul aval şi pereţii
laterali. Se consideră ca tip fundamental forma lamei de la un deversor cu
muchie ascuţită, fără contracţie laterală, vertical cu creastă orizontală, frontal şi
lama aerisită (sub lama deversantă presiunea este aceeaşi ca la suprafaţa sa).
Existenţa pragului amonte p1 implică convergenţa liniilor de curent spre
deschizătura deversorului; firele de curent care formează lama se dezlipesc la
muchia amonte a crestei în punctul F şi pânza inferioară a lamei se ridică
(datorită inerţiei) şi dă naştere la contracţia de fund (fig. 11.44).
B=b B bVo Vo
a b
Hidraulică vol. II 59
0,18H
N E
K
F
A
B
C
G LD
A
B
C
B'
'
''
H
'βγ
HH
p
c
1
Vo
Fig. 11.44. Forma lamei deversante perfecte
Proporţiile lamei deversante în raport cu sarcina H se menţin indiferent de
grosimea lamei astfel HDC 112,0= , HAC 668,0= ,
HHHGL
HFGHFDHFLHKNHAE
c 888,0 ,0,1
,40,0 ,27,0 ,4,1 ,15,0 ,22,0
==
=====
Diagrama presiunilor în secţiunea AC urmăreşte curba AB’C, are
presiuni relative nule în punctele A şi C, iar presiunea maximă
Hp 18,0/max =γ este în punctul B poziţionată prin ACCB )4,0...3,0(~ . Curba
A’B’’C’ este epura teoretică a vitezei (după Toricelli), iar curba reală A’C’ este
concavă (datorită variaţiei presiunii în lamă).
Forma lamelor deversante este explicată prin teoremele generale ale
hidrodinamicii prin „principiul debitului maxim”, care se poate enunţa astfel:
forma stabilă a fenomenelor hidraulice este aceea care, în condiţii externe date, corespunde condiţiilor de curgere cu debit maxim. În funcţie de posibilitatea pătrunderii aerului pe sub lama deversantă,
aceasta poate lua următoarele forme (fig. 11.45):
80.a. Lamă deversantă liberă (sau aerată). În acest caz atât pânza
superioară cât şi cea inferioară a lamei deversante sunt supuse presiunii
atmosferice. Dacă spaţiul de sub lamă este mărginit de pereţii laterali lama
aerată se poate menţine numai prin aport artificial de aer atmosferic din afară.
Lama în mişcarea sa antrenează în aval aer de sub lamă, deci trebuie asigurat
prin instalaţia de aerare debitul necesar de aer care depinde de dimensiunile şi
caracteristicile deversorului.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 60
80.b. Lamă deversantă deprimată (sau neaerisită) se formează când
aerarea spaţiului de sub lamă este împiedicată. Se formează la deversare fără
contracţie laterală, când aerul de sub lama deversantă este antrenat parţial de
către curent şi sub lamă se formează presiune vacuumetrică p < pa. Nivelul apei
de sub pânză se va ridica la cotă superioară nivelului aval, iar diferenţa de
presiune pe pânza superioară şi inferioară curbează mai puternic lama
deversantă decât în cazul lamei aerate. Curbura mai pronunţată a lamei implică
creşterea debitului descărcat faţă de lama deversantă aerată. Această formă de
lamă deversantă ia naştere pentru H < 0,4 p1.
80.c. Lamă deversantă înecată dedesubt se formează în condiţiile
asemănătoare ca şi lama deprimată însă în condiţiile H > 0,4 p1. În timp tot
aerul de sub lamă este antrenat în aval şi spaţiul este ocupat de vârtejuri de
lichid. Presiunea vacuumetrică de sub lamă este mai pronunţată şi curbarea sa
la fel, ca şi debitul descărcat. Mişcarea vârtejurilor de sub lamă are şi un
caracter pulsatoriu dând naştere la instabilitatea mişcării şi solicitarea
suplimentară a construcţiei. În practica inginerească se evită lamele deversante
deprimate şi înecate dedesubt prin utilizarea instalaţiilor de aerare sau
modificarea paramentului aval al deversorului.
80.d. Lama deversantă aderentă sau lipită este cazul în care lama se
lipeşte de paramentul aval. În cazul paramentului aval vertical sau înclinat
înapoi această lamă ia naştere la sarcini mici, tensiunea superficială jucând rol
important în lipire lamei de parament. De obicei se formează la sarcini sub
1 cm. La creşterea sarcinii lama se dezlipeşte, dând naştere la celelalte forme.
La astfel de lamă coeficientul de debit (de formă) creşte datorită creşterii
virtuale ale sarcinii pe seama presiunii vacuumetrice de sub lamă.
În alte situaţii se creează chiar la sarcini mari lamă lipită prin
modificarea paramentului aval al deversorului pentru evitarea presiunii
vacuumetrice în spaţiul de sub lamă protejând astfel paramentul aval de
solicitări suplimentare.
Fig. 11.45. Formele lamei deversante
a) aerată, b) deprimată, c) înecată dedesubt, d) lipită.
p
Hpa
pa1
a
1p
Hap
H<0,4p1
p<pa
b
1p
H
H>=0,4p1
c
p1
d
H
Hidraulică vol. II 61
11.5.3. Deversoare cu perete subţire.
Aceste deversoare convenţional se definesc prin 0,67/ ≤Hδ şi în
deschidere pot avea forme geometrice regulate diferite. În general se folosesc
ca deversoare de măsurare a debitului.
10. Deversorul cu deschidere dreptunghiulară.
Aceste deversoare sunt cele mai simple din punct de vedere constructiv
şi au forma din fig. 11.33. Relaţia generală a debitului descărcat corespunde
11.5.1 şi au forma (11.89), (11.90) sau (11.91).
Deversorul de acest tip, fără contracţie laterală, cu lamă deversantă
liberă, normală pe direcţia curentului, verticală, cu muchia crestei orizontală
este deversorul perfect de tipul Bazin.
Pentru calculul coeficientului m0 este posibilă utilizarea unor relaţii,
determinate prin prelucrarea datelor experimentale, după mai mulţi autori,
astfel:
10.a. Bazin - pentru situaţia când termenul cinetic de apropiere este
neglijabil:
H
m0027,0
405,00 += , (11.97)
al doilea termen ţinând seama de efectul tensiunii superficiale;
- efectul vitezei de acces se întroduce prin corecţia:
( )2
1
2
1 55,01pH
Hm
++= , (11.98)
10.b. Rehbock, ţinând seama şi de viteza de acces:
Hp
Hm
001,0054,0404,0
1
0 ++= (11.99)
Relaţiile de mai sus sunt valabile pentru 5/ 1 <pH .
Contracţia laterală, apărută la deversoare pentru care lungimea crestei
(b) este inferioară lăţimii (B) a albiei, se introduce prin modificarea relaţiei
(11.98) pentru m1 în:
2
1
4
'
1 55,01
+
+=
pH
H
B
bm (11.100)
sau prin relaţia:
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 62
6,11000
)/(241,2025,0385,0
22
'
0+
−+
+=
H
Bb
B
bm (11.101)
valabile pentru condiţiile 2...1/;m 8,003,0 ;m 3,0 11 <≤≤≥ pHHp şi
b > 0,3 B.
Curgerea înecată reclamă următoarele două condiţii: adâncimea de
înecare să fie pozitivă 0>−= ZHhn şi raportul 75,0/0 <pZ în medie.
De ultima condiţie depind formele curgerii înecate:
- lamă cufundată, pentru 75,0/3,0 0 << pZ ;
- lamă ondulată la suprafaţă, 15,0/0 <pZ ;
- lamă instabilă, pentru 3,0/15,0 0 << pZ .
La curgere înecată cu lamă descendentă coeficientul de înecare, după Bazin,
este:
32,01H
Z
p
hn
+=σ (11.102)
Uneori se foloseşte în calcule σσ 05,1=′ , majorarea ţinând seama că la
înecarea curgerii se întrerupe alimentarea cu aer sub pânza inferioară şi are loc
o creştere virtuală a sarcinii, datorită depresiunii de sub muchia deversorului.
20. Deversoare cu deschidere triunghiulară.
Acest tip de deversor este răspândit în practică pentru măsurarea
debitelor. Forma sa este de triunghi isoscel (fig. 11.46).
Câmpul deversant se împarte în fâşii
orizontale elementare de înălţime dh, lăţime
x, de suprafaţă dA. Debitul elementar este:
dhghxdQ 2µ= (11.103)
cu
( )hHH
bx −= , (11.104)
Fig. 11.46. Deversor triunghiular
Integrând (11.103) în limitele [0, H] şi notând 2
2/θ
tgHb = se obţine:
xb
h
dhH
θdA
Hidraulică vol. II 63
2/52
215
8HgtgQ
θµ= (11.105)
Pentru 090=θ - deversor Thompson – cu 59,0=µ , relaţia de mai sus devine:
2/52/5 40,1~394,1 HHQ = (11.106)
În realitate debitul se exprimă sub forma:
2/5CHQ = (11.107)
unde C = 1,38…1,42, pentru H = 5…25 cm, calculabil cu:
gS
A
HC 21
002,0310,0
+
+= (11.108)
S - fiind secţiunea albiei de apropiere a curentului de deversor.
30. Deversorul cu deschidere trapezoidală.
Se foloseşte la canale trapezoidale sau unde trebuie măsurate debite
mari. Deschiderea deversorului este mai mică decât ceea a canalului astfel că ia
naştere contracţie laterală (fig. 11.47).
Debitul curs peste deversor poate fi
considerat debitul descărcat de un deversor
dreptunghiular cu lăţimea b şi de un
deversor triunghiular cu unghiul de vârf θ :
td QQQ +=
Fig. 11.47. Deversor trapezoidal
sau
2/52/3 2215
82 HgtgHgmbQ
θµ+=
cu considerarea lui m şi µ de la deversoarele aferente.
În cazul când 4/1=θtg ( 072/ =θ ) debitul deversorului se poate
calcula cu relaţia:
2/386,1 bHQ = (11.109)
Acest deversor poartă numele Cipoletti şi este caracterizat prin faptul
că debitul descărcat de partea triunghiulară compensează efectul contracţiei
laterale de la deversorul dreptunghiular.
b
H/2 /2θ θ
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 64
40. Deversorul cu deschidere circulară
Este folosit pentru măsurarea debitelor. Acest lucru se poate întâmpla
când la un orificiu circular în perete subţire nivelul scade sub cel al muchiei
superioare (fig. 11.48)
Calculul debitului se poate face cu relaţia:
gHmAQ 2= (11.110)
în care:
+
+=
2
1002,035,0S
A
H
Dm (11.111)
Fig. 11.48. Deversor circular
S fiind secţiunea de apropiere, iar A secţiunea de curgere.
50. Deversorul proporţional
Se utilizează pentru măsurarea debitului în laboratoare. Are această
denumire fiindcă relaţia debitului este o funcţie liniară de sarcina H. Creasta
deversorului este orizontală, de lungime b, iar umerii sunt curbe simetrice faţă
de axa verticală (imagine oglindă), cu ecuaţia (fig. 11.49):
a
harctg
b
x
π
21−= (11.112)
Debitul descărcat de deversor este:
−=
32
ahgambQ (11.113)
Coeficientul de debit m variază între 0,605
şi 0,625. Pentru b > 0,5 m, H > a şi
a > 0,1m rezultă m = 0,614. Fig. 11.49. Deversor proporţional
60. Condiţiile măsurătorilor de debit
Atât la deversoare cu perete subţire cât şi la orificii şi ajutaje trebuiesc
respectate anumite condiţii referitoare la prelucrarea dispozitivelor şi
amplasarea lor în curent. Ele sunt stipulate în standarde şi normative şi se referă
la:
- verticalitatea şi netezimea peretelui amonte;
- muchia amonte trebuie să fie unghi drept, bine prelucrat şi suficient
de subţire ca jetul să nu atingă creasta după dezlipirea de muchie;
D
HA
b
ax h
H
Hidraulică vol. II 65
- pereţii laterali şi fundul trebuie să permită contracţia perfectă şi
laterală (unde este cazul), sau în cazul deversorului Bazin să fie eliminată
contracţia laterală;
- presiunea de sub lama de versanta să fie cea atmosferică;
- canalul de apropiere să aibă secţiune uniformă pe distanţă suficientă
pentru realizarea profilului de viteză „normal”;
- suprafaţa liberă a apei unde se măsoară sarcina să fie lipsită de valuri
şi unde;
- trebuiesc cunoscute cu acurateţe dimensiunile dispozitivului de
măsurare;
- măsurarea sarcinii trebuie realizată cu acurateţe.
70. Măsurarea sarcinii hidraulice pe dispozitive de măsurare
Sarcina pe dispozitive se măsoară cu manometre cu lichid de diferite
tipuri sau cu ace de măsurare. La măsurătorile cu ace sarcina poate fi
determinată în rezervoare de măsurare conectate la albie sau direct în canal.
Rezervoarele reduc efectul valurilor care pot fi prezente în canale. Tubul de
legătură între rezervor şi canal poate fi conectat de fundul sau de taluzul
canalului (fig. 11.50).
La măsurătorile de sarcină în rezervor trebuie verificată diferenţa de
temperatură a fluidului din rezervor şi canal, şi în cazul existenţei acestei
diferenţe la măsurători precise este obligatorie efectuarea corecţiilor de
temperatură (referitoare la dilataţie). Rezervorul trebuie să aibă secţiune
orizontală suficientă pentru eliminarea efectului tensiunii superficiale.
Fig. 11.50. Schema
măsurării nivelului în albii
deschise
Acul de măsurare trebuie să fie prevăzut cu riglă şi vernier
respectiv deplasarea sa trebuie realizată cu şurub micrometric
(fig. 11.51).
Fig.11.51. Ac de măsurare cu riglă, vernier şi şurub micrometric
h
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 66
Acul de măsurare trebuie să fie bine ascuţit şi trebuie să fie îndoit,
trebuie să străpungă nivelul din rezervorul de măsurare de jos în sus (pentru
reducerea efectului tensiunii superficiale).
În timpul măsurătorii trebuie asigurată verticalitatea riglei şi a acului
de măsurare, iar cota „0” a crestei deversorului trebuie stabilită cu acurateţe
(precizie de 0,1 mm).
Sarcina trebuie măsurată la distanţă suficientă de paramentul amonte
al deversorului unde nu se mai resimte curbura lamei deversante asupra
nivelului, la (3…4)H în amonte.
80. Precizia măsurătorilor.
Determinările debitelor cu deversoare reprezintă nişte măsurători
indirecte, iar precizia acestor măsurători depinde de precizia măsurătorilor
directe.
Măsurătorile directe sunt afectate de erori sistematice şi erori
întâmplătoare, rezultând şi măsurătorile indirecte cu anumite erori.
La măsurători indirecte ale mărimii A = f(B1,B2,…,Bn), eroarea relativă
rezultată este:
∑∑ ===n
ii
in
BB
B
A
AA
11
δεε
δ (11.114)
unde Aδ este eroarea relativă de determinare a mărimii A; Aε - eroarea
absolută; iBε - eroarea absolută de măsurare a mărimii Bi măsurată direct,
iBδ - eroarea relativă de măsurare a mărimii determinante Bi.
La deversorul cu deschiderea dreptunghiulară debitul se determină
indirect după relaţia (11.91).
Erorile relative referitoare la variabilele independente (m, b, H) vor fi:
- pentru coeficientul de debit
mQm δδ = ; (11.115)
- pentru lungimea crestei
bQb δδ = , (11.116)
iar pentru sarcină
HH
H
H
dHQH δ
εδ
2
3
2
3
2
3=== (11.117)
Hidraulică vol. II 67
Deversorul fiind executat şi montat pe poziţie, eroarea de măsurare a
lungimii crestei devine eroare sistematică ca şi eroarea de determinare a
coeficientului de debit.
Eroarea relativă de măsurare a debitului cu un astfel de deversor
devine:
HbmQ δδδδ2
3++= (11.118)
deci eroarea de măsurare a sarcinii se amplifică de 1,5 ori în eroarea de
măsurare a debitului.
Atingerea unui grad de precizie, impus prin toleranţă, cu grad de
încredere P necesită un număr de repetiţii ale măsurătorilor directe şi care se
determină din relaţia:
2)(
≥ s
Ptn
ε (11.119)
în care t(P) este argumentul de probabilitate; ε - toleranţa măsurătorii, iar
s eroarea standard (sau eroarea medie pătratică). Argumentul de probabilitate
t(P) şi probabilitatea integrată sunt întabulate în tratate de calcul statistic.
Dimensionarea unui deversor pentru măsurat debitul într-un anumit
ecart (Qmin, Qmax) – ţine seama de precizia dorită, impusă prin toleranţa relativă
Qδ pentru Qmin în situaţia toleranţei absolute de măsurare a sarcinii Hε
(determinat de condiţiile de măsurare), rezultând:
Q
HH
δ
ε
22
3≥ şi
2/32 Hgm
Qb = (11.120)
În mod analog se poate pune problema şi la celelalte dispozitive de
măsurare a debitului.
11.5.4. Deversoare cu profil gros
În această categorie se încadrează deversoarele care satisfac condiţia:
HH 5,2/67,0 ≤≤ δ (11.121)
Ele au profil poligonal (dreptunghi, trapez, triunghi etc.).
Calculul debitului la deversoarele cu profil gros cu deschidere dreptunghiulară
utilizează relaţia:
2/3
02 HgmbQ = (11.122)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 68
influenţa vitezei de acces fiind introdusă prin sarcina dinamică H0. Coeficientul
de debit variază în limite destul de largi ( )42,0...32,0∈m .
Forma profilului corespunde fig. 11.52.
H
p
vo
1
a b c
H
1p
vo
δδ δ
ro
H
f θ
H
δ1 2
d
H
dhh
1
e
n
2 θ θθ θ
Fig. 11.52. Deversoare cu profil gros poligonal
Coeficientul de debit de formă se poate determina cu relaţiile:
- pentru profil dreptunghiular ascuţit (fig. 11.52.a)
( )Hm /5,205,032,00 δ−+= (11.123)
- pentru profil cu muchie rotunjită cu r0 = 0,2H (fig. 11.52.b)
H
Hm
/21
/5,21,036,00
δ
δ
+
−+= (11.124)
Relaţiile sunt valabile pentru 5,2/67,0 ≤≤ Hδ şi 3/1 ≥Hp .
Condiţia de acces pentru 3/1 <Hp afectează contracţia pe verticală
fapt de care se poate ţine seama prin:
1/13,01 pHK v += (11.125)
Pentru formele de profil din fig. 11.52.a,b,c, coeficientul de debit m0 este dat în tabelul 11.10.
- la deversorul cu profil trapezoidal (fig. 11.52.d) coeficientul de
formă depinde de înclinarea taluzului amonte şi aval. Când paramentul aval
este vertical coeficienţii corespund (tab. 11.10), iar în situaţia înclinării
paramentului aval (acesta favorizează o eventuală curgere în lama aderentă)
sunt prezentaţi în (tab. 11.11).
Hidraulică vol. II 69
Coeficientul de debit m0 la deversoare cu profil gros fără contracţie laterală.
Tabelul 11.10.
H/δ
m0 Pereţi
verticali
muchii
vii
Parament amonte înclinat
P1=f(ctgθ) Muchie amonte rotunjită sau teşită
r0/H sau f/H r0/H 0,5 1,0 1,5 ≥ 2,5 0,025 0,05 0,2 0,6 ≥ 1
0,0 0,385 0,385 0,385 0,385 0,385 0,385 0,385 0,385 0,385 0,385
0,2 0,366 0,372 0,377 0,380 0,382 0,372 0,374 0,377 0,380 0,382
0,4 0,356 0,365 0,373 0,377 0,381 0,365 0,368 0,374 0,377 0,381
0,6 0,350 0,361 0,370 0,376 0,380 0,361 0,364 0,370 0,376 0,380
0,8 0,345 0,357 0,368 0,375 0,379 0,357 0,361 0,368 0,375 0,379
1,0 0,342 0,355 0,367 0,374 0,378 0,355 0,359 0,366 0,374 0,378
2,0 0,333 0,349 0,363 0,371 0,377 0,349 0,354 0,363 0,371 0,377
4,0 0,327 0,345 0,361 0,370 0,376 0,345 0,350 0,360 0,369 0,376
8,0 0,324 0,343 0,360 0,369 0,376 0,343 0,348 0,359 0,369 0,376
∞ 0,320 0,340 0,358 0,368 0,375 0,340 0,346 0,357 0,368 0,375
Coeficientul de debit m0 la deversoare cu perete gros
cu înclinarea paramentului aval
Tabelul 11.11
Hp /1 2θctg H/δ
0,5 0,7 1,0 2,0
0,5…2
3 0,42 0,40 0,36 0,34
5 0,38 0,37 0,35 0,34
10 0,36 0,36 0,35 0,34
2…3 1 0,46 0,42 0,37 0,33
2 0,42 0,40 0,36 0,33
Contracţia laterală la aceste deversoare se introduce prin coeficientul
de contracţie ε , sub forma :
∑−= ξεb
H 01,01 (11.126)
în care b este lungimea crestei deversante; H0 – sarcina totală; ξ - un coeficient
care depinde de forma marginii obstacolului (fig. 11.53). În multe cazuri
lungimea crestei deversorului este inferioară lăţimii canalului b < B şi este
fragmentat de pile şi este mărginit de culei. ∑ξ se referă la toate marginile
care produc contracţie.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 70
Fig. 11.53. Forma obstacolelor
care produc contracţie şi valorile
coeficienţilor ξ
Când pilele avansează faţă de paramentul amonte fig. 11.54
coeficienţii ξ se reduc conform (tab. 11.12).
Reducerea coeficienţilor ξ cu avansul pilelor
Tabelul 11.12
Poziţia
pilei
Forma pilelor
Dreptunghiulară Circular
triunghiular
Ogival
a=0 1ξ 2ξ 3ξ
a=0,5H 1
2
1ξ 2
3
2ξ 3
5
3ξ
a=H 1
4
1ξ 2
3
1ξ 3
5
2ξ
Fig. 11.54. Avansul pilei
Înecarea acestor deversoare se poate introduce în calcule prin relaţia
(11.102) sau prin valorile coeficientului de înecare
0H
hnσ întabulate în
îndrumare de calcule hidraulice.
1=1,0
2=0,7
32=0,7 =0,4
a
ab i
Hidraulică vol. II 71
- la deversorul cu profil triunghiular, de tip Keutner
( 25,121 == θθ ctgctg ) utilizat frecvent la descărcător de suprafaţă lateral la
acumulări cu baraje de pământ, debitul se determină cu relaţia:
( )hHgbhmQ −= 00 2 , (11.127)
lama deversantă fiind influenţată de paramentul aval.
Se disting patru forme de curgere peste acest deversor, astfel:
- curgere liberă, cu:
50 10; 0; 1,258; 0,73 /nh dh m h H H p< < = = ;
- curgere înecată la limită, cu:
100 10; 0; 1,251; 0,7 /nh dh m h H H p> < = = ;
- curgere înecată cu:
100 11,174 1.29; 0; 0,965 ; 0,745 /
n n
H Hdh m h H H p
h h< < > = =
100 11, 29; 0; 1,240; 0,745 /
n
Hdh m h H H p
h≥ > = =
- curgere înecată ondulatorie, cu:
1010 /84,0 ;965,0 ;174,1 ;0 pHHh
h
Hm
h
Hh
nnn ==<> .
11.5.5. Deversoare cu profil curb
Deversoarele din această categorie au profilul curb sau conţin
elemente de curbă. Se utilizează la realizarea părţii deversante a barajelor în
scopul evitării, limitării presiunilor vacuumetrice pe paramentul aval sau
dezlipirea lamei deversante. Există profile cu şi fără vacuum.
10. Deversoare cu profil curb fără vacuum sunt astfel concepute ca
pe paramentul aval să nu apară vacuum. Paramentul aval este realizat astfel ca
lama deversantă să se sprijine pe acesta. În cazul fluidului eulerian profilul care
realizează această condiţie reproduce pânza inferioară a lamei deversante de la
un deversor cu muchie ascuţită cu deschidere dreptunghiulară, fără contracţie
laterală, cu lamă aerată, verticală sau înclinată în funcţie de paramentul amonte
al barajului.
Profilul de deversor astfel realizat – numit profil Bazin – nu
îndeplineşte condiţiile datorită naturii reale ale lichidului.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 72
Poziţia pânzei inferioare se poate trasa utilizând teoria mişcărilor
potenţiale (se trasează spectrul mişcării pentru fluid eulerian) cu ajutorul căreia
rezultă vitezele, debitul şi presiunea pe parament. Un astfel de deversor
realizează această condiţie numai pentru sarcina HC = 0,888H, H fiind sarcina
pe deversorul cu muchie ascuţită.
Din aceste considerente se corectează curbura teoretică a deversorului
astfel ca aceasta intră puţin în lama deversantă. Orice dezlipire, presiune
vacumetrică sau suprapresiune afectează turbulenţa, poate conduce la cavitaţie
şi reduce coeficientul de debit.
Profile care „intră” puţin în lama deversantă şi realizează
suprapresiuni mici pe paramentul aval, au fost studiate de: de Marchi, Creager,
Ofiterov, Smetana, WES (Waterway Experiment Station, Vicksburg).
În continuare sunt prezentate profile de deversor Creager şi WES.
HH00 x
y
Tip A
0H0
H
Tip B
x
45
a
y
Hc
Fig. 11.55. Deversorul curb fără vacuum Creager
Debitul la aceste deversoare se calculează cu relaţia (11.122), sarcina
sub care are loc curgerea fiind definită faţă de punctul cel mai înalt al profilului
(fig. 11.55).
10.a. Deversorul cu profil curb Creager
Profilul Creager se poate realiza cu paramentul amonte vertical
(eventual retras din condiţii de economicitate) de tip A şi cu parament amonte
înclinat la 450 (tip B) pentru condiţii de stabilitate sau de evacuare a gheţurilor.
Curbura profilului se găseşte în tabele (tab. 11.13) pentru sarcina de
calcul H = 1 m.
Hidraulică vol. II 73
Coordonatele profilelor de deversor Creager pentru H = 1 m
Tabelul 11.13 Tip A Tip B
x y x y x y x y
0,0 0,126 1,2 0,397 0,0 0,043 1,2 0,480
0,1 0,036 1,4 0,565 0,1 0,010 1,4 0,665
0,2 0.007 1,7 0,870 0,2 0,000 1,7 0,992
0,3 0,000 2,0 1,22 0,3 0,005 2,0 1,377
0,4 0,007 2,5 1,96 0,4 0,023 2,5 2,14
0,6 0,060 3,0 2,82 0,6 0,090 3,0 3,06
0,8 0,142 3,5 3,82 0,8 0,189 3,5 4,08
1,0 0,257 4,0 4,93 1,0 0,321 4,0 5,24
Coordonatele profilelor pentru 1≠H se obţin prin înmulţirea valorilor
din tabelul 11.13, cu sarcina de calcul H.
Hyy
Hxx
H
H
1
1
=
=
=
= (11.128)
Coeficientul de debit pentru sarcina de calcul H = Hmax, este m0 = 0,49
pentru tipul A şi m0 = 0,48 pentru tipul B.
În cazul funcţionării deversoarelor la sarcini inferioare celei de calcul
coeficienţii de debit sunt:
- pentru profilul A
+=
max
0 215,0785,049,0H
Hm , când 8,0/ max ≤HH
şi (11.129)
( )max0 /12,088,049,0 HHm += , când 8,0/ max >HH
- pentru profilul B
( )max0 /310,085,048,0 HHm += , când 5,0...1,0/ max =HH
şi (11.130)
( ) 20/1
max0 /48,0 HHm = , când 5,0/ max >HH .
Pentru sarcini H superioare celei de calcul sub lamă presiunea devine
vacuumetrică şi conduce la creşterea coeficientului de debit. Experienţele lui
Creager arată că la debite deversate cu peste 10 % superioare debitului la
sarcina de calcul produc vibraţii periculoase şi poate să apară cavitaţia pe
parament.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 74
10.b. Deversorul cu profil WES
Profilele curbe ale deversoarelor WES se compun din mai multe
segmente de curbă însă curba principală are ecuaţia:
yRHX nc
n 1−= (11.131)
celelalte fiind segmente de cerc. Paramentul amonte poate fi vertical (chiar şi
retras) sau înclinat cu m = 1/1; 1/3; 2/3. Parametrii m0, R şi n şi elementele
arcelor de cerc al profilelor sunt indicate în fig. 11.56.
Corecţiile pentru contracţie şi înecare corespund celor descrise la
deversoare cu profil gros poligonale (11.5.4.).
20. Deversoare cu profil curb cu vacuum
Aceste deversoare sunt profilate după curbe mai simple, arc de cerc sau
elipsă (fig. 11.57).
1
B
A
C
0
R
D
ab c
H
pR
55...60
2b
b
H
a
Fig. 11.57. Deversoare cu profil curb cu vacuum
Pe creasta şi paramentul aval al deversorului la contactul cu lama
deversantă se formează presiune vacuumetrică. În practică valoarea presiunii
vacuumetrice se limitează la 5...6 mCA pentru evitarea dezlipirii lamei
deversante şi apariţiei cavitaţiei, care, la rândul său produce vibraţii, afectează
materialul paramentului şi stabilitatea construcţiei.
Coeficientul de debit la deversoarele profilate după arc de cerc se
poate calcula cu relaţia:
( )
+−−+= 1
2/09,0/501,03,0312,0
3
2pHRHm (11.132)
Pentru deversoarele profilate după arc de elipsă coeficientul de debit m
depinde de H/a şi b/a, variind în limite largi m = 0,487...0,577. Pentru
b/a = 2...3, m = 0,552...0,554.
Presiunea vacuumetrică pe parament are următoarele valori:
- pentru profilare după arc de cerc hvac = (1,39...1,58)H0;
- pentru profilare după arc de elipsă cu: - b/a = 2; hvac = (1,27...1,55)H0;
- b/a=3; hvac = (1,34...1,63)H0. Înecarea acestor deversoare începe la hn/H = 0,15, iar coeficienţii de
corecţie )/( Hhf n=σ sunt întabulaţi în îndrumătoare.
Hidraulică vol. II 75
0,175H
0,282H
Rc=0,2Hc
Rc=0,5Hc
c
cH H
n=1,85R=2,00mo=0,502
o c
x
y
Retragerea
vo/2g2 2
/2gov
b
y
x
co
=0,497omR=1,939n=1,81
HHc
c
c=0,48HcR
c=0,22HcR
0,214H
0,115H
m=2/3
2/2gov
d
y
x
co
=0,495omR=1,873n=1,776
HH
c
c=0,45HcR
0,119Hm=1/1
m=1/3 y
c
0,139H
0,237H
=0,21H
R
H Ho
Rc
c
/2gvo2
c=0,68Hc
c
c
c
x
=0,500R=1,936mo
n=1,836
Fig. 11.56. Deversoare WES
a). parament amonte vertical sau retras; b). parament amonte înclinat 2/3; c). parament
amonte înclinat 1/3; d). parament amonte înclinat 1/1; e). corecţia coeficientului de debit
funcţie de înclinarea paramentului şi sarcină; f). corecţia coeficientului de debit funcţie de
sarcină şi înălţimea pragului.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 76
11.5.6. Deversorul cu prag lat
Deversoarele cu prag lat se caracterizează prin 12...8/5,2 << Hδ cu
limita superioară valabilă muchiilor vii, iar limita inferioară muchiilor rotunjite.
La intrarea pe deversor lama prezintă o strangulare pronunţată, se formează
adâncimea contractată pe deversor, inferioară celei critice, h < hcr după care
urmează o mişcare gradual variată în starea rapidă a curentului.
Neuniformitatea la intrare este mai pronunţată la muchii vii din cauza dezlipirii.
Dacă 12/ >Hδ spre capătul aval, la aproximativ 3hcr amonte de muchia de
ieşire, se formează hcr, iar în amonte curgere în stare lentă, racordată prin salt
ondulat cu starea rapidă de la intrare. Când grosimea crestei δ este şi mai
mare, zona de intrare este înecată şi pe creastă mişcarea este lentă fiind
comandată de secţiunea de ieşire; deversorul se comportă ca un canal scurt.
Pentru funcţionarea ca deversor curgerea este comandată din amonte,
adâncimea pe prag h nu se modifică prin modificarea grosimei crestei.
H H
p
h h0
1
0
0
cr
1
1
1
2
3
4
δδ
δδ
Fig. 11.58. Forma suprafeţei libere pe deversorul cu prag lat în funcţie de δ
Calculul debitului deversorului cu prag lat se poate efectua cu relaţia
(11.122), în care m0 depinde de condiţiile de intrare (forma muchiei) şi de
înălţimea pragului amonte p1. Berezinski recomandă următoarele relaţii de
calcul pentru m0:
- muchii vii şi p1/H < 3: Hp
Hpm
/75,046,0
/301,032,0
1
10
+
−+=
şi (11.133)
m0 = 0,32 pentru 3/1 ≥Hp ;
- muchii rotunjite cu r = 0,2 H, pentru 3/1 <Hp :
Hidraulică vol. II 77
Hp
Hpm
/5,12,1
/301,036,0
1
10
+
−+=
şi (11.134)
m0 = 0,36, pentru 3/1 ≥Hp .
Particularitatea curgerii pe prag lat, cu comanda curgerii din amonte,
permite stabilirea directă a debitului sub formele:
( )hHgbhQ −= 02ϕ
sau
3/2
01 2Q k kb gHφ= − (11.135)
cu k = h/H0. Relaţia (11.135), cu notaţia
kkm −= 10 ϕ (11.136)
capătă forma (11.122). Valorile coeficienţilor m0, k, φ corespund (tab. 11.14).
Coeficienţii m0, k, φ pentru deversorul cu prag lat
Tabelul 11.14
m0 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,385
φ 0,951 0,954 0,961 0,967 0,974 0,983 0,994 1,000
k 0,457 0,477 0,500 0,527 0,558 0,596 0,641 0,667
Contracţia laterală, după Berezinski este:
( )BbBbHp
a/1/
/2,01 4
31
−+
−=ε (11.137)
în care a = 0,19 pentru muchii de intrare vii şi a = 0,10 pentru muchii de intrare
rotunjite. Pentru b/B < 0,2 şi p1/H > 3 coeficientul ε se calculează cu b/B = 0,2
şi p1/H = 3.
Pentru hn/H0 = 0,78...0,83 deversorul se îneacă şi este necesară
utilizarea coeficientului de corecţie σ(hn/H0) (tab. 11.15).
Coeficientul de înecare σ(hn/H0) la deversorul cu prag lat
Tabelul 11.15 hn/H0 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89
σ 1,00 0,955 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,93 0,90 0,87
hn/H0 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98
σ 0,84 0,82 0,78 0,74 0,70 0,65 0,59 0,50 0,40
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 78
11.5.7. Alte tipuri de deversoare
Practica hidrotehnică utilizează şi alte tipuri de deversoare ca
funcţional, poziţie, rol sau construcţie. Astfel sunt deversoarele laterale, pâlnie
sau deversoarele sifon.
10. Deversoare laterale
Se utilizează ca deversor de captare sau evacuator de protecţie. Are
dispoziţia obişnuită laterală (fig. 11.59), lăsând curgerea liberă pe albia
principală. Când nivelul apei din albia principală depăşeşte cota crestei
deversorului o parte a debitului se evacuează peste deversorul lateral.
Qam = Qav+Qd (11.138)
h
z
p
l
zp
z
hh
α
Qam
Qav1
21
b1 a1
Qd
1 2
0201
I
I
Q
Q
Q
av
am
d
1
2
Fig. 11.59. Deversor lateral
Creasta deversorului poate fi paralelă cu fundul albiei principale sau
diferit (ex. construit pentru a menţine sarcină constantă pe lungimea crestei).
Când fundul albiei principale şi creasta sunt paralele lama deversantă şi nivelul
din albia principală au variaţii substanţiale determinate de starea curentului din
albie din amonte şi aval de deversor.
Cel mai des întâlnit caz este când starea mişcării pe canal este lentă,
atât amonte cât şi aval de deversor, în această situaţie secţiunea de comandă
este cea din aval (2), cota de comandă z2 corespunde lui Qav. Pe canal în amonte
mişcarea este gradual variată după o curbă coborâtoare b1, în secţiunea (1)
realizându-se o adâncime h01 > hcr. Nivelul din canal în lungul deversorului
este crescător după o curbă de supraînălţare a1.
Hidraulică vol. II 79
Debitul descărcat de deversor se poate calcula cu relaţia:
2/3
20 2 ZglmQ ld σ= (11.139)
în care
( ) 6/1
2 / lZl =σ (11.140)
şi ţine seama de variaţia sarcinii în lungul crestei. Coeficientul de formă m0 se
determină după criteriile prezentate pentru deversoare.
Dacă deversorul este aşezat oblic faţă de axa curentului din canalul
principal cu 40
1...
3
1=θtg atunci ( ) 10/1
2 / lZl =σ .
Fig. 11.60. Deversor lateral oblic
Dacă starea curentului în canal este rapidă atât în amonte cât şi în aval,
adâncimea scade în lungul crestei (fig. 11.61). Secţiunea de comandă este în
amonte (1).
Fig. 11.61. Linia luciului apei pe
creasta deversorului lateral când starea
mişcării apei în canalul principal este
rapidă
Alte situaţii rezultă din combinarea stării de mişcare pe canalul
principal din amonte aval şi în dreptul deversorului lateral (fig. 11.62).
h01<hcr
h02<hcr
12
12
hcr
l
Qam
QavQd
θ
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 80
Fig. 11.62. Diverse forme ale luciului
apei în lungul deversorului lateral
funcţie de starea curentului din albia
principală
20. Deversorul pâlnie
Deversoarele pâlnie au forma în plan circulară, arc de cerc sau alte
forme; în majoritatea cazurilor secţiunea transversală este modelată după forma
deversoarelor cu profil curb fără vacuum (fig. 11.63). Se folosesc în special ca
evacuatoare de ape mari.
DR HH
p1
x
y
0
a
R
b
b
Fig. 11.63. Deversor pâlnie. a). secţiune; b). vedere în plan
Deversorul pâlnie poate avea diferite regimuri de funcţionare,
determinate de raportul H/R, astfel (fig. 11.63’).
- la H/R < 0,46 deversor neînecat;
- H/R = 0,46...0,8 deversor autoînecat;
h01>hcr
h02<hcr
12
h =h1 cr
~hcr
h >h01
1
hcr
1 02
2
hcr
>h
<hh01
1
cr
02h
2
>hcr
Hidraulică vol. II 81
- H/R = 0,8...1,0 deversor autoînecat cu dispariţia formei de pâlnie
a suprafeţei libere;
- H/R = 1,0...1,6 aspect de curgere orificiu-ajutaj interior;
- H/R > 1,6 aspect de curgere ajutaj interior.
HH
V02/2g
0 x
y
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4y/H0
x/H0
2
1,0
0,80,6
0,50,4 0,3
0,2
H/R=0
R=oo
0,2
0,3
0,4
0,50,6 0,8
priza inferioara
priza
superioara
Fig. 11.63’. Forma lamei deversante la un deversor circular cu muchie ascuţită
La proiectarea acestor deversoare este recomandabilă funcţionarea lor
neînecată, deci R > 2,2H şi profilul crestei să fie modelat după pânza inferioară
a lamei deversante. Pentru situaţii H < Hcalc deversorul funcţionează neînecat,
iar pentru H > Hcalc apar fenomenele de înecare menţionate.
Coeficientul de debit de formă m0, pentru limitele H/R = 0,2...0,38 şi
p1/R = 0...1, se poate calcula cu relaţia:
( )[ ]3/2
10 /103,0/068,049,0 RpRHm −−−= (11.141)
iar debitul:
( ) 2/3
0 22 HgnbRmQ −= πε (11.142)
unde n este numărul pilelor de grosime b. Coeficientul de contracţie se
calculează asemănător celor prezentate la 11.5.4.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 82
30. Deversorul sifon
Deversorul sifon se foloseşte ca descărcător de protecţie fiind o
construcţie formată dintr-un deversor cu profil curb, acoperit cu o capotă cu
orificiu şi o mască, respectiv pereţi laterali (fig. 11.64). Paramentul aval al
deversorului este prevăzut cu un „nas”. Descărcarea are loc într-o chiuvetă,
adâncitură a canalului de derivaţie. Funcţionează ca un deversor lateral.
Fig. 11.64. Deversorul sifon
Când nivelul din canalul principal atinge cota crestei deversorului
construcţia intră în funcţiune ca deversor. „Nasul” aruncă lama deversantă spre
capotă, antrenând aerul în aval. Apa din bazinul aval împiedică intrarea aerului
din aval.
Când nivelul din canalul principal ajunge la nivelul măştii accesul
aerului din amonte este oprit şi după un anumit timp, cât tot aerul din spaţiul
dintre parament şi capotă este evacuat în aval (sifon amorsat) funcţionarea este
ca al unui deversor cu sarcină în creştere - se realizează presiune vacuumetrică
pe paramentul aval.
După evacuarea aerului construcţia are o funcţionare de sifon sub
sarcină H*. În prima fază debitul tranzitat este al unui deversor cu profil curb cu
coeficient de debit m0, lucrând sub sarcina H şi lungimea crestei b.
În faza a treia - de sifon - debitul tranzitat este al unei conducte în
sifon secţiunea A = ab sub sarcina H* şi coeficientul de debit µ.
Debitul evacuat în faza a treia este mult superior primei faze în special
pe seama creşterii sarcinii.
În faza intermediară debitul tranzitat este între debitele celorlalte
forme de funcţionare.
H
a Dh
hH*
nas
Hidraulică vol. II 83
40. Module cu mască
Modulele sunt dispozitive statice pentru regularea - limitarea la valori
prestabilite a debitelor derivate. Există două tipuri de astfel de dispozitive:
- cu o mască (deversor - orificiu);
- cu două măşti (deversor - orificiu cu contrajet)
40.a. Modul cu o mască
Este un dispozitiv rezultat dintr-un deversor cu profil triunghiular cu
creastă rotunjită şi o mască plasată deasupra, în coordonate, formând unghi de
135o faţă de direcţia curgerii care realizează un orificiu mare peste deversor.
Paramentul amonte al deversorului face unghi de 55o faţă de orizontală, iar
paramentul aval unghiul de 15o (fig. 11.65).
Funcţionează ca un deversor - orificiu lateral.
Fig. 11.65. Modul cu o mască
În intervalul H = 0...a dispozitivul funcţionează ca deversor după
caracteristica:
2/3HQ α= (11.143)
iar pentru H > a funcţionează ca orificiu mare după caracteristica:
2/1HQ β= (11.144)
Unghiul 0135=θ a măstii influenţează puternic coeficientul de
contracţie care reduce debitul şi favorizează îndepărtarea saltului aval de
dispozitiv.
Dispozitivul menţine debitul în intervalul Qmin...Qmax, la Qnorm ± εQ
domeniul minmax HHH −=∆ .
a
135
1555
AvalVana
Amonte
Masca
Salt
Prag
H
Q
Qn
Qmin
Hmax
Hmin
Qmax
∆ H
q= H3/2α
q= Hβ 1/2
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 84
Există dispozitive standardizate X1, XX1, XXX1, L1 şi C1, plasate în
module, fiecare deschidere fiind protejată de vană plană cu poziţie fixă închis
sau deschis (fig. 11.66).
Fig. 11.66. Schema de montare a
modulelor cu mască
40.b. Modul cu două măşti
Este un dispozitiv asemănător modulelor cu o mască având însă două
măşti plasate deasupra deversorului. A doua mască este plasată mai sus faţă de
deversor ca prima şi are înălţime limitată (fig. 11.66).
Funcţionalul poate fi descris în funcţie de creşterea sarcinii faţă de
cota pragului deversorului, astfel:
- H = 0...a1 funcţionare ca deversor;
- H = a1...a2 funcţionează ca orificiu cu prima mască în operare;
- H = a2...H2 funcţionează ca orificiu cu a doua mască în
operare (prima mască nu mai atinge apa);
- H > H2 între cele două măşti se deversează apa, realizând un
contracurent (jet) faţă de curentul principal derivat şi care devine mai important
cu creşterea sarcinii.
Măştile şi contracurentul reduc coeficientul de debit al orificiului în
funcţiune menţinând debitul între Qmax-Qmin, la QQnorm ε± pentru o variaţie a
sarcinii minmax HHH −=∆ mai mare ca la modulul cu o mască.
Hidraulică vol. II 85
contracurent
orificiu
deversor
Qn
H
Qn+ Q- QQn Q
Ha a
12 1
Nivel nominal
Fig. 11.67. Modul cu două măşti
Există dispozitive standardizate X2, XX2, L2 şi C2.
11.6. APLICAŢII
10. Cele trei compartimente ale unui rezervor comunică prin două
orificii mici în pereţii de despărţire verticali şi cu exteriorul un orificiu mic în
perete subţire, vertical (fig. 11.68). Caracteristicile orificiilor sunt: diametrele
D1 = 40 mm, D2 = 50 mm şi D3 = 55 mm şi au coeficienţii de debit
605,0 ;600,0 21 == µµ şi 62,03 =µ . Primul compartiment este alimentat cu
debitul curs.
Să se determine debitul orificiilor şi denivelarea în rezervoare dacă
sarcina totală este H = 3,80 m.
Fig. 11.68. Schema de calcul
Rezolvare. Conform ecuaţiei (11.9), cu p1 = p2 = 0 şi v0 = 0, se obţin
sarcinile sub care are loc curgerea prin fiecare orificiu:
;22
1
2
1
2
1gA
QZ
µ= ;
222
22
2
2gA
QZ
µ= ;
223
23
2
3gA
QZ
µ=
z
z
zH1
2
3
D D D1 2 3
12 3
1
23
µ
µµ
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 86
Însumând sarcinile se obţine:
++=++=
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
321
111
2 AAAg
QZZZH
µµµ
sau
2
33
2
22
2
11
111
2
AAA
gHQ
µµµ++
= ,
cu 4
2
ii
DA
π= rezultă:
×+
×+
×
×=
=
++
=
4242422
4
3
2
3
4
2
2
2
4
1
2
1
2
055,062,0
1
050,0605,0
1
04,0600,0
18
8,381,9
1118
π
µµµπ DDD
gHQ
,
sau Q = 5,046 x 10-3
m3/s = 5,046 l/s.
Sarcinile Z1, Z2, şi Z3 rezultă din primele ecuaţii, astfel:
( )
m 28,281,9204,060,0
410046,5422
223
1 =××××
××=
−
πZ
( )
m 92,081,9205,0605,0
410046,5422
223
2 =××××
××=
−
πZ
( )
m 60,081,92055,062,0
410046,5422
223
3 =××××
××=
−
πZ
Confirmate prin H = Z1 + Z2 + Z3 = 2,28 + 0,92 + 0,60 = 3,80 m.
20. În peretele vertical al unui rezervor se practică două orificii mici.
Adâncimea lichidului în rezervor este h.
Să se determine astfel poziţia orificiilor pe aceeaşi verticală a peretelui
ca jeturile rezultate să bată în acelaşi punct în planul orizontal al fundului
rezervorului (fig. 11.69), când ϕϕϕ == BA .
Hidraulică vol. II 87
Fig.11.69. Schemă de calcul
Rezolvare. Axele de coordonate sunt trasate în secţiunea contractată;
componentele vitezelor în jeturi fiind:
- pentru orificiul A: 12gHv Ax ϕ= şi gtvy = .
- pentru orificiul B: ( )22 hhgv Bx −= ϕ şi gtvy = .
Coordonatele particulelor la un moment dat în coordonatele considerate
cu ϕϕϕ == BA sunt:
- pentru orificiul A,
tvx x= sau gh
x
v
xt
x 2ϕ== ,
∫∫ ===tt
y gtgtdtdtvy0
2
0 2
1 sau
12
2
4
1
h
xy
ϕ= .
- pentru orificiul B,
tvx x ⋅= sau ( )22 hhg
x
v
xt
x −==
ϕ
( )2
2
22
42
1
hh
ygty
−==
ϕ.
Planul orizontal al fundului rezervorului are coordonatele:
- pentru orificiul A
1
2
2
14 h
xhhy
ϕ=−= .
- pentru orificiul B
( )2
2
2
24 hh
xhy
−==
ϕ.
h
h
h
1
2
x
x
C
B
A
y
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 88
În condiţia aceleiaşi abscise x rezultă:
h1 (h - h1) = h2 (h - h2) sau
02
112
2
2 =−×+×− hhhhhh ,
cu soluţia
−±=+×−±= 1
2
11
2
22242
hhh
hhhhh
h
Soluţia h2 = h1, deci orificiile egal distanţate de la suprafaţă şi fund.
30. Debitul evacuat de un dren cu Q = 0,2...1 l/s se măsoară cu un
ajutaj cilindric având coeficientul de debit µ = 0,80. Debitul trebuie măsurat cu
o eroare relativă δQ = 5 0/00 când sarcina se poate măsura cu eroarea absolută
εH = 1 mm. Să se dimensioneze ajutajul (fig. 11.70).
Fig. 11.70. Schemă de calcul.
Rezolvare. Debitul se măsoară indirect cu ajutajul, mărimea direct
măsurată fiind sarcina H. Relaţia de transformare este (11.45) în care
coeficientul de debit este µ = 0,8.
Eroarea relativă a măsurătorilor indirecte este:
( )
H
H
H
dH
gHA
gHAd
Q
dQ
Q
ε
µ
µεδ
2
1
2
1
2
2=====
sau
m 1,0005,0
001,0
2
1
2
1===
Q
HH
δ
ε
care corespunde debitului minim, rezultând:
mm. 15m 015,01,081,928,0
0002,04
2
4 min ==××××
×==
ππµ gh
Qd
H d
dren
limnigraf
rezervor
ajutaj
Hidraulică vol. II 89
La debitul maxim sarcina va fi:
m. 638,081,9015,08,0
001,022422
2
422
2max
max =××
×==
ππµ gd
QH
Sarcina fiind măsurată cu aceeaşi eroare precizia de măsurare a debitului creşte
cu creşterea debitului.
40. Barajul unui lac de acumulare are golirea la fund formată dintr-o
conductă cu D = 2,0 m şi coeficient de debit µ = 0,7. Cota geodezică a apei la
nivel normal de exploatare este de 128 m, iar axul golirii de fund de 121 m.
Debitul afluient din amonte este de Q0 = 5,5 m3/s. Curba suprafeţei lacului de
acumulare pentru cotele caracteristice corespunde graficului din schema de
calcul.
Să se determine timpul de golire a lacului de la cota 128 m la cota
124 m.
HHH
Q
Q
AAA 128m
121m123
0
0
2
4
6
8
1 2 3 4 5 6
h(m)
A(h)10m6 2
H∆
Fig. 11.71. Schema de calcul
Rezolvare. Într-un interval de timp dt în lac soseşte volumul Q0 dt şi
se evacuează prin golirea de fund ,2 dtgHAQdt gµ= diferenţa lor fiind egală
cu variaţia volumului apei din lac, respectiv:
AdHdtgHAdtQ g == 20 µ
de unde timpul de golire de la cota H1 la H2, rezultă:
∫ ∫−
=−
=1
2
1
200 2
1
2
H
H
H
H
g
gg
gA
QH
AdH
gAQgHA
AdHt
µµµ
Scriind ecuaţia în diferenţe finite, se obţine:
( )( )
∑∑−+
−+==
−
−−1
2 1
111H
H ii
iiiii
KHH
HHAA
gAgtt
µ
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 90
unde
gA
QK
gµ0= şi
4
2DAg
π= .
Se lucrează pentru pasul de sarcină ∆H = Hi - Hi-1 = 1 m, rezultând:
22
m 14,34
0,2=
×=
πgA ; /sm 7985,0
81,914,37,0
5,5 0,5=×
=K ,
2,5s/m 145,081,914,37,0
11=
×=
gAgµ
Caracteristicile lacului, suprafaţa orizontală şi sarcina pe golire în
funcţie de cote conform graficului din fig. 11.71.sunt:
Cota [m] Hi [m] 10-6
Ai [m2]
128 7 4,7
127 6 4,1
126 5 3,0
125 4 1,7
124 3 0,9
Timpul de evacuare va fi:
( ) ( ) ( ) ( )
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−=
7985,034
1109,07,1
7985,045
1107,10,3
7985,056
1100,31,4
7985,067
1101,47,4145,0
6666
t
54sec.25min 19ore zile2s 754242 =×=t .
50. Debitul în intervalul Q = 0,2...0,5 m
3/s se va măsura cu eroarea
relativă admisă de δQ = 0,5% cu un deversor cu profil subţire fără contracţie
laterală şi lamă deversantă aerată. Eroarea maximă de măsurare a sarcinii este
εH = 1mm. Să se calculeze elementele deversorului.
Rezolvare. Deversorul de măsurare este perfect, tipul Bazin, relaţia de
calcul a debitului fiind (11.91). Se acceptă la dimensionare coeficientul de debit
de formă m0 = 0,405. Fiind cazul măsurătorilor indirecte, variabila H, conform
(11.117) rezultă sarcina la debitul minim:
H
HQ
εδ
2
3= sau m 3,0
005,0
001,0
2
3
2
3min ===
Q
HH
δ
ε
Hidraulică vol. II 91
Lungimea crestei şi lăţimea canalului pe care se montează deversorul este:
m 678,03,081,92405,0
2,0
2 2/32/3min0
min =××
==Hgm
Qb .
Rotunjind lăţimea de fund la b = 0,7 m, rezultă:
m 294,081,927,0405,0
2,0
2
3/23/2
0
minmin =
××=
=
gbm
QH
şi
m 541,081,927,0405,0
5,0
2
3/23/2
0
maxmax =
××=
=
gbm
QH
60. Un deversor cu profil WES, cu m0 = 0,502, trebuie să tranziteze
debitul de calcul Q = 300 m3/s. Construcţia prezintă două câmpuri deversante,
cu b = 14 m fiecare, având forma culei dreptunghiulară, iar pila este ogivală.
Pragul deversorului în amonte p1 = 7m.
Să se determine grosimea lamei deversante şi să se traseze profilul
paramentului deversant pentru sarcina de calcul.
Rezolvare. Într-o primă aproximare se neglijează efectul contracţiei,
rezultând sarcina totală:
( )
m 85,281,92142502,0
300 ;
2
3/2
0
3/2
0
0 =
××=
=
∑H
gbm
QH
Sarcina pe deversor în prima aproximare este:
g
VHH
2
2
00
0
α−=′
cu ( )∑+
=bHp
QV
1
0 care cu H~H0 este ( )( )
m/s 09,114285,27
3000 =
×+=V
rezultând m 78,281,92
09,11,185,2
2
2200
0 =×
×−=−=′
g
VHH
α
Cu H’ se calculează coeficientul de contracţie, pentru culee:
ξc = 1, iar pentru pilă ξc = 0,4.
( ) 976,0142
78,24,02121,011,01 =
××+×−=−= ∑
∑b
Hξε .
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 92
Se recalculează sarcina totală:
( )m 90,2
81,92142976,0502,0
300
2
3/23/2
0
0 =
×××=
=
∑ gbm
QH
ε
şi sarcina H
( )( )m/s 08,1
90,27142
3000 =
+×=V şi m 83,2
81,92
08,11,190,2
2
=×
×−=′′H .
Cu aceste valori se reiau iteraţiile rezultând:
;m 90,2 ;976,0 0 =′′′= Hε şi H = Hc = 2,83 m.
Forma profilului este dată de ecuaţia:
YHX c85,085,1 0,2=
cu R1 = 0,5 Hc = 0,5 x 2,83 = 1,415 m
R2 = 0,2 Hc = 0,2 x 2,83 = 0,566 m
e1 = 0,282 Hc= 0,282 x 2,83 = 0,798 m
e1 = 0,175 Hc = 0,175 x 2,83 = 0,495 m
Ecuaţia curbei profilului deversant este:
85,185,1
85,0
85,1
85,02605,0
83,22
1
2
1XXX
HY
c
=×
=×
=
Coordonatele profilului sunt: X 0,25 0,50 0,75 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
Y 0,01
6
0,05
7
0,12
1
0,20
7
0,43
7
0,74
4
1,12
5
1,57
6
2,09
6
2,68
4
şi sunt materializate în (fig. 11.72).
Fig. 11.72. Profilul WES pentru Hc = 2,83 m
e
e
x
y
R
R
Sc 1:100
1
2
1
2
Hidraulică vol. II 93
CAPITOLUL 12
MIŞCAREA UNIFORMĂ A LICHIDELOR
CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ
Mişcarea cu suprafaţă liberă în albii este un domeniu foarte larg al
ingineriei hidrotehnice. Astfel de mişcări au loc în albii regulate (canale,
conducte cu secţiune parţial umplută) şi albii naturale.
În raport cu variabila timp mişcarea lichidelor cu suprafaţă liberă poate
fi permanentă (staţionară) şi nepermanentă (nestaţionară).
În raport cu variabila spaţiu se întâlnesc:
- mişcări uniforme. - mişcări neuniforme - lent (gradual variate); - rapid variate.
În acest capitol se studiază mişcarea uniformă a lichidelor cu definirea
caracteristicilor mişcării, calculul hidraulic de verificare şi de dimensionare,
respectiv probleme speciale de calcul.
12.1. NOŢIUNI GENERALE
Mişcarea uniformă a lichidelor cu suprafaţă liberă este o mişcare
permanentă (independentă de parametrul timp) la care liniile de curent sunt
rectilinii şi paralele; parametrii hidraulici – viteză, secţiune udată – sunt
constanţi în timp şi în lungul curentului; suprafaţa liberă este un plan înclinat
paralel cu fundul albiei. Curgerea se produce datorită forţelor gravitaţionale
prin „consumul” uniform al energiei specifice de poziţie în lungul curentului.
Astfel de mişcări se pot întâlni în albii regulate (artificiale).
În general albiile (suportul solid al mişcării) geometric se împart în:
- albii regulate – prismatice, cilindrice, la care secţiunea depinde
numai de adâncime A = A(h) şi care se obţin prin deplasarea paralelă a unei
drepte cu poziţia sa iniţială pe o curbă sau linie frântă suport;
- albii naturale (oarecare), la care secţiunea depinde atât de adâncime
cât şi de poziţia în lungul curentului A = A(h, l). Calitatea albiei şi variaţia acesteia se caracterizează prin rugozitatea
albiei şi care, pentru o mişcare uniformă, trebuie să fie constantă în lungul
curentului.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 94
Mişcarea uniformă este mai mult o ipoteză, în general curgerea cu
nivel liber nu este permanentă şi cu atât mai puţin uniformă datorită
sensibilităţii foarte mari a curentului la cele mai mici forţe perturbatoare
(variaţia de debit în timp şi în lungul albiei, modificarea rugozităţii în lungul
albiei, influenţa curenţilor de aer de la suprafaţa liberă, neregularităţi ale
perimetrului udat, construcţii diverse etc).
Mişcarea uniformă totuşi prezintă importanţă teoretică şi practică în
calculele de dimensionare şi definirea altor tipuri de mişcări în raport cu
aceasta.
Se poate considera mişcarea uniformă pe perioade scurte în albii
regulate în curgere permanentă pe sectoare de canale lungi, rectilinii, cum sunt
canalele de irigaţie, desecare – drenaj, de aducţiune al apei potabile, de
evacuare a apelor uzate, de aducţiune şi fugă a hidrocentralelor, de navigaţie, de
plutărit, de colmataj etc.
12.1.1. Parametrii geometrici şi hidraulici ai canalelor.
Elementele geometrice ale unui canal sunt:
- forma secţiunii transversale, cu elementele sale caracteristice;
- profilul longitudinal, caracterizat de panta longitudinală.
Pentru exemplificare se definesc elementele caracteristice ale unui
canal de secţiune trapezoidală (fig. 12.1).
b
h h
h
ϕ
BB
0 t
st
m=ctg
h
v /2g
θ
α 2ο
οVo
I
Ih
ϕ
Fig.12.1. Elementele geometrice şi hidraulice ale albiilor regulate
Elementele geometrice se caracterizează prin:
- lăţimea la fund a canalului b;
- deschiderea totală Bt;
- înclinarea taluzelor φ, caracterizat prin coeficientul unghiular al
taluzului m = ctgφ;
- panta longitudinală I = sinθ ~ tgθ.
Hidraulică vol. II 95
Elementele hidraulice ale acestui canal sunt:
- adâncimea curentului h, numită adâncime normală h0 în mişcarea
uniformă;
- secţiunea udată (vie) A, este secţiunea normală pe direcţia de curgere;
- perimetrul udat (muiat) P, este lungimea conturului secţiunii vii
mărginit de solid;
- raza hidraulică R = A/P;
- lăţimea relativă β = b/h0; - lăţimea la oglinda apei B;
- rugozitatea pereţilor şi fundului k, exprimat sub formă absolută sau
sub forma coeficientului de rugozitate n (după Manning, Forheimer, Pavlovski
etc.) sau γ (după Bazin);
- panta piezometrică Ip, variaţia cotei nivelului liber în lungul
curentului;
- panta hidraulică (energetică), Ih, Ie care reprezintă variaţia energiei
specifice totale pe lungimea curentului;
- adâncimea de siguranţă (garda) canalului hs;
- debitul volumic al curentului Q, volumul de lichid W care trece în
timpul t prin secţiunea vie, Q = W/t; - viteza medie V, definită prin V=Q/A.
În mişcarea uniformă, panta geometrică a canalului, panta
piezometrică şi energetică sunt egale, iar liniile lor caracteristice sunt paralele.
Parametrii geometrici şi hidraulici sunt constanţi în timp şi în lungul curentului
la mişcări uniforme.
12.2. LEGILE CURGERII UNIFORME A LICHIDELOR
ÎN ALBII REGULATE (CANALE).
Pentru curgeri în albii regulate cu adâncimea apei relativ mică, se
poate accepta densitatea constantă, iar principalele legi care guvernează
mişcarea uniformă se referă la conservarea masei şi viteza medie.
12.2.1. Relaţia generală a curgerii uniforme în canale
Prima lege respectată la curgeri uniforme în canale este conservarea
masei (5.41).
Q = Ai Vi (12.1)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 96
A doua lege este legătura între viteza medie şi elementele geometrice
ale secţiunii care se exprimă sub forma (8.7)
RICV = (12.2)
în care R este raza hidraulică, I – panta fundului, iar C (m1/2
/s) coeficientul lui
Chézy, exprimat sub formele (8.8) sau după transformarea coeficientului
Darcy-Weisbach λ în coeficient de rugozitate după tabelul 8.5. Această lege se
poate stabili parţial şi pe cale mecanică, presupunând un volum de control între
două secţiuni normale „solidificate” şi mişcându-se uniform pe un plan
înclinat, rezultând )( RIfV = , sau prin „teorema produselor” din analiza
dimensională rezultând ( ) RInV ,...,, ρνϕ= .
Aceste relaţii se calibrează experimental, obţinându-se C.
După înlocuirea (12.2) în (12.1) se obţine debitul mişcării uniforme:
RIACQ = (12.3)
sau notând
RACK = (12.4)
unde K este modulul de debit, cu unitatea m3/s.
IKQ = (12.5)
Modulul de debit este debitul pentru panta hidraulică unitară.
12.2.2. Distribuţia vitezelor pe secţiune
Într-un curent turbulent în medie uniform cu suprafaţă liberă
distribuţia vitezelor urmează o lege logaritmică în secţiuni normale la perete
(asemănător conductelor). Gradientul de viteză este mai mare lângă contur,
izotahele urmează forma conturului (rezistenţele din frecare sunt uniform
distribuite), excepţie făcând colţurile secţiunii unde izotahele se îndepărtează
(fig. 12.2).
Viteza la fund este o viteză fictivă şi se obţine prin extrapolarea epurii
vitezei din punctul cel mai de jos unde se poate măsura viteza.
Relaţiile între viteza medie, ceea de la suprafaţă, maximă şi ceea de la
fund sunt după cum urmează:
Hidraulică vol. II 97
u
u
h
(1/5-1/6)h
u
Z
h
f
max
umax
s
x
Z
1,21,00,80,60,40,2
y
x
a
b
cv
Fig. 12.2. Distribuţia vitezelor în curent cu nivel liber în mişcarea uniformă: a). distribuţia
vitezei în secţiunea transversală; b). distribuţia vitezei în profil longitudinal;
c). distribuţia vitezei în plan.
Vuu
uV
Vu
s
s
f
52,1~29,1~
85,0~
6,0~
max
Legea logaritmică la distribuţia vitezei în albii dreptunghiulare (după
Popescu St.) este dată de relaţia:
afp
ap
p
f
f
yz
k
h
k
h
k
b
k
zh
k
ky
k
kz
uulnlnln
lnlnln
0
δ−++
= (12.6)
iar în albii de secţiune trapezoidală:
ap
p
f
f
ap
p
f
f
yz
k
h
k
kmzb
k
kh
k
zh
k
kymzb
k
kz
uu
ln5,0
lnln
ln5,0
lnln
0 +++
−+−++
=
δ
γ (12.7)
în care s-au utilizat relaţiile:
• uyz – viteza în punctul cu coordonatele (y, z);
• u0 - viteza punctuală maximă;
• z - cota punctului în care se calculează viteza;
• y - ordonata punctului de calcul;
• m - coeficientul unghiular al taluzului;
• kf - rugozitatea absolută a fundului canalului;
• kp - rugozitatea absolută a pereţilor;
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 98
• ka - rugozitatea fictivă echivalentă ce ţine seama de frecarea cu aerul;
• h - adâncimea apei în canal;
• δ - coeficient care ţine seama de influenţa frecării cu aerul;
• b - lăţimea la fund a canalului;
• k - constantă.
Curentul uniform fiind foarte sensibil la perturbări, orice neuniformitate a
secţiunii, pereţilor, rugozităţii, mişcarea aerului la suprafaţă, modifică epura
vitezelor.
12.2.3. Curenţi aeraţi
În cazul canalelor cu pante mari agitaţia particulelor la suprafaţa liberă
creşte, iar energia cinetică datorită pulsaţiei vitezei turbulente normală pe
direcţia principală a mişcării depăşeşte forţele gravitaţionale şi de tensiune
superficială. Astfel, picături trec în aer prin suprafaţa liberă, recad în curent şi
antrenează aer în curentul lichid. Bulele de aer sunt antrenate în aval, stratul de
la suprafaţă căpătând un aspect de emulsie spumoasă.
La o astfel de curgere se disting patru straturi ale curentului, de jos în
sus, astfel: lichid; lichid cu bule de aer; emulsie spumoasă şi aer cu picături de
lichid (fig. 12.3).
Fig. 12.3. Stratificaţia curentului aerat.
Grosimea stratului de spumă creşte odată cu creşterea pantei, viteza de
pulsaţie creşte, mai multe picături părăsesc suprafaţa liberă şi recad antrenând
mai mult aer. Grosimea straturilor inferioare se micşorează. Volumul emulsiei
(de lichid-aer) poate spori volumul de 7-8 ori faţă de volumul ce ar fi ocupat de
lichid. Din acest considerent adâncimea curentului aerat este substanţial mai
mare şi este necesară sporirea gardei canalului.
Experienţele de laborator (Semenic, Brazova, D. Pavel) scot în
evidenţă că până la pante
Lichid
Lichid cu bule aer
Emulsie lichid-aer
Aer cu picaturi de lichid
1
2
3
4
Hidraulică vol. II 99
aIR
I =<0834,0
0784,0 (12.8)
curgerea este neaerată şi calculele se pot efectua cu relaţia (12.3).
La pante I > Ia apa se aerează succesiv, de sus în jos, astfel că raportul
volumului de apă şi volumul amestecului β = Vapă/Vamestec < 1. Afectând cu
indicele „a” mărimile caracteristice curentului aerat, debitul de apă este:
IRCAQQ aaaa ββ == (12.9)
La pante Ia < I < 0,542 aerarea curentului este parţială, iar pentru I > 0,542 curentul se aerează până la fund.
Coeficientul de aerare β se poate calcula suficient de exact cu relaţia:
FrFr
lg812,026,236
lg812,01 −=−=β (12.10)
unde Fr = v2/gh este numărul Froude.
Aerarea curentului de la intrarea în bieful cu pantă superioară pantei
de aerare se produce la o anumită lungime de parcurs, între punctul numit
începutul mişcării aerate şi care corespunde cu distanţa la care, în bieful cu
I>Ia stratul limită ajunge la suprafaţă. Procentul de aer corespunzător numărului
Fr se atinge după o anumită lungime de parcurs a curentului.
12.2.4. Instabilitatea mişcării uniforme
În cazurile când viteza apei sau panta canalului sunt prea mari
suprafaţa liberă a curentului nu mai este paralelă cu fundul, mişcarea devine
nestabilă. Pe suprafaţa liberă apar unde călătoare, a căror înălţime la creastă
poate ajunge de două ori adâncimea normală.
Curgerea îşi pierde stabilitatea – după Vedernikov – când:
1>== FrxΠVcr
VxΠVe (12.11)
în care Ve este numărul Vedernikov; x = 2 la mişcări laminare şi x = 1/2 la
mişcări turbulente; Π – factor de formă a canalului.
dA
dPRΠ −= 1 (12.12)
Pentru Ve < 1 mişcarea este stabilă, iar pentru Ve > 1 mişcarea se mai numeşte
supertorenţială sau ondulatorie. Aceste fenomene de instabilitate sunt
caracteristice albiilor de secţiune dreptunghiulară sau trapezoidală.
Instabilitatea apare la pante între 2 şi 35 %, când R/P < 1/10. Fenomenul nu
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 100
apare la canale de secţiune triunghiulară, parabolică, semicirculară sau
combinaţia pe verticală a acestor secţiuni cu dreptunghi, însă nu s-a găsit
explicaţia de ce.
12.3. CALCULUL HIDRAULIC AL ALBIILOR REGULATE
DESCHISE ÎN MIŞCARE UNIFORMĂ
Calculul hidraulic al albiilor regulate în mişcarea uniformă îmbracă
două aspecte:
- problema de verificare a debitului transportat;
- problema de dimensionare a canalului.
12.3.1. Problema de verificare a canalelor în mişcare uniformă
La astfel de probleme se determină debitele transportate de canale
pentru forme date ale secţiunii, adâncime normală h0, coeficient de rugozitate
n, panta fundului I cunoscute. Ştiind că pantele fundului, hidraulică (energetică)
şi piezometrică coincid se utilizează relaţia generală a canalelor (12.3), din care
rezultă debitul transportat. Atenţie mare trebuie acordată aprecierii
coeficientului de rugozitate. Calculul coeficientului Chézy se efectuează după
relaţia (8.8)sau relaţiile după tabelul 8.5, coeficienţii de rugozitate găsindu-se în
tabelele 8.6 şi 8.7.
12.3.2. Problema de dimensionare a canalelor
în mişcare uniformă
Problemele de dimensionare ale canalelor în mişcare uniformă în
general matematic sunt nedeterminate – numărul necunoscutelor este mai mare
decât numărul ecuaţiilor posibil de scris.
Prin adăugarea unor condiţii suplimentare tehnice (geotehnice, de
rezistenţă, hidraulice), tehnologice şi economice problema se poate aduce la
determinare.
La problemele de dimensionare se ivesc cazurile:
- determinarea pantei longitudinale;
- determinarea elementelor secţiunii transversale.
Hidraulică vol. II 101
10. Determinarea pantei geometrice longitudinale
Fiind date elementele geometrice ale secţiunii transversale, adâncimea
normală h0, coeficientul de rugozitate n şi debitul Q, panta fundului canalului
rezultă din:
2
2
22
2
K
Q
RCA
QI == (12.13)
Practic se calculează pierderile de energie pe lungime unitară (panta
hidraulică), dar în mişcarea uniformă pantele energetică, piezometrică şi
geometrică a fundului canalului coincid (Ih = Ip = I), rezultând din (12.13) panta
topografică a fundului.
20. Determinarea elementelor secţiunii transversale
ale canalelor în mişcarea uniformă Elementele secţiunilor diferitelor forme de canale sunt determinate de
două, trei sau mai multe variabile independente. Astfel la secţiunea
triunghiulară, circulară, parabolică, dreptunghiulară două variabile
independente definesc elementele secţiunii transversale (aria vie, perimetrul
udat, raza hidraulică). La canale de secţiune trapezoidală, semieliptică trei
variabile independente definesc elementele secţiunii, iar la alte forme, secţiuni
compuse: dublu trapezoidală, policentrică, pantă dublă de taluz, clopot, ovoid,
potcoavă, profile de galerii etc., variabilele independente sunt mai numeroase
(fig. 12.4 şi 12.5).
θh R h h h
b2 variabile ( ,h) (R,h) (p,h)(b,h)
pϕ
h
b
θ
a/2
hb/2
m=ctg θ
3 variabile ( ,h,b) (a,b,h)θ
h
h
b
bh
h
1
2
11
0
m2
m1
m1
m 2
(b,h1,h2,m1,m2,b1) (m1,m2,h1,h0)
Fig.12.4. Variabile care determină elementele secţiunii canalelor
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 102
b=2r
h=2r r
3/2r
r/2
r
b=2r
h=3r
r
3r
60 60
B
B/2
H=0,63B
B/2
B
1 2
3
rr
3/2r
0 ,917r
0,583r
r/2
3r
3r
b=2r
h=3,5r
r
r
3/4rp/4
r
p/2
b=2r
h=2,5r
1/4r
r
3/4r
3/4r
3/2r
21/16r
5/16r 11/16r
r/2
b=2r
h=2r
4 5 6
r
r 5/8r 3/8r
r/2
b=2r
h=1,5p
60 60
B/2
0,867B
B
H=1,73R
5/8r 3/8r
r13/12r r/3
r/6
3/4r
b=3r
h=1,25r
7 8 9
r
r 2
1
b
h
r r
rr/2
r/2
2r
b=2r
h=2r
b
h
θ
r
b1
10 11 12
Fig. 12.5. Elementele secţiunilor uzuale de canale închise folosite în tehnică
Hidraulică vol. II 103
La dimensionare, din condiţia mişcării uniforme având la dispoziţie
numai relaţia (12.3) sunt necesare condiţii suplimentare.
Condiţiile tehnice, în majoritatea cazurilor, stabilesc o relaţie între
două variabile independente sau determină (impune) una din variabile. Astfel:
geotehnica poate impune panta taluzului canalului din condiţia de stabilitate;
condiţiile de rezistenţă stabilesc paramentul p al parabolei sau raportul a/b al
semielipsei la jgheaburi sau unele dimensiuni de colţ ale jgheaburilor
policentrice; tehnologia impune, din condiţii de tipizare, lăţimea la fund sau
panta taluzului la valori fixe.
Condiţiile hidraulice pot fi impuse sub diferite aspecte:
- limitarea vitezei medii (ex. viteză minimă sub aspectul transportului
de aluviuni – neînămolire sau viteza maximă prin neeroziune);
- optim hidraulic – canalul să transporte debitul dat, la pantă
longitudinală şi rugozitate dată, la secţiune minimă.
Condiţiile economice la fel pot completa numărul ecuaţiilor
propunând cost minim investiţiilor sau cheltuieli totale anuale minime.
20.a. Dimensionarea canalelor de secţiune trapezoidală
Canalele trapezoidale sunt cele mai folosite în practică datorită unor
avantaje tehnice în realizarea şi exploatarea lor. În general înclinarea taluzului,
caracterizat prin coeficientul unghiular m = ctgθ, este determinată de condiţiile
geotehnice (stabilitatea taluzului) sau tehnologice (de montare, turnare, lestare
a îmbrăcăminţilor).
La elemente: debit Q, coeficient unghiular al taluzului m, panta
longitudinală I, coeficient de rugozitate n date, dimensionarea rămâne tot o
problemă nedeterminată. Trebuiesc stabilite două necunoscute – h0 şi b, şi
există o singură relaţie de calcul (12.3).
Aducerea problemei la determinare se face prin impunerea la valori
verosimile a uneia din variabile, de obicei b, sau se caută altă condiţie pentru
stabilirea uneia din variabile sau a unei alte relaţii între variabile.
20.a1. Când este impusă una din variabile
Se acceptă valoarea lăţimii la fund b cunoscută.
Chiar cu o singură necunoscută – aceasta nu se poate explicita din
relaţia (12.3), problema trebuie rezolvată printr-o metodă de aproximaţii
succesive (coardei, Newton etc). Se mai cunosc câteva metode istorice, ca:
metoda modelului abstract, metoda secţiunilor asemenea, metoda II Agroskin,
tabele cu canale tipizate.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 104
Fig. 12.6. Schemă pentru calculul canalelor
trapezoidale
Cunoscând:
IKRIACQ == (12.3)
pentru secţiunea trapezoidală elementele secţiunii sunt:
=
++
+==
++=
+=
yRn
C
mhb
mhbh
P
AR
mhbP
mhbhA
1
12
)(
12
)(
2
0
00
2
0
00
(12.14)
Se impune o valoare
iniţială lui h0 = hi şi un pas
de calcul ∆h. Calculul se
conduce după schema
logică din fig. 12.7.
Calculul poate fi efectuat
automat sau manual, în
ultimul caz utilizându-se
(tab. 12.1).
Fig. 12.7. Schema logică de calcul a
adâncimii normale prin metoda iterativă
Dimensionarea canalelor trapezoidale
Tabelul 12.1 Nr.
crt.
hoi
(m)
b (m)
Ai (m)
Pi (m)
Ri (m)
Ci m
1/2s
-1
Qi m
3/s
Q m
3/s
εQ m
3/s
εh (mm)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
b
hθn I
m 0
START
C iteste:Q,m ,n,I,b ,hi , h
h
h0 =hi
A=f1(b,m ,h0)
P=f 2(b,m ,h0)
R=A/PY=f(n,R)C=1/n Ry
h0=h0 + h
Q i=AC R i
(Q-Qi)...0
> <h0=h0
1
<=
1
h= h/10
Scrie:h0,b,m ,i,A ,P,R ,C,Q i
STOP
ε
∆
∆ h ...ε h
∆ ∆
∆
=
>
n,
∆- h
Hidraulică vol. II 105
Problema poate fi soluţionată şi grafic. Pentru câteva valori h0i se
calculează elementele din tabelul 12.1. Pasul de calcul pentru hoi poate fi
considerat 5...10 ori mai mare decât precizia impusă εh pentru h0. Se reprezintă
grafic (pe hârtie milimetrică) mărimile (Qi, h0i), pentru ∆h acceptându-se pe
ordonată cel puţin 1 cm. Curba Q = f(h0) obţinută, la valoarea debitului de
dimensionare Q indică mărimea reală pentru h0 (fig. 12.8).
Fig. 12.8. Soluţia grafică a dimensionării
canalelor trapezoidale
Calculele se conduc analog când se impune h0 şi se calculează b.
20.a2. Când se cunoaşte o relaţie monomă între b şi h0
Deseori se poate cunoaşte din condiţie de optim hidraulic sau
tehnologic lăţimea relativă a canalelor trapezoidale, de forma b = βh0.
Calculele în acest caz devin determinate:
( )
++
+=
++
+=
++=
+=
y
y
m
mh
nC
m
mhR
mhP
mhA
20
20
2
0
2
0
12
1
12
12
)(
β
β
β
β
β
β
(12.14’)
Mărimile din (12.14’) înlocuite în (12.3) permit explicitarea lui h0 sub forma:
( )
( )
y
y
y
mI
mQnh
+
+
+
+
++=
5,2
1
5,12/1
2/12
0
12
β
β (12.15)
Valoarea lăţimii relative poate fi dată de condiţia profilului hidraulic optim care
poate fi formulat şi astfel: un canal de secţiune A dată pentru I, n, m cunoscut să
Qi(m3/s)
Q
h0(m)
citeste h
Q=f(h 0)
0
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 106
transporte debit maxim. Utilizând pentru coeficientul Chezy relaţia putere după
Pavlovski
yRn
C1
= (12.16)
ecuaţia (12.3) se poate transforma în:
IRn
AQ y 2/11 += (12.17)
Pentru A, n, I constante, Q = max, dacă R = max, însă R = A/P este maxim
pentru P = min.
Primele două ecuaţii ale (12.14’) devin:
( )
( )
=++=
=+=
min12 2
0
2
0
mhP
constmhA
β
β (12.18)
Variabilele independente din (12.18) sunt β şi h0. Diferenţiind ecuaţiile se
obţine:
( )
( )
=+++=
=++=
012
02
00
2
2
000
ββ
ββ
dhdhmdP
dhdhmhdA (12.19)
Scăzând cele două relaţii după împărţirea primei cu h0, rezultă:
( )mm −+= 212β (12.20)
La profil hidraulic optim rezultă R = h0/2, deci trapezul este circumscris şi
(12.15) devine:
( )yy
mmI
Qnh
++
−+=
5,2
1
22/1
2/1
0
12
2 (12.21)
20.b. Dimensionarea canalelor de secţiune triunghiulară
La această formă de secţiune sunt două variabile independente, φ sau θ
şi h0 (fig. 12.9). În majoritatea cazurilor practice unghiul θ este impus din
condiţii tehnice. Notând m = ctgθ, elementele secţiunii sunt (trapez cu b = 0):
Fig. 12.9. Schemă pentru canal triunghiular.
θ
h0ϕ
Hidraulică vol. II 107
+=
+=
=
2
0
2
0
2
0
12
12
m
mhR
mhP
mhA
(12.22)
Utilizând pentru C relaţia putere (12.16), adâncimea normală este explicitabilă,
sub forma:
( ) y
y
y
mI
mnQh
+
+
+
+=
5,2
1
5,12/1
2/12
0
12 (12.23)
Relaţia se poate obţine uşor din (12.15) pentru b = β = 0.
Profilul hidraulic optim pentru canale triunghiulare se defineşte
asemănător canalelor trapezoidale, rezultând:
==
==
minsin
2 0
2
0
θ
θ
hP
constctghA (12.24)
Prin diferenţierea ecuaţiilor în raport cu variabilele h0 şi θ rezultă:
=−=
=−=
0sin
cos2
sin
2
0sin
2
200
2
2
0
00
θθ
θ
θ
θθ
θ
dhdhdP
dh
dhctghdA (12.25)
din care rezultă:
2
1cos =θ sau 045
4==
πθ (12.26)
Mai simplu, din prima relaţie al sistemului (12.25) θctg
Ah =0 înlocuit în a
doua, se obţine:
min2sin
22
sin2
2===
θθθ
A
ctg
AP (12.27)
Cu A = const. Trebuie ca sin2θ = max, sau 2θ = π/2, respectiv θ = 450.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 108
20.c. Dimensionarea canalelor de secţiune dreptunghiulară
Canalele dreptunghiulare sunt destul de des întâlnite în practică
datorită uşurinţei lor de execuţie. Ele sunt totdeauna consolidate. Elementele
acestei secţiuni sunt definite tot de două variabile independente – b, h0
(fig. 12.10).
Fig. 12.10. Schema pentru canal dreptunghiular.
Ca şi în cazul canalelor trapezoidale, chiar dacă se impune o variabilă din alte
considerente, variabila necunoscută nu se poate explicita. De fapt şi canalul
dreptunghiular este un caz particular de canal trapezoidal pentru θ = 900,
m= ctg900 = 0.
Elementele secţiunii sunt:
+=
+=
=
)2/(
2
00
0
0
hbbhR
hbP
bhA
(12.28)
20.c1. Când se impune una din variabile calculele se conduc
asemănător ca la 20.a1.
20.c2 Când se cunoaşte o relaţie monomă între variabile
Lăţimea relativă β = b/h0 aduce dimensionarea la o problemă determinată
matematic. Ecuaţiile (12.28) devin:
( )
+=
+=
=
0
0
2
0
2
2
hR
hP
hA
β
β
β
β
(12.29)
Din (12.3) rezultă:
( ) y
y
y
I
Qnh
+
+
+
+=
5,2
1
5,12/1
2/1
0
2
β
β (12.30)
h
b
Hidraulică vol. II 109
Canalele dreptunghiulare se folosesc şi ca jgheaburi şi condiţiile lor de
rezistenţă pot stabili lăţimea relativă.
Profilul hidraulic optim: canalul de secţiune dreptunghiulară să
transporte la secţiune constantă (A = ct) debit maxim şi care implică perimetru
minim.
( )
=+=
==
min2 0
2
0
hP
consthA
β
β (12.31)
Diferenţiind ecuaţiile avem:
=++=
=+=
0)2(
02
00
2
000
ββ
ββ
dhdhdP
dhdhhdA (12.32)
din care rezultă:
βoptim = 2 sau b = 2h0 (12.33)
Înlocuind elementele în (12.3) rezultă adâncimea normală la profil hidraulic
optim.
yy
I
Qnh
+−
=
5,2
1
2/1
2/1
0
2 (12.34)
20.d. Canale de alte secţiuni curbe
20.d1. Parabolă (fig.12.11). Aceste secţiuni se utilizează la canale în
construcţia jgheaburilor. Condiţia de rezistenţă defineşte, de obicei, parametrul
parabolei p = 1/4...1/20.
Fig. 12.11. Canal de secţiune parabolică.
Ecuaţia formei este
x2 = 2py (12.35)
B
h
Y
X
0
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 110
Elementele secţiunii sunt:
+++
+=
=
p
h
p
h
p
h
p
hpP
BhA
0000
0
212ln211
3
2
(12.36)
Celelalte calcule pot fi conduse ca la punctul 20.a1. Asemănător
cazurilor precedente se poate defini profilul hidraulic optim din care rezultă
parametrul parabolei.
20.d2. Semielipsă (fig. 12.12). Aceste secţiuni de jgheab se utilizează
pentru debite mai mari decât cele parabolice.
Fig. 12.12. Canal semieliptic
Ecuaţia formei este:
12
2
2
2
=+b
y
a
x (12.37)
cu excentricitatea:
a
ba 22 −=ε (12.38)
Elementele secţiunii sunt:
( )[ ]
⋅++=
−=
hh ttabAb
h
b
haB
2sin25,0
224
2
π
(12.39)
unde
−=
2
222
a
h
a
hth
Pentru perimetrul udat se poate utiliza fie relaţia:
Y
X
0hx
y
a
01
0
02
M
Hidraulică vol. II 111
dttbtaPht
⋅+= ∫−
2
2222 cos4sin4π
, (12.40)
care poate fi integrată numeric, fie:
( )
+= kEktEbP h ,
2,2
π (12.40’)
unde:
2
222
b
abk
−= , iar ( ) 2 2
0
, 1 sin
u
hE t k k t dt= − ⋅ ⋅∫ este
integrala eliptică de speţa a doua ale cărei valori se găsesc intabulate în
îndrumare matematice.
Asemănător cazurilor precedente se poate defini profil hidraulic optim,
rezultând (a/b)optim.
20.d3. Lănţişor (fig. 12.13)
Se poate utiliza ca secţiune de jgheab, prezentând condiţii de
rezistenţă apreciabile pe secţiune.
Fig. 12.13. Canal lănţişor
Ecuaţia formei este:
[ ]lla
xhay ,- x,1cos ∈
−= (12.41)
în care a este parametrul lănţişorului,
f
fLa
8
4 22 −= (12.42)
Elementele secţiunii udate sunt:
( )
( )
+−=
+−−+= −
222
//
44
222
hfLf
hP
eeabbhA abab
(12.43)
l l
b b
h
f
A B
A' B'
-l -b0
b l x
y
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 112
în care:
λlnab = cu a
h
a
h
a
h 21
2
2
+++=λ ;
L – lungimea lănţişorului între punctele A şi B; a
lshaL ⋅= 2 .
Celelalte calcule se conduc asemănător punctului 20.a1.
Asemănător cazurilor precedente se poate defini profilul hidraulic
optim, rezultând (l/f)optim.
20.d4. Semicirculară (fig. 12.14)
Sunt utilizate ca jgheaburi, confecţionate din diferite materiale de
diferite dimensiuni.
Fig. 12.14. Canal semicircular.
Calculele de verificare, dimensionare pun probleme asemănătoare
celorlalte cazuri.
Ecuaţia formei este:
222 ryx =+ (12.44)
Elementele secţiunii pentru gradul de umplere:
D
h0=α (12.45)
sunt:
( )
−=
=
−=
rR
rP
rA
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
2
sin
sin2
2
(12.46)
Analizând secţiunile studiate din punct de vedere al optimului
hidraulic se observă că forma secţiunii trebuie să admită raza hidraulică
maximă, respectiv perimetru minim.
r
D
h0
0 X
Y
ϕ
Hidraulică vol. II 113
Pentru aceeaşi secţiune definit de curbă continuă A = ct perimetrul
minim prezintă secţiunea semicirculară, apoi lănţişorul, parabola şi elipsa.
Canalele săpate în pământ sunt realizate deseori cu secţiune poligonală. Pentru
forme poligonale izoperimetrice, când laturile sunt date, putând avea lungimi
diferite, secţiunea vie maximă se obţine pentru poligon circumscris. Dacă
laturile sunt egale, rezultă că soluţia optimă este un poligon regulat. Dintre
poligoanele regulate izoperimetrice, cel mai favorabil este cel cu număr mai
mare de laturi, iar la limită, cercul.
Dacă nu se dă mărimea laturilor poligonului, ci numai direcţiile lor,
într-o ordine care să asigure convexitatea poligonului, iar orientările laturilor să
închidă poligonul, dintre poligoanele izoperimetrice, aria maximă este dată de
un semipoligon care, împreună cu orizontala de nivel este circumscris unui
cerc.
Observaţii. Alte forme de secţiuni de canal se calculează în mod asemănător celor
prezentate, utilizându-se relaţia hidraulică pentru canale (12.3) şi expresiile
specifice pentru secţiune şi perimetru.
Atenţie deosebită trebuie acordată stabilirii coeficientului de rugozitate
n care se găseşte intabulat în majoritatea tratatelor, îndrumătoarelor, cursurilor
de hidraulică (v. tab.8.6) în funcţie de materialul canalului şi gradul său de
prelucrare.
În situaţia când canalul pe porţiuni de perimetru prezintă rugozităţi
diferite, în calcule se foloseşte coeficientul de rugozitate echivalent ne, definit
prin
∑∑
=i
iie P
Pnn (12.47)
pentru nmax/nmin < 2 şi
3/22/3
=
∑∑
i
iie P
nPn (12.48)
pentru nmax/nmin > 2.
S-a notat ni coeficientul de rugozitate a porţiunii Pi al perimetrului.
Dacă secţiunea de curgere este compusă, calculul se poate efectua pe
baza celor prezentate sau prin descompunerea secţiunii în secţiuni simple
caracteristice calculele fiind efectuate pentru acestea cu mărimile secţiunilor,
perimetrele aferente solide şi rugozităţile caracteristice:
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 114
∑= iQQ (12.49)
Erorile rezultate sunt sub 2%.
12.4. CALCULUL HIDRAULIC AL CANALELOR ÎNCHISE
În tehnică se întâlnesc frecvent canale cu profil închis şi curgere cu
nivel liber la canalizarea centrelor populate, galerii de aducţiune, drenuri etc.
Ele pot avea în secţiune forme geometrice diferite: circulare, ovoid, clopot,
potcoavă, secţiuni policentrice, secţiuni compuse etc. (v. fig. 12.5).
Particularitatea acestor canale este că viteza medie maximă şi debitul
maxim nu se obţin pentru secţiune de curgere plină.
Calculul lor hidraulic este asemănător cu cele prezentate la 12.3 însă la
proiectare dimensionarea lor la Qmax corespunde gradului de umplere pentru
care secţiunea conduce debit maxim.
12.4.1. Calculul hidraulic al canalelor circulare
În cele ce urmează se prezintă particularităţile curgerii şi calculelor
hidraulice pentru secţiune circulară (fig. 12.15).
Fig. 12.15. Schemă de calcul al
canalelor circulare închise
Elementele secţiunii se definesc ca şi în cazul canalelor semicirculare (12.46).
În cazul canalelor închise viteza medie şi debitul nu se obţin pentru
secţiunea plină, ci pentru un grad de umplere oarecare.
Se notează cu indicele „p” mărimile geometrice şi hidraulice
corespunzătoare secţiunii pline. Pentru gradul de umplere α = h0/D, (h0 = 0...D)
caracteristicile secţiunii parţial umplute sunt:
- aria relativă π
ϕϕ
2
sin−=
pA
A;
- perimetrul relativ π
ϕ
2=
pP
P;
h
D=2r
0
r
P,n
A
0
ϕ
Hidraulică vol. II 115
- raza hidraulică relativă ϕ
ϕϕ sin−=
pR
R.
Viteza medie şi debitul relativ vor fi:
3/2
sin
−==
ϕ
ϕϕ
IRC
RIC
V
V
ppp
(12.50)
respectiv
3/2
sin
2
sin
−−==
ϕ
ϕϕ
π
ϕϕ
IRCA
RIAC
Q
Q
pppp
(12.51)
fiind acceptat pentru C relaţia lui Manning.
Maximizarea funcţiei V/Vp = f1(φ) implică 0)/(
=ϕd
VVd p din care rezultă
sinφ – φcosφ = 0, care admite soluţia 05,2574934,4 ≅= radϕ .
Procedând asemănător pentru funcţia debitului relativ, avem: Q/Qp = f2(φ),
respectiv 0)/(
=ϕd
QQd p, din care rezultă 3φ - 5φcosφ + 2sinφ = 0, care admite
soluţia 04,302 278,5 ≅= radϕ .
În (tab. 12.2) sunt evidenţiate în funcţie de gradul de umplere
elementele relative ale secţiunii, viteza şi debitul relativ.
Elementele secţiunii şi hidraulice relative la curgerea în canale circulare
Tabelul 12.2
φ
D
h0=α 0A
A
0P
P
0R
R
0V
V
0Q
Q
grad rad
1 2 3 4 5 6 7 8
180 π 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 1,0
257,5 4,494 0,81 0,871 0,715 1,217 1,140 0,992
302,4 5,278 0,94 0,974 0,840 1,160 1,104 1,076
360 2π 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 116
Prin reprezentarea grafică în coordonate carteziene D
h
V
V 0
0
, ; şi
iD
h
Q
Q
0
0
, se obţin grafice cu, curbele vitezelor şi debitelor relative în
conducte circulare cu curgere liberă (fig. 12.16), valabile tuturor canalelor
circulare.
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2
0 0,05
Detaliu pentru
curba debitelor
Q/Qp
V/V p
Q/Qp
V/Vp
H=D
=h0/D
α
Fig. 12.16. Grafic pentru calculul canalelor circulare
Pentru simplificare calculelor canalelor circulare închise se poate apela la
graficul din fig. 12.16.
Canalul circular la pantă longitudinală I, coeficient de rugozitate n la
secţiune plină transportă debitul:
ID
CD
Qp44
2π=
la viteza medie
ID
CVp4
= .
La un grad de umplere dat α din fig. 12.16 rezultă debitul relativ Q/Qp = KQ,
respectiv viteza relativă V/Vp = KV. Debitul real al canalului considerat va fi:
pQQKQ = (12.52)
respectiv viteza reală
pVVKV = (12.53)
Hidraulică vol. II 117
Alte forme de secţiuni de canale închise se calculează în mod asemănător.
Fiecărei forme de secţiune i se construieşte câte un grafic al debitelor şi
vitezelor relative în funcţie de gradul de umplere, apoi pentru condiţiile
concrete date se determină debitul şi viteza la secţiunea plină (mai uşor de
calculat decât pentru un anumit grad de umplere), iar, în final, pentru grad de
umplere cunoscut, pe baza relaţiilor (12.51) şi (12.52), rezultă debitul şi viteza
reală.
În fig. 12.17 şi 12.18 sunt prezentate graficele debitelor şi vitezelor
relative pentru secţiunea ovoid şi clopot.
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2
0 0,05
Detaliu pentru
curba debitelor
Q
V
B
R=0,5B
R'=1,5B
H=1,5B
R'=1,5B
r=0,25B
0,1
α,β
Fig. 12.17. Grafic pentru calculul canalelor ovoidale
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2
0 0,05
Detaliu pentru
curba debitelor
Q
V
R=0,5D
H=0,634D
0,1
R'=D
α,β
α,β
Fig. 12.18. Grafic pentru calculul canalelor de secţiune clopot
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 118
12.5. CALCULUL TEHNICO-ECONOMIC AL CANALELOR
Condiţiile de realizare economice ale canalelor, pe lângă cele tehnice
completează numărul ecuaţiilor şi aduc problema de dimensionare la
determinare. Aceste condiţii economice pot viza minimizarea investiţiilor sau
cheltuielilor anuale.
În principiu elementele unei secţiuni de canal (arie vie, perimetru udat,
rază hidraulică) se pot exprima sub forma:
=
=
=
0
2
1
02
2
01
hK
KR
hKP
hKA
(12.54)
Panta hidraulică rezultată din (12.3), cu C după Pavlovski, este:
yy h
QK
hK
K
nhK
Q
RCA
QI
25
0
2
3
12
0
2
1
2
4
0
2
1
2
22
2
1++
=
== (12.55)
Energia pierdută anual la transportul debitului Q pe unitatea de
lungime de canal este:
η
γ TIQE
⋅⋅⋅= (12.56)
în care η este randamentul ridicării apei, iar T durata anuală de funcţionare.
Considerând pe preţul energiei unitare, cheltuielile totale anuale pentru
energia pierdută pe unitate de lungime de canal sunt:
yy
eee
h
QK
h
KpTQpEC
25
0
3
4
25
0
3
3
++=
⋅
⋅⋅=⋅=
η
γ (12.57)
Cheltuielile de amortizarea investiţiei şi pentru întreţinere Ci sunt
distribuite pe timpul normat de funcţionare Tn prin coeficientul de amortizare
a = 1/Tn. Cheltuielile anuale pentru unitate de lungime de canal –
amortismentul investiţiei şi reparaţiilor capitale – reprezintă parţial cheltuielile
fixe K5, parte sunt proporţionale cu perimetru (îmbrăcăminţi) K6h0, altă parte
fiind proporţionale cu secţiunea canalului (deblee, ramblee) K7h02, deci
cheltuielile de amortizare sunt:
2
07065 hKhKKCa i ++=⋅ (12.58)
Hidraulică vol. II 119
Cheltuielile totale anuale pentru unitate de lungime de canal devin:
2
0706525
0
3
4 hKhKKh
QKCaCC
yieT +++=⋅+=+
(12.59)
Funcţia continuă a cheltuielilor totale admite un minim în raport cu
variabila h0, deci:
( )
025
07626
0
3
4 =+++
−=+
hKKh
QKy
dh
dCy
T (12.60)
Ecuaţia de mai sus se rezolvă printr-o metodă numerică de aproximaţii
succesive sau grafic.
Funcţia cheltuielilor anuale de exploatare (12.57) scade cu creşterea
lui h0, iar amortismentele (15.58) cresc cu creşterea lui h0. Astfel, funcţia
costului total anual (12.59) admite un minim.
Practic, pentru câteva adâncimi normale se calculează valoarea
costurilor, apoi punctele (Ce, h0)i; (aCi, h0)i şi (CT, h0)i se reprezintă grafic
(fig. 12.19) care permite stabilirea soluţiei dorite.
C
h0Ce=K Q /h4
3 5+2y
aCi=K +K h+K h
C t
5
6
7
2
Ctmin
(h0)ec
Fig. 12.19. Graficul cheltuielilor şi adâncimii economice pentru canale
Fără a se ţine seama de condiţii tehnice şi tehnologice calculul
economic poate conduce uneori la adâncimi mari sau viteze mari pe canale.
Aceste cazuri pot deveni dificile tehnologic sau pot, datorită vitezelor extreme,
pune probleme în timpul funcţionării (depuneri, eroziuni).
12.6. VITEZE ADMISIBILE PE CANALE
Încă de la proiectare trebuie avut în vedere ca viteza medie pe canale
să fie cuprinsă între o limită inferioară – viteză minimă admisă – şi o limită
superioară – viteză maximă admisă.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 120
10. Viteză de neeroziune
La depăşirea limitei superioare admise a vitezei, curentul de apă
erodează patul albiei. Asemenea limite superioare ale vitezei există pentru toate
materialele. Valorile lor depind de caracteristicile materialelor care alcătuiesc
patul albiei şi de caracteristicile hidraulice ale curgerii.
În cazul canalelor de pământ din materiale coezive se poate utiliza
formula orientativă, recomandată de S. A. Ghrişkan:
1,01max QkV = (12.61)
în care coeficientul k1 depinde de materialul patului albiei, astfel:
- nisip lutos k1 = 0,53;
- lut nisipos k1 = 0,57;
- lut k1 = 0,62;
- lut argilos k1 = 0,68;
- argile k1 = 0,75...0.85.
Se mai pot utiliza recomandările lui Agroskin (tab. 12.3)
Viteze maxime admisibile la materiale coezive pentru R = 1...3 m
Tabelul 12.3 Nr. Materialul Vmax (m/s) Observaţii
1
2
3
4
5
6
7
8
Nisip argilos, nisip slab
Nisip argilos compact
Argilă nisipoasă uşoară
Argile nisipoase mijlocii
Argile nisipoase compacte
Argile moi
Argile normale
Argile grele
0,7...0,8
1,00
0,7...0,8
1,00
1,1...1,2
0,7
1,2...1,4
1,5...1,8
Pentru R > 3 m,
Vmax se poate mări
(R/3)0,1
ori
În cazul materialelor necoezive ale albiei (nisip, pietriş) viteza de
neeroziune rezultă din relaţia lui Levi.
m
m D
RgDV
7lg3max = (12.62)
în care Dm este diametru mediu al particulelor materialului patului albiei, iar R
– raza hidraulică. Relaţia este valabilă pentru R/Dm = 50...5000. Valorile
orientative ale vitezei admisibile la material necoeziv ale patului albiei
corespund (tab. 12.4).
Hidraulică vol. II 121
Viteze maxime admisibile la materiale necoezive
Tabelul 12.4. Nr. Materialul Vmax (m/s) Nr. Materialul Vmax (m/s)
1
2
3
4
5
nisip fin
nisip grăunţos
loess
pietriş mărunt
pietriş mare
0,23
0,45
0,4...0,6
0,6
0,9
6
7
8
9
piatră spartă
roci șistoase
roci sedimentare
roci dure
1,25
1,90
2,30
3,75
20. Viteza de neînămolire
Viteza limită inferioară admisă în canale reprezintă, de obicei, viteza
minimă necesară transportului hidraulic al solidelor. Sub această limită minimă
solidele (aluviunile) transportate se depun, producând colmatarea canalului.
Această viteză limită minimă se pune în cazul când curentul de apă transportă
aluviuni (în cazul irigaţiilor, hidroenergeticii, aducţiuni deschise de apă brută
din râuri) sau în cazul colectării şi transportului apelor uzate.
În cazul transportului de aluviuni naturale determinarea aproximativă
a vitezei de neînămolire se poate efectua cu relaţia:
2,0
2min QkV = (12.63)
unde k2 este un coeficient care ia în considerare dimensiunile geometrice ale
particulelor aluvionare şi mărimea hidraulică, astfel:
• A = 0,55 pentru aluviuni cu mărimea hidraulică mm/s 5,3>w ;
• A = 0,44 pentru aluviuni cu mărimea hidraulică mm/s 5,35,1 ≤≤ w ;
• A = 0,33 pentru aluviuni cu mărimea hidraulică mm/s 5,1<w .
În general nu se admit pe canale viteze medii sub 0,25 m/s, sub această limită
se favorizează creşterea vegetaţiei acvatice. Există situaţii când criteriile
vitezelor admisibile sunt în contradicţie, ex. pe canal de pământ viteza minimă
admisă rezultă superioară vitezei maxime admise. Contradicţia trebuie
rezolvată prin căptuşirea canalului cu un material care admite viteze maxime
superioare vitezei minime admise, dar căptuşeala să nu afecteze funcţionalul
canalului.
12.7. PIERDERI LOCALE DE SARCINĂ ÎN CURENŢI
PERMANENŢI CU NIVEL LIBER
Ca şi în cazul conductelor, pierderile locale de energie la curenţi
permanenţi cu nivel liber se datoresc unor variaţii pe distanţe mici ale profilului
vitezei – modificarea secţiunii, traseului, obstacole.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 122
Pierderile de energie (sarcină) locale la curgeri cu nivel liber sunt
însoţite de variaţia nivelului (cotei) luciului apei, aceasta fiind deformată faţă
de suprafaţa liberă a curentului uniform.
Pierderea locală de sarcină se exprimă sub forma sa generală (dată de
Weisbach).
g
Vhr
2
2
⋅= ζ (12.64)
Calculele pot deveni complicate când pierderea locală este suma a mai
multor pierderi elementare.
În continuare se descriu câteva cazuri de pierderi locale la modificarea
secţiunii de curgere, grătare, coturi.
10. Îngustarea secţiunii albiei (fig. 12.20).
Curentul fiind caracterizat prin V1 şi A1 – viteza medie, respectiv
secţiunea amonte şi V2 şi A2 – aceleaşi elemente aval de îngustare, coeficientul
de rezistenţă locală depinde de forma îngustării. Pentru îngustare bruscă
ζî = f(A2/A1), valorile corespunzând (tab. 12.5).
Fig. 12.20. Pierderea de
sarcină la îngustarea de
secţiune în curent liber
Coeficientul rezistenţei locale la îngustarea bruscă de secţiune
Tabelul 12.5
A2/A1 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
ζî 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
La îngustare continuă se poate utiliza relaţia lui Hinds:
g
V
A
Akhr
21
2
2
1
2
−= (12.65)
b b
/ 2
Hh
v / 2 g h = v / 2 g
Hh
v / 2 g
1
12
2
Z
12
22
rH
22
1 2
1 2v v
θ
ξ
Hidraulică vol. II 123
cu k = 0,15. Pentru racordări foarte line θ < 120 valoarea lui k = 0,05.
Scăderea de nivel la îngustare rezultă din ecuaţia energiei:
( )kg
VVhhz +
−=−=∆ 1
2
2
1
2
221 (12.66)
La intrare în canal cu suprafeţe riglate (hidrodinamică) se poate
considera ζi = 0,05 în relaţia lui Weisbach.
20. Lărgirea secţiunii albiei
La lărgire bruscă de secţiune (fig.12.21) se poate aplica formula lui
Altschul.
( ) ( )
2
2
12
2
12
22 h
hh
g
VVhr
−−
−= (12.67)
hv /2g
h
v /2g
h
b
b
112
222
1
2
0 br
2
21vv
v
1 2
Fig. 12.21. Lărgirea bruscă a canalului
Pierderile de sarcină sunt mai mici decât cele date de relaţia Borda.
Când h1 şi h2 sunt apropiate, relaţia (12.67) se reduce la relaţia lui Borda.
Creşterea nivelului apei faţă de nivelul amonte este:
( )( )
2
2
1221
212
2h
hhVV
g
Vhhz
−+−=−=∆ (12.68)
La lărgire continuă de secţiune (fig. 12.22), pe porţiunea divergentă,
pierderile de sarcină sunt:
( )
g
VVhr
2
2
21 −=ψ (12.69)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 124
în care ψ este un coeficient de atenuare, dependent de unghiul de divergenţă
(tab. 12.6).
b
b
θ/2
1
2
v1 v2
Fig.12.22. Lărgire continuă de secţiune
Valorile coeficientului de atenuare ψ
Tabel 12.6
θ0 20 40 ≥ 60
ψ 0,45 0,90 1,0
30. Coturi (fig. 12.23)
Coeficientul de rezistenţă locală la coturi este funcţie de criterii
adimensionale.
⋅=
180;;; 0 θ
υζ
RV
b
h
b
rf
mm
cc (12.70)
Fig. 12.23. Schema cotului canalului
Relaţia (12.70) se soluţionează prin aproximaţii din grafice întocmite
în urma experimentărilor lui Shukry.
40. Grătare (fig. 12.24).
Pierderile de sarcină la grătare se calculează cu formula lui Weisbach
(12.64).
r
θ
b
bv
vc
Hidraulică vol. II 125
Barele grătarului sunt paralele pe verticală, iar ansamblul ocupă toată
secţiunea de curgere şi formează unghiul θ cu orizontala.
Fig. 12.24. Grătar normal pe direcţia de
curgere a curentului
Conform cercetărilor VODGEO, coeficientul de rezistenţă se
determină cu relaţia:
θζ sin4,283,2
6,1
++
+=
l
b
b
l
bs
skg (12.71)
în care s şi l sunt grosimea, respectiv lăţimea unei bare, b – lumina între bare,
θ – unghiul de înclinare a grătarului faţă de orizontală şi k – coeficient de formă
a barelor (fig. 12.25).
Se mai poate utiliza relaţia Kirschmar pentru grătar frontal:
θβζ sin
3/4
=
b
sg (12.72)
în care β este un coeficient de formă a barelor grătarului (fig. 12.25).
Forma
barei
grătarului
l
s
s
δ= /2
6s
4s
s/2
δ= /2s
s/2
s
1,5s
3,5s
β 2,42 1,83 1,67 1,033 0,76 0,76 1,79
k 0,504 0,318 0,182 - Fig. 12.25. Secţiunea barelor grătarelor şi coeficienţii lor de formă
Unghiul de înclinare a grătarului faţă de direcţia curentului în plan
sunt date grafic în îndrumare de calcul hidraulic (Kiselev).
Viteza medie a apei la curgerea prin grătare este limitată, astfel:
- la intrarea în camera turbinelor Vm = 0,9...1,2 m/s;
- la prize de apă Vm = 0,25...1,0 m/s.
h
θv v
r
v
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 126
12.8. APLICAŢII
10. Să se determine debitul transportat de un canal de secţiune
trapezoidală (fig.12.1) şi viteza medie în mişcarea uniformă cunoscând
elementele: b = 1,00 m; h0 = 1,50 m; m = 1,5; n = 0,020 şi I = 0,5 ‰. Să se
construiască cheia debitului pentru canal prin 8 puncte.
Rezolvare. Se utilizează relaţii (12.2), (12.3) respectiv (12.14).
( )
/sm 873,2589,0875,4
m/s 589,00002,0761,077,47
/sm 77,47761,002,0
11
m 761,0408,6/875,4/
m 408,65,115,120,112
m 875,4)5,15,10,1(5,1
3
0,56/16/1
220
200
=⋅=⋅==
=⋅==
===
===
=+⋅+=++=
=⋅+=+=
AVRIACQ
RICV
Rn
C
PAR
mhbP
mhbhA
Cheia limnimetrică rezultă din calcule asemănătoare pentru:
hhhii
∆+=−100 , cu m 2,0=∆h (tab. 12.6).
Cheia limnimetrică a canalului
Tabelul 12.6 Nr. h0
(m)
A (m
2)
P (m)
R (m)
C (m
0,5/s)
Q (m
3/s)
V (m/s)
1 2 3 4 5 6 7 8
1 0,2 0,260 0,7211 0,1511 36,489 0,0521 0,2006
2 0,4 0,640 2,4422 0,2621 39,998 0,1853 0,2896
3 0,6 1,140 3,1633 0,3604 42,179 0,4082 0,3581
4 0,8 1,760 3,8844 0,4531 43,819 0,7342 0,4171
5 1,0 2,500 4,6056 0,5428 45,159 1,1763 0,4705
6 1,2 3,360 5,3267 0,6308 46,304 1,7475 0,5201
7 1,4 4,340 6,0478 0,7176 47,310 2,4598 0,5668
Reprezentând (Q, h0)i şi (V, h0)i se obţine graficul cheii limnimetrice
(fig. 12.26).
Hidraulică vol. II 127
Fig. 12.26. Cheia debitelor şi vitezei
pentru canalul trapezoidal
20. Un canal dublu trapezoidal, folosit la evacuarea apelor la viitură
(fig. 12.27) este caracterizat prin elementele: b1 = 2,0 m; h1 = 1,5 m; m1 = 1,0;
n1 = 0,014; b2 = 4,0 m; h2 = 1,0 m; m2 = 1,5; n2 = 0,030 şi I = 2 ‰. Să se
determine debitul transportat de canal în mişcarea permanentă şi uniformă.
b
bb
hhn
2
n12 2
1
m 1
m 2
12
Fig. 12.27. Schema de calcul a canalului dublu trapezoidal
Rezolvare. Întrucât nmax/nmin = 0,03/0,014 = 2,143 > 2 în calcule se
consideră un coeficient de rugozitate echivalent, determinat cu ecuaţia (12.47).
Elementele geometrice şi hidraulice sunt:
- aria:
;m 750,1950,1425,5
;m 50,14)15,15,1120,20,42(1)22(
;m 25,5)5,10,10,2(5,1)(
221
222111222
211111
=+=+=
=⋅+⋅⋅++⋅=+++=
=⋅+=+=
AAA
hmhmbbhA
hmbhA
- perimetrul:
m; 848,17605,11243,6
m; 605,115,11120,42122
m; 243,6115,120,212
21
222222
221111
=+=+=
=+⋅+⋅=++=
=+⋅+=++=
PPP
mhbP
mhbP
0 ,5 1 1 ,5 2 2 ,5 3
Q (m 3/s )0
0 ,2
0 ,4
0 ,6
0 ,8
1 ,0
1 ,2
1 ,40 0 ,1 0 ,2 0 ,3 0 ,4 0 ,5 0 ,6
v (m /s)
h (m )
Q(h)
v(h)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 128
- raza hidraulică:
;m 107,1848,17
750,19===
P
AR
- coeficient de rugozitate echivalent:
( ) ( );025,0
848,17
030,0605,11014,0243,63/2
2/32/33/22/3
222/3
11 =
+=
+=
P
nPnPne
- coeficientul lui Chézy:
( ) /s;m 683,40107,1025,0
11 0,56/16/1 === Rn
Ce
- debitul transportat:
/s.m 807,37002,0107,1683,4075,19 3=⋅⋅== RIACQ
30. Să se determine debitul maxim care poate fi transportat de un dren
din olane de ceramică, cu D = 0,10 m, n = 0,013 şi I = 5‰. Se va calcula şi
viteza medie corespunzătoare debitului maxim.
Rezolvare. Drenul se comportă ca un canal circular închis. Din
(fig. 12.16) şi (tab. 12.2) rezultă:
V/Vp = 1,104
Qmax/Qp = 1,076
Caracteristicile secţiunii pline sunt:
l/s 653,3/10653,310854,7465,0
m/s 465,0005,0025,0596,41
/sm 596,41025,0013,0
11
m 025,0
m 3142,01,0
m 10854,74
1,0
4
333
0,56/16/1
2322
=⋅=⋅⋅==
=⋅==
===
=
=⋅==
⋅=⋅
==
−−
−
smAVQ
IRCV
Rn
C
R
DP
DA
ppp
ppp
p
p
p
p
ππ
ππ
Debitul maxim transportat de dren, la grad de umplere α = h0/D = 0,94 este:
Qmax = 1,076Qp = 1,075·3,653=3,930 l/s
la care corespunde viteza medie:
V = 1,104Vp = 1,104·0,465 = 0,513 m/s.
Hidraulică vol. II 129
40. Un canal de irigaţii, de formă trapezoidală, calibrată prin dale mici
de beton (n = 0,016), cu b = 1,00 m, m = 1,5, trebuie să transporte debitul Q = 4
m3/s la panta I = 0,2 ‰. Să se determine adâncimea normală în canal, analitic
(prin aproximaţii succesive), precum şi viteza medie.
Rezolvare. La determinarea adâncimii normale se apelează la ecuaţia
(12.3) şi elementele secţiunii trapezoidale (12.14).
- aria: ( )00 mhbhA += ;
- perimetrul: 2
0 12 mhbP ++= ;
- raza hidraulică R = A/P;
- coeficientul lui Chézy 6/11R
nC = .
a) Soluţia analitică – prin aproximaţii succesive – metoda coardei – se
poate folosi sub formă tabelară sau prin calcul automat. Se foloseşte schema
din fig. 12.27.
Fig. 12.27. Schemă pentru metoda coardei.
Se calculează valorile funcţiei f(h0)=Q - Q0 pentru două valori ale lui
h0, ca limită inferioară (h0i) şi superioară (h0s) între care se presupune a fi h0. Se
mediază limitele 2
00 siam
hhh
+= cu care se calculează Q - Q0. Când Q - Q0 > 0
se înlocuieşte h0s cu h0m în caz contrar hoi cu hom. Intervalul se mediază din nou
şi calculele se repetă până când 00 hhh soi ε<− (εh0 este toleranţa preciziei de
calcul). Rezultatele sunt date în tabelul 12.7. Când se foloseşte calculul
automat, programul se întocmeşte după schema logică din (fig. 12.28).
h h
h
Q
h
Q00i 0m
0s
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 130
Fig. 12.28. Schemă logică pentru metoda coardei la dimensionarea canalelor.
Dimensionarea canalului trapezoidal prin metoda coardei după schema din
(fig. 12.28).
Tabelul 12.7. Nr.
crt
h0i (m)
h0s (m)
h0m
(m)
A (m
2)
P (m)
R (m)
C (m
0,5/s
)
Q (m
3/s)
Q-Q0 Obs
.
1 1,40 - - 4,340 6,048 0,718 59,137 3,075 -0,925 <
2 - 1,70 - 6,035 7,129 0,846 60,788 4,773 +0,773 -
3 1,705 1,70 1,55 5,154 6,589 0,782 59,993 3,867 -0,132 <
4 1,55 1,70 1,625 5,586 6,859 0,814 60,398 4,306 +0,306 >
5 1,55 1,625 1,587 5,368 6,724 0,798 60,197 4,083 +0,083 >
6 1,55 1,587 1,769 5,262 6,657 0,790 60,097 3,976 -0,024 <
7 1,569 1,588 1,579 5,319 6,693 0,795 60,151 4,033 +0,033 >
8 1,569 1,579 1,574 5,290 6,675 0,793 60,124 4,004 +0,0045 >
9 1,569 1,574 1,572 5,279 6,668 0,792 60,113 3,993 -0,0071 <
10 1,572 1,574 1,573 5,284 6,672 0,792 60,119 3,999 -0,0013 <
v = 0,757 m/s.
START
C ite ste:b ,m ,n,t,Q 0 i
ε h 0, h 0 i, h 0s
lh 0sh 0 i- l > ε h0
h 0m =h 0s
h 0 i+
2
A (hom ); P(hom ); R (hom );
C (hom ); Q (hom )
h 0sh 0m=
Q (hom )-Q>0=
0ih h= 0m
+i
0hh
=h s
2
A (h )0 ,
P (h )0 ,
R (h )0 ,
C (h )0 ,
V (h )0 ,
A , P , R , C , vS crie:h0
STOP
Nu
D a
D a
Nu
Hidraulică vol. II 131
Prin calculul automat pentru 60 10−=hε se obţine Q = 4,000 m
3/s;
v = 0,757 m/s; A = 5,286 m2; P = 6,672 m; R = 0,792 m; C = 60,120 m
0,5/s;
h0 = 1,573 m.
50. Un debuşeu din piatră rostuită, de formă trapezoidală trebuie să
transporte debitul Q = 4,0 m3/s, la panta I = 0,2 m = 1, şi lăţime la fund
b = 0,8 m. Să se determine adâncimea curentului în mişcare permanentă şi
uniformă.
Rezolvare. Panta canalului (debuşeului) este mare şi este de aşteptat
ca pe aceasta să se formeze curenţi aeraţi. Aerarea parţială are loc pentru:
542,00784,0
0834,0<< I
R.
În această situaţie calculele sunt asemănătoare curenţilor neaeraţi, însă
se lucrează cu elementele caracteristice curentului aerat (fig. 12.29).
IRCAQQ aaaaββ
11== ;
unde: β este coeficientul de aerare calculabil cu relaţia:
36/lg812,01 Fr−=β ;
3
2
A
B
g
QFr
α= .
Efectuând dimensionarea pentru curent neaerat rezultă:
h0 = 0,464 m; A = 0,590 m2; P = 2,118 m; R = 0,279 m; C = 28,86 m
0,5/s;
v = 6,78 m/s; Fr = 15,10; β = 1,306; 087,0279,0
0784,00784,00834,00834,0
==R
, deci
curentul se aerează pentru pante de peste I>0,087. În concluzie calculele se efectuează pentru curent aerat prin
aproximaţii succesive; se dau valori debitului aerat Qa, apoi se dimensionează
canalul pentru debitul aerat şi cu relaţia QQa =β
1 se determină debitul lichid.
Aproximaţiile se efectuează în jurul valorii Qa = βQ obţinut pentru
dimensionare la curent neaerat:
Qa = βQ = 1,306·4 = 5,224 m3/s.
Rezultatele calculelor sunt centralizate în (tab. 12.8).
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 132
Calculul canalului la curgere aerată
Tabelul 12.8 Nr.
crt
Qa (m3/s)
ha
(m)
Aa (m)
Pa (m)
Ra (m)
Ca (m0,5/s)
va (m/s)
Fra β Q=Qa/β (m3/s)
1 5,22 0,5355 0,7151 2,3146 0,3090 29,365 7,299 15,631 1,2942 4,0334
2 5,21 0,5349 0,7141 2,313 0,3087 29,361 7,296 15,628 1,2943 4,0250
3 5,20 0,5344 0,7131 2,3115 0,3085 29,357 7,292 15,625 1,2943 4,0175
4 5,19 0,5338 0,7121 2,3100 0,3083 29,354 7,288 15,622 1,2944 4,0096
5 5,18 0,5333 0,7110 2,3085 0,3080 29,350 7,285 15,620 1,2945 4,0016
6 5,17 0,5328 0,7101 2,3069 0,3078 29,346 7,281 15,617 1,2945 3,9937
Se observă că în cazul acestui curent aerat adâncimea normală creşte cu
∆h = 0,533 - 0,464 = 0,069 m, reprezentând 14,9 %.
B
b=0,8m
h =0,46mn=1
b=0,8m
h =0,533m
B
00a
a
aerat
neaerat
Partial aeratNeaerat
n=1
Fig. 12.29. Schema canalului curent neaerat şi aerat
60. Să se dimensioneze un canal trapezoidal căptuşit cu dale din beton
(n = 0,014), pentru transportul debitului Q = 8 m3/s, la panta I = 0,2 ‰
m = 1,5 astfel ca viteza medie să fie cuprinsă în limitele vmin = 0,8 m/s, vmax = 1,4 m/s.
Rezolvare. În lipsa altor condiţii impuse se propune profil hidraulic
optim:
( )mm −+= 212β , pentru care aria curgerii este:
( ) ( )mmhmhA −+=+= 222 12β ,
respectiv
mm
Ah
−+=
212.
Pentru vitezele impuse rezultă elementele limită:
Hidraulică vol. II 133
4
22
2
max2max
2max
2
min
0,56/16/1maxmax
0,56/16/1minmin
maxmax
minmin
2max
2min
2
min
max
2
max
min
1012,1089,145,720,10
8
/sm 45,72089,1014,0
11
/sm 15,69823,0014,0
11
m 089,12
179,2
2
m 823,02
647,1
2
m 179,25,15,112
0,10
m 647,15,15,112
714,5
m 0,108,0
8
m 714,54,1
8
−⋅=⋅⋅
==
===
===
===
===
=−+
=
=−+
=
===
===
RCA
QI
Rn
C
Rn
C
hR
hR
h
h
V
QA
V
QA
4
22
2
min
2
min
2
min
2
max 1098,4823,015,69714,5
8 −⋅=⋅⋅
==RCA
QI .
Fiindcă Imin < I < Imax este posibilă dimensionarea la profil hidraulic
optim cu respectarea condiţiilor de limitare a vitezei.
Conform relaţiei (12.21) elementele secţiunii sunt:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) 22222
20
20
8/3
2
3/28/3
2
3/2
0
m 039,85,15,112954,112
m 183,1954,15,15,11212
m 954,10002,05,15,112
8014,02
12
2
=−+=−+=
=−+=−+=⋅=
=
−+
⋅⋅=
−+=
mmhA
hmmhb
Imm
nQh
β
viteza medie în canal este:
m/s 995,0039,8
8===
A
Qv ,
care se încadrează în limitele impuse.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
134
CAPITOLUL 13
MIŞCAREA PERMANENTĂ LENT (GRADUAL) VARIATĂ A
LICHIDELOR CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ
Mişcarea în albii deschise în general este nepermanentă, dar pe
anumite perioade mişcarea poate fi permanentă.
Formele de mişcare neuniformă sunt generate de modificările secţiunii
albiilor în lungul curentului. Modificările de secţiune sunt prezente în albii
naturale aproape pe întreaga lor lungime, dar şi albiile artificiale sunt împărţite
în biefuri de către neregularităţi importante ale albiilor – modificări importante
ale secţiunii, căderi, barări, secţiuni de reglare, alte construcţii şi instalaţii în
albii. Chiar micile modificări ale secţiunii, rugozităţii produc modificarea,
curbarea liniilor de curent.
Curenţii cu suprafaţă liberă sunt foarte sensibili la perturbaţii, liniile
de curent sunt uşor curbate ceea ce, chiar la debite constante, face ca mişcarea
să nu aibă caracter uniform.
Curenţii permanenţi cu suprafaţă liberă în raport cu curbura liniilor de
curent se împart în:
- curenţi lent (gradual) variaţi, la care curbura liniilor de curent este
mică şi pe distanţe mici, în particular se pot considera drepte cvasiparalele;
- curenţi rapid variaţi, la care curbura liniilor de curent este
importantă pe distanţe mici, iar nici în particular liniile de curent nu pot fi
considerate cvasiparalele.
Mişcările lent variate se soluţionează în general pe cale hidraulică, iar
curenţii rapid variaţi prin metode hidraulice sau hidrodinamice (prin teoria
mişcărilor potenţiale cu neglijarea anumitelor caracteristici).
Mişcările permanente neuniforme iau naştere când sunt deranjate
condiţiile mişcării uniforme. Cum s-a mai menţionat, modificările secţiunii
albiei, a rugozităţii sau elasticităţii patului albiei în lungul curentului implică
mişcări neuniforme chiar pentru debite constante.
Mişcările permanente neuniforme sunt de fapt mişcări pe biefuri, cu
mişcări lent variate, racordate la limitele lor prin mişcări rapid variate. Modul
în care un curent permanent cu suprafaţă liberă reacţionează la perturbări
depinde în mare măsură de caracteristicile sale energetice şi, în special, de
raportul dintre energia cinetică şi cea potenţială.
Hidraulică vol. II 135
În acest capitol se analizează energetic curenţii cu suprafaţă liberă, se
deduce ecuaţia diferenţială a mişcării permanente lent variate, se analizează
fizic forma suprafeţei libere a curenţilor lent variaţi, se prezintă metode de
rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale pentru albii regulate (canale) şi neregulate
(albii naturale).
13.1. ECUAŢIA DIFERENŢIALĂ A MIŞCĂRII PERMANENTE
LENT (GRADUAL) VARIATE A CURENŢILOR
CU NIVEL LIBER.
Mişcarea cu debit constant (Q = const.) în albii are caracter de
neuniformitate însă pe un bief cu neregularităţi mici, curbura liniilor de curent
este mică, pe distanţe mici acestea se pot considera (în particular),
cvasiparalele, iar modificarea parametrilor hidraulici în lungul curentului este
lentă.
Stabilirea ecuaţiei diferenţiale a mişcării lent variate are la bază
ecuaţia energiei (Bernoulli), aplicată unui tronson al unei albii oarecare
(neregulate) între secţiunile 1 şi 2 (fig. 13.1). Se acceptă ipoteza că pierderile
liniare în lungul curentului pe distanţe dl mici, sunt ca şi în cazul mişcării
uniforme (12.13).
z
h
v /2g
dh
dh
hh
dl
ϕ
hy
0
I 12
l
l
sl
0
0
02
e
p
1
2
12
r
V
V
α
h∆
Fig. 13.1. Schemă a mişcării lent variate
Pentru pante mici ale fundului se acceptă:
ϕϕ tgI ≅= sin
şi pe distanţa dl panta energetică j şi piezometrică jp sunt egale.
Aplicând ecuaţia energiei între secţiunile 1 şi 2, obţinem:
rdhhp
g
Vhh
p
g
V+++=∆+++ 2
2
2
221
1
2
11
22 γ
α
γ
α (13.1)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
136
Acceptând α=const. şi p1=p2=0, rezultă:
( )( )
rdhg
VVhhdlI +
−=−−⋅
2
2
1
2
212
α (13.2)
Notând h2-h1=dh şi ( )
=
−
g
Vd
g
VV
22
22
1
2
2 αα, după înlocuire în (13.2)
şi împărţire cu dl, avem:
dl
dh
dl
g
Vd
dl
dhI r+
=−2
2α
(13.3)
Albia oarecare este caracterizată de A=f(h, l), deci
A A
dA dl dhl h
∂ ∂= +
∂ ∂ (13.4)
Înlocuind viteza medie din ecuaţia de continuitate (V=Q/A), termenul:
( )
⋅
∂
∂+
∂
∂−=⋅
dl
dh
h
A
l
A
gA
Q
dl
Vd
g 3
22
2
αα (13.5)
Sensul geometric al termenului hA ∂∂ / rezultă din fig.13.2.
Fig.13.2. Exprimarea termenului hA ∂∂ / .
Pentru h∂ infinit mic rezultă BhA =∂∂ / , deci:
dl
dh
dl
dhB
l
A
gA
Q
dl
dhI r+
+
∂
∂−=−
3
2α (13.6)
Acceptând ipoteza referitoare la pierderile de energie liniare şi paralelismul
liniei energetice şi piezometrice pe distanţe mici:
RCA
Q
K
Q
dl
dhjj r
p 22
2
2
2
==== (13.7)
după înlocuire, rezultă variaţia adâncimii apei în lungul curentului, ecuaţia diferenţială a mişcării permanente lent variate în albii oarecare, sub forma:
B
h
h
z
A
A
Hidraulică vol. II 137
3
2
2
22
2
1
1
A
B
g
Q
l
A
gA
RC
RCA
QI
dl
dh
⋅−
∂
∂⋅−−
=α
α
(13.8)
Termenul
2 2
3
m
Q B VFr
g A gh
α α⋅ = = (13.9)
este numărul Froude al mişcării.
Ecuaţia (13.8) pentru albii regulate - cilindrice, prismatice (cu
A = f(h), deci 0/ =∂∂ lA ), devine:
Fr
RCA
QI
A
B
g
QRCA
QI
dl
dh
−
−=
⋅−
−=
11
22
2
3
2
22
2
α (13.10)
Pentru mişcări uniforme h = h0 = c şi se obţine:
RIACQ = (12.3)
13.2. STUDIUL ENERGETIC AL CURENŢILOR
PERMANENŢI CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ
Analiza porneşte de la exprimarea energiei specifice a secţiunii pentru
curentul uniform. De aceea rezultatele sunt riguros valabile curenţilor uniformi,
dar cu erori mici pot fi extinse şi curenţilor lent variaţi. La mişcări cu variaţii
importante erorile sunt considerabile, totuşi analiza energetică permite
stabilirea unor concluzii calitative.
13.2.1. Energia specifică a curentului şi a secţiunii.
Se consideră un curent permanent de lichid la care elementele în
mişcarea uniformă sunt specificate în (fig. 13.3).
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
138
H
v /2g
Eh
z
e
Ee
Eh
z
v /2g
e
E
E -E = E
L
α
α∆
02
0
1
1
2
2
02
1 2
2
2
1
1
0 000
o ' 0 'I,n
V
e
Fig. 13.3. Energia specifică a secţiunii şi curentului
Energia specifică a curentului se defineşte faţă de un plan de
referinţă arbitrar fix 0-0, admiţându-se legea liniară de distribuţie a presiunilor
pe verticala adâncimii:
zhg
Vz
p
g
VE ++=++=
22
22 α
γ
α (13.11)
Energia specifică a secţiunii e, este energia specifică faţă de planul
de referinţă orizontal care trece prin punctul cel mai de jos al secţiunii:
2
22
22 gA
Qh
g
Vhe
αα+=+= (13.12)
La definirea energiei specifice a secţiunii planul de referinţă se
modifică pentru fiecare secţiune în parte; valoarea sa depinde de parametrii
mişcării: adâncime şi viteză medie.
13.2.2. Variaţia energiei specifice a secţiunii în lungul curentului.
Mişcarea în albii deschise se produce pe seama „consumului” energiei
specifice ale curentului E, prin frecări parte din energie se transformă în
căldură, deci:
0<dl
dE.
La curenţi uniformi consumul de energie are loc pe seama energiei specifice de
poziţie fiindcă celelalte componente se menţin constanţe (h0 = c şi v = c), deci:
Idl
dz
dl
dE== sau e = const. (13.13)
Hidraulică vol. II 139
La mişcări neuniforme în albii neregulate însă au loc modificări ale
energiei specifice a secţiunii în lungul curentului, astfel
⋅
∂
∂+
∂
∂−=
+=
dl
dh
l
A
l
A
gA
Q
dl
dh
g
V
dl
d
dl
dh
dl
de3
22
2
αα (13.14)
sau conform (13.3) şi (13.7).
−=−=−=
2
2
0
22
2
1K
KI
RCA
QI
dl
dhI
dl
de r (13.15)
în care K0 este modulul de debit corespunzător mişcării uniforme, iar K pentru
mişcarea permanentă neuniformă.
Pentru mişcări uniforme ;0/ =dldh 0/ =∂∂ lA şi K0=K, deci variaţia
energiei specifice a secţiunii este nulă (ec. 13.13).
Pentru mişcări neuniforme se disting două cazuri:
10. Pentru K > K0 rezultă A > A0 şi V < V0. Pentru pante pozitive în
sensul curgerii I > 0 se obţine de/dl > 0, deci energia specifică a secţiunii creşte
în lungul curentului.
20. Pentru K < K0 corespund A < A0 şi V > V0, rezultând de/dl < 0,
deci energia specifică a secţiunii scade în lungul curentului.
În ambele situaţii modificarea energiei specifice a secţiunii se
datoreşte modificării pierderilor de energie. Dacă la curent uniform pierderea
de energie este exact diferenţa de energie de poziţie datorită pantei geometrice,
la mişcare neuniformă cu V < V0 pierderile sunt mai mici, pe când pentru
V > V0 pierderile de sarcină sunt mai mari decât în mişcarea uniformă.
13.2.3. Stările curenţilor permanenţi
Analiza funcţiei energiei specifice a secţiunii pentru albii regulate
(cilindrice, prismatice), pentru care A = f(h) evidenţiază că funcţia continuă
e(h) pentru h > 0 admite un minim pentru debit Q dat în punctul (emin, hcr).
Minimalizând funcţia (13.12), prin anularea derivatei în raport cu
variabila h
0113
2
3
2
=−=⋅−= BgA
Q
dh
dA
gA
Q
dh
de αα (13.16)
se obţine valoarea adâncimii critice hcr.
Adâncimea critică se determină din condiţia
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
140
13
2
=⋅A
B
g
Qα sau
crB
A
g
Q
=
32α (13.17)
deci depinde de forma secţiunii şi debitul transportat.
Explicitarea adâncimii critice este posibilă doar pentru câteva forme
de secţiune (dreptunghi, triunghi, parabolă), la celelalte secţiuni relaţia se
soluţionează prin metode numerice, de aproximări succesive.
10. Calculul manual comportă operaţiuni de completare a (tab. 13.1).
Calculul adâncimii critice
Tabelul 13.1
Nr.
crt
h (m)
B (m)
A (m
2)
A3/B (m
5)
αQ2/g (m
5)
1 2 3 4 5 6
Când coloanele 5 şi 6 sunt egale sau suficient de apropiate pentru o eroare de
calcul ∆h, pentru h calculul se consideră terminat.
20. Calculul grafic se realizează prin reprezentarea coloanelor 2 şi 5
(fig.13.4), apoi pentru αQ2/g se obţine hcr.
Fig. 13.4. Grafic pentru stabilirea adâncimii critice
30. Calculul automat după metoda coardei se realizează după schema
logică din fig. 13.5. Se impun ca date iniţiale valori hi < hcr, h > hcr respectiv
precizia de calcul ∆h. Calculul se opreşte prin condiţia preciziei de calcul.
α
h
A /B
Q
h
g
cr
2
3
Hidraulică vol. II 141
g,Q, elementele dateCiteste:α,ale sectiuniih ,i
h ,s ∆h
START
αQ /g2
∆h(sh - :i) h.
Ai, Bi, Ai/Bi
As, Bs, As/Bs
3
3
hhm
2
i=h + s
Am, Bm, Am/Bm3
α0
Q 2-AmBm4
3).:(
hh =m cr
sh m= h
mhih=
ih cr= h
Scrie: h ,crAcr, Bcr
STOP
<
=<
>
=
>
Fig. 13.5. Schemă logică pentru calculul adâncimii critice
Adâncimii critice îi corespund elementele critice ale curentului şi
secţiunii (Acr, Vcr, Icr).
Energia specifică a secţiunii pentru albii cilindrice şi prismatice pentru
un debit Q depinde numai de adâncimea curentului.
)(2
)(2
2
hgA
Qhhe
α+= (13.18)
Funcţia e(h) are două asimptote:
h = 0 fiindcă 0→h corespunde ∞→e şi
e(h) = h fiindcă ∞→h corespunde ∞→e .
Energia specifică minimă a secţiunii la diferite debite este:
( ) crcrmcr
crcr
crcr
cr
hhhAB
Ah
gA
Qe +=+=+=
2
1
22 2
3
2
2
min
α (13.19)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
142
situându-se pe o dreaptă în coordonatele (e, h).
h
e
Q
h
h
h
ee
h2
cr
1
minh=0
cr
1
23
e=h
Stare lenta
Stare rapida
e=1/2(hm) cr+h cr
Starerapida
Fig. 13.6. Variaţia energiei specifice a secţiunii
Graficul din (fig. 13.6) evidenţiază că acelaşi debit Q poate fi
transportat de o albie la aceeaşi energie specifică a secţiunii pentru două
adâncimi diferite:
1. h > hcr, stare lentă fluvială a curentului, pentru care energia
potenţială are prepondere mai mare faţă de energia cinetică, V < Vcr;
2. h < hcr, stare rapidă torenţială a curentului, pentru care energia
cinetică are o pondere mai mare decât cea potenţială, V > Vcr;
3. Adâncimii critice hcr îi corespunde starea critică a curentului, la
care corespund elemente critice: Vcr, Icr respectiv emin.
Particularizând cele prezentate secţiunii dreptunghiulare, cu notaţia
q=Q/b se obţin:
hgh
q
hgb
Qhe +=+=
2
2
22
2
22
αα (13.18’)
din care:
( )α
heghq
−=
2 (13.20)
Din (13.17) rezultă:
3
2
g
qhcr
α= (13.21)
respectiv din (13.18), cu h = hcr.
Hidraulică vol. II 143
crcrcr hhhe2
3
2
1min =+= (13.22)
care arată că la secţiuni dreptunghiulare la starea critică energia specifică a
secţiunii se compune 2/3 din energia potenţială şi 1/3 energie cinetică.
Debitul specific maxim se obţine pentru adâncimea critică şi are
valoarea:
3/2
max cr
gq h
α= (13.23)
Funcţia q(h) are forma din fig. 13.7.
Fig. 13.7. Variaţia debitului specific q = f(h)
la albii de secţiune dreptunghiulară.
Viteza critică este:
α
cr
crcr
gh
h
qV == max (13.24)
Stării critice a curentului în mişcare uniformă îi corespunde panta
critică din (fig. 12.3) şi (fig. 13.17), sub forma:
crcr
crcr
BC
gPI
2α= (13.25)
care pentru albii foarte largi (P~B) devine 2
cr
crC
gI
α= .
Graficul funcţiei (13.24) are forma din (fig. 13.8).
Fig. 13.8. Starea curentului la diferite
pante în mişcare uniformă.
h
h
h
q
q
cr
max
h
II
hcr
cr
Starelenta
Starerapida
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
144
Observaţii. Pentru secţiuni triunghiulare şi parabolice adâncimea
critică este explicitată, astfel:
- la secţiune triunghiulară:
52
22
gm
Qhcr
α= (13.26)
- la secţiune parabolică:
4
2
64
27
gP
Qhcr
α⋅= (13.27)
13.2.4. Recunoaşterea stării curentului.
Recunoaşterea stării curentului are importanţă în multe probleme de
dimensionare şi verificare a funcţionării sistemelor hidraulice deschise. Starea
curentului se determină în funcţie de mai multe elemente, comparând
caracteristicile curentului cu cele critice: crcrcr IIVVhh ⋮⋮⋮ ;; , sau în baza
numărului Froude, când prin modificarea relaţiei (17.17) rezultă numărul
Froude critic (tab. 13.2).
12
==mcr
crcr gh
VFr
α (13.28)
Caracterizarea stării curentului
Tabelul 13.2
Criteriul Starea curentului
lentă critică rapidă
Adâncime h > hcr h = hcr h < hcr Viteză V < Vcr V = Vcr V > Vcr Pantă I < Icr I = Icr I > Icr
Numărul Froude Fr < 1 Fr = 1 Fr > 1
Hidraulică vol. II 145
13.3. ANALIZA CALITATIVĂ A FORMEI SUPRAFEŢEI
LIBERE A LICHIDELOR ÎN MIŞCARE
LENT (GRADUAL) VARIATĂ.
În mişcarea permanentă lent variată, suprafaţa liberă a lichidelor este
curbată şi se numeşte, impropriu, remuu (vâltoare).
Standardele definesc curbe de supraînălţare sau pozitive şi curbe de coborâre a nivelului – curbe negative. Atât curbele de supraînălţare cât şi cele
de coborâre pot fi de mai multe categorii în funcţie de natura singularităţilor
care le produc şi de starea curentului – lentă, rapidă sau critică.
Analiza calitativă a formelor şi tipurilor curbelor suprafeţei libere în
mişcare permanentă lent variată în albii cilindrice sau prismatice se face cu
ajutorul ecuaţiei diferenţiale (13.10). Această ecuaţie exprimă legea variaţiei
adâncimii în lungul curentului. Prin integrarea ecuaţiei se obţine relaţia de
calcul a suprafeţei libere a lichidului.
Se întâlnesc trei situaţii de pantă diferite faţă de care atât analiza
calitativă a suprafeţei libere, cât şi integrarea ecuaţiei diferenţiale prezintă
particularităţi, astfel I > 0; I = 0 şi I < 0.
13.3.1. Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a lichidelor
în mişcarea permanentă lent variată pentru I > 0.
Se modifică forma relaţiei (13.10) astfel:
- la numărător.
−=
⋅−=−
2
2
0
2
2222
2
11
1K
KI
I
Q
RCAI
RCA
QI
punându-se în evidenţă 0
2
0
2
0
22
0 / RCAIQK == modulul de debit aferent
mişcării uniforme, caracterizat de h0 şi K2=A2C2R modulul de debit
corespunzător unei adâncimi curente h.
- la numitor se notează: crcr
cr NB
A
g
Q==
32α, corespunzătoare adâncimii
critice hcr şi B/A3=N, corespunzătoare unei adâncimi curente h în mişcarea lent
variată, obţinându-se:
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
146
2
0
21
1 cr
Kdh KI
NdlN
−=
−
(13.29)
Necesitatea acestei forme a ecuaţiei rezultă din constatarea că forma
suprafeţei libere a lichidului depinde de poziţia adâncimii variabile h în
mişcarea lent variată faţă de adâncimea normală h0 şi de adâncimea critică hcr.
Ecuaţia (13.29) exprimă tocmai această dependenţă.
În funcţie de poziţia suprafeţei adâncimii normale h0 faţă de
adâncimea critică hcr, pe profilul longitudinal al albiei există trei situaţii:
- linia adâncimii normale este deasupra liniei adâncimii critice, situaţie
corespunzătoare stării lente a curentului în mişcarea uniformă (fig. 13.9.a).
Liniile celor două adâncimi cu linia fundului împart domeniul curgerii în trei
zone: a - peste linia adâncimii normale; b - între liniile adâncimii normale şi
critice; c - între liniile adâncimii critice şi fundului.
- linia adâncimii normale este situată între linia adâncimii critice şi
fundului, caz caracteristic stării rapide a curentului în mişcarea uniformă
(fig. 13.9.b). Curentul, şi în acest caz prezintă trei zone: a, b, c; - liniile adâncimii normale şi critice coincid, caz caracteristic stării
critice curentului. Dispare zona b, curentul fiind împărţit în zonele a şi c
(fig. 13.9.c).
În fig. 13.9. linia adâncimilor normale s-a notat cu N - N, iar cea a adâncimilor
critice cu C - C.
0<I<Icr
a
b
c
CC
NNN
N
C
C
a
b
c
a
c
N==C
I>Icr I=Icr
a) b) c)
Miscare uniforma in stare lenta
Miscare uniforma in stare rapida Miscare uniforma in
stare critica
N==C
Fig. 13.9. Cazuri de situaţii ale adâncimii normale şi critice
şi zonarea curentului pentru I > 0.
Hidraulică vol. II 147
Adâncimea curentă h în cazul mişcării permanente lent variate este
situată într-o zonă din figura 13.9; în funcţie de situaţie suprafaţa liberă are
caracteristici diferite bine definite fiecărui caz în parte.
10. Cazul pantei pozitive, starea mişcării uniforme lentă 0 < I < Icr.
Curentul este caracterizat prin h0 > hcr, V < Vcr, Fr < 1. Adâncimea
curentului h în mişcarea lent variată poate fi situată în cele trei zone a, b, c
(fig. 13.9.a).
10.a. - Zona a este caracterizată prin h > h0 şi h > hcr. Conform relaţiei
(13.29) pentru h > h0, rezultă K > K0, deci numărătorul ecuaţiei este pozitiv.
Pentru h > hcr şi N > Ncr, deci şi numitorul este pozitiv. Variaţia adâncimii în
lungul curentului este pozitivă, dh/dl > 0, adâncimea creşte din amonte spre
aval. Pe albie în zona a se formează o curbă de supraînălţare tip a1 (fig. 13.10).
Acest tip al suprafeţei libere este întâlnită frecvent în practică, când un canal
lent (0 < I< Icr) este barat de deversor, stăvilar, pile, baraj sau alte obstacole în
albie.
hh
N
NC '
C '
a
b
c
0 < I < I c r
c
b
c r
0
1
1
1
Fig. 13.10. Suprafaţă liberă în mişcare gradual variată la albii lente 0 < I < Icr.
Variaţia energiei specifice în lungul curbei a1 creşte spre aval, semnul
lui de/dl coincide cu semnul numărătorului (13.15). Energia specifică a
secţiunii are valoare minimă la adâncimea critică şi spre aval adâncimea h se
îndepărtează de cea critică.
Adâncimea teoretică pe bief de lungime nedefinită în zona a este
cuprinsă în limitele: ( )∞= ,0hh .
O analiză succintă a funcţiei (13.29) permite stabilirea asimptotelor şi
direcţia curburii suprafeţei libere, astfel:
- în amonte h→h0, K→K0 rezultând dh/dl→0, deci în partea superioară
suprafaţa liberă tinde asimptotic la suprafaţa caracteristică mişcării uniforme;
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
148
- în aval h→∞, K→∞, N→∞, deci K02/K2
→0 şi Ncr/N→0. Astfel
dh/dl→I, în partea inferioară suprafaţa liberă tinde asimptotic la orizontală.
Forma curbei este concavă şi teoretic se întinde în amonte la infinit.
Practic curba se consideră terminată unde adâncimea h în mişcare lent variată
diferă puţin de adâncimea normală h0.
Rezultatele analizelor sunt centralizate în tabelul 13.3. zona a. Forma
curbei la o barare corespunde fig. 13.11.
h h
h
N
N
0 < I< Ic r
a
c r 0
1
C
C
Fig. 13.11. Curba de supraînălţare a1 la bararea unui curent lent.
10.b. Zona b este caracterizată prin hcr < h < h0, deci K < K0 şi N >
Ncr. Numărătorul ecuaţiei (13.29) este negativ, iar numitorul pozitiv, deci dh/dl < 0, adâncimea scăzând din amonte spre aval ca şi energia specifică a secţiunii
(conform 13.15). Adâncimea curentului hє(h0, hcr). Curba suprafeţei libere
coborâtoare are formă convexă şi este de tipul b1 (fig. 13.10).
Asimptotele suprafeţei libere sunt:
- în amonte h→h0 (analiza este identică cazului a) şi suprafaţa liberă
tinde asimptotic la suprafaţa corespunzătoare mişcării uniforme;
- în aval h→hcr, respectiv N→Ncr şi dl/dh→−∞ care arată că în aval
teoretic curba b1 are asimptotă normala la linia adâncimilor critice. Rezultatele
analizelor corespund zonei b din tabelul 13.3.
Întrucât în apropierea adâncimii critice mişcarea nu mai respectă ipoteza
de lent (gradual) variată, curbura liniilor de curent este importantă, practic în
zona terminală aval, (13.29) nu mai este valabilă. Adâncimea h în jurul
adâncimii critice are variaţie rapidă în lungul curentului şi suprafaţa liberă se
dispune după altă lege decât (13.29).
Astfel de curbe coborâtoare b1 se întâlnesc pe canale cu pantă
caracteristică stării lente (0 < I < Icr) la căderi sau creşteri bruşte ale pantei
(fig. 13.12).
Hidraulică vol. II 149
Fig. 13.12. Curba de coborâre b1
la o cădere pe canal.
Analiza curbelor suprafeţei libere în mişcare lent variată pentru 0 < I < Icr. Tabelul 13.3
Zona
crhh
hh
⋮
⋮ 0
0KK ⋮
Semn
numărător
0/ ⋮dlde
crNN ⋮
Semn
numitor
0/ ⋮dldh
Tip curbă
a crhh
hh
>
> 0
0KK >
> 0
crNN >
> 0
> 0
pozitivă
supraînălţare
a1
b crhh
hh
>
< 0
0KK <
< 0
crNN >
> 0
< 0
negativă
coborâre
b1
c crhh
hh
<
< 0
0KK <
< 0
crNN <
< 0
> 0
pozitivă
supraînălţare
c1
În calcule curba b1 se întinde în amonte teoretic la infinit, iar practic
până adâncimea amonte pe curba b1 diferă cel mult cu eroarea de calcul faţă h0.
În partea aval, în apropierea adâncimii critice ipoteza curburii mici nu mai este
valabilă, deci în aval curba b1 se consideră terminată unde încă se poate accepta
curbura mică a liniilor de curent.
10.c. - Zona c este caracterizată prin 0 < h < hcr, deci K < K0 şi
N < Ncr. Atât numărătorul cât şi numitorul ecuaţiei (13.29) sunt negative, deci
dh/dl > 0 (conform tabelului 13.3 zona c), deci adâncimea creşte spre aval după
o curbă de supraînălţare de tipul c1. Energia specifică a secţiunii scade spre
aval, iar adâncimea se aproprie de adâncimea critică.
În capătul aval al curbei c1, h→hcr, respectiv N→Ncr şi numitorul
ecuaţiei (13.29) tinde la zero, fapt care arată că la hcr în mişcare are loc o
discontinuitate. În apropierea adâncimii critice curbura liniilor de curent este
pronunţată, nu se respectă ipoteza mişcării gradual variate. În apropierea
adâncimii critice mişcarea este descrisă de altă lege, a mişcării rapid variate
h
h
N
N
C
C
0<I<Icr
b0
cr
1
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
150
(care se prezintă în capitolul 14). Alura curbei este concavă, fiind prezentată în
(fig. 13.10).
Astfel de curbe c1 sunt frecvente în practică, când într-un canal cu
0 < I < Icr o construcţie (stavilă parţial ridicată, barare cu deversor) produce
mişcarea în stare rapidă (fig. 13.13). Curbele de tipul c1 se întâlnesc la
racordarea biefurilor (cap. 15).
C
C
N
N
I< Ic rc 1
C
C
N
N
Fig. 13.13. Forme de curbe de supraînălţare tip c1.
20. Cazul pantei pozitive, starea rapidă a mişcării uniforme I > Icr.
În cazul albiei cu mişcare uniformă în stare rapidă curentul este divizat
de liniile fundului, luciului apei în mişcare uniformă şi linia adâncimii critice
tot în trei zone a, b, c (conform fig. 13.9.b). Adâncimea curentă h poate fi
situată în aceste zone.
20.a. Zona a este caracterizată prin h > hcr
> h0, rezultând K > K0 şi N > Ncr, atât numărătorul cât şi numitorul ecuaţiei (13.29) sunt pozitive, deci
dh/dl > 0, ceea ce arată că adâncimea curentului în mişcare gradual variată
creşte spre aval. Adâncimea aparţine domeniului hє(hcr, ∞). În aval h→∞, astfel K→∞ şi N→∞, rezultând dh/dl→I, deci curba de supraînălţare convexă
a suprafeţei libere tinde asimptotic la un plan orizontal. În partea amonte
h→hcr, N→Ncr şi numitorul ecuaţiei (13.29) tine la zero, care indică
discontinuitate a funcţiei şi mişcării pentru h = hcr. Asimptota la curba teoretică
a suprafeţei libere este normala la linia adâncimilor critice. În apropierea
adâncimii critice nu se respectă ipoteza mişcării lent variate, curbura liniilor de
curent este importantă şi fenomenul fizic de fapt este descris de altă lege. Curba
de supraînălţare a2 este redată în (fig. 13.14). Rezultatele analizei corespund
tabelului 13.4.
Hidraulică vol. II 151
h
h
C
C
N
N
a
b
c
a
b
c
2
2
2
0
c r
Fig. 13.14. Suprafaţa liberă în mişcare gradual variată în albii rapide I > Icr.
În practică curbe de supraînălţare a2 se formează în canale rapide la
bararea acestora cu stăvilare, deversoare, praguri (fig. 13.15).
N
N
C
C
I>Icr
2
C
C
N
NI>Icr
2
Fig. 13.15. Forme de curbe de supraînălţare tip a2.
Analiza curbei suprafeţei libere în mişcare gradual variată pentru I > Icr. Tabelul 13.4
Zona
crhh
hh
⋮
⋮ 0
0KK ⋮
Semn
numărător
0/ ⋮dlde
crNN ⋮
Semn
numitor
0/ ⋮dldh
Tip curbă
a crhh
hh
>
> 0
0KK >
> 0
crNN >
> 0
> 0
pozitivă
supraînălţare
a2
b crhh
hh
>
< 0
0KK >
> 0
crNN <
< 0
< 0
negativă
coborâre
b2
c crhh
hh
<
< 0
0KK <
< 0
crNN <
< 0
> 0
pozitivă
supraînălţare
c2
Energia specifică a secţiunii în lungul curbei a2 creşte spre aval
(de/dl > 0), adâncimea se îndepărtează de adâncimea critică spre aval.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
152
20.b. Zona b este caracterizată de h0 < h < hcr. Pentru h > h0 rezultă
K > K0, deci numitorul ecuaţiei (13.29) pozitiv, iar h < hcr implică N < Ncr,
deci numitorul negativ, pe ansamblu dh/dl < 0 arătând faptul că adâncimea în
mişcarea gradual variată scade spre aval. Suprafaţa liberă concavă este o curbă
de coborâre tip b2 (v.fig.13.14). În amonte h→hcr, N→Ncr arată că asimptota la
curba teoretică este normala la linia adâncimilor critice însă în apropierea
adâncimii critice curbura liniilor de curent este importantă, nu se respectă
ipoteza mişcării lent variate şi mişcarea aici este guvernată de alte legi.
În aval h→h0, K→K0 şi dh/dl→0 arată că în aval suprafaţa liberă a apei
tinde asimptotic la suprafaţa caracteristică mişcării uniforme.
Curba b2 spre aval se îndepărtează de linia adâncimilor critice, K > K0,
deci energia specifică a secţiunii creşte spre aval (pierderile de energie prin
frecare în curent sunt inferioare câştigului de energie pe seama pantei (energie
de poziţie) care permite accelerarea curentului lichid. Rezultatele analizelor
corespund zonei b din tabelul 13.4.
În practică curbe de coborâre b2 se întâlnesc pe canale rapide – jilipuri
(fig. 13.16).
Fig. 13.16. Curbă de coborâre b2 pe jilip.
2
0.c. Zona c este caracterizată de hє(0, h0), astfel pentru h < h0 şi
K < K0, rezultă numărătorul ecuaţiei (13.29) negativ şi h < hcr, N < Ncr,
numitorul este tot negativ, deci dh/dl > 0 arată creşterea adâncimii spre aval
după o curbă de supraînălţare convexă de tipul c2. În amonte adâncimea poate
descreşte nedefinit, iar în aval h→h0, K→K0 şi dh/dl→0 arată că în aval curba
c2 tinde asimptotic la linia adâncimilor normale. Forma curbei corespunde
(fig. 13.14), iar analizele sunt centralizate în tabelul 13.4 (zona c). Cum
de/dl < 0, energia specifică a secţiunii scade spre aval, în lungul curbei c2
adâncimea creşte spre adâncimea critică.
Curbe c2 se întâlnesc pe canale rapide la schimbare de pantă sau după
un evacuator pe canal rapid care realizează adâncimi la evacuare inferioare
adâncimii normale (fig. 13.17).
C
C
N
N
bI < I c r
I > I c r
2
Hidraulică vol. II 153
C
NN
N
N
C
I>IcrI>Icr
2
2
1
1
1
c2
2
C
N
c 2
I>Icr
h c
Fig. 13.17. Forme ale curbei de supraînălţare c2.
30. Cazul stării critice a curentului I = Icr.
Curentul în acest caz este caracterizat prin h0 = hcr şi prin
suprapunerea celor două adâncimi zona b dispare, rămânând zonele a şi c (v.
fig. 13.9.c). Adâncimea curentă h în mişcare gradual variată poate fi situată în
cele două zone menţionate.
30.a. Zona a este caracterizată prin h > h0
= hcr, rezultând K > K0 şi
N > Ncr, deci atât numărătorul cât şi numitorul ecuaţiei (13.29) sunt pozitivi,
deci dh/dl > 0, adâncimea curentului crescând din amonte spre aval după o
curbă de supraînălţare tip a3 (fig. 13.18). Energia specifică a secţiunii de/dl > 0
astfel şi aceasta creşte spre aval odată cu îndepărtarea adâncimii de cea critică.
În aval h→∞, K→∞, N→∞ rezultând dh/dl = I = Icr. Practic curba
suprafeţei libere este o orizontală.
În amonte h→hcr=h0 apare nedeterminare în ecuaţie, de fapt mişcarea în
apropierea adâncimii critice este guvernată de altă lege, nu a mişcării gradual
variate.
Fig. 13.18. Suprafaţa liberă în mişcare gradual variată în albii critice I = Icr.
Racordarea nivelului amonte depinde în special de adâncimea normală
a curentului şi are loc prin mişcare rapid variată. Acest tip de curbă se
întâlneşte la racordarea unui canal în stare rapidă la un rezervor (fig. 13.19).
h = h
c
a=N = C
=N = C0 c r
3
3
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
154
Fig. 13.19. Curba de supraînălţare a3 şi formele de racordare
cu nivelul din canal în stare critică.
Rezultatele analizelor sunt sintetizate în tabelul 13.5.
Analiza curbei suprafeţei libere în mişcare gradual variată pentru I=Icr
Tabelul 13.5
Zona
crhh
hh
≡0
0⋮
0KK ⋮
Semn
numărător
0/ ⋮dlde
crNN ⋮
Semn
numitor
0/ ⋮dldh
Tip curbă
a crhh
hh
≡
>
0
0
0KK >
> 0
crNN >
> 0
> 0
pozitivă
supraînălţare
a3
c crhh
hh
≡
<
0
0
0KK <
< 0
crNN <
< 0
> 0
pozitivă
supraînălţare
c3
30.b. Zona c este caracterizată prin h < h0 ≡ hcr, rezultând K < K0 şi
N < Ncr, respectiv atât numărătorul cât şi numitorul ecuaţiei (13.29) sunt
negative, astfel încât dh/dl > 0, deci adâncimea curentului creşte din amonte
spre aval după o curbă de supraînălţare tip c3 (fig.13.18). De fapt adâncimea
creşte astfel încât defineşte o suprafaţă orizontală. Energia specifică a secţiunii
scade spre aval, adâncimea în lungul curentului creşte spre adâncimea critică.
În amonte adâncimea poate descreşte nedefinit, iar în aval se racordează
cu adâncimea normală în stare critică. Rezultatele analizelor corespund
tabelului 13.5, zona c.
Curba de supraînălţare c3 se întâlneşte la racordare, la schimbarea de
pantă a biefurilor rapide cu biefuri cu Icr sau la ieşirea de sub un stăvilar sau
trecere peste deversor, bieful aval având pantă critică (fig. 13.20).
h = h
I= Ic r
a
0 c r
3
Hidraulică vol. II 155
I>IcrI=Icr
CCc
I=Icr
CCc
3
3
Fig. 13.20. Curbe de supraînălţare c3.
13.3.2. Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a lichidelor
în mişcare permanentă gradual variată pentru I = 0.
Panta canalului fiind nulă mişcarea uniformă nu poate avea loc şi
astfel axa normală a curentului teoretic este la infinit. Există doar axa critică şi
linia fundului care împarte mişcarea în două domenii b şi c, respectiv peste şi
sub axa critică (fig. 13.21). Mişcarea are loc datorită „consumului” din energia
specifică potenţială (adâncime) sau cinetică.
Ecuaţia diferenţială (13.10) se particularizează pentru I = 0, devenind:
3
2
2
2
1A
B
g
QK
Q
dl
dh
⋅−
−=
α (13.10’)
În această ecuaţie, asemănător (13.3.1), se face modificarea
numitorului, notând:
crcr
cr NB
A
g
Q==
32α,
şi B/A3 = N, obţinându-se:
N
NKQ
dl
dh
cr−
−=
1
/ 22
(13.30)
Fig. 13.21. Suprafaţa liberă în mişcare
gradual variată în albii orizontale, I = 0.
C C
b
c c
b
I=0
0
0
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
156
10. Zona b este caracterizată prin h > hcr. Numărătorul ecuaţiei (13.30)
este negativ (Q şi K au valori pozitive finite), iar numitorul pozitiv, întrucât
N > Ncr, deci dh/dl < 0. Adâncimea curentului scade spre aval în lungul unei
curbe de coborâre convexe de tipul b0. În partea amonte a curbei adâncimea
poate creşte nedefinit, iar în aval, când h→hcr, în ecuaţia (13.30) apare
discontinuitate. Curba teoretică b0 în partea sa aval are tangentă o verticală,
normală la linia adâncimii critice. În apropierea adâncimii critice variaţia
adâncimii nu respectă ipoteza mişcării gradual variate, curbura firelor de curent
fiind importantă. Energia specifică a secţiunii scade spre aval, adâncimea
curentă spre aval descreşte spre adâncimea critică. În practica inginerească
astfel de curbe b0 se formează în canale construite în palier.
2
0. Zona c este caracterizată prin h < hcr. Numărătorul ecuaţiei (13.30)
rămâne neschimbat (ca în cazul 10), iar numitorul negativ (N < Ncr), rezultând
dh/dl > 0, deci adâncimea curentului creşte spre aval, variind teoretic în
intervalul hє(0, hcr). În albie se formează o curbă de supraînălţare concavă de
tipul c0 (fig.13.21). În amonte adâncimea poate să coboare nedefinit, iar în aval,
când h→hcr, apare discontinuitate în ecuaţia (13.30), care arată că spre aval
curba suprafeţei libere tinde asimptotic la normala la adâncimea critică. În
apropierea adâncimii critice mişcarea este rapid variată şi este descrisă de altă
lege.
Astfel de curbe c0 iau naştere în albii orizontale la ieşirea curentului de
apă de sub stavile sau la trecerea peste deversoare.
13.3.3. Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a lichidelor
în mişcarea permanentă gradual variată pentru I < 0.
În cazul pantei negative mişcarea uniformă nu are sens fizic. În ecuaţia
(13.10) se evidenţiază valoarea negativă a pantei prin înlocuirea I’=|I|, obţinând:
3
2
2
2
1A
B
g
QK
QI
dl
dh
⋅−
−′−=
α (13.10’’)
Hidraulică vol. II 157
Numitorul ecuaţiei se transformă identic cu cele descrise la (13.3.1), obţinând:
N
N
K
QI
dl
dh
cr−
+′−
=
1
2
2
(13.31)
Curentul este împărţit de axa critică C - C în subdomeniile b şi c (fig. 13.22).
Numărătorul ecuaţiei totdeauna este negativ şi arată că energia specifică a
secţiunii scade spre aval pentru ambele subdomenii.
Fig. 13.22. Suprafaţa liberă în mişcarea
gradual variată în canale cu pantă
negativă I < 0
1
0. Zona b este caracterizată prin h > hcr, rezultând N > Ncr, deci
numitorul ecuaţiei (13.31) este pozitiv, obţinându-se dh/dl < 0. Adâncimea
curentului scade spre aval după o curbă de coborâre convexă tip b’. Adâncimea
în aval scade spre adâncimea critică astfel şi energia specifică a secţiunii scade
tinzând spre valoarea sa minimă la hcr. În amonte adâncimea poate creşte
nedefinit în funcţie de lungimea albiei, iar în aval, când h→hcr în ecuaţia
(13.31) apare nedeterminare, care arată că suprafaţa liberă teoretică tinde
asimptotic la normala liniei adâncimii critice. În vecinătatea adâncimii critice
curbura liniilor de curent este pronunţată, nu respectă ipoteza mişcării gradual
variate, deci în această zonă curgerea este rapid variată şi este guvernată de alte
legi. Astfel de curbe ale suprafeţei libere se întâlnesc în canale cu dublu flux.
2
0. Zona c este caracterizată prin h < hcr, respectiv N < Ncr, rezultând
dh/dl > 0 şi creşterea adâncimii spre aval în mişcare lent (gradual) variată.
Curba suprafeţei libere de supraînălţare este concavă de tipul c1.
Spre aval când adâncimea tinde către adâncimea critică este valabilă
constatarea de la punctul 10. Curbe c’ ale suprafeţei libere se întâlnesc în cazuri
asemănătoare curbelor c0, canalul având însă pantă negativă.
hI<0
b
c
c
b'
'
cr
C
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
158
13.4. METODE DE CALCUL ALE CURBELOR SUPRAFEŢEI
LIBERE ÎN ALBII CILINDRICE ŞI PRISMATICE.
Integrarea ecuaţiei diferenţiale ale mişcării permanente lent variate
(13.10) a avut o evoluţie lungă datorită dificultăţilor de ordin matematic. Există
mai multe soluţii de integrare în cazuri particulare sau aproximaţii, în forme
analitice sau grafice, majoritatea lor prezentând mai mult importanţă istorică. În
cele ce urmează se vor prezenta două metode: prima posibilă de aplicat şi în
cazul unui calcul manual, iar al doilea prin metoda diferenţelor finite.
13.4.1. Exponentul hidraulic al albiei.
Pentru orice albie de formă regulată este satisfăcută relaţia
exponenţială:
x
h
h
K
K
′
′′=
′
′′2
(13.32)
în care: K’ este modulul de debit corespunzător adâncimii h’; K’’ – modulul de
debit corespunzător adâncimii h’’, iar x un exponent constant pentru o albie
dată şi care depinde de forma secţiunii transversale şi rugozitate, purtând
numele de exponentul hidraulic al albiei. Relaţia (13.32) nu are fundamentare teoretică strictă şi în general este
aproximativă. A fost propus de B. A. Bahmetev pentru a putea integra ecuaţia
diferenţială a mişcării gradual variate (13.10).
Curba
)(1 hfRACK == (13.33)
caracterizează dependenţa modulului de debit şi adâncime (curba plină din
fig.13.23), iar
)(2
2/ hfhK x =⋅= χ (13.34)
aproximează modulul de debit printr-o funcţie de altă formă (curba punctată
din fig. 13.23).
Hidraulică vol. II 159
Fig. 13.23. Variaţia modulului de debit
cu adâncimea şi aproximaţia sa.
Luând pe curba (13.34) punctele M’(K’, h’) şi M’’(K’’, h’’) corespunzătoare intervalului de adâncime hє(h’, h’’) prin logaritmarea ecuaţiei
(13.32) se obţine exponentul hidraulic al albiei:
h
hK
K
hh
KKx
′
′′′
′′
=′−′′
′−′′=
lg
lg
lglg
lglg2 (13.35)
În acest mod se obţine relaţia (13.34), care este o relaţie aproximativă a
modulului de debit pe intervalul de adâncime considerat.
Trecând relaţia (13.35) la limită, pentru h’→h’’ se obţine:
hd
Kdx
lg
lg2= (13.36)
care este exponentul hidraulic al albiei la adâncimea dată h.
Dacă coeficientul Chézy C se calculează după o relaţie monomă cu
exponent y=const., pentru albii regulate există posibilitatea calculării unor
relaţii pentru exponentul hidraulic al albiei prin dezvoltări în serie. În general
valorile exponentului hidraulic sunt cuprinse între 2...6. Tehnica actuală de
calcul permite obţinerea cu uşurinţă a exponentului hidraulic al albiei din
relaţia (13.35).
Conform relaţiei (13.32) indicele hidraulic x ar fi constant. Calculând
x din (13.35) acesta reprezintă o valoare medie a indicelui x, situată între x’ şi x” corespunzători adâncimilor h’ şi h’’. În urma celor arătate se pot rezuma următoarele:
- dacă pentru coeficientul C se utilizează o relaţie monomă cu puterea
y = const., atunci pentru albii largi dreptunghiulare şi parabolice, albii
dreptunghiulare înguste şi albii triunghiulare, indicele x nu depinde de h, deci
relaţia (13.32) se poate considera exactă;
h
K
M'
M'' K=AC R
K= h
h''
h'
K' K''
x/2
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
160
- pentru albii dreptunghiulare, parabolice (excepţie cele menţionate
anterior), eliptice, circulare, trapezoidale etc. x depinde de h şi relaţia (13.32)
este aproximativă;
- pentru albii neregulate şi regulate închise, relaţia (13.32) este
neriguroasă, însă este posibilă folosirea ei în calcule practice.
Relaţii explicite de calcul aproximativ al exponentului hidraulic al
albiei sunt prezentate în (tab. 13.6).
Exponentul hidraulic al albiei pentru secţiuni particulare.
Tabelul 13.6
Forma albiei Relaţia de calcul pentru x Valorile lui x
pentru y = 1/6
Observaţii
trapez isoscel
( )
( )2
2
12
1221
123
m
my
m
myx
++
++−
−
+++=
β
β
-
m –
coeficient
unghiular al
taluzului
h
b=β
dreptunghi ( ) ( )
2
22123
++−+=
βyyx
2
66,233,3
+−
β
h
b=β
dreptunghi
foarte larg
( )y23 +≈
33,3≈
dreptunghi
foarte îngust
2≈
2≈
triunghi
( )y25 +≈
33,5≈
parabolă
foarte largă
( )y24 +≈
3,4≈
Există şi grafice pentru determinarea exponentului hidraulic al albiei x.
Hidraulică vol. II 161
13.4.2. Soluţionarea ecuaţiei mişcării gradual variate în albii
regulate prin metoda exponentului hidraulic al albiei
(B. A. Bahmetev)
Integrarea ecuaţiei diferenţiale a mişcării permanente lent variate
(13.10) se face separat pentru următoarele categorii de pantă: panta talvegului
pozitivă (I > 0), nulă (I = 0) şi negativă (I < 0), relaţia necesitând transformări
de formă diferite.
10. Integrarea ecuaţiei mişcării permanente gradual
variate în albii regulate cu pantă pozitivă Integrarea ecuaţiei (13.10) presupune modificarea formei acesteia, atât
la numărător cât şi la numitor punându-se în evidenţă (K0/K)2, rezultând:
2
0
2
2
0
1
1
−
−
=
K
K
gP
BIC
K
K
Idl
dh
α (13.37)
Se notează,
gP
BICj
2α= (13.38)
obţinând:
2
0
2
0
1
1
−
−
=
K
Kj
K
K
Idl
dh (13.39)
Adâncimea relativă având notaţia:
0/ hh=η (13.40)
se obţine η0hh = sau în formă diferenţială ηdhdh 0= . Raportul (K0/K)2 se
înlocuieşte din relaţia de definiţie a exponentului hidraulic al albiei:
xx
h
h
K
K
=
=
η
10
2
0 ,
în (13.39) obţinându-se:
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
162
j
Ij
Idl
dhx
x
x
x
−
−=
−
−
=η
η
η
ηη 1
11
11
0 (13.41)
în care variabilele sunt l şi η. După separarea variabilelor obţinem:
( )1
10 −
−+=x
djddl
h
I
η
ηη (13.42)
Se integrează ecuaţia pentru adâncimile h1 şi h2, aflate la distanţa L1
respectiv L2 de origine, cu notaţia L = L1 - L2, respectiv η1 = h1/h0 şi η2 = h2/h0,
conform fig. 13.24, rezultând:
Fig. 13.24. Condiţiile integrării ecuaţiei
(13.10) pentru I > 0.
( ) ( )∫ −−+−=−
2
11
11212
0
η
η η
ηηη
x
djLL
h
I (13.43)
Atât j cât şi x depind de h, însă pentru tronsoane de canal cu variaţie limitată a
adâncimii hє(h1, h2), j poate fi considerată constantă la valoarea sa medie,
rezultând:
( )∫ −−+−=
2
11
112
0
η
η η
ηηη
xm
djL
h
I (13.44)
Introducând notaţia:
( ) ∫ −−=
1,
x
dx
η
ηηϕ (13.45)
se obţine:
( ) ( ) ( )[ ]112212
0
,,1 xxjLh
Im ηϕηϕηη −−−−= (13.46)
h h
LL
L
h
Q=c
I>0
N
N
0 1 2
0 1
2
1
2
Hidraulică vol. II 163
S-au notat: L – lungimea tronsonului de canal la capetele căruia sunt
caracteristice h1 în amonte şi h2 în aval, η1 = h1/h0 şi η2 = h2/h0 fiind adâncimile
relative la capetele tronsonului faţă de adâncimea normală h0.
m
mmm Pg
BCIj
⋅
⋅⋅⋅=
2α. (13.47)
Valorile medii Cm, Bm şi Pm se pot calcula ca medie a mărimilor C1, B1 şi P1
respectiv C2, B2 şi P2. Chiar la un calcul al lui jm cu elementele Cm, Bm şi Pm
determinate cu adâncimea mediată 2
21 hhhm
+= , valoarea sa diferă
nesemnificativ faţă de calculul anterior.
Funcţia φ(η, x) se calculează prin dezvoltare în serie, astfel:
- pentru η<1
( ) ...13121
,13121
++
++
++
+=+++
xxxx
xxx ηηηηηϕ , (13.48)
iar pentru η>1
( ) ...13121
,31211
+−
+−
+−
=−−−
xxxx
xxx ηηηηϕ (13.49)
Constantele de integrare ale funcţiei (13.45) au fost considerate nule,
iar valorile pentru diferite perechi de valori (η, x) sunt intabulate în anexe.
Pentru valori η şi x intermediare celor existente în tabele se permite
interpolarea liniară, după relaţiile:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]12
12
11 ,,,, xx
xx
xxxx ηϕηϕηϕηϕ −
−
−+= (13.50)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]xxxx abab
aa ,,,, ηϕηϕ
ηη
ηηηϕηϕ −
−
−+= (13.51)
şi schema:
η x x1 ... x ... x2
ηa
⋮
η
⋮
ηb
φ(ηa, x1) ... φ(ηa, x) ... φ(ηa, x2)
⋮
φ(η, x)
⋮
φ(ηb, x1) ... φ(ηb, x) ... φ(ηb, x2)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
164
Observaţii: 1
0.a. În albii de pământ cu rugozitate mare la calculul curbei a1 se
poate considera j = 0, acesta având influenţă mică asupra calculelor. Pentru
celelalte tipuri de curbe parametrul j trebuie luat în calcul. Deşi j depinde de
adâncime el s-a considerat constant la integrare. Pe un sector de canal cu
mişcarea permanentă gradual variată modificarea parametrului j cu adâncimea
în calculul suprafeţei libere, este neglijabilă în majoritatea cazurilor. Parametrul
j trebuie considerat la valoarea sa medie, determinată cu (13.47). Eventual se
poate impune o condiţie de toleranţă relativă pentru j, astfel:
jj
jj
m
δ<− 21 (13.52)
10.b. Indicele hidraulic al albiei se determină cu relaţia (13.35),
considerând pentru calculul lui xi, parametrii h’ = h0 la care corespunde
K’ = K0 şi h” = hi la care corespunde K” = Ki. Asigurarea preciziei de calcul
impune limitarea abaterilor relative ale exponenţilor hidraulici ai albiei pentru
adâncimile de calcul, astfel:
xx
xx
m
δ<− 21 (13.53)
În calcule orientative abaterea relativă maximă poate fi δx = 0,1, iar la calcule
mai precise δx = 0,05.
20. Integrarea ecuaţiei mişcării permanente gradual
variate în albii regulate orizontale.
În cazul pantei nule I = 0 ecuaţia (13.10’) trebuie modificată faţă de
parametri caracteristici axei critice a curentului, atât la numărător, cât şi la
numitor se evidenţiază termenul (Kcr/K)2.
Cu schimbarea 2
2
2
2
K
KI
K
Q crcr= respectiv
22
3
2
⋅=
⋅
K
K
P
B
g
CI
A
B
g
Q crcrαα şi
notaţia:
P
B
g
CIj cr
cr
2⋅⋅=
α (13.54)
se obţine:
Hidraulică vol. II 165
2
2
1
−
−=
K
Kj
K
KI
dl
dh
crcr
crcr
(13.55)
Notând adâncimea relativă,
crh
h=ξ (13.56)
rezultă h = hcrξ, respectiv dh = hcrdξ. Înlocuind (K/Kcr)
2 = ξx , după înlocuire (13.55) devine:
x
cr
cr
xcr
xcrcr
j
Ij
I
dl
dh
ξ
ξ
ξξ
−=
−
−
=
1
1
,
respectiv după separarea variabilelor:
( ) ξξ djdlh
I xcr
cr
cr −= (13.57)
Se integrează ecuaţia pentru adâncimile curente h1 şi h2, caracteristice uneia din
curbele suprafeţei libere pentru albii orizontale, aflate la distanţele L1, respectiv
L2 de o origine. Se utilizează notaţiile L = L2 - L1 şi crh
h11 =ξ , respectiv
crh
h22 =ξ (fig. 13.25).
Fig. 13.25. Condiţiile integrării ecuaţiei
(13.10’) pentru I = 0.
Rezultă:
( ) ( )∫++ −
+−=−
2
1
1
1
1
2121
1ξ
ξ
ξξξ xxcr
cr
cr
xdjLL
h
I.
hh
h
L
C C
Q
I=0
1
cr 2
1
2
L
L
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
166
Acceptând pe tronsonul de calcul jcrm = const, rezultă:
( ) ( )1
1
1
2121
1 ++ −+
−−= xxcrm
cr
cr
xjL
h
Iξξξξ (13.58)
Calculatoarele simple permit efectuarea facilă a operaţiilor. Totuşi literatura
mai veche conţine şi forma:
( ) ( ) ( )[ ]112212 ,, xxjLh
Icrm
cr
cr ξϕξϕξξ −−−= (13.58’)
în care:
( )1
,1
+=
+
xx
xξξϕ (13.59)
Valorile funcţiei φ(ξ, x) sunt intabulate în anexe. Între valorile
intabulate se permite interpolarea liniară ca şi în cazul pantei pozitive.
Pentru calculul jcrm şi x trebuiesc respectate condiţiile descrise la pantă
pozitivă.
30. Integrarea ecuaţiei mişcării permanente gradual
variate în albii regulate cu pantă negativă (I < 0).
În cazul canalelor cu pantă inversă, I < 0, se pleacă de la ecuaţia
(13.10”) unde, |I|=I’. Modificarea ecuaţiei se face faţă de o curgere virtual
inversă cu panta I’. Se pune în evidenţă (K0’/K)2 atât la numitorul cât şi la
numărătorul ecuaţiei, obţinând:
2
0
2
2
0
1
1
′
⋅
⋅⋅′⋅−
′+
′−=
K
K
Pg
BCI
K
K
Idl
dh
α (13.60)
Notând:
P
B
g
CIj
2⋅′⋅=′
α (13.61)
se obţine:
Hidraulică vol. II 167
2
0
2
0
1
1
′′−
′+
′−=
K
Kj
K
K
Idl
dh (13.62)
Introducând adâncimea relativă
0h
h
′=ς (13.63)
cu forma diferenţială ςdhdh 0′= şi
( ) xKK ς/1/2
0 =′ , (13.62’)
ecuaţia (13.62) se transformă în
0 1x
x
h dI
dl j
ς ς
ς
′ +′=
′ − (13.64)
în care variabilele sunt l şi ζ. După separarea variabilelor se obţine:
( )1
110 +
+′+−=+
−′=
′
′xx
x djdd
jdl
h
I
ς
ςςς
ς
ς (13.65)
Se integrează ecuaţia pentru adâncimile h1 şi h2, caracteristice uneia
din curbele suprafeţei libere pentru albii regulate cu pantă inversă, aflate la
distanţele L1, respectiv L2 de origine. Se utilizează notaţiile L=L2-L1 şi
0
11 h
h
′=ς , respectiv
0
22 h
h
′=ς (fig. 13.26), obţinându-se:
Fig. 13.26. Condiţiile
integrării ecuaţiei (13.10”)
pentru I < 0.
hh
h h
L
Q
Q '
12
C
C
I < 0
1
2
c r
0'
12
L
L
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
168
( ) ( ) ( )2
1
2 1 2 1
0
11x
I dL L j
h
ς
ς
ςς ς
ς
′′− = − − + +
′ +∫ .
Variaţia j’ pentru intervalul adâncimilor (h1, h2) este mică şi se poate considera
j’m = const., obţinându-se
( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 2 1 1
0
1 , ,m
IL j x x
hς ς φ ς φ ς
′′= − − + + − ′
(13.66)
cu notaţia:
( ),1x
dx
ςφ ς
ς=
+∫ (13.67)
Valorile φ(ζ, x) sunt întabulate în anexe, calculate prin dezvoltare în
serie a funcţiei (13.67), astfel:
- pentru ζ < 1:
( ) ...13121
,13121
1 ++
−+
++
−+=+++
xxxcx
xxx ςςςςςϕ (13.68)
iar pentru ζ > 1:
( ) ...13121
,31211
2 +−
−−
+−
−=−−−
xxxcx
xxx ςςςςϕ (13.69)
Constanta de integrare c1 = 0, iar constanta c2 se determină astfel ca
pentru ζ = 1 valorile funcţiei φ(ζ, x) calculate după (13.68) şi (13.69) să fie
egale, ceea ce corespunde condiţiei de continuitate a funcţiei.
Parametrul 'mj se calculează cu valorile mediate Bm, Pm şi Cm, fiecare
fiind media acestor parametri determinaţi adâncimilor h1 şi h2.
Calculul exponenţilor hidraulici ai albiei se realizează în mod
asemănător prezentat la punctul 1 şi pentru precizia calculului trebuie să se
satisfacă condiţia de toleranţă (13.53).
Soluţionarea calculului curbelor suprafeţei libere pentru toate cazurile
de pantă se poate realiza pe baza unui program unic de calcul automat, care
progresiv solicită datele de intrare.
În cazul depăşirii condiţiei de toleranţă a exponentului hidraulic se
înjumătăţeşte ecartul de adâncimi până la încadrarea în toleranţă.
Hidraulică vol. II 169
13.4.3. Calculul suprafeţei libere în mişcarea permanentă gradual variată prin metoda diferenţelor finite
Calculele pentru trasarea suprafeţei libere a apei în mişcarea gradual
variată se pot efectua pe baza ecuaţiei energiei specifice şi conservării masei
sau prin trecerea la diferenţe finite a ecuaţiilor (13.8), în cazul albiilor oarecare,
sau (13.10) în cazul albiilor regulate.
10. Ecuaţia energiei (Bernoulli) în diferenţe finite
Mişcarea permanentă gradual variată în albii deschise are loc cu
modificarea lentă în spaţiu a parametrilor mişcării, fără curburi importante ale
firelor de lichid.
Prima lege aplicabilă acestor mişcări se referă la conservarea masei
exprimată de ecuaţia de continuitate (5.41).
constQAV ii == (5.41)
A doua lege se referă la conservarea energiei, exprimată de ecuaţia
energiei (6.51) conform fig. 13.27.
Fig. 13.27. Schemă pentru deducerea
ecuaţiei mişcării
Pentru distanţă finită ∆L între secţiunile 1-2, rezultă:
21
2
1111
2
2222
22−+++=++ hr
g
vpz
g
vpz
α
γ
α
γ (13.70)
Înlocuind pierderile prin
LK
Qhr ∆=− 2
2
21 (13.71)
iar p1 = p2 = pa se obţine:
LK
Q
g
vz
g
vz ∆++=+
2
22
111
2
222
22
αα (13.72)
∆
z
∆
z
0 0
L
Q = c
z
A h
Vh A
V
p12
2
2 2
2
1 1
1
1
a
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
170
sau
LK
Q
g
vvzzz ∆+
−=−=∆
2
22
22
2
1112
2
αα (13.73)
unde K este modulul de debit mediu pe tronsonul de calcul de lungime ∆L.
2
21 KKK
+= (13.74)
Relaţia (13.73) arată că pierderea medie de energie specifică pe tronsonul ∆L
este media aritmetică a pierderilor de energie de la capetele tronsonului.
Înlocuind vitezele medii din ecuaţia de continuitate se obţine:
LK
Q
AAg
Qzzz ∆+
−=−=∆
2
2
2
2
2
2
1
1
2
122
αα (13.75)
Dacă pe tronsonul de calcul intervin şi pierderi locale de energie,
efectul lor se poate introduce prin coeficienţii lor de rezistenţă hidraulică ζ
(13.75) devenind:
( ) LK
Q
AAK
Qzzz ∆+
−+=−=∆ ∑ 2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
12 1αα
ς (13.76)
Calculul suprafeţei libere se realizează într-o direcţie, din aval spre
amonte sau invers, în funcţie de parametrii cunoscuţi.
Construirea curbei suprafeţei libere presupune cunoaşterea
parametrilor z, A, K, într-o secţiune precum şi Q, ∆L şi ζ. Tronsoanele de calcul
pot avea pas constant sau variabil. Este recomandabil ca tronsonul să prezinte o
pantă relativ uniformă. Pentru explicaţii se consideră secţiuni de pornire 1,
fiind cunoscute z1, h1, A1, K1, respectiv Q, ∆L şi ζ. Calculele se realizează prin
iteraţii succesive: se propune o valoare verosimilă z2’ determinând A2’, h2’, respectiv ∆z’ (din partea a doua a ecuaţiei (13.76)). Din prima parte a ecuaţiei
(13.76) rezultă:
zzz ′∆+=′′12 .
Dacă admzzz ε<′−′′22 , (εzadm fiind toleranţa pentru determinarea valorii
lui z2), calculul se consideră terminat. În caz contrar se adoptă o nouă valoare
lui z2 ca fiind media aritmetică:
2
222
zzz
′′+′=′′′ (13.77)
Iteraţiile se repetă până la satisfacerea condiţiei de toleranţă pentru
calculul valorii z2. Se poate accepta εzadm= 0,001. Calculul poate fi efectuat
Hidraulică vol. II 171
manual sau după program. În cazul calculului manual datele se centralizează în
tabele de forma (tab. 13.7).
Calculul suprafeţei libere prin diferenţe finite în mişcarea gradual variată
Tabelul 13.7
Tronson
∆L (m)
Secţiunea 1 Secţiunea 2
Km (m
3/s)
∆z
Obs. z1
(m)
A1 (m
2)
K1 (m
3/s)
z2 (m)
A2 (m
2)
K2 (m
3/s)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Metoda diferenţelor finite este aplicabilă şi albiilor naturale, la care împărţirea
în sectoare de calcul trebuie să ţină seama ca panta să fie cât mai uniformă.
Pentru fiecare secţiune în parte trebuie cunoscute A = f1(h), P = f2(h), K = f3(h) care implică şi aprecierea corectă a rugozităţii în fiecare secţiune. Curbele
menţionate se întocmesc pe baza ridicărilor batimetrice. Este necesară şi
trasarea unui profil longitudinal riguros al albiei pentru evidenţierea sectoarelor
de calcul (având panta fundului relativ uniformă şi continuă).
20. Trecerea la diferenţe finite a ecuaţiei (13.8)
Conform fig. 13.1. ecuaţia (13.8) se scrie în diferenţe finite sub forma:
22
2 2
2
3
1
1
m m
mm m m
m
m
C RQ AI
g A lA C Rh
Bl Q
g A
α
α
⋅ ∆− −
⋅ ∆∆ =∆ ⋅
−
(13.78)
Ecuaţia este valabilă şi pentru albiile naturale nu numai albiilor de secţiune
regulată.
Aplicarea ecuaţiei trebuie realizată pe tronsoane de albie cu panta I uniformă, lungimea tronsonului de calcul ∆l poate fi variabilă. (Cu cât ∆l este
mai mic precizia calculelor creşte). Pentru cazul albiilor naturale este necesară
cunoaşterea în secţiunile de calcul a funcţiilor A = f1(h), P = f2(h), R = f3(h), C = f4(h), B = f5(h), care se determină prin ridicarea profilului longitudinal şi
secţiunilor prin măsurători topo-batometrice. Pentru albii regulate aceste funcţii
sunt calculabile.
Mărimile Am, Pm, Rm, Cm, Bm reprezintă valorile medii ale acestor
mărimi la capetele sectorului de calcul.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
172
Conform fig. 13.1. calculul parcurge albia din amonte spre aval (se
poate şi invers) şi pentru Q, h1, A1, R1, n1, C1, B1 ∆l, n2 cunoscute presupune
următoarele:
- se presupune o valoare ∆h’ verosimilă rezultând h2’, A2’, R2’, C2’, B2’.
- se calculează valorile medii Am, Rm, Cm, Bm. - din (13.78) aplicată, rezultă ∆h” care se compară cu valoarea ∆h’ propusă.
În situaţia |∆h”-∆h’| < ε∆h calculul se consideră terminat, ε∆h fiind
toleranţa impusă pentru calculul lui ∆h. În caz contrar se refac calculele cu un
nou 2
hhh
′′∆+′∆=′′′∆ până la încadrarea în precizia de calcul impusă.
Precizia de calcul poate fi considerată ε∆h = 1 mm.
13.4.4. Construirea curbelor suprafeţei libere
pe râuri cu albie majoră sau albii bifurcate
La construirea curbei suprafeţei libere pe cursuri de apă cu albie
majoră sau ramificată, secţiunea transversală trebuie considerată o secţiune
compusă (fig. 13.28, 13.29).
As Ap
0
0
Ap As
Fig. 13.28. Albie compusă cu albie majoră – Ap şi albie minoră - As
brat sec
undar
bratprincipal
ls
lp
1
2Sect x-x
Fig. 13.29. Albie ramificată braţ principal – Ap, lp şi braţ secundar – As, ls
Hidraulică vol. II 173
La albie compusă se împarte albia cu un plan vertical 0-0 în albie
minoră şi majoră, lungimea celor două fiind aceeaşi.
La albie ramificată lungimile braţului principal şi secundar pot diferi.
Debitul total transportat se poate considera suma debitelor pentru albia
principală şi secundară calculate separat:
sp QQQ += (13.79)
În capetele albiei compuse respectiv ramificate căderile de nivel sunt
identice:
sp zzz ∆=∆=∆ (13.80)
În calculul căderii se acceptă forma simplificată (neglijarea primului
termen) a ecuaţiei (13.75)
p
p
pp l
K
Qz
2
2
=∆ şi s
s
ss l
K
Qz
2
2
=∆ (13.81)
din care:
p
ppp l
zKQ
∆= şi
s
sss l
zKQ
∆= (13.82)
Pentru albii compuse ecuaţia de continuitate devine:
( )l
zKKQ sp
∆+= (13.83)
l fiind lungimea sectorului, iar pentru albii ramificate:
ps
p
sps
p
spp
p
l
z
l
lKK
l
lKK
K
∆
+=
+= (13.84)
S-au admis valorile medii ale modulelor de debit pe sector calculate la capetele
acestuia cu relaţia:
( )2
2
2
1
2
2
1KKK += (13.85)
13.4.5. Principalele tipuri de probleme la calculul suprafeţei
libere în mişcare permanentă gradual variată
Construirea suprafeţei libere în mişcarea permanentă gradual variată
întruneşte mai multe tipuri de probleme, principalele categorii fiind încadrate în
două grupe:
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
174
10. Cunoscând debitul Q, panta I, geometria albiei, şi două adâncimi,
se cere stabilirea distanţei dintre aceste adâncimi. Lungimea curbei se
determină din ecuaţiile (13.46, 13.58, 13.66 sau 13.78).
În calcule manuale se respectă următorul breviar:
- se calculează adâncimea normală h0 (unde este cazul) şi cea critică
hcr;
- în funcţie de pantă, adâncimi la capetele tronsonului h1, h2 şi
adâncimi normale şi critice se stabileşte tipul curbei;
- se calculează adâncimile relative (η, ξ sau ζ); - se calculează elementele geometrice B, A, P, I şi hidraulice C, K, j şi x, care se mediază;
- se verifică dacă x şi j pe sectorul de calcul, între adâncimi se
încadrează în toleranţă;
- în cazul neîncadrării lui x şi j în toleranţă se reconsideră adâncimile,
intervalul ∆h = |h1-h2| se înjumătăţeşte, recalculând una din adâncimile
caracteristice, scurtându-se sectorul de calcul. Cu noile valori se reface calculul
anterior prezentat;
- cu elementele determinate se calculează sau se extrag din tabele
valorile funcţiilor φ(η, x), sau φ(ξ, x),sau φ(ζ, x) care se interpolează;
- aplicând una din relaţiile (13.46, 13.58, 13.66, sau 13.78) se
calculează lungimea sectorului de albie.
20. Cunoscând debitul Q, panta albiei I, rugozitatea, lungimea sectorului
de calcul şi o adâncime la un capăt de sector se cere determinarea adâncimii la
celălalt capăt al sectorului. Problema se poate rezolva prin ambele metode
prezentate.
Prin metoda exponentului hidraulic al albiei, adâncimea necunoscută nu
este explicitabilă şi se apelează la aproximaţii succesive, utilizând procedeul de
la punctul 10. Se propune adâncimii necunoscute o valoare arbitrară verosimilă,
calculându-se lungimea sectorului care, apoi, se compară cu lungimea dată a
sectorului. În caz de diferenţe se modifică verosimil adâncimea necunoscută.
Calculele se consideră terminate când abaterea între lungimea dată şi cea
calculată este în intervalul abaterilor admisibile.
Calculele pot fi conduse şi prin metoda diferenţelor finite descrise la
13.4.3, paragraful 1.
Pentru calculul „remuurilor” după metoda exponentului hidraulic al
albiei sunt întocmite programe pentru calculul automat (un singur program
Hidraulică vol. II 175
pentru metodă) cu limbaj conversaţional, facilităţi de calcul şi prezentare a
rezultatelor numeric şi grafic.
Aceleaşi afirmaţii sunt valabile şi pentru metoda diferenţelor finite.
În cazul construirii curbei suprafeţei libere în albii naturale, importanţă
mare trebuie acordată împărţirii cursului de apă în sectoare. Se lucrează cu
valori medii ale elementelor hidraulice (de la capetele tronsoanelor) care se
consideră caracteristici reale.
Împărţirea în sectoare de calcul se face diferit în funcţie de datele
hidrometrice disponibile. Când există profil longitudinal şi secţiuni transversale
se caută ca pe tronson suprafaţa liberă să aibă pantă constantă, secţiunea vie să
nu sufere variaţii bruşte. Se caută sectoare fără variaţie importantă a secţiunii,
în caz contrar sectoare convergente sau divergente. Diferenţele de nivel ale apei
pe sector nu trebuie să depăşească ∆z=0,75m (valoarea nu trebuie considerată
ca o limită absolută).
În cazul existenţei confluenţilor, secţiunea respectivă trebuie
considerată limită de sector pentru a fi respectată condiţia mişcării permanente
(Q = const.).
13.5. APLICAŢII
10. Să se construiască graficul energiei specifice în scţiunea
transversală a unui canal dreptunghiular, având b = 2,0 m, pentru debitele
Q1 = 1,0 m3/s, Q2 = 2,0 m
3/s şi Q3 = 3,0 m
3/s. Tot pentru aceste debite să se
calculeze elementele critice ale curentului în mişcarea uniformă (α = 1,05, n = 0,015).
Rezolvare. Energia specifică a secţiunii se obţine dând valori lui h
inferioare şi superioare lui hcr în ecuaţia (13.18), corespunzătoare secţiunii
dreptunghiulare.
ghb
Qhe
2
2⋅+=
α,
Rezultatele sunt date în (tab. 13.8) şi (fig. 13.30). Minima funcţiei este pe
dreapta crhe3
2= .
Din relaţia (13.21) se obţine adâncimea critică:
32
2
gb
Qhcr
⋅=
α,
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
176
iar din (13.24) şi (13.25) vcr şi Icr.
cr
cr A
Qv = ;
crcrcr
crRCA
QI
22
2
= .
Elementele sunt calculate în tab. 13.9.
Tabelul 13.8
Nr.
crt.
Q1 = 1,0 m3/s Q2 = 2,0 m
3/s Q3 = 3,0 m
3/s
h (m) e (m) h (m) e (m) h (m) e (m)
1 0,10 1,438 0,25 1,106 0,35 1,333
2 0,15 0,745 0,30 0,895 0,40 1,153
3 0,20 0,534 0,35 0,787 0,45 1,045
4 0,25 0,464 0,40 0,734 0,50 0,982
5 0,299 0,449 0,475 0,712 0,622 0,933
6 0,35 0,459 0,60 0,749 0,70 0,946
7 0,40 0,484 0,70 0,809 0,80 0,988
8 0,50 0,554 0,80 0,884 0,90 1,049
9 1,00 1,013 1,00 1,054 1,00 1,120
Tabelul 13.9
Q (m
3/s)
hcr (m)
Acr (m
2)
Pcr (m)
Rcr (m)
Ccr (m
0,5/s)
Icr
(10-3
)
vcr
(m/s)
emin (m)
1,00 0,299 0,598 2,598 0,230 52,20 4,45 1,671 0,449
2,00 0,475 0,950 2,949 0,322 55,19 4,52 2,106 0,712
3,00 0,622 1,244 3,244 0,384 56,83 4,69 2,411 0,933
b
h
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,10,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
e(m)
Q(m/s)3
1,0
2,0
3,0
h(m
)
h
h
e
1
2
Fig. 13.30. Graficul energiei specifice a secţiunii
pentru canalul dreptunghiular cu b = 2,0 m.
Hidraulică vol. II 177
20. Să se determine starea mişcării uniforme într-un canal trapezoidal
cu b = 1,0 m, I = 0,2 ‰, h0 = 1,57 m, m = 1,5, n = 0,016 care transpotă debitul
Q = 4 m3/s, v = 0,757 m/s.
Rezolvare. Stabilirea stării curentului se face pe baza tabelului 13.2, în
prealabil calculându-se elementele critice ale curentului.
Din relaţia (13.17) prin aproximaţii succesive se determină hcr
(tab. 13.10).
Tabelul 13.10
Nr.
crt.
h (m)
A (m
2)
B (m)
A3/B αQ2/g
1 0,8 1,760 3,40 1,603
1,713
2 0,9 2,115 3,70 2,557
3 0,81 1,794 3,43 1,684
4 0,82 1,829 3,46 1,767
5 0,812 1,801 3,436 1,700
6 0,813 1,804 3,439 1,708
7 0,814 1,808 3,442 1,717
Elementele critice ale curentului şi secţiunii sunt: hcr = 0,813 m.
3
22
2
22
2
0,56/16/1
22
1056,3459,089,54804,1
4
/sm 89,54459,0016,0
11
m 459,0931,3
804,1
m 931,35,11813,02112
m/s 217,2804,1
0,4
−⋅=⋅⋅
==
===
===
=+⋅+=++=
===
crcrcrcr
crcr
cr
crcr
crcr
crcr
RCA
QI
Rn
C
P
AR
mhbP
A
Qv
Numărul Froude pentru curent este:
( ) ( )
067,057,15,1157,1
57,15,121
81,9
405,12
33
2
3
0
3
0
02
=⋅+
⋅⋅+⋅=
+
+⋅=
mhbh
mhb
g
QFr
α
Întrucât:
h0 = 1,57 m > hcr = 0,813 m
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
178
v0 = 0,757 m/s < vcr = 2,217 m/s
I = 0,2 ‰ < Icr = 3,56‰ Fr = 0,067 < Frcr = 1
rezultă că starea mişcării este lentă.
30. Să se dimensioneze un canal trapezoidal pentru transportul
debitului Q = 10 m3/s la profil hidraulic optim şi stare critică a mişcării
uniforme, cunoscând m = 1,5 şi n = 0,017. Rezolvare. Necunoscutele sunt h0, b, I însă h0 = hcr şi I = Icr. Pentru
calculul necunoscutelor se pot scrie ecuaţiile:
( )
B
A
g
Q
mmh
b
RIACQ
32
2
0
12
=⋅
−+==
=
α
β
ştiind:
( )( )
2
6/1
0
20
22
12
1
2
122
120
mhB
Rn
C
hR
mmhP
mmhA
+=
=
=
−+=
−+=
din condiţia stării critice rezultă:
( )
2
326
02
12
12
mh
mmh
g
Q
+
−+=
⋅α sau
( )5
32
22
0
12
12
mmg
mQh
−+
+⋅=
α,
deci:
( )m 328,1
5,15,11281,9
5,111005,125 3
2
22
0 =
−+
+⋅⋅=h
Din condiţia profilului hidraulic optim rezultă lăţimea la fund:
Hidraulică vol. II 179
( ) ( ) m 804,05,15,11328,1212 220 =−+⋅=−+= mmhb ,
iar din ecuaţia mişcării uniforme, panta:
3
22
2
22
2
1062,3664,094,59713,3
10 −⋅=⋅⋅
==RCA
QI .
40. Să se construiască curba suprafeţei libere a apei într-un tronson de
canal convergent, de secţiune dreptunghiulară, cunoscând: Q = 100 m3/s;
n = 0,016, b1 = 40 m, b4 = 15 m, L = 37,5 m, I = 1‰, h1 = 0,3 m, α = 1,1, g = 9,81 m/s
2 şi εz = 0,01.
b
L=15m L=15m L=7,5m
L=37,5m
∆ ∆ ∆
ΑΑ
Β
Β
1
2
3
4
40m
30m
20m
15m
Q
h
b
h
h
h
0,30
0,473
0,825
1,330
cr
0 C 1
Sectiunea B-B
Sectiunea A-A
h(m)
Fig. 13.31. Schema calculului nivelului pe un tronson de canal convergent.
Rezolvare. Soluţionarea problemei este posibilă prin aplicarea
diferenţelor finite în mişcarea gradual (lent) variată, (13.74), deşi modificarea
parametrilor geometrici şi hidraulici este importantă. Pasul de calcul al
lungimii ∆L trebuie să fie mic, astfel ca pe această distanţă firele de curent să
poată fi considerate drepte paralele. Micşorarea lăţimii canalului implică
modificarea continuă a adâncimii normale şi critice, întrucât b = f(L) intervine
prin expresiile (12.3) şi (13.17).
Pentru calcule se transcrie ecuaţia 13.17, pentru parcurgere sens din
amonte spre aval:
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
180
−=′′∆
∆+
−
⋅=′∆
+
+
1
2
2
22
1
2 11
2
ii
ii
zzz
LK
Q
AAg
Qz
α
,
cu zzz ε<′′∆−′∆ .
Adâncimea în secţiunea i+1 este:
ILhzzh iiii ⋅∆++−= ++ 11
Plecând cu elementele cunoscute în secţiunea 1 cu pasul ∆L se
calculează elementele secţiunii 2, apoi 3 şi 4. Rezultatele sunt prezentate în
(tab. 13.11). S-a considerat plan de referinţă orizontala care trece pe fundul
secţiunii 1.
Pentru secţiunea 3 sunt date iteraţiile calculului, iar alura suprafeţei
libere se observă din profilul longitudinal (fig. 13.31).
Adâncimile normală şi critică pentru cele 4 secţiuni au valorile
înscrise în (tab. 13.12) şi sunt redate tot în profilul longitudinal.
Tabelul 13.12.
Secţiunea b (m)
h0 (m)
hcr (m)
1 40 1,18 0,89
2 30 1,42 1,08
3 20 1,87 1,41
4 15 2,31 1,71
Întrucât nivelul este situat sub linia adâncimilor h0 şi hcr şi h0 > hcr
suprafaţa liberă este o curbă de tip c1.
Tabelul 13.11
Secţi-
unea
∆L (m)
b (m)
z (m)
h (m)
A (m
2)
R (m)
C (m
0,5/s)
K (m
3/s) 22
1
11
ii AA−
+
+
+22
1
11
2
1
ii KK
∆z’ ∆z”
1
40
0,30
0,30
12,00
0,296
51,01
332,8
15
-1,978*10-3
6,313*10-6
-0,162 -0,158
2
30
0,458
0,473
14,19
0,459
54,88
527,4
-6,945*10-4
2,660*10-6
+0,010 -0,292
3
20
0,75
0,765
15,30
0,711
59,04
761,5 -1,203*10-4
2,500*10-6
-0,299 -0,342
3
20
0,80
0,815
16,30
0,754
59,62
843,6 -1,293*10-3
2,473*10-6
-0,354 -0,352
3
20
0,81
0,825
16,50
0,762
59,73
860,4
7,5
-1,161*10-3
9,487*10-7
-0,508 -0,512
4
15
1,33
19,95
1,130
63,78
1353
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 182
50 Un jilip de secţiune dreptunghiulară, cu b = 1,20 m, n = 0,017,
I = 0,1 şi h0 = 0,6 m transportă debitul Q = 6 m3/s. Să se determine adâncimea
apei în capătul aval al jilipului ştiind adâncimea la intrare h1 = 1,20 m şi
lungimea L = 45 m. Se consideră α = 1,1, g = 9,81 m/s2 şi δx = 0,05.
h
h
h
h
L
b
1
c r
0
2
I
b2
Fig. 13.32. Schema curgerii pe jilip.
Rezolvare. Adâncimea critică este:
mgb
Qhcr 41,1
2,181,9
61,13
2
2
32
2
=⋅
⋅=
⋅=
α.
Fiindcă h0 < hcr starea curgerii pe jilip este rapidă. În capătul amonte h1 = 1,2
m, este situat între h0 şi hcr, deci pe jilip suprafaţa apei se dispune după o curbă
de coborâre tip b2.
Adâncimea în capătul aval al jilipului se obţine prin calcule iterative a
lungimii, dând valori lui h2 în intervalul h1 şi h0. Prin aplicarea relaţiilor 13.4.2.
paragraful 1, se obţin valorile din (tab. 13.13).
Tabelul 13.13. Mărimea
h (m)
η A (m
2)
P (m)
Pm (m)
R (m)
C (m
0,57s)
Cm (m
0,5/s)
K (m
3/s)
jm x xm δx (%)
φ(η,x) L (m)
h0
0,6
-
0,72
2,40
-
0,300
-
-
18,97
-
-
-
-
-
-
h1
1,2
2,000
1,440
3,60
-
0,400
50,49
-
45,99
-
2,555
-
-
0,240
-
h2
0,700
1,170
0,840
2,600
3,100
0,323
48,73
49,61
23,26
10,68
2,648
2,601
3,6
0,725
23,20
0,63
1,05
0,756
2,46
3,03
0,307
48,32
49,41
20,25
10,84
2,680
2,618
4,8
1,112
45,8
0,631
1,052
0,757
2,462
3,031
0,308
48,33
49,41
20,29
10,84
2,678
2,616
4,7
1,103
45,25
0,632
1,053
0,758
2,464
3,032
0,308
48,33
49,41
20,34
10,84
2,680
2,617
4,8
1,091
44,77
Adâncimea în capătul aval al jilipului h2 = 0,631 m.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 184
60. Un canal trapezoidal rectiliniu, având b = 1,5 m, m = 1, n = 0,016
şi I = 0,002 transportă debitul Q = 8 m3/s în mişcare uniformă. Un deversor
frontal ridică nivelul apei la adâncimea h = 2,3 m în secţiunea amonte de
deversor. Să se construiască curba suprafeţei libere a apei prin metoda
exponentului hidraulic al albiei şi prin diferenţe finite prin cel puţin 10 puncte.
Se consideră α = 1,05 şi δx = 0,01.
Rezolvare. Se calculează adâncimea normală a apei în mişcare
uniformă h0 = 1,30 m şi adâncimea critică hcr = 1,124 m.
Se stabileşte tipul curbei:
- h0 > hcr starea curgerii uniforme este lentă.
- h > h0 rezultă curbă în zona a de tipul a1.
a. Construirea suprafeţei libere prin metoda exponentului hidraulic al
albiei.
a.1. Se dau 10 valori adâncimii apei respectând condiţia
1,30 < h < 2,40 m conform fig. 13.33.
l1-2l2-3l3-4l4-5l5-66-7ll7-8l8-9l9-10
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,10
2,20
2,30h =1,124
h =1,30
cr
0
I=0,002
124 38 7 6 510 9
Fig. 13.33. Linia suprafeţei libere a apei în canal.
Aplicând ecuaţiile din 13.4.2. paragraful 1, se determină distanţele
dintre secţiunile învecinate lij. Calculul complet este prezentat pentru secţiunile
1 şi 2, celelalte rezultate fiind centralizate în tab. 13.14.
Hidraulică vol. II 185
a.2. Se calculează A, P, B, R, C, K, pentru h1 şi h2 şi x faţă de h0. h1 = 2,30 m h2 = 2,20 m h0 = 1,30 m
( )mhbhA += A1 = 8,74 m2 A2 = 8,14 m
2 A0 = 3,64 m
2
212 mhbP ++= P1 = 8,00 m P2 = 7,72 m P0 = 5,18 m
PAR /= R1 = 1,092 m R2 = 1,054 m R0 = 0,703 m
6/11R
nC =
C1 = 63,42 m0,5
/s C2 = 63,05 m0,5
/s C0 = 58,94 m0,5
/s
RACK = K1 = 579,2 m3/s K2 = 526,9 m
3/s K0 = 179,9 m
3/s
mhbB 2+= B1 = 6,10 m B2 = 5,90 m B0 = 4,10 m
0
0
/lg
/lg2
hh
KKx =
x1 = 4,098 x2 = 4,085.
a.3. Exponentul hidraulic mediu este xm = 4,092 şi se verifică
încadrarea exponenţilor hidraulici în toleranţă.
01,0003,0092,4
085,4098,421 =⋅<=−
=−
xx
xx
m
δ .
a.4. Fiind satisfăcută condiţia de toleranţă lungimea l1-2 se poate stabili
cu un singur pas de calcul din relaţia:
( ) ( ) ( )[ ] xxjI
hL amavmamav ,,10 ηϕηϕηη −−−−=
653,086,781,9
00,6002,0235,6305,1 22
=⋅
⋅⋅⋅=
⋅=
m
mmm P
B
g
ICj
α
ştiind: Cm = 63,235 m0,5
/s; Pm = 7,86 m şi Bm = 6,00 m.
Adâncimile relative sunt:
769,130,1
30,2
0
11 ===
h
hη şi 692,1
30,1
20,2
0
22 ===
h
hη .
Se extrag din tabele φ(η, x) şi se interpolează, obţinând:
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 186
φ(η1, x1) = 0,0592 şi φ(η2, x2) = 0,0688, rezultând:
( )( )[ ] m 2,520688,00592,0653,01692,1769,1002,0
30,121 =−−−−=−l
b. Construirea suprafeţei libere prin metoda diferenţelor finite.
Pentru distanţele dintre secţiunile 1...10 din (tab. 13.14). se aplică ec.
(13.74) obţinând valorile din (tab. 13.15).
Iteraţiile calculelor pentru z, respectiv h nu sunt redate, ele având
mersul din 13.4.2. paragraful 2.
Compararea valorii adâncimilor din tabelele 13.14. şi 13.15. indică o
concordanţă bună a celor două metode când condiţiile de toleranţă sunt
respectate.
S-a luat planul de referinţă la baza secţiunii 1.
S-a calculat cu asemenea precizii pentru a pune în evidenţă
corectitudinea.
Elementele curbei de supraînălţare de tip a1 calculate după metoda exponentului hidraulic al albiei
Tabelul 13.14
Secţ.
h
(m)
η
A
(m2)
P
(m)
Pm (m)
R
(m)
C
(m0,5/s)
Cm
(m0,5/S)
K
(m3/s)
B
(m)
Bm (m)
jm
x
xm
∆x (%)
φ(η,x)
l
(m)
L
(m)
1
2,30
1,769
8,74
8,000
1,092
63,42
579,2
6,10
4,098
0,0592
0,000 7,860
63,235
6,00
0,653
4,092
0,30
52,2
2
2,20
1,692
8,14
7,720
1,054
63,05
526,9
5,90
4,085
0,0688
52,2
7,580
62,860
5,80
0,647
4,079
0,32
52,7
3
2,10
1,615
7,56
7,440
1,016
62,67
477,6
5,70
4,072
0,0805
104,9
7,299
62,470
5,60
0,641
4,065
0,36
53,7
4
2,00
1,538
7,00
7,157
0,978
62,27
431,1
5,50
4,057
0,0963
158,6
7,016
62,065
5,40
0,635
4,050
0,35
53,9
5
1,90
1,462
6,46
6,874
0,940
61,86
387,4
5,30
4,043
0,1153
212,5
6,733
61,645
5,20
0,628
4,035
0,40
56,3
6
1,80
1,385
5,94
6,591
0,901
61,43
346,4
5,10
4,027
0,1413
268,8
6,450
61,205
5,00
0,621
4,018
0,45
58,6
7
1,70
1,308
5,44
6,308
0,862
60,98
308,0
4,90
4,009
0,1762
327,4
6,167
60,745
4,80
0,615
4,001
0,40
62,8
8
1,60
1,231
4,96
6,025
0,823
60,51
272,3
4,70
3,993
0,2271
390,2
5,884
60,260
4,60
0,608
3,985
0,43
70,4
9
1,50
1,154
4,50
5,743
0,784
60,01
239,1
4,50
3,976
0,3069
460,6
5,602
59,750
4,40
0,600
3,966
0,50
90,2
10
1,40
1,077
4,06
5,460
0,744
59,49
208,3
4,30
3,956
0,4614
550,8
h0 1,30 - 3,64 5,18 - 0,703 58,94 - 179,9 4,10 - - - - - -
Elementele curbei de supraînălţare de tip a1 calculată după metoda diferenţelor finite
Tabelul 13.15
Secţi
une
l (m)
L (m)
h (m)
A (m
2)
R
(m)
C (m
0,5/s)
K
(m3/s)
2
1
2
11
+
−ii AA
(x10-3
)
+
+2
1
2
11
2
1
ii KK
(x10-6
)
∆Z1
(x10-3
)
∆Z2 (x10
-3)
Z (m)
1
0,000
2,300
8,740
1,092
63,421
579,18
2,3000
52,2
-2,001
3,291
4,40
4,14
2
52,20
2,200
8,140
1,054
63,050
526,92
2,3044
52,7
-2,405
3,993
5,40
5,23
3
104,9
2,100
7,560
1,016
62,667
447,58
2,3098
53,7
-2,944
4,888
6,40
6,72
4
158,6
1,999
6,995
0,978
62,266
430,63
2,3162
53,9
-3,522
6,028
8,80
8,73
5
212,5
1,900
6,460
0,940
61,856
387,37
2,3250
56,3
-4,379
7,500
12,6
16,6
6
268,8
1,800
5,940
0,901
61,426
346,38
2,3376
58,6
-5,510
9,450
16,2
16,6
7
327,4
1,699
5,435
0,862
60,972
307,67
2,3538
62,8
-6,950
12,06
24,6
24,7
8
390,2
1,598
4,951
0,822
60,496
271,59
2,3784
70,4
-8,878
15,60
39,8
39,9
9
460,6
1,497
4,487
0,782
59,996
238,09
2,4182
90,2
-11,633
20,51
78,4
78,6
10
550,8
1,395
4,039
0,742
59,462
206,80
2,4966
Hidraulică vol. II 189
CAPITOLUL 14
MIŞCAREA PERMANENTĂ RAPID VARIATĂ
A LICHIDELOR CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ
Mişcarea permanentă rapid variată faţă de cea lent (gradual)
variată prezintă următoarele caracteristici mai importante:
- curbura liniilor de curent este mare, astfel încât repartiţia
presiunilor pe secţiunea vie A diferă de distribuţia hidrostatică, iar pierderile
de sarcină locale nu pot fi neglijate în raport cu cele liniare;
- domeniul D în care se produce mişcarea rapid variată este definit
de două secţiuni drepte S’ şi S’’ situate una faţă de alta la distanţa l = l’’ - l’ relativ mică. Forţele de vâscozitate de tip Newton la frontiera domeniului
sunt neglijabile faţă de forţele tangenţiale datorate vâscozităţii şi turbulenţei
din interiorul domeniului;
- în interiorul domeniului D există deseori zone de vârtejuri şi de
„apă moartă”, despărţite de curentul principal prin suprafeţe de
discontinuitate pentru viteze.
Datorită mai ales acestor zone, nu există în prezent o soluţie generală
pentru mişcările rapid variate. Există însă o metodă generală de studiu a
acestor mişcări. Ea se bazează în primul rând pe ecuaţia energiei care
stabileşte pierderile de energie, iar celelalte caracteristici ale mişcării se
determină cu ajutorul teoremei impulsului şi al ecuaţiei de continuitate.
Pierderile de energie iau naştere în interiorul domeniului şi nu sunt reflectate
în ecuaţia teoremei cantităţii de mişcare.
În acest capitol se studiază câteva mişcări rapid variate, mai des
întâlnite în practică, astfel: saltul hidraulic, mişcări neuniforme la
singularităţi în albii – prag urcător, coborâtor, prag de fund, pile.
14.1. SALTUL HIDRAULIC
Saltul hidraulic este fenomenul hidraulic de trecere a curentului de la
starea rapidă la cea lentă.
În capitolul 13 ecuaţia (13.8), respectiv (13.10) au permis analiza
formelor suprafeţei libere în mişcarea lent variată, însă s-a constatat că
pentru curbele care se apropie de hcr relaţiile în apropierea lui hcr nu sunt
valabile, curbura firelor de curent este mai mare. Pentru h = hcr apare
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 190
discontinuitate în ecuaţii. De fapt în apropierea şi la trecerea adâncimii
curente h prin adâncimea critică hcr, curbura firelor de curent este
pronunţată, se schimbă orientarea curburii firelor de curent sau apar
discontinuităţi în mişcare.
Fenomenul hidraulic de mişcare rapid variată prin care se face
trecerea de la starea rapidă a curentului – caracterizată de adâncimi
inferioare celei critice – la starea lentă – caracterizată prin adâncimi
superioare celei critice – se numeşte salt hidraulic. De fapt discontinuitatea
din ecuaţia (13.8) este rezolvată de natură prin saltul hidraulic, în domeniu
fiind prezente zone de curent principal, vârtejuri, zone de antrenare de aer în
curent care conturbă substanţial suprafaţa liberă.
Variaţiile parametrilor hidraulici prin salt nu sunt bruşte, ci rapide în
lungul saltului. Parte din energia cinetică a curentului prin salt se transformă
în energie potenţială, fenomenul însă este caracterizat prin pierderi
importante de energie.
Trecerea curentului de la starea lentă la stare rapidă (ex. schimbare
de pantă) se face fără conturbarea suprafeţei libere, însă la adâncimea hcr se
schimbă orientarea curburii suprafeţei libere.
Conturbarea importantă a suprafeţei libere prin salt şi păstrarea
suprafeţei libere la trecerea adâncimii curente prin adâncimea critică în
funcţie de direcţie (de la starea rapidă la lentă sau invers) are explicaţii
energetice.
14.1.1. Formele saltului hidraulic
Prin experimentări s-a observat că saltul hidraulic are forme variate.
După sistematizarea efectuată de Bradley şi Peterka se disting 5 forme
caracteristice în funcţie de numărul Froude (Fr) al curgerii de la intrarea în
salt.
10. Saltul ondulat (fig. 14.1), ia naştere pentru Fr’ = 1...3. Trecerea
de la adâncimea de intrare în salt h’ la cea de ieşire h’’ are loc printr-o
ridicare bruscă a nivelului, urmată de o serie de ondulaţii în jurul nivelului
aval. Prima ondulaţie, care reprezintă saltul, depăşeşte nivelul aval. Este
caracterizat prin disipare slabă de energie.
Hidraulică vol. II 191
h '
h ' '
hh
E∆
C C
c ra v
Fig. 14.1. Saltul ondulat Fr’ = 1...3
20. Saltul incipient (fig. 14.2), are loc pentru Fr’ = 3...6. Saltul
apare ca o ridicare relativ bruscă a suprafeţei libere, care are o formă
neregulată, cu mici încreţituri care apar datorită unor mici vârtejuri
transversale apropiată de suprafaţa liberă. Schimbarea profilului vitezei are
loc gradat; disiparea energiei este slabă.
h h '
h ' 'h
h
E∆
C C
a mc r
a v
Fig. 14.2. Saltul incipient Fr’ = 3...6
30. Saltul cu jet oscilant (fig. 14.3) se formează pentru
Fr’ = 6...20. Faţă de starea lentă a curentului aval, în amonte viteza este
substanţial mai mare şi are aspectul unui jet care pătrunde în curentul din
aval, cu care se amestecă după un anumit parcurs. Jetul este individualizat,
dar nu-şi păstrează stabilitatea pe verticală. Produce o ridicare locală a
suprafeţei libere. Când jetul este dirijat după axa curentului există o tendinţă
de formare a unui vârtej de suprafaţă, cu întoarcerea curentului şi antrenare
de aer. Disiparea energiei este moderată. În aval jetul oscilant produce valuri
care se propagă la distanţe apreciabile. Acest tip de salt reprezintă forma de
trecere spre saltul perfect.
hh
E∆
C C
a mc r
a v
h 'h ' ' h
Fig. 14.3. Saltul cu jet oscilant Fr’ = 6...20
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 192
40. Saltul stabil (perfect) (fig. 14.4) ia naştere pentru
Fr’ = 20...80. Este forma caracteristică de salt. Jetul, format din curentul
rapid din amonte, pătrunde sub curentul lent din aval şi se menţine stabil pe
patul albiei pe o distanţă de circa 70% din lungimea saltului, după care se
produce integrarea rapidă a jetului în curentul aval. Deasupra jetului se
formează un curent de întoarcere, compus din câteva vârtejuri cu ax
orizontal. Suprafaţa liberă este înclinată. În zona vârtejurilor şi în zona de
amestec a jetului cu curentul aval turbulenţa are intensitate foarte mare, care
conduce la disipări intense de energie, care ajunge la 30...70 % din energia
specifică din amonte (în funcţie de Fr’). Zona vârtejurilor este caracterizată
prin antrenare puternică de aer, cu aspect alb lăptos. Sub efectul turbulenţei
suprafaţa liberă se destramă, în interiorul vârtejurilor pătrund numeroase
bule de aer, care sunt antrenate şi în zona de amestec a jetului cu curentul
aval şi sunt antrenate şi în aval până ce ajung la suprafaţă sub efectul forţei
arhimedice.
Saltul are poziţie relativ stabilă, secţiunile de intrare şi ieşire se
deplasează puţin în lungul curentului. Suprafaţa liberă în aval rămâne relativ
netedă.
h h '
h ' 'h h
a
E∆
a m
c ra v
C C
ls
I I
IE '
E ' '
Fig. 14.4. Saltul perfect Fr’ = 20...80
Caracteristicile saltului perfect. Acest tip de salt poate fi privit ca
o undă staţionară la care se observă două zone distincte, între care există un
schimb continuu de particule: - zona superficială, I, în care particulele sunt antrenate într-o
mişcare de vârtej cu axe aproape orizontale, transversale pe curent, în care
este antrenată şi o importantă cantitate de aer; - zona inferioară, II, care se prezintă ca un curent – jet – care se
lărgeşte pe verticală spre aval şi apoi se integrează în curentul aval,
antrenând în mişcare şi o parte din bulele de aer din zona I. Distribuţia
vitezelor în lungul saltului are forma din fig. 14.5.
Hidraulică vol. II 193
u 1+
-
C C
Fig. 14.5. Distribuţia vitezei în saltul hidraulic perfect
Parametrii hidraulici la intrare în salt se notează cu –’- iar la ieşire
cu –”- caracteristice fiind :
a). secţiunile de intrare A’ şi de ieşire A”;
b). adâncimile de intrare h’ şi de ieşire h”, numite şi adâncimi
reciproce sau conjugate;
c). lungimea saltului ls este distanţa în lungul curentului între
secţiunile de intrare şi de ieşire;
d). supraînălţarea în salt, a = h”-h’; e). energia pierdută prin salt ∆E = E’-E”.
5. Saltul dezvoltat (violent) are loc pentru Fr’ > 80 (fig. 14.6).
Păstrează aspectele saltului perfect privind formarea vârtejurilor de
suprafaţă, antrenarea aerului, generarea turbulenţei accentuate. Creşte
intensitatea disipării energiei care poate ajunge la 80 % din energia specifică
a curentului amonte. Pentru acest tip de salt este caracteristică instabilitatea
poziţiei pe albie, prezintă o mişcare de pendulare, deplasându-se spre aval,
apoi revenind spre amonte. Această mişcare de pendulare amonte – aval
generează valuri în aval. Datorită turbulenţei pronunţate, pulsaţiile presiunii
solicită construcţiile hidrotehnice şi materialele din care acestea sunt
realizate.
hh
E∆
C C
a mc r
a v
h '
h ' ' h
Fig. 14.6. Saltul violent Fr’ > 80.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 194
14.1.2. Ecuaţia fundamentală a saltului hidraulic
în albii orizontale.
Analiza curentului într-o albie orizontală la ieşirea de sub o stavilă
arată stare rapidă şi conform cu cele prezentate în capitolul 13 adâncimea
creşte spre aval după o curbă de supraînălţare c0. Dacă albia este suficient de
lungă şi se termină cu o cădere, curentul revine la stare lentă şi suprafaţa
liberă coboară spre adâncimea critică după o curbă de coborâre b0. Trecerea de la starea rapidă (curba c0) la starea lentă (curba b0) se
realizează prin discontinuitatea suprafeţei libere, prin saltul hidraulic
(fig. 14.7.)
a
hzon a d ev a rte ju ri
cu ren tp r in c ip a l
NA
V '
V ''B
D b0
le
' ''h
h ''
hc r
h '
B '
A '
N 'e
em in e '' e '0
C0
r
D '
R ''
R '
Fig. 14.7. Energetica saltului hidraulic
Trecerea de la starea rapidă la starea lentă după o suprafaţă
continuă ABD nu este posibilă, hg
ve +
⋅=
2
2α, de/dl = dhr/l, întrucât z
= c şi hr creşte spre aval, deci dhr/dl > 0, iar pentru I = 0, de/dl < 0. Pentru
suprafaţa liberă ABD, ultima condiţie este satisfăcută pe porţiunea AB, dar
pe porţiunea BD graficul energiei specifice e indică creşterea, de/dl > 0. Energia specifică ar trebui să urmeze curba A’B’D’, însă creşterea B’D’ este
imposibilă. Contradicţia este rezolvată prin apariţia saltului hidraulic prin
care graficul energiei specifice urmăreşte curba A’D’ (prin salt), apoi în
curba b0 D’B’. În curba c0 energia specifică urmăreşte curba N’A’. Fie secţiunile ΄ şi ˝ două secţiuni drepte situate aval şi amonte de
salt (fig. 14.8.). Se acceptă în aceste secţiuni o repartiţie hidrostatică a
presiunii. Se consideră volumul de control mărginit de secţiunile ΄, ˝, pereţii
canalului cilindric, şi suprafaţa liberă pentru care se aplică ecuaţia teoremei
impulsului sub forma (6.82)
( ) GFFvvQF pp +″
+′
+′′′′−′′⋅= ββρ (6.82)
Hidraulică vol. II 195
h'
h'
h''
h''
e∆
h
hcr
emin e'' e' e
Fp'V'
V''
GFp''
' ''h''
hcr
h'
G
G'A' G''
A''G
h
(h')= (h'')
(h)
h'
h''
ls
θ
θ θ θ
Fig. 14.8. Schemă pentru calculul ecuaţiei saltului hidraulic
Proiectând ecuaţia după axa albiei, se obţine
( ) 0=″
−′
+′′′′−′′⋅ pp FFvvQ ββρ
în care:
p GF p A h Aγ′ ′′ ′ ′= = ⋅ şi
p GF p A h Aγ″ ″′′ ′′ ′′= = ⋅
cu hG’ şi hG” adâncimile centrelor de greutate ale secţiunilor A’ şi A”. Explicitând vitezele din ecuaţia de continuitate:
A
Qv
′=′ şi
A
Qv
′′=′′
după înlocuire şi gruparea termenilor se obţine ecuaţia saltului hidraulic:
AhAg
QAh
Ag
QGG ′′⋅″
+′′
⋅′′=′⋅
′+
′
⋅′ 22 ββ (14.1)
Pentru o secţiune cilindrică (sau prismatică) dată toate elementele
geometrice variabile sunt în funcţie de adâncimea h, deci se poate defini
funcţia
( )2
G
Qh h A
g A
βθ = ⋅ + ⋅ (14.2)
care este funcţia saltului. Ecuaţia (14.1) arată că funcţia saltului ia valori egale în secţiunile
de intrare şi ieşire din salt pentru adâncimile conjugate h’ şi h”. În domeniul h∈(0, ∞) funcţia (14.2) este continuă, iar pentru:
h→0 rezultă θ(h)→∞, şi h→∞ rezultă θ(h)→∞,
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 196
însă pentru valori finite pentru h, θ(h) ia valori finite, deci funcţia saltului
admite un minim pentru ( )
0=dh
hdθ.
Efectuând derivata
( )
dh
Ahd
dh
dA
gA
Q
dh
hd G )(2
2 ⋅+⋅
⋅−=
βθ
conform figurii 14.9. rezultă:
- pentru o creştere dh a adâncimii, creşterea momentului static este:
Fig. 14.9. Schema derivării momentului static hGA.
22
)()(2h
BhAhAh
hBhhAAh GGG
∆−∆⋅=⋅−
∆∆⋅+∆+=∆ .
Trecând la limită, pentru ∆h→0, cantitatea
( ) ( )
Ah
hBhA
dh
hAd
h
hAh
GG
h=
∆
∆+∆⋅
=⋅
=∆
⋅∆
→∆→∆
2limlim
2
00
respectiv dA/dh = B. După înlocuiri se obţine:
13
2
=⋅⋅
A
B
gA
Qβ (14.3)
Pentru β~1 funcţia saltului este minimă pentru Fr=1, adică pentru
adâncimea critică, hcr (fig. 14.10).
h''
h'
h
e∆
e(h)
e(h)(h)
e'' e'
cr
(h)
h
Fig. 14.10. Graficul funcţiei saltului şi energiei specifice ale secţiunii în salt
B
h
dh
hA
G
dA
G
x'
x
Hidraulică vol. II 197
10. Calculul parametrilor saltului hidraulic
Se urmăreşte determinarea adâncimilor conjugate h’ şi h”, a
energiei specifice pierdute prin salt, ∆e, creşterea nivelului prin salt, a şi
lungimea saltului, ls.
10.a. Calculul adâncimilor conjugate
a1. La calculul manual, cunoscând una dintre adâncimile conjugate,
cu ajutorul funcţiei saltului prin calcul analitic (dacă este posibil) sau iterativ
se poate determina cealaltă adâncime ştiind că pentru adâncimile reciproce,
situate sub şi deasupra adâncimii critice, funcţia saltului ia valori identice.
Mai este necesară cunoaşterea debitului şi a formei secţiunii transversale ale
albiei.
Se presupune cunoscută h’. Cu (14.2) se determină θ(h’): Se
compară h’ cu hcr apoi cu valori pentru h” în partea opusă lui hcr faţă de
unde este situat h’ prin calcul iterativ se calculează θ(h”) după (tab. 14.1).
Calculul adâncimilor conjugate ale saltului
Tabelul 14.1
Adâncimea A hG θ(h) h'
h"
Calculul se consideră terminat când, pentru eroarea admisă,
hhh ii ′′<″
−″
+ ε1 este satisfăcută condiţia ( )
″
<′<
″
+1ii hhh θθθ .
a2. La calculul grafic se reprezintă funcţia saltului (fig. 14.10)
pentru albia cu forma secţiunii transversale şi debitul Q cunoscute,
calculându-se valoarea funcţiei saltului pentru câteva adâncimi inferioare şi
superioare adâncimii critice. Graficul trebuie să aibă scara corespunzătoare
preciziei de calcul. Cunoscând una dintre adâncimile reciproce din grafic
rezultă cealaltă.
a3. Calculul automat se efectuează pe bază de program întocmit
după schema logică după a1 (fig. 14.11). În prealabil sau combinat trebuie
calculată şi adâncimea critică (după 13.2.3).
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 198
Fig. 14.11. Schemă logică pentru calculul adâncimilor conjugate
prin aproximaţii succesive.
Programul simplu poate fi scris în unul dintre limbajele de programare.
În cazul albiilor de secţiune dreptunghiulară funcţia saltului se
particularizează, prin A’ = b⋅h’; A” = b⋅h”, hG’ = h’/2, hG” = h”/2 şi q = Q/b,
' 2 2 '' 2
2 2
q h q h
gh gh
β β′ ′′⋅ ⋅+ = +
′ ′′ (14.4)
Cunoscând una dintre adâncimile conjugate cealaltă se poate explicita
pentru β΄ = β˝ = β, obţinând:
−
′′
⋅+
′′=′ 1
81
2 3
2
hg
qhh
β
sau (14.5)
−
′
⋅+
′=′′ 1
81
2 3
2
hg
qhh
β
Hidraulică vol. II 199
Acceptând β ≈ α şi utilizând (13.21) ecuaţiile (14.5) se mai pot scrie.
−
′+
′=′′
−
′′+
′′=′
18
12
18
12
3
3
3
3
h
hhh
h
hhh
cr
cr
(14.6)
sau cu (hcr/h)3 = Fr.
( )
( )1812
1812
−′+′
=′′
−′′+′′
=′
rFh
h
rFh
h (14.7)
A doua adâncime conjugată rezultă din calcule aproximativ cu 2,5...4%
superioară valorilor obţinute experimental. Diferenţele dintre rezultatele
teoretice şi experimentale sunt puse pe seama aerării şi transportului în aval
a aerului înglobat în curentul de lichid.
10.b. Energia pierdută în saltul hidraulic
Pierderile de energie prin saltul hidraulic se datoresc turbulenţei
intense în salt, a transportului de masă dintre cele două zone şi dintre
macrovârtejuri şi atmosferă, precum şi datorită energiei consumate pentru
întreţinerea mişcării macrovârtejurilor. Frecările la suprafaţa solidă a albiei
sunt mici în comparaţie cu celelalte pierderi.
Scriind diferenţa energiilor specifice la intrare şi ieşire din salt,
avem:
′′⋅+′′−
′+′=′′−′=∆
g
vh
g
vheee
22
2
2
2
1 αα (14.8)
care, particularizată secţiunii dreptunghiulare, devine:
( )
hh
hhe
′′′
′−′′=∆
4
3
(14.9)
10.c. Creşterea nivelului prin saltul hidraulic
Creşterea de nivel prin salt are loc prin transformarea energiei
cinetice de la intrare în energie potenţială la ieşire cu valoarea:
hha ′−′′= (14.10)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 200
10.d. Lungimea saltului hidraulic
Lungimea saltului, ls, se defineşte de obicei ca lungimea zonei de
macrovârtejuri, măsurată de-a lungul albiei. Până în prezent nu există o
teorie unitară asupra lungimii saltului şi din acest considerent există pentru
definirea sa un mare număr de relaţii semiempirice şi empirice.
O informaţie asupra lungimii saltului furnizează teorema
produselor a analizei dimensionale, care conduce la
)( rFfhls ′⋅′= (14.11)
fiind considerate mărimi care influenţează h’, v’, ρ şi g în cazul canalelor de
secţiune dreptunghiulară.
De tipul relaţiei (14.11) sunt formulele:
- Smetana ( )3183 −+′′= rFhls (14.12)
- Woycicki ( )2412188160
−′−+′′
= rFrFh
ls (14.13)
care pentru Fr’ < 250 mărginesc inferior şi superior lungimile experimental
obţinute. Tot relaţiile de această formă este:
- relaţia lui M. D. Certousov
( ) 81,0
13,10 −′′= rFhls (14.14)
Alte relaţii empirice exprimă lungimea saltului în albii
dreptunghiulare în funcţie de h”:
- Safranez ls = 4,5⋅h” (14.15)
- Bradley – Peterka ls = 6,15⋅h”, 40 ≤ Fr’ ≤ 120 (14.16)
Multe relaţii exprimă lungimea saltului în funcţie de înălţimea
acesteia:
,ls m a= ⋅ (14.17) cu m = 5...7, astfel:
- Kumin – Smetana ls = 6·a (14.18)
- Iamandi ls = 6,52·a (lgFr’)-0,43 (14.19)
În albii de secţiune trapezoidală, pentru calcule preliminare se
poate utiliza relaţia lui Posey şi Hsing
′
′−′′+′′⋅=
B
BBhls 415 (14.20)
Pentru lucrări hidrotehnice importante lungimea saltului se determină
experimental pe modele hidraulice.
Hidraulică vol. II 201
14.1.3. Ecuaţia saltului hidraulic în albii dreptunghiulare
cu pantă mare
În cazul unui canal uniform de secţiune dreptunghiulară şi pantă
I ≠ 0 legătura între adâncimile conjugate, într-o primă aproximaţie, se poate
stabili conform fig. 14.12, astfel:
Fig. 14.12. Schemă pentru calculul adâncimilor
conjugate în canale cu pantă
Presiunile relative în punctele M’ şi M” sunt respectiv p1 = γ·h’ şi p2 = γ·h”
şi se consideră ca la 14.1.2. Greutatea lichidului pe unitate de lăţime este:
( )
MMhh
G ′′′⋅′′+′⋅
=2
γ.
Aplicând ecuaţia teoremei impulsului volumului de control sub forma (6.82)
şi proiectând pe orizontală, pentru albie de lăţime unitară, rezultă:
( ) 0cos =⋅+′′−′+′′′′−′′⋅ ϕββρ GpFpFvvq (14.21)
care pentru β’=β”=1 devine:
( ) ( ) zhhhhvvq ∆′′+′⋅+′′⋅−′⋅=′′−′⋅ γγγρ2
1
2
1
2
1 22 (14.22)
Utilizând ecuaţia de continuitate pentru lăţimea unitară h’v’ = h”v”, după
împărţire prin γ ecuaţia (14.22) devine
022
2
1
222223 =
′⋅′+′′
′⋅′+∆⋅′+′−′′⋅∆−′′
g
vhh
g
vhzhhhzh (14.23)
din care se determină pe h” în funcţie de h’. Din ecuaţia energiei scrise secţiunilor de intrare şi ieşire din salt, cu
α1 = α2 = 1, rezultă
2
2
2
2
1 vvzhhhr
−+∆+′′−′= (14.24)
pierderea de sarcină în salt.
Înălţimea saltului în canale înclinate de secţiune dreptunghiulară se
poate determina cu relaţia empirică propusă de G. N. Kosiakova
h'
'v' /2g
h''
''v'' /2g
h
α α
' ''
h
zI
M''
M'
l
le
Ss
Sf
2 2
r1-2
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 202
( )Iaaî ⋅−= 75,11 (14.25)
a fiind înălţimea saltului în albie orizontală.
Lungimea saltului se poate calcula cu relaţia (14.17) pentru panta
canalului I < 1/3.
14.2. ALTE FORME DE MIŞCĂRI PERMANENTE
RAPID VARIATE ALE CURENŢILOR
CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ
Saltul hidraulic este singura mişcare rapid variată care se poate
produce într-un canal uniform. Alte tipuri de mişcări rapid variate se produc
în canale uniforme cu singularităţi. Pe anumite porţiuni scurte în raport cu
lungimea canalului singularităţile produc pierderi locale de energie şi
redistribuţia energiei specifice pe termenii – cinetic şi potenţial.
14.2.1. Pragul urcător este o construcţie într-un canal uniform
care produce variaţia rapidă a pantei fundului. Poate fi bruscă sau treptată,
aceasta din urmă poate fi realizată după plan înclinat sau profilat
hidrodinamic (fig. 14.13).
he he
d
h
e h h e
d
e h h e
d
le lele
a b c
v v1
1
1 22
2
r
11 2
2 11
22
Fig. 14.13. Forma pragului urcător
În funcţie de starea mişcării din amonte forma suprafeţei libere ia
forme diferite.
Pentru analize se consideră o treaptă urcătoare de înălţime d, situată
pe un canal uniform cu pantă nulă în exteriorul treptei. Treapta este profilată
hidrodinamic, astfel încât într-o primă aproximaţie se pot neglija pierderile
de sarcină (fluid eulerian). Se consideră două secţiuni drepte, amonte şi aval
de treaptă, suficient de departe pentru a se putea admite în vecinătatea lor
liniile de curent drepte paralele. Fundul canalului, secţiunile considerate şi
suprafaţa liberă definesc volumul de control (fig. 14.14).
În secţiunea 1 sarcina hidrodinamică, faţă de planul fundului
canalului amonte (pentru α = 1) este:
Hidraulică vol. II 203
11
2
11
2eh
g
vH =+= ,
iar în secţiunea 2:
dedhg
vH +=++= 22
2
22
2.
Pentru lichid eulerian H1 = H2 şi e1 =e2 + d.
h
d
h
1 2le
wv v
h
h
h
h
e
e ( h )1
1 2
1
2
c r
2 1
B
BN
N
M M
e e
1
21
2
2 1
2 1
2
d
Fig. 14.14. Analiza suprafeţei libere la prag urcător
În cazul stării lente a curentului se observă că g
vBNBN
g
v
22
2
22211
2
1 =<= ,
respectiv 222111 hNMNMh =>= , deci:
1
22
21
1
22
1
22
222222
hg
v
g
vh
g
ve
g
vdedh <−+=−=−+=+
şi suprafaţa liberă coboară la prag urcător.
Aplicând ecuaţia teoremei impulsului pentru canal de secţiune
dreptunghiulară şi lichid eulerian (s-au neglijat frecările), se obţine:
( )
022 2
2
1
22
2
2
1 =⋅
−⋅
++
−gh
q
gh
qdhh αα (14.26)
în care q = Q/b şi α1 = α2 = α. Ţinând seama de natura reală a lichidului se obţine:
( )
022 2
2
1
2
2
1
22
2
2
1 =⋅
−⋅
+−+
−gh
q
gh
qd
gh
qdhh αας (14.27)
în care ζ este coeficientul de rezistenţă a pragului urcător (cap. 12). Linia
energiei coboară datorită pierderilor de sarcină (fig. 14.13a).
În mod analog se poate demonstra că în cazul stării rapide a
curentului nivelul creşte după pragul urcător (ne situăm pe curba energiei
specifice a secţiunii sub adâncimea critică).
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 204
14.2.2. Treaptă coborâtoare
Pentru analize se consideră treaptă coborâtoare (fig. 14.15) cu
înălţimea d situată pe un canal uniform cu pantă nulă în exteriorul treptei. Se
acceptă ipoteze asemănătoare treptei urcătoare.
wv v
h
h
h
h
e
1 1 2
2
1
B
BN
N
M M
e e
2
12
1
1 2
1 2
2
d
e
h
d
h
e1
2
c r
Fig. 14.15. Analiza suprafeţei libere la prag coborâtor
Faţă de planul de referinţă – fundul canalului aval, pentru
α1 = α2 = 1 rezultă dedhg
vH +=++= 11
2
11
2 şi 22
2
22
2eh
g
vH =+= , întrucât
pentru lichid eulerian H1=H2, se obţine e1 + d = e2. În cazul stării lente a
curentului
g
vBNBN
g
v
22
2
22211
2
1 =>= , respectiv 222111 hNMNMh =<= , deci:
2
2
1
2
22
2
12
2
111
2222h
g
v
g
vh
g
ve
g
vdedh <−+=−=−+=+
şi suprafaţa liberă creşte la pragul coborâtor.
Aplicând ecuaţia teoremei impulsului pentru volumul de control W
(neglijând frecările), se obţine:
( )
022 2
2
1
22
2
2
1 =⋅
−⋅
+−+
gh
q
gh
qhdh αα (14.28)
Ţinând seama de pierderile de sarcină, avem:
( )
0222 2
2
1
2
2
1
22
2
2
1 =⋅
−⋅
+⋅+−+
gh
q
gh
qd
gh
qhdh αας (14.29)
Valoarea coeficientului de rezistenţă locală la pragul coborâtor are valori
negative (ζ = -0,5...-1,0).
Ecuaţiile (14.27) şi (14.29) reprezintă legătura funcţională între
adâncimile de dinainte şi după singularitate.
Hidraulică vol. II 205
În cazul stării rapide a curentului la prag coborâtor nivelul apei
scade după acesta.
14.2.3. Prag de fund (fig. 14.16)
Această singularitate produce o variaţie a adâncimii curentului,
forma suprafeţei libere poate fi explicat calitativ prin combinarea efectelor
de la pragul urcător şi coborâtor. La intrarea pe prag şi pe aceasta are loc o
coborâre a nivelului apoi la trecerea după prag nivelul creşte.
h
e
v /2g
he
v /2g
h
d
α
α
12
22
1
1
r1 - 2
22
F p2
Fp1F F 2
W
V 1 V 2
12
l e
1l l
Fig. 14.16. Analiza suprafeţei libere la pragul de fund
Aplicând ecuaţia teoremei impulsului cu β1 = β2 = 1
( ) 0212121 =++++−⋅ llpp FFFFVVQρ (14.30)
pentru canal de secţiune dreptunghiulară, acceptând pe feţele pragului
distribuţia hidrostatică a presiunii Fl1 = γbd (2h1-d)/2 şi Fl2=γbd(2h2-d)/2,
respectiv cu Fp1 = γbh12/2 şi Fp2=γbh2
2/2 şi utilizând Fr1=v12/gh1, obţinem:
−−
−+⋅=
1
2
1
11
2 212
182 h
d
h
dFr
hh (14.31)
care este relaţia între h1 şi h2.
Pierderea de sarcină produsă de treaptă este:
( )( )
−⋅−−=
−−−=
2
12
2
121
2
11
2
1
2
221
/
/1
21
2 hh
hhFr
h
hh
g
vvhhhr (14.32)
Coeficientul de rezistenţă hidraulică a pragului în forma de
exprimare Weisbach devine:
1/1
211
12
2
1
2 −
−+
=
Fr
hh
h
hpς (14.33)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 206
14.2.4. Pilă în albie
Pilele de pod constituie un exemplu de discontinuitate în canale
uniforme şi se referă la modificarea lăţimii canalului (fig. 14.17).
Fenomenul de mişcare are caracter spaţial şi din acest considerent
metoda utilizată anterior nu este indicată. Pentru coeficientul de rezistenţă
locală ζ se folosesc relaţiile empirice.
Cel mai frecvent caz este atunci când starea mişcării este lentă atât
în amonte cât şi în aval.
Pila produce în amonte o supraînălţare ∆h = h1 - h2. Adâncimea din
aval poate fi considerată adâncimea normală, h2 = h0, in amonte
formându-se o curbă de supraînălţare a1.
h
h
v / 2 g
h
v / 2 g
h
α
αh l e
1
c r
2
12
22
r
Fig. 14.17. Forma suprafeţei libere la pile
Supraînălţarea ∆h se poate calcula cu relaţia lui Rehbock
( ) ( )[ ]g
v
gh
vhhh
2114,09
2
2
2
2
23
21
+−−++⋅=−=∆ τµτµµµ (14.34)
unde µ este un coeficient adimensional (µ ≈ 0,8 la pile de formă
hidrodinamică şi µ ≈ 0,4 la pile de secţiune dreptunghiulară), iar τ = Ap/A
este reducerea relativă a secţiunii datorită pilelor (Ap – secţiunea ocupată de
pile, A – secţiunea vie la h0).
14.3. APLICAŢII
10. Să se determine parametrii saltului hidraulic care se formează
într-un canal de secţiune trapezoidală, cunoscând: b = 1,2 m; m = 1,50; Q = 8 m
3/s; h’ = 0,5 m şi α = α0 = 1,0.
Hidraulică vol. II 207
Rezolvare.
a. Determinarea adâncimii conjugate În canale trapezoidale adâncimile conjugate nu se pot explicita
reciproc, ele se calculează cu ajutorul funcţiei salt prin aproximaţii
succesive (calcul manual sau automat) sau grafic.
( ) ( )
( )
mhb
mhbh
bB
bBhh
mhbhA
hAhAg
QAh
Ag
Qh
G
GG
+
+⋅=
+
+⋅=
+=
′′=′′′′+′′
⋅′′=′⋅′+
′
⋅′=
23
6
2
3
20
20 θ
ααθ
a.1. Aproximaţii succesive prin calcul manual Se calculează cu elementele cunoscute θ(h’) apoi se dau valori
pentru h” > hcr, utilizând metoda coardei. Se calculează elementele A”, hG”
şi θ(h”). Calculul se consideră terminat când |h”i+1-h”i| ≤ εh, care se admite
εh = 1,0 cm. Rezultatele sunt centralizate în (tab. 14.2).
Tabelul 14.2
h (m)
A (m
2)
hG (m)
θ(h) (m
3)
0,50 0,975 0,218 6,904
1,50 5,175 0,588 4,298
2,0 8,400 0,762 7,177
1,90 7,695 0,727 6,443
1,95 8,044 0,745 6,800
1,96 8,114 0,748 6,873
1,97 8,185 0,751 6,948
a.2. Aproximaţiile prin calcul automat folosesc schema logică din
fig. 14.11. Pentru limita inferioară a domeniului de variaţie a lui h” se
consideră h” = hcr.
Valorile obţinute pentru εh = 10-4 m, sunt:
h” = 1,964 m;
hG” = 0,7494 m;
A” = 8,1435 m2;
θ(h”) = 6,9042 m3;
θ(h”) - θ(h’) = 4,5·10-4
;
δ(θ) = 0,065 ‰.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 208
b. Înălţimea saltului a = h” - h’ = 1,96 - 0,50 = 1,46 m. c. Energia specifică pierdută prin salt
mCA 92,1114,881,92
896,1
975,081,92
850,0
22
2
2
2
2
2
2
2
2
=
⋅⋅+−
⋅⋅+=
=
′′
⋅+′′−
′
⋅+′=′′−′=∆
Ag
Qh
Ag
Qheee
αα
d. Lungimea saltului
m 4,662,4
2,496,124196,15415 =
−+⋅=
′
′−′′+′′=
B
BBhls
B” = b + 2mh” = 1,2 + 2⋅3⋅1,96 = 12,96 m
B’=b + 2mh’ = 1,2+2·3·0,5=4,2 m
e. Calculul grafic al adâncimii conjugate se face cu ajutorul epurii
funcţiei saltului. Pentru diverse valori ale lui h se construieşte graficul θ(h) şi e(h) apoi din grafic se extrag h”, a, şi ∆e (tab. 14.3 şi fig. 14.18).
Tabelul 14.3
h (m)
θ(h) (m
3)
e(h) (m)
h (m)
θ(h) (m
3)
e(h) (m)
0,45 7,899 5,032 1,20 3,540 1,452
0,50 6,904 3,931 1,30 3,706 1,495
0,60 5,502 2,655 1,40 3,960 1,553
0,70 4,608 2,015 1,50 4,298 1,622
0,80 4,038 1,685 1,60 4,717 1,698
0,90 3,693 1,519 1,70 5,214 1,780
1,00 3,516 1,447 1,80 5,789 1,866
1,05 3,479 1,434 1,90 6,443 1,955
1,087 3,472 1,431 1,964 6,903 2,013
1,10 3,473 1,432 2,00 7,177 2,047
Hidraulică vol. II 209
θ
1 2 3 4 5 6
3 4 5 6 7 80 ,2
0 ,4
0,6
0,8
1,0
1 ,2
1 ,4
1 ,6
1 ,8
2 ,0
a=1,46 m
e= 1,90 m
hcr
e(h )
(h)
h '= 0 ,5 m
h ''= 1 ,96 m
e '' e '(m )
e(m )
h(m )
θ
3∆
Fig. 14.18. Calculul grafic al elementelor saltului
20. Să se determine tipul şi parametrii saltului hidraulic care se
formează într-un canal orizontal de secţiune dreptunghiulară, cunoscând:
Q = 4 m3/s; b=2,0 m şi h”=1,50 m; (α=1,09).
Rezolvare.
Adâncimea critică:
m 763,0281,9
409,13
2
2
32
2
=⋅
⋅=
⋅
⋅=
bg
Qhcr
α
Prima adâncime conjugată a saltului:
m 325,0150,1
763,081
2
50,1181
2
33
=
−
+=
−
′′+
′′=′
h
hhh cr
Înălţimea saltului:
A = h” - h’ = 1,50-0,325 = 1,175 m
Energia specifică pierdută prin salt:
( ) ( )
m 83,0325,050,14
325,050,1
4
33
=⋅⋅
−=
′′′
′−′′=∆
hh
hhe
Lungimea saltului (după Kumin şi Smetana)
ls = 6(h” - h’) = 6(1,50 - 0,325) = 7,05 m
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 210
Numărul Fr’:
( )
( )9,11
325,0281,9
432
2
32
22
=⋅⋅
=′
=′
′=′
hgb
Q
hg
vrF
Tipul saltului: pentru 6 < Fr’ < 20, salt cu jet oscilant.
Hidraulică vol. II 211
CAPITOLUL 15
RACORDAREA BIEFURILOR
Se defineşte bief un sector al unei albii deschise, cuprins între două
discontinuităţi ale acesteia care determină, în general, o schimbare
accentuată a tipului de curgere. Astfel pot fi privite ca discontinuităţi:
trecerea bruscă de la o pantă la alta (schimbare de pantă), trecerea curentului
peste deversoare sau orificii, căderea pe o treaptă sau pe mai multe trepte,
trecerea peste un prag, prag urcător, trecerea prin lărgiri sau îngustări de
secţiune ş.a. Astfel de discontinuităţi ale albiei influenţează substanţial
nivelul şi forma suprafeţei libere a curentului.
Mişcarea permanentă a unui curent cu suprafaţă liberă se compune
dintr-o succesiune de biefuri, cu mişcări gradual variate de diferite tipuri
(determinate de caracteristicile fiecărui bief), racordate în dreptul
discontinuităţilor, pe porţiuni mai scurte, de mişcări permanente rapid
variate. De obicei discontinuităţile mici, neimportante influenţează
nesemnificativ suprafaţa liberă şi sunt luate eventual în calcul ca o
modificare a rugozităţii sau se neglijează. Modificările importante ale
continuităţii albiei determină variaţii importante ale nivelului şi trebuiesc
luate în seamă în calcule. Starea mişcării pe biefuri influenţează hotărâtor
fenomenele hidraulice de pe biefuri şi racordarea lor în dreptul
discontinuităţilor.
15.1. PROPAGAREA PERTURBAŢIILOR
ÎN ALBII DESCHISE
Se cunoaşte că starea mişcării într-o albie deschisă poate fi lentă
sau rapidă. Forţa de greutate are un rol determinant în cazul mişcărilor cu
suprafaţă liberă, mişcările fiind caracterizate şi de numărul Froude. Fie
mişcarea unui lichid cu viteza v la adâncimea h, caracterizată de numărul
Fr = v2/gh, într-un canal dreptunghiular. Valoarea critică Fr = 1 delimitează
cele două stări ale curentului.
Se consideră un val plan călător izolat care se deplasează cu
celeritatea c într-un lichid greu, de adâncime h, aflat iniţial în repaus, iar
ABCD o suprafaţă de control fixă în raport cu sistemul de referinţă
(fig. 15.1.b).
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 212
l
h
h
∆
a .
e
e
Wb .
B
C
A D
- c- ( c - v )∆
h∆
h
Fig. 15.1. Schemă pentru calculul celerităţii
Se presupune că l >> h şi ∆h << h, respectiv forma valului se
conservă. Se acceptă că liniile de curent sunt paralele între ele în dreptul
secţiunilor AB şi CD şi că repartiţia presiunii este după legea hidrostaticii. În
ipoteza modelului de lichid eulerian vitezele pe secţiunile AB şi AC sunt
uniforme şi nu există frecare.
Aplicând volumului W teorema impulsului se obţine:
[ ]22
2
1hhhgVhc ∆+∆⋅⋅=∆⋅⋅ (15.1)
Ecuaţia conservării masei arată că:
( ) ( )hhVchc ∆+⋅∆−=⋅ (15.2)
Din cele două ecuaţii se obţine celeritatea undei (volumului)
∆⋅+≅
∆⋅+=
h
hgh
h
hghc
4
31
2
31
2
1
(15.3)
care pentru ∆h << h conduce la relaţia lui Lagrange
ghc = (15.4)
Revenind la mişcarea din canalul dreptunghiular şi admiţând că
perturbaţiile care se propagă în canal au caracteristicile valului considerat şi
că există sau nu o mişcare în acel canal rezultă următoarele:
a). la echilibrul static al lichidului perturbaţiile se propagă cu
viteza c în toate direcţiile, valul având forma unui cerc care se lărgeşte după
raza r cu viteza c (fig. 15.2.a);
b). la mişcarea în stare lentă în canal Fr < 1, cghv =+< şi o
perturbaţie se propagă în amonte cu viteza |c-v|, iar spre aval |c+v|; (fig. 15.2.b);
c). în starea critică a mişcării din canal Fr = 1 şi |v|=|c| şi o
perturbaţie spre amonte nu se propagă, produce un front de undă staţionar,
Hidraulică vol. II 213
iar spre aval viteza de propagare este |c+v|. Unda propagată în formă de
cercuri va fi tangentă în amonte la punctul de perturbare; (fig. 15.2.c);
d). în starea rapidă a curentului din canal |v|>|c|, iar perturbaţiile
nu se pot propaga în amonte, ele sunt antrenate în aval (fig. 15.2.d).
Unghiul de propagare a frontului undei se defineşte prin:
v
carcsin=θ (15.5)
şi are valori diferite în funcţie de starea curentului: în stare rapidă θ < π/2, în
stare critică θ = π/2, starea lentă θ > π/2, iar în echilibru static θ = π.
y
x x
y
x
y
x
a) v=0 b) v<c
c) v=cd) v>c
t1t2 t3
t4
t1t2
t3 t4
t1t2 t3
t4θ
Fig. 15.2. Formele de propagare a undei solitare în funcţia vitezei din canal.
Prin urmare, mişcarea lichidelor în canale regulate (prismatice,
cilindrice) în privinţa stării curentului se mai poate caracteriza după cum o
perturbaţie se poate sau nu propaga spre amonte. Observaţia este valabilă în
canale regulate dacă se consideră Fr = v2/ghm, respectiv mghc ≈ şi
hm = A/B.
Constatările prezintă importanţă în racordarea biefurilor: în stare lentă perturbaţiile se propagă din aval spre amonte; secţiunile de comandă fiind situate în aval şi în starea rapidă din amonte spre aval, secţiunile de
comandă fiind situate în amonte.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 214
15.2. TRASAREA CURBEI SUPRAFEŢEI LIBERE
LA RACORDAREA BIEFURILOR
Orice trasare şi calcul a suprafeţei libere într-un canal comportă
următoarele operaţii:
- recunoaşterea stării curentului pe biefuri;
- stabilirea secţiunilor de comandă şi calculul cotelor luciului apei
în aceste secţiuni;
- stabilirea fenomenelor hidraulice, calculul şi trasarea propriu-zisă
a suprafeţei libere.
Starea curentului pe bief se stabileşte pentru o mişcare presupusă
uniformă şi pentru condiţiile efective de adâncimi rezultate conform celor
prezentate la 13.2.4.
Secţiunile de comandă, ca regulă generală, pentru biefuri lente în
mişcare uniformă sunt situate în extremitatea aval, iar pentru biefuri rapide
aceste secţiuni se găsesc în extremitatea amonte. (v. paragraful precedent).
O secţiune de comandă este caracterizată prin faptul că impune o cotă
determinată suprafeţei libere care, în general, depinde de debit. Această
cotă, numită cotă de comandă arată dispunerea suprafeţei libere faţă de
adâncimea normală şi ceea critică.
În funcţie de această dispunere a cotei suprafeţei libere pe bieful
analizat rezultă mişcarea uniformă sau gradual variată – tipul curbei. În
concordanţă cu neregularitatea geometrică a canalului, la limita biefurilor
rezultă fenomenele hidraulice ale mişcării rapid variate la racordare. În
eventualitatea schimbării stării curentului pe bief se poate localiza şi singura
formă de mişcare rapid variată pe canalul uniform – saltul hidraulic. Plecând
de la secţiunile de comandă, din aproape în aproape se pot determina
(calcula) parametrii fenomenelor hidraulice de pe bief şi se poate construi
suprafaţa liberă.
În funcţie de discontinuităţile pe canal (acestea biefează canalul)
întâlnindu-se mai multe tipuri de racordare a două biefuri, astfel:
- racordare la schimbare de pantă;
- racordare cu lame efluente;
- alte tipuri de racordări.
Hidraulică vol. II 215
15.2.1. Racordarea biefurilor în albii regulate
(uniforme) la schimbare de pante.
Racordarea biefurilor la schimbarea pantei geometrice evidenţiază
patru situaţii caracteristice, după cum urmează:
- racordare bief lent cu bief lent;
- racordare bief rapid cu bief rapid;
- racordare bief lent cu bief rapid;
- racordare bief rapid cu bief lent.
Elementele biefului amonte se notează cu indicele 1, iar a biefului aval cu 2.
10. Racordarea bief lent cu bief lent
În această situaţie există două posibilităţi în funcţie de adâncimile
normale din cele două biefuri în cazul pantelor pozitive şi câte un caz pentru
panta biefului amonte nulă sau negativă.
10.a. Adâncimea normală în primul bief este superioară adâncimii
din bieful 2, h01 > h02. Este satisfăcută condiţia 0 < I1 < I2 < Icr. Adâncimea
critică pentru Q = ct este unică şi este situată sub adâncimile normale. Pentru ambele biefuri lente secţiunea de comandă este în
extremitatea aval. Pe bieful 2, fără alte condiţii în aval mişcarea este
uniformă, iar această adâncime comandă mişcare uniformă pe bieful 2. În
secţiunea amonte a biefului 2 adâncimea este h02, identică cu adâncimea în
secţiunea aval a biefului 1, care este secţiune de comandă, respectiv cota
luciului apei, cotă de comandă. Astfel pe bieful 1, bief lent adâncimea de
comandă este situată în zona b, hcr < h < h01 şi pe bieful 1 este mişcare
gradual variată după o curbă de coborâre de tipul b1 (fig. 15.3).
Fig. 15.3. Racordarea a două
biefuri lente la schimbare de
pantă: 0 < I1 < I2 < Icr.
10.b. Adâncimea normală pe primul bief este inferioară adâncimii
din bieful 2, h01 < h02. Este satisfăcută condiţia 0 < I2 < I1 < Icr. Adâncimea
critică în mişcare permanentă (Q = ct) este unică pentru ambele biefuri
(secţiunea transversală identică). Secţiunile de comandă pentru ambele
h
hh
Ν1
C 01
b1N1
N2
Mu
N2cr
02
0<I1<Icr
0<I2<Icr
C
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 216
biefuri sunt în avalul lor, deci pe bieful 2 fără alte condiţii se comandă
adâncimea normală h02 care se menţine pe tot bieful 2. Adâncimea în
secţiunea aval a biefului 1 este adâncimea normală din bieful 2, fiind situată
în zona a a biefului 1. Astfel, suprafaţa liberă de pe bieful 1 este o curbă de
supraînălţare de tipul a1. (fig. 15.4). Fig. 15.4. Racordarea a
două biefuri lente la
schimbare de pantă:
0 < I2 < I1 < Icr.
În aceste două cazuri analizate nici un alt tip de curbă a suprafeţei libere nu
se poate forma în afara celor menţionate.
10.c. Bieful 1 este în palier, iar bieful 2 cu pantă pozitivă şi curgere
normală lentă, deci I1 = 0, 0 < I2 < Icr. Adâncimea critică este unică în
mişcarea permanentă, pe bieful 1 există numai două zone a şi b. Bieful 2, cu
mişcare normală lentă, fără alte condiţii în aval se instalează (se comandă)
adâncime normală; se realizează mişcarea uniformă pe bief. Pentru bieful 1
în secţiunea aval se comandă adâncimea normală de pe bieful 2, situată în
zona b al biefului 1, deci pe acest bief suprafaţa liberă se dispune după o
curbă b0 (fig. 15.5).
10.d. Situaţie asemănătoare se întâmplă când panta biefului 1 este
negativă, I1 < 0, celelalte elemente menţinându-se ca în cazul c. Pe bieful 2
va fi mişcare uniformă, iar pe bieful 1 suprafaţa liberă se dispune după o
curbă b’ (fig. 15.6).
h h h h
b0b '
I1= 0
C
0 < I2 < Ic r 0 < I2< Ic r
I1< 0
CC C
M u
M u
c r0 2 c r 0 2
Fig. 15.5. Racordarea bief cu panta Fig. 15.6. Racordarea bief cu panta
nulă cu bief lent negativă cu bief lent
hh
h
N1
CN1
N2
N2
C'
Mua1
01
02
cr0<I1<Icr
0<I2<Icr
Hidraulică vol. II 217
20. Racordarea bief rapid cu bief rapid
Panta ambelor biefuri este superioară pantei critice, deci adâncimile
normale vor fi inferioare adâncimii critice. Există două cazuri în funcţie de
mărimea relativă a pantelor celor două biefuri.
20.a. Pentru Icr < I1 < I2 rezultă h01 > h02. Ambele biefuri fiind
rapide într-o mişcare uniformă, conform 15.1 secţiunile de comandă pentru
ambele biefuri sunt situate în amonte. Pe bieful 1 în amonte nefiind
condiţionări se va stabili mişcare uniformă, deci pe bieful 1 se comandă
adâncime normală h01. Această adâncime se menţine până în avalul biefului
1 şi devine adâncime de comandă pentru bieful 2. Această adâncime pe
bieful 2 este situată în zona b (între linia adâncimii normale şi critice), deci
pe acest bief suprafaţa liberă se dispune după o curbă de coborâre de tipul
b2, (fig. 15.7).
Fig. 15.7. Racordarea a
două biefuri rapide la
schimbarea de pantă:
Icr < I1 < I2.
20.b. Pentru Icr < I2 < I1 se satisface condiţia adâncimilor normale
hcr > h02 > h01. În curgere uniformă ambele biefuri sunt în stare rapidă, deci
secţiunile de comandă sunt situate în amontele biefurilor. Pe bieful 1 în
secţiunea amonte nefiind impuse alte condiţii, se stabileşte adâncimea
normală care se menţine pe tot bieful şi devine adâncime de comandă pentru
bieful 2. În bieful 2, h01 este situată în zona c, deci pe acest bief suprafaţa
liberă se dispune după o curbă crescătoare de tipul c2. (fig. 15.8).
Fig. 15.8. Racordarea a două
biefuri rapide la schimbarea de
pantă:
Icr< I 2< I1.
h
h
h
C
N1
01
MuN1
N2
N2
C
02
cr
b2
I1>Icr
I2>Icr
h h h
C
N1
01
N2
N1 02cr
C
N2
c2
I1>Icr
I2>Icr
Mu
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 218
30. Racordarea bief lent cu bief rapid
În această situaţie se disting trei cazuri, în funcţie de panta biefului
1 care este inferioară pantei critice, I1 < Icr şi poate lua valori pozitive, zero
sau negative. Starea curgerii pe bieful 1 este lentă. Pe bieful 2 panta este
superioară celei critice, I2 > Icr, şi starea curentului este rapidă. Pentru
secţiune identică pe cele două biefuri, la mişcarea permanentă adâncimea
critică (respectiv axa critică) este unică.
Pentru bieful amonte în starea lentă a curgerii secţiunea de
comandă este situată în aval, la schimbarea de pantă, iar pentru bieful aval
rapid secţiunea de comandă este în amonte, tot la schimbarea de pantă.
Secţiunea de comandă fiind comună celor două biefuri, fără a avea
condiţii suplimentare referitoare la cota (adâncimea) de comandă, nivelul în
această secţiune se obţine cunoscând legea fenomenelor naturale care tind
sa-şi minimizeze energia specifică, rezultând pentru secţiunea de comandă
(de schimbare a pantei) adâncimea critică hcr. Chiar dacă presupunem panta
biefului 2 I2→∞, cădere pe bief lent, caz în care biefurile nu se influenţează
reciproc şi în secţiunea aval al biefului 1 adâncimea este cea critică.
30.a. Pentru 0 < I1 < Icr < I2 sunt caracteristice h02 > hcr > h01. Pe
bieful 1 nivelul coboară de la cel normal în amonte la hcr în aval după o
curbă de coborâre convexă de tipul b1, iar pe bieful 2 scăderea adâncimii
continuu de la hcr spre adâncimea normală h02 în zona b după o curbă de
coborâre concavă de tipul b2. Schema nivelurilor şi variaţia energiei
specifice a secţiunii în lungul canalului sunt vizualizate în fig. 15.9.
Fig. 15.9. Racordarea bief lent cu
bief rapid 0< I1 < Ic r< I2.
Acest tip de racordare permite stabilirea următoarelor observaţii:
- trecerea de la starea lentă la cea rapidă a curentului are un aspect
continuu, dar comportă o coborâre pronunţată a suprafeţei libere în jurul
secţiunii de comandă – de schimbare a pantei. În această secţiune are loc
h
h
h
e
l
0 1
c r
0 2
b1
b2
0< I1< Ic r
I2 > Ic r
Hidraulică vol. II 219
schimbarea inflexiunii suprafeţei libere. Curgerea curentului în jurul
secţiunii are un pronunţat caracter de neuniformitate datorită modificărilor
importante în structura curentului – trecerea de la profilul de viteză
caracteristică stării lente la profilul de viteză proprie stării rapide.
Redistribuirea vitezelor apare şi la celelalte forme de racordare tratate.
- starea mişcării de pe bieful 1, cu I1 < Icr, se menţine lentă, oricât
de mare ar fi panta biefului 2, la limită când I2 > ∞, cădere pe canal, tot
principiul curgerii cu minimizarea energiei specifice a secţiunii arată
coborârea în capătul biefului 1 a adâncimii la hcr. (Datorită neuniformităţii
mişcării hcr se obţine ceva mai amonte de cădere fig. 15.10).
Fig. 15.10. Schema nivelului
în apropierea căderii.
30.b. Situaţia I1 = 0 şi I2 > Icr conduce la racordarea materializată în
figura 15.11, cu curba b0 pe bieful 1 şi b2 pe bieful 2.
30.c. Pentru I1 < 0 şi I2>Icr racordarea scoate în evidenţă curba b’ a
suprafeţei libere pe bieful 1 şi b2 pe bieful 2. (fig. 15.12).
h
h
C
cr
02 N2
Cb2
b0
N2h
h
C
C
I1<0I2>Icr
cr
02 N2
N2
b'
b2
Fig. 15.11. Racordarea bief lent cu I1 = 0 Fig. 15.12. Racordarea bief lent cu I1 < 0 cu bief rapid I2 > Icr cu bief rapid I2>Icr
La racordare bief lent cu bief rapid cele două biefuri nu se
influenţează reciproc. Adâncimea critică corespunzătoare energiei specifice
minime din secţiunea de comandă are rolul hotărâtor.
0,7hh h01
cr
b1
0< I1< Icr
cr
I2=
lhcr
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 220
40. Racordare bief rapid cu bief lent
Bief 1, rapid, este caracterizat de h01 < hcr, respectiv I1 > Icr,
secţiunea de comandă fiind situată în capătul amonte al biefului. Fără alte
condiţii suplimentare adâncimea în secţiunea de comandă este cea normală
h01, care determină mişcare uniformă pe bief.
Bieful 2, lent, este caracterizat de h02 > hcr, respectiv I2 < Icr şi
secţiunea de comandă este în avalul biefului. Fără condiţii suplimentare în
secţiunea de comandă adâncimea este cea normală, h02, care determină pe
bieful 2 mişcare uniformă pentru I2 > 0.
La racordarea celor două biefuri adâncimea trebuie să treacă de la
h01 < hcr la h02 > hcr care implică apariţia saltului hidraulic. Poziţia saltului
depinde de valoarea adâncimilor normale de pe cele două biefuri; cel puţin
una din adâncimile normale trebuie să fie una din adâncimile conjugate ale
saltului hidraulic.
La analiza fenomenului, într-o primă ipoteză, se poate accepta că
adâncimea normală din bieful 2 este adâncimea de ieşire din salt, h02 = h”.
Adâncimii de ieşire din salt h” îi corespunde o adâncime de intrare
h’, calculabilă prin funcţia saltului. În funcţie de mărimea h’ faţă de
adâncimea normală de pe bieful 1, h01 se întâlnesc trei situaţii distincte,
astfel:
40.a. dacă h’ > h01, adâncimea de intrare în salt trebuie să crească
la h’ pentru a satisface condiţiile funcţiei saltului. În această situaţie saltul se
formează pe bieful 2, între schimbarea de pantă şi secţiunea de intrare în salt
interpunându-se o curbă de supraînălţare c1 prin care adâncimea creşte de la
h01 la h’. (fig. 15.13).
h
h h '
h "= h h
C
N1
0 1
M u N2
N 1
0 1
0 2 0 2C
N 2M u
s a lt
I1> Ic r
0 < I2 < I c r
C 1
Fig. 15.13. Racordare bief rapid cu bief lent cu salt pe bieful 2.
40.b. în situaţia h’ = h01, saltul se formează cu secţiunea de intrare
situată în secţiunea schimbării de pantă, în rest pe ambele biefuri fiind
menţinută mişcarea uniformă (fig. 15.14).
Hidraulică vol. II 221
h
h = h 'h "= h h
C
N1
0 1
M u N2
N1
0 1
0 2 0 2C
N 2M u
sa lt
I1> Ic r
0 < I2 < I c r Fig. 15.14. Racordarea bief rapid cu bief lent cu începutul saltului la schimbarea de pantă
40.c. când pentru h” = h02 rezultă h’ < h01 se remarcă faptul că cea
mai mică adâncime pe canal este h01, deci adâncimea de intrare în salt va fi
h’ = h01, rezultând h” < h02, deci saltul se formează pe bieful 1. Între h” şi
h02 pe bieful 1 suprafaţa liberă se dispune după o curbă de tipul a2
(fig. 15.15).
hh
C
N 1
0 1
M u
N 2
N 1
0 1
a 2
0 2
C
N 2
M u
I1> I c r
0 < I2 < I c r
h = h ' h "
l s l
s a l t a 2
Fig. 15.15. Racordare bief lent cu bief rapid cu salt pe bieful 1
Observaţie
În situaţia când bieful 2 este orizontal sau are pantă negativă, bieful
are lungime limitată şi mişcarea pe tot bieful 2 este permanentă neuniformă,
cu fenomene de mişcări gradual, eventual rapid variate.
În condiţia 40.a, de formare a saltului pe bieful 2, pe acest bief în
ordine suprafaţa liberă se dispune curbă c0, salt, curbă b0 în cazul pantei nule şi curbă c’, salt, curbă b’ în cazul pantei negative. Pe bieful 1 mişcarea
se menţine uniformă.
În condiţia 40.b saltul se formează la schimbarea de pantă, pe bieful
1 se menţine mişcarea uniformă, iar pe bieful 2 suprafaţa liberă urmează o
curbă b0 sau b’ în funcţie de panta acestuia.
În condiţia 40.c pe bieful 1 în ordine este mişcare uniformă, salt,
curbă a2, iar pe bieful 2 curbă b0 sau b’ în funcţie de panta acestuia.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 222
50. Racordarea a trei biefuri la schimbare de pantă
Combinaţiile multiple care există la racordarea a trei biefuri fac ca
toate posibilităţile să nu fie prezentate aici. Metoda generală de studiu se va
examina pentru un singur caz particular pentru a pune în evidenţă principiile
folosite în analiză.
Se consideră un canal prismatic uniform format din trei biefuri care
în mişcare uniformă ar avea, în ordine spre aval, starea curentului rapidă –
lentă – rapidă. În funcţie de lungimea biefului 2 fenomenele de mişcare
permanentă lent şi rapid variată întâlnite sunt diferite şi au fost prezentate în
punctele 10...4
0 pentru racordarea a două câte două biefuri la schimbare de
pantă.
În cele ce urmează, lungimea biefului 2 se consideră astfel încât
saltul hidraulic să se formeze pe traseul acestui bief (fig. 15.16), iar panta
patului albiei este pozitivă, 0 < I2 < Icr.
h
h
h 'h " h
h
h
C
N1
S1 I1> Ic r0 1
M u
N 1 C 1
0 2
N 2 N 2b 1
N3c r
c r
0 3N 3
C
S 2
0 < I 2 < Ic r
I3 > Ic r
b 2
s a lt
Fig. 15.16. Schema suprafeţei libere la racordare a trei biefuri
la schimbare de pantă (R – L –R)
Secţiunea S1 din amonte este secţiunea de comandă pentru bieful 1
şi fără condiţii suplimentare, comandă mişcare uniformă pe acest bief.
Secţiunea S2 este secţiune de comandă a biefurilor 2 şi 3. S-a considerat că
pe bieful 2 starea mişcării revine la starea lentă după saltul care se formează
pe acest bief (vezi 15.2.1 punct 40.a). În partea amonte a biefului suprafaţa
liberă se dispune după o curbă de supraînălţare c1, urmată de salt hidraulic,
apoi o curbă de coborâre b1 care se sfârşeşte în secţiunea de comandă S2,
unde adâncimea este cea critică. Pe bieful 3 suprafaţa liberă va urma o curbă
de coborâre de tipul b2 (vezi fig. 15.9).
Racordarea a trei sau mai multe biefuri se analizează după
raţionamentele prezentate anterior, fiecărui caz în parte. Fiecărui bief i se
determină, după caz, adâncimea normală, critică, starea curentului, se
stabilesc secţiunile de comandă cu parametrii hidraulici corespunzători şi se
Hidraulică vol. II 223
analizează calitativ fenomenele de mişcări permanente – uniforme, lent şi
rapid variate pe biefuri. Fiecare element se calculează conform celor
prezentate în capitolele 11, 12, 13 şi 14.
15.2.2. Racordarea biefurilor în albii regulate (uniforme)
prin construcţii cu lame efluente
În unele situaţii, din necesităţi tehnice, curenţii cu suprafaţă liberă
sunt trecuţi peste deversoare, prin orificii, dând naştere la lame efluente,
jeturi, cu starea rapidă a mişcării în aval.
Cele mai simple racordări cu lame efluente sunt cele cu deversoare
de diferite tipuri – cu muchie ascuţită, profil gros, profil practic sau cu prag
lat (fig. 15.17), racordările prin orificii mari de stavilă simple sau combinate
cu praguri (fig. 15.18).
În funcţie de raportul mărimilor hidraulice înainte şi după
construcţie, în bieful aval forma racordării poate fi diferită. În bieful aval se
disting trei forme de racordare referitoare la epura vitezei după construcţie,
astfel:
p
H
H
EE
v /2g
h h h
α 02
0 V0
0
1
c cr av
a
HH
EE
v /2g02
α
00V0
hhhcr avc
b
HH
v /2gα20
E
hhav
c
c0V
0
0
0
E
Fig. 15.17. Racordare cu lame deversante
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 224
Fig. 15.18. Racordare cu lame efluente
create de orificii
- racordare cu regim de fund al vitezei în bieful aval;
- racordare cu regim de suprafaţă al vitezei în bieful aval;
- racordare cu regim mixt al vitezei în bieful aval.
Racordării cu regim de fund al vitezei îi este caracteristică situaţia
că pe profilul vitezei în secţiune, viteza maximă este situată în apropierea
patului albiei (fig. 15.19.a). Asemenea situaţie se întâlneşte în cazul când
curentul efluent atinge fundul albiei în imediata vecinătate a construcţiei.
Regimul de suprafaţă este caracterizat prin viteze maxime pe
secţiune în apropierea suprafeţei libere. Este caracteristică evacuatorilor cu
prag aval (fig. 15.19.b).
0 v
ha b
h
v0
Fig. 15.19. Profilul vitezei în albii deschise: a) regim de fund al vitezei;
b) regim de suprafaţă al vitezei
10. Racordarea biefurilor prin construcţii cu lame efluente în
regim de fund al vitezei
Se presupune un evacuator (construcţie) cu lamă efluentă –
deversor sau orificiu mare – în canal prismatic, iar bieful aval (2) de
lungime cunoscută. Pentru pantă pozitivă, I2 > 0, şi bief de lungime mare,
spre capătul aval al biefului curgerea permanentă este (sau tinde) uniformă.
La pantă I2 ≤ 0 curgerea permanentă este neuniformă.
Lama deversantă sau jetul aval de construcţie ajunge la fundul
albiei în secţiunea contractată c-c unde adâncimea de obicei este minimă şi
h
ha
EEV0
0
c
av
h
h
EE0V0
c
av
Hidraulică vol. II 225
se numeşte adâncime contractată hc. Excepţie face situaţia când adâncimea
la piciorul construcţiei este superioară adâncimii normale din bieful 2
hc’ > h02 şi poate să fie caracteristică pentru I2 > Icr. Adâncimea în secţiunea
contractată este inferioară adâncimii critice, hc < hcr.
10.a. Fenomene hidraulice pe bieful 2 pentru 0 < I2 < Icr
Când lungimea biefului 2 este mare spre aval se obţine adâncimea
normală, h02 > hcr. Adâncimea în secţiunea contractată este inferioară
adâncimii critice hc < hcr, deci pe traseul biefului adâncimea creşte de la hc
la h02 trecând prin adâncimea critică, caz în care se formează saltul
hidraulic. Adâncimea de ieşire din salt este adâncimea normală din aval
h” = h02.
Lama deversantă fiind lipită de fundul albiei aval distribuţia vitezei
pe verticală este caracteristică regimului de fund.
E E
p
ph
h 'h "= h
l l
0
1
c
c
C C
sa lt
c 1 s
c 0 2
0< I2< Ic r
M u
c1
lama
deversa
nta
Fig. 15.20. Racordare cu lamă efluentă în regim de fund al vitezei,
0 < I2 < Icr, cu salt îndepărtat
În funcţie de raportul adâncimii contractate şi a celei de intrare în
salt există trei situaţii distincte:
- pentru hc < h’, între adâncimea contractată şi saltul hidraulic se
interpune o curbă de supraînălţare caracteristică pantei 0 < I2 < Icr de tipul
c1. Aval de salt mişcarea este uniformă cu adâncimea h02 comandată fără
alte condiţii din avalul biefului (fig. 15.20).
- pentru hc = h’ saltul hidraulic se formează exact din adâncimea
contractată, forma de racordare pe bieful 2 conţinând: lama deversantă,
saltul, apoi mişcarea uniformă. (fig. 15.21). Se numeşte racordare cu salt apropiat.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 226
E E
p
p
h =h '
h"=h
0
1
c
c
C C
salt
c
02
0< I2< Icr
M pu
lama
deversa
nta
Fig. 15.21. Racordare cu lamă efluentă în regim de fund al vitezei
0 < I2 < Icr, cu salt apropiat
- pentru hc > h’, rezultă că nu există condiţii pentru dezvoltarea
unui salt perfect. În această situaţie saltul avansează spre amonte şi acoperă
parţial lama deversantă formându-se un salt înecat (fig. 15.22). Presupunând
adâncimea de intrare în salt h’ = hc din funcţia saltului rezultă h” < h02.
Raportul σî = h”/h02 este supraunitar şi caracterizează gradul de înecare al
saltului şi se numeşte coeficient de înecare.
E E
p
p
h
0
1
C
salt inecat
c
02
0<I2<Icr
Mu
lama
deversa
nta
h
N
Fig. 15.22. Racordare cu lamă efluentă în regim de fund al vitezei 0 < I2 < Icr, cu salt înecat
Raţionamentele anterior prezentate la punctul 10.a pentru
0 < I2 < Icr, pot fi extinse şi pentru I2 ≤ 0. Pentru aceste situaţii, între lama
deversantă se pot interpune curbe de supraînălţare c0 sau c’ în funcţie de
panta de racordare cu salt îndepărtat. Bieful 2 are lungime finită şi după salt
se formează curbă de coborâre b0 sau b’ în funcţie de panta albiei.
În cazul unui orificiu mare de fund (de stavilă), formele de
racordare pentru I2 < Icr sunt asemănătoare cu cazul anterior prezentat
(fig. 15.23).
E E
a hh'
h" h
0
c
c
c
C10<I<Icr
C
ab
c
MuMu
salt
02
Fig. 15.23. Racordare cu lamă efluentă (orificiu mare) în regim de fund al vitezei: a) cu salt
îndepărtat; b) cu salt apropiat; c) cu salt înecat
Hidraulică vol. II 227
Fenomenele de racordare sunt asemănătoare şi în cazul unei
construcţii de racordare combinată (fig. 15.24).
h
h'h"=h
EE0
c
c
c
C1 02
0<I<Icr
a
b
cMu
Mu
Mu
Fig. 15.24. Racordare cu lamă efluentă în regim de fund al vitezei la construcţie combinată
(deversor cu stavilă): a) cu salt îndepărtat: b) cu salt apropiat; c) cu salt înecat
10.b. Fenomene hidraulice pe bieful 2 pentru I2 > Icr
Starea curentului în mişcare uniformă este rapidă h02 < hcr. După
construcţie în secţiunea contractată se formează adâncimea contractată hc
inferioară adâncimii critice hcr. Secţiunea de comandă este secţiunea
contractată cu adâncimea hc. În funcţie de mărimea hc comparativ cu hcr se
întâlnesc trei situaţii distincte:
- hc < hcr, adâncimea este situată în zona c în bieful 2, rapid, deci
suprafaţa liberă se dispune după o curbă de supraînălţare c2 (fig. 15.25), care
în aval tinde asimptotic la linia adâncimilor normale.
E E
p
p
0
1
2
C
c02
2 cr
N
hh h
C
I2 > Icr
c
c
Fig. 15.25. Racordarea cu lamă efluentă în regim de fund al vitezei cu
bieful aval rapid hc < h02
- hc = hcr pe bieful 2 se comandă adâncimi normale care se menţine
pe tot bieful;
- hc > hcr, este o situaţie întâlnită la căderi mici, debite specifice
evacuate mari şi panta albiei biefului 2 mare. Adâncimea contractată de
comandă este situată în zona b, pe bief suprafaţa liberă dispunându-se după
o curbă de coborâre b2 (fig. 15.26).
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 228
E E
p
p
0
1
2
C
02
2 cr
N
b
I > Icr
chh
h
Fig. 15.26. Racordarea cu lamă efluentă în regim de fund al vitezei cu
bieful aval rapid h02 < hc < hcr
20. Racordarea biefurilor prin construcţii cu lame
efluente în regim de suprafaţă şi mixt al vitezei.
Formele de racordare caracterizate prin regim de suprafaţă şi mixt
al vitezei sunt strâns legate între ele şi se examinează în comun. Aceste
forme de racordare se întâlnesc la evacuatorii la care la piciorul aval există o
cădere. Mişcarea efluentă poate fi creată de deversoare sau orificii de stavilă
pe cădere. La astfel de evacuatori la racordarea cu bieful aval se produc
fenomene hidraulice complexe şi complicate, cu regim de suprafaţă şi mixt
al vitezelor.
Se consideră o construcţie de racordare (fig. 15.27) având
caracteristică pragul vertical din aval.
EE
d
h
h
0
c
02
a
d
EE0
h02
hc
Fig. 15.27. Schemele construcţiilor de racordare cu regim de suprafaţă şi mixt al vitezelor
Unui anumit debit Q îi corespunde pentru panta 0 < I2 < Icr o
anumită adâncime normală h02.
În funcţie de mărimea d în raport cu h02 se întâlnesc mai multe
forme de racordare în bieful 2, astfel:
20.a. h02 < d, de pe pragul de înălţime d lama (jetul) curge
asemănător cazului 1, cu formele de racordare în regim de fund al vitezei în
bieful 2, cu salt îndepărtat, apropiat sau înecat.
20.b. h02 ≈ d, lama deversantă pleacă de pe prag aproape în poziţie
orizontală şi se menţine la suprafaţă, dând naştere la regim de suprafaţă a
Hidraulică vol. II 229
vitezei. Sub jet se formează vârtejuri, de fapt avem de a face cu un salt de
suprafaţă neînecat pentru care hc = h’ şi h” = h02. (fig. 15.28.a). O astfel de
situaţie însă este instabilă, orice modificare a nivelului aval produce
schimbări radicale în structura curgerii la racordare.
Scăderea nivelului h02 implică fenomene de racordare descrise la
20a, iar creşterea nivelului produce ridicarea lamei şi înecarea saltului de
suprafaţă, care apare ca o undă în apropierea pragului (fig. 15.28.b).
h hcr 02
C
N20 v
h
h
0 v
h hcr 02
N2
C
hh
cr02
h
vN2
C
h h
h
v
h
v
cr 02
N2
C
hh
cr02
N2
C
vv
h h
a) Salt de suprafataneînecat
b) Salt de suprafata
înecat
c) Salt de fund înecat
d) Salt de suprafataneînecat
Salt de fund înecat
e) Salt de suprafataînecat
Salt de fundînecat
Fig. 15.28. Formele de racordare în aval de prag în regim de suprafaţă şi mixt al vitezei.
Creşterea nivelului aval poate produce formarea saltului de fund
înecat (fig. 15.28.c). Proporţia de vârtejuri în acest caz este mare.
Creşterea debitului, implicit a nivelului aval, conduce la o
racordare în regim mixt al vitezelor, cu salt de suprafaţă neînecat, urmat de
salt de fund înecat (fig. 15.28.d). Lama care pleacă de pe prag este deviată în
sus în saltul neînecat de suprafaţă, recade pe fund schimbând regimul
vitezelor şi formează un salt de fund înecat.
Creşterea debitului, implicit a adâncimii aval, împinge spre amonte
cele două salturi, înecându-se şi saltul de suprafaţă (fig. 15.28.e). Prima
parte a acestei racordări este caracterizată de regim de suprafaţă a vitezelor,
iar partea a doua prin regim de fund.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 230
15.3. RELAŢII DE CALCUL ALE MĂRIMILOR
HIDRAULICE ÎN RACORDAREA BIEFURILOR
PRIN CONSTRUCŢII CU LAME EFLUENTE
Trasarea suprafeţei libere la aceste tipuri de racordări –
poziţionarea în lungul albiei şi pe verticală a fenomenelor hidraulice –
necesită cunoaşterea tuturor mărimilor hidraulice caracteristice. Calculul
unei părţi din aceste mărimi au fost dezbătute, celelalte sunt prezentate în
cele ce urmează.
15.3.1. Relaţii de calcul pentru racordări
în regim de fund al vitezei
Se prezintă modul de calcul al adâncimii contractate hc şi a poziţiei
sale în lungul curentului, secţiunea în care se ajunge la această adâncime.
10. Calculul adâncimii contractate
Pentru generalizare se consideră o schemă combinată de construcţie
care realizează racordarea a două biefuri cu lame efluente (fig. 15.29).
Scriind ecuaţia energiei între secţiunile 1 şi 2 faţă de planul de
referinţă 0 - se obţine:
E E
HH
p '
a
p
h
l l
l
v / 2 g
h
z z
0
V 0
0
c
1
b
0 2
0
0
2
2
0
1 02
α
1
0
Fig. 15.29. Schemă pentru calculul adâncimii contractate
g
v
g
vh
g
vaHpE cc
c2222
222
00 ⋅+
⋅+=
⋅+++= ς
αα (15.6)
Folosind notaţia:
ςα
ϕ+
=1
(15.7)
Hidraulică vol. II 231
se obţine
2
2
02 ϕ⋅
+=g
vhE c
c (15.8)
Ţinând seama de ecuaţia de continuitate scrisă secţiunii 2,
Q = Ac·Vc, ecuaţia (15.8) devine:
22
2
02 c
cAg
QhE
⋅⋅+=
ϕ (15.9)
Ecuaţia (15.9), de sens pur energetic, este prima relaţie
fundamentală a racordării biefurilor în regim de fund al vitezelor şi permite
calculul adâncimilor contractate prin metode numerice (aproximaţii
succesive).
În continuare se particularizează ecuaţia pentru secţiune
dreptunghiulară. Făcând înlocuirile q = Q/b şi Ac=b·hc, se obţine:
22
2
02 c
chg
qhE
⋅⋅+=
ϕ (15.10)
sau
( )c
chEg
qh
−=
02ϕ (15.10’)
Se observă că adâncimea contractată este dată de o ecuaţie
algebrică de gradul 3 care se poate soluţiona cu relaţia generală de calcul
sau prin aproximaţii succesive. Întrucât hc << E0, la prima iteraţie se
permite utilizarea relaţiei aproximative.
02 Eg
qhc
⋅≅
ϕ (15.11)
apoi
( )102 −−
=ci
cihEg
qh
ϕ (15.12)
Calculele se consideră terminate când
ccici hhh ε<− −1 (15.13)
unde toleranţa calculului εhc = 0,001 satisface cerinţele tehnice (practice).
În tratatele de hidraulică există tabele şi grafice pentru calculul
adâncimii contractate, întocmite în valori relative (E0/hcr; hc/hcr).
În calcule importanţă mai mare prezintă mărimea coeficientului de
viteză φ care, pentru calcule preliminare, pentru câteva tipuri de condiţii de
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 232
curgere, se poate adopta din (tab. 15.1). Pentru construcţii de racordare de
mare importanţă coeficientul de viteză φ şi condiţiile de racordare se
stabilesc experimental pe modele hidraulice.
Valorile coeficientului de viteză
Tabelul 15.1
Nr
crt
Condiţia de curgere
φ 1 Curgere dintr-un orificiu în atmosferă, liber 1,00...0,97
2 Curgere dintr-un orificiu de stavilă de fund 1,00...0,95
3 Cădere fără stavile 1,00
4 Căderi cu stavile 1,00...0,97
5
Deversor cu profil practic fără stavile:
- parament deversant de lungime mică 1,00
- parament deversant de lungime mijlocie 0,95
- parament deversant de lungime mare 0,90
6 Deversoare cu stavile 0,95...0,85
7 Deversoare cu contur poligonal 0,90...0,80
8 Deversoare cu prag lat 0,95...0,85
Pentru parament deversant cu rugozitate mărită valoarea lui φ se
poate micşora cu 5 % (piatră cioplită, brută etc).
20. Calculul distanţei la care se formează
adâncimea contractată Determinarea distanţei la care ia naştere adâncimea contractată hc
prezintă importanţă practică atât pentru poziţionarea în lungul curentului a
elementelor hidraulice de racordare, cât şi pentru controlul racordării
biefurilor.
Această distanţă lb se calculează funcţie de tipul construcţiei care
produce mişcarea efluentă.
20.a. La deversorul cu muchie ascuţită cu lamă aerată, această
distanţă de bătaie a lamei se compune din două elemente (fig. 15.30 a).
10 lllb += (15.14)
l0 fiind distanţa măsurată pe orizontală de la muchia deversorului până la
punctul de cotă maximă a pânzei inferioare şi are valoarea l0 = 0,27H (v. 11.5.2.pct.8).
Hidraulică vol. II 233
H H
h
h
px
y
yp
l l l
V0
00
1
max
yb
0 1
1
x
a Fig. 15.30. Calculul distanţei de bătaie a lamei deversante
Notând cu v viteza medie a particulelor din secţiunea de origine a
axelor de coordonate, o particulă din centrul de greutate al lamei în timpul t
parcurge distanţa după orizontală x = vt, iar pe verticală 2
2
1gty = . Viteza
particulei fiind dată de relaţia ghv 2ϕ= se obţine:
yhx ⋅= ϕ2 , (15.15)
respectiv
max1 2 yhl ⋅= ϕ (15.15’)
conform 11.5.2.pct.8,
ymax = p + 0,446H (15.16)
şi
h = 0,554H (15.17)
Bătaia lamei se consideră distanţa pe orizontală de la muchia
deversorului şi până la centrul lamei care atinge patul albiei biefului aval.
20.b. La deversorul cu prag lat (fig. 15.30 b) distanţa de bătaie a
lamei este
lb = l1 (15.18)
se acceptă
( ) 01 112 Hmh −−= (15.19)
şi
2
10
hHh −= (15.20)
H0
h1
l =lb 1b
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 234
Considerând ymax = p+h1/2 distanţa de bătaie a lamei este:
+
−=
222 11
0
hp
hHlb ϕ (15.21)
20.c. La deversor cu profil curb când lama se dezlipeşte de
paramentul aval (fig. 15.31), rezultă:
Fig. 15.31. Bătaia lamei la deversor
cu profil curb cu lamă dezlipită
l0 = 0,3H; h1 = 0,64H; φ = 1; h = H0 - h1/2 = 0,68H0; ymax = p+h1/2 = p + 0,32H0, respectiv:
( )032,065,13,0 HpHHlb ++= (15.22)
20.d. La stăvilar în albie continuă (orificiu de fund) distanţa la care
se formează adâncimea contractată faţă de paramentul amonte al stavilei se
poate determina aproximativ din relaţia (fig. 11.14)
lb = (2...3) a (15.23)
2
0.e. La deversoare cu profil practic la care lama deversantă nu se
dezlipeşte de parament, adâncimea contractată este la piciorul aval al
taluzului. Afirmaţia este valabilă şi pentru canale rapide la care adâncimea
hc este adâncimea curbei de supraînălţare sau de coborâre în secţiunea aval a
jilipului.
15.3.2. Relaţii de calcul pentru racordări în regim
de suprafaţă al vitezei
În cazul racordării în regim de suprafaţă al vitezei, cu evacuator cu
prag în aval (fig. 15.32) relaţiile de calcul pentru saltul de suprafaţă rezultă
din ecuaţia energiei şi cantităţii de mişcare, după cum urmează:
H
p
l
l0 1
b
h h1
l
Hidraulică vol. II 235
Fig. 15.32 Schema pentru
calculul racordării în regim de
suprafaţă al vitezei
220
2cos
c
chg
qhdE
⋅⋅+=−
ϕθ (15.24)
şi
( ) 2222
coscos2
hdhhhhgh
qcc
c
′′−+=′′−′′
⋅θθ
α (15.25)
S-a considerat hc adâncimea de intrare în saltul de suprafaţă.
15.4. APLICAŢII
10. Să se analizeze şi să se poziţioneze elementele hidraulice de
racordare a două biefuri la schimbarea de pantă a canalului de secţiune
dreptunghiulară, cunoscând: Q = 10 m3/s; b = 4 m; n = 0,016; α = 1,1;
I1 = 5 ‰ I2 = 0,5 ‰. Bieful 2 se termină cu o cădere, iar adâncimea
maximă a apei pe acest bief h2max = 1,70 m.
Rezolvare.
a. Se calculează adâncimile normale pe biefuri. (tab. 15.2)
Tabelul 15.2
Bief h0 (m)
A (m
2)
P (m)
R (m)
C (m
0,5/s)
Q (m
3/s)
1 0,81 3,24 5,62 0,577 57,0 9,92
2 1,84 7,36 7,68 0,958 62,1 10,00
b. Se calculează adâncimea critică
m 89,0481,9
101,13
2
2
32
2
=⋅
⋅=
⋅=
gb
Qhcr
α
EE
h
h
0
c
02
p
H
p
θ dh"
Vc
1
Vo
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 236
c. Analiza stării curentului şi a tipului de racordare
h01 < hcr →bief 1 rapid →racordare cu salt hidraulic h02 > hcr →bief 2 lent d. Poziţionarea saltului hidraulic. Se presupune că saltul se
formează pe bieful 2, adâncimea de ieşire din salt fiind adâncimea maximă
de pe bieful 2, deci h” = h2max. Conjugata acesteia este:
m 40,0170,1
89,081
2
70,1181
2
33
=
−
+=
−
′′+
′′=′
h
hhh cr
Adâncimea minimă pe canal este h01 = 0,81 m, deci saltul se va
forma pe bieful 1, elementele de racordare fiind: pe bieful 1 MU, salt, a2, iar
pe bieful 2 curba b1. (fig. 15.33).
e. Calculul parametrilor elementelor de racordare.
e.1. Calculul elementelor saltului.
- adâncimile conjugate:
h’ = h01 = 0,81 m
m 98,0181,0
89,081
2
81,0181
2
33
=
−
+=
−
′+
′=′′
h
hhh cr
(nu s-a ţinut seama de panta biefului 1).
- lungimea saltului
ls = 6(h”-h’) = 6(0,98-0,81)=1,62 m.
e.2. Curba a2 se formează între adâncimile h1a2 = h” = 0,98 m şi
h2a2 = h2max = 1,70 m
Tabelul 15.3. h
(m)
η A (m2)
P (m)
R (m)
C (m0,5/s)
K (m3/s)
x xm φ(η,x) jm
h01 0,81 - 3,24 5,62 0,577 57,0 140,3 - - - -
h1a2 0,98 1,21 3,92 5,96 0,658 58,3 185,3 2,92
2,88
0,523
1,207 h2a2 1,70 2,10 6,80 7,40 0,919 61,6 401,7 2,84 0,146
medii 6,28 59,95
Hidraulică vol. II 237
( ) ( ) ( )[ ]
( )( )[ ] m 132523,0146,0207,1121,11,2005,0
81,0
1 1212
1
012
=−−−−=
=−−−−= ηϕηϕηη ma jI
hL
e.3. Lungimea biefului 2 (a curbei b2). Această curbă se formează
între adâncimile h1b1 = h2max = 1,70 m şi h2b2 = h0cr = 0,89 m
Tabelul 15.4. h
(m)
η A (m2)
P (m)
R (m)
C (m0,5/s)
K (m3/s)
x xm φ(η,x) jm
h02 1,84 - 7,36 7,68 0,958 62,1 447,4 - - - -
h1b1 1,70 0,924 6,80 7,40 0,919 61,6 401,7 2,73
2,77
1,372
0,121 h2b2 0,89 0,484 3,56 5,78 0,616 57,7 161,22 2,81 0,503
medii 6,59 59,65
( ) ( ) ( )[ ]
( )( )[ ] m 1192372,1503,0121,01924,0484,00005,0
84,1
1 1212
2
021
=−−−−=
=−−−−= ηϕηϕηη mb jI
hL
0,81
0,98
1,70
0.89
1 1 921321 ,36
M u
sa lt a 2
b1
C r
N02
N01
Fig. 15.33. Parametrii elementelor hidraulice la racordarea biefurilor
20. Să se traseze linia luciului apei şi să se poziţioneze fenomenele
hidraulice pentru racordarea a două biefuri la schimbare de pantă a
canalului, de secţiune dreptunghiulară, cunoscând: Q = 10 m3/s; b = 4 m;
n = 0,016; I1 = 5 %; I2 = 0; l2 = 200 m; α = 1,1. Bieful 2 se termină cu o
cădere.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 238
Rezolvare.
a. Se calculează adâncimea normală pe bieful 1 şi cea critică pentru
canal, respectiv panta critică (tab. 15.5)
Tabelul 15.5
h01 (m)
A (m
2)
P (m)
R (m)
C (m
0,5/s)
K (m
3/s)
Q (m
3/s)
0,382 1,528 4,764 0,321 51,7 44,8 10,0
m 89,0481,9
101,13
2
2
32
2
=⋅
⋅=
⋅=
gb
Qhcr
α
( ) 00395,0
616,07,5756,3
1022
2
22
2
=⋅⋅
=⋅⋅
=cr
crRCA
QI
b. Racordarea este pentru bief rapid – bief lent, care are loc cu salt
hidraulic dacă curgerea pe bieful 2 revine la starea lentă. În acest caz
racordarea are ca elemente:
Bief 1 – MU; bief 2 – curbă c0, salt, curbă b0. Dacă bieful nu are
lungime suficientă poate lipsi saltul şi curba b0. Se presupune acest ultim
caz la limită, când curba c0 se formează pe bieful 2 între adâncimile h01 şi
hcr şi se calculează lungimea sa.
Tabelul 15.6 h
(m)
ξ A (m
2)
P (m)
R (m)
C (m
0,5/s)
K (m
3/s)
xm Cm Pm jm LC0
0,382 0,429 1,528 4,764 0,321 51,7 44,8
3,03
54,7
5,27
0,980
74,0 0,89 1,0 3,56 5,78 0,616 57,7 161,1
(Calculele s-au efectuat conform capitolului 13).
Întrucât lungimea maximă posibilă a curbei c0 este inferioară
lungimii canalului, curgerea revine la starea lentă, deci pe bieful 2 există
curbă c0, salt şi curbă b0. Saltul racordează cele două curbe; adâncimea de
intrare în salt este adâncimea de ieşire din curba c0, iar adâncimea de ieşire
din salt este adâncimea de intrare în curba b0. Aceste adâncimi nu se cunosc
ca mărime. Curba c0 se formează între adâncimile h1c1 = h01 şi h2c1 = h’, iar
curba b0 între adâncimile h1b0 = h” şi h2b0 = hcr.
Hidraulică vol. II 239
c. Soluţionarea problemei este posibilă grafo – analitic. Se dau
valori pentru h1b0 pentru care se calculează lb0, h’ şi ls (tab. 15.7) şi
(tab. 15.8). Perechile de valori (h1b0, lb0)i şi (h’, ls)i se reprezintă grafic din
aval spre amonte pe bieful 2. (fig. 15.34). Pentru câteva valori arbitrare
h2c0∈(h1c0, hcr) se calculează lungimea curbei c0 (tab. 15.9) şi perechile de
valori (h2c0 lco)i se reprezintă pe acelaşi grafic din amonte spre aval. La
intersecţia curbei c0 cu linia adâncimilor de intrare în salt se găseşte
adâncimea căutată h’ = h2c0 cu care se recalculează lungimea lC0, h”, ls, apoi
lb0.
Calculul curbei b0
Tabelul 15.7. h
(m)
ξ A (m
2)
P (m)
R (m)
C (m
0,5/s)
K (m
3/s)
xm Cm Pm jm Lb0
h2b0 0,89
1 3,56 5,78 0,616 57,7 - - - - - -
1,40 1,573 5,60 6,80 0,824 60,5 307,6 2,86 59,1 6,29 0,959 157
1,41 1,584 5,64 6,82 0,827 60,6 310,6 2,85 59,15 6,30 0,959 163
1,42 1,596 5,68 6,84 0,830 60,6 313,6 2,85 59,15 6,31 0,957 171
1,43 1,607 5,72 6,86 0,834 60,6 316,7 2,85 59,15 6,32 0,956 179
1,44 1,618 5,76 6,88 0,837 60,7 319,8 2,85 59,2 6.33 0,956 186
1,45 1,629 5,80 6,90 0,841 60,7 322,9 2,85 59,2 6,34 0,955 194
h1b0 1,413
1,588
5,652
6,826
0,828
60,6
34,5
2,85
59,15
6,30
0,959
165
Calculul parametrilor saltului
Tabelul 15.8. h" (m) 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,413
h' (m) 0,524 0,519 0,414 0,509 0,504 0,499 0,517
ls (m) 5,3 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 7,4
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 240
Calculul curbei c0
Tabelul 15.9. h
(m)
ξ A (m
2)
P (m)
R (m)
C (m
0,5/s)
K (m
3/s)
xm Cm
(m0,5
/s)
Pm
(m)
jm LC0
(m)
h1c0
0,382
0,429
1,528
4,764
0,321
51,7
44,8
-
-
-
-
-
0,50 0,562 2,00 5,00 0,400 53,6 67,9 3,09 52,65 4,88 0,980 26,6
0,55 0,618 2,20 5,10 0,431 54,3 78,5 3,08 53.00 4,93 0,983 36,8
0,60 0,674 2,40 5,20 0,462 55,0 89,7 3,08 53,35 4,98 0,987 46,4
h2c0
0,517
0,581
2,068
5,034
0,411
53,9
71,4
3,08
52,80
4,89
0,983
30,0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 200
L(m)
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
h(m)
200 l(m) 190 180 170 160 150 0
linia h'
linia Co
linia boh"=bo
h1Co=0,382h2Co=h'=0,517
lCo=30 mls=5,4 m
Lbo=165 m
h"=h1bo=1,413 mh2bo=hc=0,89 m
Co
Fig. 15.34. Soluţia grafo-analitică
Din figură se obţine h2C0 = h’ = 0,517 m la care corespund
h” = h1bo = 1,413 m; lC0 = 30,0 m; ls = 5,4 m şi lb2 = 165 m, valori
corespunzătoare ultimelor linii din tabelul 15.7 şi 15.9.
L = lC0 + ls + lb0 = 30 + 5,4 + 65 = 100,4 m În calcule s-a utilizat:
Ls = 6(h”-h’) şi 21
21
/lg
/lg2
hh
KKxm = .
Hidraulică vol. II 241
30. Să se arate elementele hidraulice ale racordării a trei biefuri la
schimbare de pantă a unui canal de secţiune dreptunghiulară, cunoscând:
q = 1,5 m3/s·m; h01 = 0,2 m; h03 = 0,5 m; h2max = 1,2 m şi α = 1,1.
Rezolvare.
Se determină adâncimea critică şi se analizează starea mişcării pe
biefuri
m 63,081,9
5,11,13
2
3
2
=⋅
=⋅
=g
qhcr
α.
Fiindcă h01 < h03 < hcr pe biefurile 1 şi 3 mişcarea este rapidă
(torenţială), iar pe bieful 2 – cel puţin pe o porţiune – starea curentului este
lentă (h2max > hcr). Localizarea saltului se face astfel: h2max se consideră
adâncimea de ieşire din salt (h”) şi se calculează conjugata sa (h’) care se va
compara cu h01.
m 28,012,1
63,081
2
2,1181
2
33
=
−
+=
−
′′+
′′=′
h
hhh cr
Întrucât h’ > h01 saltul se formează pe bieful 2, între salt şi h01 (de
pe bieful 1) se interpune o curbă de supraînălţare c (care în funcţie de panta
biefului 2 poate fi: c1 - pentru I2 > 0, c0 – pentru I2 = 0 şi c’ – pentru I2 < 0)
între adâncimile h01 şi h’. Pe bieful 2, după salt, mişcarea este lentă (fluvială), iar pe bieful 3
rapidă. La schimbarea de pantă bief 2 – bief 3 adâncimea curentului este hcr.
Pe bieful 2, după salt, avem o curbă de coborâre b (în funcţie de pantă b1, b0
sau b’), iar pe bieful 3 curba de coborâre b2, între adâncimile hcr şi h03.
Schema nivelurilor corespunde (fig. 15.35).
hh '
h " h
h
C
N1
0 1c r
0 3N 3
C
h c r
B ie f 1 B ie f 2 B ie f 3
M is c a r e p e rm a n e n tas i u n ifo rm a
c u rb a t ipC
s a ltc u r b a t ip
bc u rb a b2
r
r
Fig. 15.35. Schematizarea curgerii pe cele trei biefuri
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 242
40. Pe un canal de secţiune dreptunghiulară, cu b = 2,0 m; I = 1‰
şi n = 0,018 este amplasat un stăvilar pe toată lăţimea acestuia, având
deschiderea a = 0,4 m.
Să se determine adâncimea apei amonte de stăvilar şi elementele
specifice fenomenelor de racordare în aval pentru debitul tranzitat
Q = 4 m3/s. Se consideră α = 1,1.
Rezolvare.
a. Adâncimea amonte de stăvilar rezultă din relaţia:
( )( )
agba
QHaHgbaQ ⋅+
⋅⋅⋅=⇒⋅−⋅⋅= ε
µεµ
22
2
2
00
şi
g
vHH
2
2
00 −= , cu
0
0 hb
Qv
⋅≈ .
Valorile µ = f1(a/H) şi ε = f2(a/H) sunt intabulate.
Calculele se efectuează prin iteraţii. Pentru o valoare arbitrară
a/H = 0,1 avem µ = 0,611 şi ε = 0,615, respectiv
( )
m 66,34,0615,081,9224,0611,0
42
2
0 =⋅+⋅⋅⋅⋅
=H .
m 64,381,92
55,01,166,3 ;m 55,0
66,32
4~
2
0 =⋅
⋅−==
⋅Hv .
Pentru 11,064,3
4,0==
H
a rezultă µ = 0,611 şi ε = 0,615 elementele
anterior calculate fiind corecte, deci adâncimea amonte de stăvilar este
H = 3,64 m.
b. Elemente de racordare în bieful aval.
b.1. Se calculează adâncimea normală h0 şi critică hcr.
Tabelul 15.10
h01 = 1,58 m
h0 (m)
A (m
2)
P (m)
R (m)
C (m
0,5/s)
Q (m
3/s)
1,58 3,16 5,16 0,612 51,19 4,002
Hidraulică vol. II 243
m 765,0281,9
41,13
2
2
32
2
=⋅
⋅=
⋅=
gb
Qhcr
α.
b.2. Adâncimea contractată după stăvilar hc şi distanţa unde se
formează lc.
hc = ε·a = 0,615·0,4 = 0,246 m; lc = (2...3)a = (2...3)0,4 = 0,8...1,2 m.
hc < hcr, h0 > hcr rezultă racordare cu salt hidraulic.
b.3. Pentru stabilirea poziţiei saltului se consideră hc = h’, se
calculează conjugata sa h” care se compară cu h0.
m 79,11246,0
765,081
2
246,0181
2
33
=
−
+=
−
′+
′=′′
h
hhh cr .
h" > h0 rezultă saltul este îndepărtat şi de fapt adâncimea de ieşire din salt
h” este h0. Între adâncimea contractată şi adâncimea de intrare în salt este o
curbă de supraînălţare c1.
b.4. Elementele saltului:
- adâncimea de ieşire: h” = h0 = 1,58 m
- adâncimea de intrare:
m 301,0158,1
765,081
2
58,1181
2
33
=
−
+=
−
′′+
′′=′
h
hhh cr .
- lungimea saltului:
ls = 6(h”-h’) = 6(1,58-0,301) = 7,67 m.
- viteza la intrare:
m/s 64,6301,02
4=
⋅=
′⋅=′
hb
Qv .
- numărul Fr’:
⇒=⋅
=′⋅
′=′ 9,14
301,081,9
64,6 22
hg
vrF salt cu jet oscilant.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 244
b.5. Elementele curbei c1 (tab. 15.11)
Tabelul 15.11. h
(m)
η A (m
2)
P (m)
R (m)
C (m
0,5/s)
K (m
3/s)
x φ(η,x)
h0 1,58 - 3,16 5,16 0,612 51,19 126,5 - -
h1=hc 0,246 0,156 0,492 2,492 0,197 42,38 9,25 2,82 0,156
h2=h’ 0,301 0,191 0,602 2,602 0,231 43,52 12,60 2,78 0,191
Valori medii 2,547 42,95 2,80
( ) ( ) ( )[ ]
( )( )[ ] m 0,9156,0191,0162,01156,0191,0001,0
58,1
1
162,0547,2
2
81,9
95,42001,01,1
05,0014,080,2
78,282,2
12120
1
22
21
=−−−−=
=−−−−=
=⋅⋅⋅
=⋅=
<=−
=−
=
ηϕηϕηη
α
δ
mC
m
mim
mx
jI
hl
P
B
g
hj
x
xx
δx - se încadrează în toleranţă.
Elementele calculate corespund fig. 15.36.
H = 3 ,6 6m
H = 3 ,6 4m
a= 0 ,4 h = 0 ,2 4 6mh '= 0 ,3 0 1m
h "= h = 1 ,5 8mh = 0 ,7 6 5m
0
c
C 1 c r
C
M p us a lt
0
V = 0 ,5 5m /s0
0 ,8 -1 ,2m 9 ,0m 7 ,6 7m
v /2 g02
α
Fig. 15.36. Valorile parametrilor saltului hidraulic
Hidraulică vol. II 245
Capitolul 16
DISIPAREA ENERGIEI. DISIPATORI DE ENERGIE
Una din cele mai importante probleme a racordării biefurilor o
constituie controlul şi disiparea energiei curentului evacuat în bieful aval.
Această energie suplimentară, de multe ori ocazională, nu este economic să
fie recuperată prin construcţii şi instalaţii anume şi din acest considerent se
disipează controlat, altfel putând afecta siguranţa construcţiilor hidrotehnice.
16.1. Noţiuni generale. Tipuri de disipatoare
Construcţiile de racordare – evacuare cu lame efluente creează
stare rapidă a curentului, cu viteze mari (la racordări cu salt îndepărtat) şi
conduc la erodarea albiei aval, producând afuieri. Pe o anumită distanţă în
aval de construcţia de racordare se produce disiparea energiei suplimentare a
curentului.
Fie o construcţie de racordare cu deversor având profil practic care
evacuează în aval debitul maxim Qmax (fig. 16.1).
E
E
HH
p
h
ll
h
0
0
c
10
02
c
1c
l∆
h''h'
l
E
E∆
E∆ s
EΣ ∆
C1
E 0av
salt
0<I
consolidare grea a albiei lr
risberma
groapaafuere
1 2
3
4
lama deversa
nta
linia energetica
2<Icr
Fig. 16.1. Schema disipării energiei la un evacuator fără construcţii speciale de disipare
Curentul evacuat accelerează în lamă până în secţiunea contractată
apoi îşi diminuează viteza prin curba de supraînălţare c1 şi salt până se
ajunge mai în aval la o distribuţie corespunzătoare regimului lent din aval.
Din energia totală E0 din amonte în aval se ajunge la E0av disipându-se în
total 1 l C sE E E E∑∆ = ∆ + ∆ + ∆ , parte în lamă ∆El, parte în curba c1,
∆EC1, iar restul în salt ∆Es.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
246
Controlul disipării înseamnă disiparea unor anumite cantităţi de
energie prin lamă, curba c1 şi salt, proporţiile, la rândul lor, pot fi modificate
prin elemente de construcţie sau calitatea suprafeţelor de contact – prin
modificarea rugozităţii. Atât pe parament, cât şi în lungul curbei c1 pot fi
prevăzute artificial anumite macrorugozităţi, iar saltul poate fi controlat, în
sensul poziţiei sale în lungul curentului prin construcţii pentru disipare care
îneacă saltul în poziţie impusă.
Viteza, respectiv energia cinetică mare în lungul lamei deversante,
curbei c1 şi salt conduc la turbulenţă sporită şi pulsaţia presiunii care poate
să afecteze construcţia în ansamblu prin eroziunea materialului. Din acest
considerent deversorul şi albia în aval până la secţiunea de ieşire din salt se
consolidează astfel să reziste acţiunii dinamice ale apei. Chiar şi în aval de
salt există o turbulenţă mai mare a curentului faţă de o secţiune mult în aval,
o energie reziduală nedisipată, care poate produce antrenarea materialelor
albiei. Din acest considerent în aval de salt albia se protejează cu o saltea
elastică de material neantrenabil, rizbermă. Din condiţii de micşorare a
investiţiilor rizberma se realizează numai pe o anumită parte a zonei de tranziţie (de revenire a profilului de viteză, la cel normal din aval), în aval
acceptându-se o anumită posibilitate de antrenare de către curent a
materialelor patului albiei, unde se şi realizează groapa de afuieri. Datorită celor arătate, în majoritatea cazurilor de racordare cu salt
se controlează disiparea energiei prin construcţii adecvate, reducându-se, din
condiţii economice, lungimea pe care se produce disiparea, racordarea
făcându-se prin salt înecat. Înecarea saltului are loc prin construcţii speciale
„disipatoare de energie”. Cea mai simplă construcţie pentru controlul
disipării energiei este „bazinul disipator de energie” care este posibil de
realizat în trei variante: prin adâncirea radierului, cu prag încastrat în radier
şi mixt (fig. 16.2)
l b
a
l
b
b l b
c
d
hav
dhav d
d
dhav
1
2
Fig. 16.2. Tipuri de bazine disipatoare simple: a) cu adâncirea radierului;
b) cu prag; c) mixt.
Bazinele simple de disipare cu prag continuu uneori prezintă
inconveniente, mai ales la evacuarea apei cu aluviuni, ele se colmatează,
Hidraulică vol. II 247
rămân parţial umplute cu apă şi permit dezvoltarea vegetaţiei (nu se
comportă bine la numere Fr’ < 20). Uneori se utilizează prag întrerupt, în
formă de dinţi, numiţi dinţi Rehbock (propuşi prima dată de T. Rehbock
în 1927).
La lucrări importante se utilizează bazine disipatoare cilindrice sau
combinate, sau bazine complexe cu dinţi deflectori, dinţi de disipare, prag
cu redane.
Bazinele disipatoare, care apropie jetul de construcţia de racordare,
sunt uneori evitate şi se preferă disiparea energiei în jeturi libere prin aer sau
în contact cu o saltea de apă. Construcţiile de racordare folosesc trambuline
sau instalaţii mai complicate care realizează jeturi destrămate.
În anumite situaţii, ca diferenţă de cotă apreciabilă între două
biefuri, pante mari pe distanţe apreciabile, pentru economicitatea
construcţiei hidrotehnice se pot utiliza disipatori de energie speciali: în
cascadă – căderi în trepte, canale rapide – jilipuri. Căderile în trepte pot avea
sau nu pe fiecare treaptă bazin disipator sau jilipurile pot fi echipate cu
macrorugozităţi. În unele situaţii chiar paramentul deversor este prevăzut cu
trepte mici.
Situaţiile concrete, hidraulice, condiţiile naturale – orografice,
geologice – şi economice, sunt argumente pentru diversificarea controlului
disipării energiei.
16.2. CONTROLUL RACORDĂRII ÎN BIEFUL AVAL FĂRĂ
CONSTRUCŢII SPECIALE DE
DISIPARE A ENERGIEI
În cazul unei racordări cu lamă efluentă în regim de fund al vitezei,
disiparea energiei fără construcţii speciale de disipare are loc în lungul lamei
deversante, a curbei de supraînălţare de tip c, în saltul hidraulic şi pe o
porţiune aval de salt unde curentul încă prezintă energie specifică reziduală
peste valoarea caracteristică curentului lent în aval, în forma existenţei
macroturbulenţei. (v. fig. 16.1.). În general, porţiunea aval de construcţie, cu
viteze mari şi energie specifică peste cea caracteristică curentului lent din
aval se protejează prin îmbrăcarea perimetrului cu material rezistent. Prima
porţiune se consolidează cu elemente de construcţii rigide care suportă
viteze mari – forţe hidrodinamice mari, iar mai în aval, zona
macroturbulenţei se protejează printr-o îmbrăcăminte elastică – rizbermă.
Problemele puse la disiparea energiei în acest caz nu sunt de
control al disipării propriu-zise, ci de determinarea distanţelor care trebuie
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
248
consolidate cu elemente de construcţie rigide şi elastice. În zona disipărilor
intense – lamă efluentă, curbă de supraînălţare de tip c şi salt – se
consolidează cu elemente rigide, masive, iar zona de tranziţie (cu
macroturbulenţă) cu disipări mai puţin intense se consolidează elastic.
Lungimea de consolidare masiv rigidă este:
lm = l0 + l1 + lc + ls (16.1)
cu l0 + l1 lungimea de bătaie a lamei, lc lungimea curbei c, şi ls lungimea
saltului.
Lungimea rizbermei este:
lr = χ·ltr (16.2)
unde ltr este lungimea zonei de tranziţie (macroturbulentă) şi χ un coeficient
subunitar, de reducere a lungimii rizbermei din condiţii economice.
Zona de tranziţie, aval de saltul hidraulic, se caracterizează prin
energie suplimentară reziduală datorată macroturbulenţei – pulsaţii de viteză
şi presiune mai intense decât cele caracteristice curentului lent din aval. Pe
un anumit parcurs aceste fenomene de macroturbulenţă se „sting”.
Lungimea zonei cu fenomene de macroturbulenţă se estimează (M. S.
Vâzgo) astfel:
02
4,0h
nlzt = (16.3)
Experienţele pentru albii betonate arată lzt = (2,5...3)ls. Pentru χ = 1
lungimea consolidării elastice (rizbermei) este lungimea zonei de tranziţie.
Acceptând anumite afuieri în aval lungimea rizbermei se poate reduce
(χ < 1) din condiţii economice.
Introducând noţiunea de coeficient al capacităţii de erodare al albiei k
neeroziunev
vk = , (16.4)
unde v este viteza medie a apei, iar vneeroziune este viteza care nu produce
eroziune şi admiţând în capătul aval al rizbermei k = 1,1...1,2, respectând
χ = 0,65...0,7 pentru h”/h’ < 8 şi χ = 0,75...0,80 pentru h”/h’ ≥ 8 rizberma
se scurtează.
Viteza de neerodare se poate calcula cu relaţia:
6
1
0236,4 hdvneeroziune ⋅= (16.5)
unde d este diametru mediu al particulelor albiei (m). Relaţia este valabilă
pentru 0,2 mm < d < 100 mm.
Hidraulică vol. II 249
La o eventuală racordare cu salt apropiat sau înecat problemele sunt
analoage.
16.3. CONTROLUL RACORDĂRII ŞI DISIPĂRII ENERGIEI
CU SALT ÎNECAT ÎN BAZINE DISIPATOARE
Forţarea înecării saltului hidraulic prin construcţii speciale
contribuie la intensificarea disipării energiei, respectiv la reducerea lungimii
albiei consolidate. Aceste construcţii sunt bazinele disipatoare simple sau
complexe (cu dinţi deflectori, prag dinţat, redane – dinţi de dimensiuni
mari), radier cilindric sau combinat.
16.3.1. Calculul hidraulic al bazinelor disipatoare simple
Bazinele disipatoare simple se utilizează în cazul debitelor relativ
mici la corectarea torenţilor, evacuatorii de ape mari la baraje cu căderi şi
debite relativ mici, în sisteme de irigaţii, desecări, drenaje, alimentări cu
apă, canalizări etc. Pot fi realizate în trei variante conform fig. 16.2.
1
0. Bazin disipator simplu realizat prin adâncirea radierului.
Problemele de calcul hidraulic se referă la determinarea adâncimii
bazinului şi a lungimii acestuia.
Se consideră un bazin disipator realizat prin adâncirea radierului
(fig. 16.3) în albie de secţiune dreptunghiulară.
EE p
p0 n 1
c
0 2
z0 1
H
h
h b a z
d
∆ ∆z 0
z 'z v /2 g
h
α0
0V 0
V
2
l l l1 s Fig. 16.3. Schemă pentru calcul hidraulic al bazinului disipator simplu
cu adâncirea radierului
În cazul limită de salt apropiat conjugata adâncimii contractate este
adâncimea apei în bazin.
hc" = hbaz (16.6)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
250
Din considerente geometrice, rezultă:
d = hba z- h02 - ∆z (16.7)
sau
d = hc” - h02 - ∆z (16.7’)
Se lucrează pe secţiune dreptunghiulară luând în calcul debitul specific
q = Q/b. Mărimea ∆z0 se determină considerând ieşirea din bazin prag urcător, obţinând:
2
0 2 2
022
qz
g hϕ∆ =
⋅ ⋅ (16.8)
în care ςα
ϕ+
=1
este coeficientul de viteză la prag , valoarea sa depinde
de ζ care se obţine din îndrumătoare de calcul hidraulic.
Denivelarea ∆z este:
2
022 c
qz z
g h
α ⋅∆ = ∆ −
″⋅ (16.9)
Calculul se conduce iterativ, la prima iteraţie adâncimea contractată
calculându-se, cu:
g
vHpE
2
2
0
01
⋅++=
α (16.10)
conform 15.3.1., pct 10. Cu valoarea hc1 obţinută, rezultă d1. Se corectează
sarcina de calcul cu adâncimea bazinului.
E0i+1 = E0i + di (16.11)
Calculul se consideră terminat când:
di+1 - di < εd (16.12)
εd fiind eroarea admisă în calculul adâncimii bazinului (se poate accepta
εd = 1 mm).
Pentru asigurarea racordării biefului aval cu salt înecat adâncimea
bazinului de disipare trebuie mărită astfel ca în bazinul disipator să rezulte
un salt înecat, deci
hbaz = σî·hc” (16.6’)
σî fiind coeficientul de înecare al saltului (σî = 1,05...1,1).
Astfel, adâncirea radierului va fi:
d = σ·hc” - (h02 + ∆z) (16.7’)
În cazul albiilor de secţiune trapezoidală adâncimea contractată se
poate calcula aproximativ conform metodologiei prezentate – lama
Hidraulică vol. II 251
deversantă are grosime mică în secţiunea contractată – iar conjugata
adâncimii contractate rezultă din funcţia saltului. Pentru siguranţa înecării
saltului în bazin coeficientul de înecare trebuie considerat σî = 1,1,
intervenind în calcule aproximaţii la calculul adâncimii contractate.
Celelalte considerente sunt valabile de la albii de secţiune dreptunghiulară.
Există tabele şi nomograme în îndrumătoare de calcul hidraulic pentru
diferite elemente hidraulice pentru calcule manuale, însă prin programare în
limbaje simple, calculul poate fi uşor automatizat.
Lungimea bazinului disipator simplu se va trata în comun pentru
cele trei tipuri.
20. Bazin disipator simplu cu prag în bieful aval
Calculul hidraulic în acest caz constă în determinarea înălţimii
pragului şi lungimii bazinului disipator de energie. Se prezintă cazul
disipatorului cu prag în albie de secţiune dreptunghiulară (fig. 16.4).
E p
p
0 1
c
0 1
H
h
hb a z
d
z
z 'z
h
00
V 0
V
l l l0 1 s
H
H
1
∆
0 2
Fig. 16.4. Schema pentru calculul hidraulic al bazinului disipator simplu cu prag
Asigurarea unei racordări cu salt înecat cu un coeficient de înecare
σî presupune adâncime din bazin
hbaz = σî·hc” (16.13)
unde hc” este conjugata adâncimii contractată hc’. Coeficientul de înecare se
poate considera σî = 1,05...1,10.
Pe de altă parte, din condiţii geometrice, conform figurii, rezultă:
hbaz = d + H1 (16.14)
obţinând înălţimea pragului:
d = σî·hc” - H1 (16.15)
Calculele se desfăşoară în ordinea: se determină sarcina E0 şi se
stabileşte coeficientul de viteză φ, apoi adâncimea contractată hc, conjugata
acesteia hc”, adâncimea în bazin hbaz şi viteza medie din bazin v, respectiv
termenul cinetic corespunzător acestei viteze α·v2/2g.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
252
Pragul bazinului disipator, în prima ipoteză, se consideră deversor
cu funcţionare liberă. Din ecuaţia acestuia
2/3
012 Hgmq ⋅= (16.16)
cu coeficientul de debit m caracteristic, se determină la debitul specific
sarcina totală H01. Scăzând din sarcina totală termenul cinetic corespunzător
vitezei medii din bazin (obţinut pentru hbaz) se obţine sarcina pe deversor
H1. Apoi, din relaţia (16.15) rezultă înălţimea pragului d. Din comparaţia
înălţimii pragului d şi adâncimii normale din aval h02 rezultă două situaţii:
20.a. d > h02, pragul disipatorului funcţionează liber şi calculele
întocmite sunt corecte;
20.b. d < h02, pragul disipatorului funcţionează înecat deci este
valabilă relaţia 2/3
012 Hgmq ⋅⋅= σ (16.17)
unde σ este coeficientul de înecare al pragului disipatorului, dependent de
adâncimea de înecare
−=
=
01
02
01 H
dhf
H
hf nσ .
În acest caz se refac calculele pentru valori mai mici ale lui di decât
cele obţinute anterior, respectându-se relaţia (16.14). Se determină H01i, apoi
σ şi qi. Perechile de valori (di, qi) se reprezintă grafic din care, la q rezultă
înălţimea pragului. Calculul iterativ poate fi automatizat.
La bazinul disipator cu prag este obligatorie verificarea racordării
cu bieful aval de pragul disipatorului care trebuie să fie cu salt hidraulic
înecat. Calculele sunt identice celor prezentate anterior, energia specifică
care generează adâncimea contractată fiind:
g
vhE baz
2
2
01
⋅+=
α.
În cazul obţinerii unui salt îndepărtat se prevede un al doilea prag
(fig. 16.5).
E p
p
0 1
c
01
H
d
baz1
021
V 0
V
H
E01
h
h c1
h baz2
d2
h
l lbaz1 baz2
h
Fig. 16.5. Bazin disipator dublu cu prag
Hidraulică vol. II 253
Obligativitatea verificării racordării cu salt înecat şi după al doilea
bazin cu prag rămâne valabilă, calculele fiind asemănătoare.
Când disipatorul este realizat pentru racordarea cu bieful aval al
unui orificiu de fund (de stavilă), saltul se îneacă asemănător în bazinul
disipator de energie. Pentru sarcina totală E0 şi deschidere a a stăvilarului
date, debitul evacuat se calculează pentru orificiul de fund înecat (v. 11.1.4).
Pentru debitul Q şi sarcina E0 date, trebuie calculată deschiderea a a stavilei
ca orificiu mare de fund cu funcţionare înecată.
Elementele hidraulice şi geometrice ale disipatorului în rest se
calculează asemănător celor prezentate.
30. Bazin disipator simplu, combinat (prin adâncirea radierului
şi prag). În situaţia când adâncirea radierului pentru obţinerea bazinului
disipator d este mare şi realizarea sa pune probleme tehnice sau este prea
scumpă se pot construi bazine disipatoare mixte. De fapt, dacă condiţiile
tehnice nu impun forma bazinului disipator, este normal să se studieze la
proiectare variantele tuturor bazinelor simple de disipare şi să se adopte
varianta economică.
Considerentul tehnic sau economic stabileşte mărimea adâncimii
radierului d1, apoi înălţimea pragului d2 rezultă din:
d2 = d - d1 (16.18)
unde
d = f(hbaz) (16.19)
Schema de calcul corespunde fig. 16.6.
Se acceptă d1 (adâncirea radierului) cunoscut ca şi E0. Se
calculează adâncimea contractată hc şi conjugată a acesteia hc”.
E p
p
0 1
c
H
h
h b a z
d
z
h
0V
V
1
2
H 1
∆
0 2
dd
H
b a z l Fig. 16.6. Bazin disipator simplu, combinat
Din condiţia racordării cu salt înecat
hbaz = σî·hc” (16.6’)
iar din condiţia geometrică
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
254
hbaz = H1 + d1 + d2 (16.20)
rezultă înălţimea pragului d2.
Racordarea cu bieful 2 aval de pragul bazinului disipator este
obligatorie şi se verifică acest deziderat.
40. Lungimea bazinelor disipatoare simple.
Lungimea bazinelor disipatoare simple este:
lbaz = l0 + l1 + ls (16.21)
Elementele din relaţia (16.21) au fost determinate anterior. Saltul fiind
înecat, el se dezvoltă pe o lungime mai mică decât un salt perfect. Din acest
considerent lungimea saltului se reduce cu un coeficient subunitar
β = 0,7...0,8, lungimea bazinului devenind:
lbaz = l0 + l1 + β·ls (16.22)
O incorectă determinare a lungimii saltului conduce la nerealizarea
obiectivului tehnic de înecare a saltului şi scumpeşte construcţia.
În cazul construcţiilor importante soluţia definitivă a disipatorului
se verifică pe modele hidraulice în laboratoare.
Aval de bazinul disipator de energie albia se consolidează elastic –
cu risbermă – pe o lungime de cel puţin 3h02.
Observaţii. Bazinele disipatoare simple sunt recomandate pentru
numere Froude din secţiunea contractată Frc = 20...80. La numere
Frc = 1...6, saltul ondulat produce o ridicare a suprafeţei libere în zona
bazinului, ceea ce impune supraînălţarea gărzii bazinului disipator. La
numere Frc = 6...20, saltul cu jet oscilant produce valuri şi impune tot o
ridicare a gărzii. La numere Frc > 80 – salt violent, bazinul disipator simplu
rezultă de gabarite mari şi devine costisitor. Saltul neavând poziţie stabilă,
oscilează în jurul unei poziţii medii şi produce valuri necesitând creşterea
lungimii şi adâncimii bazinului.
Chiar şi pentru Frc = 20...80 zonele de „apă moartă” la ieşirea din
bazin devin adevărate capcane pentru materialele solide transportate, iar
transportul hidraulic al materialelor abrazive distruge materialul de
construcţie (betonul) la ieşirea din bazinul disipator.
16.3.2. Bazine disipatoare complexe
Pentru micşorarea dimensiunilor bazinelor disipatoare, cu
menţinerea sau chiar îmbunătăţirea condiţiilor de disipare şi a racordării cu
bieful aval se utilizează diferite dispozitive ce transformă bazinele de
Hidraulică vol. II 255
disipare simple în complexe. Ele pot fi folosite cu rezultate bune şi la
numere Frc < 20.
Se prezintă câteva soluţii de bazine disipatoare complexe după
Bradley şi Peterka care pot fi considerate forme standard.
10. Bazinul disipator USBR – II
Acest tip de bazin este recomandat pentru căderi mari, cu Frc > 16,
care asigură formarea unui salt stabil. Foloseşte elemente suplimentare de
disipare şi control, dinţi deflectori şi prag dinţat la ieşire (fig. 16.7)
D in t i d e fle c to r i
P ra g d in ta t
P an ta 2 :1
h c
2
2b = h c
c=h1b
1h = h c
0 .1 5 h ''0 .1 5 h ''
h = 0 .2 h ' '2
L b
a
θ
3
4
5
4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6
d
e
4 6 8 1 0 1 2 1 4
6
8
1 0
1 2
L buc
chh g v
0 4 8 1 2 1 6 2 00
4
8
1 2
1 6
2 0
2 4
2 8
0.81.2
1.01.1
0.9
h g v m in
c
b
L b
α h a v
α
F r
F r
F r
Fig. 16.7. Disipator de energie USBR – II
a). vedere; b). suprafaţă liberă în bazin; c): adâncimea hav necesar;
d). lungimea bazinului; e). înclinarea suprafeţei libere.
Dinţii deflectori nu au rol disipativ direct, ci de control; jumătate
din lama incidentă pătrunde printre dinţi şi rămâne în regim de fund, iar
cealaltă jumătate este dirijată într-o zonă intermediară. Lama deversantă este
fracţionată. Începutul saltului este localizat în zona de intrare iar jeturile
deflectate măresc turbulenţa şi, implicit, disiparea energiei. Dimensiunile
dinţilor deflectori, a pragului dinţat de la ieşire şi lungimea bazinului sunt
funcţii de hc, conjugata sa hc” şi numărul Frc (conform fig. 16.7. c, d, e).
Pragul dinţat de la ieşire micşorează eroziunea de după disipator şi
împiedică colmatarea bazinului. Acest prag dinţat fracţionează curentul la
ieşirea din disipator şi prin intensificarea transferului de masă şi turbulenţei
asigură autocurăţirea disipatorului.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
256
Fracţionarea jetului şi deflectarea unei părţi măreşte lungimea de
disipare a energiei reziduale, iar eroziunile după ieşirea din bazin sunt mai
mari.
La căderi mari, cu vc > 25 m/s, pot să se manifeste efecte
cavitaţionale la muchiile vii ale dinţilor deflectori care se previn prin
rotunjirea muchiilor dinţilor, determinate prin studii de laborator.
20. Bazin disipator USBR – III
Acest tip de bazin disipator este recomandat pentru căderi relativ
mici, Frc > 16, viteză în secţiunea contractată vc < 15 m/s şi evacuare de apă
relativ curată (fără material abraziv, gheaţă sau material flotabil de
dimensiuni mari).
Ca elemente suplimentare se utilizează dinţi deflectori, şi şicane
(dinţi mari în interiorul bazinului), fig. 16.8.
Şicanele sunt atacate direct de jetul incident şi suportă un impact
puternic. Prin impact se intensifică disiparea energiei şi poziţionarea
începutului saltului la intrarea în bazin este mai bine controlată. Muchiile vii
ale şicanelor sunt cele mai eficiente pentru disipare, dar sunt sensibile la
cavitaţie.
d)
T
a)
T
b)
e)c) Fig. 16.8. Disipator de energie USBR – III
a) vedere în perspectivă; b) profilul suprafeţei liber; c) determinarea lui hav;
d) determinarea lungimii bazinului; e) determinarea înălţimii dinţilor şi redanelor.
Hidraulică vol. II 257
30. Bazinul disipator USBR - IV
Aceste bazin disipator se utilizează pentru Frc = 6...20. Se
utilizează ca elemente suplimentare dinţi deflectori mari (fig. 16.9). Este un
bazin disipator pentru salt oscilant, cu generare de valuri în aval, care se
menţin şi după pragul aval al disipatorului. La unele forme se utilizează şi
alte elemente pentru fracţionarea jetului (grătar fix) şi dispozitive pentru
atenuarea valurilor.
2h c min
c2h
Fata superioara
cu inclinare de 5°bL
Spatiu liber
i=1:2
2b
1b
1b / 2b =1,25
Fig. 16.9. Disipator de energie USBR – IV
16.3.3. Alte forme de bazine disipatoare de energie
Bazinele disipatoare paralepipedice sau apropiate de această formă
sunt soluţii tehnice care controlează bine disiparea energiei excedentare, dar
la numere Frc mari lungimea şi implicit costurile lor devin prohibitive. Când
se acceptă o racordare mai violentă cu bieful aval, se găsesc soluţii care
realizează disiparea în mare măsură în bieful aval, dar care să nu pericliteze
stabilitatea construcţiei. Aceste soluţii au o puternică influenţă pe lungimi
considerabile asupra biefului aval, generează oscilaţii, valuri şi afuieri
importante.
Din această categorie fac parte soluţiile: disipator cu treaptă de
cădere şi dirijare, disipatorul cilindric circular şi radier cilindric combinat.
10. Disipatorul cu treaptă de cădere şi dirijare
În această soluţie barajul se termină cu o treaptă de înălţime d,
profilată cilindric şi având unghi θ la ieşire astfel ca jetul să fie dirijat în sus
(fig. 16.10). Se recomandă pentru zone cu sloiuri, cu material flotabil
transportat însemnat şi căderi relativ mici.
Pentru a realiza efect minim asupra albiei se caută ca racordarea să
aibă loc cu salt de suprafaţă liber sau înecat (v. fig 15.18. a şi b). Celelalte
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
258
forme de racordare în regim mixt al vitezei – şi cu salt de fund – afectează
albia din aval prin afuieri importante. Sunt sensibile la variaţia debitului şi,
implicit, a nivelului aval.
H'H
d θhav
Fig. 16.10. Soluţie de racordare şi disipare cu treaptă de cădere
20. Disipatorul cilindric
Este alcătuit dintr-un bazin cilindric circular, cu unghi la centru de
90o, având generatoarea inferioară la nivelul patului albiei aval şi
terminându-se cu un prag aval care împiedică antrenarea materialului erodat
din aval să pătrundă în disipator (fig. 16.11). Disiparea energiei are loc în
cele două turbioane, unul de suprafaţă în bazin, celălalt de fund, aval de
construcţie.
H
v /2g
h
h
h
45
0
c
c
av
R
2cα
Fig. 16.11. Disipator cilindric circular
Disiparea este sensibilă la variaţia debitului şi nivelului aval.
Radierul disipatorului este puternic solicitat şi necesită construcţii masive.
Jetul aruncat în aval produce eroziuni puternice chiar şi în terenuri rezistente
(ex. la barajul Rihand – India s-a produs o groapă de eroziune de 28 m
adâncime în granit după câteva deversări). Soluţia s-a aplicat la baraje cu
înălţime de până la 140 m.
30. Disipator cu radier cilindric combinat
Acest disipator de energie se compune dintr-o cuvă cilindrică, de
rază R care se prelungeşte în aval cu o suprafaţă plană înclinată faţă de
orizontală cu 8o. Pe această suprafaţă plană sunt plasaţi dinţi de fracţionare
rotunjiţi (pentru a rezista la viteze mari). Radierul se termină cu o placă
plană înclinată cu 8o faţă de orizontală şi are rol de dirijare a jetului. Muchia
Hidraulică vol. II 259
de ieşire din disipator are cotă superioară albiei aval (fig. 16.12). Raza de
curbură a bazinului depinde de sarcina totală H0 şi Frc. Studiile de laborator
s-au întreprins pentru barajul Angostura. Se păstrează ideea deflectării
jetului de orizontală cu 16o, iar dinţii deflectori cu 45
o. Deflectarea diferită a
jetului atenuează efectul de impact asupra albiei aval.
Fig. 16.12. Disipator cu radier cilindric combinat
Fracţionarea lamei intensifică turbulenţa şi transferul de masă şi,
implicit disiparea.
Disipatorul este sensibil la variaţia nivelului aval însă mai puţin
decât disipatorul cilindric.
Barajul de la Porţile de Fier I are un astfel de bazin disipator însă
fără dinţi reflectori. (fig. 16.13).
69.50 Nivelmaxim
63.00 Nivel minimde functionare
55.20
35.037
30.00
23.00
18.50
45.50 Nivel maxim aval
Nivel minim aval pentru
navigatie35.10
31.10
26.00
19.00
Voal de etansare Drenaje
30.6127.468
R=10.30
27.0021.70 31.15
Fig. 16.13. Disipatorul barajului deversor de la Porţile de Fier I
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,63
4
5
6
7
8
9
10
11
R/H0
Fr =V / gh
cc
c
c.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
260
Observaţii generale asupra bazinelor disipatoare de energie. Din analiza bazinelor disipatoare de energie se poate observa că
soluţii cu aplicabilitate generală există numai pentru lucrări mici.
La lucrări cu cădere mare şi mijlocie şi debite considerabile, fiecare
situaţie se analizează în particular, iar dintre soluţiile plauzibile cea
acceptată se diferenţiază în urma experimentărilor de laborator, pe modele
hidraulice.
Trebuiesc respectate totuşi câteva reguli generale, astfel:
- bazinele disipatoare trebuie să fie autocurăţitoare;
- coeficientul pentru înecarea saltului va avea valoarea cu atât mai
ridicată, cu cât nivelul aval se cunoaşte cu mai puţină exactitate;
- trebuie avută în vedere la proiectarea şi realizarea disipatoarelor
dinamica albiei aval datorită eroziunilor care au efect asupra nivelului aval;
- soluţiile cu dinţi de disipare, şicane, redane, prag dinţat trebuie
aplicate cu grijă şi executate cu protecţia muchiilor şi întreţinute
corespunzător, altfel acestea pot periclita siguranţa întregii construcţii.
16.4. RACORDAREA BIEFURILOR ŞI DISIPAREA
ENERGIEI ÎN JETURI LIBERE
Racordarea cu lamă sau jet liber se utilizează la căderi mari – la
baraje deversoare, canale rapide în consolă sau conducte de evacuare – unde
se formează jeturi cu viteză mare, cu traiectorie lungă, astfel ca locul de
impact din aval să nu influenţeze fundaţia construcţiei.
Disiparea energiei poate fi puternică în jetul destrămat, înainte ca
acesta să atingă suprafaţa apei din aval sau poate fi realizat prin impactul
jetului (lamei) compact cu salteaua de apă din aval.
Disiparea în jetul destrămat este complicată, necesită multă
experienţă şi modelare hidraulică şi nu se dezbate aici.
În a doua soluţie, jetul compact se realizează pe o suprafaţă
deversantă netedă, fără discontinuităţi, canal rapid sau trambulină în
consolă, uneori convergentă având în final un prag (nas) de dirijare plan sau
curb a lamei deversate. (fig. 16.14).
Hidraulică vol. II 261
E
laf
avh
Ty
Curba de coborare de tip bII
hcr
0H
t
z c
hc
α
2h
Fig. 16.14. Racordare de biefuri cu jeturi libere
a) cu trambulină; b) deversor cu profil practic;
c) jilip cu trambulină în consolă.
La contactul jetului cu bieful aval se creează o groapă de eroziune.
Din acest considerent jetul trebuie lansat suficient de departe astfel ca
groapa de eroziune să nu influenţeze stabilitatea construcţiei. Prin eroziune
salteaua de apă se dezvoltă până la dimensiunile corespunzătoare disipării
energiei (poate să ajungă până la adâncimi de 20...30 m).
Prin calcule hidraulice se urmăresc parametrii hidraulici ai consolei
(canalului rapid) stabilirea locului de impact al jetului şi dimensiunile gropii
de eroziune.
10. Calculul parametrilor jetului
Lama de apă evacuată sub sarcina E0, accelerează pe parament (sau
în canalul rapid) fiind lansată cu viteza vc de pe trambulină şi parcurge
traiectoria în aer până la întâlnirea saltelei de apă în aval cu adâncimea hav,
apoi sub apă unde realizează o groapă de eroziune cu adâncimea totală her.
(fig. 16.15). Din cauza transformării locale a mişcării, unghiul de lansare αj
nu coincide cu unghiul trambulinei αt (măsurate ambele faţă de orizontală cu
semn plus în direcţie ascendentă). Originea axelor se consideră în centrul
jetului lansat, peste muchia trambulinei la 2
cos jch α⋅, hc fiind adâncimea
contractată (v. 15.3.1). Înclinarea paramentului aval sau al jilipului este αp.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
262
ap
αj
x
VC
αc
βαp
αt
z
H
E
EO
x
y
hCR
αt
δc αi
LC
Ler
VC
Vt
hCcosa2
β
havher
Fig. 16.15. Schema de calcul a racordării cu jet
Bătaia lamei în aer rezultă din traiectoria balistică a particulei din
originea axelor de coordonate
−+
⋅=
2
2
22
sinsincos
c
jjjc
cv
gy
g
vL αα
α (16.23)
în care 2
cos jcc
hy
αδ += .
Viteza de lansare a jetului liber este
( )jcc hEgv αϕ cos5,02 0 ⋅−= (16.24)
unde φ este coeficientul de viteză. Pentru deversor cu profil practic în
calcule orientative (după Skrebkov) φ este:
H
HE −−= 0155,01ϕ (16.25)
La evacuatori cu galerii sub presiune φ = µ. La jilipuri cu
trambulină, vc se poate accepta viteza la sfârşitul curbei de coborâre b2.
Jetul lansat se lărgeşte în plan în lungul traiectoriei, unghiul de
divergenţă (de o parte a planului de simetrie) θ fiind:
c
cc
v
gR
vh
arctg
2
1+
=θ (16.26)
Sub nivelul apei din aval lama parcurge o traiectorie rectilinie având
înclinarea unghiului de incidenţă la suprafaţă αi – formată de tangenta la
traiectoria jetului în aer cu orizontala de sub jet. Astfel distanţa de bătaie la
fundul gropii de eroziune este:
Hidraulică vol. II 263
i
ercer tg
hLL
α+= (16.27)
Unghiul de incidenţă a jetului este:
jc
cji
v
gtgarctg
α
δαα
22
2
cos
2
⋅
⋅+= (16.28)
Viteza jetului în secţiunea de incidenţă este:
gzvi 2ϕ= (16.29)
Bătaia jetului depinde de unghiul de lansare αj şi de aerarea sa pe traiectorie.
Unghiul de lansare a jetului faţă de orizontală, în secţiunea de
desprindere αj se determină pe baza graficului din fig. 16.16 (după Orlov),
cunoscând: β =αp + αt (16.30)
unghiul format de parament şi tangenta trambulinei la punctul de
desprindere, respectiv R/hc.
Unghiul α format de paramentul aval şi direcţia de lansare a jetului
în secţiunea de desprindere rezultă din graficul din fig. 16.16.a, sub forma
α/β = f(β, R/hc). Din relaţia între unghiuri se obţine:
αj = αt – (β – α) (16.31)
unghiurile αt şi αj se consideră pozitive pentru pantă inversă.
Graficul din fig. 16.16.b permite calculul lui αj la devierea jetului
prin suprafaţă plană la jilip cu trambulină în consolă,
=
c
Tj
h
yf ,β
β
α.
Se observă că lungimea planului de deviere este YT = (0,5...3)hc.
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.9
0.95
=0.98
R/h
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1 2 3
20°
30°
40°
50°
60°70°
80°
a b
α β ββ−α
α
α
α
β
βαβ
β=10ο
β
α
αβ
h
R
v
h y
c
p
t
jc
j
c
j
T
c yT
hc
Fig. 16.16. Diagrama pentru calculul unghiului de lansare a jetului:
a). trambulină curbă, b). trambulină plană
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
264
Pe traseul său jetul liber încorporează aer şi se descompune cu atât
mai mult cu cât viteza de lansare este mai mare. Concentraţia de aer în jet
S = 1 – γam/γapă după un parcurs pe orizontală de minimum x/hc ≥ 20, ajunge
la valoarea S = 0,8. Aerarea micşorează bătaia jetului, distanţa reală fiind
KLc în care K < 1 se determină din fig. 16.17 (după Isacenko, Camisvihi şi
Kamenev) în funcţie de numărul Froude la secţiunea de lansare.
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
030 40 50 60 70 80 90 100 110 120
K
=V c2
ghcrF
Fig. 16.17. Factorul de corecţie a lungimii de bătaie a jetului
20. Dimensiunile gropii de eroziune.
După Mirţhulava adâncimea gropii de eroziune în terenuri necoezive
este
avi
i
ier h
ctgvwqh ⋅+
⋅−
−= 25,0
175,01
sin5,24,2
α
αη (16.32)
în care q este debitul specific; η un coeficient de trecere de la o viteză
medie la cea reală (η = 1,5...2) şi w mărimea hidraulică a particulelor
terenului necoeziv.
( )
0
900
75,1
2
γ
γγ
⋅
−=
dgw m (16.33)
s-au notat: d90 – diametrul particulelor cu 90 % din curba granulometrică;
γm şi γ0 – greutăţile specifice ale materialului solid şi apei aerate
γ0 = (1-S) γapă (16.34)
(se poate considera S = 0,8).
Cu oarecare aproximaţie relaţia (16.32) se poate folosi şi pentru
terenuri stâncoase.
Pâlnia de eroziune în terenuri necoezive, după Mihalev, pe fund se
dezvoltă după un cerc de rază
Rer = 0,215her·ctg αi (16.35)
situat pe axa jetului incident submers la care se duc tangente la unghiul
taluzului natural (fig. 16.18.a). În terenuri stâncoase forma şi mărimea
gropii de eroziune (după Iudiţki) are forma din fig. 16.18.b.
Hidraulică vol. II 265
h
h
2h
h
b=2h +4,5h
α Vi
Rer
er
av
hav=0ercr
er
er
unghiul taluzuluinatural
i
a) b)
1:1,5
1:3
Fig. 16.18. Groapa de eroziune la racordarea jeturilor libere
16.5. RACORDAREA BIEFURILOR PRIN CĂDERI
ÎN TREPTE
Configuraţia terenului în anumite situaţii impune racordarea a două
biefuri la diferenţe de cote apreciabile, pe distanţe relativ mici, cu pante
generale mari. Construirea unei singure trepte de cădere ar necesita lucrări
agabaritice, neeconomice şi dificil de realizat tehnic. În asemenea situaţii
căderea totală se divizează în mai multe trepte, rezultând o succesiune de
căderi sau căderi în trepte.
Aceste racordări cu căderi în trepte pot fi realizate cu trepte simple
sau cu bazine disipatoare cu prag pe fiecare treaptă. Ultima soluţie este mai
economică, reducându-se lungimea treptelor şi, implicit, a întregii
construcţii. La pante longitudinale mai mici şi prima soluţie poate fi luată în
considerare (ex. la canale colectoare lângă drumuri în pantă).
Secţiunea transversală a căderilor în trepte este dreptunghiulară sau
trapezoidală (cu taluz abrupt).
În continuare se prezintă calculul hidraulic al căderilor în trepte cu
prag disipator pe fiecare treaptă care asigură înecarea saltului în bazin.
fig. 16.19.
Fig. 16.19. Schema căderilor în trepte
Racordarea cu căderi în trepte se poate realiza în mai multe
variante: cu trepte diferite – în funcţie de configuraţia terenului – sau cu
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
266
trepte egale – situaţie în care căderea hidraulică z1 = z2 = ... = zi sau când
căderea topografică este egală p1 = s1 = s2 = ... = si.
Se prezintă pe larg calculul hidraulic în ultimul caz, când căderea
geometrică este egală pe fiecare treaptă:
p1 = s1= s2 = ... =si = p/i (16.36)
Fiecare treaptă se calculează separat.
Treapta întâi (de intrare) comportă operaţii de calcul hidraulic ca
la bazin disipator simplu cu prag de disipare 16.3.1 pct. 2.
g
vHsE
2
2
0101
⋅++=
α,
pragul de la intrare fiind considerat deversor cu prag lat având înălţimea
pragului amonte nul. Această energie specifică defineşte adâncimea
contractată pe prima treaptă hc1. Conjugata adâncimii contractate hc1”
defineşte adâncimea apei în bazinul disipator al primei trepte hbaz1 = σî·hc1”
şi viteza medie la această adâncime v1 = Q/A1. Geometric rezultă înălţimea
pragului disipator al primei trepte C1 = hbaz1 – H1.
Pentru profilul deversorului pragului 1, din relaţia debitului rezultă
sarcina totală H01, respectiv după scăderea termenului cinetic αv12/2g,
sarcina H1. Se verifică dacă deversorul cu prag lat (de la intrare)
funcţionează liber sau înecat. În cazul funcţionării înecate se refac calculele
pentru acest regim de funcţionare. Se determină lungimea bazinului l1.
Treapta a doua lucrează cu energia specifică totală
E02 = s2 + C1 + H01,
care defineşte adâncimea contractată pe a doua treaptă hc2. Înecarea saltului
pe această treaptă înseamnă hbaz2 = σî·hc2” = H2 + C2. Având hbaz2 rezultă v2
şi din relaţia debitului pragului H02, apoi H2 şi, ulterior C2. Se verifică
funcţionarea pragului treptei 1 la descărcarea pe treapta a doua. În cazul
funcţionării înecate al pragului disipator 1 se reface calculul înălţimii
pragului 1. Ulterior se calculează lungimea bazinului disipator pe treapta a
doua, şi l2.
Celelalte trepte intermediare se calculează identic cu treapta a doua.
Ultima treaptă (de ieşire) este de fapt un bazin disipator realizat
prin adâncirea radierului şi se calculează conform 16.3.1 pct. 1, energia
specifică la care lucrează ultima treaptă fiind E0(i-1) = pi + Ci-1 + H0(i-1) + d.
Se calculează adâncirea radierului d şi lungimea bazinului li.
Cu ajutorul elementelor geometrice calculate se stabilesc cotele de
execuţie ale fundului fiecărui bazin şi ale pragurilor de disipare, precum şi
distanţele pe profilul longitudinal.
Hidraulică vol. II 267
Pragurile fiecărei trepte trebuiesc prevăzute cu barbacane pentru
golirea lor şi pentru a asigura spălarea materialului solid transportat.
16.6. CALCULUL HIDRAULIC AL CANALELOR RAPIDE
(JILIPURI)
16.6.1. Calculul jilipurilor cu pereţi netezi
Jilipurile sunt canale rapide care racordează două biefuri de canal
în regim lent situate la diferenţă de cotă apreciabilă. Atât lăţimea la fund cât
şi secţiunea de curgere pe jilip şi pe biefurile lente racordate sunt diferite;
viteza pe jilip fiind considerabil mai mare secţiunea sa transversală este mai
mică. Din acest considerent din componenţa racordării face parte un tronson
de intrare convergent, canalul rapid (jilipul) propriu-zis şi tronsonul de ieşire
divergent. Biefurile amonte şi aval pot avea secţiuni de diferite forme
(regulate sau neregulate) confuzorul, difuzorul şi jilipul au forme regulate şi
sunt consolidate (fig. 16.20).
În continuare se analizează în parte calculul hidraulic al zonei de
intrare, al canalului rapid propriu-zis şi al zonei de ieşire (liniştitorului).
Problemele ridicate fiind foarte diverse, se analizează numai aspectele cele
mai des întâlnite în practică.
b B
b ie f a m o n te in t ra re c o n fu zo r j i lip ie s ire d ifu z o r l in is t ito r b ie f a v a l
H Hh
h
h h
d
h
V0 0
i= 0 c r
0
i> ic r
b2 s a lt
b a z a v
ia v2
iamh
0
Fig. 16.20. Schema racordării cu canal rapid (jilip)
10. Zona de intrare poate fi controlată de deversor, stăvilar sau
poate să fie liberă (s-au analizat la cap. 14). Bieful amonte prin confuzor
aduce secţiunea biefului amonte la secţiunea jilipului. Confuzorul, scurt, se
construieşte orizontal, iar racordarea poate fi cu timpane verticale, normale
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
268
pe direcţia curentului sau oblic, sau racordare cu suprafeţe riglate
(fig. 16.21), aceste forme influenţând coeficientul de contracţie.
b B b B b B
a. b. c.
ξ =1,0 ξ = 0,7 ξ = 0,4
Fig. 16.21. Forme de racordare a zonei de intrare: a). cu timpan vertical drept;
b). cu timpan vertical înclinat; c). cu suprafeţe riglate.
În cazul intrării cu înălţimea pragului nulă, la schimbare de pantă se
formează adâncimea critică, corespunzătoare debitului şi secţiunii canalului
rapid. În zona de intrare nivelul variază conform celor analizate la îngustare
de secţiune având coeficientul de contracţie ξ menţionat pe fig. 16.21.
20. Zona canalului rapid propriu-zis se caracterizează prin stare
rapidă a mişcării lent variate după o curbă de coborâre de tipul b2 sau de
supraînălţare de tipul c2. Când zona de intrare este controlată de deversor
sau stăvilar, adâncimea contractată după acestea poate ajunge la valori
inferioare adâncimii normale de pe curentul rapid hc < h0, respectiv
adâncimea de intrare pe canalul rapid poate fi inferioară adâncimii normale,
caz în care pe jilip este curbă de supraînălţare c2 Cel mai des însă se
întâlneşte situaţia când intrarea pe jilip are loc cu hcr şi pe canalul rapid
avem o curbă b2 a suprafeţei libere.
În ambele situaţii calculul hidraulic al canalului rapid constă în
trasarea suprafeţei libere a apei şi determinarea adâncimii apei h2 în capătul
aval al jilipului de lungime dată.
30. Zona de ieşire (liniştitorul) trebuie să asigure o racordare cu salt
înecat al jilipului cu bieful aval. Adâncimea h2 la capătul biefului rapid se
consideră adâncimea de intrare în salt h2 = h’. Conjugata sa h” dacă este
superioară adâncimii aval este necesară înecarea saltului într-un bazin
disipator simplu. Bazinul disipator se poate realiza în toate cele trei variante
prezentate la 16.3.1.
Adâncimea apei în bazin trebuie să fie:
hbaz = σî·h” (16.6’)
Hidraulică vol. II 269
În cazul bazinului disipator realizat prin adâncirea radierului
calculele necesită iteraţii succesive, întrucât necunoscuta – adâncimea
bazinului d – lungeşte canalul rapid şi, implicit, modifică adâncimea h2 = h’. Bieful lent din aval totdeauna are lăţimea la bază mai mare decât al
canalului rapid, deci canalul rapid se racordează cu bieful aval printr-un
tronson divergent.
Unghiul de divergenţă θ pe acest tronson trebuie să fie suficient de
mic
=
12
1...
8
1θtg pentru ca pe traseul său să se respecte caracteristicile
mişcării gradual variate şi să nu apară vâne instabile. Saltul hidraulic înecat
se formează în acest tronson divergent, deci disipatorul de energie este în
canal divergent (fig. 16.22).
h ' h "
l s '
d
' "
Bθ
bQ = c
V ' V "
' "
Fig. 16.22. Saltul spaţial în difuzor
Neglijând reacţiunea pereţilor laterali, din teorema impulsului
rezultă:
( ) bhBhvvQ 2
2
1
2
1′′⋅−⋅′⋅=′−′′⋅ γγρ (16.37)
iar din ecuaţia de continuitate:
bhvBhvQ ⋅′′⋅′′=⋅′⋅′= (16.38)
Din cele două ecuaţii rezultă necunoscutele h” şi v”.
Lungimea saltului este:
θtglB
Bll
s
ss
⋅⋅+
⋅=
′
1,0 (16.39)
în care ls este lungimea saltului într-un canal de secţiune dreptunghiulară de
lăţime B. Atenţie trebuie acordată unghiului de divergenţă care trebuie să
satisfacă condiţia θ < 8o.
Observaţie. Utilizarea în variante a jilipurilor sau canalelor cu
căderi în trepte necesită justificare tehnică şi economică (în special).
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
270
16.6.2. Calculul jilipurilor cu macrorugozitate artificială
Din necesităţi tehnice uneori pe racordarea a două biefuri lente cu
un jilip adâncimea minimă a apei, hmin, sau viteza maximă limită, vmax sunt
impuse (canale de plutărit, scări de peşte), iar datorită pantei, aceste
elemente nu se pot realiza pe jilip obişnuit. Pe fundul jilipului, iar uneori şi
pe pereţii lor laterali, se prevăd obstacole din construcţie pentru reducerea
vitezei curentului sau mărirea adâncimii. Aceste obstacole se numesc
macrorugozităţi artificiale. Se realizează sub formă de redane, şicane,
nervuri, mici trepte, alveole de formă specială etc. Prin aceste elemente de
construcţie se ajunge la creşterea suficientă a rugozităţii astfel ca la pante de
până la 15 % să se realizeze viteze medii admisibile (fig. 16.23).
Calculul hidraulic al jilipului şi în acest caz se efectuează după
relaţia lui Chézy, dimensionând tipul de macrorugozitate artificială astfel ca
valoarea coeficientului C realizată să conducă la viteze admisibile. Din
condiţia mişcării uniforme rezultă:
RIA
Q
RI
vC == (16.40)
Parametrii canalului rapid se definesc în afara macrorugozităţilor.
Prin experimentări s-au stabilit formule empirice între geometria şi
amplasamentul macrorugozităţilor şi coeficientul lui Chézy, C.
Macrorugozitatea de fund este caracterizată de parametrii
0
0 şi h
bh== β
σα (16.41)
în care: h0 este adâncimea normală (peste macrorugozitate); b – lăţimea la
fund a canalului; σ – înălţimea macrorugozităţii artificiale.
Fig. 16.23. Tipuri de macrorugozităţi
(1 )
(2 )
(3 )
(4 )
(8 )
h
bb0
0 .1 5 σ
σ λ
(7 )
(6 )
(5 )
λ
Hidraulică vol. II 271
În tabelul 16.1 sunt prezentate relaţiile de calcul pentru coeficientul
lui Chézy, valabile primelor patru tipuri de macrorugozitate pentru pantă
I = 15 %, cu domeniul lor de valabilitate, factorul de corecţie χ pentru pante
diferite de 15%,
=
ii
CC
χ%15 , şi echidistanţa de plasare a lor pe jilip, λ.
În cazul treptelor de fund relaţiile empirice sunt:
- pentru tipul 5 αβ ⋅−⋅+= 67,0101000
3aC
- pentru tipul 6 αβ ⋅−⋅+= 33,1101000
9bC
.
Valorile parametrilor a şi b depind de panta jilipului (tab. 16.2).
Coeficientul Chézy pentru macrorugozitaţi
Tabelul 16.1
Tipul de
macro-
rugozitate
%15 pantapentru 1000
=IC
Domeniul de valabilitate al
relaţiei.
Echidistanţa λ dintre
macrorugozităţi
Factorul de corecţie χ pentru
panta I 4% 7% 10% 15% 20%
1 116,1 - 6,1α - 1,2β 5 ≤ α ≤ 12
λ = 8σ
0,75 0,85 0,93 1,00 1,00
2 85,5 – 3,9α – 0,8β 3,5 ≤ α ≤ 8
1 ≤ β ≤ 6
λ = 8σ
0,75 0,80 0,90 1,00 1,00
3
racordarea cu muchii ascuţite
47,5 – 1,2α + 0,1β
3 ≤ α ≤ 8
λ = 8σ
0,90 1,00 1,10 1,00 0,90
redane rotunjite
50,5 – 3,3α + 0,2β
5 ≤ α ≤ 12
λ = 8σ
0,90 1,00 1,10 1,06 0,90
4
Redane scurte alternante
54,5 – 2,1α – 0,33β
2 ≤ α ≤ 5
λ = 4σ
1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
dinţi alternanţi în şah
52 – 5,1α – 0,8β
2 ≤ α ≤ 5
λ = 4σ
1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
Hidraulică vol. II
273
Parametrii a şi b pentru trepte de fund
Tabelul 16.2
Tipul Parametru Panta I(%) 6 9 12
5 a 19 21 22
6 b 33 36 38
În cazul nervurilor verticale pe pereţii laterali (tipul 7) se definesc
parametrii
cc b
bs
b
hm == şi 0
cu notaţii corespunzătoare fig. 16.23.
Se aplică relaţia empirică
( )11000
21 −+⋅= szmzC
.
Valorile parametrilor z1 şi z2, domeniul de valabilitate a ecuaţiei şi
echidistanţa λ/σ sunt redate în (tab 16.3).
Parametrii z1 şi z2 pentru nervuri laterale
Tabelul 16.3
I (%) z1 z2 Domeniu de utilizare
6 35,5 121 0,12 < m < 0,5
1,08 < s < 1,02
10 < λ/σ < 12 10 39,5 126
15 59,5 131
În cazul redanelor de fund şi nervuri laterale (tipul 8) relaţiile
empirice de calcul sunt:
- pentru panta I = 6 %: 38,18861471000
α⋅−−⋅= sC
- pentru panta I = 10 %: 32,28731551000
α⋅−−⋅= sC
- pentru panta I = 15 %: 3321652511000
α⋅−−⋅= sC
Jilipul se echipează cu macrorugozităţi pe o porţiune din lungimea
sa, în partea aval. Peste macrorugozităţi se menţine adâncimea normală h0
corespunzătoare lui C stabilit prin macrorugozitate. În confuzor şi pe prima
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
274
parte a canalului rapid curentul accelerează, iar macrorugozităţile se pun
unde adâncimea de ieşire din curba b2 este h2 = h0 + σ. (fig. 16.24).
Depinzând de funcţionalul jilipului cu macrorugozitate artificială
acesta poate să fie prevăzut cu un bazin disipator de energie (ex. la
descărcătorul de suprafaţă lateral al lacurilor de acumulare) sau fără astfel
de bazin (ex. jilipuri de plutărit).
σλ
h
zona de Miscare uniforma linistitoraccelerare
confuzorprin curba b2
h =c, v=c cu saufara baz in disipatoro
o
in
Fig. 16.24. Echiparea jilipului cu macrorugozităţi
16.6.3. Calculul canalelor cu trepte în curgere aerată
La evacuatori sau la racordarea biefurilor lente la diferenţe de cote
mari, pe distanţe relativ mici (cu pante mari) se pot utiliza canale cu trepte
cu curgere aerată. Pe de o parte sunt asemănătoare căderilor în trepte, însă
mărimea treptelor este mai mică, nu au bazin disipator şi peste trepte
curgerea este aerată. Pe de altă parte pot fi asemănătoare cu jilipuri cu
macrorugozităţi – forma acestora fiind trepte mici – la care linia vârfului
treptelor formează un pseudo-fund imaginar peste care are loc curgerea
aerată (fig. 16.25). De fapt curentul principal se sprijină pe perna de „apă moartă” de pe trepte, care este recirculată, sub formă de vârtejuri.
b) Fig. 16.25. Canal cu trepte în curgere aerată: a). schema curgerii;
b). evacuatorul în trepte la barajul Clywedog UK.
θ
p
l
Kp
h0
V0
curent aerat
vartejuri
a)
0τ
Hidraulică vol. II
275
Mişcarea vârtejurilor de pe trepte este întreţinută de transmiterea
energiei de la curentul principal prin efortul tangenţial τ0 prin transfer de
impuls. Pe primele trepte de la intrare curentul este neaerat, dar după
trecerea peste câteva trepte se antrenează puternic aerul de la suprafaţă.
Antrenarea de aer în apă are loc când energia cinetică a pulsaţiilor turbulente
ale vitezei la suprafaţă depăşeşte efectul forţelor gravitaţionale şi de tensiune
superficială şi se exprimă prin mărimea pulsaţiei vitezei v’ normale pe
direcţia curgerii, astfel
bd
v⋅
>′ρ
σ8 (16.42)
şi
θcos⋅>′ bvv (16.43)
în care ρ este densitatea apei; db – diametrul bulelor de aer, iar θ – unghiul
pseudo-fundului cu orizontala. Antrenarea de aer are loc când ambele
condiţii sunt satisfăcute şi v’ > 0,1...0,3 m/s, pentru bule de aer având
db = 8...40 mm. Efectul plutirii este atenuat de forţe hidrodinamice şi bulele
sunt antrenate în aval. Soluţia grafică a ecuaţiilor 16.42 şi 16.43 limitează
zona curgerii aerate (fig. 16.26).
0,0001 0,001 0,01 0,1 1
db (m)
V'(m/S)
0,05
0,1
1
75o
60o
45o30
o0o
(16.43)
(16.42)
antrenareaer
θ
Fig. 16.26. Pulsaţia critică a vitezei pentru antrenare de aer
Începutul aerării curentului corespunde punctului unde stratul
limită turbulent atinge suprafaţă liberă. De la intrarea pe canalul în trepte
grosimea saltului limită creşte spre aval, curentul neaerat având o mişcare
permanentă lent variată, apoi, de la punctul de început al aerării mişcarea
este tot gradual variată până la încorporarea unui volum de aer de echilibru
al curentului după care acesta devine uniform. (fig. 16.27).
Pentru curentul aerat cantitatea de aer antrenat este un important
parametru de calcul. Curentul îşi creşte volumul şi, implicit, adâncimea.
Odată cu creşterea concentraţiei de aer scad frecările.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
276
h
h
h
L
p
lθ
C
c
I
I
I
y
zona de cresterestrat limita
0
neaerat
aerat
gradual variat
uniform0τ
Fig. 16.27. Zonarea curgerii în canale cu trepte în curgere aerată
Fig. 16.28. Aspectul curgerii în canal cu trepte în curgere aerată
Disiparea intensă a energiei în lungul curentului aerat, chiar cu
reducerea forţelor de frecare prin aerare, reduc impulsul curentului aerat faţă
de cel neaerat (prin scăderea densităţii amestecului faţă de densitatea apei).
Întreţinerea mişcării vârtejurilor pe trepte disipează mare parte a energiei.
În funcţie de pantă curentul poate să fie şi parţial aerat.
Se prezintă pe scurt: începutul curentului aerat, grosimea stratului
limită, caracteristicile curentului uniform şi disiparea energiei.
10. Începutul curgerii aerate
Începutul mişcării corespunde punctului de dispariţie a presiunii
vacumetrice de pe fundul albiei. Fenomenul prezintă asemănări cu efectul
instalaţiilor de aerare ale lamelor deversante deprimate.
Experienţele au condus la definirea adâncimii critice limită la
intrare pentru curgeri aerate, care depinde de debit, pantă şi geometria
treptelor.
Hidraulică vol. II
277
Relaţia:
( )
1,057 0, 465c l
h p
p l= − (16.44)
delimitează curgerea aerată de formele de curgere cu lamă efluentă şi salt
hidraulic.
Relaţia:
( )
( )1,276
0,0916 /c l
hp l
p
−= ⋅ (16.45)
zonează curgerea cu lamă efluentă şi salt hidraulic (fig. 16.29); s-au notat:
(hc)l – adâncimea critică limită la intrare, p şi l – înălţimea şi lungimea
treptelor.
Fig. 16.29. Adâncimea de început
a mişcării aerate
Relaţiile sunt valabile pentru limitele 0,2 ≤ p/l ≤ 1,25 ; θ < 52o şi
hI > hc.
Localizarea punctului de început al aerării (LI, hI) este definită prin
relaţiile (obţinute prin teorema π şi calibrate experimental):
( ) 356,00796,0sin719,9 Fr
k
L
p
I ⋅= θ (16.46)
( ) 296,004,0sin4034,0 Fr
k
h
p
I ⋅=−
θ (16.47)
respectiv
( )17,0
133,0sin06106,0
⋅=
I
p
I
I
L
k
L
hθ (16.48)
în care:
c
Curgere aerata
Curgere cu lama
deversantaSalt hidraulic inecatSalt
hidraulic
liber p/l
/p)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
l
16.44
16.45
(h
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
278
( )3
2
cossin θθ ⋅⋅=
pg
qFr apa
; (16.49)
înălţimea macrorugozităţii
θcos⋅= pk p (16.50)
θ – unghiul de înclinare a pseudo-fundului faţă de orizontală şi qapă – debitul
specific de apă.
Creşterea grosimii stratului limită turbulent pe canal în trepte este
de 2,9 ori mai mare decât pe un canal lis.
Punctul de început al aerării se deplasează spre aval o dată cu
creşterea debitului.
Forma intrării pe canal în trepte are influenţă mare asupra poziţiei
punctului de început al aerării. (La parametrul unui baraj deversor curbiliniu
la intrare se introduc câteva trepte mai mici însă prin efectul acestora nu se
mai poate defini creşterea grosimii stratului limită turbulent).
20. Caracteristicile curentului aerat uniform
La canale în trepte suficient de lungi, spre capătul aval curentul
tinde la parametrii mişcării uniforme.
Se folosesc uzual următoarele noţiuni:
20.a. Adâncimea normală h0, caracteristică pentru concentraţia
medie de aer Cm.
( )dyChY
∫ −=90
0
0 1 (16.51)
unde: C este concentraţia volumică de aer la adâncimea y peste pseudo-
fund, iar Y90 adâncimea la care concentraţia de aer este de 90 %. (Y şi Y90 se
măsoară normal pe pseudo-fund). Adâncimea normală caracteristică se
defineşte convenţional în intervalul h0Є(0, Y90). La adâncimi peste Y90
măsurătorile sunt incerte.
20.b. Concentraţia volumică medie de aer este
90
0
090
11 90
Y
hdyC
YC
Y
m −=⋅= ∫ (16.52)
adâncimea normală fiind definită prin
( )mCYh −= 1900 (16.53)
Hidraulică vol. II
279
Concentraţia medie de aer în echilibru în canale netede (fără
macrorugozitate) este:
θsin9,0 ⋅=eC (16.54)
iar în albii cu rugozitate foarte mare (în albii naturale de munte):
08,0sin44,1 −⋅= θeC (15.54’)
În canale cu trepte în curgere aerată concentraţia medie de aer în
echilibru este între valorile date de ecuaţiile 16.54 şi 16.54’ (tab. 16.4).
20.c. Coeficientul Darcy – Weisbach în condiţiile aerării, a curgerii
amestecului de apă – aer, λa se reduce faţă de curgerea apei, λ. Prin teorema
π, după calibrări experimentale s-a obţinut:
( )0,514
0,5 1 0,6281
a e
e e
Ctgh
C C
λ
λ
− = +
− (16.55)
Pentru λ se poate utiliza relaţia valabilă pentru canale pavate cu
piatră.
( )
⋅+⋅=
R
k p
4sin1,87,1lg2,3 θλ (16.56)
Coeficientul Darcy – Weisbach pentru curentul aerat λa scade cu
creşterea concentraţiei de aer în echilibru. Rezultate aproape identice se
obţin pentru canale netede şi foarte rugoase (fig. 16.30). Valorile λa/λ se
regăsesc în (tab. 16.4).
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,00
Ce
a/λ λ
Fig. 16.30. Coeficientul Darcy – Weisbach relativ în funcţie de
concentraţia medie de aer
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
280
Concentraţia medie de aer în echilibru, coeficientul Darcy – Weisbach
relativ şi Y90/h0 la canale în trepte
Tabelul 16.4.
θ Ce Y90/h0 λa/λ p/l 0 0 1,00 1,00 0
7,5 0,1608 1,192 0,964 0,132
15 0,2411 1,318 0,867 0,268
22,5 0,3100 1,449 0,768 0,414
30 0,4104 1,696 0,632 0,577
37,5 0,5693 2,322 0,430 0,767
45 0,6222 2,647 0,360 1,00
60 0,6799 3,124 0,277 1,732
20.d. Viteza medie v0 şi adâncimea normală h0.
Prin aplicarea ecuaţiei teoremei impulsului şi continuităţii se obţine
viteza medie şi adâncimea normală.
30
0
sin8sau sin
8
acra v
vR
gv
λ
θθ
λ
⋅=⋅= (16.57)
respectiv
( )
00 33 3
sau 8 sin 8 1 sin
aa a
cr cr e
Yh
h h C
λ λ
θ θ= =
⋅ − (16.58)
unde hcr este adâncimea critică definită pentru curent neaerat.
Profilul de viteză pe canale de secţiune dreptunghiulară în trepte în
curgere aerată, aproximată cu o funcţie putere este:
N
h
v
v
v/1
0max
= (16.59)
cu N = 3,5...4 faţă de canale rapide lise unde N ~ 6. Viteza maximă se
obţine în apropierea suprafeţei libere.
20.e. Disiparea energiei în curent aerat.
Curentul aerat este caracterizat prin frecări mari pe fundul în trepte.
Mare parte a energiei se disipează prin întreţinerea mişcării vârtejurilor de
sub pseudo-fund.
Pentru curent aerat uniform pierderea relativă de energie la canal cu
intrare liberă este:
Hidraulică vol. II
281
2
0
0
max
1cos
21
3
2
cr
cr
cr
h h
h hhr
pH
h
θ α
+ ⋅ = −
+∑ (16.60)
iar la canal cu intrare controlată de stăvilar
2
0
0
0max
1cos
21
cr
cr
cr
h h
h hhr
H pH
h
θ α
+ ⋅ = −
+∑ (16.61)
în care Hmax este căderea hidraulică, ∑p – căderea geometrică, H0 – sarcina
totală sub care lucrează stăvilarul la intrare şi α coeficientul lui Coriolis.
Înlocuind hcr/h0 din (16.58) se obţin:
- pentru intrare liberă:
1/3 2/3
max
1
8 sin 2 8 sin1
3
2
a a
cr
hr
pH
h
λ λα
θ θ
−
+ ⋅ ⋅ ⋅ = −
+∑ (16.60’)
- pentru intrare controlată de stavilă:
1/3 2/3
0max
1
8 sin 2 8 sin1
a a
cr
hr
H pH
h
λ λα
θ θ
−
+ ⋅ ⋅ ⋅ = −
+∑ (16.61’)
În cazul ∑p/hcr > 20 mai mult de 80 % din Hmax se disipează pe
canalul cu trepte cu curgere aerată (fig. 16.31).
Canal cu trepte si curgere aerata
Infasuratoarea pierderilor
Curgeri neaerate
Curgeri aerate pe pat neted
20 40 60 80 100 120
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
hr /Hmax
p/hcrΣ0
Fig. 16.31. Energia disipată în diferite curgeri
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
282
Energia reziduală în avalul curentului pe canal cu trepte în curgere
aerată este:
3/23/1
max sin82
1cos
sin8
−
⋅⋅+
⋅=
θ
λαθ
θ
λ aarez
H
h
Energia reziduală rezultă din accelerarea curentului aerat spre aval
şi din micşorarea factorului de fricţiune cu aerarea.
Energia reziduală trebuie disipată la racordarea cu bieful aval lent
prin bazine disipatoare simple care asigură salt hidraulic înecat.
16.7. APLICAŢII
10. Două biefuri ale canalului cu secţiune dreptunghiulară sunt
separate cu un deversor Bazin. Se cunosc: Q = 6 m3/s; b = 3,0 m;
n = 0,016; i=1 ‰; p1 = 1,4 m; p = 2,50 m; α = 1,1 şi φd = 0,98. Să se
dimensioneze un bazin prin adâncirea radierului şi fund orizontal pentru
disiparea energiei (φp = 0,95; σî = 1,1 şi β = 0,75).
EE p
p
0n 1
c
02
z01
H
h
hbaz
d
∆ ∆z 0
v /2g
h
α
s
V0
V
2
0 b
c
H0 h
l l
l l
l baz
β
Fig. 16.33. Bazin disipator simplu
Rezolvare.
a. Se dimensionează canalul în MU şi se calculează adâncimea
critică
h0 (m)
A (m
2)
P (m)
R (m)
C (m
0,5/s)
Q (m
3/s)
1,29 3,87 5,58 0,694 58,8 5,99
Hidraulică vol. II
283
765,0381,9
61,13
2
2
32
2
=⋅
⋅=
⋅=
gb
Qhcr
αm
b. Calculul deversorului
b.1. Coeficientul de debit
++
+=
2
1
55,010027,0
405,0pH
H
Hm
În prima ipoteză m = 0,405 şi rezultă sarcina totală pe deversor:
m 08,181,923405,0
6
2
3/23/2
0 =
⋅⋅=
=
gmb
QH
Pentru H ~ H0 rezultă:
( ) ( )
m/s 81,008,14,13
6
01
0 =+
=+
=Hpb
Qv
şi
m 04,181,92
81,01,108,1
2
22
0
0 =⋅
⋅−=
⋅−=
g
vHH
α.
Se recalculează: m, H0, b0 şi H rezultând m = 0,448; H0 = 1,01 m; v0 = 0,84 m/s; H = 0,96 m. După o nouă iteraţie se obţin: m = 0,447; H0 = 1,01; v0 = 0,84 m/s; H = 0,94 m care rămân la fel la această precizie după o nouă
iteraţie.
c. Calculul disipatorului. Adâncirea radierului fiind necunoscută la
prima iteraţie nu se ia în calcule.
c.1. energia specifică a curentului.
E0 = H0 + p = 1,01 + 2,5 = 3,51 m
c.2. adâncimea contractată.
( )cd
chEgb
Qh
−⋅=
02ϕ
se calculează prin iteraţii, prima dată neglijându-se hc de sub radical
m 229,051,381,92398,0
61 =
⋅⋅⋅=ch
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
284
a doua iteraţie:
( )
m 235,0229,051,381,92398,0
62 =
−⋅⋅⋅=ch
a treia iteraţie
( )
m 236,0235,051,381,92398,0
63 =
−⋅⋅⋅=ch
(hc2 – hc3) = 0,001 m ≤ εhc = 1 mm, deci hc = 0,236 m.
c.3. conjugata adâncimii contractate şi adâncimea bazinului sunt:
m 84,11236,0
765,081
2
236,0181
2
33
=
−
+=
−
+=′′
c
crc
h
hhh
hbaz = σî h” = 1,1·1,84 = 2,02 m.
c.4.
m 09,002,2
1
29,195,0
1
381,92
611
2 2222
2
22
02
22
2
=
−
⋅⋅⋅=
−
⋅=∆
bazp hhgb
Qz
ϕ
c.5. adâncimea bazinului
d = hbaz – h02 - ∆z = 2,02 – 1,29 – 0,09 = 0,64 m
Se modifică E0, ca fiind E0 = p + H0 + d = 2,5 + 1,01 + 0,64 = 4,15 m,
pentru care rezultă: hc = 0,233 m; h” = 1,85 m; hbaz = 2,03 m; ∆z = 0,09
m şi d = 0,65 m.
Refăcând calculele pentru E0 = 2,5 + 1,01 + 0,65 = 4,16 m, se obţin:
hc = 0,233 m; h” = 1,85 m; hbaz = 2,03 m; ∆z = 0,09 m şi d = 0,65 m.
c.6. lungimea bazinului este:
lbaz = lb + β·ls = 2,90 + 0,75·9,70 = 10,18 m
- lungimea saltului: ls = 6(h” – h’) = 6(1,85 – 0,233) = 9,70 m
- lungimea de bătaie a lamei:
( )
( ) m 90,297,0445,065,05,297,067,0
01,1447,0297,027,0
445,067,0
227,0
2/3
2/3
0
=⋅++⋅
⋅⋅+⋅=
=⋅++⋅
⋅+= Hdp
H
HmHlb
Hidraulică vol. II
285
20. Să se dimensioneze disipatorul de energie a golirii de fund
orizontale a unui lac de acumulare, cunoscând: D = 1,5 m; H = 0,8 m; ∑ζ = 3,9. Apa se evacuează într-un canal de secţiune trapezoidală, având:
b = 1,5 m; i = 1‰; n = 0,02; m = 2 şi h0 = 1,54 m.
Se consideră α = 1,1; σs = 1,1; φ = 0,95 şi β = 0,75.
H = 8 m
D = 1 , 5 m
h = 0 , 7 3 m
h = 3 , 4 7 mh = 1 , 5 4 m
z = 0 , 8 5 m
d = 1 ,0 8 m
x = 3 , 9 4 m l = 1 4 , 1 6 m
vm a x = 8 , 4 m / s
c
m a x m a x
0 2b a z
Z
X
s e c t 1 - 1 s e c t 2 - 2 s e c t 3 - 3 s e c t 4 - 4
1 2 3
1 2 3
4
4
0 ,0 0
0 , 0 0
Fig. 16.34. Bazin disipator la golirea de fund.
Rezolvare.
Între galerie şi disipator se interpune o zonă intermediară de dirijare
a jetului. Cea mai simplă soluţie constructivă este o chiunetă de secţiune
mixtă (semicircular + dreptunghiular) construită astfel încât să evite
desprinderea jetului. Pentru o galerie cu ieşire orizontală rezultă un contur
parabolic descris de ecuaţia:
2
2
max2x
v
gz = ,
unde vmax = 1,5Q/A; A – secţiunea galeriei.
Se acceptă un disipator cu adâncirea radierului de secţiune
dreptunghiulară (cu b = D = 1,5 m) fără deflectare a jetului.
Se calculează elementele:
a. Debitul descărcat şi viteza în galerie:
m/s 60,55,1
9,494
/m 9,91,19,3
881,92
4
5,12
4
220
322
=⋅
=⋅
==
=+
⋅⋅⋅=
+
⋅⋅=
∑
ππ
π
ας
π
D
Q
A
Qv
sHgD
Q
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
286
b. Viteza maximă de ieşire din galerie:
m/s 40,860.55,15,1 0max =⋅=⋅= vv .
c. La această viteză a apei în capătul aval al tronsonului intermediar
rezultă adâncimea (contractată)
m 79,05,14,8
9,9
max
=⋅
=⋅
=bv
Qhc .
d. Calculul disipatorului:
- conjugata adâncimii contractate
m 15,3179,05,181,9
9,91,181
2
79,01
81
2 32
2
32
2
=
−
⋅⋅
⋅⋅+=
−
⋅⋅
⋅⋅+=′′
c
c
hbg
Qhh
α
- adâncimea în bazin:
hbaz = σs·h” = 1,1·3,15 = 3,47 m.
- denivelarea la ieşirea din bazin:
m 85,047,3
1
54,195,0
1
5,181,92
9,911
22222
2
22
02
22
2
=
−
⋅⋅⋅=
−
⋅=∆
bazhhgb
Qz
ϕ
- adâncimea bazinului:
d = hbaz – h0 - ∆z = 3,47 – 1,54 – 0,85 = 1,08 m.
- lungimea saltului:
ls = 6(h” – hc) = 6(3,14 – 0,79) = 18,88 m
- lungimea bazinului disipator:
lbaz = β·ls = 0,75·18,88 = 14,16 m
e. Elementele tronsonului intermediar:
- forma longitudinală a tronsonului – parabolă cu ecuaţia:
22
2
2
2
max
0695,040,82
81,9
2xxx
v
gz ⋅=
⋅=
⋅=
- lungimea tronsonului intermediar se obţine pentru z = d, deci:
m 94,381,9
08,140,822 22
max =⋅⋅
=⋅⋅
=g
dvx
- tronsonul de legătură este o suprafaţă riglată după arc de parabolă
în lung, sprijinit pe un semicerc în amonte şi dreaptă orizontală în aval.
Hidraulică vol. II 287
CAPITOLUL 17
MIŞCAREA NEPERMANENTĂ A LICHIDELOR
CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ
17.1. CONSIDERAŢII GENERALE. TIPURI DE UNDE
În albiile naturale şi artificiale regimul de curgere se modifică
continuu datorită variaţiei în timp a unor condiţiilor naturale - infiltraţii,
precipitaţii, evaporaţii, precum şi condiţiilor de exploatare a albiilor -
consumuri de apă, ecluzări, barări etc. Cu excepţia precipitaţiilor care produc
scurgeri importante, condiţiile naturale pot fi în general neglijate în analiza
regimurilor de curgere în albii. Modul de exploatare al albiilor este cel care
determină de fapt regimul de curgere în albii.
Variabilitatea condiţiilor naturale şi a modului de exploatare a albiilor
fac ca regimul de curgere să fie nepermanent, respectiv mişcarea apei să fie
variabilă în timp, fapt ce determină apariţia unor unde a căror principală
caracteristică este că transportă debit (unde de translaţie).
Regimul de curgere nepermanent se consideră gradual variat dacă
undele de translaţie sunt longitudinale (mişcarea are loc preponderent pe
direcţia canalului) şi de adâncime redusă (întreaga secţiune transversală fiind
afectată de deplasarea perturbaţiei). Regimul de curgere nepermanent se
consideră rapid variat când apar unde cu front abrupt (în general la mişcarea
bruscă a stavilelor, ruperi de baraje etc).
Undele pot fi directe (când se propagă spre aval) şi inverse (când se
propagă spre amonte). Dacă o undă determină supraînălţarea nivelului
suprafeţei libere a apei se numeşte undă pozitivă, iar dacă determină coborârea
nivelului suprafeţei libere se numeşte undă negativă. Atât undele directe cât şi
inverse pot fi pozitive sau negative.
În canale se pot întâlni următoarele tipuri de unde (fig. 17.1):
- undă pozitivă directă (undă de umplere), apare când debitul creşte
într-o secţiune amonte (fig. 17.1.a.);
- undă pozitivă inversă (undă de stăvilire), apare când debitul se
reduce într-o secţiune aval (fig. 17.1.b.);
- undă negativă directă (undă de flux), apare când debitul se reduce
într-o secţiune amonte (fig. 17.1.c.).
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 288
- undă negativă inversă (undă de golire), apare când debitul creşte
într-o secţiune aval (fig. 17.1.d.).
Fig. 17.1. Principalele tipuri de unde în mişcare nepermanentă cu suprafaţă liberă
17.2. ECUAŢIILE MIŞCĂRII NEPERMANENTE ÎN ALBII
17.2.1. Ipotezele care stau la baza modelului unidimensional
În mişcare nepermanentă viteza apei are componente şi în planul
secţiunii transversale a albiei, iar pentru modelarea matematică a mişcării
nepermanente este necesar să se apeleze la schematizări simplificate, care să
încorporeze doar aspectele cu influenţă esenţială asupra proceselor reale şi, de
multe ori să se ignore cele de importanţă secundară.
După ce se stabilesc ecuaţiile ce modelează procesul fizic în aspectele
lui principale, tratarea lor matematică sau numerică nu alterează natura fizică a
procesului analizat dacă tratarea respectivă este executată corect.
De obicei se realizează o schematizare unidimensională, astfel încât
curgerea nepermanentă în albii este descrisă prin evoluţia în timp, în orice
secţiune transversală, a două variabile dependente şi anume: cota suprafeţei
libere a apei y (sau adâncimea apei h) şi debitul Q (sau viteza medie în secţiune
V). Aceste variabile dependente definesc starea mişcării în raport cu două
variabile independente: poziţia spaţială în lungul albiei x (faţă de o origine
aleasă convenabil) şi timpul t (faţă de momentul apariţiei perturbaţiei).
a)
Corpul undei
Frontul undei
Pozitia initiala a
suprafetei libere
b)
Pozitia initiala a
suprafetei libere Limita undei
c)
Pozitia initiala a
suprafetei libere
Limita undei
d)
Pozitia initiala a
suprafetei libereLimita undei
Hidraulică vol. II 289
Aşadar sunt necesare două ecuaţii care să lege între ele variabilele
dependente şi independente care apar în curgerea nepermanentă în albii. Aceste
două ecuaţii provin din legile de conservare ale masei, cantităţii de mişcare şi
energiei mecanice.
Ipotezele care stau la baza modelului unidimensional, împreună cu
ecuaţiile ce descriu mişcarea unidimensională nepermanentă au fost formulate
de Barré de Saint-Venant la 1871 la Academia Franceză în lucrarea: “Théorie et equations generales du mouvement non-permanent des eaux courantes”, şi sunt:
- curgerea este unidimensională cu viteză uniformă în secţiune
transversală şi suprafaţă liberă orizontală în direcţia transversală;
- curbura liniilor de curent este redusă şi acceleraţiile după verticală,
neglijabile, astfel încât distribuţia de presiune în secţiune transversală este
hidrostatică;
- efectele turbulenţei şi a frecărilor cu patul albiei sunt descrise de
relaţiile identice cu cele din mişcarea permanentă;
- panta medie a canalului în lungul curentului este suficient de redusă,
astfel încât se poate aproxima cos α cu orizontala şi sin α ≈ tg α ≈S0;
- forma secţiunii transversale a canalului se admite arbitrară şi
variabilă în lungul albiei, dar cu variaţii lente care să nu afecteze puternic
curbura liniilor de curent;
În literatura de specialitate ecuaţiile mişcării nepermanente în albii
deschise sunt denumite ecuaţiile Saint-Venant. Pentru analiza mişcării apei în
canale se pot utiliza mai multe forme ale ecuaţiilor Saint-Venant, care, faţă de
forma lor iniţială, au suferit în timp generalizări şi îmbunătăţiri.
17.2.2. Forma integrală a ecuaţiilor Saint-Venant
Pentru deducerea formei integrale a ecuaţiilor Saint-Venant se
consideră (fig. 17.2.) un volum de control în domeniul (x, t) delimitat de două
secţiuni transversale (plasate la poziţiile x = x1 şi x = x2 în lungul curentului) şi
încadrat între două momente consecutive de timp (t = t1 şi respectiv t = t2 ). După Cunge, forma integrală a ecuaţiei de continuitate (conservarea
masei) derivă din următorul enunţ: cantitatea netă de masă intrată în volumul de control în intervalul (t1 ÷ t2) trebuie să fie egală cu masa volumului acumulat în volumul de control în acelaşi interval.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 290
Egalând cantitatea de masă intrată cu masa volumului de control în
intervalul (t1 ÷ t2), rezultă forma integrală a ecuaţiei de continuitate pentru un
fluid incompresibil:
dt)Q(Qdx)A(A2
1
21
2
1
12
t
txx
x
xtt ⋅−=⋅− ∫∫ (17.1)
în care V este viteza considerată uniformă în secţiune transversală, iar A - aria
secţiunii vii. V şi A sunt funcţii de x şi t, astfel încât debitul va fi:
Q = A ⋅ V = Q(x,t) (17.2)
Relaţia (17.1) reprezintă forma integrală a ecuaţiei de continuitate.
Fg
Ff
Fp2
Fp1
x1 x2 x
0
y
z
a)
B
z
z
b( )
a
b-
ξ
h
z
yx
f
0
c)
Fm1
Fm2
Fp2Fp1 x0
b)
y
ξ
ξ
ξ
Fig. 17.2. Schemă pentru deducerea ecuaţiilor mişcării nepermanente
Notaţiile din fig. 17.2. au următoarele semnificaţii: Fp – forţe de
presiune exercitate în secţiunile transversale x1 şi x2, Fm – forţe de presiune
datorate neuniformităţii secţiunii transversale în lungul albiei, Fg – componenta
greutăţii proprii a masei de apă din volum, orientată după axa x, Ff – forţe de
rezistenţă datorate vâscozităţii şi frecărilor la patul albiei, zf – cota fundului
albiei faţă de un plan de referinţă, z – cota suprafeţei libere a apei în canal,
h – adâncimea apei în albie, B – lăţimea la luciul apei, ξ – adâncime oarecare a
Hidraulică vol. II 291
apei, dξ – creşterea infinitezimală a adâncimii apei, b(ξ) – lăţimea albiei la
adâncimea ξ.
Definind cantitatea de mişcare ca produsul dintre masă şi viteză, iar
fluxul (sau debitul) de cantitate de mişcare ca produsul dintre debitul masic
(ρVA) şi viteza V, forma integrală a ecuaţiei de conservare a cantităţii de mişcare derivă din următorul enunţ: modificarea cantităţii de mişcare din volumul de control în intervalul (t1÷t2) trebuie să fie egală cu fluxul net de cantitate de mişcare intrat în volumul de control pe acelaşi interval, plus integrala forţelor exterioare ce acţionează asupra volumului de control, pe intervalul (t1÷t2). Plecând de la acest enunţ se obţine forma integrală a ecuaţiei de conservare a cantităţii de mişcare (17.3):
∫ ∫∫ ∫
∫∫∫
⋅⋅−+⋅⋅−
−−+⋅−⋅=⋅−
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
21
2
1
21
2
1
12
t
t
x
xf0
t
t
x
x2
t
tx1x1
t
txx
x
xtt
dtdx)SA(SgdtdxIg
dt])(I)[(Igdt]V)(QV)[(Qdx)Q(Q
(17.3)
unde I1 şi I2 sunt notaţii şi au valorile:
ξξξρ d)b(x,][h(x)Ih(x)
01 ⋅⋅−= ∫ ,
şi
ξξ
ξ dx
)b(x,][h(x)I
consth
h(x)
02 ⋅
∂
∂−=
=∫ ,
unde S0 reprezintă panta fundului albiei şi Sf – panta de frecare.
Ecuaţiile (17.1) şi (17.3) sunt ecuaţiile integrale care guvernează
curgerea unidimensională şi nepermanentă, în schematizarea presupusă de
ipotezele lui Saint-Venant. La deducerea lor s-a impus condiţia ca variabilele
dependente (Q sau V şi h sau y) sau mărimile hidraulice care depind de acestea
(A, B, Sf etc.) să fie funcţii continue şi/sau derivabile şi nu s-a limitat volumul
de control din domeniul (x, t) la dimensiunile infinitezimale dx şi respectiv dt. Forma integrală a ecuaţiilor Saint-Venant este foarte rar utilizată în
aplicaţii practice, deoarece integrarea ecuaţiilor în această formă este foarte
dificilă. De cele mai multe ori se utilizează forma diferenţială a acestor ecuaţii,
mult mai uşor de aplicat practic. În paragraful următor se prezintă forma
diferenţială a acestor ecuaţii.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 292
17.2.3. Forma diferenţială a ecuaţiilor Saint-Venant
Aceste forme ale ecuaţiilor diferenţiale se deduc din formele integrale
(17.1) şi (17.3) dacă se admite că variabilele dependente şi mărimile influenţate
de ele sunt funcţii continue şi derivabile în raport cu variabilele independente x
şi t. Prin dezvoltări în jurul valorilor de la momentul iniţial t1, sau
respectiv din secţiunea amonte x1) şi reţinând doar primii doi termeni ai acestor
dezvoltări, prin prelucrări ulterioare, formele diferenţiale ale ecuaţiilor
Saint-Venant, (după R. Popa), devin:
- pentru ecuaţia de continuitate:
0x
Q
t
A=
∂
∂+
∂
∂; (17.4)
- pentru ecuaţia de conservare a cantităţii de mişcare (dinamică):
( )
0SAgSx
hAg
x
VQ
t
Qf0 =⋅⋅+
−
∂
∂⋅⋅+
∂
⋅∂+
∂
∂ (17.5)
unde semnificaţia termenilor de mai sus este aceeaşi ca şi pentru forma
integrală.
Formele diferenţiale ale ecuaţiilor Saint-Venant pot fi scrise şi în
forme echivalente pentru alte perechi de variabile, prin simple transformări
matematice, plecând de la relaţiile (17.4) şi (17.5). Astfel:
- variabile dependente sunt debitul Q(x,t) şi adâncimea apei h(x,t);
0x
Q
B
1
t
h=
∂
∂⋅+
∂
∂ (17.6)
( ) 0SSAgx
hAg
A
Q
xt
Q0f
2
=−⋅⋅+
∂
∂⋅⋅+
∂
∂+
∂
∂ (17.7)
- variabile dependente sunt debitul Q(x,t) şi cota suprafeţei libere a
apei y(x,t);
0x
Q
B
1
t
y=
∂
∂⋅+
∂
∂ (17.8)
0SAgx
yAg
A
Q
xt
Qf
2
=⋅⋅+
∂
∂⋅⋅+
∂
∂+
∂
∂ (17.9)
- variabile dependente sunt viteza V(x,t) şi adâncimea apei h(x,t);
0x
A
B
V
x
hV
x
V
B
A
t
h
consth
=
∂
∂+
∂
∂⋅+
∂
∂⋅+
∂
∂
=
(17.10)
Hidraulică vol. II 293
( ) 0SSgx
hg
x
VV
t
V0f =−⋅+
∂
∂⋅+
∂
∂+
∂
∂ (17.11)
- variabile dependente sunt viteza V(x,t) şi cota suprafeţei libere a apei
y(x,t)
0x
A
B
VS
x
yV
x
V
B
A
t
y
consth0 =
∂
∂+
+
∂
∂⋅+
∂
∂+
∂
∂
=
(17.12)
0Sgx
yg
x
VV
t
Vf =⋅+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂ (17.13)
Perechile de ecuaţii de la (17.6) la (17.13) sunt echivalente doar în
cazul mişcărilor nepermanente gradual variabile şi dacă variabilele dependente
şi mărimile ce depind de aceste variabile sunt funcţii continue şi cel puţin o
dată derivabile în raport cu variabilele independente x şi t. Alegerea uneia sau
altei forme este în funcţie de problema ce trebuie rezolvată.
17.2.4. Forme generalizate ale ecuaţiilor Saint-Venant
În practica hidrotehnică sunt multe situaţii de curgeri care nu satisfac
în totalitate ipotezele ce stau la baza modelului unidimensional în baza căruia
au fost deduse ecuaţiile Saint-Venant. Acest lucru se datorează faptului că
albiile naturale nu au o rugozitate constantă în secţiune transversală, viteza nu
este constantă în secţiune transversală, frecările cu patul albiei minore şi majore
au valori diferite, curbura şi panta patului albiei pot prezenta variaţii bruşte.
Din acest motiv s-a încercat adaptarea acestor ecuaţii astfel încât să se poată
modela cât mai fidel procesele respective.
Dacă albia nu are rugozitate constantă în secţiune transversală (ce
conduce la viteză neuniformă în secţiune transversală), ecuaţia de conservare a
cantităţii de mişcare trebuie corectată cu coeficientul lui Boussinesq, astfel:
0gASx
zgA
A
Q
xt
Qf
2
B =+∂
∂+
∂
∂+
∂
∂β (17.14)
unde debitul Q este produsul dintre viteza medie pe secţiune şi aria acesteia, iar
βB este coeficientul Boussinesq:
AV
dyh
2
B
0y
2y
B
∫ ⋅⋅
=
ν
β (17.15)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 294
unde s-a folosit V pentru viteza medie în secţiune (Q = V⋅A), iar νy şi hy
reprezintă viteza medie pe verticală şi, respectiv, adâncimea la distanţă
transversală y faţă de malul de referinţă.
În cazul existenţei unui aport lateral de debit, notând cu q debitul
lateral afluent pe unitatea de lungime de albie (exprimat în m2/s), ecuaţia
dinamică devine:
0qVDgASx
zgA
A
Q
xt
Qf
2
B =⋅−⋅−
+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂β (17.16)
unde D are expresii diferite, în funcţie de natura debitului lateral.
La albii de lăţimi mari, trebuie ţinut cont de forţele de rezistenţă
exercitate pe suprafaţa apei de către vânt, care pot să aibă o pondere însemnată
în bilanţul cantităţii de mişcare. Efectul vântului a fost introdus printr-un nou
termen în ecuaţia dinamică sub forma:
0cosBWVqgADSx
zgA
A
Q
xt
Qw
2f
2
B =⋅⋅−−−
+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂αξβ (17.17)
unde W este viteza vântului, al cărei vector face unghiul αw cu sensul pozitiv al
axei Ox, iar ξ este coeficientul adimensional de rezistentă datorat vântului.
Aportul lateral de debit determină modificarea ecuaţiei de continuitate,
iar aceasta trebuie completată cu un nou termen astfel:
0qx
Q
t
zB =−
∂
∂+
∂
∂ (17.18)
Ecuaţiile (17.17) şi (17.18) au fost obţinute pe baza altor ipoteze decât
cele în care au fost obţinute perechile de ecuaţii de la (17.6) la (17.13) şi nu
sunt echivalente.
Termenii sau coeficienţii care apar în ecuaţiile Saint-Venant pot fi
precizați astfel:
Panta de frecare Sf, se poate calcula ca pentru mişcarea uniformă, sub
forma:
2
2
22
2
2
2
fK
Q
RAC
Q
RC
VS === , (17.19)
în care C este coeficientul Chézy, R - raza hidraulică, K - modulul de debit
(debitanţa), iar V - viteza medie în secţiune transversală.
Coeficientul Chézy poate fi exprimat, fie prin intermediul
coeficientului Strickler - Ks, fie cu ajutorul coeficientului de rugozitate
Manning - n, astfel încât modulul de debit va fi:
Hidraulică vol. II 295
32s ARKK ⋅= sau 32AR
n
1K = (17.20)
şi K=K(h) sau K=K(z). Pentru o albie cu rugozitate neuniformă în secţiune transversală,
problema coeficientului Chézy se tratează ca pentru cazul mişcării uniforme.
Termenul Sf va apare în ecuaţia dinamică sub forma:
2f
K
QQS = , (17.21)
Pierderile prin frecare sunt cuantificate cu semnul adecvat, în funcţie
de sensul curgerii pe albie la un moment dat. Deci, dacă se foloseşte formula
Manning pentru coeficientul Chézy, ecuaţia (17.17) se va scrie:
0cosBWVqgADRA
QQngA
x
zgA
A
Q
xt
Qw
2342
22
B =⋅⋅−−−+∂
∂+
∂
∂+
∂
∂αξβ (17.22)
Problema afluenţilor se poate trata diferit funcţie de mărimea acestora
comparativ cu albia principală. Pentru un afluent cu debit mic, aportul lateral se
poate introduce sub forma unui debit distribuit q = Qa/∆x, unde Qa este debitul
afluentului, iar ∆x, este un segment de albie de lungime redusă din jurul
confluenţei. Pentru un afluent de dimensiuni apreciabile, analiza regimului
nepermanent pe cursul inferior al afluentului, se poate trata ca o problemă de
mişcare nepermanentă pentru un sistem de albii interconectate.
Coeficientul de rezistenţă datorat vântului ξ se exprimă în funcţie de
densitatea apei ρ, densitatea aerului ρa şi un coeficient de frecare la suprafaţă
cR, prin relaţia:
ρ
ρξ a
Rc ⋅= (17.23)
Dificultatea constă în evaluarea corectă a coeficientului de frecare cR
care, conform experienţelor, depinde nu numai de adâncimea apei, ci şi de
înălţimea şi celeritatea undelor de suprafaţă (valuri) create de vânt. Valorile
reprezentative ale lui se plasează în domeniul cR = (1,5 ÷ 2,6)10-3
, pentru
vânturi de la slabe spre puternice.
17.2.5. Forme simplificate ale ecuaţiilor Saint-Venant
De multe ori este posibil să se obţină forme simplificate ale ecuaţiilor
de curgere, forme adecvate pentru modelarea mai multor situaţii fizice întâlnite
în practica hidrotehnică. Dacă problemele analizate admit simplificări, se poate
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 296
reduce efortul pentru analiza comportamentului sistemului analizat - în raport
cu factorii esenţiali care îl influenţează.
Ecuaţia dinamică (17.11) se poate scrie sub forma:
t
V
g
1
x
V
g
V
x
hSS 0f
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂−= (17.24)
şi neglijând ultimul termen din membrul drept se obţine ecuaţia dinamică
valabilă în mişcarea permanentă şi neuniformă, adică:
x
V
g
V
x
hSS 0f
∂
∂−
∂
∂−= (17.25)
Renunţând şi la ultimii doi termeni din membrul drept al ecuaţiei
(17.25) se obţine:
Sf = S0, (17.26)
Această ecuaţie este valabilă în mişcarea permanentă şi uniformă, la care panta
liniei energiei, panta suprafeţei libere şi panta fundului sunt egale între ele.
Ecuaţia debitului devine:
0f SKSKQ == (10.27)
adică ecuaţia mişcării permanente şi uniforme.
Un alt mod de abordare a simplificării ecuaţiilor Saint-Venant se
bazează pe analiza ordinului de mărime al termenilor din ecuaţia dinamică.
Fiecare termen din ecuaţia (17.13) scrisă sub forma:
0Sx
z
x
V
g
V
t
V
g
1f =+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂, reprezintă o pantă, şi anume:
* t
V
g ∂
∂1 reprezintă panta liniei energiei datorată variaţiei vitezei în
timp (acceleraţiei);
*
∂
∂=
∂
∂
g
V
xt
V
g
V
2
2
reprezintă panta datorată sarcinii cinetice în
spaţiu, din mişcarea permanentă;
* x
z
∂
∂ reprezintă panta suprafeţei libere;
* Sf reprezintă panta de frecare, datorată rezistenţei la curgere opusă de
frecările vâscoase şi la maluri.
Hidraulică vol. II 297
Primii doi termeni sunt termeni inerţiali (sau pante de accelerare) şi
există situaţii de curgere nepermanentă pe albii naturale, în care ponderea lor
este neglijabilă.
Astfel, renunţând la diverşi termeni din ecuaţia dinamică, se obţin
modele simplificate.
Modelele rezultate din ecuaţia dinamică (17.7) în variabile dependente
Q şi h, prin renunţarea la unii termeni sunt prezentate mai jos:
( ) 0SSAgx
hAg
A
Q
xt
Q0f
2
=−⋅⋅+
∂
∂⋅⋅+
∂
∂+
∂
∂
Modelul undei cinematice se obţine prin neglijarea termenilor inerţiali
şi de presiune şi este utilizat mai ales în analize hidrologice.
Modelul undei de difuzie este o ecuaţie cu derivate parţiale de tip
parabolic, şi poate constitui o aproximaţie bună pentru analiza remuurilor în
albii barate de diverse construcţii.
17.2.6. Forme liniarizate ale ecuaţiilor Saint-Venant
Ecuaţiile mişcării nepermanente în albii în formele date de la (17.6) la
(17.13) sunt sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul doi de tip hiperbolic, care
pentru rezolvare pot fi transformate în ecuaţii liniare de ordinul doi cu
coeficienţi constanţi. Metoda de liniarizare a acestor ecuaţii este bazată pe
teoria oscilaţiilor de mică amplitudine, care porneşte de la ipoteza că toate
elementele hidraulice ale mişcării oscilatorii sunt mici şi că, în consecinţă,
pătratele acestor mărimi şi produsele lor sunt neglijabile, fiind infiniţi mici de
ordin superior, în raport cu mărimile care conţin factor o mărime perturbaţie.
Liniarizarea ecuaţiilor mişcării, permite găsirea unor soluţii generale
utilizând metode analitice de calcul.
Plecând de la forma ecuaţiilor Saint-Venant în variabile Q şi y, notând
cu indice zero toate mărimile de referinţă ce caracterizează regimul permanent,
respectiv Q0, h0, A0, V0, K0 şi cu litere mici mărimile numite perturbaţii, q, ζ, a,
Modelul undei cinematice
Modelul undei de difuzie fără inerţie
Modelul undei de difuzie cu inerţie convectivă
Modelul dinamic complet
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 298
ν, k, la un moment dat, t, ca urmarea a variaţiei consumului sau a perturbaţiei
induse artificial, mărimile corespunzătoare vor fi Q, h, A, V, K: Q = Q0 + q – debitul scurs,
h = h0 + ζ – adâncimea curentului,
A = A0 + a – aria secţiunii de scurgere,
V = V0 + ν – viteza curentului,
K = K0 + k – modulul de debit.
Problema a fost tratată diferit funcţie de cum este orientată axa x faţă de sensul curgerii.
10. Când axa x este orientată în sensul curgerii
În condiţiile stării de mişcare permanentă, ecuaţiile mişcării în
coordonate Q şi Y au expresia:
=
=+∂
∂⋅+
∂
∂
constQ
0K
Q
s
V
g
V
s
Y
0
20
20000
(17.26)
În condiţiile producerii perturbaţiilor, ecuaţiile Saint-Venant pot fi
scrise sub forma:
=∂
++
∂
+∂
=+
++
∂
+∂⋅
++
∂
∂⋅+
∂
∂+
∂
∂
0s
q)(Q
t
a)(A
0k)(K
q)(Q
s
)(V
g
)(V
tg
1
ss
Y
200
20
20000 νννζ
(17.27)
Stabilind expresiile derivatelor ce intră în ecuaţia (17.27) şi eliminând variabila
v, ecuaţiile liniarizate devin:
- ecuaţia de continuitate:
0s
q
tB0 =
∂
∂+
∂
∂⋅
ζ (17.28)
Ecuaţia dinamică:
( ) 0stts
V2s
Vct
2
02
22
02
2
2
=∂
∂⋅+
∂
∂⋅+
∂⋅∂
∂⋅⋅+
∂
∂⋅−⋅
∂
∂ ζα
ζβ
ζζζ (17.29)
în care:
00
02 hgB
Agc ⋅≅⋅= (17.30)
unde c (m/s) este celeritatea,
Hidraulică vol. II 299
0
2
0 h
cJ
χα
⋅⋅= şi
00 V
g2J
⋅⋅=β , (17.31)
cu dimensiunile: α (m/s2) şi β (1/s), iar χ este exponentul hidraulic al albiei.
20. Când axa x este orientată în sensul contrar curgerii
Adoptând un nou sistem de referinţă în care axa x este orientată în sens
invers curgerii şi schimbând semnul pantei hidraulice J0 = - J0, precum şi a
vitezei în mişcare permanentă V0 = - V0, folosind aceleaşi notaţii pentru c2, α şi
β, ecuaţia dinamicii devine:
( ) 0stts
V2s
Vct
2
02
22
02
2
2
=∂
∂⋅−
∂
∂⋅+
∂⋅∂
∂⋅⋅−
∂
∂⋅−⋅
∂
∂ ζα
ζβ
ζζζ (17.32)
În ecuaţia de continuitate nu apar modificări, astfel încât ea rămâne în
forma (17.28).
17.3. METODE DE INTEGRARE ALE ECUAŢIILOR
SAINT-VENANT
Ecuaţiile Saint-Venat sunt în fapt un sistem de ecuaţii cu derivate
parţiale de ordinul 2, neliniare, de tip hiperbolic.
Soluţionarea pe cale analitică a acestor mişcări este foarte complicată,
pentru găsirea soluţiilor în probleme inginereşti, însă a fost realizată de
cercetători români, aplicând calculul operaţional cu transformata Laplace
asupra ecuaţiilor mişcării sub formă liniarizată (S. Hâncu, Lucica Roşu ş.a).
Metodele analitice au avantajul că sunt mai expeditive decât cele numerice şi,
în plus, oferă mijloacele unei analize calitative, globale, a fenomenelor
hidraulice analizate.
Soluţionarea pe cale numerică a ecuaţiilor Saint-Venant presupune
găsirea unei serii de valori numerice ale variabilelor dependente V (sau Q) şi h
(sau y), pe baza cărora se poate construi distribuţia lor în timp şi spaţiu.
Metodele numerice admit ca necunoscute valorile variabilelor
dependente, dintr-un număr finit de puncte (nodurile de reţea) din domeniul
(x, t) de interes. Metodele numerice prezintă avantajul că reproduc mai fidel
fenomenul fizic studiat decât metodele analitice (deoarece în aplicarea
metodelor numerice nu se fac ipotezele simplificatoare asupra ecuaţiilor
mişcării aşa cum se întâmplă când se aplică metode analitice). Ele au însă
dezavantajul că oferă rezultate doar într-un număr limitat de puncte, selectate în
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 300
raport cu precizia de calcul dorită, spre deosebire de metodele analitice la care
soluţia cuprinde toate punctele din domeniu.
Ecuaţiile cu derivate parţiale se înlocuiesc printr-o serie de ecuaţii
algebrice numite ecuaţii de aproximare (sau ecuaţii discretizate), având ca
necunoscute valorile discrete (din nodurile de reţea) ale variabilelor
dependente. Ecuaţiile de aproximare se pot obţine pe două căi matematice
distincte, fie prin metode bazate pe dezvoltări în serii Taylor, fie prin metode
bazate pe integrare.
Metodele bazate pe dezvoltări în serii Taylor generează aşa numite
scheme (metode) cu diferenţe finite care pot fi de tip explicit sau implicit.
Metodele bazate pe integrare includ fie formulări bazate pe metode
variaţionale, fie formulări bazate pe reziduuri ponderate.
Probleme din hidraulica albiilor deschise se abordează cel mai
frecvent prin metode cu diferenţe finite (MDF).
Datorită naturii hiperbolice a sistemului de ecuaţii, se poate aborda
problematica ecuaţiilor Saint-Venant printr-o metodă specifică numită metoda caracteristicilor (MC) – devenită în ultima vreme metodă etalon la care se
raportează noile metode de integrare a ecuaţiilor mişcării.
Metodele bazate pe scheme în diferenţe finite, deşi permit calculul
parametrilor mişcări (cote şi debite) într-un număr finit de puncte din domeniul
de interes (x, t), prezintă avantajul unei relative uşurinţe în programare, precum
şi analiza ecuaţiilor mişcării în formă cât mai completă. Schemele de tip
implicit sunt cele mai avantajoase pentru aplicaţii practice deoarece nu sunt
supuse criteriului de stabilitate a algoritmului.
Alegerea uneia sau alteia dintre metodele menţionate anterior, rămâne
la latitudinea utilizatorului în funcţie de problema concretă ce trebuie rezolvată,
însă trebuie asigurată corectitudinea calculelor şi corecta interpretare a
rezultatelor.
17.4. NOŢIUNI PRIVIND CARACTERISTICILE.
CONDIŢII INIŢIALE ŞI LA LIMITĂ
Ecuaţiile Saint-Venant în formele diferenţiale de la (17.6) la (17.13)
descriu conservarea masei şi a cantităţii de mişcare în termeni cu derivate
parţiale ale variabilelor dependente. Determinarea acestor variabile dependente
se face de cele mai multe ori pe cale numerică. Dintre metodele de integrare pe
cale numerică, metoda caracteristicilor descrie mai bine propagarea în lungul
Hidraulică vol. II 301
curentului a undelor singulare cu discontinuităţi, când se menţine caracterul
lent variabil în timp şi spaţiu al mişcării.
Se defineşte ca perturbaţie fie discontinuitatea derivaţiei unei variabile
dependente (cum ar fi ∂h/∂x sau ∂Q/∂t), fie discontinuitatea unor parametri
fizici (panta fundului, dimensiuni geometrice, rugozitate etc.) din ecuaţiile
Saint – Venant.
Orice perturbaţie apărută la momentul t = 0 într-o secţiune x = xM pe
albie, se propagă în timp spre aval şi spre amonte după traiectoriile reprezentate
prin curbele C+ şi respectiv C-
din planul (x,t) (fig. 17.3). Perturbaţia respectivă
va influenţa starea mişcării în domeniul (x,t) cuprins între cele două curbe,
numit domeniul de influenţă al punctului M. Pe de altă parte, condiţiile curgerii
într-un punct P(x,t) din planul (x,t) sunt influenţate doar de perturbaţiile care
apar în domeniul SPD delimitat de axa 0 - x şi curbele C+ şi C-
ce se
intersectează în P (fig. 17.3.b). Orice s-ar întâmpla în afara acestui domeniu de
dependenţă nu afectează starea mişcării din P.
domeniu de
influenta
domeniu de
dependenta
C C
xM
x
C C
S D
M
t
x
t
P(x,t)
- +
- +
Fig. 17.3. Propagarea perturbaţiei în curgerea pe albie
Dacă perturbaţia apare ca undă de mică amplitudine într-o curgere cu
adâncime redusă, curbele C+ şi C-
după care se propagă aceasta în planul (x,t)
se numesc caracteristici, iar celeritatea ei este B
Agc = , (cu A/B = H,
adâncimea hidraulică - egală cu adâncimea pentru albii dreptunghiulare).
Ecuaţiile caracteristicilor sunt date de:
B
AgV
dt
dx⋅±= (17.33)
şi acestea sunt corecte în cazul micilor perturbaţii dar incorecte pentru unde cu
front abrupt, la care apare o discontinuitate a variabilei dependente însăşi, în
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 302
speţă a adâncimii apei (cazul ruperilor de baraje sau stavile ridicate
instantaneu).
Cele trei regimuri de curgere definite în raport cu starea critică, se
diferenţiază şi prin alura caracteristicilor din planul (x, t), (fig. 17.4).
În regimul lent de mişcare, celeritatea perturbaţiei este mai mare decât
viteza medie a curentului ( VBgA ⟩/ ), iar starea mişcării din punctul P(x,t)
este influenţată de condiţiile din amonte cât şi din cele din aval (fig. 17.4.a).
La curgere critică( VBgA =/ ), una dintre vitezele caracteristice de
propagare devine nulă iar caracteristica corespunzătoare - de exemplu C- în
(fig. 10.4.b) apare ca o dreaptă verticală în planul (x, t). În acest caz starea din P
nu este influenţată de condiţiile de curgere din aval de la x > xP.
Pentru regimul rapid de mişcare ( VBgA ⟨/ ), ambele caracteristici
sunt orientate în acelaşi sens (spre aval pentru unde directe şi spre amonte
pentru unde inverse), iar starea lui P nu este influenţată de condiţiile din aval
(curgere în sensul pozitiv al axei 0x) sau amonte (curgere inversă).
t
x
P
C- C+
a)
t
x
P
C-
C+
b)
t
xc)
P
C-C+ C- C+
Fig. 17.4. Structura caracteristicilor funcţie de regimul de curgere
a). regim lent, b). regim critic, c). regim rapid de mişcare
Pentru integrarea ecuaţiilor mişcării trebuie precizate condiţiile iniţiale
şi la limita domeniului de analiză a curgerii (condiţii la limită sau de contur). Mărimile debitelor şi adâncimilor apei pe un tronson de albie la
momentul (t = 0), constituie condiţii iniţiale ale problemei mişcării
nepermanente.
În cazul tronsoanelor de albie ce nu sunt delimitate la nici o
extremitate de construcţii care pot introduce discontinuităţi în curgere (caz în
care pot să nu mai fie respectate ipotezele care au stat la baza deducerii
ecuaţiilor Saint-Venant), se poate considera mişcare permanentă şi uniformă,
astfel încât în fiecare secţiune debitele sunt egale cu debitul de la capătul
Hidraulică vol. II 303
amonte al tronsonului la timpul (t = 0), şi adâncimile sunt egale cu adâncimea
normală.
În cazul în care un tronson este delimitat la o extremitate de construcţii
care introduc discontinuităţi în curgere (stavile, praguri, deversoare, ramificaţii,
prize etc), atunci se poate considera pe tronson mişcare permanentă gradual
variată corespunzătoare debitului egal cu debitul prin acele construcţii. Prin
integrarea ecuaţiei mişcării permanente gradual variate se obţin adâncimile apei
în secţiunile de calcul, care, împreună cu debitele, considerate egale cu debitul
prin acele construcţii în fiecare secţiune, constituie condiţiile iniţiale ale problemei pe tronsonul respectiv.
Condiţiile la limită sunt de trei tipuri: Q = Q(t) – dat, sau h = h(t)–dat, sau Q = Q(h) – dat. Dacă pe albie există diverse construcţii, aceasta se împarte în
tronsoane astfel încât fiecare tronson să fie delimitat de una dintre extremităţile
canalului şi/sau de către o construcţie. Împărţirea albiei în tronsoane în acest
mod este impusă de faptul că debitele de la extremităţile acesteia, debitele prin
respectivele construcţii constituie condiţii limită (sau de contur) pentru fiecare
tronson în parte. Astfel tratarea tronsoanelor poate fi efectuată secvenţial – pe
aceste tronsoane fiind respectate ipotezele Saint Venant.
Secţiunile cu discontinuităţi se mai numesc şi joncţiuni interne, iar
relaţiile care pot fi scrise într-o astfel de secţiune se numesc şi condiţii la limite interne sau condiţii de compatibilitate, şi în general sunt date de legea de
conservare a masei (ecuaţia de continuitate) şi de legea de conservare a
energiei.
În ceea ce priveşte debitele de la capătul amonte al albiei şi ale
construcţiilor din canal, valorile acestora de regulă se cunosc sau sunt date
tabelar; la un timp curent valorile debitelor pot fi determinate prin interpolare -
liniară, spline cubică etc.
17.5. SCHEME CU DIFERENŢE FINITE PENTRU
INTEGRAREA ECUAŢIILOR SAINT-VENANT
17.5.1. Principiul metodei cu diferenţe finite
Principiul metodei cu diferenţe finite îl constituie înlocuirea funcţiilor
cu variabile continue prin funcţii definite de un număr finit de puncte din
domeniul de interes. Aceste puncte discrete alcătuiesc reţeaua de calcul, iar
funcţiile de argument discret asociate nodurilor de reţea se numesc funcţii de
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 304
reţea. Derivatele parţiale se înlocuiesc prin expresii în diferenţe finite, iar
ecuaţiile cu derivate parţiale se înlocuiesc prin ecuaţii de aproximare cu
diferenţe finite de forma unor ecuaţii algebrice liniare sau neliniare în raport cu
funcţiile de reţea.
Schemele cu diferenţe finite corespund diverselor maniere prin care
derivatele parţiale şi termenii nederivativi din ecuaţiile originare se exprimă cu
ajutorul funcţiilor de reţea.
În categoria schemelor cu diferenţe de tip explicit intră acelea la care
variabilele dependente dintr-un nod de reţea, xj, la timpul de calcul ti+1, se pot
calcula folosind în totalitate datele cunoscute din câteva noduri vecine, de la
momentul de timp trecut ti. În aceste scheme termenii nederivativi şi derivatele
variabilelor dependente se aproximează astfel încât calculul variabilelor
dependente se poate face separat pentru fiecare nod, la momentul ti+1, prin
relaţii explicite.
Pentru asigurarea stabilităţii soluţiei trebuie respectat criteriul de
stabilitate (Courant – Friedrichs - Lewy):
+≤∆
cV
∆xmint
j (17.34)
în care ∆t este pasul temporal, ∆x – pasul spaţial, V – viteza medie iar
c – celeritatea.
Datorită acestei restricţii alegerea pasului de timp si spaţial este
limitată, iar răspândirea în aplicaţii practice este limitată deşi au un algoritm
simplu şi uşor de programat.
În schemele cu diferenţe finite de tip implicit variabilele curente
dintr-un nod de reţea xj, la timpul curent de calcul ti+1, nu se pot calcula direct,
folosind în relaţiile datele cunoscute de la momentul ti, din nodurile vecine. În
aceste scheme termenii nederivativi şi derivatele variabilelor dependente se
aproximează astfel încât variabilelor dependente necunoscute din nodul xj sunt
legate de cele din mai multe noduri vecine (xj+1, sau xj-1 şi xj+1) si nu pot fi
calculate decât simultan pentru toate nodurile spaţiale de la momentul ti+1, prin
rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare sau neliniare. Dacă ecuaţiile
de aproximare formează un sistem neliniar în raport cu necunoscutele,
rezolvarea acestuia se face iterativ până la atingerea unui criteriu de
convergenţă pe fiecare pas de timp ∆t. Deoarece schemele implicite nu sunt
supuse restricţiei de stabilitate ele au cunoscut o largă dezvoltare.
Hidraulică vol. II 305
17.5.2. Schemă implicită în patru puncte
În continuare se prezintă o schemă implicită pentru integrarea
ecuaţiilor Saint-Venant, dedusă pentru albii prismatice trapezoidale şi dreptunghiulare. Pentru rezolvare am ales forma diferenţială a ecuaţiilor
Saint-Venant în variabile dependente Q şi y, (17.8) şi (17.9).
Ecuaţia de continuitate fără aport lateral:
0x
Q
t
yB =
∂
∂+
∂
∂⋅ (17.8)
Ecuaţia dinamică:
0Sx
yAg
A
Q
xt
Qf
2
=
+
∂
∂⋅+
∂
∂+
∂
∂ (17.9)
Ecuaţiile de aproximare a sistemului Saint-Venant sunt construite în
jurul punctului P într-o celulă de calcul (fig. 17.5.)
Derivatele spaţiale ale ecuaţiilor Saint-Venant sunt aproximate în
punctul P prin:
( ) ( ) ( )[ ]nj
nj
1nj
1n1j ff1ff
∆x
1
x
f−⋅−+−⋅=
∂
∂ ++++
1θθ (17.35)
Derivatele temporale ale ecuaţiilor Saint-Venant sunt aproximate
în punctul P prin:
( ) ( ) ( )[ ]nj
1nj
n1j
1n1j ff1ff
∆t
1
t
f−⋅−+−⋅=
∂
∂ ++
++ ϕϕ (17.36)
∆
ϕ ∆ (1 − ϕ )∆
(1 − θ )∆
θ ∆
∆
t
n+ 1
n
j j+ 1
x
t
x x
t
t
P
punc t ne cunoscu t
punc t cun oscu t Fig. 17.5. Noduri de reţea folosite în schema implicită în 4 puncte
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 306
Termenii nederivativi sunt aproximaţi în punctul P prin:
( )( )[ ] ( ) ( )[ ]nj
n1j
n1j
1n1j f1f1f1ff ⋅−+⋅⋅−+⋅−+⋅⋅= ++
++ ϕϕθϕϕθ (17.37)
unde ( );tx, njff nj ∆⋅∆⋅= θ - coeficient de pondere temporal, ϕ - coeficient de
pondere spaţial, ∆x – pasul spaţial, iar ∆t – pasul temporal.
Trebuie menţionat că coeficienţii de pondere spaţiali şi temporali au
valori cuprinse între 0 şi 1. Pentru φ = 0,5 ecuaţiile (17.35) şi (17.36) dau
schema clasică a lui Preissman din care rezultă: pentru θ = 0 - schema este
complet explicită, pentru θ = 1 - schema este complet implicită, iar pentru
θ = 0,5 – schema este implicită centrată în 4 puncte. Cunge recomandă o
valoare θ ≥ 0,67 pentru asigurarea preciziei şi stabilităţii numerice a
algoritmului.
Introducerea schemei lui Preissman în ecuaţiile (17.8) şi (17.9)
conduce la ecuaţiile algebrice liniare pentru fiecare perechi de puncte adiacente
(j şi j+1).
01111111 =+⋅+⋅+⋅+⋅ ++ G∆QD∆QC∆yB∆yA jjjj (17.38)
02212212 =+⋅+⋅+⋅+⋅ ++ G∆QD∆QC∆yB∆yA jjjj (17.39)
unde:
- y, Q jj ∆∆ - incremenţii debitului şi cotei de la timpul n la n + 1 în
punctul j; - y, Q 1j1j ++ ∆∆ - incremenţii debitului şi cotei de la timpul n la n + 1
în punctul j + 1;
- G,D,C,B,A,G,D,C,B,A 2222211111 - coeficienţii ce sunt
calculaţi cu valorile cunoscute la timpul n. Deoarece A = A(y) si B = B(y), variabilele dependente în ecuaţiile
(17.8) şi (17.9) sunt Q şi y. Pentru f = Q sau f = y, pentru că f∆ff n1n ∆+=+ ,
se obţine:
∆+=
∆+=
+
+
yyy
QQQn1n
n1n
Înlocuind f ff n1n ∆+=+ în (17.35) şi rearanjând ecuaţia se obţine:
( ) ( )[ ]j1jnj
n1j ffff
x
1
x
f∆−∆−−
∆=
∂
∂++ θ (17.40)
Similar se procedează pentru ecuaţia (17.36):
Hidraulică vol. II 307
( )[ ]j1j f1ft
1
t
f∆⋅−+∆⋅
∆=
∂
∂+ ϕϕ (17.41)
şi pentru ecuaţia (17.37):
( ) f1ff j1j ⋅−+⋅= + ϕϕ (17.42)
Pentru o funcţie de două variabile F = F(Q,y) discretizarea se poate
face astfel:
F FF n1n ∆⋅+=+ θ (17.43)
( ) ( ) ...11
11
+
∂
∂⋅−+
∂
∂⋅+
∂
∂⋅−+
∂
∂⋅=
++ jjjjQ
F
Q
F
y
F
y
F∆F ϕϕϕϕ (17.44)
(păstrând doar derivata de ordinul 1)
Utilizând relaţiile (17.40) la (17.44) în ecuaţiile (17.8) şi (17.9) s-au
determinat - prin identificare - coeficienţii ecuaţiilor (17.38) şi (17.39). Toţi
coeficienţii sunt determinaţi pentru secţiunea j şi pentru momentul de timp n. Astfel, aplicarea relaţiilor (17.40), (17.41), (17.42) ecuaţiei de continuitate (17.8), conduce la:
10. t
yB
t
yB
∂
∂=
∂
∂⋅ , unde ( ) B1BB j1j ⋅−+⋅= + ϕϕ .
j1j yt
1y
∆tt
y∆⋅
∆
−+∆⋅=
∂
∂+
ϕϕ
20. ( ) ( )j1jj1j QQ
xQQ
x
1
x
Q∆−∆⋅
∆+−⋅
∆=
∂
∂++
θ
Prin identificare au rezultat coeficienţii ecuaţiei (17.38):
Bt
A1 ⋅∆
=ϕ
(17.45)
Bt
1B1 ⋅
∆
−=
ϕ (17.46)
x
C1∆
+=θ
(17.47)
x
D1∆
−=θ
(17.48)
( )j1j1 QQx
1G −⋅
∆= + (17.49)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 308
Corectitudinea expresiilor coeficienţilor ecuaţiei (17.38) s-a verificat
dimensional.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 121
11
11
11
11
−−−−− ⋅===⋅=⋅= TLG ; LD ; LC ; TLB ; TLA .
121][][ −−+ =⋅=∆⋅ TLLLTyA 1j1 ;
1211 ][][ −− =⋅=⋅ TLLLT∆yB j ;
12131][][ −−−+ =⋅=∆⋅ TLTLLQC 1j1 ;
12131][][ −−− =⋅=∆⋅ TLTLLQD j1 .
Ecuaţia algebrică liniarizată (17.38) este omogenă dimensional.
Aplicarea relaţiilor de la (17.40) la (17.44) ecuaţiei dinamice (17.9),
conduce la:
10. j1j Qt
1Q
tt
Q∆⋅
∆
−+∆⋅
∆=
∂
∂+
ϕϕ
20.
∂
∂⋅
−
∂
∂⋅
⋅=
∂
∂
x
A
A
Q
x
Q
A
Q2
A
Q
x
22
( ) ( )j1jj1j QQx
QQx
1
x
Q∆−∆⋅
∆+−⋅
∆=
∂
∂++
θ
unde ( )j1j A
Q1
A
Q
A
Q
⋅−+
⋅=
+
ϕϕ ,
( ) ( )
( ) ( );jj1j1jj1j
j1jj1j
yByBx
AAx
1
AAx
AAx
1
x
A
∆⋅−∆⋅⋅∆
+−⋅∆
=
=∆−∆⋅∆
+−⋅∆
=
∂
∂
+++
++
θ
θ
( )2
j
2
1j
2
A
Q1
A
Q
A
Q
⋅−+
⋅=
+
ϕϕ .
30. ( ) ( ) ( )
∆−∆⋅
∆+−⋅
∆⋅⋅=
∂
∂⋅⋅ ++ j1jj1j yy
xyy
x
1Ag
x
yAg
θ
40. ( ) ( )ASgSAgSAgSAg ffff ∆⋅⋅⋅+∆⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ θθ
40.1 ( ) ( ) ( )[ ]jf1jff SA1SAgSAg ⋅⋅−+⋅⋅⋅=⋅⋅
+ϕϕ .
Hidraulică vol. II 309
40.2. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]j1jj1j
j
f
1j
f
j
f
1j
ff
11A g Q
S1
Q
S
Y
S1
Y
SAgSAg
ωϕωϕγϕγϕθϕ
ϕϕϕθθ
⋅−+⋅+⋅−+⋅⋅⋅⋅=
∂
∂⋅−
+
∂
∂⋅+
∂
∂⋅−+
∂
∂⋅⋅⋅⋅=∆⋅⋅⋅
++
++
unde s-au folosit următoarele notaţii ajutătoare:
( )
⋅−
+⋅⋅⋅=
∂
∂=
+++
+
+1j1j
2
1jf
1j
f1j A
B5
P
m12S
3
2
Y
Sγ ;
( )
⋅−
+⋅⋅⋅=
∂
∂=
jj
2
jf
j
fj A
B5
P
m12S
3
2
Y
Sγ ;
2
1j
1j
1j
f1j
K
Q2
Q
S
+
+
+
+ ⋅=
∂
∂=ω ;
2j
j
j
fj
K
Q2
Q
S⋅=
∂
∂=ω
.
40.3. ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]j1jf
j1jff
B1BS g
Y
A1
Y
ASgAS g
⋅−+⋅⋅⋅⋅=
∂
∂⋅−+
∂
∂⋅⋅⋅⋅=∆⋅⋅⋅
+
+
ϕϕθ
ϕϕθθ
Din 10 + 20 + 30 + 40 = 0, prin identificarea coeficienţilor, rezultă:
( ) ( )
( ) 1jf
1j1j
2
2
BSg
AgBxA
Q
xAgA
+
++
⋅⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅⋅+⋅∆
⋅
−
∆⋅⋅=
ϕθ
γϕθθθ
(17.50)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) jf
jj
2
2
B1S g
1Agx
AgBxA
QB
⋅−⋅⋅⋅
+⋅−⋅⋅⋅+∆
⋅⋅−⋅∆
⋅
=
ϕθ
γϕθθθ
(17.51)
( ) 1j2 AgxA
Q2
tC +⋅⋅⋅⋅+
∆⋅
⋅+
∆= ωϕθ
θϕ (17.52)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 310
( ) ( ) j2 1-AgxA
Q2
t
1-D ωϕθ
θϕ⋅⋅⋅⋅+
∆⋅
⋅−
∆= (17.53)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) SAgYYx
1A g
AAx
1
A
QQQ
x
1
A
Q2G
fj1j
j1j
2
j1j2
⋅⋅+
−⋅
∆⋅⋅
+
−⋅
∆⋅
−
−⋅
∆⋅
⋅=
+
++
(17.54)
S-au verificat dimensional coeficienţii ecuaţiei (17.39), rezultând.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 232
12
12
222
222 TLG ; TD ; TC ; TLB ; TLA −−−−− ⋅===⋅=⋅=
Înlocuind în (17.39) rezultă:
232212 ][][ −−
+ =⋅=∆⋅ TLLTLyA j ;
2322
2 ][][ −− =⋅=⋅ TLLTL∆yB j ;
231312 ][][ −−−
+ =⋅=∆⋅ TLTLTQC 1j ;
231312 ][][ −−− =⋅=∆⋅ TLTLTQD j .
Şi ecuaţia algebrică liniarizată (17.39) este omogenă dimensional.
10. Algoritmul dublului baleiaj
Ecuaţiile (17.38) şi (17.39) trebuie rezolvate în orice punct de calcul,
pentru orice pas de timp ∆t în perioada de calcul. Ele formează un sistem de
ecuaţii algebrice liniare şi pot fi rezolvate dacă şi condiţiile la limită sunt de
asemenea liniarizate în termenii ∆Q şi ∆y, prin aplicarea oricărei metode de
soluţionare.
Algoritmul dublului baleiaj este o aplicare a schemei lui Preissmann şi
Cunge la ecuaţiile (17.38) şi (17.39). Prin acest algoritm se calculează valorile
debitelor şi cotelor în punctul j la momentul de timp n+1 utilizând coeficienţi
flotanţi şi relaţii de recurenţă între aceştia.
Presupunând că există o relaţie liniară de tipul
∆Qj = Ej ∆yj + Fj (17.55)
se poate determina o relaţie între ∆yj şi incremenţii variabilelor dependente ∆y
şi ∆Q pentru punctul j+1. Aceasta se demonstrează înlocuind ecuaţia (17.55) în
ecuaţiile (17.38) şi (17.39) obţinându-se:
Hidraulică vol. II 311
=+⋅+⋅+++⋅
=+⋅+⋅+++⋅
++
++
0)(
0)(
22122212
11111111
G∆QD∆QC∆yEDB∆yA
G∆QD∆QC∆yEDB∆yA
jjjjj
jjjjj (17.56)
Din sistemul de ecuaţii (17.56) se poate determina o relaţie între ∆yj şi
incremenţii variabilelor dependente ∆y şi ∆Q pentru punctul j+1.
j11
j111j
j11
11j
j11
1j EDB
FDGQ
EDB
Cy
EDB
Ay
+
+−∆⋅
+−∆⋅
+−=∆ ++ (17.57)
Ecuaţia (17.57) se poate scrie:
3jj2j1j1jj OQ Oy Oy +∆⋅+∆⋅=∆ + (17.58)
unde:
+
+−=
+−=
+−=
j11
j113j
j11
12j
j11
11j
EDB
FDGO
EDB
CO
EDB
AO
(17.59)
Dacă se elimină ∆yj între ecuaţiile (17.57) şi exprimând ∆Qj+1 ca o funcţie de
∆yj+1 se obţine:
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( ) ( )j112j221
j11j22j22j11
1jj112j221
j112j2211j
EDBCEDBC
EDBFDGEDBFDG -
yEDBCEDBC
EDBAEDBAQ
+−+
++−++
−∆⋅+−+
+−+−=∆ ++
(17.60)
şi
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( ) ( )
+−+
++−++=
+−+
+−+=
+
+
j112j221
j22j11j11j221j
j112j221
j221j1121j
EDBCEDBC
EDBFDGEDBFDGF
EDBCEDBC
EDBAEDBAE
(17.61)
Aşadar există o relaţie liniară de forma indicată de ecuaţia(17.55).
Este demonstrat deci că dacă relaţia (17.55) este corectă pentru orice
punct j atunci este corectă pentru oricare din punctele următoare. Mai mult,
ecuaţia (17.55) defineşte câteva relaţii de recurenţă astfel:
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 312
Ej+1 = f(Ej, A1, B1,…); Fj+1 = f(Ej, Fj, A1, B1,…). Coeficienţii Ej+1 şi Fj+1 se pot calcula pentru orice punct j+1 dacă se
cunosc coeficienţii Ej şi Fj, din punctele anterioare j. A treia relaţie:
3jj2j1j1jj OQ Oy Oy +∆⋅+∆⋅=∆ + (17.62)
având coeficienţii determinaţi cu relaţia (17.59) permite calculul valorii lui ∆yj
când incremenţii ∆y şi ∆Q sunt cunoscuţi în punctul j+1.
Aceste relaţii de recurenţă sugerează o metodă pentru calculul lui yn+1
şi Qn+1 pentru toate punctele j = 1, 2,…,N-1, N dintr-un canal. Condiţiile limită
trebuie liniarizate local. Atunci condiţiile limită trebuie exprimate în modul
următor:
Pentru prima condiţie limită, j = 1, (la frontiera amonte) este necesară
cunoaşterea relaţiei ∆Q1 = E1 ∆y1 +F1, (altfel spus trebuie cunoscuţi
coeficienţii E1 şi F1).
Pentru a doua condiţie limită, j = N, este necesară cunoaşterea lui ∆yN.
17.5.3. Schemă explicită de integrare a ecuaţiilor Saint-Venant
Această metodă de rezolvare a ecuaţiilor Saint-Venant conduce cel
mai repede la aflarea soluţiilor ecuaţiilor Saint-Venant.
Definiţia schematică a unei scheme rectangulare este dată în fig. 17.6:
o reţea de noduri cu punctul P, proiectat în planul (xOt), ∆x fiind distanţa
spaţială şi ∆t - distanţa temporală dintre punctele din reţea.
∆
noduri vecine
∆
t
tj+1
tj
xj-1 xjxj+1
x
L R
M
P
nod curent de calcul
t
x
Fig. 17.6. Noduri de reţea folosite în schema explicită
de integrare a ecuaţiilor Saint-Venant
Hidraulică vol. II 313
Condiţiile cunoscute, VL, hL şi VR, hR, la timpii t = t, sunt utilizate
pentru exprimarea explicită a condiţiilor necunoscute, VP, hP, după un pas ∆t, adică la timpul t = t + ∆t, unde V reprezintă viteza punctuală considerată
constantă în secţiune transversală, iar h este înălţimea apei în canal.
Derivatele parţiale a ecuaţiilor Saint-Venant sunt aproximate cu
ajutorul diferenţelor finite astfel:
t
hh
t
h
t
VV
x
V
x2
hh
x
h
x2
VV
x
V
MP
P
MP
P
LR
M
LR
M
∆
−=
∂
∂
∆
−=
∂
∂
∆
−=
∂
∂
∆
−=
∂
∂
(17.63)
Pentru un canal prismatic, prin înlocuirea acestor ecuaţii în ecuaţia de
continuitate, rezultă:
( ) ( )[ ]RLMRLMMP VVhhhVx2
th h −+−
∆+=∆
(17.64)
Apoi, prin înlocuirea ecuaţiilor de mai sus în ecuaţia dinamică, rezultă:
( ) ( ) ( )e
LRLRM
MP SSgx2
hhg
x2
VVV
t
VV −=
∆
−+
∆
−+
∆
−0 (17.65)
unde S0 reprezintă panta fundului, iar Se este panta energetică.
24/3
h
PPe n
R
VVJ
P
= şi tgn
R
2
4/3hP ∆=Γ (17.66)
unde RhP reprezintă raza hidraulică în secţiunea corespunzătoare punctului P,
iar n- coeficientul lui Manning.
Simplificat, se poate scrie:
0VV P2
P =Γ−Γ+ β (17.67)
unde:
( ) ( )
∆+−
∆
∆+−
∆+= 0t Sghh
x2
tgVVV
x2
∆tV RLRLMMβ (17.68)
Din această ecuaţie rezultă:
( )[ ]1/22P 4-
2
1V βΓ+Γ+Γ= (17.69)
Metoda explicită prin diferenţe finite permite determinarea adâncimii
apei, hP, la un timp fix, ∆t, cu ajutorul ecuaţiei de continuitate scrisă anterior,
apoi se determină viteza, Vp, în punctul P.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 314
Numărul şi tipul condiţiilor la limită necesare pentru obţinerea unei
soluţii sunt descrise în partea aplicativă.
Pentru obţinerea unei soluţii stabile, este necesar întotdeauna să se
respecte criteriul de stabilitate al lui Courant:
( )
cV
∆xt
+≤∆ (17.70)
unde: ( ) ( )LPRP ttt ttt −=∆−=∆ sau
şi ( ) ( )LPRP xxx xxx −=∆−=∆ u as .
17.6. UNDE DE TRANSLAŢIE
Aşa cum s-a amintit în paragraful 17.1., mişcarea caracterizată printr-o
variaţie bruscă a adâncimii apei (când apar unde cu front abrupt), se numeşte
mişcare nepermanentă rapid variată, undele fiind numite adeseori în literatura
de specialitate – unde de translaţie sau unde de inundaţie. Aceste tipuri de unde
apar de obicei la deschiderea bruscă a unor stavile, ecluze, în anumite situaţii
de exploatare a centralelor hidroelectrice, sau în cazul ruperilor de baraje. Tot
undă de translaţie se consideră şi fenomenul numit mascaret, dat de un flux
mareic care înaintează pe un râu de dimensiuni apreciabile (ex. pe fluviul
Amazon).
În acest caz, ipotezele care stau la baza modelului unidimensional în
baza cărora au fost deduse ecuaţiile Saint – Venant nu mai sunt valabile.
Dacă curbura liniilor de curent nu este neglijabilă, mai mult, nu se
poate admite o distribuţie hidrostatică a presiunii în secţiune transversală,
atunci ecuaţiile Saint - Venant în forma de la (17.6) la (17.13) nu mai sunt
valabile şi nici consideraţiile anterioare legate de aceste ecuaţii.
Variaţia bruscă a suprafeţei apei, este determinată de o variaţie bruscă
a debitului ∆Q (fig. 17.7).
Această variaţie bruscă (perturbaţie) este unda de inundaţie, care
formează o discontinuitate ∆h, numită frontul undei. După perturbaţie, corpul
undei se dezvoltă paralel cu suprafaţa liberă a apei, debitul corpului undei fiind
Q + ∆Q. Pentru unda pozitivă directă (17.7.c) şi unda negativă inversă
(17.7.d), variaţia de debit este pozitivă, ∆Q > 0, iar pentru unda pozitivă inversă (17.7.a) şi pentru unda negativă directă (17.7 b), variaţia de debit este
negativă, ∆Q < 0.
Hidraulică vol. II 315
Frontul undei se poate prezenta sub diferite forme. Dacă unda este
pozitivă, 11 hhh >∆+ , frontul undei poate fi format dintr-o sigură undă sau
dintr-o succesiune de unde mai mici, separate sau nu, frontul undei este mai
curând concav şi rămâne stabil. Dacă unda este negativă, 11 hhh <∆+ , frontul
va lua forma unei curbe continue, este mai curând convex şi devine instabil.
După Chow, acest lucru poate fi explicat considerând unda ca o sumă
de unde mai mici plasate una peste alta. Fiecare undă mică se deplasează cu
celeritatea ghc = , undele mici de la partea superioară a undei au o celeritate
mai mare decât cele de la bază. În consecinţă, pentru undele pozitive, undele
mici de la partea superioară a undei absorb undele mici de la baza undei,
rezultând un front de undă mai abrupt. În cazul undelor negative, undele mici
de la partea superioară a undei se deplasează mai repede decât cele de la bază,
rezultând o undă cu un front din ce în ce mai puţin abrupt.
a) Unda pozitiva inversa
h1
V(+)1
C (-)
h2
∆h>0
Q Q+∆Q
∆Q<0
b) Unda negativa directa
h2
V(+)1
C (+)
h1
∆Q<0
∆h<0
Q+∆Q Q
h1
V(+)1
C (+)
∆h>0
h2
Q+∆Q Q
∆Q>0
c) Unda pozitiva directa
h2
V(+)1
C (-)
h1
∆Q>0
d) Unda negativa inversa
∆h<0
Q+∆QQ
stare initiala perturbatie perturbatie stare initiala
perturbatie stare initiala perturbatiestare initiala
t
t
t
t
Fig. 17.7. Tipuri de unde de translaţie
Viteza de propagare a undelor de translaţie pozitive sau negative -
celeritatea, se deduce prin aplicarea ecuaţiei teoremei impulsului între două
secţiuni situate de o parte şi de alta a frontului undei. Pentru un canal de
secţiune dreptunghiulară celeritatea undelor este (fig. 17.7):
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 316
( )
+⋅±=±
1
2
1
211 1
2 h
h
h
hghVct (17.71)
Semnul (-) corespunde undelor inverse, iar semnul (+) corespunde
undelor directe.
Dacă se neglijează termenii pătratici, ec. (17.71) se poate aproxima
prin:
1
112
31
h
hghVc
∆⋅+±≅ sau
∆⋅+±≅
1
114
31
h
hghVc (17.72)
Relaţia (17.72) este valabilă pentru unde de amplitudine nu foarte
mică.
Pentru unde de amplitudine foarte mică la care 11
12 <<−
h
hh, sau
hhh ≅≅ 12 , ecuaţia (17.72) devine:
( ) ghVct ±=± (17.73)
Relaţia (17.73) reprezintă celeritatea undei lungi (undă de gravitaţie de
adâncime redusă) şi de amplitudine redusă în ape cu V = 0 (v. ec. 17.33)
17.7. VALURI
17.7.1. Definiţii. Clasificarea valurilor
Valurile sunt forme pe care le ia suprafaţa apei sub acţiunea
impulsurilor de presiune, datorate vântului, mişcării navelor, seismelor etc.
Poziţia iniţială orizontală a suprafeţei apei este modificată de impulsurile de
presiune. Forţa gravitaţională determină valurile obişnuite – gravitaţionale, iar
forţele capilare determină doar mici încreţituri la suprafaţa apei numite valuri de capilaritate. Forţa de frecare a vântului cu suprafaţa apei în repaos produce
valurile de vânt – valuri întreţinute, acestea îşi continuă mişcarea şi după
încetarea acţiunii vântului şi se numesc valuri libere sau hulă. Suprapunerea valurilor libere cu cele întreţinute determină valurile mixte şi valurile de interferenţă – date de suprapunerea valurilor reflectate cu
cele incidente în zona construcţiilor din apă.
Mareele se datorează forţelor de atracţie ale soarelui, şi în principal,
ale lunii. Ele sunt caracterizate prin flux (ridicarea nivelului) şi reflux
(coborârea nivelului). Fluxul are o durată mai mică decât refluxul. La flux,
Hidraulică vol. II 317
adâncimea apei creşte, în consecinţă creşte şi celeritatea. Dacă fluxul pătrunde
pe albia unui râu care se îngustează spre amonte, unda mareică poate căpăta
amplitudine mare (mascaret). Există ţări în care energia mareică a fost captată
pentru producerea de energie hidroelectrică (centrala Rance - Franţa).
Valurile de vânt sunt cele mai frecvente; ele se formează la viteze ale
apei de peste 1 m/s; pentru o viteză a vântului între 0,5 şi 1 m/s suprafaţa liberă
a apei doar se încreţeşte. Dezvoltarea valurilor este funcţie de adâncimea
bazinului, lungimea luciului de apă parcursă de val, de intensitatea şi durata
vântului.
Elementele valului produs de vânt (fig. 17.8) sunt: ∆h - înălţimea
valului, măsurată pe verticală de la creastă până la partea inferioară;
λ - lungimea de undă a valului, distanţa pe orizontală între crestele a două
valuri învecinate; c - celeritatea, viteza de propagare a crestei valului pe
orizontală; τ - perioada valului, timpul necesar pentru parcurgerea de către
creasta valului a lungimii de undă λ; h/λ - curbura valului; vz - viteza orbitală de
mişcare a particulelor la diverse adâncimi; D – fetchul valurilor, lungimea
luciului de apă supusă acţiunii vântului.
C
h
x
y
λ
ψ=ct.
Traiectorii
∆h
Fig. 17.8. Elementele valului de vânt
17.7.2. Valuri marine. Acţiunea valurilor asupra construcţiilor
După von Gerstner, studiul valurilor marine pleacă de la ipoteza că
acestea satisfac riguros condiţia de continuitate precum şi condiţia ca presiunea
sa fie constantă pe suprafaţa liberă a apei.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 318
Astfel:
a. Toate moleculele fluide descriu în planurile secţiunii drepte a
valului orbite circulare, mişcându-se cu viteză uniformă şi în aceeaşi perioadă
de timp. Toate particulele care au centrul orbitei pe aceeaşi verticală au mişcări
sincrone şi în concordanţă de fază; vitezele sunt dirijate, la vârful orbitelor, în
sensul de propagare a valului. Centrele orbitelor se află pe suprafaţa apei
liniştite (iniţial imobile).
b. Razele orbitelor descresc repede cu adâncimea y, după legea
exponenţială λ
π y
e 2
−, λ fiind lungimea de undă
c. Perioada T este dată de relaţia:
T = g
πλ2, (17.74)
iar celeritatea:
c = π
λ
2
g, (17.75)
T şi c iau aceleaşi valori ca pentru ape adânci.
d. Fiecare particulă lichidă este supusă în timpul mişcării la presiunea
la care era supusă în poziţia de repaus. Suprafeţele de nivel sunt generate de
curbe corespunzând poziţiilor actuale ale punctelor care se găsesc, în stare de
echilibru, în acelaşi plan orizontal.
e. Curbele de presiune au forma unei trohoide circulare (fig. 17.9),
care este curba descrisă de un punct interior unui cerc care se rostogoleşte pe o
dreaptă; raza cercului este π
λ
2 şi punctul care descrie trohoida este la distanţa a
de centrul său. Când punctul care descrie curba este situat chiar pe
circumferinţa de raza a0, trohoida este o cicloidă. Între lungimea valului l şi
amplitudinea a0 există relaţia, 02 a⋅= πλ , deci 00 gac = .
Fig. 17.9. Val marin trohoidal
C
λ
a0
a
C
trohoida
Cicloida
Linii izobare
Hidraulică vol. II 319
După Mateescu, o relaţie mai riguroasă pentru calculul valurilor de
amplitudine finită în apă adâncă este:
−+
−+
−=
T
txa
T
txa
T
tx
a
y
λπ
λ
π
λπ
λ
π
λπ 6cos
2
34cos2cos
2
22
(17.76)
iar celeritatea se exprimă prin:
2/12
21
2
+=
λ
π
π
λ agc (17.77)
Pentru calculul energiei valurilor se pleacă fie de la teoria lui Stokes,
fie a lui Gertsner. Energia potenţială calculată între două creste consecutive se
poate exprima prin:
4
2λγaEp = , (17.78)
iar energia totală prin:
2
2λγaEt =
⋅
valde m
mkg (17.79)
unde γ reprezintă greutatea specifică a apei.
Relaţia (17.79) permite evaluarea impactului valurilor asupra
construcţiilor hidrotehnice. Efectul dinamic se exercită mai mult la suprafaţa
apei şi scade rapid cu adâncimea datorită legii de repartiţie a vitezei:
λ
πy
euu2
0
−
= (17.80)
Dacă se admite faptul că presiunea hidrostatică variază proporţional cu
adâncimea, atunci presiunea totală la nivelul oglinzii apei se poate scrie
apt γ2= (17.81)
unde a reprezintă amplitudinea valului deasupra nivelului static (fig. 17.10),
care este în funţie de tipul mării sau oceanului (ex. Marea Mediterană
m 52 ≅a ).
Există, de asemenea, formule semiempirice pentru calculul presiunilor
suplimentare datorate valurilor atât deasupra nivelului apei liniştite cât şi în
adâncime.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 320
h
0.00
γh γh
a
2γh
Fig. 17. 10. Presiunea valurilor pe dig
17.8. APLICAŢII
10. Să se determine prin metoda implicită debitele şi cotele apei în trei
secţiuni (amonte, mijloc şi aval) ale unui canal de secţiune trapezoidală având
următoarele caracteristici: lăţimea la bază a canalului: b = 5,0 m, debitul în
mişcare permanentă şi uniformă: q = 3,0 m3/s, panta longitudinală a canalului:
S0 = 0,001, coeficientul unghiular al taluzului: m = 1,5, coeficientul de
rugozitate după Strikler: k = 40 (n = 0,025), lungimea canalului: L = 10 km,
cota fundului canalului în amonte yf1 = 100 m.
Hidrograful afluent în canal este redat în tab. 17.1. şi fig. 17.11,
secţiunea j = 0, şi are următoarele caracteristici: Qmin = 5 m3/s, Qmax = 7 m
3/s,
cu timpul de creştere a debitului tu = 3600 s după o lege liniară.
Rezolvare. S-au impus, pentru determinarea coeficienţilor ecuaţiilor
algebrice liniare (17.38) şi (17.39), valorile coeficientului de pondere spaţial:
φ = 0,5, şi al coeficientului de pondere temporal: θ = 0,7.
Pentru algoritmul dublului parcurs de soluţionare a ecuaţiilor algebrice
liniare, condiţiile limită furnizează fie valorile coeficienţilor, E1, F1, fie valorile
incrementului ∆yN.
Condiţia limită în amonte s-au ales de forma:
Q = Q(t) dat (tab. 17.1. şi fig. 17.11; secţiunea j = 0)
Se poate determina E1 şi F1 astfel încât ∆Q1 = Q(tn + ∆t) - nQ1 .
Din ecuaţia (17.55) ∆Q1 depinde de ∆y1, dar poate fi independent de ∆y1
utilizând o condiţie limită arbitrară. Impunând:
E1 = 0 rezultă F1 = Q(tn + ∆t) - nQ1 .
Deci oricare ar fi valoare calculată ∆y1, ∆Q1 va fi întotdeauna egală cu valoarea
condiţiei limită.
Hidraulică vol. II 321
Condiţia limită în aval s-au ales astfel ca în aval să fie un nivel impus
(în cazul de faţă am impus nivel corespunzător regimului de mişcare
permanentă şi uniformă). Aşadar:
QN = k AN (R2/3)
NN
2
NN y
P
m1
3
4
A
B
3
5QQ ∆⋅
+⋅−
⋅⋅=∆
În acelaşi timp va exista o relaţie de tipul:
∆QN = EN ∆yN + FN şi ∆QN şi ∆yN se determină prin rezolvarea sistemului:
=
∆
∆⋅
−
+⋅−
⋅⋅−
NN
N
N
N
2
N F
0
y
Q
E1
P
m1
3
4
A
B
3
5Q1
Pentru canalul de secţiune trapezoidală parametrii ce intervin în
ecuaţiile liniarizate au expresiile:
( )fjjjj yym2bB −⋅⋅+= ;
( ) ( )[ ]fjjfjjj yymbyyA −⋅+⋅−= ;
( ) 2fjjjj m1yy2bP +⋅−⋅+= ;
j
jj
P
AR = ;
32
jj PAkK ⋅⋅= ;
2j
2j
fjK
QS = .
unde b este lăţimea la fund a canalului, B – lăţimea la luciul apei, m –
coeficientul unghiular al taluzului, A – aria secţiunii transversale,
P – perimetrul udat; R – raza hidraulică, k – coeficient de frecare datorat
rugozităţii (după Strickler), iar K – debitanţa.
Pentru efectuarea automată a calculelor s-a întocmit un program de
calcul, pe baza relaţiilor descrise anterior, alegând un pas de calcul temporal
∆t = 100 s, pasul spaţial ∆x =1000 m (rezultând un număr n = 11 noduri de
calcul), timpul total de calcul fiind Tmax = 10800 s.
Rezultatele sunt prezentate sub formă numerică în (tab. 17.1), iar sub
formă grafică în (fig. 17.11). şi (fig. 17.12).
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 322
Variaţia debitelor şi cotelor în secţiunile de calcul Tabelul 17.1
Timp (s)
Debit Q (mc/s) Cotă (m)
j = 0 j = 5 j = 10 j = 0 j = 5 j = 10
0 1 2 3 4 5 6
0 5 2,876 3,005 100,722 95,619 90,625
100 5,056 3,243 2,975 100,764 95,635 90,622
200 5,111 3,02 3,039 100,853 95,623 90,629
300 5,167 3,017 2,976 100,835 95,639 90,622
400 5,222 2,815 3,028 100,84 95,617 90,628
500 5,278 2,809 2,968 100,833 95,616 90,621
600 5,333 2,903 2,991 100,855 95,606 90,624
700 5,389 3,031 2,986 100,865 95,613 90,623
800 5,444 3,103 3,016 100,87 95,624 90,627
900 5,5 3,14 3,026 100,872 95,636 90,628
1000 5,556 3,16 3,027 100,879 95,642 90,628
1100 5,611 3,181 3,009 100,889 95,644 90,626
1200 5,667 3,17 2,989 100,895 95,643 90,624
1300 5,722 3,112 2,974 100,897 95,641 90,622
1400 5,778 3,025 2,969 100,899 95,636 90,621
1500 5,833 2,943 2,973 100,905 95,629 90,622
1600 5,889 2,879 2,985 100,913 95,62 90,623
1700 5,944 2,823 3,001 100,919 95,612 90,625
1800 6 2,765 3,018 100,923 95,604 90,627
1900 6,056 2,717 3,031 100,926 95,598 90,629
2040 6,111 2,693 3,037 100,931 95,593 90,629
2100 6,167 2,7 3,036 100,938 95,59 90,629
2200 6,222 2,728 3,029 100,943 95,59 90,628
2300 6,278 2,771 3,017 100,947 95,592 90,627
2400 6,333 2,83 3,002 100,951 95,597 90,625
2500 6,389 2,907 2,985 100,956 95,604 90,623
2600 6,444 3,004 2,969 100,961 95,614 90,621
2700 6,5 3,116 2,956 100,966 95,625 90,62
2800 6,556 3,235 2,949 100,971 95,637 90,619
2900 6,611 3,36 2,947 100,975 95,651 90,618
3000 6,667 3,491 2,952 100,98 95,665 90,619
3100 6,722 3,629 2,961 100,985 95,68 90,62
3200 6,778 3,769 2,976 100,99 95,695 90,622
3300 6,833 3,908 2,995 100,994 95,71 90,624
3400 6,889 4,044 3,016 100,998 95,724 90,627
Hidraulică vol. II 323
Tabelul 17.1 (continuare)
0 1 2 3 4 5 6
3500 6,944 4,178 3,037 101,003 95,738 90,629
3600 7 4,309 3,057 101,008 95,752 90,632
3700 7 4,439 3,073 101,01 95,766 90,634
3800 7 4,558 3,087 101,012 95,778 90,635
3900 7 4,678 3,093 101,013 95,791 90,636
4000 7 4,793 3,095 101,013 95,802 90,636
4100 7 4,906 3,09 101,013 95,814 90,636
4200 7 5,013 3,078 101,014 95,825 90,634
4300 7 5,113 3,06 101,014 95,835 90,632
4400 7 5,208 3,036 101,014 95,845 90,629
4500 7 5,299 3,006 101,014 95,854 90,626
4600 7 5,388 2,973 101,015 95,862 90,622
4700 7 5,475 2,939 101,015 95,871 90,617
4800 7 5,56 2,903 101,015 95,879 90,613
4900 7 5,645 2,869 101,015 95,887 90,609
5000 7 5,728 2,838 101,015 95,894 90,605
5100 7 5,811 2,811 101,015 95,902 90,602
5200 7 5,892 2,79 101,015 95,909 90,599
5300 7 5,971 2,777 101,015 95,916 90,598
5400 7 6,047 2,772 101,015 95,923 90,597
5500 7 6,121 2,777 101,015 95,93 90,598
5600 7 6,192 2,793 101,015 95,937 90,6
5700 7 6,259 2,821 101,015 95,943 90,603
5800 7 6,323 2,86 101,015 95,949 90,608
5900 7 6,383 2,911 101,015 95,954 90,614
6000 7 6,439 2,972 101,015 95,959 90,622
6100 7 6,491 3,044 101,015 95,964 90,63
6200 7 6,539 3,126 101,015 95,969 90,64
6300 7 6,584 3,215 101,015 95,973 90,651
6400 7 6,625 3,313 101,015 95,977 90,662
6500 7 6,663 3,416 101,015 95,981 90,674
6600 7 6,698 3,525 101,015 95,984 90,687
6700 7 6,729 3,637 101,015 95,987 90,699
6800 7 6,758 3,753 101,015 95,99 90,712
6900 7 6,783 3,872 101,015 95,993 90,725
7000 7 6,807 3,992 101,015 95,995 90,738
7100 7 6,828 4,114 101,015 95,997 90,751
7200 7 6,847 4,236 101,015 95,999 90,764
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 324
Tabelul 17.1 (continuare)
0 1 2 3 4 5 6
7300 7 6,864 4,358 101,015 96,001 90,777
7400 7 6,879 4,479 101,015 96,002 90,789
7500 7 6,893 4,599 101,015 96,004 90,801
7600 7 6,905 4,718 101,015 96,005 90,813
7700 7 6,916 4,835 101,015 96,006 90,824
7800 7 6,926 4,949 101,015 96,007 90,836
7900 7 6,935 5,061 101,015 96,008 90,846
8000 7 6,942 5,171 101,015 96,009 90,857
8100 7 6,949 5,277 101,015 96,009 90,867
8200 7 6,955 5,38 101,015 96,01 90,877
8300 7 6,96 5,479 101,015 96,011 90,886
8400 7 6,965 5,575 101,015 96,011 90,895
8500 7 6,969 5,667 101,015 96,012 90,903
8600 7 6,973 5,755 101,015 96,012 90,911
8700 7 6,976 5,839 101,015 96,012 90,919
8800 7 6,979 5,92 101,015 96,013 90,926
8900 7 6,982 5,996 101,015 96,013 90,933
9000 7 6,984 6,068 101,015 96,013 90,939
9100 7 6,986 6,137 101,015 96,013 90,945
9200 7 6,988 6,201 101,015 96,013 90,951
9300 7 6,989 6,262 101,015 96,014 90,956
9400 7 6,991 6,319 101,015 96,014 90,961
9500 7 6,992 6,372 101,015 96,014 90,965
9600 7 6,993 6,422 101,015 96,014 90,97
9700 7 6,994 6,469 101,015 96,014 90,974
9800 7 6,995 6,513 101,015 96,014 90,977
9900 7 6,995 6,553 101,015 96,014 90,981
10000 7 6,996 6,591 101,015 96,014 90,984
10100 7 6,997 6,626 101,015 96,014 90,987
10200 7 6,997 6,658 101,015 96,015 90,99
10300 7 6,997 6,688 101,015 96,015 90,992
10400 7 6,998 6,715 101,015 96,015 90,994
10500 7 6,998 6,741 101,015 96,015 90,997
10600 7 6,998 6,764 101,015 96,015 90,999
10700 7 6,998 6,785 101,015 96,015 91
10800 7 6,999 6,805 101,015 96,015 91,002
Hidraulică vol. II 325
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Timp (sec)
Debit (m
c/sec)
Q = f(t) în secţiunea j = 0
Q = f(t) în secţiunea j = 5
Q = f(t) în secţiunea j = 10
Fig. 17.11. Variaţia debitului în canal, Q = f(t), în secţiunile
j = 0 (amonte, L = 0), j = 5 (L = 5 km) şi j = 10 (aval, L = 10 km)
Fig. 17.12. Variaţia cotelor suprafeţelor libere ale apei, y = f(t) în secţiunile
j = 0 (amonte, L = 0), j = 5 (L = 5 km) şi j = 10 (aval, L = 10 km)
Metoda implicită în patru puncte implică determinarea – prin
identificare - a coeficienţilor ecuaţiilor algebrice liniare (17.38) şi (17.39) şi
rezolvarea sistemului format din aceste ecuaţii. Rezolvarea sistemului format
din ecuaţiile (17.38) şi (17. 39) se poate face relativ uşor prin algoritmul
dublului baleiaj, însă condiţiile limită trebuie liniarizate în aceeaşi termeni ∆y
şi ∆Q.
90
92
94
96
98
100
102
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
T imp (sec)
Cota
niv
elulu
i ap
ei (
m)
Y = f(t) în sect iunea j = 0
Y = f(t) în sect iunea j = 5
Y = f(t) în sect iunea j = 10
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 326
Pentru exemplul de calcul ales (care respectă ipotezele modelului
unidimensional) pentru un coeficient de pondere temporal θ = 0,7 şi un
coeficient de pondere spaţial φ = 0,5, algoritmul numeric a fost stabil indiferent
de pasul spaţial şi temporal ales în calcul. De fapt pentru θ = 0,7 algoritmul
este la limită stabil, pentru θ < 0,67 algoritmul devine instabil numeric.
Dificultatea metodei constă în faptul că liniarizarea ecuaţiilor şi a
condiţiilor limită precum şi determinarea coeficienţilor ecuaţiilor liniarizate,
este relativ greoaie şi destul de laborioasă.
20. Să se determine prin metoda explicită parametri hidraulici, din
1000 în 1000 m (debite, viteze, adâncimi), de-a lungul unui canal de secţiune
dreptunghiulară având următoarele caracteristici: lăţimea la bază a canalului: b = 5,0 m, panta longitudinală a canalului: S0 = 0,001, coeficientul de rugozitate
după Manning n = 0,02, lungimea canalului: L = 6 km.
Hidrograful afluent în canal este redat în (fig. 17.13) şi are următoarele
caracteristici: Qmin = 8,249 m3/s, Qmax = 50 m
3/s, cu timpul de creştere a
debitului tu = 1200 s, timp de descreştere tc = 3600 s, după o lege liniară.
Rezolvare. După metoda descrisă la pct. 17.5.3., pentru canalul de
secţiune dreptunghiulară, ecuaţiile se rescriu în diferenţe finite astfel:
- pentru adâncimi:
[ ])V(Vh)h(hVx2
thh j
1ij1i
ji
j1i
j1i
ji
ji
1ji +−+−
+ −+−∆
∆+=
- pentru viteze:
[ ]1/221ji )4(
2
1V βΓ+Γ+Γ−=+
cu
∆+−
∆
∆+−
∆
∆+= +−+− 0tSg)h(h
x2
tg)V(VV
x2
tV j
1ij
1ij1i
j1i
ji
jiβ şi
( )tgn
R2
4/31jih
∆=Γ
+
Condiţii iniţiale: la (t = 0) s-a considerat mişcarea permanentă şi
uniformă, corespunzătoare debitului Q0 = Qmin = 8,249 m3/s, 2/1
03/2 SR
n
1 V h= ,
rezultând adâncimea normală hn = 1,2 m.
Condiţiile limită în amonte s-au ales de forma Q = Q(t), (fig. 17.13),
iar în aval s-a considerat de asemenea mişcare permanentă, debitul în secţiunea
aval rezultând din ecuaţia de continuitate:
11 +++ = ji
ji
1ji AVQ .
Hidraulică vol. II 327
Pentru efectuarea automată a calculelor s-a întocmit de asemenea un
program de calcul, pe baza relaţiilor descrise anterior alegând un pas de calcul
temporal ∆t = 1 s, pasul spaţial ∆x = 100 m (rezultând un număr n = 61
secţiuni de calcul), timpul total de calcul fiind Tmax = 15000 s.
Viteza medie a apei în canal este V = 1,3748 m/s, celeritatea undelor
de gravitație c = 3,4310 m/s, pasul temporal pentru care este asigurată
stabilitatea algoritmului fiind ∆tmin = 10,4039 s.
Rezultatele sub formă grafică sunt prezentate în continuare (fig. 17.13
la 17.24).
Fig. 17.13. Condiţie limită amonte. Fig. 17.14. Variaţia debitului în secţiunile
Hidrograful afluent în canal de calcul
Fig. 17.15 Variaţia adâncimii apei în timp Fig. 17.16. Variaţia vitezei în timp
în secţiunile de calcul în secţiunile de calcul
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 328
Fig. 17.17 Variaţia adâncimii apei în Fig. 17.18 Variaţia adâncimii apei în
funcţie de debit în secţiunea 1 (L = 0) funcţie de debit în secţiunea 11 (L = 1 km)
Fig. 17.19 Variaţia adâncimii apei în Fig. 17.20 Variaţia adâncimii apei în
funcţie de debit în secţiunea 21 (L = 2 km) funcţie de debit în secţiunea 31 (L = 3 km)
Fig. 17.21. Variaţia adâncimii apei în Fig. 17.22. Variaţia adâncimii apei în
funcţie de debit în secţiunea 41 (L = 4 km) funcţie de debit în secţiunea 51 (L = 5 km)
Hidraulică vol. II 329
Fig. 17.23. Condiţia limită aval: 11 +++ = j
ij
i1j
i AVQ . Variaţia adâncimii apei în funcţie de
debit în aval (secţiunea 61; L = 6 km)
Fig. 17.24. Variaţia adâncimii apei în timp şi în lungul canalului
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 330
Metoda explicită, deşi permite determinarea variabilelor dependente
funcţie de variabilele dependente de la momentul de timp trecut, este supusă
criteriului de stabilitate.
Din acest motiv, deşi atractivă din punct de vedere al programării,
rularea programului durează mult. Acest impediment poate fi surmontat prin
utilizarea unor calculatoare de mare putere.
Nu s-au observat nici un fel de fenomene de instabilitate numerică a
algoritmului (pentru paşii spaţiali şi temporali aleşi), ceea ce recomandă această
metodă pentru analiza parametrilor hidraulici în cazul mişcării nepermanente în
canale deschise.
Metodele prezentate şi programele realizate pot fi utilizate, de
asemenea, în calculele de propagare ale viiturilor pe albii naturale, precum şi în
analiza fenomenelor hidraulice de pe albii cu diverse construcții hidrotehnice.
Hidraulică vol. II 331
Capitolul 18
CURGERI BIFAZICE
Apa în natură, din punct de vedere al ştiinţelor de bază ale
hidrotehnicii (hidrologie, hidraulică) este privită ca fluid omogen. Această
ipoteză corespunde în analiza multor fenomene.
În albii naturale însă, împreună cu apa se mişcă şi aluviuni, iar în
perioade de iarnă şi diferite formaţiuni de gheaţă, astfel încât lichidul în
mişcare nu mai poate fi considerat omogen. Influenţa antropică asupra
mediului antrenează în albii diferiţi poluanţi, în formă de soluţie sau
particule solide distincte care modifică calitatea lichidului în mişcare din
punct de vedere chimic sau fizic (temperatură, densitate).
Mişcarea lichidului neomogen pune noi probleme care în general
pot fi cuprinse în noţiunea de amestec. Fenomenul de amestec, distribuţia
diferitelor substanţe sunt descrise de legile difuziei.
În acest capitol se tratează legile generale ale difuziei şi utilizarea
lor, mişcarea aluviunilor şi ale diferitelor formaţiuni de gheaţă (hidraulica
râurilor pe timp de îngheţ).
18.1. DIFUZIE, DISPERSIE, MIŞCĂRI POLIFAZICE,
CURGERI STRATIFICATE
Este cunoscut că oricărei acţiuni reciproce îi corespunde o
caracteristică extensivă şi una intensivă. Modificarea energetică în urma
unei acţiuni reciproce este proporţională cu modificarea caracteristicii
extensive, coeficientul de proporţionalitate fiind caracteristica intensivă.
Difuzia, în acest sens, este caracterizată de ecuaţiile de bilanţ.
Condiţia utilizării ecuaţiilor de bilanţ este cunoaşterea caracteristicilor
extensive şi intensive, respectiv ai coeficienţilor de conductivitate.
La fenomenul de schimb de substanţă caracteristica extensivă este
masa acesteia, iar distribuţia intensivă a acesteia este caracterizată de
densitate sau concentraţie. La curgerea apei (fluidului) substanţa
amestecată poate fi în soluţie sau în fază solidă. Pentru ambele cazuri
caracteristica extensivă este densitatea volumică (concentraţia). La transport
de fază solidă distribuţia concentraţiei trebuie privită pentru elemente de
volum la care se poate neglija natura discretă a aluviunilor.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 332
Pe baza ecuaţiilor de bilanţ se poate ajunge la ecuaţiile care descriu
procesele, însă definirea tensorilor (coeficienţilor) de conductivitate se
bazează, în general, pe experimente.
Fenomenul de difuzie a fost analizat întâi la curgeri stratificate,
ecuaţiile diferenţiale ale difuziei studiind difuzia soluţiilor şi căldurii,
coeficientul de conductivitate fiind denumit coeficient de difuzie. Se
presupune că acest coeficient de difuzie este asemenea pentru soluţii,
căldură şi prin analogia Reynolds şi pentru impuls. Coeficientul de difuzie
pentru impuls la curgeri laminare priveşte vâscozitatea, iar la curgeri
turbulente se poate vorbi de coeficient de difuzie turbulent. Coeficientul de
difuzie D se referă totdeauna la schimb conductiv de substanţă.
18.1.1. Difuzia laminară
Difuzia laminară apare la masa fluidă statică sau în mişcare
laminară şi este produsă de mişcarea browniană (difuzie moleculară).
10. În lichid în repaus din ecuaţiile de bilanţ se ajunge la legea lui
Fick a difuziei:
x
CDM
∂
∂−= (18.1)
în care M este schimbul specific de substanţă (pe unitatea de suprafaţă);
C – concentraţia substanţei difuzante (caracteristica intensivă); x – distanţa
măsurată normal pe suprafaţă, iar D – coeficientul de difuzie
(conductivitate). Relaţia (18.1) arată că schimbul de substanţă pe suprafaţa
dată este proporţional cu gradientul concentraţiei pe direcţia normalei la
suprafaţa de schimb.
Utilizând ecuaţia conservării masei se obţine:
0=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
Mz
y
My
x
Mx
t
C (18.2)
Pentru coeficient de difuzie constant (în timp şi spaţiu) după înlocuirea în
(18.1) se obţine a doua lege a lui Fick:
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂2
2
2
2
2
2
z
C
y
C
x
CD
t
C (18.3)
sau în mişcare unidimensională
2
2
x
CD
t
C
∂
∂=
∂
∂ (18.3’)
Hidraulică vol. II 333
care arată ca variaţia temporală a concentraţiei este proporţională cu
modificarea locală a gradientului concentraţiei.
Practic, coeficientul de difuzie deseori depinde de concentraţie şi
în medii neomogene depinde şi de spaţiu D = f(C, x, y, z). Orice fenomen de difuzie se poate aduce la forma:
( )CgradDdivt
C ⋅=
∂
∂ (18.4)
Ecuaţia difuziei este soluţionabilă în condiţii iniţiale şi de frontieră
date, pentru un coeficient de difuzie constant.
20. În cazul lichidului în mişcare laminară ecuaţiile de bilanţ
conţin şi termenii curgerii convective, de forma ( )VC ⋅ . Pentru mişcări
unidimensionale ( )0 ,0 ,uV relaţia (18.3’) devine:
2
2
x
CDx
x
Cu
t
C
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂ (18.3”)
Efectul difuziei laminare în cazul cursurilor de apă este
nesemnificativ, dar în lacuri (pe lângă difuzia turbulentă) nu se poate
neglija.
18.1.2. Difuzia turbulentă
În curgeri turbulente valorile mărimilor fizice au variaţie
stohastică, iar în calcule se operează cu valorile lor mediate în timp şi cu
produsul pulsaţiilor mediate după Reynolds.
Modificarea concentraţiei în curgeri turbulente este cauzată de
transportul conductiv, pe de o parte, şi de transportul convectiv, pe de altă
parte. Transportul conductiv este produs de difuzia moleculară şi
turbulentă. În cursuri de apă faţă de difuzia turbulentă cea moleculară este
neglijabilă. Ecuaţiile diferenţiale de bază se pot deduce din ecuaţiile de
bilanţ pentru mişcarea turbulentă, respectiv din ecuaţia conservării masei.
Se scrie ecuaţia conservării masei pentru volumul de control
paralelipipedic elementar dx, dy, dz, considerând densitatea constantă şi
mediile temporale ale mărimilor pulsatorii ca sume ale valorilor medii şi
pulsaţiilor.
Ţinând seama de continuitatea curgerii turbulente şi considerând
fluxul de masă al difuziei turbulente proporţional cu gradientul de
concentraţie mediu (pe baza analogiei cu legea difuziei moleculare) se
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 334
obţine ecuaţia diferenţială a difuziei convective la curgerile spaţiale
turbulente ( )wvuV , , ale fluidelor incompresibile:
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
CD
zy
CD
yx
CD
x
z
Cw
y
Cv
x
Cu
t
C
tztytx
(18.4)
Primul termen al membrului stâng ţine seama de variaţia în timp a
concentraţiei, următorii trei termeni exprimă transportul de substanţă
(fluxul) convectiv datorită vitezei fluidului, iar membrul drept descrie
transportul conductiv de substanţă datorită turbulenţei. Mărimile barate
reprezintă valori medii temporale.
În formă generală se poate scrie:
( ) ( )CgradDdivCVdivt
C ⋅=⋅+
∂
∂ (18.5)
Soluţionarea ecuațiilor necesită cunoaşterea condiţiilor iniţiale, de
frontieră şi ale expresiilor componentelor vitezei şi factorului de difuzie.
Factorul de difuzie a fost studiat, în general, pentru mişcări bidimensionale
– axial simetrice şi plane.
Factorul de difuzie la schimbul de impuls la amestecul turbulent
este proporţional cu lungimea de amestec „l” după Prandtl:
⋅′≅=′
⋅′≅=′
luD
lvD
yy
xx
ν
ν (18.6)
sau
y
uyxy
∂
∂′⋅−= νρτ (18.7)
Se poate presupune că factorul de difuzie pentru substanţă şi
căldură este identic cu factorul de flux referitor la impuls.
La mişcări plane – la adâncimea y:
( ) ( )02*00 /1/1 yyvyyIy −⋅=−⋅⋅= ργτ
- în interiorul volumului de control factorul de difuzie este:
( )
dx
duyyv
D yy0
2
* /1−=′=ν (18.8)
Considerând distribuţia vitezei sub forma:
Hidraulică vol. II 335
y
v
dy
du
y
y
V
v
V
u
⋅=
+
⋅+=
χχ*
0
* cu ,ln11 ,
după înlocuire în (18.8) se obţine:
( )0* /1 yyvyD yy −⋅⋅=′= χν (18.9)
unde jRgv ⋅⋅=* este viteza de frecare la perete. (La curgeri cu nivel
liber ihgv ⋅⋅= 0* , i fiind panta hidraulică).
Pentru relaţia de distribuţie a vitezei, conform (18.9) factorul de
difuzie la suprafaţa liberă şi la frontieră este nul şi la mijlocul adâncimii
maxim.
Considerând χ = 0,4, după medierea în timp (integrare) valoarea
factorului de difuzie este:
*0*0 067,015
1vyvyDy ⋅⋅=⋅= (18.10)
Factorul de difuzie pe direcţie transversală după Edler şi Fischer
este:
*023,0 vyDz ⋅⋅= (18.11)
Raportând coeficientului de difuzie la produsul vitezei de frecare
la perete cu adâncimea, se obţine un complex adimensional
1*0
=
⋅ vy
Di .
Din acest considerent trebuie remarcat faptul că factorul de difuzie
molecular – laminar este o constantă a substanţei, iar factorul de difuzie
turbulent depinde de parametrii mişcării. În albii neregulate valoarea
factorului de difuzie turbulent are variaţii mari atât în secţiune cât şi în
lungul curentului. În albii regulate variaţia factorului de difuzie turbulent
este mai graduală, dar există.
18.1.3. Dispersia turbulentă
Dificultăţile stabilirii factorului de difuzie turbulent au condus la
introducerea noţiunii de dispersie turbulentă. Fenomenul de amestec prin
dispersie este descris ca un fenomen unidimensional.
Descrierea difuziei utilizează vitezele şi concentraţiile locale pe
când în dispersie se operează cu valorile medii pe secţiune (V, Cm), astfel:
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 336
∂
∂
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂
x
CD
xx
CV
t
C mL
mm (18.12)
unde DL este factorul de dispersie longitudinal şi depinde de factorii de
dispersie şi componentele vitezei în secţiune (v, w). Factorul de difuzie
turbulent caracterizează numai schimbul conductiv de substanţă. Factorul
de dispersie are rol în schimbul conductiv longitudinal şi convectiv pe
secţiune. Prin utilizarea noţiunii de dispersie fenomenele difuziei
convective spaţiale şi plane se pot transforma în fenomene unidimensionale.
Ecuaţia diferenţială a dispersiei longitudinale a fost soluţionată
analitic pentru câteva cazuri simple.
Experienţele lui Elder pentru mişcări bidimensionale au stabilit
valoarea factorului de dispersie longitudinal
*09,5 vyDL ⋅⋅= (18.13)
respectiv
DL/Dy = 5,9/0,067 = 88.
Factorul de dispersie longitudinal este mult mai mare decât cel
transversal.
La poluări punctuale ale apelor curgătoare la început mişcarea
poluantului are formă de jet, apoi pe o lungime iniţială se deplasează ca
într-un difuzor, apoi se distribuie pe toată secţiunea. Vârtejurile transversale
şi mişcările elicoidale influenţează factorul de dispersie, precum şi
lungimea tronsonului iniţial.
18.2. CURGERI POLIFAZICE ŞI
MIŞCĂRI STRATIFICATE
În curburi naturale, canale şi conducte deseori se întâlnesc curgeri
de fluide eterogene. Chiar şi apa transportă materiale străine – chimic
organice sau anorganice, iar fizic în soluţie sau solide, în formă de granule,
(incluzând şi gheaţa). Prezenţa materialelor „străine” sub 2% permite
considerarea fluidului omogen, însă peste această valoare implică curgeri
bi-sau polifazice.
În industria chimică, a materialelor de construcţii, în minerit şi
prelucrarea minereurilor, în colectarea şi tratarea apelor uzate, manipularea
materialelor granulare se utilizează deseori transportul hidraulic sau
pneumatic. Mişcarea aluviunilor şi diferitelor formaţiuni de gheaţă pe
cursuri naturale sau în canale este tot o formă de mişcare bifazică. Se
Hidraulică vol. II 337
prezintă succint mişcările fluidelor neomogene cu reliefarea aspectelor care
trebuiesc luate în considerare la astfel de curgeri.
18.2.1. Curgeri polifazice
Vorbim de curgeri polifazice dacă într-un mediu continuu se mişcă
în acelaşi timp şi medii în altă stare. Mediul continuu poate fi lichid sau
gaz, iar alte medii pot fi considerate solid, lichid sau gazos. Ex: împreună
cu apa se mişcă şi / sau particule solide, bule de gaz şi / sau picături de
lichid imiscibil cu apa, sau în curentul de aer se mişcă şi / sau particule
solide şi / sau picături de lichid. Dacă fazele fluidelor în mişcare se separă
după densitate, curgerea este stratificată.
Fluidul bi – sau polifazic poate avea comportări diferite în curgere:
de fluid newtonian: Bingham, pseudoplastic, plastic sau dilatant.
Dacă fazele constituente ale fluidului în mişcare nu au interacţiune
chimică se poate vorbi de curgerea unui amestec; totdeauna există o
diferenţă între vitezele fazelor amestecului. În funcţie de caracteristicile
fazelor constituente şi viteza medie a amestecului se disting curgeri
suspensionale în amestec omogen (concentraţia masică uniform distribuită
pe secţiune) şi un amestec eterogen (concentraţia masică neuniformă),
respectiv curgeri cu diferite formaţii de fund (mobile sau imobile) şi
suspensie eterogenă deasupra.
După Graf, Acaroglu, Wiedenroth delimitarea tipurilor de curgere
sub presiune ale amestecului de apă - aluviuni este în funcţie de viteza
medie a amestecului, de pierderi de energie (fig. 18.1).
Fig. 18.1. Delimitarea curgerii
amestecului bifazic:
1. în suspensie omogenă
2. în suspensie eterogenă 3. în suspensie şi transport de
fund mobil 4. în suspensie, transport de
fund şi depuneri 5. de înfundare (colmatare)
1
2
3
4
5
log v
1 vcr 10
regim dedepunere
regim de trans. in
1,0
0,1
0,01
concentratie
diminuata
concentratie
constanta
I c
I n
log In
suspensie
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 338
Asemănător este transportul pneumatic, faza purtătoare fiind un gaz
(aer), iar a doua fază particule solide. La mişcări bifazice de lichid – gaz a
doua fază este formată din bule de gaz (la transport eterogen concentraţia de
gaz pe verticală este invers dispusă faţă de solid).
La transport polifazic sunt de soluţionat mai multe probleme de
bază, printre care se pot menţiona:
- distribuţia spaţială a fazelor constituente;
- definirea vitezei amestecului şi fazelor constituente;
- viteze limită (de transport suspensional şi de înfundare);
- pierderi de energie în mişcare;
- realizarea şi menţinerea amestecului ş.a.
Aceste probleme se pot soluţiona, în general, pe două căi: prin
descrierea statistică a mişcării particulelor elementare sau prin analiza
mişcării amestecului, ambele transcrise în simbolism matematic.
La studiile anterior menţionate este necesară cunoaşterea
următoarelor proprietăţi ale particulelor elementare (particule solide sau
bule de gaz): dimensiunile particulelor, curba granulometrică, mărimea
hidraulică (viteza de sedimentate) a particulelor solide sau de ascensiune ale
bulelor de gaz, forma geometrică a particulelor.
Legile generale ale mişcării pot fi stabilite pe bază de bilanţ, cu
definirea corectă a mărimilor intensive şi extensive şi prin scrierea unui
număr suficient de ecuaţii.
Mişcărilor bi – sau polifazice le rămâne valabilă relaţia lui Chézy
însă gradientul hidraulic (panta liniei energetice) diferă faţă de mişcarea
fluidului omogen.
18.2.2. Curgeri stratificate
Curgerea fluidelor cu densităţi diferite (imiscibile) în câmp
gravitaţional conduce la separarea fazelor, mişcarea devenind stratificată.
Dacă diferenţele de densitate sunt considerabile (gaz şi lichid) uneori chiar
se pot neglija influenţele reciproce (curgerea apelor uzate în reţele de
canalizare). Dacă diferenţele de densitate sunt mici şi curgerea puternic
turbulentă apar dificultăţi de stabilire a suprafeţei de separaţie.
Curgerile stratificate apar datorită diferenţelor de temperatură
(curenţi marini, curenţi în lacuri de răcire), conţinutului de aluviuni, sare. În
acest caz se poate vorbi de curgeri în două sau mai multe straturi sau
curgere de fluid cu densitate continuu variabilă.
Hidraulică vol. II 339
Cea mai simplă curgere de acest tip este curgerea în două straturi
(bistratificat). Suprafaţa de separaţie permanentă este linie de curent şi i se
poate aplica ecuaţia energiei.
Se poate arăta că pierderea de energie măsurată pe suprafaţa de
separaţie se calculează cu acceleraţia redusă a gravitaţiei
ggm
′=−
ρ
ρρ 12 (18.14)
cu ρ1 < ρ2, fiind densităţile celor două fluide iar ρm densitatea medie.
Curgerea stratificată este caracterizată prin distribuţie diferită a
vitezei şi efortului unitar tangenţial faţă de curgerea fluidelor omogene.
La curgeri turbulente apare amestecul între straturi, iar fenomenele
de difuzie existente sunt greu de scris matematic.
18.3. MIŞCAREA ALUVIUNILOR
Deseori împreună cu apa curg şi materialele solide care, generic
sunt numite aluviuni. Originea aluviunilor este naturală sau artificială,
compoziţia minerală sau, ocazional, organică. În curgeri se consideră
aluviunile de origine minerală, eventual la transport premeditat se consideră
originea lor organică cu caracteristicile aferente.
Problemele complicate ale provenienţei aluviunilor prin eroziune,
din bazinul de recepţie şi albii ale cursurilor naturale este tratată de
hidrologie.
În cele ce urmează aluviunile se consideră particule de roci sau
cristale ale mineralelor (grosiere şi fine).
În funcţie de mişcare se disting aluviuni de fund, care alunecă şi se
rostogolesc pe fundul albiei şi aluviuni în suspensie.
La aluviuni de fund problemele ridicate se referă la:
- stabilirea stării limită de antrenare şi mişcare din poziţie statică;
- determinarea cantităţii de aluviuni de fund.
La aluviuni în suspensie problemele se referă la:
- determinarea distribuţiei concentraţiei de aluviuni în suspensie;
- stabilirea cantităţii de aluviuni transportate în suspensie (debitul
de greutate sau volumic).
O formă aparte a mişcării aluviunilor în cursuri de apă importante
este migrarea „recifelor de aluviuni, de bare fluviale”.
Pentru descrierea mişcării trebuie avut în vedere astfel de parametri
care să caracterizeze ambele tipuri de aluviuni, dar şi materialul albiei. Este
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 340
importantă caracterizarea particulelor de aluviuni individuale, dar şi a
materialului aluvionar în ansamblu.
18.3.1. Caracterizarea aluviunilor prin
prisma transportului hidraulic
Din punct de vedere al mişcării aluviunilor prezintă importanţă
mare: densitatea (greutatea specifică) lor, mărimea, forma geometrică şi
distribuţia lor pe dimensiuni, mărimea lor hidraulică (sau viteza de
sedimentare), forţele care acţionează particula în curentul de lichid.
10. Densitatea aluviunilor
Masa, respectiv greutatea specifică, este dependentă de natura
materialului transportat şi variază în limite largi: de la bule de gaz, lemn,
minerale etc (la transport industrial).
În cazul aluviunilor naturale, de provenienţă minerală 3 t/m8,2...1,2=sρ , dar în râuri cel mai des 3 t/m65,2=sρ , această ultimă
valoare fiind frecvent utilizată în calcule. Uneori se utilizează densitatea
relativă faţă de densitatea fluidului purtător ρρ /s , sau densitatea relativă
submersă 1/ −ρρ s .
20. Forma şi mărimea geometrică a aluviunilor
Geometric, ca formă şi mărime, aluviunile sunt neuniforme.
Înlocuirea formei reale cu cea sferică nu este suficientă (deşi este indicat a
se folosi o singură mărime geometrică caracteristică).
20. a. Mărimea particulei
Este general acceptată caracterizarea mărimii particulei pentru
unul din dimensiunile liniare de mai jos:
- diametrul de sedimentare – diametrul particulei sferice de
densitate egală cu particule naturale având ambele aceeaşi viteză de
sedimentare;
- diametrul de sitare – latura ochiului pătratic de sită prin care
tocmai trece particula naturală;
- diametrul nominal – diametrul sferei de volum egal cu al
particulei naturale.
Cel mai uşor diametru de stabilit este cel de sedimentare şi de sitare.
De obicei pentru d < 0,1 mm se utilizează diametrul de sedimentare, iar
pentru d ≥ 0,1 mm diametrul de sitare.
Hidraulică vol. II 341
20. b. Forma particulei
Convenţional forma particulei se caracterizează prin „sfericitate”,
ca raportul între suprafaţa particulei şi a unei sfere de volum egal cu cel al
particulei. Pentru nisipuri sfericitatea este apropiată de 2.
Coeficientul de formă Heywood este raportul dintre volumul
particulei şi diametrul la puterea a treia a cercului înfăşurător al proiecţiei
particulei în poziţia cea mai stabilă:
3d
wk p
= (18.15)
Particulele sferice au 524,06/ == πk , iar aluviunile naturale k~0,4.
În studiul teoretic al mişcării particulelor individuale acestea se
asimilează cu sfere sau elipsoide fictive de volum echivalent.
Calitatea suprafeţei particulelor prezintă importanţă în definirea
rezistenţei de înaintare a lor în fluid şi a fenomenelor de abraziune.
20. c. Caracterizarea geometrică a ansamblului de aluviuni
Aluviunile fiind neomogene, ca mărime şi formă, ele în ansamblu
se caracterizează prin curba granulometrică, repartiţia relativă a masei
particulelor pe mărime. În calcule însă, nu se pot considera toate diametrele
din curba granulometrică, trebuie definit pentru tot materialul solid o
singură mărime: diametrul determinant. După diferiţi autori definirea diametrului determinant nu este
unitară şi în comparaţia rezultatelor sau utilizarea relaţiilor obţinute trebuie
ţinut seama de condiţiile considerate.
Astfel uneori diametrul determinant este considerat d50, sau d60,
sau media a 10 fracţiuni granulometrice dm = 0,1(d5 + d15 + ... +d95), sau a
9 fracţiuni granulometrice dm = (d10 + d20 + ... +d90) / 9, sau media
ponderată a diametrelor la procentele de greutate din curba granulometrică
∑∑
=ii
im dp
pd
/.
Diametrul caracteristic dc se defineşte pe baza curbei
granulometrice, construită în scară aritmetică, astfel ca suprafeţele haşurate
din fig. 18.2 să fie egale.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 342
b
a
As
Ai
Diametru (mm)dc
Procente cumulate
de greutate
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Fig. 18.2. Definirea mărimii şi neuniformităţii aluviunilor
pe baza curgerii granulometrice scalare
Repartiţia particulelor pe fracţiuni este caracterizată de coeficientul de neuniformitate, u = d60 / d10, sau de coeficientul de fineţe după
Schoklitsch f = a / b, ca raport a suprafeţelor de peste şi de sub curba
granulometrică în scări aritmetice (la compararea mai multor tipuri de
aluviuni scările graficelor trebuie să fie identice), sau coeficientul de
uniformitate după Kramer, uk = Ai / As, ca raport al suprafeţelor cuprinse
între verticala diametrului minim şi curbă granulometrică (în scară
aritmetică) împărţită de orizontala d50 în Ai şi As.
Definirea diferenţiată a mărimii geometrice a particulelor
îngreunează generalizarea relaţiilor fizice obţinute pentru deplasarea
aluviunilor în curentul fluid.
30. Mărimea hidraulică a particulelor
şi viteza lor de sedimentare
30.a. Mărimea hidraulică w0 a unei particule este viteza sa
uniformă de cădere într-un lichid în repaus teoretic infinit sub acţiunea
gravitaţiei la temperatură dată. Valoarea sa este descrisă de legea lui Stokes,
rezultată din condiţia limită când forţa de rezistenţă la înaintare se
egalizează cu greutatea submersă (Fr = G-FA), sub forma:
( )1/3
40 −= ρρ s
RC
gdw (18.16)
în care: Fr este forţa de rezistenţă la înaintare (cu cele două componente –
de presiune şi la frecare); G – greutatea particulei; FA – forţa arhimedică;
Hidraulică vol. II 343
CR – coeficient de rezistenţă la înaintare; d – diametrul particulei; (ρs / ρ-1) – densitatea relativă submersă a particulei. În regimul laminar de mişcare
CR = 24 / Res, cu ν
dws
⋅= 0Re , rezultând altă formă a legii lui Stokes.
( )1/18
2
0 −⋅
= ρρν
s
gdw (18.16’)
Legea lui Stokes este aplicabilă în următoarele condiţii:
- particulele solide au formă sferică;
- particulele sunt solide netede, nu există alunecare între particulă
şi fluid, ci frecarea este între stratul de lichid aderent şi lichidul exterior;
- sedimentarea are loc în fluid infinit;
- particulele sunt suficient de mari, ca faţă de mărimea lor fluidul
să poată fi considerat mediu continuu;
- rezistenţa de înaintare depinde numai de vâscozitate.
Prima condiţie în general nu este satisfăcută, următoarele trei pot fi
neglijate. Ultima condiţie este satisfăcută numai pentru particule cu
d ≤ 0,05 mm, (Res ≤ 0,1) însă practic se poate utiliza legea lui Stokes la
aluviuni naturale, cu ρs = 2,65 t/m3, până la d ≤ 0,08 m.
Pentru ρs = 2,65 t/m3 relaţia (18.26’) devine:
ν
2
0
dkw l= (18.16”)
Efectul temperaturii asupra mărimii hidraulice intervine major prin
coeficientul de vâscozitate.
Mărimea hidraulică a particulelor mai mari (în regimul de tranziţie
şi turbulent) se poate determina din relaţia:
( )dC
gw s
R
1/3
40 −= ρρ (18.17)
bazată pe egalarea greutăţii submerse cu forţa de rezistenţă la înaintare şi în
care CR(Res) este coeficientul de rezistenţă la înaintare a particulei
(fig. 18.3).
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 344
bile de cuartnisip naturalnisip de cuart
spartlaminar tr
anzitie
turbulent
CR
0,1 0,5 1 5 10 50 100 300
300
100
50
10
5
0,5
0,3
Res
Fig. 18.3. Coeficientul de rezistenţă la înaintare al particulelor solide CR = f(Res)
Efectul formei particulei (abaterea de la sfera teoretică) se poate
lua în considerare prin CR a coeficientului de formă Heywood, k.
30.b. Viteza de sedimentare w este viteza de cădere liberă a
particulelor solide în grup într-un fluid în repaus limitat. Astfel, viteza de
sedimentare este influenţată de concentraţia volumică de aluviuni şi
limitarea spaţiului. Pentru L / d = 100 (L fiind dimensiunea orizontală a
fluidului) viteza de sedimentare scade cu 2,5 % faţă de mărimea hidraulică,
astfel că, în cazuri practice acest efect se poate neglija.
Efectul concentraţiei volumice asupra vitezei de sedimentare este
exprimată de:
w / w0 = (1 – C)n (18.18)
cu n = 2,5...4,5 (Maude şi Whitmore, J. Florea şi Robescu).
40. Forţele care acţionează asupra particulelor solide
în curent de fluid.
Asupra unei particule solide aflată într-un curent de fluid orizontal
acţionează forţe statice şi dinamice. Forţele statice sunt: greutatea G şi
forţa arhimedică FA. Forţele dinamice se datoresc acţiunii fluidului în
mişcare. Pentru curgeri unidimensionale şi permanente forţele dinamice se
compun din: rezistenţa la înaintare FR; portanţa FP; forţa laterală FL – cu
două componente Fgv (datorită gradientului de viteză pe secţiunea normală
a curentului) şi forţa Magnus FM (datorită rotaţiei particulei în curent) –
forţa de frecare FF etc. (fig. 18.4). Greutatea în fluid a particulei generează
tendinţă de depunere; rezistenţa la înaintare este forţa motrică de transport,
Hidraulică vol. II 345
portanţa şi forţa laterală au tendinţa de a aduce particula spre centrul
curentului. În funcţie de dimensiunea particulei unele din aceste forţe sunt
predominante şi ele se reduc la o rezultantă şi un moment.
Fig. 18.4. Forţele care acţionează
asupra unei particule solide
într-un curent unidimensional
Forţele statice (greutatea şi cea arhimedică) se exprimă sub forma:
( )ρρ −⋅=− spA gWFG (18.19)
Forţele dinamice au expresiile:
- rezistenţa la înaintare:
Av
CF RR2
2
⋅⋅= ρ ; (18.20)
- portanţa:
Av
CF PP2
2
⋅⋅= ρ ; (18.21)
- forţa laterală datorită gradientului de viteză:
( ) 1Γ⋅−⋅= sgv vvF ρ ; (18.22)
- forţa Magnus:
( ) 2Γ⋅−⋅= sM vvF ρ ; (18.23)
în care: Wp este volumul particulei; ρs şi ρ – densitatea particulei solide şi a
lichidului purtător; A – suprafaţa proiecţiei particulei; vs şi v – viteza medie
a fluidului purtător şi particulei solide; Г – circulaţia vitezei pentru
conturul C al particulei; CR şi Cp – coeficienţii de rezistenţă la înaintare,
respectiv de portanţă.
Poziţia particulei solide în curentul de fluid depinde de Res,
referitor la viteza curentului principal, astfel:
- Res < 5,5 – toate orientările particulei sunt posibile;
- 5,5 ≤ Res ≤ 200 – orientare stabilă în poziţia rezistenţei maxime;
- Res > 200 - poziţie neprecizabilă.
δ
ω
C
F ,F ,F ,F
F
F
MG
F
u
v
x
zA p gv M
RR
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 346
Amestecurilor bifazice de lichid – solid totdeauna le este
caracteristică diferenţa vitezei medii a fazelor constituente
0≠−=∆ svvv (18.24)
În cazuri limită, când wv →→ sv ,0 , iar la începutul mişcării,
pentru 0 , =< santrenare vvv .
Diferenţa de viteză a fazelor se caracterizează prin „alunecarea”, A.
( )sFrFrf
s eavv //1
−⋅=−=A (18.25)
unde: Fr şi Frs sunt numerele Froude ale fazelor amestecului
gd
wFr
gh
vFr s
2
0
2
şi == .
18.3.2. Despre conceptul de concentraţie
Concentraţia este cantitatea unui element în unitatea de amestec,
iar indicele concentraţiei cantitatea unui element în unitatea de material
purtător. În cazul amestecurilor de solid – apă se disting concentraţiile: de
volum, masic şi de greutate, respectiv indicele acestor concentraţii. La
amestec de aluviuni – apă aceste noţiuni se definesc prin relaţiile, după cum
urmează:
1. a. Concentraţia de volum
C = Ws / Wh (18.26)
b. Indicele concentraţiei de volum
C’ = Ws / Wa (18.27)
2. a. Concentraţia de debit (volumic) sau de transport
CT = Qs /Qh (18.28)
b. Indicele concentraţiei de transport
CT’ = Qs / Qa (18.29)
3. a. Concentraţie masică – turbiditate
Cm = Ms / Wh (18.30)
b. Indicele concentraţiei masice
Cm’ = Ms / Wa (18.31)
4. a. Concentraţia de greutate
CG = Gs / Wh (18.32)
b. Indicele concentraţiei de greutate
CG’ = Gs / Wa (18.33)
Hidraulică vol. II 347
S-au notat: Ws, Wa, Wh - volumul de material solid, apă şi de
amestec; Qs, Qa, Qh – debitul volumic de solid, apă şi amestec; Ms - masa
solidului, Gs – greutatea solidului.
Ţinând seama de conservarea masei şi alunecare, dependenţa
reciprocă a acestor indicatori, pentru mişcări staţionare, este exprimată prin
expresiile:
( ) ( )
(18.40)
(18.39) (18.38) 1
C
(18.37) 1
(18.36) C-1
CC
(18.35) 1 (18.34) 1
1
T
CC
CCC
C
C
CC
CCC
CC
sG
sm
T
T
T
T
TT
⋅=
⋅=′
+
′=
′⋅−
′=
′
′=
−′=⋅−
−=
γ
ρ
A
AA
A
Analiza relaţiilor arată că la amestecuri eterogene datorită
imposibilităţii de omogenizare a densităţii fazelor constituente (excepţie
ρs = ρa) şi a existenţei alunecării, concentraţia de volum totdeauna este
superioară concentraţiei de transport.
18.3.3. Ecuaţiile fundamentale ale mişcării aluviunilor
10. Forţe critice de antrenare
Du Boys în 1879 a introdus noţiunea forţei de antrenare a
aluviunilor, care, prin efortul tangenţial de fund, explică mişcarea
aluviunilor. Efortul tangenţial de fund este
Ih ⋅⋅= γτ 0 (18.41)
unde: γ este greutatea specifică a apei, h – adâncimea apei, I – panta
suprafeţei libere.
Expresia forţei de la antrenare după Du Boys ţine seama numai de
frecările pe fund, nu şi de forţele interne ale curentului de antrenare a
aluviunilor (datorită pulsaţiilor turbulente).
Deşi azi teoria Du Boys este depăşită, expresia forţei de antrenare
este un parametru important în caracterizarea curgerii în albii. Pe baza
relaţiei Du Boys rezultă teoria clasică a forţei, respectiv, efortului tangenţial de antrenare.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 348
Forţa de antrenare, proporţională cu proiecţia particulei de
diametru d, IHd
FH ⋅⋅⋅
⋅= γ
πφ
4
2
, egalată cu greutatea submersă
( )γγπ
−⋅
= s
dG
6
3
permite stabilirea efortului critic
( )γγτ −⋅⋅= sc dfc (18.42)
unde fc (factorul de rezistenţă adimensional) este constant.
Astfel, antrenării unei particule de diametru d şi densitate
submersă (ρs – ρ) îi corespunde o forţă constantă.
Pentru calcule aproximative încă pot fi folosite relaţii bazate pe
teoria forţei de antrenare constante, astfel pentru particule cu ρ = 2,65 t/m3
şi d ≥ 0,0145 cm.
τc = 7,593·10-4·d (N/cm
2)
şi d ≤ 0,0145 cm
τc = 1,785·10-4·d
0,118 (N/cm
2)
diametrul fiind exprimat în cm.
Experimentările lui Shields au arătat că pentru particule de
diametru d şi densitate ρs în curent de apă de adâncime h şi pantă hidraulică
I – efortul critic de antrenare depinde de viteza de frecare la perete
ghIv =* , respectiv factorul adimensional fc depinde de numărul
Reynolds calculat cu viteza de frecare şi diametrul particulei
( )
( )ss
c Fdv
Fd
fc ∗=
⋅=
−= Re*
νγγ
τ (18.43)
20. Viteze critice de antrenare
Starea limită de echilibru a aluviunilor, pe lângă forţele de
antrenare, se poate caracteriza şi prin viteză (medie sau de fund), iar teoria
bazată pe viteze critice este teoria impactului. Apa în mişcare dezvoltă un
impact asupra particulei de diametrul d proporţional cu proiecţia particulei
g
vdFH
22
4⋅⋅
⋅= γ
πφ
care, egalată cu greutatea submersă, permite calculul vitezei critice
( )1/ −⋅= ρρ sc gdconstv (18.44)
Pentru condiţiile date (tip de particulă monogranulară şi temperatură) viteza
critică este o constantă şi din acest considerent teoria impulsului se mai
Hidraulică vol. II 349
numeşte teoria vitezei critice. În literatură se găsesc multe expresii ale
vitezei critice, exemple fiind:
- pentru aluviuni cu ρs = 2,61...2,65 t/m3 (Bogardi – Yen).
(cm/s) 30
(cm/s) 5,21
45,0
38,0
fund
cc
cc
dv
dv
⋅=
⋅=
cu dc în mm.
- pentru particule de cărbune măcinat cu:
- 0,1 < dc < 1,3 mm
27,0
fund 3,11 cc dv ⋅= (cm/s)
- 1,3 < dc < 4 mm
85,0
fund 10 cc dv ⋅= (cm/s)
Experienţele şi teoria lui Levi diferă de cele prezentate, viteza
medie critică fiind exprimată faţă de rugozitatea relativă a albiei d / h
(d – mărimea particulelor, h – adâncimea apei) sub forma:
+=
d
hgdvc
714,1 (18.45)
pentru 10 < h / d < 60 şi
⋅=
d
hgdvc
7ln4,1 (18.46)
pentru h / d > 60.
Valorile vitezei critice din cele două relaţii ale lui Levi, pentru
h / d = 60 diferă foarte mult, subliniind că acestea pot doar aproxima
realitatea, însă evidenţiază modificarea vitezelor critice cu netezimea
relativă pe lângă alţi factori.
30. Cantitatea aluviunilor târâte
Cantitatea de aluviuni de fund (târâte), teoretic se poate determina
din combinarea capacităţii de transport a cursului de apă cu parametrii
specifici ai particulelor. Se poate presupune proporţionalitatea lucrului
mecanic necesar pentru mişcarea aluviunilor târâte cu cel efectuat de
curentul lichid, sau proporţionalitatea debitului de greutate de aluviuni cu
forţele de transport, respectiv puterea acestora.
Din ambele rezultă debitul aluviunilor târâte în interdependenţă cu
parametrii hidraulici ai cursului de apă.
Teoria lui H.A. Einstein, fizic demonstrată şi devenită clasică, se
bazează pe introducerea funcţiei de transport a aluviunilor târâte şi exprimă
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 350
mărimea şi cantitatea de aluviuni târâte în funcţie de debitul variabil de
lichid al cursului.
40. Transportul aluviunilor în suspensie
Noile teorii ale mişcării aluviunilor în suspensie au bază comună
cu forţele interne ale mişcării turbulente: amestecul turbulent datorită
pulsaţiilor de viteză echilibrează tendinţa de depunere şi menţine în
suspensie particulele aluvionare.
Aproximări apreciabile asigură teoria difuziei şi teoria
transportului turbulent de aluviuni, însă fiecare teorie cunoscută are
aspectele sale criticabile şi sunt în modernizare continuă. Introducerea
efectelor parametrilor hidrologici în compararea capacităţii de transport cu
cantitate reală de aluviuni în mişcare este de importanţă majoră. Parametrii
hidromecanici determină capacitatea de transport, aceasta însă este limita
superioară a aluviunilor posibile de transportat. Cantitatea reală transportată
însă totdeauna este inferioară capacităţii de transport şi este determinată de
parametrii hidrologici.
18.3.4. Mişcarea aluviunilor târâte
Particulele necoezive ale patului albiei în anumite condiţii de
curgere se mobilizează: de fapt sistemul de acţiuni (forţe) de antrenare
egalează forţele de stabilitate (de repaus). Nici azi tot mecanismul acestei
mişcări nu este stăpânit complet.
Limita de repaus – mişcare a particulelor este starea critică. La
creşterea vitezei lichidului particulele aluvionare se pun în mişcare patul
rămânând neted. La o continuă creştere a vitezei unitatea fundului se
destramă, luând naştere diferite formaţiuni de fund: rifluri, apoi dune – cu
pantă amonte dulce şi aval abruptă şi deplasare lentă spre aval. Riflurile şi
dunele sunt formaţiuni de fund de aceeaşi categorie, doar intensitatea lor
diferă.
Creşterea în continuare a vitezei conduce la netezirea albiei (ale
dunelor), o stare limită care, uneori, poate să şi lipsească. Apoi, la creşterea
vitezei se formează antidunele, valurile de la suprafaţă influenţând
transportul târât, patul devenind sinusoidal. Antidunele se mişcă lent spre
amonte.
Cu toate cercetările existente nici azi nu există o explicaţie
acceptabilă a dezvoltării diferitelor formaţiuni de fund.
Hidraulică vol. II 351
10. Stările limită a miscării aluviunilor
Regimul de mişcare a aluviunilor tratează pe lângă stările limită –
de punere în mişcare, formarea riflurilor, dunelor, netezirea albiei,
antidunelor – şi debitul târât.
Se disting mai multe stări limită, iar acestea au fost determinate, în
general, grafic. În condiţiile date – aluviuni cu diametrul d, densitate ρs,
lichid de vâscozitate ν şi densitate ρ – studiile presupun că parametrii
stărilor limită sunt constanţi.
Delimitarea cantitativă a diferitelor stări de mişcare, de dezvoltare
a formaţiunilor de fund se poate efectua pe baza factorului albiei b
(numărul adimensional, Bogárdi)
∗∗
==⋅
=Frv
gd
Ih
db
12
(18.47)
care parţial corespunde cu factorul de rezistenţă adimensional fc al lui
Shields
( )ψ
ρρ1
1/1
=−= sbfc (18.48)
în care ψ este intensitatea cursului de apă (celelalte mărimi au fost definite
anterior).
Tot Bogárdi, prin metodele analizei dimensionale, a ajuns la
parametrul f0 care caracterizează stările limită ale transportului de aluviuni:
−
⋅
⋅= ∗
−1./ ; ; ;
3/13/20 ρρνν
s
dv
d
h
g
dFf (18.49)
Utilizând datele experimentale din literatură s-a obţinut:
NN
A
d
g
d
v
gdb
=
⋅==
−∗
13/13/21 βν
β (18.50)
unde A = ν2/3·d-1/3
. Pentru g = 9,81 m/s2 şi T = 20
0C rezultă
A = 4,691·10-3
cm, iar pentru ρs = 2,65 t/m3 şi N = 0,882.
Relaţia (18.50) reprezentată în fig. 18.5 delimitează mişcarea
aluviunilor cu diferite formaţiuni de fund.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 352
rifluri
b=0,08523(d/A)0.882
0,1 2 4 6 8 2 4 6 8 20 40 60 80 2 4 6 8 2 310 10 100 1000
g
b=0,2102(d/A)
0,01
0,05
0,1
d
A ν=
d
2/3
Fr *
0,5
b=v2=
gd
1
*
1
10
20
30
b=4,585(d/A)
pat neted
0.882
b=2,844(d/A)
b=0,5829(d/A)
0.882
0.882
0.882
Repaus
ρ 3=2,65 t/m
10-1/3=
d (cm)
4,961. (cm)-3
s
dune
tranzitie
(neted)
antidune
T=20oC
b=12
Fig. 18.5. Zonarea formaţiunilor de fund în funcţie de factorul albiei constante
În baza legii rezistenţei albiilor aluviale Grade şi Ranga Gaju au
delimitat formaţiile de fund în funcţie de parametrii R /d şi I / (ρs / ρ – 1), R fiind raza hidraulică.
În funcţie de aceşti parametrii factorul fc de rezistenţă
adimensional, devine:
d
RIfc
s
⋅−
=1/ ρρ
(18.51)
produsul a două mărimi adimensionale.
Reprezentând grafic, în coordonate logaritmice, valorile
experimentale pentru diferite formaţii de fund (fig. 18.6) s-au putut trasa
limitele zonelor stării de repaus, rifluri şi dune, tranziţie şi antidune.
Se observă că limita stării de repaus are loc pentru fc = 0,05, care
în scară logaritmică face unghi de 45o şi corespunde forţei constante pentru
antrenarea aluviunilor. Dreptele de delimitare ale stărilor rifluri, dune cu
tranziţia, şi aceasta cu antidunele face unghi sub 45o cu orizontala ceea ce
arată că starea mişcării aluviunilor este variabilă chiar în cazul forţelor de
antrenare constante.
Hidraulică vol. II 353
10 20 40 60 10 200 400 600 10 2000 4000 6000 10 20000 10
Tranzitie
Antidune
Repaus
Rifluri sidune
R/d
10-2
2 3 4 5
-310
10-4
-52 10.
ρρ
/s
-1I
τ(γ −γ)
=0,05ds
0
Fig. 18.6. Zonarea fracţiunilor de fund în raport cu parametrul I / (ρs / ρ – 1)
şi netezimea relativă
Numai forţa de antrenare singură nu poate caracteriza mişcarea
aluviunilor, aceasta depinde şi de alţi parametri: de netezimea relativă
(R / d) şi I / (ρs / ρ – 1) şi trebuiesc luaţi în considerare. De fapt forţele de
antrenare ale aluviunilor sunt variabile.
20. Forţa critică de antrenare
După cum s-a arătat efortul critic de antrenare τc, pentru aluviuni
cu diametrul d, densitatea submersă relativă (ρs / ρ – 1), este o mărime
variabilă cu ν
dv ⋅= ∗
∗Re (Shields). Conform constatările lui Garde şi
Ranga Raju că valoarea forţelor de antrenare depinde nu numai de produsul
pantă hidraulică – adâncime, se explică de ce efectele sunt diferite la acelaşi
produs (adâncime mare şi pantă mică, respectiv adâncime mică şi pantă
mare). Separat trebuie analizat efectul adâncimii, a pantei şi altor mărimi
hidraulice asupra efectului de antrenare.
Utilizând rezultatele experimentale din literatură s-a contat pe
exprimarea factorului de rezistenţă adimensional fc ca funcţii a trei
variabile, de forma:
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 354
⋅=
− d
h
g
dFfc ,
3/13/2ν (18.52)
şi
⋅=
−I
g
dFfc ,
3/13/2ν (18.53)
Calibrarea pe cale statistică a funcţiilor (18.52) şi (18.53) este:
275,2
000.620
−−
⋅
=
d
h
A
dfc (18.52’)
şi
66,0
89,0
8,57 IA
dfc ⋅
=
−
(18.53’)
cu 3/13/2 −⋅= gA ν .
Soluţia grafică a funcţiei (18.52’) din fig. 18.7 evidenţiază relaţii
practice între fc, d / A şi (h / d)c, mărimea din urmă fiind netezimea
critică.
h/d
2 3 40,0001
γ)(γ
-d
f =
1 2 3 4 5 6 8 10 20 30 40 50 80 10 200 300 500 800 10 2000 10
2
345
80,001
0,018
543
2
2
345
80,1
1,08
2 -1/3
2/3
=1
g
v d
-1/3
2/3
=10
g
v d-1/3
2/3
=100
g
v d
c
2
(h/d)
1,96
f =
c
2
(h/d)
1103
f =
c
2
(h/d)
620000
f =
-2-2,75f =620000(d/A) (h/d)
Inceput miscare
c
τ
1
cc
Fig. 18.7. Factorul de rezistenţă adimensional în funcţie de netezimea relativă
Hidraulică vol. II 355
Graficul funcţiei (18.53’) din fig. 18.8 stabileşte panta hidraulică
critică (Ic) pentru care particulele necoezive intră în mişcare.
I0,00001
γ)(γ
-d
f =
2
345
80,01
0,18
543
2
2
345
81,0
8
2Inceput miscare
τ
1
cc
.0,66
f =57,8 I
.0,66
f =7,46 I .
0,66
f =1,28 I
-1/3
.2/3
=1
v g
d
-1/3
.2/3
=10
v g
d
-1/3
.2/3
=100
v g
d
cf =57,8(d/A) I-0,89 0,66
cc
c
2 3 4 5 6 8 0,0001 4 6 8 0,001 2 4 6 0,01 2 4 8 0,1
Fig. 18.8. Factorul de rezistenţă adimensional în funcţie de panta hidraulică
Relaţiile (18.52’) şi (18.53’) realizate în condiţii de laborator au
fost confirmate prin măsurători în cursuri naturale (Dunăre) pentru particule
de diametru 20...40 mm urmărite prin marcaj izotopic, însă au evidenţiat şi
faptul că la debite foarte mari şi pante mici trebuiesc introduse noi forme de
relaţii.
30. Viteze critice
Asemănător cu legea efortului de antrenare constant (teoria
frecării), după teoria clasică a impactului, pentru o particulă cu diametrul d
şi densitate ρs cunoscute îi corespunde o anumită viteză critică vc,
exprimabilă prin complexul adimensional care devine tot o mărime
variabilă:
( )1/ −
=ρρ s
c
gd
vNe (18.54)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 356
Neill a caracterizat mişcarea prin complexul adimensional al
mobilităţii (un număr Froude)
( )1/
12
−⋅
⋅=
ρρ sc
c
dg
vNe (18.55)
şi a determinat variabilitatea acesteia cu rugozitatea relativă dc / h.
Complexul adimensional (18.55) este măsura vitezei critice pentru particule
date, deci este variabilă cu rugozitatea relativă. Rugozitatea albiei este dată
de particule încă în repaus.
Prelucrând datele experimentale din literatură s-a obţinut relaţia
între complexul adimensional de mobilitate şi rugozitatea relativă, sub
forma:
( )
2,02
5,21/
−
=
− h
d
d
v c
sc
c
ρρ (18.56)
din care în condiţii date rezultă viteza critică de antrenare.
Vitezele critice pentru particule solide date sunt variabile; ele
depind de distribuţia vitezei şi pulsaţia acesteia. Experimentele de laborator
au arătat că pentru particule cu dc > 1...2 mm vitezele critice depind şi de
lăţimea albiei.
Viteza critică se mai caracterizează prin complexul adimensional
( )1/
0−
=ρρ s
c
gh
vB (18.57)
în care se evidenţiază adâncimea apei. Variaţia complexului adimensional
B0 în funcţie de netezimea relativă h / d şi d / A corespunde fig. 18.9,
rezultând o corelaţie strânsă între aceste mărimi.
( )
405,0
7,11/
−
=
− d
h
gh
v
s
c
ρρ (18.58)
La definirea vitezei critice trebuie luată în considerare şi panta
hidraulică I care se face prin complexul adimensional
∗
==v
v
ghI
vB cc
c , (18.59)
care calibrată devine:
6,18,1
61044
⋅
⋅== −
∗ d
h
A
d
v
v
ghI
v cc (18.60)
Hidraulică vol. II 357
h/d
2 3 40,01
1 2 3 4 5 6 8 10 20 30 40 50 80 10 200 300 500 800 10 2000 10
2
345
8
0,1
18
543
2
2
345
810
8
2
1/3=1;
v g
d
2/3h/d=1680; B =0,085.
B =0,085.h/d=250;2/3
d
v g=10;
1/3
1/3=100;
v g2/3
h/d=35;dB =0,085.
0
0
0
c
(ρ /ρ−1)
-0,405=1,7 (h/d)
gh
v
s
1/3v g
d
2/3=d/A
0c
(ρ /ρ
−1)
B =
gh
v s
10
1
100
Fig. 18.9. Graficul ( )
3 t/m65,2pentru
1/==
−
s
d
hf
sgh
cvρ
ρρ
Graficul din fig. 18.10 permite stabilirea vc / v* la diametrul d al
particulei, adâncime h şi temperatură dată, apoi din fig. 18.7 se obţine:
( ) ( )d
Ih
dfc
ss
c
1/ −
⋅=
−=
ρργγ
τ (18.61)
din care rezultă panta critică Ic.
h/d
2 3 411 2 3 4 5 6 8 10 20 30 40 50 80 10 200 300 500 800 10 2000 10
2
345
810
1008
543
2
2
345
81000
8
2
*
v
ghI
=v /v
cc
1,6
c v /v =0,175 (h/d)
*
1,6
c v /v =0,00278(h/d)
*
1,6
c v /v =0,000044(h/d)
*
=100
d -1/3
2/3
v g
=10
d -1/3
2/3
v g
=1
d -1/3
2/3
v g
1/6
(h/d)1/8
-1/32/3 )v g
d(
*v /v =0,000044c
Fig. 18.10. Graficul
=
d
hf
ghI
cv
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 358
40. Debitul aluviunilor târâte
Debitul specific solid târât (de greutate, masă sau volum) se poate
stabili:
- cu ajutorul relaţiilor teoretice;
- pe baza experienţelor de laborator şi
- prin relaţii empirice calibrate în urma măsurătorilor în natură.
Cele mai răspândite relaţii teoretice sunt după Kalinske şi Einstein,
cele experimentale după Schoklitsch, Egiazaroff şi Meyer – Peter, Müller.
Din punct de vedere al fundamentării fizice relaţiile Einstein şi Meyer –
Peter, Müller sunt cele mai potrivite.
Parametrii caracteristici ai transportului târât după Einstein sunt:
( ) ( ) 2/132/11/
−−⋅⋅−= dg
qs
s
t ρργ
φ (18.62)
şi
( ) ( )
00
11/
f
d
Ih
d ss =
−=−
⋅=
τ
γγρρψ (18.63)
prima ecuaţie fiind intensitatea transportului de aluviuni, iar a doua
intensitatea curgerii.
Relaţiile între ψφ şi sunt aproximate prin funcţii putere
33,3014,0 −⋅= ψφ
sau funcţii exponenţiale
ψφ ⋅−⋅= 391,0150,2 e
Toate relaţiile fundamentate fizic şi matematic pot fi exprimate în
funcţie de parametrii transportului târât după Einstein. Astfel relaţia Meyer
– Peter, Müller după Ning Chien este:
2/3
188,04
−=
ψφ (18.64)
Utilizând notaţiile:
dvv
s
tt
⋅⋅=
∗
∗ (18.65)
şi
( )ds γγ
ττ
−=∗ 0 (18.66)
Hidraulică vol. II 359
Garde şi Albertson au exprimat relaţia Meyer – Peter sub forma:
( ) ( ) 2/32/1188,04 −⋅=⋅ ∗∗∗ ττtq (18.67)
Parametrul ∗tq este identic cu parametrul lui Kalinske, iar ψτ /1=∗ arată
legătura cu relaţia (18.63).
Analiza comparativă a şapte relaţii pentru debitul târât pentru patru
râuri (după Vanoni) a evidenţiat şi abateri de peste 100%. Se consideră însă
că debitul târât exprimat de funcţia ψ se bucură de cea mai mare încredere.
Analiza relaţiilor debitului solid târât interpretează fizic parametrii
fluxului. Astfel în parametrul φ după Einstein qs / γs este debitul specific
volumic, care raportat la d, (qs / γs·d) este o viteză, ca măsură a debitului
specific volumic al particulelor cu diametru unitar. Această valoare
raportată la viteza dinamică potenţială a lui Barr, ( )1/ −ρρ sgd exprimă
parametrul adimensional φ a lui Einstein.
Expresiile debitului solid târât conţin parametrii lichidului şi
solidului şi mărimi fizice calitative ale curgerii. Nu sunt luate în considerare
mărimile caracteristice turbulenţei, deşi acestea au influenţă majoră. Lipsa
lor din relaţii se datoreşte inexistenţei datelor experimentale.
Relaţii general valabile pentru debitul solid pot fi considerate
acelea care conţin mărimea particulelor, panta hidraulică, debitul lichid,
densitatea solidului şi lichidului, temperatura şi uneori chiar lăţimea albiei,
însă stabilirea unor astfel de relaţii întâmpină multe greutăţi.
Cel mai important parametru în definirea debitului solid târât este
intensitatea curgerii ψ a lui Einstein.
Dificultăţile studiului teoretic al transportului târât au condus la
măsurători în natură şi prelucrarea lor, însă precizia instrumentelor de
măsurat şi a debitelor lasă de dorit.
Cele arătate explică lipsa unei relaţii generale pentru debitul solid
târât. Relaţia Meyer – Peter, Müller are forma:
( ) ( ) 3/23/2
3/12/3
1/25,0074,0 sssg
p gg
dIhn
n⋅−
+−=⋅⋅⋅
ρρ
γγγγ (18.68)
în care np şi ng sunt coeficienţii de rugozitate după Manning pentru pat şi
granule (inclusiv microrelieful patului) şi gs – debitul solid specific de
greutate exprimat în N/s·m. Celelalte mărimi au fost definite anterior.
Coeficientul de rugozitate a patului este:
gg ghn λ/8/6/1= (18.69)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 360
λg fiind calculat cu Re = 4h·v / υ şi d90 / 4h.
În practică sunt utilizate relaţii modificate (Schoklitsch, Meyer –
Peter, Einstein), orientative, de formele:
- Karausev
QdIhKG cb
s ⋅⋅⋅⋅= ∗χα (18.70)
- Bogàrdi
⋅′′=
⋅′=
⋅=
′′
′
bs
bs
bs
haG
vaG
QaG
(18.71)
- Haszpra
( ) ( ) 2/3mN/s cs dbIhag ⋅+⋅⋅=⋅ (18.72)
în care a, b, a’, b’, a”, b”, α, β, χ sunt coeficienţi.
Relaţia lui Simons defineşte debitul solid târât în funcţie de
formaţiunile de fund şi deplasarea lor, astfel:
( ) 12
1 Ch
vnq ds +−= (18.73)
în care: n este porozitatea aluviunilor; C1 – debit solid independent de
forma formaţiunilor de fund (C1 = 0 pentru fund total acoperit de dune);
vd – viteza medie de deplasare a dunelor şi h – adâncimea medie.
În timpul deplasării materialul solid târât îşi modifică granulaţia
prin uzură, abraziune, spargere, descompunere, solubilizare, selectare.
Prin modelare matematică a particulelor sferice şi mişcarea lor pe
sectoarele de râu Stelczer arată micşorarea diametrului prin:
31
3
001 kteddd tk −⋅−=∆ −
(18.74)
în care: ∆d (mm) este reducerea diametrului, d0 (mm) – diametrul iniţial,
t (ore) – durata mişcării, t1 (ore) – durata de staţionare, k1 (ore-1
) şi
k2 (m3/ore) parametrii de uzură ai aluviunilor.
18.3.5. Mişcarea aluviunilor în suspensie
Mişcarea aluviunilor în suspensie este descrisă de mai multe teorii,
însă, în cele ce urmează, se prezintă teoria transportului turbulent în
suspensie, considerată cea mai verosimilă.
Parametri ai concentraţiei şi debitului au fost prezentaţi parte în
18.3.1 şi 2, respectiv la 18.3.3.
Hidraulică vol. II 361
La mişcarea aluviunilor în suspensie participă aluviuni fine,
provenite din eroziune şi care intră în mică măsură în compoziţia patului
albiei. De aceea debitul solid în suspensie efectiv este determinat de debitul
solid disponibil intrat în albie şi nu de capacitatea de transport. Debitul
solid în suspensie efectiv este deseori inferior capacităţii de transport şi
transportul în suspensie este atunci nesaturat şi nu se poate stabili prin
formule, ci prin măsurători directe. Problema care prezintă interes practic
este cea referitoare la depunerea aluviunilor în suspensie şi distribuţia lor pe
verticală.
10. Teoria transportului turbulent de aluviuni în suspensie
Distribuţia pe verticală a aluviunilor în suspensie se exprimă prin
concentraţia C(y), dependentă de distanţa de la fund. Într-o tratare mai
simplă distribuţia aluviunilor se poate deduce prin teoria difuziei turbulente.
Admiţând regimul staţionar, sub acţiunea gravitaţiei, în absenţa turbulenţei,
ar exista un flux descendent de particule solide, cu viteza w care ar micşora
concentraţia. Ea se menţine constantă cu un flux egal şi de sens invers prin
difuzia turbulentă, sub acţiunea componentei v’ a pulsaţiei vitezei.
Bilanţul aluviunilor în suspensie, conform fig. 18.11 se poate scrie
astfel:
Fig. 18.11. Schema de calcul
al concentraţiei aluviunilor în
suspensie
( ) ( )wvdy
dy
dCCwv
dy
dy
dCC −′
⋅−=+′
⋅+
22
din care cu notaţia Ds = v’dy / 2 coeficient al difuziei turbulente se obţine:
h
y
dy
w v'
v'
v'+w
v'-w
C+dC/2
C(y)
C-dC/2
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 362
0=+dy
dCDCw s (18.75)
care pentru stare de echilibru este identic cu relaţia O’Braien – Christiansen
′⋅−= ∫
y
a s
a
D
dywCC ρexp/ (18.76)
în care Ds’ = ρ·Ds.
20. Relaţiile transportului aluviunilor în suspensie
Distribuţia concentraţiei pe verticală se exprimă în funcţie de cea
măsurată la distanţa a de fund Ca, conform relaţiei (18.76).
Integrarea ecuaţiei respective necesită cunoaşterea Ds’ = ρ·Ds.
În ipoteza că Ds’ este independent de y rezultă:
( )′−⋅⋅
−
= sD
ayw
a eCC
ρ
/ (18.77)
De fapt Ds’ este dependent de y şi stabilirea sa este una din
problemele dificile ale transportului în suspensie. În cazul schimbului de
impuls se cunoaşte coeficientul difuziei turbulente D’ = ρ D, însă proporţia
Ds’ / D’ nu este cunoscută. Azi este încă acceptat identitatea celor doi
coeficienţi. În această ipoteză valoarea sa se poate determina din relaţia
efortului unitar tangenţial
( )dy
dvDhyIh ′=−⋅⋅= /1γτ
sau
( )
dydv
hyIhDDs
/
/1−⋅=′=
′ γ (18.78)
Cunoscând distribuţia vitezei pe verticală, se poate determina
gradientul acesteia la o adâncime y respectiv DS. Relaţia (18.76) se
integrează, de obicei pe baza graficului funcţiei 1 / Ds’ = f(y – a). În lipsa epurii vitezei ridicate experimental se poate utiliza epura
teoretică Prandtl – Karman.
( )hyvv
v
mm
/ln1/
10
+⋅
+=χ
ρτ (18.79)
În acest caz gradientul vitezei devine:
Hidraulică vol. II 363
y
ghI
y
v
ydy
dv
⋅=
⋅=
⋅= ∗
χχχ
ρτ /0 (18.80)
sau
−⋅⋅⋅=
h
yIHgyDs 1χ (18.81)
Coeficientul difuziei turbulente în apropierea fundului şi suprafeţei
libere este apropiat de zero, iar la mijloc este maxim.
Practic Ds poate fi înlocuit cu valoarea sa medie pe secţiunea Dsm
care este:
15
/0 ρτhDsm = (18.82)
După înlocuire (18.77) devine
−= ∫
y
a
a dyh
wCC
ρτ /
15exp/
0
(18.83)
Făcând substituirea adimensională
∗
===v
w
ghI
wwt
ρτ /0
(18.84)
şi efectuarea integralei (18.83) va fi:
−−
= h
ayt
a eCC15
/ (18.85)
Parametrul adimensional t ţine seama de mărimea particulelor
solide – prin viteza de sedimentare – şi de caracteristicile curentului – prin
viteza de frecare v*.
Cunoscând distribuţia concentraţiei şi legea distribuţiei vitezei se
poate determina debitul specific solid în suspensie.
( ) ( )∫ ⋅⋅=h
a
s dyyvyCq (18.86)
Relaţiile empirice pentru determinarea concentraţiei medii C şi a
debitului solid în suspensie sunt legate de debit, viteză, pantă şi adâncimea
pe secţiune. Relaţiile au forma putere, formal asemănătoare cu (18.71).
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 364
Legătura debitului solid şi lichid este:
⋅=
⋅=
⋅=
QCQ
QCQ
QCQ
s
ms
s
γgreutate
masic (18.87)
30. Depunerea aluviunilor în suspensie
În cursuri naturale sau canale la scăderea vitezei sub o anumită
limită o parte din aluviuni în suspensie se depun producând înnămolirea.
Viteza medie din albie pentru care fenomenul se produce este viteza critică de înnămolire.
Această viteză nu se poate determina din teoria prezentată anterior.
Colmatarea se produce selectiv, după mărimea aluviunilor şi distanţa
parcursă în albie.
Vitezele critice de înnămolire apelează la relaţii empirice, dintre
care se aminteşte formula Zamarin:
- pentru w ≥ 0,002 m/s 5,1
216,0 RI
Cwv G
cr = (18.88)
- pentru w < 0,002 m/s 5
81,9 RI
wCv G
cr = (18.88’)
unde vcr este viteza medie (m/s); CG – concentraţia de greutate (N/m3);
w – mărimea hidraulică medie (m/s); R - raza hidraulică (m); I – panta
luciului apei.
18.3.6. Cazuri practice de mişcări bifazice lichid – solid.
În multe cazuri teoria mişcării aluviunilor găseşte aplicaţii practice
în diferite ramuri tehnice. Dintre acestea se menţionează hidrotransportul, colmatarea conductelor şi îndepărtarea aluviunilor din apele naturale prin sedimentare.
10. Hidrotransportul
Exploatarea şi transportul materialelor solide granulate pe cale
hidraulică (pneumatică) este una din metodele tehnologiei de azi. Este
aplicat nu numai în balastiere, lucrări de pământ, minerit, dar şi în multe
alte ramuri industriale.
Hidraulică vol. II 365
Problemele de curgere ale hidroamestecurilor eterogene sub
presiune se referă la regimurile de transport, diferenţa de viteză a fazelor
hidroamestecului, viteza critică de antrenare, pierderi de energie, realizarea
energiei hidraulice pentru hidrotransport, realizarea amestecului etc.
10.a. Regimul de transport al aluviunilor în conducte orizontale
Aluviunilor din apă fiindu-le caracteristică mărimea hidraulică, la
transportul lor hidraulic avem de-a face cu amestec bifazic. Transportul
acestor amestecuri trebuie conceput ca o curgere în care exisă o acţiune
reciprocă a două medii, în rest independente, caracterizate prin aceea că
unul poate fi în repaus, iar celălalt în mişcare.
La amestecuri cu concentraţii mici vâscozitatea depinde
nesemnificativ de natura materialului solid, ea este dată de vâscozitatea
mediului purtător (vâscozitatea aparentă este mai mare la amestecuri
datorită densităţii acestora). La transportul amestecului bifazat fără
depuneri, cu concentraţii mici, fiecare particulă se mişcă independent,
urmând direcţia forţei rezultante (inclusiv forţele din ciocniri reciproce şi cu
pereţii). Dintre forţele care acţionează asupra particulelor numai unele sunt
preponderente, ele depinzând de mărimea granulelor de solid şi de
condiţiile de curgere.
Pentru mărimi de particule şi concentraţii date, în funcţie de viteză
există următoarele stări de transport (fig. 18.12):
- viteza de curgere este inferioară vitezei de antrenare, faza solidă
este în repaus pe fundul conductei, iar faza lichidă curge în spaţiul liber.
Este starea caracteristică regimului de colmatare (obturare);
- viteza fazei lichide din spaţiul liber este egală cu viteza de
antrenare, iar particulele din stratul superior al depunerilor neconsolidate
sunt rostogolite de curent. Avem regim limită de antrenare;
- creşterea vitezei fazei lichide implică antrenarea particulelor din
stratul superior la o deplasare în salturi. Se creează neuniformităţi în
depuneri (respectiv ale secţiunii de curgere), viteze ale lichidului şi salturi
de particule diferenţiate, neregularităţi accentuate ale depunerilor şi ale
secţiunii de curgere, regim de deplasare cu dune (depozite izolate),
- creşterea continuă a vitezei în conductă netezeşte stratul de
aluviuni, care parţial este în repaus, parţial alunecă (pat fix şi mobil
coexistent), totodată sunt şi particule care se mişcă în salturi şi în suspensie.
Este regimul de transport cu pat fix;
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 366
- mărirea vitezei mobilizează tot stratul de aluviuni într-o mişcare
lentă, existând o mare cantitate de particule ce se deplasează în salturi şi în
suspensie, regim de transport cu pat mobil;
- vitezele continuu crescânde implică creşterea pulsaţiilor turbulente,
care antrenează tot materialul aluvionar în suspensie şi mişcare în salturi.
Distribuţia materialului solid şi epura vitezei pe secţiunea conductei sunt
asimetrice (concentraţie mare şi viteză mică spre fund). În acest caz regimul
de transport este neuniform, cu amestec în suspensie eterogenă;
- vitezele care depăşesc substanţial pe cele de antrenare conduc la
profil de viteză axial cvasisimetric (sau simetric) şi o distribuţie a
concentraţiei de aluviuni nesimetrică, cvasisimetrică sau chiar simetrică.
Transportul este pseudo-omogen sau omogen.
Deducţii asemănătoare există pentru variaţia turbidităţii sau mărimii
particulelor, ceilalţi parametrii fiind menţinuţi constanţi. Pentru delimitarea
regimurilor de curgere există întocmite diferite abace, grafice.
7 6 5 4 3 2 1
z z z z z z z
v v v v v v v
mC mC Cm Cm mCmC mC
fig. 18.12. Regimurile de transport ale amestecurilor bifazice
10.b. Diferenţa de viteză între fazele hidroamestecurilor
După cum s-a arătat, la curgerile bifazice de lichid – solid
(hidroamestec) totdeauna există o diferenţă de viteză a fazelor constituente.
Particulele de solid, în funcţie de mărimea lor, sunt transportate
diferenţiat de curent în raport cu forţele preponderente. Pentru analiză se
consideră constantă densitatea şi cunoscută relaţia între dimensiunea
particulei şi mărimea sa hidraulică. Totodată, curentul lichid se consideră
turbulent şi grosimea substratului vâscos determinabilă.
Particula solidă este considerată mică dacă diametrul său este mult
inferior grosimii substratului vâscos, mare când diametrul său este mult
superior grosimii substratului vâscos. Particulele mijlocii se situează între
limitele anterior menţionate. Diametrul particulei, viteza apei şi solidului
sunt mărimi determinante în analiza următoare.
Hidraulică vol. II 367
O particulă mică într-un curent de turbulenţă ridicată este rapid
accelerată datorită masei sale reduse şi rezistenţei mari la înaintare faţă de
pulsaţiile turbulente ale vitezei. Prin mişcarea sa particula ajunge şi în
substratul vâscos unde va fi frânată. Prin portanţă, forţele laterale şi viteză
de sedimentare se reîntoarce în curentul turbulent, unde este reaccelerată.
Fenomenul se repetă continuu. Din acest mecanism al mişcării rezultă
diferenţa de viteză între viteza apei şi cea a particulei, care poate fi
caracterizată prin alunecarea A (18.25).
Scăderea vitezei medii a amestecului atrage după sine frânări mai
dese, datorită creşterii grosimii substratului vâscos şi tendinţei mai
accentuate de sedimentare, deci alunecarea creşte. La viteze mari substratul
vâscos este subţire, practic se anulează forţa laterală datorită efectului
Magnus, iar particula ajunge mai rar în filmul laminar (este transportată mai
mult de curentul turbulent) şi alunecarea se micşorează.
Particulele de mărime mijlocie se comportă asemănător cu
particulele mici, însă au inerţie mai mare şi participă mai greu la schimbul
de impuls. Pe când o particulă mică este animată de pulsaţiile turbulente ale
unei viteze reduse, particulele mijlocii sunt antrenate spre traiectorii de salt,
mărindu-se alunecarea lor. Creşterea diametrului particulelor mici şi
mijlocii, pentru viteze constante de transport, implică creşterea alunecării.
Pentru particule mari forţele masice sunt considerabile şi ele sunt
transportate mai mult prin târâre, rostogolire şi saltaţie. Considerând
particula din fig. 18.4 pe generatoarea conductei, având diametrul
determinant d, în mişcarea de rostogolire cu viteza unghiulară ω şi de
înaintarea vs, când viteza medie a curentului este v, prin explicitarea
circulaţiei vitezei Г2 în funcţie de ω
ωπ
2
2
2
d⋅=Γ (18.89)
se obţine o forţă laterală datorită efectului Magnus
( ) ssM vdvvkF ⋅−⋅⋅= 2ρ
care se suprapune forţei arhimedice şi portanţei. Astfel particulele mari sunt
ridicate şi antrenate în curentul turbulent. Aici se micşorează (până la
anulare) forţa laterală şi particulele recad pe fundul conductei, descriind
traiectorii de saltaţie. Deplasarea particulelor mari este condiţionată
hotărâtor de forţa Magnus. Cum mişcarea acestor particule este puţin
influenţată de filmul laminar alunecarea lor este mai mică în raport cu
diametrul lor. Alunecarea particulelor mici şi mijlocii depinde hotărâtor de
mărimea lor hidraulică, însă la particule mari aceasta are importanţă redusă.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 368
Forţele preponderente pentru particule mari diferă de cele pentru particule
mici şi mijlocii, deci şi mişcarea lor este guvernată de legi diferite.
S-a arătat că alunecarea depinde de viteza de curgere, de diametrul
particulelor şi mărimea lor hidraulică, de forţele de rezistenţă la înaintare şi
greutatea submersă. Totodată, creşterea diametrului conductei reduce
frecvenţa antrenării unei particule în substratul laminar, deci reduce
alunecarea. După cele arătate, în expresia alunecării intervine numărul
Froude al curgerii amestecului în conductă precum şi al particulei solide
(Fr = v2 / gD şi Frs = w2 / gd).
Deoarece creşterea vitezei atrage după sine micşorarea alunecării,
iar creşterea diametrului particulelor măreşte alunecarea, funcţia alunecării
va avea forma (18.25).
Între Frs şi d există relaţiile:
- regim laminar w0 = f(d2), deci Frs = f(d3) - regim de tranziţie w0 = f(d), deci Frs = f(d) - regim turbulent, zonă netedă w0 = f(d1/2), deci Frs = f(d1/3) - regim turbulent, zonă rugoasă w0 = f(d1/2), deci Frs = const.
Alunecarea unei particule pe un tronson de conductă orizontală
este determinată de numărul ciocnirilor de peretele conductei. La turbidităţi
mici numărul ciocnirilor este practic independent de numărul particulelor
prezente, deci alunecarea nu depinde de concentraţie.
Experienţe pentru şapte diametre de nisip cuarţos şi aluviuni
naturale (ρs = 2,6 t/m3) conduc la funcţia alunecării din figura 18.13,
respectiv ecuaţia (18.90)
A 25,05,0529,0
4975,0−⋅−⋅= sa FrFre (18.90)
care admite coeficient de corelaţie, r = 0,91.
Hidraulică vol. II 369
*
*
* *
**
**
*
*
+
+++++ +
+
^
^ ^^ ^
^^
^^
^^
^
^
xx
x
xx
x
x
x
x
xx
xxx
xo
o
o
0
o
d(mm)aluviuni naturale0,4...0,80,3...0.40,2..0,30,16...0,20,10...0,160,063...0,10 <0,063
*
+
^
^^
o
oo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100,002
0,003
0,004
0,005
0,006
0,0070,008
0,0090,01
0,02
0,04
0,08
0,1
0,2
0,3
vg D
gdw.
0,5
a
A
Fig. 18.13. Graficul funcţiei de alunecare
Scăderea alunecării cu viteza de transport (a apei în cazul de faţă)
şi creşterea acesteia odată cu mărimea particulei este evidenţiată în figura
18.14 care indică viteza relativă (vs / va) şi alunecarea (A = 1-vs / va) pentru
particule cu d = 0,16...0,20 mm şi 0,3...0,4 mm.
Fig. 18.14. Viteza relativă a
celor două faze şi
alunecarea în funcţie de
viteza de transport şi
mărimea particulelor
d=0,16..0,2
d=0,3...0,4
v /vs a
A
1 2 3 4 5
0,8
0,9
1,0
0,0
0,1
0,2
va(m/s)
v /v
sa
=1-v /v
sa
A
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 370
10.c. Viteza critică de antrenare
O altă mărime importantă la curgerea bifazică de apă – solid este
viteza critică de antrenare, respectiv viteza critică de depunere, însă nu
există o defalcare clară între aceste două definiţii. Câteva relaţii specifice
pentru aceste mărimi sunt:
- după Ziulikov
λ
gCwvcr
802,0 25,0 ⋅⋅⋅= ; (18.91)
- după Jufin
63153 CDvcr ⋅⋅= ; (18.92)
- după Newitt, Durand, Condolios, Sinclair
( )1/ −⋅⋅= ρρ scr Dgkv (18.93)
- după Trains
( )
D
scr Ck
Dgv
⋅⋅
⋅−=
λ
ρρ 1/ (18.94)
unde: CD – este un coeficient după Durand şi Condolios. Mai există relaţii
asemănătoare elaborate de Robinson, Graf, Wilson, Howard, O’Brien,
Tarevski etc.
Din definiţia funcţiei de alunecare se poate defini viteza critică de
antrenare drept limita acestei funcţii când vs→0, pentru care se obţine:
( )
1/ =⋅ − sFrFrfea , (18.95)
deci viteza maximă a fluidului portant pentru care transportul solid este nul.
Din ecuaţia (18.90) conform (18.95) rezultă:
5,0
336,2
⋅=
d
Dwvcr (18.96)
Efectul concentraţiei volumice supra vitezei critice de depunere intervine
prin viteza de sedimentare în grup.
w / w0 = (1 – C)n (18.97)
unde w0 este mărimea hidraulică, w – viteza de sedimentare, iar n = 3,2.
Viteza critică de antrenare (respectiv de depunere) prezintă
importanţă în definirea colmatării conductelor şi a condiţiilor de spălare a
acestora.
Pentru particule cu d < 0,4 mm, cu mărimea hidraulică calculată
după relaţia Stokes rezultă:
( ) 2,35,075,0 12043 CDdvcr −⋅⋅⋅= (18.98)
Hidraulică vol. II 371
iar pentru particule cu d ≥ 0,4 mm, cu mărimea hidraulică calculată după
Budryck:
( )12,157115,11 3
0 −⋅+= dd
w (18.99)
viteza limită a transportului suspensional este:
( )( ) 2,33
75,0
5,0
112,15710078,0 Cdd
Dvcr −−⋅+⋅= (18.100)
Relaţiile 18.98 şi 18.100 se racordează cu valorile experimentale
(fig. 18.15)
D(mm)250
200165150
125100
valori experimentale
5.10 10 2.10 5.10 10 2.10 5.10 10 2.10 4.10 8.10
0,01
0,05
0,1
0,5
1,0
2,0
d(mm)
Stoke
s
Wiede
nrot
h
-4 -3 -3 -3 -2 -2 -2 -1 -1 -1 -1
v(m
/s)
Fig. 18.15. Viteza critică de transport suspensional
10.d. Pierderi de energie la hidrotransport în conducte
Transportul hidraulic al solidului fiind în exclusivitate în
suspensie, pentru o curgere staţionară într-un tronson de conductă
orizontală de lungime ∆L, o particulă solidă trebuie să se afle pe aceeaşi
cotă medie (fig. 18.16). Transportul fără alunecare este caracterizat prin
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 372
viteza medie v, iar particulele solide prin mărimea lor hidraulică (sau viteza
de sedimentare) w0. Compensarea traiectoriei de depunere, corespunzătoare
mărimii hidraulice, permite calculul energiei necesare pentru menţinerea
particulei la cotă constantă,
( )L
hgwE spartpart
∆
∆⋅−=∆ ρρ (18.101)
Conform figurii 18.16:
v
w
L
h 0=∆
∆ (18.102)
şi ecuaţia (18.101) devine:
( )v
wgwE spartpart
0⋅−=∆ ρρ (18.103)
Pentru toate particulele din volumul de control rezultă:
( ) ∑⋅−=∆ partss Wv
wgE 0ρρ (18.104)
fig. 18.16. Transport solid în suspensie,
fără alunecare
Ţinând seama că ΣWpart = ws = C·W, pierderea de energie pentru
materialul solid este:
( )v
wgWCE ss
0⋅−⋅=∆ ρρ (18.105)
sau exprimată în pantă hidraulică,
( )v
wC
W
EI s
ss
01/ −=⋅
∆= ρρ
γ (18.106)
Panta hidraulică pentru faza lichidă (apă) este exprimată prin
relaţia lui Darcy – Weisbach,
g
v
DI a
2
2
⋅=λ
. (18.107)
∆
∆
v = v
w
L
s
o
1 2
1 2
h
Hidraulică vol. II 373
Panta hidraulică pentru amestec fără alunecare este suma pantelor
hidraulice pentru cele două faze
( )v
wC
g
v
DIII ssah
0
2
1/2
−+⋅=+= ρρλ
, (18.108)
o valoare mai mare din punct de vedere teoretic nefiind posibilă. Exprimată
sub forma uzuală (18.108) devine:
ws
a
ah
v
wDg
IC
IIψ
ρ
ρ
λ=
−
⋅=
⋅
−3
012
. (18.109)
Se constată că pierderea suplimentară de energie pentru transportul
solidului este proporţională cu concentraţia de volum şi caracteristicile
materialului solid.
Curba pantei hidraulice, sumă a două pante – a apei (curbă tip
putere) şi a solidului (hiperbolă) – este tangentă spre extremităţi la curba
putere, respectiv hiperbolă (axa I). Curba sumă este continuă, iar la
extremităţi tinde la +∞. La valori finite ale vitezei, I este finit, deci funcţia
admite un minim. Alura pantei hidraulice în funcţie de viteză şi concentraţie
– la amestec fără alunecare, pentru conducte PVC – G, Dn 165 mm şi
aluviuni cu ρs = 2,59, w = 4,526·10-3 m/s, la υ = 1,2·10-6 m2/s este
prezentată în fig. 18.17.
0,03 0,04 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1 2 30,1
0,2
0,3
0,5
1,0
2
3
4
5
10
20
30
Cm (kg/m )
v(m/s)
Cm =0
20
10
5
2
1000 I
3
Fig. 18.17. Panta hidraulică pentru conducte din PVC – G, cu Dn 165 mm transportând
hidroamestec în diverse concentraţii, fără alunecare
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 374
În literatura de specialitate relaţiile deduse pentru panta hidraulică
a amestecului se referă mai mult la transportul fără alunecare.
Florea Julieta şi Robescu indică determinarea pierderilor de
presiune prin considerarea unui lichid echivalent pentru care coeficienţii λe, ke, γe, Ree se determină experimental. Tot aici, pe baza unui model
simplificat se obţine
+
−+⋅
=
h
sheeeeh v
wfC
g
v
D
kI 0
2
12
Reρ
ρ
ρ
ρλ , (18.110)
unde: f este un coeficient numeric ce ţine seama de frecare, f = k·f0, k < 1
fiind coeficient de atenuare, iar f0 = tg α0, α0 – unghiul de înclinare al
conductei pentru care particulele solide încep să alunece singure înapoi.
Determinarea parametrilor se poate efectua cu suficientă precizie, însă ke
ţine seama de şlefuirea conductei prin transport şi de eventuale depuneri
aderente care se estimează greu.
O altă relaţie dedusă pe cale semiteoretică este relaţia dată de
Newitt:
( ) Nsa
ah
v
wDgk
IC
IIψρρ
λ=−
⋅
⋅⋅=
⋅
−1/
23
(18.111)
Pierderea de energie la transportul hidroamestecului bifazic,
eterogen, cu alunecarea fazelor constituente este suma pierderilor distribuite
pentru transportul apei şi energiei necesare particulelor pentru compensarea
traiectoriei de cădere. Relaţia (18.108), valabilă pentru amestec omogen,
fără alunecarea fazelor, trebuie corectată, în sensul că fiecare fază este
caracterizată prin viteza sa medie. Astfel, ecuaţia (18.108) devine:
( )s
ssah v
wC
g
v
DIII 0
2
1/2
−+⋅=+= ρρλ
(18.112)
Aplicând ecuaţia de continuitate pentru transport suspensional, fără
depuneri, cu alunecare,
A·v + As·vs = Ah·vh (18.113)
şi ţinând seama de ecuaţia de definiţie a alunecării (A = 1 - vs / v), se obţine
viteza medie a apei şi solidului în funcţie de viteza medie a amestecului:
hvC
v⋅−
=A1
1 şi hs v
Cv
⋅−
−=
A
A
1
1 (18.114)
Hidraulică vol. II 375
S-au notat: v – viteza apei; vs – viteza solidului; vh – viteza amestecului,
respectiv A, As şi Ah secţiunile corespunzătoare de curgere a apei, solidului
şi amestecului.
După înlocuirea vitezelor în ecuaţia pantei hidraulice teoretice se
obţine:
( ) h
shh v
wCC
g
v
CDI 0
2
2 1
11
21
1⋅
−
⋅−
−+⋅
⋅−⋅=
A
A
A ρ
ρλ (18.115)
Analiza ecuaţiei (18.115) arată că panta hidraulică creşte odată cu
alunecarea atât pentru faza lichidă cât şi solidă.
Exprimând panta hidraulică pentru transportul amestecului
eterogen cu alunecare sub formă uzuală se obţine:
D
d
gd
w
v
Dg
IC
II
h
s
a
ah ⋅⋅
⋅
−
−⋅=
⋅
− 0
2/3
21
1/2
A
ρρ
λ (18.116)
sau
B
a
ss
a
ah
Fr
Fr
D
d
IC
IIψ
ρρ
λ=⋅
−
−⋅=
⋅
−5,1
5,0
1
1/2
A (18.117)
În ecuaţia de mai sus valorile mărimilor Ia şi Fra se calculează cu
viteza medie a fazei lichide, v = vh(1 – A ·C)-1. Dacă sedimentarea
particulelor este influenţată de concentraţia volumică, sub forma (18.98),
funcţia ψB se corectează sub forma:
( )nBB C−=
′1ψψ (18.118)
Atunci şi în relaţia alunecării trebuie să ţinem seama de diferenţa între
mărimea hidraulică şi viteza de sedimentare a particulelor.
Alura pantei hidraulice păstrează forma din figura 18.17 însă
pentru o concentraţie masică dată se îndepărtează mai mult de panta
hidraulică a apei în funcţie de alunecare. Îndepărtarea curbei pantei a
amestecului de cea a apei este mai pronunţată la viteze mici, scăderea
vitezei conducând la creşterea alunecării.
Comparând relaţia semiteoretică a lui Newitt (18.111) cu ecuaţia
(18.117) se observă, că cele două relaţii sunt formal asemenea, respectiv
constanta k este definită prin:
D
dk
A−=
1
1 sau
( )D
dCk
n
A−
−=
1
1 (18.119)
În relaţia lui Newitt pentru amestecuri neomogene 2k / λ = 1100.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 376
Minimalizând panta hidraulică pentru transportul amestecului
eterogen cu alunecare se obţine viteza optimă de transport sub forma:
( )( )
( )
3/1
0
1
1/1
min
−
−⋅⋅⋅⋅−=
AA
λ
ρρ sI
wDgCCv
h (18.120)
respectiv panta corespunzătoare acestei viteze:
( )
3/12
0
min 1
1/
2
3
−
−⋅
⋅=
A
ρρλ sh
wC
DgI (18.121)
Relaţiile (18.120 şi 18.121) sunt teoretice şi s-au obţinut prin extrapolarea
funcţiei (18.115) pentru orice viteză a amestecului. În realitate valoarea
vitezei vIh min poate fi inferioară vitezei critice de antrenare, caz în care
fenomenele de transport hidraulic urmează alte legi. Forma curbei pantei
hidraulice reale corespunde figurii 18.18.
Patulc criticd dunep neteds curat23,000c
16,400 d
8,200 d
4,900 d
2,300 p
1,350 s
1,252 s
0,877s
0,731 s
0,649 s0,518s
0,5 10 10
10
10Vcr
V(m/s)
I a
I
0 1
-2
-1
ψ
I h
Fig. 18.18. Panta hidraulică reală la curgerea hidroamestecurilor
10.e. Realizarea amestecului şi energiei pentru transport
Amestecul materialelor solide de transportat cu faza lichidă – apă –
se realizează diferenţiat, în funcţie de tehnologia aplicată, astfel:
- în bazine speciale cu agitatoare;
- cu amestec direct la săpare sub jet (tip hidromonitor);
Hidraulică vol. II 377
- cu amestec direct al materialului solid dezlocat la săpare
mecanică sub apă;
- cu antrenare de material solid prin ejectoare.
Transportul propriu-zis al hidroamestecului prin conducte poate fi
realizat în circuit deschis sau închis. La circuit închis agentul de transport
este recirculat.
Din punct de vedere al energiei pentru hidrotransport aceasta se
poate realiza gravitaţional – dacă există diferenţă de cotă – sau prin
echipament hidromecanic – prin pompare. În ansamblu, energia hidraulică
pentru hidrotransport poate fi realizată prin pompare asupra
hidroamestecului sau asupra agentului de transport, în al doilea caz fiind
necesare instalaţii de încărcare.
În cazul pompării directe a hidroamestecului se utilizează pompe
speciale – volumice sau rotative. Organele maşinilor în contact cu
hidroamestecul sunt protejate cu materiale antiabrazive. Pompele de
hidroamestec au construcţie specială, numărul palelor rotorice este mai mic
(2...4 pale) şi de formă specială. Pompele de hidroamestec funcţionează
totdeauna înecat. Datorită uzurii durata lor de funcţionare este mică,
500...1000 ore (rar 2000 ore) şi randamentul lor energetic este cu 20...25%
inferior pompelor de apă curată.
În cazul pompării agentului de transport (apa) prin ejectoare are loc
transferul energiei hidraulice la particule solide sau se utilizează instalaţii
de încărcare complexe, de tipul instalaţiei cu camere de ecluzare sau
instalaţii cu tuburi de încărcare (fig. 18.20).
Instalaţia de hidrotransport cu încărcare prin camere de ecluzare –
fig. 18.19 – realizată în cadrul Institutului de Cercetări Hidrotehnice, are
următorul funcţional: materialul granular se aduce în stare uscată la partea
superioară a instalaţiei (cu banda transportoare sau cu cupe (6)) şi se
descarcă în rampa distribuitoare (7), care dirijează materialul solid
alternativ către camerele de stocare (5) la presiunea atmosferică. Din
camera de stocare, după închiderea clapetei (93) şi punerea camerei (5) sub
presiune de către sertăraşul (12), respectiv deschiderea clapetei (91),
materialul solid se transferă gravitaţional în camera de antrenare (4), de
unde prin jetul ejectorului (2), creat de pompe de apă (1) este antrenat ca
hidroamestec eterogen în conducta de hidrotransport (3) şi dus la distanţa
de transport, unde faza lichidă şi solidă se separă. Faza lichidă (apa) se
recirculă. Procesul este automatizat hidraulico – mecanic prin sistemul de
comandă cu program (11) având servomotor hidraulic, distribuitor şi verine
comandate. Materialul solid practic se „ecluzează” de la presiunea
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 378
atmosferică la presiunea necesară hidrotransportului, în „ecluză”, în camera
de antrenare a ejectorului realizându-se hidroamestecul.
Legendă:
1. Pompă de apă; 2. Ejector; 3. Conductă de
hidrotransport; 4. Cameră de antrenare;
5. Cameră de stocare; 6. Bandă transportoare;
7. Rampă distribuitoare; 8. Gură de
alimentare cu preaplin; 9. Clapetă de
închidere – deschidere; 10. Cilindru hidraulic
(servomotor); 11. Sistem hidraulic de
comandă cu program; 12. Sertăraş de
scoatere şi punere sub presiune a camerelor.
Fig. 18.19. Instalaţie cu camere de
ecluzare.
Schemă de principiu.
Concentrația volumică poate ajunge chiar peste 50%, crescând
randamentul energetic global pentru transportul solidului. Se pot transporta
materiale cu granulaţia maximă 1/5 din diametrul conductei de
hidrotransport. Evitarea înfundării instalaţiei presupune spălarea sa înainte
de oprire.
Materialele granulare fine se pot transporta hidraulic cu instalaţia
de hidrotransport cu tuburi de încărcare (fig. 18.20) care utilizează pentru
transport energia hidraulică a apei industriale creată de pompa de apă, cu
presiunea adecvată distanţei de transport. Încărcarea hidroamestecului se
realizează cu o pompă de noroi prin tuburi de încărcare. Reducerea
amestecării hidroamestecului cu apa industrială în tuburile de încărcare se
realizează prin sistemul „go-devil”.
Instalaţia din figura 18.20, realizată la Universitatea Politehnică
Bucureşti, lucrează secvenţial cu două tuburi de încărcare T1, T2. Are în
componenţă o unitate de încărcare a hidroamestecului (bazin de
hidroamestec – BH, pompă de noroi – PI şi reţeaua de aspiraţie şi refulare
aferentă acesteia), o unitate de pompare a apei industriale (bazin de apă
Hidraulică vol. II 379
industrială – BAI, pompă pentru apă – PAI şi conductele de aspiraţie şi
refulare aferente), două tuburi de încărcare T1 şi T2 cu câte doi robineţi
fluture la fiecare capăt de tub de încărcare în derivaţie (V1...8), reţeaua de
hidrotransport – RHT, conducta de recirculare a apei industriale – CAI, go-devil – G şi robineţi de reglaj grosier – VRG. Robineţii fluture sunt
acţionaţi electromecanic (închis sau deschis) la comanda sesizării deplasării
go-devil la capăt de tub de încărcare.
Legendă:
BH – Bazin de colectare hidroamestec;
BAI – Bazin apă industrială; PI – Pompă de
înecare; PAI – Pompă de apă industrială;
T1, T2 – Tuburi de încărcare; RHT – Reţea de
hidrotransport; V1...V8 – Vane fluviale;
V1’, V2’ – Vană aspiraţie PAI, respectiv PI;
VRG 1, VRG 2 – Vană reglaj grosier debit PAI,
respectiv PI; CAI – conductă de recirculare apă
industrială; G – go-devil.
Fig. 18.20. Instalaţie cu două
tuburi de încărcare.
Schemă de principiu.
Instalaţia lucrează secvenţial, în două faze, în același timp un tub
se încarcă cu hidroamestec, celălalt se descarcă.
În faza I, tubul T1 are robineţii V3 şi V7 în poziţie deschisă; pompa
PAI alimentează tubul cu apă industrială împingând hidroamestecul din tub
în reţeaua de hidro-transport. Tot în această fază tubul T2 se încarcă cu
hidroamestec cu ajutorul pompei de noroi PI, robineţii V2 şi V6 având
poziţie deschisă. Apa industrială se recirculă. Faza I durează cât go-devil în
ambele tuburi ajunge de la un capăt la celălalt al tuburilor de încărcare (ele
au poziţie şi direcţie de deplasare opuse). Când go-devil trece prin secţiunea
de comandă senzorul emite semnalul de schimbare a stării robineţilor
BH
BAI
PI PAI
V'1V7 V1
RHT
L
Deversare
T2
V5 V3
V6 V4
V8 V2
1T
l
V'2
2T
1T
CA
I
VR
G 2
VR
G 1
Faza II
l
V8 V2
V6 V4
V5 V3
V7 V1
Faza I
VR
G 22
V'1T
BH
1T
PI
T22T
RHT
L
VR
G 1
BAI
CA
I 1V'
PAI
Deversare
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 380
fluture; V2, 6, 3, 7 se închid V1, 5, 4, 8 se deschid începând faza II al ciclului.
Tubul T2 se descarcă de hidroamestec, iar tubul T1 se încarcă.
La instalaţia de hidrotransport cu tuburi de încărcare concentraţia
de volum poate ajunge la 55% favorizând randamentul energetic global al
instalaţiei. Pompa de noroi este mai puţin solicitată, presiunea pentru
hidrotransport este realizată de pompa de apă. Ca dezavantaj se poate
aminti uzura robineţilor fluture V1...8, mişcarea nepermanentă la manevrarea
robineţilor, şi lungimea mare (rectilinie) a tuburilor de încărcare.
20. Colmatarea conductelor reţelelor
S-a specificat, că în multe situaţii viteza apei pe diferite sectoare de
conductă este inferioară celei de proiectare, pentru diferite perioade putând
fi chiar nulă. În aceste condiţii aluviunile din apă se depun, formând
depozite de diferite consistenţe. Existenţa carbonaţilor în apă poate
consolida depunerile dacă perioadele de stagnare sunt mari. Apa conţine şi
o serie de săruri, care în anumite condiţii de temperatură şi funcţie de natura
pereţilor conductei pot precipita, formând depuneri pe periferie. Depunerile
formate prin sedimentare şi precipitare se pot suprapune, dând naştere la
colmatări mixte. Chiar în cazul reţelelor îngropate, în conducte se dezvoltă
microorganisme (de natura algelor brune) care favorizează colmatarea
biologică.
Colmatarea, indiferent de natura sa, micşorează secţiunea de
curgere, modifică rugozitatea conductelor, măreşte pierderile de energie,
compromite uniformitatea distribuţiei presiunilor şi debitelor, îngreunează
şi scumpeşte exploatarea reţelelor de conducte şi deseori poate obtura total
secţiunea, scoţând din funcţiune tronsoane întregi.
20.a. Modele teoretice de colmatare
Aluviunilor din apă le este caracteristică mărimea hidraulică (sau
de sedimentare), care dacă nu este compensată de pulsaţiile turbulente ale
vitezei – pe planul normal al direcţiei de curgere – conduce la sedimentarea
selectivă în funcţie de mărimea lor. Întâi se depun particulele nisipoase,
apoi praful şi argila. Aluviunile se depun stratificat pe dimensiuni în
perioadele când viteza pe conductă scade sub valoarea vitezei de antrenare.
Când stagnarea are loc pe perioade scurte, aluviunile depuse nu se
consolidează, depunerile persistă într-o stare vâsco-plastică, iar creşterea
vitezei apei le antrenează în suspensie.
Hidraulică vol. II 381
Conductele unei reţele sunt poziţionate în pantă şi contrapantă, iar
noroiul separat din apă (în stare vâsco-plastică) sub diferenţă de densitate
curge lent spre punctele de cotă inferioară în timpul debitelor nule pe
conducte.
Existenţa carbonaţilor în noroi şi apă, în perioadele lungi de
stagnare consolidează parţial aluviunile. La transportul apei brute există în
apă şi resturi vegetale, care au un adevărat rol de „armătură” şi îngreunează
mobilizarea depunerilor. Evoluţia colmatării este din aval spre amonte şi în
punctele joase.
20.b. Colmatarea prin sedimentare
La colmatarea prin sedimentare cu aluviuni consolidate, parametrii
geometrici ai secţiunii se modifică în funcţie de grosimea depunerilor
(fig. 18.21).
Fig. 18.21. Elementele secţiunii la colmatarea prin
sedimentare
Exprimând în funcţie de unghiul φ mărimea relativă a parametrilor
geometrici şi hidraulici (în raport cu situaţia necolmatată) – aria, perimetrul,
raza hidraulică şi gradul de colmatare – se obţine:
- secţiunea relativă,
( )ϕϕπ
sin2
11
0
−−=A
A; (18.122)
- perimetrul relativ,
π
ϕ
π
ϕ 2/sin
21
0
+−=P
P; (18.123)
- raza hidraulică relativă,
ϕ
D
D
-hh
d
0
A
b
A
0
c
0
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 382
( )
π
ϕ
π
ϕ
ϕϕπ
2/sin
21
sin2
11
0 +−
−−=
R
R (18.124)
- gradul de colmatare,
( )2/cos12
1
0
ϕα −==D
h, (18.125)
în care: unghiul φ este exprimat în radiani, mărimile cu indice zero
corespund conductei necolmatate, iar fără indice, situaţie colmatate.
20.c. Colmatarea prin precipitare
Precipitarea substanţelor din soluţie (carbonaţi, sulfaţi) pe pereţii
conductelor micşorează secţiunea de curgere şi măreşte rugozitatea.
Fenomenul are intensitate mai redusă şi grosimea stratului format este mai
mică. În special în cazul conductelor din oţel s-au observat precipitări de
1...3 mm, care se suprapun cu ruginirea. Elementele relative ale secţiunii de
curgere, conform fig. 18.22 sunt:
Fig. 18.22. Elementele secţiunii la colmatarea prin
precipitare
- secţiunea relativă,
2
00
=
D
D
A
A; (18.126)
- perimetrul, raza hidraulică şi gradul de colmatare
000 D
D
R
R
P
P===α . (18.127)
Colmatarea mixtă are loc, conform fig. 18.23, atât prin
sedimentare cât şi precipitare. Calculul elementelor relative ale secţiunii se
efectuează prin combinarea relaţiilor (18.122...18.127).
0 0
Dh
D
Hidraulică vol. II 383
În perioadele de folosire intensă a conductei, depunerile
consolidate sunt erodate prin fenomenele de abraziune, iar grosimea lor se
micşorează. Eroziunea depunerilor este neuniformă şi astfel se creează
neuniformităţi pe conducte, chiar macrorugozităţi aleatoare.
Modificarea elementelor secţiunii de curgere şi a rugozităţii
conductelor majorează pierderile de energie în funcţie de gradul de
colmatare şi de creştere a rugozităţii.
Fig. 18.23. Elementele secţiunii la
colmatarea mixtă
Panta hidraulică este exprimată cu relaţia lui Darcy-Weisbach,
pentru care coeficientul λ este descris de o relaţie monomă de tip putere,
caracteristică turbulenţei de tranziţie, de forma:
a
b
k
Dc Re⋅
′=λ . (18.128)
Prin înlocuirea D = 4R şi v = Q / A, se obţine:
( ) 221 +−+−−+ ⋅⋅⋅⋅= ababaa QkARcI (18.129)
unde: c, c’, a, b , sunt constante, determinate experimental.
Particularizând ecuaţia (18.129), cu indicele zero pentru conducta
fără colmatare şi fără indice pentru situaţia colmatată, panta hidraulică
relativă este:
( ) baba
a
c
k
k
A
A
R
R
I
I−+−−+
⋅
⋅
=
0
2
0
1
0
(18.130)
Rezolvarea ecuaţiei gradului de colmatare (18.125 şi 18.127),
împreună cu (18.130), conduce la panta hidraulică a conductei colmatate.
Admiţând pentru λ relaţia Lamont T3, cu c’ = 0,2149, b = -0,129
şi a = -0,115, pentru colmatarea prin sedimentare, (18.130) devine:
129,0
0
885,1
0
244,1
0
⋅
⋅
=
−−
k
k
A
A
R
R
I
I
a
c , (18.131)
00
D
h'
Dh'
D
D-h
h
a
ϕ
b
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 384
iar pentru colmatarea prin precipitare
129,0
0
014,5
0
⋅
=
−
k
k
D
D
I
I
a
c , (18.132)
Se observă că relaţiile (18.131 şi 18.132) sunt supraunitare; la
limită, în situaţia necolmatată sunt egale cu unitatea, deci în cazul
colmatării pantele hidraulice cresc. Soluţionarea acestor ecuaţii este
înlesnită prin graficele din fig. 18.24 şi 18,25, pentru colmatarea prin
sedimentare, respectiv precipitare. Determinarea pantelor hidraulice în
situaţia conductelor colmatate presupune cunoaşterea creşterii relative a
rugozităţii şi a gradului de colmatare (separat pentru depunerile prin
sedimentare şi precipitare). Eventualele colmatări punctuale, la noduri sau
schimbări de pantă se compară asemănător cu rezistenţele locale.
1.0
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
0.50
0.45
0.4
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.1
0.05
01000
500
400
300
200
100
50
40
30
20
10
5
4
3
2
1
α= ba
ϕ0
hD
-h
0
D 0
kc kp
1.0
2.0
4.0
10.0
25.0
50.0
100.0
I caI
hα
=D
0
Fig. 18.24. Grafic pentru calculul pantei hidraulice pe conductele
colmatate prin sedimentare.
Hidraulică vol. II 385
D 00
D 1
5
10
25
50
75
100
α=
0D
D
DD 0
α=aI
I c2.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
2.07.0
8.0
9.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
Fig. 18.25. Grafic pentru calculul pantei hidraulice pe conductele colmatate prin
precipitare
30. Decantarea în curent de apă cu suprafaţă liberă
Analiza decantării aluviunilor în suspensie în curent cu suprafaţă
liberă implică modificarea concentraţiei în timp şi spaţiu. Dintre rezolvările
existente se prezintă pe scurt soluţia lui Dobbins.
Modificarea în timp a concentraţiei într-un punct la distanţă
constantă de la fund, unde viteza v = dx / dt, este dată de ecuaţia:
y
Cw
y
CD
t
Cs
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂2
2
(18.133)
în care Ds este coeficientul de difuzie al suspensiilor. Ecuaţia a fost
rezolvată în cazul respectării următoarelor ipoteze:
- concentraţia în secţiunea de intrare este constantă;
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 386
- valoarea coeficientului de difuzie D şi viteza în bazin sunt
constante. Din acest considerent soluţia aproximează numai efectul negativ
al turbulenţei asupra decantării.
Camp a modificat forma soluţiei Dobbois, exprimând rata decantărilor. Excluzând posibilitatea antrenării în suspensie a materialelor
odată depuse, rata decantării se poate exprima în funcţie de trei parametrii
adimensionali: wH / 2D; w / w0 şi αn.
După Camp măsura decantării depinde de caracteristicile de
decantare a suspensiilor şi de particularităţile hidraulice ale bazinului de
decantare. Într-un bazin teoretic aluviunile se mişcă cu rezultanta vitezei
apei şi mărimii hidraulice, şi aluviunile de acelaşi fel se mişcă pe traiectorii
paralele. Toate particulele care au viteză de sedimentare w superioară lui
w0 – definită de lungimea L adâncimea H şi viteza v din bazinul de
decantare se vor depune – conform fig. 18.26.
L
H
a
b
cf
e
dv
w
v
w0
Fig. 18.26. Decantarea suspensiilor
Din particulele suspensiilor cu w < w0 numai o parte se
decantează, conform figurii, fracţia bc / ac. Tot din figură rezultă:
BL
Q
BL
VBH
L
VHw
⋅=
⋅
⋅⋅=
⋅=0 (18.134)
respectiv
Q
wLBwwr
⋅⋅== 0/ (18.135)
unde: B este lăţimea decantorului; Q debitul, iar r – fracţia de decantare.
Cantitatea w0 = Q / LB, cu dimensiunea vitezei , defineşte debitul
specific pe suprafaţa decantorului sau încărcarea de suprafaţă. Fracţia de decantare r este măsura decantării suspensiilor cu
w <w0. Cantitatea de suspensii decantate la debit Q dat depinde de
suprafaţa orizontală a bazinului decantor şi nu depinde de adâncimea H.
Hidraulică vol. II 387
Încărcarea de suprafaţă w0 este de fapt viteza de sedimentare a acelor
mărimi de suspensii care se decantează în totalitate. Suspensiile cu w < w0
se decantează parţial.
α1,...,αn sunt rădăcinile reale pozitive în ordine ale ecuaţiei
transcendente
α
αα D
Hw
D
Hwctg 2
2
2
⋅
−⋅
= (18.136)
Fracţia de decantare r în funcţie de parametrii adimensionali
wH / 2D şi w / w0 corespunde familiei de curbe din fig. 18.27.
Utilizarea practică a graficului presupune cunoaşterea
coeficientului de difuzie D. Presupunerea D = const, implică, distribuţia
parabolică a vitezei în bazinul decantor. În aceste ipoteze, acceptând
calculul lui λ cu coeficient de rugozitate n = 0,024, parametrul
adimensional
00
0 1221221222 w
w
L
H
w
w
V
w
V
w
D
wH⋅=⋅== (18.137)
Soluţia Dobbins în interpretarea lui Camp permite dimensionarea
aproximativă a bazinelor decantoare.
0,1 0,2 0,4 0,6 1 2 4 6 10 20 40 60 1000
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
2,0
1,5
1,21,11,00,90,80,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
=wwo
wH2D
r
Fig. 18.27. Diagrama Camp pentru dimensionarea decantoarelor
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 388
18.4. HIDRAULICA MIŞCĂRII GHEŢURILOR
În condiţii de iarnă, la temperaturi sub 0oC, de durată, în albii
deschise (artificiale, naturale) apare gheaţa, starea solidă a apei, care se
mişcă împreună cu starea lichidă (zai, sloi, gheaţă plutitoare) sau creează
condiţii speciale de mişcare în prezenţa podului de gheaţă. Mişcarea gheţii
este asemănătoare mişcării aluviunilor, zaiul poate fi comparat cu aluviunile
în suspensie, iar sloiurile şi gheaţa plutitoare cu aluviunile de fund, cu
specificaţia că densitatea gheţii este inferioară densităţii apei lichide care
schimbă direcţia de mişcare pe verticală.
Diferenţa fundamentală între aluviuni şi gheaţă este provenienţa
lor. În condiţii de iarnă albia, din punct de vedere al mecanicii fluidului,
este sursă (pozitivă sau negativă) de gheaţă.
Formarea, dispariţia gheţii, problemele sale termodinamice sunt
tratate de alte discipline (hidrologie, termodinamică).
Se prezintă pe scurt din punct de vedere hidraulic, mişcarea
zaiului, sloiurilor şi gheţii plutitoare, precum şi curgerea în prezenţa podului
de gheaţă.
18.4.1. Mişcarea zaiului
Zaiul poate fi privit ca material solid în suspensie, cu densitate mai
mică decât a apei, asupra sa acţionând rezultanta propriei greutății şi a forţei
arhimedice, cu orientare în sus. Presupunând că zaiul este format din
particule individuale de gheaţă (fără legături de coeziune sau adeziune),
mişcarea sa în curentul lichid este asemănătoare cu mişcarea aluviunilor în
suspensie şi i se poate aplica teoria sedimentării cu constatarea că tendinţa
aglomerării particulelor este spre suprafaţa liberă.
1
0. Mişcarea liberă a zaiului
Faza solidă (zai) fiind mai uşoară decât apa, mişcarea ei este
ascendentă. Conform teoriei suspensiilor Cartens-Vanoni, transportul de
particule de gheaţă pe unitatea de suprafaţă la distanţa y de fund, la
concentraţia C, sub acţiunea vitezei de ridicare wg este contrabalansată spre
direcţia gradientului de concentraţie negativ de către difuzia turbulentă.
Coeficientul de difuzie turbulent al particulelor de gheaţă (prin
analogie) poate fi considerat egal cu coeficientul de difuzie turbionar,
Dg ≈Dy.
Hidraulică vol. II 389
Notând , pentru mişcări plane, wg=- w şi yj=h –y (fig. 18.11) se
obţine ecuaţia diferenţială caracteristică
j
gj dy
dCDwC −=⋅ (18.138)
care are soluţia (cunoscând pe Dg)
∗⋅
⋅−
−=
V
w
j
j
a
j
y
a
ah
yh
C
C χ)( (18.139)
în care a este o distanţă de fund unde se cunoaşte concentraţia de zai Ca,
iar χ -constanta lui Karman.
20. Mişcarea zaiului sub podul de gheaţă
Pariset şi Hausser au studiat mişcarea zaiului sub podul de gheaţă.
Ipotezele lor simplificatoare sunt:
- curgerea sub podul de gheaţă este permanentă, efectul malurilor
este neglijabil;
- la intrarea sub podul de gheaţă particulele de gheaţă ale zaiului au
aceeaşi viteză de ridicare w şi sunt uniform distribuite pe secţiune;
- particula ridicată până la podul de gheaţă se lipeşte de acesta şi nu
se mai mişcă;
- curgerile datorită diferenţei de densitate sunt neglijabile;
- efectul albiei asupra turbulenţei este inferior efectului podului de
gheaţă.
Au dedus separarea (lipirea) particulelor de zai de podul de gheaţă
în funcţie de doi parametri adimensionali:
numărul Rouse- Ro şi distanţa adimensională X
v
w
g
CRo ⋅=
4,0 şi X=
v
w
h
x⋅ (18.140)
unde : C este coeficientul lui Chézy.
Raportul cantităţii de particule faţă de cea de la intrare în medie
C (X, Ro) este prezentat în figura 18.28. Dreapta limită din stânga graficului
corespunde teoriei separării în mişcare laminară (pentru X=1 toate
particulele de zai se lipesc de podul de gheaţă).
Dificultăţile practice de aplicare a graficului se datoresc
necunoaşterii mărimii hidraulice a particulelor de zai w. Experimental se
poate determina această mărime, cunoscând la intrare debitul de zai şi
variaţia longitudinală a concentraţiei medii de zai.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 390
0 1 2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
12
3
0,5
0,2
0,1 0,01
0,4 g V
c=0
R
w
X=x w
h v
C (X, R ) 0
Fig. 18.28. Mişcarea zaiului sub podul de gheaţă
Graficul C (X, Ro)
18.4.2. Mişcarea (plutirea) sloiurilor
Pentru plutirea gheţii la suprafaţa apei Schoklitsch a introdus
relaţia
G = m vs ·B (18.141)
în care: G este debitul de gheaţă plutitoare în m2/s, m- intensitatea
transportului de gheaţă plutitoare; vs - viteza de suprafaţă, iar B - lățimea
oglinzii apei. În cunoaşterea vitezei medii v se introduce corecţia
αg = vs/v, obţinând intensitatea transportului de gheaţă plutitoare
Q
hGm
g
⋅⋅=
α
1 (18.142)
h fiind adâncimea medie, iar Q-debitul lichid. Intensitatea transportului
depinde direct de debitul de gheaţă şi adâncimea medie şi invers
proporţional cu debitul lichid, deci este o funcţie de mărimi hidrologice şi
morfologice. Înlocuind R ~ A/B ~h se obţine
IhCB
Gm
⋅⋅= (18.143)
Adâncimea apei, debitul lichid şi particularităţile locale ale albiei
sunt în strânsă interdependenţă.
Hidraulică vol. II 391
Pentru analiza influenţei albiei la transportul sloiurilor se scrie
ecuaţia de continuitate (pentru transport de gheaţă) între doua secţiuni, cu
indicele 1 pentru secţiunea amonte şi x în aval:
m1 vs1 B1=mx vsx Bx (18.144)
După înlocuiri se obţine
m1α1 1
1
h
Q= mx αx
x
x
h
Q, (18.145)
sau presupunând α1 = αx
x
xx
h
Qm
h
Qm ⋅=⋅
1
11
(18.146)
Identitatea acoperirii cu gheaţă plutitoare în cele două secţiuni
presupune:
x
x
h
Q
h
Q=
1
1 (18.147)
La mişcare permanenta Q1 =Qx, rezultă:
1
1 h
hmm x
x = . (18.148)
Blocarea gheţii (formarea podului de gheaţă) în acţiunea x presupune mx = 1, întrucât intensitatea de transport este totală, însă în
secţiunea 1,
xhhm /11 = (18.149)
Relaţia (18.149) arată că în secţiunea x se formează pod de gheaţă
dacă intensitatea transportului în secţiunea amonte este raportul adâncimilor
în cele două secţiuni. Astfel se poate aproxima acoperirea cu gheaţă din
secţiunea amonte care produce blocaj (pod de gheaţă) în aval şi care este
raportul adâncimilor medii în cele două secţiuni.
18.4.3. Condiţiile formării şi menţinerii podului de gheaţă şi condiţiile formării zăpoarelor.
Formarea zaiului şi sloiurilor este stopată de podul de gheaţă.
Serviciul hidrologic al râului St. Lawrence din Canada a stabilit
următoarele reguli pentru formaţiunile de gheaţă:
- pod de gheaţă neted la viteza medii mai mici de 0,4 m/s, fără
valuri produse de vânt;
- podul de gheaţă se dezvoltă spre amonte dacă viteza medie este
sub 0,7 m/s şi nu intră sloiurile sub podul de gheaţă;
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 392
- la pod de gheaţă dezvoltat viteza medie poate creşte până la
0,8 m/s fără să afecteze integritatea podului de gheaţă;
- la viteze medii de 0,8...1,0 m/s chiar dacă se formează podul de
gheaţă, în funcţie de condiţii climatice se poate aştepta la ruperea acestuia;
- la viteze medii de peste 1,0 m/s , în general, nu se formează pod
de gheaţă.
Valorile menţionate sunt inferioare observaţiilor de pe Dunăre.
Pe baza experienţelor de laborator şi observaţiilor de teren Pariset
şi Hausser au pus bazele formării podului de gheaţă ţinând seama de
următoarele ipoteze:
- grosimea podului de gheaţă în albii relativ înguste se poate
determina dacă în capătul său amonte gheaţa plutitoare nu poate intra sub
pod;
- la albii largi grosimea gheţii este determinată de presiunea gheţii;
- dezvoltarea spre amonte a podului de gheaţă depinde de grosimea
podului de gheaţă şi diferenţa dintre cantitatea de gheaţă plutitoare sosită
din amonte şi intrată sub podul de gheaţă;
- dezvoltarea spre amonte a podului stagnează dacă gheaţa
plutitoare sosită este transportată sau dacă viteza apei este prea mare şi
gheaţa plutitoare intră sub podul de gheaţă sau dacă sub presiune podul se
rupe. În aceste ultime două cazuri se pot forma zăpoare (baraje de gheaţă).
Condiţiile formării podului de gheaţă au fost sistematizate în tabelul
18.1 pentru albii largi şi înguste, conform notaţiilor din (fig. 18.29).
h
h
h
hh
V Vu1
2
g g2
g1
1 2
ρ
ρg
Fig.18.29 Formarea podului de gheaţă
Hidraulică vol. II 393
Condiţiile formării podului de gheaţă
Tabelul 18.1 Pod de gheaţă mobil
Pod de gheaţă stabil
Albie largă
α > 0
YhCB
Q
BChQ
>⋅⋅
⋅⋅⋅>
4
1
2
2
2
1053,0
Y
hCB
Q
BChQ
<⋅⋅
⋅⋅⋅<
4
1
2
2
2
1053,0
Albie îngustă
α < 0
ygh
v
h
h
gh
v
g
>
>
>
1
1
1
2
33,0
109,02
gcrg qq < gcrg qq >
antrenat prin plutire se depune
ygh
v
h
h
gh
v
g
<
<
<
1
1
1
2
33,0
109,02
Factorul α= vs / v depinde de lăţimea albiei, de unghiul de frecare
al gheţii, de componenta greutăţii pe direcţia curgerii, de tensiunea
tangenţială, de forţele dezvoltate la contactul cu malurile şi de presiunea
hidrodinamică din amonte. În relaţiile din tabelul 18.1 parametrii
determinanţi sunt: debitul lichid Q , viteza apei v, adâncimea amonte de
podul de gheaţă h1, coeficientul lui Chézy C, grosimea gheţii hg şi debitul
specific de gheaţă qg.
Mărimile Y, y depind de densitatea relativă a gheţii, raportul
grosimii gheţii şi adâncimii curentului, respectiv de rugozitatea gheţii.
Situaţia podului de gheaţă stabil şi instabil este zonat în fig. 18.30,
suprafaţa de sub „clopot” corespunzând podului de gheaţă stabil.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 394
0 0,5 1,00
1 10
2 10
3 10
instabil
stabil
.
.
.
AA'
A''A'''
B''B'''
B'
C
C'
C''
D
D'
D''
-3
-3
-3
g 1
QC
B
h2
2
2
1. .
insta
bil
h /h
h=0,33
Fig. 18.30 Zonarea formei podului de gheaţă in funcţie de grosimea relativă a
gheţii si debitul de apă relativă
Analiza graficului evidenţiază:
a. Indiferent de grosimea relativă a podului de gheaţă, acesta poate
fi stabil numai în condiţiile:
crhCB
Q
hC
VBΩ=
⋅=
⋅
⋅⋅ 4
1
2
2
2
1
2
2
(18.150)
Ωcr fiind un complex adimensional (pentru ρg = 0,98 t/m3 şi µ = 1,28*10-3
Nsm-2, Ωcr = 2,8*10-3 ). Astfel, se poate determina debitul maxim până la
care podul de gheaţă este stabil:
BChQ cr ⋅⋅Ω≤ 2
1 (18.151)
Dacă condiţia (18.151) nu este satisfăcută, grosimea bucăţilor de
gheaţă individuală creşte, se unesc mai multe sloiuri şi până nu apare blocaj
din aval nu se formează pod de gheaţă stabil. Aceasta arată că albia îngustă
şi adâncă este favorabilă transportului de gheaţă (uneori este chiar
recomandabilă divizarea albiei prin construcţii de dirijare longitudinală).
Hidraulică vol. II 395
b. În grafic se poate urmări dezvoltarea podului de gheaţă în
condiţiile mişcării permanente. Grosimea gheţii în capătul său amonte
totdeauna este inferioară unei treimi din adâncimea apei. Punctele
caracteristice podului de gheaţă stabil în capătul amonte sunt situate
totdeauna în stânga hg/h1 < 0,33. Punctele din capătul amonte se pot situa
în stânga (pct A) sau dreapta (B') curbei de echilibru. În cazul punctului B'
albia este îngustă şi grosimea gheţii suportă forţele care o acţionează, dar
grosimea poate fi influenţată şi de transportul de gheaţă de sub pod. În cazul A albia este largă şi grosimea gheţii insuficientă pentru preluarea forţelor în
dezvoltarea sa şi podul se îngroaşă punctul deplasându-se în A'. Dacă
gheaţa din amonte intra sub podul de gheaţă şi se lipeşte de pod punctul B' se poate deplasa până în B” şi chiar până în B”’. Prin mişcarea podului însă,
sau schimbarea adâncimii, poate reveni în zona stabilă (ex. crescând h1).
c. La debit variabil sunt posibile două situaţii în funcţie de
modificarea adâncimii cu debitul, reprezentate prin mişcarea punctelor
caracteristice C şi D. Pentru albii înguste, un exemplu de relaţie caracteristică corespunde
(fig. 18.31).
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
0,15
0,10
0,05
0
v
2gh1=f(hg/h1)0,109
g 1/hh
v/ 2gh1
Fig. 18.31 Corelaţia vitezei relative şi grosimii relative a gheţii.
Din corelaţia din figură se observă că unei viteze mai mari în
amonte îi corespunde o muchie amonte mai groasă a podului de gheaţă,
respectiv adâncimii mai mari din amonte îi corespunde o muchie amonte
mai subţire.
Limita superioară a curbei corespunde pentru hg / h1 = 0,33 şi
v/ .109,02 1 =⋅ hg Peste aceste valori forţele suplimentare rezultate din
curgere sub podul de gheaţă în albie îngustă nu mai pot fi echilibrate de
forţele arhimedice suplimentare prin creşterea grosimii gheţii şi podul de
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 396
gheaţă se prăbuşeşte. Aceasta este una din posibilităţile apariţiei zăporului
(barajului de gheaţă). Dacă remuul creat creşte adâncimea h1 şi micşorează
viteza amonte v podul de gheaţă se poate dezvolta din nou.
În cazul când viteza la intrare sub podul de gheaţă este destul de
mare, sloiurile intră sub podul de gheaţă şi în mişcarea lor se comportă ca
aluviunile târâte însă în contact cu tavanul de gheaţă al podului.
Capacitatea de transport de gheaţă al curentului de sub pod se
descrie, prin analogie, cu relaţiile caracteristice aluviunilor târâte (Meyer-
Peter, Einstein).
În cazul transportului de gheaţă 1-ρg/ρ = 0,08, astfel
2
2
08,008,0~08,0v
dC
IR
dd=
⋅⋅=
γτψ (18.152)
în care d este diametrul echivalent al gheţii antrenate sub podul de gheaţă;
C – coeficientul lui Chézy si v – viteza medie a fazei lichide.
Capacitatea transportului de gheaţă rezultă din ecuaţia
Qgcr=0,81 Φ d3/2 (18.153)
Funcţiile Ψ şi Φ sunt funcţiile lui Einstein, definite la 18.3.4.
Când debitul de gheaţă din amonte qg >qgcr are loc oprirea gheţii
mobile sub podul de gheaţă care este o a doua posibilitate de apariţie a
zăpoarelor.
18.4.4. Curgerea apei sub podul de gheaţă
Datorită schimbării condiţiei de curgere cu nivel liber în curgere sub
presiune se reduce capacitatea de transport a secţiunii. În consecinţă
apariţia podului de gheaţă produce creşterea nivelului în secţiunea amonte,
respectiv o curbă de supraînălţare.
Distribuţia vitezei sub podul de gheaţă este influenţată de
rugozitatea tavanului de gheaţă. Distribuţia vitezei sub podul de gheaţă are
efect asupra stabilităţii acestuia şi asupra schimbului de căldură prin gheaţă
care au efect revers şi asupra coeficientului de frecare.
Neglijând efectul malurilor – curgerea are frontieră superioară şi
inferioară. Rugozitatea celor două suprafeţe diferind, viteza maximă se
obţine mai aproape de suprafaţa mai netedă (fig. 18.32.a).
Hidraulică vol. II 397
H
h
h
τ
τ
a
v
v
n
n
v
v
2
1
max
1
2
2
1
2
1
v
v
v
h
h
H
2
max
1
2
1
n
n
00
0 1 2 3 4 5 6
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
α
η =
= 1nn2
1hH1
b
Fig. 18.32. a) Distribuţia vitezei şi efortului unitar tangenţial b) Funcţia η (α)
Viteza maximă unică definită din distribuţiile vitezei pe cele două
suprafeţe defineşte poziţia vitezei maxime. Notând raportul coeficienţilor
de rugozitate α = n1 / n2, rezultă:
5,0lg6,0/11 +== αη Hh (18.154)
care se poate determină şi din graficul din fig. 18.32.b.
Rugozitatea suprafeţei podului de gheaţă în funcţie de depunere de
zai sau fără, cu dezvoltare în timp după Pavlovski, are valorile din
(tab. 18.2).
Coeficientul de rugozitate al podului de gheaţă
Tabelul 18.2
Vârsta podului de
gheaţă (zile)
Valoarea lui n
Cu depunere de zai Fără depunere de zai
< 10
10...20
20...60
60...80
80...100
0,150
0,100
0,050
0,040
0,030
0,050
0,040
0,030
0,025
0,015
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 398
Larsen, pentru condiţiile Suediei, în condiţiile de depunere de zai
recomandă n2 = 0,026.
Pariset şi Hausser, pentru condiţiile Canadei, la formarea
podului de gheaţă recomandă 0,033 < n2 < 0,040, iar mai târziu
0,022 < n2 < 0,0286. Valorile menţionate corespund anumitor lăţimi ale
podului.
Coeficientul de rugozitate mediu pentru toată secţiunea albiei este:
( )75,1
2
75,1
1
1
67,1 ηαη ⋅+=
nnm (18.155)
în care : HhHh / şi / 2211 == ηη .
Notând cu Q debitul albiei fără pod de gheaţă la adâncimea H şi
Q’ debitul în prezenţa podului de gheaţă de grosime hg pentru aceeaşi
sarcină H, după introducerea H – hg = β·H, debitul relativ este:
ββ ⋅=
=
′
1
3/2
1
63,02
1
n
n
n
n
Q
Q mm (18.156)
Pierderea relativă de sarcină la transportul debitului Q fără şi cu
prezenţa podului de gheaţă este:
2
1
3/4
2
2
1
4,02
1
=
=
∆
′∆
n
n
n
n
H
H mm ββ (18.157)
Măsurătorile experimentale indică reducerea capacităţii de
transport cu 20...30 %.
18.5. APLICAŢII
10. Un tronson de râu cu maluri abrupte este caracterizat de lăţimea
B = 20 m, panta I = 0,75 %, coeficientul de rugozitate n = 0,023. Să se
determine condiţiile de transport ale aluviunilor târâte cu diametrele
caracteristice d = 5; 10; 20; 30 şi 40 mm când densitatea aluviunilor este
ρs = 2650 kg/m3 la temperatura T = 20
oC.
Rezolvare:
Se calculează:
- netezimea relativă h / d;
- complexul adimensional B o=1,7 (h/d)1,7 cu relaţia (18.58);
- viteza critică la antrenare ( )1/0 −= ρρ scr ghBv din (18.57);
- debitul corespunzător acestei viteze Qcr = B·h·Vcr;
Hidraulică vol. II 399
- viteza de frecare ghIV =∗ ;
- 3/13/2 −⋅ g
d
υ împreună cu
- 2
∗
=v
gdb stabileşte tipul formaţiunii de fund cu
3/13/2 −⋅ d
d
ν
(fig. 18.5);
- 1/ −ρρ s
I stabileşte tipul formaţiunilor de fund împreună cu
h / d (fig. 18.6);
Calculele se efectuează prin iteraţii, variabila fiind adâncimea.
Rezultatele sunt prezentate în (tab 18.3).
Tabelul 18.3
d Elementul
de calcul
0,005 0,01 0,02 0,03 0,04
h (m) 0,50 0,82 1,33 1,78 2,19
h / d 100 82 66,5 59,33 57,75
B0 0,263 0,285 0,311 0,325 0,336
Vc (m/s) 0,749 1,040 1,441 1,746 2,000
Qc (m3/s) 7,49 17,05 38,33 62,16 87,63
V* (m/s) 0,0610 0,0774 0,0990 0,1143 0,1265
d/(ν2/3·g
-1/3) 106,3 212,7 425,4 638,0 850,7
b=gd / V*2
13,18 16,38 20,02 22,53 24,52
Pct
Dune→
Tranziţie
Tranziţie Tranziţie Tranziţie→
antidune
Tranziţie→
antidune
S-a considerat ν = 1,01·10-6
m2/s.
Un calcul asemănător poate stabili refacerea unei balastiere
(granulaţia maximă) în timpul unei viituri.
20. Să se determine viteza minimă (critică), viteza fazelor şi
pierderea de energie la Vh = 1,5 Vcr pe o conductă de transport hidraulic la
exploatarea nisipului cu diametrul caracteristic dc = 0,60 mm, ρs = 2,60 t/m
3, conducta având diametrul D = 200 mm şi lungimea
L = 650 m, dacă concentraţia masică este Cm = 364 kg/m3.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 400
Rezolvare:
- mărimea hidraulică după Budryck (18.99) este:
( ) ( ) mm/s 29,9116,02,15716,0
15,1112,1571
15,11 33 =−⋅+=−⋅+= dd
wc
- concentraţia de volum (18.39)
14,02600
364===
s
mCC
ρ
- viteza critică de transport, pentru alunecare A = 1, din relaţia
(18.96)
m/s 02,20006,0
2,009129,0336,2336,2
5,05,0
=
⋅=
⋅=
d
DwVcr
- viteza hidroamestecului
m/s 03,302,25,15,1 =⋅=⋅= crh VV
- numărul Froude pentru hidroamestec
679,42,081,9
03,322
=⋅
=⋅
=Dg
VFr h
a
- numărul Froude al materialului solid
416,1006,081,9
09129,0 22
=⋅
=⋅
=dg
wFrs
- alunecarea A – după relaţia (18.90) ( ) ( ) 174,04975,04975,0
25,05,025,05,0416,1679,425,0529,0 =⋅=⋅=
−− ⋅⋅−⋅⋅− ee ss FrFrA
- viteza fazei lichide (apei) şi solide (18.115)
m/s 106,303,314,0174,01
1
1
1=⋅
⋅−=
⋅−= ha V
CV
A
m/s 566,203,314,0174,01
174,01
1
1=⋅
⋅−
−=
⋅−
−= hs V
CV
A
A
- diferenţa de viteză
m/s 54,0566,2106,3 =−=−=∆ sa VVV
- coeficientul Darcy – Weisbach (după Şevelev)
034,02,0021,0021,0 3,03,0 =⋅=⋅= −−Daλ
- panta hidraulică pentru apă curată
07955,081,92
03,3
2,0
034,0
2
22
=⋅
⋅=⋅=g
V
DI h
a
λ
Hidraulică vol. II 401
- panta hidraulică la transportul amestecului (18.117)
( ) ( ) 08772,014,07338,0107955,01 =⋅+=⋅+= CII Bah ψ
cu
7338,0679,4
416,1
2,0
0006,0
174,01
11000
2600
034,0
2
1
1/25,1
5,0
5,1
5,0
=⋅−
−⋅=⋅
−
−⋅=
a
ssB
Fr
Fr
D
d
A
ρρ
λψ
- pierderea de sarcină
mCA 02,5765008772,0 =⋅=⋅= LIh hr
30. Pentru determinarea colmatării pe o conductă din azbociment
cu D = 200 mm, rugozitate k = 0,2 mm şi care transportă debitul
Q = 50 l/s, pe distanţa L = 72 m s-a măsurat pierderea de presiune
hr = 5,267 mCA. În urma depunerilor s-a mărit şi rugozitatea la
kc = 0,8 mm. Să se stabilească gradul şi stratul colmatării echivalente prin
sedimentare dacă pentru conductele mari este valabilă relaţia Lamont T3.
Rezolvare:
- coeficientul λ după Lamont T3 este
( ) ( ) 0206,0200
2,03152482149,0/Re2149,0
129,0
115,0129,0115,0 =
⋅⋅=⋅⋅=
−− Dkλ
- numărul Reynolds
3152481001,1
2,0592,1Re
6=
⋅
⋅=
⋅=
−ν
DV
- viteza medie pe conducta curată
m/s 592,12,0
05,04422
=⋅
⋅=
⋅==
ππ D
Q
A
QV
- coeficientul vâscozităţii cinematice pentru temperatura T = 200 C
/sm 1001,1 26−⋅=ν
- panta hidraulică pe conducta curată
0133,081,92
592,1
2,0
0206,0
2
22
=⋅
⋅=⋅=g
v
DI a
λ
- panta hidraulică pe conducta colmatată
07305,072
267,5===
L
hI r
c
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 402
Conform graficului din fig. 18.24 pentru
493,50133,0/07305,0/ ==ac II şi 42,0/8,0/ ==kkc
îi corespunde gradul de colmatare
43,0==D
hα
respectiv stratul colmatării
m 086,02,043,0 =⋅=⋅= Dh α .
40. Să se determine lungimea unui deznisipator pentru reţinerea
particulelor cu d = 0,2 mm, în proporţie de r1 = 1,0 când viteza medie în
disipator este V = 0,1 m/s, adâncimea utilă H = 2,0 m, temperatura
T = 20 0C şi densitatea nisipului ρs = 2,6 t/m
3.
Rezolvare:
Mărimea hidraulică a particulelor având diametrul d > 0,05 mm, se
determină pe baza ecuaţiei (18.17) şi (fig. 18.3) din care rezultă coeficientul
de rezistenţă la înaintare CR
( ) ( )sRsR
fCdC
gw Re şi 1/
3
4=⋅−⋅= ρρ
Mărimea hidraulică se calculează prin iteraţii succesive
- pentru m/s 02445,00002,011000
2600
7
81,9
3
47 =⋅
−⋅=⇒= wCR
la care numărul Res pentru ν = 1,01·10-6
m2/s este:
84,41001,1
0002,002445,0Re
6=
⋅
⋅=
⋅=
−ν
dws
• pentru Res = 4,84 rezultă CR = 8,5; w = 0,0222 m/s şi Res = 4,4
• pentru Res = 4,4 rezultă CR = 9,0; w = 0,0216 m/s şi Res = 4,28
• pentru Res = 4,28 rezultă CR ~ 9,0 şi w = 0,0216 m/s
- conform ecuaţiei (18.137)
352,2610,0
0216,0122122
2===
⋅
V
w
D
Hw.
Hidraulică vol. II 403
- din graficul Camp din (fig. 18.27):
• pentru r1 = 1,0 şi 352,262
=⋅
D
Hw, se obţine 5,1
0
=w
w , respectiv
w0 = 0,0144 m/s.
Conform (fig. 18.26) rezultă L = H / w0 = 2,0 / 0,0144 ≈ 139 m.
Prin neglijarea difuziei turbulente:
w = w0 = 0,0216 m/s şi L = 2,0 / 0,0216 = 92,6 m.
Hidraulică vol. II 404
CAPITOLUL 19
MIŞCĂRI POTENŢIALE
19.1. NOŢIUNI GENERALE. DEFINIŢII
În studiul mişcării mediilor continue (vol. I) s-a definit că mişcarea
poate fi descompusă în mişcare de translaţie, de rotaţie şi mişcare de deformaţie
- care la rândul ei poate fi liniară, unghiulară şi de rotaţie.
La transformarea ecuaţiilor diferenţiale de mişcare a lichidelor perfecte
(ec. Euler ) sub forma Helmoltz – Gromeka – Lamb
( ) 022
2
=+⋅+⋅+⋅∂
∂+
++
wvu
dzdydx
dzwdyvdxut
vpUd zyx ωωω
ρ (19.1)
s-a stabilit că mişcările nerotaţionale, deci 0=== zyx ωωω , se numesc
mişcări potenţionale, deci viteza de rotaţie:
0x y z
i j k
dV dr
dx dy dz
ω ω ω ω= = =
(19.2)
unde zyx ωωω , , sunt componentele vitezei de rotaţie după cele trei axe,
wvu ,, vitezele de translaţie, kji , , versorii axelor de coordonate, dzdydx , ,
componentele razei vectoare dr . Cum 0≠dr trebuie ca 0ω = .
Vârtejul se poate exprima sub forma :
02
1
2
1=
∂
∂
∂
∂
∂
∂=⋅=
wvuzyx
kji
Vrotω (19.3)
sau:
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 405
=
∂
∂−
∂
∂=
=
∂
∂−
∂
∂=
=
∂
∂−
∂
∂=
02
1
02
1
02
1
y
u
x
vx
w
z
uz
v
y
w
z
y
x
ω
ω
ω
(19.4)
Sistemul (19.4) reprezintă condiţia necesară şi suficientă pentru ca
vectorul viteză v să derive dintr-o funcţie potenţial ϕ , astfel:
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
zw
yv
xu
ϕ
ϕ
ϕ
(19.5)
sau:
z
ky
jx
igradV∂
∂+
∂
∂+
∂
∂==
ϕϕϕϕ (19.6)
Funcţia scalară ),,( zyxϕ este potenţialul de viteze şi generează
mişcarea irotaţională.
Pentru diverse valori constante ale funcţiei potenţial:
czyx =),,(ϕ (19.7)
se obţin suprafeţele echipotenţiale, locul geometric al punctelor cu potenţial
constant.
Proprietăţile suprafeţelor echipotenţiale sunt :
a. Vectorul viteză este normal la suprafaţa echipotenţială în orice
punct, în orice moment.
dzz
dyy
dxx
dzwdyvdxusdVdsVsdV∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=⋅+⋅+⋅=⋅⋅=⋅
∧ ϕϕϕ),cos( (19.8)
Potenţialul ctzyx =),,(ϕ ⇒ 0=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
zyx
ϕϕϕ, deci produsul
0),cos( =⋅⋅∧
sdVdsV (19.9)
Hidraulică vol. II 406
Cum 0≠V , 0≠ds rezultă 0),cos( =∧
sdv , deci unghiul format de V
şi sd este unghi drept.
b. Suprafeţele echipotenţiale nu se intersectează.
Pe linia de intersecţie a celor două suprafeţe echipotenţiale, în fiecare
punct, viteza ar trebui să aibă două direcţii diferite, corespunzătoare normalelor
la cele două suprafeţe, ceea ce nu este posibil din punct de vedere fizic. În cazul
limită cele două suprafeţe echipotenţiale pot fi tangente, respectându-se în acest
caz proprietatea a), caz întâlnit doar în punctele singulare ale domeniului
(puncte extreme).
Circulaţia vitezei, în lungul unei curbe, definită prin integrala:
∫ ∫ ⋅+⋅+⋅=⋅=Γ )( dzwdyvdxusdV (19.10)
pe o curbă închisă este nulă.
Fig. 19.1. Circulaţia vitezei pentru mişcări potenţiale
Înlocuind componentele vitezelor funcţie de potenţialul ϕ se obţine:
0=−===
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=Γ ∫∫ AA
A
Acc
c ddzz
dyy
dxx
ϕϕϕϕϕϕϕ
(19.11)
Pentru un arc de curbă circulaţia vitezei este:
AB
B
A
AB d ϕϕϕ −==Γ ∫ (19.12)
Circulaţia vitezei în lungul unui arc de curbă pentru mişcări potenţiale
nu depinde de forma curbei, ci doar de valoarea potenţialului vitezelor ϕ în
punctele extreme ale curbei.
Ecuaţia de continuitate, scrisă pentru lichide incompresibile sub forma
0=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
w
y
v
x
u, (19.13)
prin înlocuirea componentelor vitezei, devine:
x
y
z
A
B
Mds
VtV
C
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 407
02
2
2
2
2
2
=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
zyx
ϕϕϕ (19.14)
Ecuaţia (19.14) reprezintă ecuaţia lui Laplace, deci funcţia ϕ
satisfăcând această ecuaţie, este o funcţie armonică. Mişcările potenţiale au o largă aplicabilitate în tehnică, acest tip de
mişcare fiind valabil la curgerea lichidelor în regim laminar, în acest domeniu
incluzându-se şi mişcările apei subterane. În unele cazuri se folosesc mişcările
potenţiale pentru rezolvarea unor probleme de mişcare chiar în regimul
turbulent de curgere, prin măsurători experimentale aducându-se corecţiile
necesare rezultatelor teoretice.
19.2. MIŞCĂRI POTENŢIALE PLANE
Se numesc mişcări plane acele mişcări la care deplasările sunt
importante după două direcţii, deci după a treia direcţie elementele mişcării
sunt nule. Deci câmpul de viteze este paralel cu un plan fix (luat ca referinţă
x0y) şi nu depinde de distanţa la plan (de cota z). Viteza ( ) ( )( )yxtvuxtV ,,0,,, = .
Pentru ca un fluid să aibă o astfel de mişcare, este necesar şi suficient
ca factorii care determină mişcarea să fie aceiaşi în orice plan paralel cu planul
fix.
Astfel, mişcarea potenţială plană poate fi studiată ca mişcarea unui
strat foarte subţire de lichid situat pe un plan. Proprietăţile acestor mişcări
potenţiale plane derivă din proprietăţile mişcărilor potenţiale în spaţiu,
prezentate anterior.
Componentele vitezei sunt :
x
u∂
∂=
ϕ şi
yv
∂
∂=
ϕ (19.15)
unde 22 vuV += sau ϕgradV = .
Ecuaţia de continuitate scrisă mişcării potenţiale plane devine:
0=∂
∂+
∂
∂
y
v
x
u sau 0
2
2
2
2
=∂
∂+
∂
∂
yx
ϕϕ (19.16)
Condiţia de irotaţionalitate este:
02
1=
∂
∂−
∂
∂=
y
u
x
vzω (19.17)
Hidraulică vol. II 408
Circulaţia vitezei este:
( ) ϕϕϕϕ
==
∂
∂+
∂
∂=⋅+⋅=Γ ∫∫∫ ddy
ydx
xdyvdxu (19.18)
Pentru mişcarea potenţială plană, permanentă, liniile echipotenţiale îşi
păstrează poziţia în timp. Liniile de curent coincid cu traiectoria.
Din definiţia liniei de curent rezultă :
v
dy
u
dx= sau 0=⋅−⋅ dxvdyu (19.19)
Din ecuaţia de continuitate rezultă:
y
v
x
u
∂
−∂=
∂
∂ )( (19.20)
Pentru integrarea ecuaţiei (19.19) este suficientă condiţia (19.20) care
arată că există o funcţie Ψ care satisface relaţia :
dxvdyud ⋅−⋅=Ψ (19.21)
sau
dxx
dyy
d∂
Ψ∂+
∂
Ψ∂=Ψ (19.22)
deci:
y
u∂
Ψ∂= şi
xv
∂
Ψ∂−= (19.23)
Funcţia ),( yxΨ se numeşte funcţia curent şi are proprietăţile:
a. este constantă în lungul unei linii de curent (v. ec. 19.19);
b. verifică ecuaţia de continuitate
022
=∂∂
Ψ∂−
∂∂
Ψ∂=
∂
∂+
∂
∂
yxyxy
v
x
u; (19.24)
c. verifică condiţia de irotaţionalitate
02
2
2
2
=
∂
Ψ∂+
∂
Ψ∂−=
∂
Ψ∂
∂
∂−
∂
Ψ∂−
∂
∂
yxyyxx; (19.25)
d. funcţiile de curent şi potenţial verificând ecuaţia lui Laplace sunt
funcţii armonice conjugate. Legătura între ele se exprimă prin condiţia Cauchy
– Riemann
yx ∂
Ψ∂=
∂
∂ϕ şi
xy ∂
Ψ∂−=
∂
∂ϕ; (19.26)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 409
e. cele două familii de curbe cyx =Ψ ),( şi cyx =),(ϕ sunt
ortogonale.
Fig. 19.2. Reprezentarea mişcării potenţiale
plane permanente
Din definiţia liniilor de curent se cunoaşte că vitezele sunt tangente la
acestea în fiecare punct (componenta normală a vitezei este nulă). Debitul
dintre două linii de curent se calculează considerând două linii de curent infinit
apropiate 1Ψ şi 2Ψ . Două puncte a şi b de pe cele două linii de curent au
coordonatele ),( yxa şi ),( dyydxxb +− (fig. 19.3).
Fig. 19.3. Calculul debitului dintre
două linii de curent
cbvacudq ⋅+⋅=
Ψ=∂
Ψ∂+
∂
Ψ∂=⋅−⋅= ddx
xdy
ydxvdyudq
Rezultă
12
2
1
Ψ−Ψ=Ψ= ∫Ψ
Ψ
dq (19.27)
Studiul şi rezolvarea problemelor la mişcările potenţiale plane se poate
efectua prin metode indirecte, metode directe şi metode experimentale.
ψ
ϕ
1
1
x
y ψ2
ϕ2
3ϕ
ψ3
4ψ
Hidraulică vol. II 410
19.2.1. Studiul mişcărilor potenţiale cu ajutorul
funcţiilor analitice de variabilă complexă
Cu ajutorul funcţiilor de variabilă complexă se pot trata problemele de
mişcări potenţiale plane în două moduri: indirect sau direct.
În cazul tratării indirecte se dă un potenţial complex şi se cere să se
studieze mişcarea potenţială plană care îi corespunde.
Funcţiile de bază care exprimă proprietăţile curgerii potenţiale plane –
),( yxϕ şi ),( yxΨ – sunt legate între ele prin ecuaţiile care exprimă în teoria
funcţiilor de variabilă complexă condiţiile Cauchy – Riemann.
Asociaţia complexă formată din cele două funcţii de două variabile
reale ),(i),( yxyx Ψ⋅+ϕ , este o funcţie de variabilă complexă
Ψ⋅+= izw ϕ)( (19.28)
cu variabila θθθ ierryxz ⋅=⋅+=⋅+= )sini(cosi .
Pentru orice mişcare potenţială se poate găsi o funcţie de variabilă complexă )(zw , a cărei parte reală este potenţialul vitezelor, iar partea
imaginară este funcţia curent. Cunoaşterea acestei funcţii complexe, după
separarea părţii reale şi imaginare, permite stabilirea elementelor hidraulice
caracteristice.
Viteza complexă se obţine prin derivarea potenţialului complex
Ψ⋅+= i)( ϕzw în raport cu variabila complexă yxz ⋅+= i :
xxdx
dw
∂
∂⋅+
∂
∂=
ψϕi , iar
yx ∂
∂−=
∂
Ψ∂ ϕ
deci
vuyxdx
dw⋅−=
∂
∂⋅−
∂
∂= ii
ϕϕ
Modulul vitezei complexe este viteza V , determinată prin compunere
ca în (fig. 19.4):
Vvudx
dw=+= 22
Fig. 19.4. Compunerea vitezelor la mişcările potenţiale plane
α
V
x
y
v
u1
i
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 411
În cazul tratării directe se dau domeniul în care are loc mişcarea
potenţială plană şi condiţiile la limită pentru viteză şi se cere potenţialul
complex )(zw care corespunde acestei mişcări; dacă se poate determina
potenţialul complex mişcarea poate fi studiată complet, pe o cale analoagă
tratării indirecte. Tratarea directă a problemelor de mişcări potenţiale plane este
adeseori foarte dificilă. Metodele de tratare directă sunt: 1) compunerea unor
mişcări cunoscute din studiul unor probleme indirecte, rezolvarea unor
probleme la limită pentru funcţiile potenţial şi de curent ),( yxϕ şi ),( yxΨ sau
potenţialul complex )(zw ; 2) metoda transformărilor conforme ale domeniilor
de mişcare pe domenii studiate; 3) metoda analitică aproximativă prin diferenţe
finite (metoda reţelelor); 4) metode experimentale.
19.2.2. Exemple de tratare indirectă a mişcărilor potenţiale plane
Cunoscute fiind familiile liniilor ϕ şi Ψ , mişcarea este determinată,
putând fi studiată din punct de vedere cinematic prin spectrul mişcării.
10. Curent plan paralel
Se consideră curentul definit prin potenţialul complex:
zazw ⋅=)( (19.29)
unde 21 i aaa ⋅−= este o constantă complexă. Funcţia complexă în acest caz
devine:
ψϕ ⋅+=⋅−⋅⋅+⋅+⋅=⋅+⋅−= i)(i)i)(i()( 212121 xayayaxayxaazw
Funcţia potenţial este:
yaxa ⋅+⋅= 21ϕ (19.30)
iar funcţia curent:
xaya ⋅−⋅= 21ψ (19.31)
Liniile de curent şi cele echipotenţiale se obţin pentru valori constante
ale lui ϕ şi Ψ , deci:
=⋅−⋅
=⋅+⋅
cxaya
cyaxa
21
21
curent de liniilepentru -
ialeechipotent liniilepentru - (19.31’)
Ecuaţiile reprezintă două familii de drepte ortogonale (fig. 19.5) având
înclinările:
2
1
a
atg −=α şi
1
2
a
atg =β
Hidraulică vol. II 412
Componentele vitezei sunt 1ax
u =∂
∂=
ϕ şi 2a
yv =
∂
∂=
ϕ, iar viteza
2
2
2
1 aaV += .
Fig. 19.5. Curent potenţial plan paralel
20. Mişcarea între laturile unui unghi drept
În acest caz potenţialul complex este:
2)( zazw ⋅= (19.32)
a fiind o constantă reală. Deci
ψϕ ⋅+=⋅⋅⋅⋅+⋅−⋅=⋅+⋅= ii2)i()( 222 yxayaxayxazw
Funcţia potenţial este:
22 yaxa ⋅−⋅=ϕ , (19.33)
iar funcţia curent:
yxa ⋅⋅⋅= 2ψ (19.34)
Liniile de curent şi cele echipotenţiale formează două familii de
hiperbole echilaterale având drept asimptote axele de coordonate şi bisectoarele
(fig. 19.6).
Fig. 19.6. Curent potenţial plan în interiorul
unui unghi drept
α
β
x
y
ψ
ϕ6
8
7ψ
6ψ
5ψ
4ψ
3ψ
ψ2
1ψ
5ϕ
4ϕ
ϕ3
ϕ2
ϕ1
x
y
ψ
ψ
ϕ
ϕ
ψ
ψ
ϕ
ϕ
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 413
30. Curent potenţial în interiorul laturilor unui unghi α
Potenţialul complex care generează mişcarea este:
( )a
w z zπ
αα
π
⋅= ⋅ (19.35)
Aplicând relaţia lui Moivre se obţine :
⋅+⋅⋅
⋅= θ
α
πθ
α
π
π
α α
π
sinicos)( ra
zw (19.36)
Funcţia potenţial este:
cra
=⋅⋅⋅
= θα
π
π
αϕ α
π
cos (19.37)
respectiv funcţia curent:
cra
=⋅⋅⋅
= θα
π
π
αψ α
π
sin (19.38)
Pentru diverse valori ale lui α se obţin:
a. 0=α – curent plan paralel;
b. 2
πα = ( ) ( ) cyx
ar
ar
a=−⋅=−⋅⋅=⋅⋅= 222222
2sincos
22cos
2θθθϕ
cyxarara
=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= θθθψ cossin2sin2
22
reprezintă două familii de hiperbole, curgere sub unghi drept;
c. 4
πα = (fig. 19.7)
cra
=⋅⋅= θϕ 4cos4
4
cra
=⋅⋅= θψ 4sin4
4
Fig. 19.7. Curent potenţial plan
în interiorul unui unghi 4
πα =
αx
y
ϕ
ϕ
ψ
Hidraulică vol. II 414
d. 2
3πα = (fig. 19.8);
Fig. 19.8. Curent potenţial plan sub un unghi 2
3πα =
e. πα 2= (fig. 19.9);
Fig. 19.9. Curent potenţial plan sub un unghi πα 2=
40. Sursă punctiformă. Izvor
Această mişcare este generată de potenţialul complex
zczw ln)( ⋅= (19.39)
unde c este o constantă reală.
Variabila
θθθ i)sini(cosi erryxz ⋅=⋅+⋅=⋅+= (19.40)
determină potenţialul complex
ψϕθθ ⋅+=⋅⋅+⋅=⋅⋅= iilnln)( i crcerczw
Funcţia potenţial este:
constrc =⋅= lnϕ , (19.41)
iar funcţia curent:
constc =⋅= θψ . (19.42)
În coordonate polare const=ϕ reprezintă cercuri concentrice, iar
const=ψ reprezintă drepte convergente (fig. 19.10).
ψ
ϕ
ϕ
α
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 415
r
c
rr =∂
∂=
ϕv
Debitul este:
crQ r ⋅⋅=⋅⋅⋅= ππ 2v2 ⇒ π⋅
=2
Qc .
Pentru sursa pozitivă (izvor pozitiv) 02
>⋅
=π
Qc ;
Pentru sursa negativă (izvor negativ) 02
<⋅
=π
Qc
Fig. 19.10. Sursă plană (izvor)
50. Mişcarea produsă de un vârtej rectiliniu infinit
Dacă un vârtej infinit lung produce în planul normal pe el o mişcare a
particulelor de fluid, mişcarea este o rotaţie potenţială. Potenţialul complex are
forma:
( ) rccerczczw lnilnilni)( i ⋅⋅−⋅=⋅⋅⋅−=⋅⋅−= θθ (19.43)
Funcţia potenţial
constc =⋅= θϕ (19.44)
reprezintă drepte convergente, iar funcţia curent
constrc =⋅−= lnψ (19.45)
reprezintă cercuri concentrice (fig. 19.11).
Componentele vitezei sunt:
0v =∂
∂=
rrϕ
; vc
r rθ
ψ∂= − = −
∂
Circulaţia vitezei este :
cr N ⋅⋅−=⋅⋅⋅=Γ ππ 2v2 ⇒ π⋅
Γ−=
2c
θ x
y
Vr
r
c=Q/2 >0
c=Q/2 <0
ϕ ψ
π
π
Hidraulică vol. II 416
În cazul rotaţiei potenţiale circulaţia Γ joacă rolul debitului, iar Nv
este viteza indusă de vârtej.
Fig. 19.11. Mişcarea potenţială plană produsă
de un vârtej rectiliniu infinit
60. Spectrul mişcării produs de două surse punctiforme
Mişcarea în acest caz este caracterizată prin potenţialul complex:
az
azQzw
−
+⋅
⋅= ln
2)(
π (19.46)
unde constanta reală a2 este distanţa dintre cele două surse punctiforme.
Prin înlocuirea:
1i1
θeraz ⋅=+ şi 2iθeraz ⋅=−
se obţine:
( )21
2
1
2iln
2)( θθ
ππ−
⋅⋅+⋅
⋅=
Q
r
rQzw (19.46’)
Funcţia potenţial este:
constln2 2
1 =⋅⋅
=r
rQ
πϕ (19.47)
şi funcţia curent:
( ) const2
21 =−⋅⋅
= θθπ
ψQ
(19.48)
Liniile de curent sunt locul geometric al punctelor sub care segmentul
21OO se vede sub unghi constant, cercuri ce trec prin 1O şi 2O , centrul lor
aflându-se pe axa ordonatelor.
Spectrul este format din două familii de cercuri ortogonale, cercurile
lui Appolonius.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 417
Când 0→a , iar valoarea aQ ⋅⋅2 este finită şi maQ =⋅⋅2 , mişcarea
se numeşte dipol.
( ) ( )2222 2
2
2
11
2 az
m
az
aQ
azaz
Q
dz
dw
−⋅⋅=
−⋅
⋅=
+−
−⋅
⋅=
πππ
20 2
limz
m
dz
dwa ⋅⋅
=→ π
Funcţia
cz
mzw +
⋅⋅−=
π2)( (19.49)
este potenţialul complex al mişcării potenţiale dipol. Spectrul mişcării este dat
de cercuri care trec prin dipol având centrele pe axele de coordonate
(fig. 19.12).
Fig. 19.12. Spectrul mişcării potenţiale produsă
de două surse punctiforme aflate la distanţa 2a
19.3. METODE DE TRATARE DIRECTĂ A PROBLEMELOR
DE MIŞCĂRI POTENŢIALE PLANE
19.3.1. Metoda transformărilor conforme
Prin metoda transformărilor conforme se pot studia mişcări mai
complicate prin transformarea unui domeniu d în care se produc, într-un alt
domeniu D pentru care se poate determina sau se cunoaşte potenţialul complex
al mişcării (fig. 19.13).
Când se dă funcţia de variabilă complexă )(zw sunt uşor de
determinat caracteristicile mişcării plane. Însă în general se dă domeniul
θθ
α
2a
r
r
x
y
0 0
12
1
2
1 2
Hidraulică vol. II 418
mişcării, cu condiţiile de contur ale mişcării şi trebuie determinată funcţia
)(zw . Aceasta se poate face folosind transformarea conformă a domeniului şi
conturului care-l limitează într-un domeniu pentru care există o funcţie
potenţial complex cunoscut.
O transformare )(zZZ = a unui domeniu d dintr-un plan z într-un
domeniu D dintr-un plan Z se numeşte conformă, dacă funcţia )(zZ este
olomorfă în d şi dacă derivata ei nu se anulează în acest domeniu (dacă se
îndeplinesc condiţiile Cauchy – Riemann în punctul respectiv). Transformarea
conformă păstrează asemănarea figurilor infinit mici (deci asigură
proporţionalitatea arcelor elementare şi egalitatea unghiurilor între curbe,
precum şi a sensurilor de parcurgere ale acestora).
Conform teoriei lui Riemann există întotdeauna posibilitatea
transformării conforme a unui domeniu simplu conex într-altul simplu conex.
În plus se respectă principiul unicităţii şi al corespondenţei sensului de
parcurgere a conturului: prin parcurgerea conturului lăsând la stânga domeniul
supus transformării, domeniul transformat de asemenea rămâne la stânga
conturului nou obţinut.
Fig. 19.13. Transformare conformă
Viteza complexă în planul transformat se exprimă prin raportul între
viteza complexă în planul iniţial şi derivata funcţiei de transformare. Dacă se
consideră o mişcare în planul z reprezentată prin potenţialul complex )(zw şi
funcţia de transformare )(zZZ = , atunci potenţialul complex al mişcării
corespunzătoare din planul Z se obţine din )(zw înlocuind pe z cu funcţia )(Zz
obţinută prin inversarea funcţiei de transformare )(zZ . Deci, din planul Z,
zZ
u
Z
z
z
w
Z
ZzwVU
d/d
iv
d
d
d
d
d
))((di
−=⋅==− (19.50)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 419
Circulaţia în planul transformat este egală cu circulaţia în planul
iniţial. Dacă se consideră mişcarea potenţială din exteriorul conturului închis c situat în planul z, dată de potenţialul complex ψϕ i)( +=zw atunci circulaţia
∫=Γc
c ϕd se poate calcula, observând că pe conturul închis c, care este o linie
de curent ( const.=cψ ) 0d =cψ , deci cccw ψϕ iddd += . Rezultă
( ) ∫∫ ∫ ===Γcc c
c z
zwzw
d
)(dddϕ . În mod analog, circulaţia cΓ în lungul conturului
C are expresia ( )( )
∫∫∫ =⋅==ΓcCC
C zz
zwZ
Z
z
dz
zwZ
Z
Zzwd
d
)(dd
d
d)(dd
d
d, aşadar
cC Γ=Γ (19.51)
În studiul mişcărilor potenţiale plane se întâlnesc numeroase exemple
de funcţii de transformare conformă. Transformările conforme prezintă
importanţă practică prin funcţia omografică, prin funcţii raţionale,
exponenţiale, logaritmice, trigonometrice.
Transformarea omografică c
dad-bc
dcz
bazZ -z 0, , ≠≠
+
+= poate fi
descompusă în trei transformări elementare: hzZ += , în care h este un număr
complex reprezentând o translaţie; kzZ = , reprezentând o omotetie pentru k
număr real şi pozitiv, o rotaţie pentru k număr complex de modul unitate şi o
omotetie combinată cu o rotaţie pentru k număr complex oarecare; z
Z1
= ,
reprezentând o inversiune (care transformă un cerc oarecare într-un cerc
oarecare, un cerc care trece prin origine într-o dreaptă oarecare, o dreaptă
oarecare într-un cerc care trece prin origine, o dreaptă care trece prin origine
într-o dreaptă care trece prin origine).
Transformarea conformă
0 ,2
≠+= zz
bzZ , (19.52)
se numeşte transformarea Jukovski. Aceasta transformă cercul de rază b cu
centrul în origine într-un segment de dreaptă de lungime 4b, aşezat pe axa 0X
din planul transformat, centrat faţă de origine şi parcurs de două ori (o tăietură
în planul complex Z). Pentru punctele cercului θiebz = rezultă
)sin i(cos)sin i(coseei -ii θθθθθθ −++=+=+= bbbbYXZ ,
0 ,cos2 == YbZ θ (19.53)
Hidraulică vol. II 420
Când θ variază de la 0 la π, X variază de la -2b la 2b, deci semicercul
superior este reprezentat pe partea superioară a segmentului din planul
transformat; analog, când θ variază de la π la 2π, X variază de la -2b la 2b, deci
semicercul inferior este reprezentat pe partea inferioară segmentului din planul
transformat. Transformarea Jukovski (19.53) transformă cercul de rază a > b
cu centrul pe axa 0y, pe axa 0x sau într-un punct oarecare al planului într-un arc
de cerc, un profil Jukovski simetric sau un profil Jukovski oarecare
(fig. 19.14).
aB
b=a
y
A
x
C
D
B'A'
X
Y
D
C
4b
aB
b
y
A
x
C
D
B'A'
X
Y
D'
C'
4b
aB
y
A
x
C
b
aB
b
y
A
x
C
B'
X
Y
2b2b
B'
X
Y
2b2b
A'
A'
Plan transformatPlan initial
Fig. 19.14. Transformarea Jukovski
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 421
În practică se foloseşte şi metoda transformărilor conforme în şir,
folosindu-se o serie de transformări intermediare cunoscute (fig. 19.15).
η ζY
X
Zy
x1
2 e
4eξ
→=−−− zeζ 2
→+=−−−−−−−ζ
ζe
Z
Fig. 19.15. Transformare conformă în şir
Transformările conforme sunt utilizate la rezolvarea unor probleme de
mişcări potenţiale plane. Fie curba închisă c în planul yxz i+= , iar în planul
YXZ i+= curba C obţinută prin transformare conformă ( )Zgz = . Dacă
)(zw este potenţialul complex al unei mişcări potenţiale plane în jurul
conturului c, atunci funcţia
))(()( ZgwZW = (19.54)
reprezintă potenţialul complex al unei mişcări potenţiale plane în jurul
conturului C (fig 19.16).
(c) (c)
( ) ( ) ( )[ ]( )zgfZWZgzzw =→=→ )(
Fig. 19.16. Transformare conformă la stabilirea potenţialului complex
în jurul unui contur oarecare
Deoarece
( ) ),(i),()())(w()(i),( YXYXZWZgx,yyxzw Ψ+Φ===+= ψϕ (19.55)
rezultă că în punctele omoloage din cele două plane Φ=ϕ şi Ψ=ψ , aşadar
liniilor echipotenţiale şi liniilor de curent din planul z le corespund tot linii
Hidraulică vol. II 422
echipotenţiale şi linii de curent din planul Z. Deci, deoarece conturul c este o
linie de curent, atunci şi C este tot o linie de curent.
Se poate aşadar studia mişcarea plană potenţială în jurul unui contur C
din planul Z, care necesită cunoaşterea potenţialului W(Z). Studiul se poate
reduce la studiul unei mişcări potenţiale plane în jurul unui contur c din planul
z de potenţial complex w(z), dacă se cunoaşte transformarea conformă a unui
domeniu în celălalt – lucru posibil conform teoriei Riemann. Dacă curba c din
planul z este un cerc cu central în origine şi rază a, potenţialul complex al
mişcării de translaţie în jurul cercului este ( )
+= ∞ z
azVzw
2
. Dacă se
cunoaşte funcţia care transformă domeniul din exteriorul conturului c în
domeniul din exteriorul conturului C, )(Zgz = , atunci mişcarea în jurul
conturului C este dată de potenţialul complex
+== ∞
)()())(()(
2
Zg
aZgVZgwZW (19.56)
Câteva exemple de folosire a transformărilor conforme sunt redate în
(fig. 19.17).
19.3.2. Metoda analitică aproximativă prin diferenţe finite
Metoda constă în principiu în determinarea spectrului mişcării
potenţiale plane prin integrarea cu diferenţe finite a ecuaţiei lui Laplace
0sau ,0 =∆=∆ ψϕ într-un domeniu (d) mărginit de o curbă simplă închisă c,
din planul x0y, unde sunt definite condiţiile limită ale problemei. Domeniul
mişcării se împarte cu ajutorul unui caroiaj (sau alte tipuri de reţele –
triunghiulare, hexagonale).
Ecuaţia lui Laplace
02
2
2
2
=∂
∂+
∂
∂
y
u
x
u (19.57)
se transformă într-o ecuaţie liniară cu diferenţe finite care se poate rezolva prin
metode cunoscute.
Pentru n noduri interioare ale reţelei rezultă n ecuaţii algebrice. Pentru
nodurile din vecinătatea conturului elementele diferenţiale se pot calcula prin
interpolare (liniară sau spline cubică), obţinându-se tot ecuaţii algebrice.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 423
Determinarea valorilor funcţiei ψ în nodurile reţelei permite trasarea
liniilor de curent, determinarea vitezelor din relaţiile y
vy
u∂
∂−=
∂
∂=
ψψ , ,
determinarea presiunilor (cu relaţia lui Bernoulli), determinarea debitului
printr-o curbă oarecare. Metoda este cu atât mai precisă cu cât reţeaua este mai
deasă.
Prin această metodă se pot rezolva problemele legate de curgerea peste
deversoare, peste clapete etc.
( ) →= ∞ zVzw →+= 2
Z
aZz ( )
+= ∞ Z
aZVZW
2
( ) →= Zzw →= Zz ( ) ZzW =
( ) →+= Z
1 Zzw →= Zz ( )
ZZzW
1+=
Fig. 19.17. Exemple de transformări conforme
Hidraulică vol. II 424
19.3.3. Metode experimentale
10. Metoda Praşil materializează liniile de curent cu ajutorul unui
colorant - permanganat de potasiu presărat pe fundul unei cuve foarte plată.
Lichidul dizolvă o parte din cristale şi soluţia colorată este antrenată pe firul de
curent, vizualizându-se astfel mişcarea (fig. 19.18). Pentru vizualizarea liniilor
de curent de la suprafaţa lichidului se poate utiliza praf de licopodium, de
aluminiu sau diverşi plutitori.
Fig. 19.18. Colorarea firelor de curent
cu cristale de permanganat de potasiu
20. Metoda Hele Shaw foloseşte o mişcare laminară între doi pereţi
plani paraleli aşezaţi la distanţă foarte mică. Vizualizarea firelor de curent se
face cu ajutorul unui număr suficient de mare de injectoare fine din care iese un
lichid colorat (fig. 19.19). Mişcarea fiind laminară, firele de curent îşi păstrează
individualitatea.
Fig. 19.19. Vizualizarea liniilor de curent în metoda experimentală Helle Shaw
30. Metoda analogiei electrohidrodinamică se bazează pe analogia
formală între ecuaţiile mişcării potenţiale plane şi ecuaţiile propagării
curentului electric într-un mediu rezistiv omogen, prezentată mai jos.
Fenomen hidrodinamic Fenomen electrodinamic Potenţialul de viteză φ Potenţialul electric U
Linia echipotenţială φ = ct. Linia echipotenţială U = ct.
Elementul unei linii de curent = ds Elementul unei linii de curent = ds
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 425
Viteza s
v∂
∂=
ϕ Intensitatea curentului
s
Uci
∂
∂=
(c – coeficient de conductibilitate)
Linia de curent, suprafaţa liberă sau Linia de curent, sau suprafaţa
hidroizolatoare sn dd ⊥ electroizolatoare sn dd ⊥
0=∂
∂
n
ϕ 0=
∂
∂
n
U
În (fig. 19.20) se prezintă aplicarea metodei la studiul mişcării
potenţiale plane prin aspiratorul unei turbine. Dacă se creează o diferenţă de
potenţial între şinele conducătoare 1 şi 2 se stabileşte un curent electric în
stratul de electrolit prin rezistenţele (R3 şi R4) şi un alt curent prin
potenţiometru (R1 şi R2). Se fixează contactul 3 şi se deplasează creionul
conductor 4 astfel încât galvanometrul G să indice 0; în acest fel se trasează o
linie echipotenţială.
electrolit
izolator
V
AAc
K
R1 R2
V
R4R3
1
G
R
3
R1 R2
R4R3
3
2
4
1
4
Fig. 19.20. Aplicarea metodei analogiei electrohidrodinamice la studiul
mişcării potenţiale plane prin aspiratorul unei turbine
Hidraulică vol. II 426
19. 4. APLICAŢII
10. Să se studieze mişcarea potenţială plană caracterizată prin
potenţialul complex a). czzw =)( , 0>∈ Rc , Cz ∈ ; b). czzw i)( = , 1i −= ,
0>∈ Rc , Cz ∈
Rezolvare. a. Variabila z se poate scrie în sistemul de coordonate
xOy :
yxz i+=
Deci cycxyxczw i)i(i)( +=+=+= ψϕ .
Rezultă cx=ϕ şi cy=ψ .
Pentru ikcx ==ϕ se obţine o familie de drepte paralele cu axa Oy (linii de
egal potenţial).
Pentru ijcy ==ψ se obţine o familie de drepte paralele cu axa Ox (linii de
curent).
Reprezentarea grafică a celor două familii de drepte (fig. 19.21) dă
spectrul hidrodinamic al mişcării.
Fig. 19. 21. Spectrul hidrodinamic al mişcării
caracterizate prin potenţialul complex czzw =)(
Componentele vitezei sunt:
Cx
u =∂
∂=
ϕ; 0=
∂
∂=
yv
ϕ
Deci, în orice punct al planului, viteza are numai componenta ∞== vcu .
Analiza spectrului arată că este vorba de o mişcare permanentă uniformă pe
direcţia x . Deci zvzw ∞=)( .
b. Se procedează analog punctului a.
Variabila z se poate scrie în sistemul de coordonate xOy :
yxz i+=
y
0 x
=const
=constϕ
ψ
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 427
Deci cycxzw −=+= ii)( ψϕ .
Rezultă cy−=ϕ şi cx=ψ .
Se obţine pentru: ikcy =−=ϕ – reprezintă familia liniilor de
potenţial (drepte paralele cu axa Ox )
ijcx ==ψ – reprezintă familia liniilor de curent (drepte paralele cu
axa Oy )
Spectrul hidrodinamic (fig. 19.22) este inversat faţă de cazul
precedent. Componentele vitezei sunt 0=∂
∂=
xu
ϕ şi c
yv −=
∂
∂=
ϕ, deci viteza
are numai componenta după axa y , ∞=−= vcv . Este vorba deci de o mişcare
permanentă uniformă pe direcţia y . Rezultă zvzw ∞= i)( .
Fig 19. 22. Spectrul hidrodinamic al mişcării
caracterizate prin potenţialul complex
czzw i)( =
20. Să se traseze spectrul hidrodinamic al mişcării cu potenţialul
zCzw e)( ⋅= , RC ∈ , Cz ∈ .
Rezolvare.
Variabila z se scrie în sistemul de coordonate xOy :
yxz i+=
Deci potenţialul complex devine:
yxyx CCzw ii eee)( ⋅⋅=⋅= + ,
unde
yyy sinicosei += .
Rezultă:
yCyCzw xx sineicose)( ⋅⋅⋅+⋅⋅=
y
0x
=const
=constϕ
ψ
Hidraulică vol. II 428
ψϕ i)( +=zw
Deci =⋅⋅= yC x coseϕ const. – familia liniilor echipotenţiale;
=⋅⋅= yeC x sinψ const. – familia liniilor de curent.
Componentele vitezei sunt:
yCx
v xx cose ⋅⋅=
∂
∂=
ϕ
yCy
v xy sine ⋅⋅−=
∂
∂=
ϕ
Pentru 1=C , ]2,0[ π∈y , ]5,0[∈x şi ψϕ ∆=∆ rezultă
0=ϕ 0=x 57,1=y 0=ψ 0=x 0=y
5=x 57,1=y 5=x 0=y
10,0=ϕ 0=x 47,1=y 10,0=ψ 0=x 1,0=y
5=x 57,1=y 5=x 41073,6 −⋅=y
20,0=ϕ 0=x 39,1=y 20,0=ψ 0=x 20,0=y
5=x 569,1=y 31034,1 −⋅=y
00,1=ϕ 0=x 0=y 00,1=ψ 0=x 57,1=y
5=x 564,1=y 5=x 31073,6 −⋅=y
Prin reprezentare în planul xOy rezultă spectrul hidrodinamic din
(fig 19.23).
Fig. 19. 23. Spectrul hidrodinamic al mişcării
caracterizate prin potenţialul complex zCzw e)( ⋅=
x
y
0
=1,00
5
/2
ψ
=1,00ϕ
=0ϕ
=0ψ
π
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 429
30. Să se traseze diagrama distribuţiei presiunilor hidrodinamice pe un
stăvilar plan dreptunghiular cu deschiderea 2,0=a m şi adâncimea apei în
amonte 4=H m (fig. 19.24).
Fig. 19.24. Distribuţia presiunilor pe stavilă
în regim hidrostatic
Rezolvare. În regim hidrostatic (stavilă total închisă) distribuţia
presiunilor este liniară (fig. 19.24).
Prin deschiderea stavilei, mişcarea apei către stăvilar se poate asimila
cu mişcarea potenţială spre o sursă negativă, având potenţialul complex
zq
zw ln2
)(π
−= unde b
Qq =
În coordonate polare se scrie :
θie⋅= rz şi )i(ln2
eln2
i)( i θππ
ψϕ θ +−=⋅−=+= rq
rq
zw
Liniile echipotenţiale şi de curent rezultă din =−= rq
ln2π
ϕ const.,
respectiv =−= θπ
ψ2
qconst., adică primele sunt cercuri concentrice cu centrul
în polul O , iar celelalte reprezintă un fascicul de drepte radiale (convergente în
pol), (fig. 19.25).
Viteza are direcţie de asemenea radială
r
q
r
rx
⋅⋅−=
∂
∂=
π
ϕ
2v
iar produsul r⋅v are valoarea constantă pentru =q const., în ipoteza unei
valori mici a raportului Ha .
Linia paramentului amonte al stăvilarului este o linie de curent pe care
o notăm Axa −−−0 . Pe această linie putem scrie
AAaaxx rrr ⋅=⋅=⋅ vvv , adică Har Aaxx ⋅=⋅=⋅ vvv
a
H
Distributia
presiunilor inregim hidrostatic
0
Hidraulică vol. II 430
Aplicând ecuaţia Bernoulli pe această linie între secţiunile aA − şi
xA − , cu planul de referinţă la fundul canalului rezultă
g
ag
pr
gH ax
xA
2
v
2
v
2
v 222
+=++=+γ
în care a
H Aa
vv
⋅= şi
x
Ax r
H vv
⋅= .
Deci aHa
H
gA −=
−1
2
v2
22
şi aH
a
gA
+=
22
2
v
Rezultă x
Ax r
Hv ⋅=v ,
2
222 v
vx
Ax
r
H⋅= şi
2
222
2
v
x
x
r
H
aH
a
g⋅
+=
Ţinând cont de relaţiile anterioare rezultă
−⋅⋅−−=
−⋅
+−−=⋅
+−−
++= −
116
105,9412
3
2
22
2
222
x
x
x
x
x
xr
rr
H
aH
arH
r
H
aH
ar
aH
aH
p
γ
care este legea de distribuţie a presiunilor pe stăvilar în regim dinamic
(fig. 19.25). Pentru câteva valori ale lui xr între ara = şi HrA = rezultă
presiunile în punctele respective:
2,0=xr 05,3=γp 5,0=xr 21,3=γp
1=xr 85,2=γp 2=xr 93,1=γp
3=xr 96,0=γp 4=xr 0≅γp
Fig. 19.25. Distribuţia presiunilor pe
stavilă în regim dinamic
0
r
a
A
x
a
=constψ
=constϕ
Hidraulică vol. II 431
CAPITOLUL 20
MIŞCAREA APELOR SUBTERANE
Mişcarea apelor subterane face parte din problema generală a mişcării
fluidelor prin medii poroase, particularizarea constând în natura celor două faze
inseparabile:
- faza solidă – mediul poros este roca dezagregată sau fisurată;
- faza lichidă – apa subterană.
În prealabilul studiului se fac câteva referiri succinte asupra fazei
lichide si solide.
a. Faza lichidă – apa subterană se găseşte în roca permeabilă sub
următoarele forme:
- apă legată, sub forma apei de higroscopicitate şi apa peliculară sunt
reţinute într-un strat subţire în jurul particulelor solide prin forţe de absorbție şi
de adeziune. Aceste forme de apă sunt strâns legate de scheletul solid, nu
participă la mişcare şi nu transmit presiunea;
- apa capilară este reţinută prin acţiunea tensiunii superficiale în
interspaţiile dintre particulele de solid. Această formă de apă se mişcă sau este
în echilibru sub acţiunea forţelor capilare şi gravitaţiei şi transmite presiunea;
- apa gravitaţională ocupă restul spaţiului din scheletul solid şi se
supune legilor gravitaţiei. Această apă liberă constituie partea activă a apei
subterane, de această apă se ocupă hidraulica subterană. Anumite aspecte, mai
generale, sunt studiate de hidrogeologie.
b. Faza solidă este constituită din pământ (geotehnic), sol (pedologic)
şi mai rar roci fisurate. Terenul este întotdeauna neomogen şi anizotrop. Totuşi
în studiul mişcării se obţin rezultate satisfăcătoare pentru practica inginerească
considerând domeniul mişcării - în totalitate sau pe porţiuni - omogen şi
izotrop. Principalele caracteristici geometrice ale fazei solide reprezintă curba
granulometrică, diametrul caracteristic şi forma particulelor, porozitatea (indicele porilor), porozitatea de cedare şi de reţinere.
Presupunerea omogenităţii şi izotropiei scheletului solid, la care se
adaugă forma geometrică a domeniului, se numeşte schematizarea condiţiilor
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 432
naturale. Natura este însăşi realitatea (în toată complexitatea ei), pe care o
considerăm prin intermediul schemei sale.
Operaţia de schematizare este foarte importantă în calculele referitoare
la mişcarea apei subterane (ca de altfel în orice calcul tehnic). Schematizarea
terenurilor permeabile se referă atât la caracteristicile lor de a lăsa apa să treacă,
cât şi la cauzele care provoacă mişcarea şi care în calcule se materializează prin
condiţiile de margine şi iniţiale.
Calculele de mişcare ale apelor subterane se fac pe scheme. De aici
rezultă că oricât de bun şi exact ar fi calculul, la o schemă necorespunzătoare,
rezultatele sunt eronate. Totdeauna există o incertitudine asupra corectitudinii
schemei - proprietăţile terenului se determină prin sondaje (deseori în poziţie
arbitrară), între ele caracteristicile terenului fiind considerate identice sau
mediate.
Mişcarea apelor subterane numită filtraţie, infiltraţie sub acţiunea
gravitaţiei şi aplicaţiile sale în ingineria civilă şi a mediului se numeşte
hidraulică subterană.
Aplicarea legilor din hidrodinamica apelor subterane necesită
schematizarea mediului şi a condiţiilor de margine.
Metodele de soluţionare a infiltraţiilor se pot realiza prin:
- metode analitice;
- metode numerice iterative;
- metode grafice prin aproximaţii succesive;
- metode analogice (electrice, hidraulice);
- metode experimentale (la scară naturală sau modele).
Se apelează la ipoteze simplificatoare privind cinematica curenţilor, ca:
- ipoteza Dupuit-Forchheimer, prin care se consideră că liniile de
curent sunt paralele cu un plan dat;
- ipoteza Dupuit generalizată, prin care liniile de curent sunt orizontale
în strate foarte permeabile şi verticale în strate foarte puţin permeabile;
- ipoteza Hooghoudt, în care în zonele cu surse punctiforme se
consideră liniile de curent radiale.
20.1. SCHEMA TEORETICĂ A CURGERII PERMANENTE
A APEI SUBTERANE ÎN REGIM SATURAT
Mişcarea apei subterane, când toţi porii sunt ocupaţi de apă se numeşte
filtraţie. Când parte din goluri este ocupată şi de aer (fază gazoasă) se vorbeşte
de infiltraţie. În funcţie de direcţia mişcării în diferite domenii ale ştiinţei se
Hidraulică vol. II 433
utilizează diferite denumiri pentru mişcarea fazei fluide (exfiltraţie, penetraţie,
percolaţie şa).
20.1.1. Schematizarea curgerii
La curgerea permanentă a apei subterane în regim saturat mişcarea
prin golurile dintre particulele solide ale scheletului se înlocuieşte cu o mişcare aparentă care ar avea loc pe toată secţiunea ocupată şi de scheletul solid şi de
apă (pori) cu condiţia ca debitul volumic în ambele cazuri să fie identic
(fig. 20.1).
AgpA
Ag , Vr , VAΣ
Fig. 20.1. Schema filtraţiei permanente
vv ⋅=⋅= AAQ rr (20.1)
unde ∑= gr AA este aria reală a golurilor într-o secțiune; pA - aria secţiunii
particulei; A
An g∑
= - porozitatea; vr – viteza reală a apei pe secţiunea porilor;
v - viteza aparentă pe secţiunea; ∑ ∑+= pg AAA .
Ţinând seama de porozitate, viteza reală este
nrv
v = (20.2)
(De fapt apa nu circulă pe întreaga secţiune a porilor, parte este ocupată de apa
strâns legată, parte de apa capilară. Suprafaţa din goluri ocupată de apă strâns
legată şi apă capilară raportată la secţiunea totală este porozitatea de reţinere
rn , în restul golurilor, caracterizate de porozitatea de cedare cn , curge apa
gravitaţională. Astfel, cr nnn += şi viteza de mişcare considerată uniformă
este c
rc n
vv = ).
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 434
20.1.2. Legea fundamentală a filtraţiei (legea lui Darcy)
Relaţia între gradientul hidraulic I şi caracteristicile cinematice ale
curentului de apă subteran au fost stabilite de H. Darcy în 1856. Experienţele
efectuate conform schemei din (fig. 20.2), pe un material poros (nisip cu pietriş
cu porozitatea n = 0,38) au vizat stabilirea debitului filtrat sub sarcină şi
secţiune aparentă cunoscute:
21 hhh −=∆ ; I h L= ∆ (20.3)
A rezultat că, într-o mişcare permanentă debitul filtrat este în
dependență liniară cu secţiunea aparentă, gradientul hidraulic şi un factor de
proporţionalitate k numit coeficientul filtraţiei.
IkAL
hkAQ ⋅⋅=
∆⋅⋅= (20.4)
Caracteristici material:
58 % din greutate d = 0,77 mm
13 % din greutate d = 1,10 mm
12 % din greutate d = 2,00 mm
17 % pietriş
n = 0,38
Fig. 20.2. Schema instalaţiei lui H. Darcy
În determinări, mişcarea apei este ascendentă pentru a asigura regim
saturat.
Coeficientul de filtraţie are semnificaţia unei viteze aparente pentru
gradientul hidraulic unitar.
Scriind ecuaţia (20.4) pentru viteza aparentă între două secţiuni infinit
vecine se obţine forma diferenţială a legii lui Darcy.
IkdLdhk ⋅=⋅=v (20.5)
Materialpermeabil
Q
LA
∆h
Hidraulică vol. II 435
20.1.3 Domeniul de valabilitate al legii lui Darcy
Legea liniară a lui Darcy pentru viteza aparentă a filtraţiei a fost
confirmată de numeroase studii experimentale pentru anumite limite. Ea
corespunde pentru mişcarea apei subterane atunci când se pot neglija forţele de
inerţie, deci pentru viteze şi, implicit, numere Reynolds mici.
Legea lui Darcy este valabilă numai pentru o parte a regimului de
curgere laminar şi este limitată atât superior cât şi inferior (fig. 20.3).
Fig. 20.3. Domeniul de valabilitate al
legii lui Darcy
Exprimând gradientul hidraulic, în forma uzuală după Weisbach,
gd
I2
v2
⋅=λ
(20.6)
cu
ba
+==Re
(Re)λλ (20.7)
în care: ν
d⋅=
vRe , iar a şi b - coeficienţi. Graficul formei funcţiei (Re)λ
evidenţiază limita de valabilitate a legii lui Darcy (fig. 20.4) pentru 'ReRe cr< .
Valoarea 'Re cr după diferiţi autori şi medii permeabile diferite, ia valori după
cum urmează:
Fig. 20.4. Valabilitatea legii
lui Darcy
V
Q
I
Imin
minV Vmax
lg λλ = a
R e
aλ =R e
+ b λ = b
L a m in a r T u rb u le n tL e g e a lu iD a ra y
lg R eR eR e 'c r c r
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 436
- Pavlovschi: 9....5,7v
23,075,0
1Re 10' <
⋅⋅
+=
ν
d
ncr ,
unde n - porozitatea, 10d - diametrul efectiv;
- Lindquist: 4v
Re' =⋅
=ν
mcr
d pentru nisip omogen;
- Schneebeli: 5v
Re' =⋅
=ν
mcr
d pentru nisip omogen;
2v
Re 10' =⋅
=ν
dcr pentru nisip neomogen;
- Mind şi Subert
2)1(6
vRe' =
−⋅
⋅=
n
dcr
αν cu α - coeficient de formă (1,3….1,4).
Limita inferioară a legii lui Darcy corespunde gradientului hidraulic iniţial de la care are loc filtraţia. Valoarea sa variază cu umiditatea, însă
minima gradientului iniţial corespunde saturaţiei.
Experimental s-a demonstrat că legea liniară a lui Darcy este valabilă
pentru 0,03 ‰ ≤ I ≤ 5 %.
20.1.4. Coeficientul de filtraţie şi de permeabilitate
Exprimând coeficientul filtraţiei din (20.4) şi înlocuind gradientul
hidraulic din (20.7) se obţine:
2 2
2
v v 2 2 2
1 v ν
Re 2
p
d g dk k
aI a a
d g
ρ γ γ
ρ µ µ
⋅= = = ⋅ = ⋅ = ⋅
⋅⋅ ⋅
(20.8)
în care adk p
2
= este coeficientul de permeabilitate.
Acesta depinde numai de caracteristicile mediului poros pe când
coeficientul de filtraţie depinde şi de caracteristicile fazei fluide prin greutatea
specifică γ şi coeficientul dinamic al vâscozităţii µ .
Dimensional coeficientul de permeabilitate este o suprafaţă ( 2L ) şi se
poate determina după relaţii empirice, de forma:
xp ndck ⋅⋅= 2
astfel:
Hidraulică vol. II 437
- după Schlichter: 3,32 ndck p ⋅⋅= ;
- după Bahmetev: 3/42 ndck p ⋅⋅= ;
- după Casagrande: 2
85,04,1 ekk p ⋅= ;
în care c este o constantă, n - porozitatea, e - indicele porilor, iar 85,0k -
coeficientul de filtraţie pentru 10 °C şi un indice al porilor de 0,85.
Coeficientul filtraţiei depinde de diametrul particulelor, de suprafaţa
lor specifică, de porozitate, precum şi de vâscozitate şi greutatea specifică a
apei, deci de temperatură.
Dependenţa coeficientului de filtraţie de temperatură se defineşte prin
relaţiile variaţiei vâscozităţii şi greutăţii specifice a apei.
Coeficientul de filtraţie este influenţat de conţinutul de aer din
materialul permeabil care obturează parţial interstiţiile. Mişcarea apei în regim
nesaturat este afectată de prezenţa aerului care blochează parte din pori. Chiar
apa cu conţinut de aer dacă circulă prin porii mediului, prin eliberarea parţială a
aerului absorbit modifică, reduce coeficientul de infiltraţie. Fenomenul are o
anumită dinamică în timp până când se ajunge la o stare de echilibru.
Precizarea variaţiei coeficientului de infiltraţie în timp nu se poate aprecia
teoretic şi poate fi diferită chiar la acelaşi material permeabil în funcţie de
temperatură, grad de aerare a apei etc (fig. 20.5).
Fig. 20.5. Variaţia coeficientului de
infiltraţie în timp
Alt factor care influenţează hotărâtor coeficientul de infiltraţie este
tasarea. Orientativ efectul tasării intervine prin relaţia:
3
030
0
11
−−⋅=
α
α n
nkk (20.9)
în care 0k şi 0n sunt coeficientul de infiltraţie, respectiv porozitatea iniţială, iar
α - indicele de tasare (raportul volumului aparent după şi înainte de tasare).
saturat
nesaturat
k(m/s)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 438
Coeficientul de infiltrație este influenţat şi de colmatarea mediului
permeabil. Colmatarea poate fi de natură fizică, chimică sau biologică.
Aprecierea cantitativă a efectului colmatării asupra coeficientului de infiltraţie
se poate realiza numai prin măsurători experimentale.
Determinarea coeficientului de infiltraţie se efectuează în laborator şi
pe teren după metode specifice acceptate diferitelor domenii (geotehnică,
pedologie, culturi irigate, hidrogeologie, hidraulică subterană etc.).
20.1.5. Legea filtraţiei în afara zonei de valabilitate
a legii lui Darcy
Mişcarea apei subterane pentru 'ReRe cr> este descrisă de alte legi
decât cea liniară a lui Darcy.
Pentru crReRe > , mişcarea este turbulentă şi b=λ (constant). Panta
hidraulică în expresia lui Weisbach este:
gd
bI
2
v2
⋅= sau ⋅⋅
=b
dg2v IkI t ⋅= (20.10)
în care, prin bdgkt /2 ⋅= s-a definit un coeficient valabil pentru mişcările
turbulente şi care depinde de diametrul particulelor mediului permeabil,
respectiv de suprafaţa specifică de solid şi porozitate (prin b).
După Shneebeli n
ndckt
−
⋅=
1
3
10 , unde c este o constantă, iar după
Escande 5,0
1008,7 dkt ⋅= .
Pentru crcr ReReRe' << dependenţa vitezei filtraţiei este mai
complicată, ba += Re/λ , pentru gradientul hidraulic rezultând expresia:
2vv ⋅+⋅= βαI (20.11)
Lindquist, pentru aceasta zonă a aproximat viteza aparentă prin:
IkIba
dgtr ⋅=⋅
+
⋅=
Re)(v
2
ν (20.12)
Pentru medii permeabile omogene 1100=a şi 12=b , iar pentru
medii permeabile neomogene 1100=a şi 30=b .
Hidraulică vol. II 439
20.1.6. Mişcarea apei subterane în medii poroase stratificate
Apa subterană este cantonată sau se mişcă în stratele permeabile sub
acţiunea gravitaţiei. Stratele permeabile şi impermeabile alternează, în
interiorul lor putând exista diferite incluziuni cu caracteristici permeabile
diferite (fig. 20.6).
Fig. 20.6. Apa subterană în acvifer stratificat
Mişcarea apei subterane poate avea loc sub presiune (fig. 20.7) liniile
de curent fiind drepte paralele, iar liniile echipotenţiale normale pe acestea. În
lungul curentului nivelul piezometric scade spre aval.
piezometre
linii de curent
gro
sim
e s
tra
t
acoperis
strat purtator
pat impermeabil
linii
echip
ote
ntiale
Stratificare sol
impermeabil
permeabil
pu
rta
tor
I Nivel piezometric
Fig. 20.7. Mişcarea sub presiune a apelor subterane
În situaţia când nivelul apei subterane nu ajunge la tavanul
impermeabil, mişcarea este cu nivel liber, pe toată suprafaţa liberă presiunea
fiind constantă şi egală cu cea atmosferică. Mişcarea are loc cu “consum” de
energie de poziţie, nivelul liber scade continuu în lungul curentului (fig. 20.8).
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 440
Fig. 20.8. Mişcarea cu nivel liber a apelor subterane
Filtraţia (infiltraţia) poate avea direcţie orizontală (qvasiorizontală) sau
verticală. În mediul poros stratificat fiecărui strat j îi corespunde un coeficient
de filtrație (infiltraţie), jk . Presupunând că mişcarea se supune legii lui Darcy,
rezultă:
10. La mişcare orizontală (fig. 20.9) alegând axa de coordonate x în
direcţia mişcării debitul specific filtrat pe fiecare strat este:
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
Iakq
Iakq
Iakq
333
222
111
(20.13)
respectiv debitul specific total filtrat este:
ja akIIakakakqqqq )()( 33211321 ⋅∑=⋅+⋅+⋅=++= (20.14)
Acceptând o mişcare ipotetic uniformă pe tot domeniul avem:
eq k a I= ⋅ ⋅ (20.14’)
în care produsul
( )e jT k a k a= ⋅ = ⋅∑ (20.15)
poartă numele de transmitivitatea mediului poros. Coeficientul de filtraţie global (echivalent) este:
( ) j
e
j
k ak
a
⋅=∑∑
(20.16)
Hidraulică vol. II 441
S-a notat ∑= jaa . Mişcarea în fiecare strat are loc sub aceeaşi sarcină
piezometrică (respectiv panta I)
k1
k2
k3
linie piezometrica
Tavan impermeabil
a1
2a
3a
pat impermeabil
x
1
2
3
q
q
q
q
Fig. 20.9. Definirea transmisivităţii şi coeficientului de filtraţie
echivalent la mişcări paralele cu stratificaţie
20. La mişcarea verticală (fig. 20.10) debitul specific filtrat (pe unitate
de suprafaţă) este acelaşi pentru toate stratele, deci şi viteza aparentă, însă
mişcarea are loc sub sarcini diferite, deci
⋅=−−
⋅=
⋅=−−
⋅=
⋅=−−
⋅=
3
343
3
433
2
232
2
322
1
121
1
211
vsau v
vsau v
vsau v
k
ahh
a
hhk
k
ahh
a
hhk
k
ahh
a
hhk
(20.17)
Însumând relaţiile (20.17) se obţine:
∑=−=∆j
j
k
ahhh v41 (20.18)
sau
∑
∆=
j
j
k
ah
v (20.19)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 442
Fig. 20.10. Filtraţia pe verticală
20.2. BAZELE HIDRODINAMICE ALE FILTRAŢIEI
Acceptând modelul filtraţiei (Darcy) şi ţinând seama că nu este
necesară determinarea vitezei şi presiunii pentru fiecare particulă fluidă,
mişcării apelor subterane i se pot aplica ecuaţiile clasice ale hidrodinamicii
(Navier – Stokes), scrise sub forma:
1
v 1
1
du pFx Rx
dt x
d pFy Ry
dt y
dw pFz Rz
dt z
ρ
ρ
ρ
∂= − ⋅ +
∂ ∂
= − ⋅ +∂
∂= − ⋅ +
∂
(20.20)
în care u, v, w, sunt componentele vitezei V după axele de coordonate; Fx, Fy,
Fz - componentele forţei masice pentru unitatea de masă; z
p
y
p
x
p
∂
∂
∂
∂
∂
∂,, -
componentele forţei elastice, iar Rx, Ry, Rz - componentele forţei tangenţiale
(de frecare).
Se urmăreşte obţinerea componentelor vitezei în funcţie de sarcina
piezometrică şi caracteristicile mediului poros.
Viteza aparentă a filtraţiei (supusă legii lui Darcy) fiind foarte mică se
acceptă neglijarea forţelor de inerţie (rezultate din acceleraţie), deci
0v
===dt
dw
dt
d
dt
du (20.21)
Hidraulică vol. II 443
În câmpul gravitaţional componentele forţei masice pentru masă
unitară sunt:
,0=Fx 0=Fy şi gFz −= (20.22)
Termenii caracteristici forţei elastice se determină conform
(fig. 20.11), considerând o linie de curent subteran în mediu poros raportat la
un sistem cartezian. Liniile de curent pe distanţe mici respectă ipoteza Dupuit –
Forchheimer (sunt paralele şi qvasiorizontale).
Fig. 20.11. Mişcarea în lungul
liniei de curent
Sarcina totală este:
zp
H +=γ
(20.23)
Se derivează sarcina în raport cu axele de coordonate, obţinând:
−
∂
∂=
∂
∂⋅
∂
∂⋅+=
∂
∂∂
∂⋅=
∂
∂⋅
∂
∂⋅=
∂
∂∂
∂⋅=
∂
∂⋅
∂
∂⋅=
∂
∂
11
sau1
1
1sau
1
1sau
1
z
Hg
z
p
z
p
z
Hy
Hg
y
p
y
p
y
Hx
Hg
x
p
x
p
x
H
ργ
ργ
ργ
(20.24)
Componentele forţei de frecare rezultă din proiecţia acesteia şi se
determină prin egalarea lucrului mecanic realizat de acestea pe unitatea de
greutate de lichid pe distanţa ds cu pierderea de energie:
dHgmdsR ⋅⋅=⋅− ;
cu m = 1 kg , rezultă:
k
VgIg
ds
dHgR ⋅−=⋅−=⋅−= (20.25)
Proiecţiile forţei de frecare sunt:
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 444
⋅−=
⋅−=
⋅−=
k
wgRz
kgRy
k
ugRx
v (20.26)
şi ecuaţiile diferenţiale ale mişcării (20.20) devin:
∂
∂⋅−=
∂
∂⋅−=
∂
∂⋅−=
z
Hkw
y
Hk
x
Hku
v (20.27)
Ecuaţiile (20.27) sunt ecuaţiile diferenţiale ale mişcării apelor
subterane supuse legii lui Darcy şi arată că proiecţiile vitezei aparente ale
filtraţiei sunt derivatele parţiale ale unei funcţii spaţiale cHk +⋅−=ϕ
)( cHkgradgradV +⋅−== ϕ (20.28)
Mişcarea apelor subterane supuse legii lui Darcy este deci o mişcare
potenţială.
Astfel, studiul mișcării apelor subterane supuse legii lui Darcy se
poate realiza prin teoria mişcărilor potenţiale.
Funcţiile ),,( zyxϕ şi ),,( zyxH satisfac ecuaţia de continuitate,
rezultând ecuaţia lui Laplace
02 =∇ ϕ , respectiv 02 =∇ H ,
ambele fiind funcţii armonice.
Din ecuaţia liniilor de curent şi irotaţionalităţii se obţine conjugata
funcţiei potenţial, funcţia curent ),,( zyxψ .
Proprietăţile funcţiilor potenţial şi curent sunt prezentate în cap 19.
Integrarea ecuaţiilor Laplace permite determinarea funcţiei ),,( zyxH
din care, apoi, se pot determina componentele vitezei şi presiunea.
În cazul mişcărilor plane (ex. plan verticale) potenţialul vitezelor, care
satisface ecuaţia lui Laplace:
02
2
2
2
=∂
∂+
∂
∂
zx
ϕϕ (20.29)
poate constitui partea reală a unei funcţii f de variabilă complexă
Hidraulică vol. II 445
ψϕ iZf +=)( (20.30)
unde
izxZ += (20.31)
este variabila complexă.
Funcţia ),( zxψ este funcţia curent care, pentru c=ψ descrie o
familie de linii de curent. Între funcţiile ϕ şi ψ există condiţiile Cauchy –
Rienmann
=∂
∂−=
∂
∂
=∂
∂=
∂
∂
wxz
uzxψϕ
ψϕ
(20.32)
20.2.1 Spectrul hidrodinamic
Reprezentarea grafică a familiilor de curbe czx =),(ϕ şi czx =),(ψ
în planul complex izxZ += este spectrul hidrodinamic. De obicei,
reprezentarea se face astfel încât între două curbe vecine, în întregul domeniu
de mişcare (sau pe zone), diferenţa între două echipotenţiale ϕϕϕ ∆=−+ ii 1 să
fie constantă; la fel şi diferenţa între valorile a două linii de curent vecine
.1 constjj =∆=−+ ψψψ Altfel se obţine un spectru hidrodinamic de
dreptunghiuri curbilinii, cu raportul laturilor ./ constns =∆∆ (fig. 20.12).
∆n
∆s
ϕi-1i+1 ϕ ϕ
ϕϕ
ϕ ϕ
ψ
ψ
ψ
j+1
j
j-1
∆s
∆n
ψ
ψ
ψ
Fig. 20.12. Spectrul hidrodinamic în medii poroase omogene
Prin construcţia grafică ψϕ ∆=∆ se obţine un spectru hidrodinamic
pătratic. În pătratele curbilinii se pot înscrie cercuri.
Marginile domeniului mişcării pot fi linii de curent (contur
impermeabil) sau linii echipotenţiale (zone de alimentare) precum şi alte linii.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 446
Proprietăţile spectrului hidrodinamic în medii permeabile omogene şi
izotrope sunt:
- liniile de curent şi echipotenţiale formează spectru ortogonal;
- liniile echipotenţiale nu se intersectează între ele, la fel şi liniile de
curent (excepţie puncte singulare teoretice);
- pentru ψϕ ∆=∆ spectrul hidrodinamic este pătratic;
- spectrul hidrodinamic nu depinde de valoarea absolută a
coeficientului de filtraţie k , ci numai de raportul acestor coeficienţi din diferite
zone ale domeniului de filtraţie.
20.2.2. Calculul parametrilor hidraulici ai filtraţiei
cu ajutorul spectrului hidrodinamic
Spectrul hidrodinamic permite calculul tuturor parametrilor hidraulici
ai filtraţiei. Se presupune cunoscut spectrul hidrodinamic reprezentat la scară în
coordonatele planului izxZ += .
10. Gradientul hidraulic şi viteza de filtraţie medie se determină pe
baza figurii 20.13 din legea lui Darcy, scrisă în diferenţe finite:
Fig. 20.13. Calculul gradientului hidraulic
şi vitezei de filtraţie
s
HI
∆
∆= (20.33)
s
Hk
s ∆
∆⋅=
∆
∆=
ϕv (20.34)
Se poate determina numai viteza medie pe celulă pe secțiunea 1⋅∆n .
În cazul când se doreşte o precizie mai bună este necesară îndesirea liniilor
echipotenţiale pe un grafic la scară adecvată. Viteza determinată este viteza
∆s
∆n
ϕ
ϕ
ϕ
∆H
ψi
i+1ψ
ψ
Hidraulică vol. II 447
aparentă a filtraţiei. Viteza reală de mişcare rezultă din (20.2 ) cu porozitatea n
înlocuită cu porozitatea de cedare cn .
Relaţia (20.33) permite construirea diagramei de repartiţie a
gradienţilor hidraulici în lungul conturului de ieşire al curenţilor din mediul
permeabil, necesară la verificarea stabilităţii locale.
20. Debitul filtrat este suma debitelor filtrate de-a lungul tuburilor de
curent mărginite de două linii de curent ( )ii ψψ ,1+
iqq ∆∑= (20.35)
în care
( ) Hs
nknq
iiii ∆⋅
∆
∆=⋅∆=∆ v (20.36)
Dacă spectrul este construit pentru .const=∆ϕ şi cs
n=
∆
∆, atunci iq∆
este identic pentru fiecare tub de curent şi
Hkcqi ∆⋅⋅=∆ (20.37)
Spectrul fiind format din 1+M linii de curent, M tuburi de curent, debitul
total filtrat este:
HkcMq ∆⋅⋅⋅= (20.38)
Dacă H∆ este o fracţiune din diferenţa totală de nivel minmax HHH −= ,
definită de 1+N linii echipotenţiale
N
H
N
HHH =
−=∆ minmax (20.39)
şi debitul specific total filtrat devine
HcN
Mq ⋅⋅= (20.40)
În cazul unui spectru hidrodinamic pătratic 1=c . Calculul poate fi
efectuat şi în cazul liniilor de curent şi echipotenţiale fracţiuni din întreg.
30. Distribuţia presiunilor.
Presiunea într-un punct oarecare se stabileşte cunoscând sarcina totală
H şi cota punctului z , cu condiţia ca cele două mărimi să fie luate în raport cu
acelaşi plan de referinţă, deci
( )zHp −⋅= γ (20.41)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 448
Relaţia permite calculul diagramelor de subpresiune la diferite
construcţii hidrotehnice la nivelul tălpii fundaţiei sau în anumite strate,
necesare verificării stabilităţii generale sau locale. Un exemplu este prezentat în
(fig. 20.14).
Fig. 20.14. Diagrama subpresiunilor la
o construcţie hidrotehnică
20.2.3. Mişcări plane verticale cu suprafaţă liberă
Pe suprafaţa liberă presiunea este cea atmosferică, în presiuni
manometrice 0=p .
Neglijând ascensiunea capilară din (20.23) rezultă
zH = şi czk +⋅=ϕ (20.42)
Pe lângă condiţia (20.42), generală pentru orice mişcare, în regimul
permanent se mai adaugă condiţia ca forma suprafeţei libere să fie o linie de
curent. În mişcare permanentă suprafaţa liberă are poziţie constantă, deci
0=dt
dz (20.43)
Din acest considerent rezultă că componenta vitezei normală la
suprafaţa liberă este nulă
0=nv şi 0=∂
∂
n
ϕ sau 0=
∂
∂
s
ψ, (20.44)
deci suprafaţa liberă este o linie de curent (fig. 20.15).
Fig. 20.15. Spectrul hidrodinamic şi condiţiile
de margine la filtraţia cu nivel liber
100
(%)H
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
90 80 70 60 50 40 30 20 10
ϕ=100 ϕ=0
ψ1
ψ2
ψ3
ψ=3.5
Hidraulică vol. II 449
Frontul de alimentare AB este o echipotenţială, 1HH = . Suprafaţa
liberă BC şi patul impermeabil AD sunt linii de curent, 0/ =∂∂ nH . Ieşirea
CD se numeşte zona de izvorâre şi este caracterizată de zH = .
În unele situaţii particulare chiar în mişcare permanentă suprafaţa
liberă nu este linie de curent (ex. drenaj alimentat de la suprafaţă în regim
permanent – fig. 20.16) - suprafaţa liberă în punctul 0 este o linie
echipotenţială.
A
0ϕ
ψ
a b
q
Fig. 20.16. Poziţii extreme ale suprafeţei libere:
a. suprafaţa liberă – echipotenţială (orizontală în 0);
b. suprafaţă liberă – linie de curent pe verticală.
20.2.4. Mişcări plane verticale în medii
poroase neomogene, anizotrope
În cazul general viteza filtraţiei este produsul dintre tensorul k şi
gradientul hidraulic
gradHkV ⋅−= (20.45)
în care tensorul k , simetric are expresia
zzzx
xzxx
kk
kkk = (20.46)
cu condiţia zxxz kk = .
Ecuaţia de continuitate pentru lichid incompresibil, în mişcarea
permanentă este:
0=∂
∂+
∂
∂=
z
w
x
uVdiv (20.47)
Componentele vitezei sunt:
z
Hk
x
Hkw
z
Hk
x
Hku
zzzx
xzxx
∂
∂−
∂
∂−=
∂
∂−
∂
∂−=
(20.48)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 450
Înlocuind (20.48) în (20.47) se obţine:
0xx xz zx zz
H H H Hk k k k
x x z z x z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (20.49)
Dacă x şi z sunt direcţiile principale ale tensorului k , atunci
0== zxxz kk şi se obţine:
0=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
z
Hk
zx
Hk
x zzxx (20.50)
Pentru mediul omogen şi izotrop kkk zzxx == şi (20.50) se
transformă în ecuaţia lui Laplace (20.29).
20.2.5. Mişcări plane verticale în medii ortotrope
Mediul ortotrop este un mediu cu anizotropie regulată în care
./ constkk xxzz =
Mişcarea într-un mediu ortotrop poate fi studiată cu ajutorul unei
mişcări dintr-un mediu izotrop printr-o distorsionare corespunzătoare a
domeniului. Se presupune că direcţiile în mediul ortotrop sunt x şi y. Se va
distorsiona mediul după o singură direcţie (x).
λ
xX = şi Z = z (20.51)
X şi Z fiind coordonatele în mediul distorsionat (fig. 20.16’).
k xx
k zz k
kZZ
XX
X
Zz
x
Mediu real Mediu distorsionat
Fig. 20. 16’. Distorsionarea mediului ortotrop
Debitele specifice pe feţele mediilor sunt pentru mediul real:
zx
Hkq x
xxx ∆∆
∆= şi x
z
Hkq z
zzz ∆∆
∆⋅= ,
iar pentru mediul distorsionat:
ZX
Hkq X
XXX ∆∆
∆= şi X
Z
Hkq Z
ZZZ ∆∆
∆⋅=
Hidraulică vol. II 451
Din condiţia egalităţii debitelor şi sarcinilor din cele două medii
Xx qq = ; Zz qq = ; Xx HH = şi Zz HH = ,
ţinând cont de (20.51) rezultă:
XXxx kk λ= ; ZZzz kkλ
1= .
Punând condiţia izotropiei mediului distorsionat kkk ZZXX == , se
obține:
zz
xx
k
k=λ (20.52)
şi
zzxx kkk ⋅= (20.53)
20.2.6. Mişcări plane orizontale
Mişcările spaţiale care au loc pe domenii extinse în plan orizontal şi cu
dimensiuni reduse pe verticală pot fi tratate ca mişcări plane, admiţând ipoteza
lui Dupuit, aceea că liniile de curent sunt orizontale. Mediul poros poate fi
stratificat, în calcule lucrându-se cu transmisivitatea T, (20.15) sau coeficientul
de filtraţie echivalent k, (20.16).
Debitul unitar poate fi scris:
qradHTq −= (20.54)
în care T este tensorul transmitivităţii, în cazul general de mediu poros
neomogen şi anizotrop având forma:
yyyx
xyxx
TT
TTT = (20.55)
unde yxxy TT = .
Ecuaţia (20.54) se poate scrie:
y
HT
x
HTq xyxxx
∂
∂−
∂
∂−=
(20.56)
y
HT
x
HTq yyyxy
∂
∂−
∂
∂−=
sau
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 452
jy
hT
x
HTi
y
HT
x
HTq yyyxxyxx
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂−= 20.57)
Dacă x şi y sunt direcţiile principale ale tensorului T atunci
0== yxxy TT şi
respectiv (20.57) devine:
jy
HTi
x
HTq yyxx
∂
∂−
∂
∂−= (20.57’)
Transmitivitatea definită prin (20.15) se referă la toate stratele
cuprinse între patul impermeabil şi suprafaţa liberă sub acoperişul impermeabil
(la filtraţia sub presiune).
Ecuaţia de continuitate în mişcarea permanentă şi alimentare de la
suprafaţă cu debitul unitar ( )yxq , , care este pozitivă pentru “venituri“ –
precipitaţii şi irigaţii – şi negativă pentru “pierderi“ - evaporaţie, transpiraţie,
este:
( ), 0xx xy yx yy
H H H HT T T T q x y
x x y y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (20.59)
Când x şi y sunt direcţiile principale de anizotropie (20.59) devine:
( ), 0xx yy
H HT T q x y
x x y y
∂ ∂ ∂ ∂ + + =
∂ ∂ ∂ ∂ (20.59’)
Particularizând ecuaţiile pentru mediu izotrop TTT yyxx == şi 0== yxxy TT ,
avem:
( ), 0H H
T T q x yx x y y
∂ ∂ ∂ ∂ + + =
∂ ∂ ∂ ∂ (20.59”)
10. În mişcare sub presiune ( ) .constakT ==∑ (nu depinde de
coordonate) şi se obţine (fig. 20.17.a)
2 2
2 20
H H q
x y T
∂ ∂+ + =
∂ ∂ (20.60)
20. În mişcare cu nivel liber în mediu omogen şi izotrop khT ⋅= cu h
adâncimea apei şi k = const. (fig. 20.17.b), avem:
Hidraulică vol. II 453
0H H q
h hx x y y k
∂ ∂ ∂ ∂ + + =
∂ ∂ ∂ ∂ (20.61)
30. Pentru pat impermeabil orizontal şi admis ca plan de referinţă
H = h, rezultă (fig.20.17.c)
2 2
2 22 0
H H q
x y k
∂ ∂+ + =
∂ ∂ (20.62)
suprafata piezometrica
a1
a2
a3
1k
k2
3k
Tk
H h
suprafata libera
Plan 0 Plan 0 Plan 0
suprafata libera
h=H
k
a b c
Fig. 20.17. Cazuri de filtraţii plane orizontale
20.2.7. Spectrul hidrodinamic în medii neomogene, anizotrope
În cazul mediilor permeabile oarecare cele două familii de curbe ale
spectrului hidrodinamic ( )ψϕ, nu mai sunt ortogonale şi nici nu se formează o
reţea regulată de patrulatere curbe. Debitul în lungul unui tub de curent (între
două linii de curent) rămâne constant, proprietate derivate din ecuaţia
continuităţii.
La limita a două zone, fiecare din zone fiind omogenă şi izotropă va
exista o refracţie a liniilor de curent, asemănătoare refracţiei luminii, după
legea (fig.20.18);
2
1
2
1
k
k
tg
tg=
θ
θ (20.63)
Fig. 20.18. Refracţia liniilor de curent
la limita mediilor permeabile
k1
k2
θ2 V2
V1 π/2θ1
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 454
Câteva cazuri particulare, des întâlnite în practică, sunt prezentate în
cele ce urmează.
10. Limita mediu permeabil - impermeabil
01 ≠k , 2
0 112
πθθ =⇒∞=⇒= tgk
Deci liniile de curent sunt paralele cu limita stratelor (fig. 20.19.a).
20. Ieşirea din mediu permeabil în mediu foarte permeabil (saltea
drenantă) este caracterizată prin:
1 2,k k≪ , deci ,01 ⇒θtg respectiv 01 ⇒θ
,2 ∞⇒θtg respectiv 2
2
πθ ⇒
în stratul superior liniile de curent sunt aproape normale pe suprafaţa de
separaţie a stratelor, iar în stratul inferior liniile de curent sunt aproape paralele
cu suprafaţa de separaţie (fig. 20.19.b).
30. Ieşire din mediu permeabil
0, 21 ≠∞= kk deci 02 =θtg şi 02 =θ
arată direcţia normală a liniilor de curent la suprafaţa de ieşire (fig. 20.19.c).
k1=∞ψ
k2=0 k2
k2>>k1
k1≠0 k1 ψ
k2≠0
a b c
Fig. 20.19. Cazuri particulare de refracţie
În medii permeabile anizotrope liniile de curent şi echipotenţiale se
intersectează sub unghiul (fig. 20.20).
xxzz
zzxx
kk
tgkctgkarctg
−
+=
ββα (20.64)
Hidraulică vol. II 455
Fig. 20.20. Spectrul hidrodinamic în medii
permeabile anizotrope
20.2.8. Metode pentru construirea spectrului hidrodinamic
Principalele metode pentru construirea spectrului hidrodinamic sunt:
- metode analitice: * metoda funcţiilor de variabilă complexă;
* metoda transformărilor conforme;
* alte metode analitice;
- metode numerice: * metoda diferenţelor finite;
* metoda reziduurilor ponderate (Galerkin
şi Ritz, element finit, element de
frontieră, dual reciprocităţii);
- metode de laborator * modelare fizică;
* modelare analogică;
- metoda grafică prin aproximaţii succesive.
În ultima perioadă metodele numerice au căpătat o dezvoltare amplă,
dar se apelează şi la metode analitice şi de laborator (în special pentru
calibrarea metodelor numerice).
20.3. CALCULUL FILTRAŢIEI PRIN METODE HIDRAULICE
20.3.1. Mişcarea uniformă a apelor subterane
Mişcarea uniformă a apelor subterane se defineşte ca mişcarea
permanentă rectilinie cu elementele hidraulice şi geometrice constante în lungul
curentului. Liniile de curent sunt drepte paralele cu patul impermeabil, care
trebuie să fie un plan, iar suprafaţa liberă este paralelă cu patul impermeabil. Pe
suprafaţa liberă a curentului subteran presiunea este egală cu presiunea
atmosferică (fig. 20.21).
x
z
0
z=const
k
k
zz
xx
βα
ϕ
ψ
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 456
Fig. 20.21. Mişcarea uniformă
a apelor subterane
În secţiunea transversală (verticală) a curentului subteran presiunea se
repartizează după legea hidrostaticii în câmp gravitaţional. Secţiunile normale
pe liniile de curent (ex. 0,1,2) sunt suprafeţele echipotenţiale. Vitezele de
curgere fiind foarte mici se permite neglijarea termenului cinetic ( )gv 2/2 în
raport cu termenii poziţionali şi piezometrici ( γ/pzH += ). Mişcarea are loc
prin “consum“ din sarcina piezometrică dH pe distanţa ds. Pentru inclinaţii
mici ale patului impermeabil panta geometrică şi piezometrică coincid.
ds
dHtgI −=≈= θθsin (20.65)
În mediu permeabil omogen şi izotrop, cu mişcarea supusă legii lui
Darcy, viteza aparentă a filtraţiei este:
Ikds
dHku ⋅=⋅= (20.65’)
iar prin aplicarea continuităţii pentru secţiunea normală 0A debitul curentului
subteran este:
IkAQ ⋅= 0 (20.66)
Secţiunea normală A0 defineşte adâncimea normală h0 care este
constantă în lungul curentului.
Termenul cinetic fiind foarte mic adâncimea critică nu are sens fizic.
Energia specifică a curentului este e = h, creşte liniar cu adâncimea, în
coordonate e - h fiind o dreaptă la 45° care trece prin originea axelor.
Soluţionarea problemelor de mişcare uniformă a curenţilor subterani
se poate face şi prin metode hidrodinamice, utilizând funcţia de variabilă
complexă.
Potenţialul complex w = aZ cu 21 aiaa ⋅−= constanta complexă şi
izxZ += variabilă complexă, definesc mişcarea plan paralelă verticală.
k
Hh =const
dH
01 2
s
I
dsz
0
θ
0
0
Hidraulică vol. II 457
Alegerea constantelor reale a1 si a2 poate defini orice mişcare uniformă
subterană.
20.3.2. Mişcarea permanentă lent variată a curenţilor subterani
La studiul mişcării permanente lent variate a apei subterane se admite
ipoteza lui Dupuit (ipoteză cinematica asupra liniilor de curent) prin care liniile
de curent sunt paralele intre ele, în particular putând fi considerate orizontale. O
consecinţă a acestei ipoteze este distribuţia uniformă a vitezelor şi gradienţilor
hidraulici pe verticală.
10. Ecuaţia diferenţială a mişcării rezultă din legea lui Darcy aplicată
curentului de filtraţie permanent lent variat (fig. 20.22).
Fig. 20.22. Mişcarea permanentă
lent variată a apelor
subterane
Viteza aparentă a filtraţiei este :
kIv = (20.66)
în care
ds
dhi
ds
dhtg
ds
dHI −=−=−= θ (20.67)
obţinând
−=
ds
dhikv (20.68)
sau din condiţia continuităţii pentru curent permanent
−==
ds
dhiAkAvQ (20.69)
θ
00
ds
dH
H2
k
1
i
h
Idh
2
H1
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 458
Mişcarea permanentă lent variată a apelor subterane poate avea loc
pentru diferite înclinaţii ale patului albiei: pozitivă, orizontală sau negativă,
însă plană.
Integrarea ecuaţiei diferenţiale (20.69) se realizează pentru albii
prismatice sau cilindrice subterane.
20. Integrarea ecuaţiei diferenţiale pentru pantă pozitivă, i>0
Comparând elementele mişcării curentului subteran lent variat
(caracterizat prin v şi h) cu curentul uniform (caracterizat prin v0 şi h0) la
aceeaşi pantă i şi debit Q rezultă:
−=
ds
dhiAkkiA0
Notând cu η=0AA , ecuaţia de mai sus devine:
ids
dh
−=
η
11 (20.70)
care este expresia diferenţială a suprafeţei libere.
Adâncimea normală h 0 împarte domeniul mişcării în două zone:
a – peste adâncimea normală (h>h 0 ) şi b – sub adâncimea normală (h<h 0 )
(fig. 20.23)
Fig. 20.23 Curbele suprafeţei libere
ale apei subterane în
mişcare permanentă
lent variată pentru i >0
a. În zona a h>h0 , A>A0 , η >1 , deci 0>ds
dh, deci adâncimea apei în
lungul curentului (spre aval) creşte.
Pentru h→h 0 (în amonte ), A→A 0 , η→1 şi ds
dh→0, adică în amonte
curba suprafeţei libere tinde asimptotic la linia adâncimii normale.
b
Na
a
bN
k(suprainaltare)
(coborare)
12
h1
h0h
h2
i>0
s1 s
s2
Hidraulică vol. II 459
În aval, pentru h→∞, A →∞,η→∞ şi ds
dh→i, ceea ce arată că în
partea aval curba suprafeţei libere tinde asimptotic la orizontală. Curba din
zona a este de supraînălţare cu concavitatea în sus.
b. În zona b: h< h0, A< A0, η <1, deci ds
dh< 0 arată că adâncimea
curentului subteran scade spre aval.
În amonte, pentru h→h 0 , constatările de la pct. a) rămân valabile,
curba suprafeţei libere tinde asimptotic la linia adâncimilor normale.
În aval, pentru h→0, A→0, η→0 şi ds
dh→∞, deci suprafaţa liberă
(teoretic) tinde asimptotic la normala patului impermeabil. Curba coborâtoare
din zona b are concavitatea în jos.
Spre sfârşitul curbei, în aval, nu se respectă ipoteza lui Dupuit, în
această zonă curbura liniilor de curent este pronunţată şi nu pot fi considerate
drepte paralele qvasiorizontale. În această zonă ecuaţia diferenţială fizic nu este
valabilă.
Integrarea ecuaţiei diferenţiale se realizează pentru o albie subterană
de secţiune dreptunghiulară cu A=bh şi A 0 =bh 0 rezultând 0hh=η .
Diferenţiind ultima expresie ηdhdh 0= şi înlocuind în (20.70) se
obţine
−=
η
η 110 i
ds
dh sau
10 −+=
η
ηη
dd
h
ids (20.71)
Integrând ecuaţia între secţiunile 1 si 2 se obţine:
1
1ln
1
212
0 −
−+−=
⋅
η
ηηη
h
si (20.72)
unde 022 hh=η , 011 hh=η şi 12 sss −= .
Debitul specific al curentului subteran este :
2
)(
2
)( 2122
21 hhki
s
hhkq
++
−= (20.73)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 460
30. Integrarea ecuaţiei diferenţiale pentru pat
impermeabil orizontal, i = 0
În acest caz ecuaţia diferenţială (20.69) devine:
ds
dhAkQ −= (20.74)
Adâncimea normală nu are sens fizic (h 0→∞). Pe tot domeniul
filtraţiei nivelul liber coboară spre aval, 0<dsdh .
Pentru h→0, A→0, şi −∞→dsdh , tangenta la curba suprafeţei libere
teoretice este verticală (normală la patul impermeabil orizontal). În avalul
curbei nu se respectă ipoteza lui Dupuit, în această zona liniile de curent au
curburi însemnate şi nu pot fi considerate drepte orizontale (qvasiorizontale).
Curba are concavitatea orientată spre patul impermeabil (fig. 20.24).
k
h
h90
curba coboratoare
i=0
sss
1
2
1
2
Fig. 20.24. Curba suprafeţei libere a apei subterane în mişcare
permanentă lent variată pentru i=0
Ecuaţia (20.74) se poate scrie:
Ak
Q
ds
dh−= (20.75)
Pentru albie subterană de secţiune dreptunghiulară hbA ⋅= şi
utilizând debitul specific bQq = (20.75) devine:
dsk
qhdh −= (20.76)
care integrat pentru limitele h1 şi h
2, la care corespund s
1 şi s
2cu s
2-s
1=s, se
obţine:
s
hh
k
q
2
2
2
2
1 −= (20.77)
Hidraulică vol. II 461
Curba suprafeţei libere a apei subterane pentru pat impermeabil
orizontal este o parabolă – parabola lui Dupuit.
40. Integrarea ecuaţiei mişcării pentru panta negativă a patului
impermeabil i<0 Se transcrie ecuaţia diferenţială a mişcării cu notația ii ′= , deci în
sensul invers mişcării ar fi posibilă o mişcare uniformă ikAQ ′′=′0 şi (20.69)
capătă forma:
−′−=
ds
dhiAkQ (20.78)
Egalând debitele mişcării lent variate şi a unei curgeri uniforme
inverse rezultă:
+′−=′′
ds
dhiAkikA0
sau
+′−=
ζ
11i
ds
dh (20.79)
unde 0AA ′=ζ .
Fiindcă 0<dsdh curba suprafeţei libere este strict descrescătoare în
lungul curentului, iar pentru partea sa aval este valabilă constatarea de la
punctul 3 – tangenta la curba teoretică a suprafeţei libere este normală la patul
impermeabil, însă în zona aval a curbei teoretice nu se respectă ipoteza lui
Dupuit (fig. 20.25).
khQ
h 90
h'
Q'
curba coboratoare
i<0
ss
s1
2
1
2
0
Fig.20.25. Curba suprafeţei libere a apei subterane în mişcare
permanentă lent variată pentru i< 0
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 462
Integrarea ecuaţiei (20.79) se face pentru o albie subterană de secţiune
dreptunghiulară având 0hh ′=ζ şi bQq = .
După separarea variabilelor avem :
1h
'
0 ++−=
′ ζ
ζζ
ddds
i
care integrată în limitele h1 şi h
2, la care corespund s
1 şi s
2 cu s=s
2-s
1,
conduce la:
1
1ln
h
s'
1
221
0 +
++−=
′ ζ
ζζζ
i (20.80)
Debitul specific filtrat este:
( ) ( )
22
1222
21 hhik
s
hhkq
+′−
−= (20.81)
50. Infiltraţia mixtă sub presiune şi cu nivel liber
Dacă un strat permeabil are grosime a0 şi coeficientul de filtraţie k 0 ,
patul şi acoperişul impermeabil fiind orizontale, iar nivelul în amonte h 1 >a 0 ,
iar în aval h 2 <a 0 , mişcarea apei subterane este mixtă (fig. 20.26). Pe anumită
lungime l 1 filtraţia are loc sub presiune, iar pe restul, de lungime l 2 , cu nivel
liber. Debitul specific (pe unitate de lăţime) pe cele două zone este acelaşi şi se
poate scrie:
2
22
20
0
1
0100
2l
hak
l
ahkaq
−=
−= (20.82)
0k a0
h1
h2
l 1 2lL
Fig. 20.26. Infiltraţia mixtă
Hidraulică vol. II 463
Adăugând condiţia geometrică L=l 1 +l 2 se obţine:
2 2
1 0 0 2
0 0 02
h a a hq a k k
L L
− −= + (20.83)
60. Calculul infiltraţiilor în terenuri neomogene
Se analizează mişcarea permanentă lent variată pe pat impermeabil
orizontal (20.3.2 pct. 3) în ipoteza modificării permeabilităţii stratului omogen,
menţinerii debitului specific filtrat si al adâncimilor la capetele curbei. Se poate
scrie:
2
22
21
2
1
22
21
122 L
hhk
L
hhkq
−=
−= (20.84)
în care L 1 şi L 2 sunt distanţate între aceleaşi adâncimi h 1 şi h 2 la acelaşi debit
filtrat q în medii permeabile cu coeficienţi de filtraţie k 1 , respectiv k 2 ,
rezultând
2
2
1
1
k
L
k
L= (20.85)
Se poate concluziona că la aceleaşi condiţii de margine are loc
curgerea aceluiaşi debit în două medii permeabile diferite, dacă lungimile
liniilor de curent sunt invers proporţionale cu coeficienţii de filtraţie
(fig. 20.27).
Bazându-se pe această concluzie se poate soluţiona problema filtraţiei
în medii neomogene.
h1
h2
L1
k1
k2
L2
h1
h2
k1<k2
Fig. 20.27. Proporţionalitatea drumului şi coeficientului filtraţiei
În fig. 20.28 se prezintă filtraţia printr-un mediu permeabil neomogen,
zona centrală fiind mai puţin permeabilă.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 464
h1 h'
h''h2
l1 le l2
Le
kkm
kh1 h'
h''h2
l1 lm l2
k
echivalent omogenneomogen
Fig. 20.28. Echivalarea filtraţiei din mediu permeabil neomogen cu unul omogen
Conform pct. 6, ecuaţia (20.85) lungimea echivalentă l e a miezului cu
coeficient de filtrare k m şi lungime l m este:
m
me k
kll ⋅= (20.86)
Drumul total al filtraţiei în mediul neomogen este L=l 1 +l m +l 2 , iar în
mediul omogen echivalent em
m Llk
kll =++ 21 .
Debitul filtrat este:
( ) ( )
++
−=
−=
21
22
21
22
21
22
lk
kll
hhk
L
hhkq
mm
e
(20.87)
Cotele suprafeţei libere la limita miezului sunt:
( )eL
lhhhh 12
221
21 −−=′ (20.88)
şi
( )eL
lhhhh 22
221
22 −+=′′ (20.89)
20.3.3. Ipoteza lui Dupuit generalizată
La folosirea ipotezei lui Dupuit trebuie verificat dacă liniile de curent
într-adevăr sunt orizontale sau aproape de orizontală. Există situaţii în cazul
terenurilor stratificate, cum sunt cele cu două straturi cu permeabilitate foarte
diferită, cu stratul mai puţin permeabil la suprafaţă, când această ipoteză nu se
mai poate admite.
Hidraulică vol. II 465
Fig. 20.29. Spectrul liniilor de curent care justifică admiterea ipotezei lui Dupuit generalizată
Din figura 20.29 se vede că în anumite zone, ipoteza liniilor de curent
orizontale este inadmisibilă, liniile respective fiind verticale. S-a pus problema
generalizării ipotezei lui Dupuit, admiţând că liniile de curent sunt în diferite
zone orizontale sau verticale.
Generalizarea ipotezei lui Dupuit are şi un suport teoretic ( paragraful
20.2.7, fig. 20.19b). Astfel, dacă raportul coeficienţilor este 100/ 12 =kk , se
obţin următoarele perechi de valori ale unghiurilor 1θ şi
2θ (tab 20.1)
Tabelul 20.1
1θ o20 o10 o5
2θ 100/ 12 =kk 88 87 84
În practică s-a dovedit că este suficient ca raportul 10/ 12 >kk
pentru ca ipoteza lui Dupuit – generalizată să fie satisfăcătoare.
10. Ecuaţiile mişcării
Se examinează două cazuri, după cum mişcarea în stratul superior este
descendentă sau ascendentă.
Mişcarea descendentă (fig. 20.30.a).
Se scrie condiţia continuităţii pe un element diferenţial dx . Este
evident că linia piezometrică (y) este sub nivelul apei ( 1H ).
Debitul care intră prin stânga:
dxdx
ydka
dx
dykaqst 2
2
00002
1+−=
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 466
SP
SL
k
k 0 a 0
a
dy
dx
yH1 k
k
dx
a 0
a
SP
SL
dH
HH
0
2
a b Fig. 20.30. Schema pentru stabilirea ecuaţiei infiltraţiei
în cazul ipotezei lui Dupuit generalizate:
a. mişcarea descendentă; b. – mişcarea ascendentă;
SL – suprafaţa liberă; SP – suprafaţa piezometrică
Debitul care iese prin dreapta:
dxdx
ydka
dx
dykaqdr 2
2
00002
1−−=
Debitul care intră prin stratul superior semipermeabil:
dxa
yHkq
−= 1
Scriind bilanţul drst qqq =+ se obţine ecuaţia diferenţială:
02
1
2
2
=−
+λ
yH
dx
yd; aa
k
k0
0=λ (20.90)
Mişcarea ascendentă (fig. 20.30.b)
Procedând similar ca mai sus, se obţine ecuaţia:
02
2
2
2
=−
−λ
HH
dx
Hd, aa
k
k0
0=λ (20.91)
20. Integrarea ecuaţiilor mişcării
Ecuaţiile diferenţiale (20.90) şi (20.91) sunt liniare şi omogene,
integralele lor fiind de forma:
λλ
xx
eCeCyH−
+=− 211 şi (20.92)
λλ
xx
eCeCHH−
+=− 432 (20.93)
Hidraulică vol. II 467
Constantele ,1C 2C , 3C şi 4C se determină punând condiţiile de
margine care diferă de la problemă la problemă.
Pentru exemplificare se dezvoltă problema infiltraţiilor sub un baraj
aşezat pe două straturi cu kk >0 (fig. 20.29).
Se împarte domeniul în trei fragmente şi se notează cu 0y cota
piezometrică a apei din stratul permeabil de adâncime la limita dintre
fragmentele I şi II şi cu 'H la limita dintre fragmentele II şi III (fig. 20.31, pe
care s-au figurat şi coordonatele Ox, Oy respectiv Ox, OH ale fragmentelor
I şi III).
Fig. 20.31. Infiltraţia sub un baraj pe terenuri cu două strate:
SP – suprafaţa piezometrică
Condiţiile de margine în fragmentul I:
21010,0 CCyHyyx +=−→== şi
1 1 2 2, 0 0x y H C e C e C−∞ +∞= −∞ = → = + → =
În final se obţine:
( ) λ
x
eyHHy 011 −−= (20.94)
Condiţiile de margine în fragmentul III:
( ) 430'',0 CCaaHHHx +=+−→== şi
00, 3430 =→+=→+=+∞= −∞+∞ CeCeCaaHx
În final rezultă:
( )[ ] λ
x
eaaHaaH−
+−++= 0
'
0 (20.95)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 468
În fragmentul II se presupune că mişcarea are loc numai în stratul
inferior foarte permeabil, astfel că debitul are expresia:
0
'
000
B
HykaqII
−= (20.96)
În vederea găsirii expresiilor lui 0y şi 'H se scrie ecuaţia debitului la
ieşirea din fragmentul I şi la intrarea în fragmentul III:
λλ
λ 0100
0
0100
0
00
yHkae
yHka
dx
dykaq
X
x
XI
−=
−=−=
==
şi (20.97)
λλ
λ )()( 000
0
000
0
00
aaHkae
aaHka
dx
dHkaq
X
x
XIII
+−′=
+−′=−=
=
−
=
(20.98)
Scriind egalitatea celor trei debite ''IIII QQQ == se obţine:
[ ])(2
01
0
10 aaHB
Hy +−+
−=λ
λ (20.99)
[ ])(2
)(' 01
0
0 aaHB
aaH +−+
++=λ
λ (20.100)
iar expresia debitului devine:
λ20
100
+
∆=
B
HkaqII ,
1 1 0( )H H a a∆ = − + (20.101)
Remarcă. Formulele (20.96 – 20.99) arată că expresia debitului IIq se
poate obţine considerând că mişcarea are loc numai în stratul de jos după
ipoteza lui Dupuit şi admiţând că cele două fragmente laterale au fiecare o
lăţime echivalentă egala cu λ ; în acest ultim caz linia piezometrică (fictivă) ar
fi o linie dreaptă, desenată punctat pe figura 20.31.
Faţă de linia piezometrică fictivă, liniile piezometrice reale sunt mai
coborâte în fragmentul I şi mai ridicate în fragmentul III. Ecuaţiile acestor linii
piezometrice sunt (20.94 şi 20.95), care după înlocuirea expresiilor lui 0y şi
H ′ 20.99 şi 20.100 devin:
λ
λ
λx
eHB
y 1
0 2∆
+=∆ ; yHy −=∆ 1 ; aa
k
k0
0=λ (20.102)
şi
Hidraulică vol. II 469
λ
λ
λx
eHB
H−
∆+
=∆ 1
0 2; )( 0 aaHH +−=∆ ; aa
k
k0
0=λ (20.103)
Formula (20.101) şi trasarea liniei piezometrice fictive se poate
generaliza, notând lăţimile echivalente ale fragmentului I şi III cu L∆ şi 'L∆ .
Deci sub forma generală ecuaţia debitului s-ar scrie:
'0
100 LBL
HqaqII
∆++∆
∆= (20.104)
20.3.4. Ipoteza lui Hooghoudt
Hooghoudt a folosit cu succes, cu ocazia studierii calculului drenajului
orizontal sistematic, o ipoteză cinematică în care liniile de curent sunt radiale în
jurul drenului, orizontale în restul domeniului, exceptând un domeniu restrâns
unde sunt verticale. Posibilitatea folosirii acestei ipoteze rezultă din analizarea
spectrului liniilor de curent determinat cu ajutorul analogiei electrice,
reprezentat în figura 20.32.
Pe această figură s-au delimitat trei zone: zona în care liniile de curent
au o direcţie preponderent verticală (V), orizontală (O) şi radială (R). Evident,
această delimitare nu este strictă. Zona cea mai întinsă este (O), dar ponderea
cea mai mare o are câteodată zona (R). De cele mai multe ori (în cazul mediilor
omogene) zona verticală are o pondere redusă.
L/2 L/2
q
N
S
v
R0
2
3
1
D0
Fig.20.32. Schema pentru stabilirea ipotezelor cinematice asupra liniilor de curent
la drenurile orizontale sistematice:
N – zona infiltraţiei în regim aerat (nesaturat); S – zona infiltraţiei în regim saturat; 1 – dren
tubular; 2 – patul impermeabil; 3 – suprafaţa liberă; V – zona liniilor de curent verticale;
O – zona liniilor de curent orizontale; R – zona liniilor de curent radiale
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 470
Calculul hidraulic pentru drenajul sistematic cu dren situat la distanţă
de patul impermeabil se dezvoltă la disciplina de specialitate.
20.3.5. Mişcarea nepermanentă a curenţilor subterani
cu nivel liber
Mişcarea nepermanentă cu nivel liber a curenţilor subterani implică
variaţia parametrilor hidraulici în timp şi spaţiu.
10. Ecuaţia diferenţială a mişcării
Se consideră un element de volum al stratului acvifer cuprins între
stratul impermeabil orizontal şi nivelul liber al apei, de secţiunea dydx ⋅ şi
înălţime h, unde sarcina hidrodinamică faţă de planul de referinţă z=0 este H
(fig. 20.33).
Fig. 20.33. Schema pentru ecuaţia
diferenţială a filtraţiei nepermanente
cu nivel liber
Se admite ipoteza lui Dupuit şi distribuţia uniformă a vitezelor după
direcţii orizontale.
Componentele vitezei V (u,v), după Darcy, sunt:
x
Hku x
∂
∂−= şi
y
Hkv y
∂
∂−= (20.105)
iar debitele specifice corespunzătoare sunt:
x
Hhkhuq xx
∂
∂−=⋅⋅= 1 şi
y
Hhkhvq yy
∂
∂−=⋅⋅= 1 (20.106)
dt
z
H
qy+qy
dyy
h
t
qx
qy
dx
dy
nc
v
uky
kx
y
0x
zε
xdxxq
q+
x
stra
t im
perm
eabil
Hidraulică vol. II 471
Mediului permeabil îi este caracteristică porozitatea de cedare cn . Se
admite o alimentare de la suprafaţă a acviferului cu debitul specific ε (pe
unitate de suprafaţă).
Ecuaţia conservării masei pentru volumul de control considerat
(lichidul se consideră incompresibil) ţine seama de bilanţul volumelor intrate şi
ieşite din volumul de control în timpul dt, diferenţele (în plus sau minus)
modificând volumul de apă înmagazinată în porozitatea de cedare, deci nivelul
volumului de control. Elementele bilanţului sunt:
- după axa x
dxdydtx
qdydtdx
x
qqq xx
xx∂
∂−=
∂
∂+−
- după axa y
dxdydty
qdxdtdy
y
qqq yy
yy∂
∂−=
∂
∂+−
- aportul alimentării de la suprafaţă
dxdydtε
- modificarea volumului de apă din volumul de control în intervalul
porozităţii de cedare
dtt
Hdxdyndt
t
hdxdyn cc
∂
∂=
∂
∂
(fiindcă stratul impermeabil s-a considerat orizontal, deci H=z+h, cu z=c şi
dH=dh)
Din conservarea masei rezultă:
0=∂
∂+−
∂
∂
∂
∂−
∂
∂
∂
∂−
t
Hn
y
Hhk
yx
Hhk
x cyx ε (20.106)
care este ecuaţia lui Boussinesq. Ecuaţia este valabilă şi pentru pat impermeabil
oarecare.
Când patul impermeabil este orizontal şi se confundă cu planul xoy,
H=h şi (20.106) devine:
0222
2
2
2
22
=∂
∂+−
∂
∂
−∂
∂
−t
hn
y
hk
x
hk
c
yx
ε (20.107)
În cazul unui mediu omogen şi izotrop kkk yx == , deci:
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 472
022
2
2
2
2
=∂
∂⋅+−
∂
∂−
∂
∂−
t
h
k
n
ky
h
x
h cε (20.108)
În mişcarea permanentă, cu aport de la suprafaţă, 0=∂
∂
t
h avem:
02
2
2
2
2
=+∂
∂+
∂
∂
ky
h
x
h ε (20.109)
iar fără aport de la suprafaţă:
02
2
2
2
=∂
∂+
∂
∂
y
h
x
h sau 02 =∇ h (20.110)
Integrarea acestor ecuaţii pentru diferite condiţii iniţiale şi de margine
concrete permite determinarea funcţiei )(2 xyfh = , care reprezentată pentru
h=c defineşte hidroizohipsele (locul geometric al punctelor cu aceeaşi cotă
geodezică a suprafeţei libere a curentului de apă subteran).
Ecuaţiile lui Boussinesq sunt valabile cu condiţia respectării ipotezei
lui Dupuit, curenţi subterani orizontali (qvasiorizontali) de mică adâncime.
Ecuaţia (20.106) şi alte forme ale sale sunt dificile de integrat. Se
cunosc câteva metode de integrare (Boussinesq, Polubarinova-Kocina,
Barenblatt etc).
Soluţiile practice pleacă de la ecuaţia Boussinesq liniarizată, când
hH ≅ , h fiind media adâncimilor h în timp şi spaţiu, având forma:
cc ny
H
x
H
n
hk
t
H ε+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂2
2
2
2
(20.111)
care, fără termenul de alimentare de la suprafaţă se reduce la ecuaţia de
transmitere a căldurii a lui Fourier:
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂2
2
2
22
y
H
x
H
t
Hχ (20.112)
cu cn
hk=2χ .
Există câteva soluţii analitice pentru cazuri particulare ale ecuaţiei lui
Boussinesq: ridicarea bruscă a nivelului la frontul de alimentare vertical sau
înclinat al mediului permeabil pe pat impermeabil orizontal; ridicarea cu viteză
constantă a nivelului în aceleaşi condiţii; drenaj orizontal sistematic pe pat
impermeabil orizontal; infiltraţia nepermanentă datorită variaţiei periodice a
Hidraulică vol. II 473
apei din rezervor; ridicarea-coborârea bruscă a nivelului din rezervor; infiltraţii
nepermanente în terenuri stratificate particulare.
În ultima perioadă a căpătat mare anvergură soluţionarea numerică
prin diferite metode a infiltraţiei nepermanente care însă necesită calibrare,
validare prin soluţii exacte sau metode experimentale.
20.4. CALCULUL HIDRAULIC AL CAPTĂRILOR
APELOR SUBTERANE
Exploatarea apelor subterane, modificarea parametrilor acviferelor în
diferite scopuri (limitare, reducere a poluării, coborârea-creşterea nivelului
freatic, alimentarea acviferelor, protecţia lor) se face cu lucrări inginereşti de
captare – îmbogățire a acviferelor de tip vertical – puţuri sau orizontal –
drenuri (galerii drenante).
În funcţie de tipul acviferului interceptat există captări în strat acvifer sub presiune şi în strat acvifer cu nivel liber. În funcţie de poziţionarea captării în stratul acvifer se disting captări (puţuri, drenuri) perfecte, lucrări care se sprijină pe patul impermeabil şi
captări imperfecte – când lucrarea hidrotehnică de captare este plasată peste
patul impermeabil.
Formele de captare prin puţuri (foraje, fântâni) diferind de formele de
captare prin drenuri (galerii drenante), fiecare prezentând anumite
particularități, se vor trata diferenţiat. Se dezbat numai problemele hidraulice
nu şi tehnica şi tehnologia de realizare şi exploatare a captărilor.
20.4.1. Captarea apelor subterane prin puţuri.
Prin puţ înţelegem construcţia verticală de captare a apelor subterane.
Apa subterană poate fi cantonată în depozit de apa subterană sub presiune sau
cu nivel liber, poate constitui un curent subteran, un curent subteran cu
alimentare dintr-un front de alimentare de la suprafaţă, un depozit subteran
alimentat cu apă din infiltraţii de la suprafaţă ş.a.
Puţurile pot lucra individual, în şir sau în grup în funcţie de scopul pe
care le satisfac.
Puţurile utilizate pentru injecţia apei în stratul permeabil în diferite
scopuri se numesc puţuri absorbante. Calculul lor hidraulic poate fi întreprins prin metode hidrodinamice
(metoda funcţiilor de variabilă complexă)sau prin metode hidraulice.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 474
Din punct de vedere hidrodinamic puţurile se consideră surse punctiforme sau izvoare – pozitive (absorbante) sau negative (debitante sau de
extracţie).
10. Puţ perfect cu nivel liber alimentat radial
Un puţ săpat până la patul impermeabil într-un depozit subteran
teoretic infinit (ca întindere la suprafaţă) cu nivel liber se numeşte perfect.
Alimentarea sa se realizează numai prin peretele lateral al puţului.
a. Soluţia problemei prin metoda hidraulică Se consideră un puţ perfect de rază 0r într-un depozit acvifer cu nivel
liber caracterizat prin coeficientul de filtraţie k şi grosime H ( mediu omogen şi
izotrop, patul impermeabil orizontal). Prin extragerea debitului Q, nivelul în
puţ coboară şi după un timp acest nivel hidrodinamic se stabilizează la
adâncimea 0h , respectiv denivelarea în puţ 0hHs −= . Apa din depozit curge
radial către puţ. Denivelarea din puţ influenţează pe o anumită distanţă (rază)
nivelul apei subterane în care se formează o „pâlnie de depresie”. Situaţia de
echilibru conduce la un regim staţionar: debitul extras, denivelarea, pâlnia de
depresie fiind constante (fig. 20.34).
H
h
h
dh
r drR
r
sr
dr
θ
Q
D
Q 0
k
i=0
0
r
I
y
x
Suprafata
de depresie
Nivel hidrodinamic
ϕ
ψ ψ
Fig. 20.34. Puţ perfect alimentat radial (în depozit)
Cât timp nu se extrage apa din puţ nivelul în acesta se situează la
nivelul hidrostatic al apei subterane. Extrăgând un debit Q=c nivelul in puţ
coboară până la 0h care rămâne constant cât timp debitul extras este constant.
Hidraulică vol. II 475
Adâncimea 0h din puţ defineşte nivelul hidrodinamic care pe o distanţă R (rază
de acţiune) influenţează nivelul apei subterane formându-se suprafaţa (pâlnia)
de depresie. În mediu permeabil omogen şi izotrop această pâlnie de depresie
este axial simetrică.
Puţul realizat are raza constructivă 0r , iar apa pătrunde în puţ pe toată
suprafaţa laterală a acesteia.
La o distanţă r de puţ sarcina hidrodinamică staţionară în strat (la
debitul Q=c) este h. La distanţa dr sarcina creşte cu dh. Acceptând aproximarea
curbei suprafeţei libere cu coarda se poate defini panta hidrodinamică I:
dr
dhI =
Suprafaţa curgerii radiale către puţ la distanţa r de centru este:
rhA π2=
Alimentarea fiind laterală în toate secţiunile cilindrice conform
continuităţii debitul este acelaşi cu cel extras, deci:
dr
dhrhkAkIQ π2== (20.113)
Separând variabilele, rezultă:
r
dr
k
Qhdh
π2= (20.114)
care este ecuaţia diferenţială a suprafeţei de depresie.
Integrând ecuaţia avem:
crk
Qh+= ln
22
2
π
Constanta de integrare se determină prin condiţia limită: 0rr = , 0hh = ,
rezultând:
0
20 ln
22r
k
Qhc
π−=
care înlocuit conduce la:
0
20
2 lnr
r
k
Qhh
π=− (20.115)
care este ecuaţia suprafeţei libere în coordonate cilindrice.
Pentru condiţia limită Rr → (raza de influenţă a puţului), sarcina
dinamică tinde la sarcina statică Hh → şi rezultă debitul puţului la
denivelarea s.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 476
( )2 2
0
0 0
12
2
ln / ln /
skHsk H h H
QR r R r
ππ−
⋅ ⋅ − = = (20.116)
Variaţia debitului cu denivelarea este neliniară şi este influenţată relativ puţin
de raza puţului.
Raza de acţiune a puţului în medii permeabile diferite are valori
informative de:
- R=250...500 m în nisipuri mijlocii;
- R=700...1000 m în nisipuri grosiere.
Valorile razei de acţiune depind de denivelare şi coeficientul de
filtraţie şi orientativ pot fi calculate cu relaţiile:
- Sichardt ksR ⋅≅ 300 ;
- Kusakin kHsR ⋅≅ 575 .
Parametrii hidraulici calculaţi orientativ trebuie verificaţi prin extracţii
de probă (pompări de probă) în regim nepermanent. Se întocmesc curbele de
variaţie a denivelării în timp la debit constant extras şi curbele de revenire a
denivelării în timp la oprirea extracţiei.
Determinarea caracteristicilor mediului permeabil se pot realiza prin
teste de pompare din puţ în regim nepermanent, având făcute măsurători de
nivel şi într-un puţ de observaţie. Se pot utiliza metodele Neuman, Theis,
Cooper-Jacob, Hantush şi pachetul de programe AQUIFER TEST.
a.1. Înălţimea de izvorâre Din analiza spectrului de infiltraţiei către puţuri perfecte în strate
acvifere cu nivel liber se constată că între nivelul apei din puţ şi nivelul de
racordare a suprafeţei de depresie la suprafaţa exterioară a puţului există o
diferenţă ih∆ numită‚ “înălţime de izvorâre”. Suprafaţa reală de depresie şi cea
teoretică diferă în apropierea puţului – datorită acceptării ipotezei lui Dupuit şi
în apropierea puţului. Efectul înălţimii de izvorâre se resimte asupra suprafeţei
de depresie în jurul puţului până la distanţa de circa 0100r . Ea nu afectează
debitul puţului.
Hidraulică vol. II 477
Fig. 20.34’. Înălţimea de izvorâre la puţuri
în strat acvifer cu nivel liber
Valoarea înălţimii de izvorâre, după observațiile lui Schneebeli rezultă
din grafice fig. 20.34’’.
o
0
o
oxx
x x
x
o
^
o
x
^
Boulton
Hall
Zee Peterson siBockBobbit si Caldwell
0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 4 6 8 10 20 40 60 80 100 2000
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
10 ro
Q/ kπ
.
π Q/ ko(h + h ) -h o
2 2
3
∆ i
Fig. 20.34”. Grafic pentru stabilirea înălţimii de izvorâre
Pentru puţul perfect cu alimentare radială în calculul suprafeţei reale
de depresie în loc de (20.115) se va utiliza:
( )22
0
0
lni
Q rh h h
k rπ= + ∆ +
⋅ (20.115’)
b. Soluţia problemei prin metoda hidrodinamică Puţul de pompare în acvifer cu nivel liber alimentat radial poate fi
privit ca o sursă (izvor) negativă, mişcarea fiind descrisă de potenţialul
complex:
( ) zQ
zw ln2π
−= (20.117)
cu variabilă complexă:
θirez = (20.118)
exprimată în forma Euler în coordonate polare.
~100 r
r
h hh
∆
r
h
NHS
0
i
0
o
i
Suprafata
reala de depresie
Suprafata teoretic
a
de depresie
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 478
După înlocuirea variabilei şi efectuarea calculelor se obţine:
( ) θππ 2
ln2
Qir
Qzw −−= (20.119)
Partea reală a funcţiei este potenţialul care generează mişcarea şi se egalează cu
sarcina hidrodinamică pentru acvifer cu nivel liber:
ckh
rQ
+−=−=2
ln2
2
πϕ (20.120)
Funcţia curent este:
θπ
ψ2
Q= (20.121)
Reprezentarea grafică c=ϕ (cercuri concentrice r=c) şi c=ψ (drepte
care trec prin origine c=θ ) permite obţinerea spectrului hidrodinamic
(v. fig. 20.34).
Din (20.120) cu condiţiile la limită de la generatoarea puţului 0rr = şi
0hh = se obţine constanta de integrare, care conduce la relaţia (20.115) –
ecuaţia suprafeţei libere.
20. Puţ imperfect cu nivel liber alimentat radial (în depozit)
La un puţ imperfect talpa acestuia nu ajunge la patul impermeabil
(fig. 20.35). Talpa poate fi impermeabilă sau permeabilă.
h
t
s
h
TH
Rr
H
k0
0
o
Nivel de influenta
NHS
NHD
Fig. 20.35. Puţ imperfect
La alimentarea puţului participă numai stratul de grosime 0H din
grosimea totală H a stratului acvifer.
Cu notaţiile din figură debitul puţului alimentat numai lateral (talpă
impermeabilă) este:
Hidraulică vol. II 479
( )2 2
0 0 04
0 0
0
2
ln
k H h t h tQ
R h hr
π − −= ⋅ ⋅ (20.122)
La puţul imperfect cu alimentare şi pe talpă debitul este:
( )2 2
0 0 0 04
0 0
0
0,5 2
ln
k H h t r h tQ
R h hr
π − + −= ⋅ ⋅ (20.122’)
Cantităţile
4
0
0
0
2
h
th
h
t −⋅ şi 4
0
0
0
0 25,0
h
th
h
ht −⋅
+ (20.123)
sunt corecţiile lui Forchheimer al puţurilor imperfecte faţă de cele perfecte.
Grosimea de influenţă 0H (stratul care alimentează puţul) aproximativ
se poate determina cu relaţia
( )tsTH +==3
4
3
40 (20.124)
Determinări experimentale evidenţiază valorile din (tab. 20.2).
Grosimea activă a stratului acvifer
Tabelul 20.2. Denivelarea
tTs −=
0,2 T 0,3 T 0,5 T 0,8 T 1,0 T
Zona activă
kTH =0 1,3 T 1,5 T 1,7 T 1,85 T 2,0 T
30. Puţ perfect în strat acvifer sub presiune alimentat radial
Puţul străpunge acoperişul impermeabil ajungând cu coloana filtrantă
până la patul impermeabil orizontal şi captează apa din stratul impermeabil de
grosime a şi coeficient de filtraţie k. Curgerea în stratul permeabil are loc sub
presiune de la sarcina H (în rezervor) la 0h adâncimea din puţ, deci denivelare
0hHs −= . Nivelul 0h este situat peste tavanul impermeabil. Puţul are raza 0r
şi raza de influenţă R (fig. 20.36).
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 480
H
s
h
Rr
h
r dr
a
dh
0
0k
Q
NHS
Fig. 20.36. Puţ perfect în strat acvifer sub presiune alimentat radial
a. Soluţia problemei prin metoda hidraulică
Pâlnia de depresie este a suprafeţei piezometrice. Extrăgând debitul Q
din puţ nivelul în puţ coboară de la nivelul hidrostatic (NHS) la cel
hidrodinamic 0h , realizându-se denivelarea 0hHs −= . Sarcina piezometrică la
distanţa r de puţ este h, crescând spre exterior cu dh la distanţa dr. Panta
piezometrică se defineşte prin dsdhI = , iar la distanţa r în strat corespunde
aria de curgere raA π2= . Conform legii lui Darcy
dr
dhrakAhIQ π2==
Separând variabilele se obţine ecuaţia diferenţială a pâlniei de depresie
a suprafeţei piezometrice
r
dr
ka
Qdh
π2= (20.125)
Integrând ecuaţia rezultă:
crka
Qh += ln
2π
Constanta de integrare se determină din condiţia de margine, pentru
00 hhrr =→= , respectiv
00 ln2
rka
QhC
π−=
Înlocuind constanta de integrare rezultă ecuaţia suprafeţei
piezometrice de depresie
Hidraulică vol. II 481
0
0 ln2 r
r
ka
Qhh
π=− (20.126)
Pentru condiţia de margine r=R avem h=H, obţinând debitul
( )
00
0
ln
2
ln
2
rR
kas
rR
hHkaQ
ππ=
−= (20.127)
Debitul unui astfel de puţ depinde liniar de denivelare.
b. Soluţia problemei prin metoda hidrodinamică Puţul de pompare în acvifer sub presiune alimentat radial este o sursă
negativă, mişcarea fiind descrisă de potenţialul complex
za
Qzw ln
2)(
π−= (20.128)
Cu variabila complexă (20.118) rezultă
θππ a
Qir
a
Qzw
2ln
2)( −−= (20.129)
Funcţia potenţial care generează mişcarea este
ln2
Qr
aϕ
π= − (20.130)
iar funcţia curent
θπ
ψa
Q
2−= (20.131)
Potenţialul mişcării apei subterane este ckh +−=ϕ . Din egalarea
potenţialelor avem
ckhra
Q+=ln
2π
Pentru condiţia de margine 0rr = şi 0hh = rezultă valoarea constantei
de integrare 00ln2
khra
QC −=
π, care înlocuit defineşte ecuaţia suprafeţei
piezometrice de depresie
0
0 ln2 r
r
ak
Qhh
π=− (20.132)
Cu condiţia de margine Rr → , Hh → rezultă debitul
00
0
ln
2
ln
)(2
rR
aks
rR
hHakQ
ππ=
−= (20.133)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 482
Componentele vitezei în coordonate polare sunt:
- după rază
ar
Q
rvr π
ϕ
2−=
∂
∂= (20.134)
- după tangentă
0=∂
∂=
θ
ϕθv (20.135)
40. Puţ imperfect în strat acvifer sub presiune alimentat radial
Puţul imperfect sub presiune străpunge tavanul impermeabil şi talpa sa
se opreşte intermediar în mediul permeabil. Curgerea apei către puţ este o
mişcare spaţială, radial sferică (fig. 20.37).
H
s
h
Rr
h
a
0
0
Q
NHS
t
Fig. 20.37. Puţ imperfect în strat acvifer sub presiune alimentat radial
Calculul hidraulic al mişcării radial sferice este mai complicat şi se
găseşte în tratatele “petroliştilor”.
În unele ipoteze simplificatoare sunt cunoscute două relaţii:
- Kozeny
0
0
21 5 cos
ln 2
kts r tQ
R r t a
π π = +
(20.136)
- Muskat
R
a
a
t
a
t
a
ta
t
a
t
r
a
ktsQ
4ln
125,01875,01
125,0875,0
ln4
ln22
1
2
0
−
−Γ⋅
−Γ
Γ⋅
Γ
−
=π
(20.137)
în care Γ este o funcţie Euleriană de speţa II-a de forma
Hidraulică vol. II 483
∫∞
−=Γ0
1)( dyeyx yx
, pentru 0>x (20.137’)
şi valorile sale se găsesc calculate în tabele matematice în funcţie de argument.
S-a încercat şi echivalarea puţului imperfect cu un puţ perfect fictiv cu
DD f α= (D – diametrul puţului imperfect; fD - diametrul puţului perfect
fictiv) pe baza relaţiei lui Muskat. Valoarea lui α se extrage din grafice în
funcţie de at şi tD .
50. Puţ perfect cu alimentare radială mixtă
La un puţ perfect în strat acvifer sub presiune cu alimentare radială
mixtă nivelul din puţ coboară sub tavanul impermeabil. În apropierea puţului
mişcarea este cu nivel liber (există pâlnia de depresie a nivelului),iar în rest
mişcarea are loc sub presiune (suprafaţa piezometrică a pâlniei de depresie).
Calculul hidraulic se face separat, prin metoda fragmentelor legate în serie
(fig. 20.38).
H
s
Rr
a
0
0
NHS
2R
h
Fragment cunivel liber
Fragment sub
presiune
Fragment subpresiune
k
1
Q
D
Fig. 20.38. Puţ perfect cu alimentare radială mixtă
Pentru fragmentul sub presiune, între 1RR − , debitul este
1ln
)(2
RR
aHkaQ
−=
π
Pentru fragmentul cu nivel liber avem
( )
01
2
0
2
ln rR
hakQ
−=
π
Din egalitatea debitelor şi eliminarea lui 1R se obţine
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 484
( )
0
2
0
2
ln
2
rR
haHakQ
−−=
π (20.138)
60. Puţ perfect alimentat cu apă infiltrată de la suprafaţă
Se consideră un puţ perfect în mediu permeabil alimentat cu apă din
infiltraţii de la suprafaţă cu debitul specific ε ( )23 smm .
H
h
Rr
h
r dr
dh
0
0
k
Q
ε
Fig. 20.39. Puţ perfect alimentat cu apă infiltrată de la suprafaţă
Debitul total al puţului este debitul de alimentare din infiltraţii de la
suprafaţă
επ 2RQ = (20.139)
Debitul curentului subteran la distanţa r de puţ este
( )222 rRrQQQQ rrR −=⋅⋅−=−=− πεεπ (20.139’)
şi satisface relaţia lui Darcy
dr
dhkrhAkIQ rR ⋅⋅==− π2 (20.140)
deci
drrkr
dr
k
Rdhh ⋅−=⋅
22
2 εε (20.141)
care este ecuaţia diferenţială a suprafeţei de depresie. Integrând ecuaţia pentru
condiţiile de margine 0rr = , 0hh = în regim staţionar, rezultă
( )2
0
2
0
22
02
ln rrkr
r
k
Rhh −−=−
εε (20.142)
care este ecuaţia suprafeţei de depresie.
Hidraulică vol. II 485
Cu condiţia de margine Hh = , Rr = din (20.142) rezultă raza de
influenţă R pentru condiţiile concrete date, apoi, cu ajutorul ecuaţiei (20.142) se
poate trasa curba suprafeţei libere.
70. Puţ perfect alimentat cu apă infiltrată dintr-o sursă liniară de
suprafaţă (lac, râu, canal) Calculul hidraulic al acestui puţ se realizează prin metoda
hidrodinamică – “metoda imaginilor”. Se introduce virtual un puţ fictiv, dispus
simetric faţă de linia de alimentare, având un debit pozitiv egal cu cel al puţului
real. Se produce o mişcare identică celei reale, în care linia de alimentare
(malul râului) este o suprafaţă echipotenţială, intersectată normal de liniile de
curent (fig. 20.40).
H
s
h
r
a
0
0k
L L
θ
θrB
rAA
B
y
x
B A
B A
x
h
M ϕ
ψ
Fig. 20.40. Puţ perfect alimentat cu apă infiltrată
dintr-o sursă liniară de suprafaţă (mal)
a. Mişcare sub presiune
Funcţia de variabilă complexă care descrie mişcarea este aceea a două
izvoare cu debitul Q− în A şi Q+ în B
)ln(2
)( Lza
QzwB −=
π şi )ln(
2)( Lz
a
QzwA +−=
π
deci
( ) ( ) ( ) ln2
B A
Q z Lw z w z w z
a z Lπ
−= + =
+ (20.143)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 486
Scriind această funcţie pentru un punct oarecare M din domeniul
mişcării avem variabilele complexe (sub forma Euler) pentru cele două puţuri
BiQBerLz =− şi AiQ
AerLz =+
ecuaţia (20.143) devenind
( )
−+= AB
A
B ir
r
a
Qzw θθ
πln
2)( (20.144)
Funcţia potenţial care generează mişcarea
A
B
r
r
a
Qln
2πϕ = (20.145)
se egalează cu potenţialul hidraulic al mişcării subterane în strat sub presiune
ckh +−=ϕ (20.146)
Pentru suprafaţa oglindă (mal) condiţia de margine este Lrr BA == şi
Hh = , rezultând
A
B
r
r
ka
QhH ln
2π=− (20.147)
ecuaţia suprafeţei piezometrice (suprafaţa de depresie piezometrică).
Când puţul realizează debitul permanent Q se produce denivelarea
0hHs −= , iar pentru condiţiile de margine 0hh = , 0rrA = şi 02 rLrB −= , se
obţine:
0
0
0
0
0
2ln
2
2ln
)(2
r
rLkas
r
rLhHka
Q−
=−
−=
ππ (20.148)
b. Mişcare cu nivel liber
În cazul când mişcarea are loc cu nivel liber potenţialul hidraulic este
ckh +−= 2ϕ (20.149)
Procedând în mod asemănător punctului a se obţine ecuaţia suprafeţei
de depresie
A
B
r
r
k
QhH ln22
π=− (20.150)
Pentru condiţiile de margine 0=y , 0rrA = , 02 rLrB −= şi 0hh =
rezultă debitul puţului:
Hidraulică vol. II 487
( ) ( )
0
0
0
0
0
2
0
2
2ln
2ln
r
rLhHks
r
rLhHk
Q−
+=
−
−=
ππ (20.151)
Relaţiile de calcul al debitului pentru puţul în strat acvifer sub presiune
şi nivel liber se identifică dacă se pune condiţia 2
0hHa
+= , deci se consideră
mişcare sub presiune în stratul cu nivel liber de grosimea medie menţionată.
80. Puţ perfect în strat acvifer sub presiune în curent uniform
Soluţionarea problemei apelează la metoda hidrodinamică – funcţii de
variabilă complexă. Mişcarea se compune dintr-o curgere uniformă (de
translaţie) şi o curgere către puţ (sursă negativă). Sursa negativă în curent plan
paralel deformează spectrul hidrodinamic al acestuia pe o anumită zonă,
influenţa mai puternică resimţindu-se în apropierea puţului (fig. 20.41).
2b
b/2
b/2
θ π= /2
b/
θ πψ
ψ
ϕ
π
==0
y
x
A - punct de stagnare
Hh ak
j
h
x
0
0
curba de depresie
A
Fig. 20.41. Puţ perfect în strat acvifer sub presiune în curent uniform
Curentul uniform este caracterizat prin 00 kju = .
Potenţialul complex pentru mişcarea plan paralelă este zvzw 0)( = , iar
pentru sursă punctiformă za
Qzw ln
2)(
π−= .
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 488
Funcţia complexă care descrie mişcarea este însumarea celor două
curgeri
210 ln2
)( za
Qzvzw
π−= (20.152)
După înlocuirea variabilei complexe iyxz +=1 şi θirez =2 cu
22 yxr += , x
yarctg=θ şi separarea părţii reale şi imaginare se obţine
22
0 ln2
yxa
Qxv +−=
πϕ
θπ
ψ ⋅−=a
Qyv
20 (20.153)
Zona de influenţă a puţului corespunde pentru 0=ψ , respectiv în
amonte pentru by = rezultă πθ = , respectiv ππ
⋅−=a
Qbv
20 0 (liniile de
curent nu sunt afectate în exterior). Zona de influenţă a puţului în amonte este
02av
Qb = (20.154)
Punctul de stagnare A se obţine pentru condiţia
0=⋅+= ivuV (20.155)
însă
02 220 =
+−=
∂
∂=
yx
x
a
Qv
xu
π
ϕ (20.156)
şi
02 22
=+
−=∂
∂=
yx
y
a
Q
yv
π
ϕ (20.157)
Punctul A este situat pe axa x, deci 0=Ay şi ππ
b
av
Qx ==
02 şi sarcina
Hh = .
În calculul suprafeţei piezometrice (de depresie) se egalează funcţia
potenţial a mişcării cu cel hidrodinamic pentru strat acvifer sub presiune
ckh +−=ϕ , deci
ckhyxa
Qxv +−=+− 22
0 ln2π
Hidraulică vol. II 489
care pentru condiţia de margine 0=y , 0rx = şi 0hh = permite calculul
constantei şi ecuaţia suprafeţei piezometrice devine
0
000 ln2
)()(r
r
a
Qrxvhhk
π=−+− (20.157’)
Din condiţia Hh = , Axx = şi 0=Ay rezultă debitul puţului
( ) ( )
0
00
0
0
ln
2
ln
2
r
xrxav
r
xhHak
QA
A
A
−+
−=
ππ (20.158)
Lăţimea frontului de captare a puţului în amonte este 02 avQb = . Cu
cât 0v este mai mic se măreşte lăţimea frontului de captare şi distanţa de la puţ
până la punctul de stagnare. Pentru 00 =v se obţine puţul perfect în acvifer sub
presiune cu alimentare radială. În exteriorul 0=ψ este partea necaptată a
curentului subteran.
Spectrul mişcării se construieşte prin trasarea funcţiilor ϕ şi ψ ,
ţinând seama de legătura cu coordonatele carteziene şi polare, astfel:
- pentru funcţia ϕ
−=
+=
22
0
ln
xry
rb
vx
π
ϕ
(20.159)
- pentru funcţia ψ
+=
=
θπ
ψ
θ
b
vy
yctgx
0
(20.160)
Pentru puţ perfect în curent subteran uniform cu nivel liber mersul
calculelor este asemănător, însă cu constatarea că potenţialul hidraulic
este ckh +−= 2ϕ şi funcţia izvorului zQ
zw ln2
)(π
−= .
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 490
90. Puţ perfect în acvifer sub presiune, fără alimentare
Este cazul din figura 20.36, în care acviferul sub presiune se întinde
nelimitat în toate direcţiile. Acviferul este lipsit de alimentare, deci cedarea
apei către puţ se face pe seama rezervei proprii a zăcământului.
Mecanismul de cedare a apei poate fi descris pe scurt astfel:
- presupunând o pompare continuă, cu debit constant, aceasta duce la
scăderea continuă a nivelului în puţ, şi deci la scăderea continuă a presiunii în
strat;
- scăderea presiunii în strat duce la cedarea apei pe două căi: – prin
decomprimarea apei, care are ca efect cedarea rezervei elastice; – prin
micşorarea porilor pământului sub acţiunea forţei de apăsare a stratului
superior, care nu mai este echilibrată de presiunea apei din pori care scade
continuu datorită pompării;
- scăderile de presiune, generate de scăderea continuă a nivelului în
puţ, se propagă concentric, ca nişte unde, în jurul puţului care antrenează
cedarea apei pe întinderi din ce în ce mai mari ale stratului. Cedarea apei se
consideră proporţională cu scăderea de presiune. Coeficientul de
proporţionalitate este coeficientul de cedare S al stratului, definit ca fiind
cantitatea de apă cedată pe unitatea de suprafaţă a stratului (pe toată grosimea
stratului) la scăderea cotei piezometrice cu o unitate.
Figura 20.41 ilustrează cele descrise mai sus. Pe ea se arată situaţia
iniţială a suprafeţei piezometrice şi apoi două situaţii tranzitorii, la momentul t
şi dtt + . Aspectul lor pune în evidenţă caracterul nepermanent al fenomenului
şi extinderea continuă a zonei de alimentare. Volumul de apă pompat din puţ în
intervalul de timp dt este egal cu volumul cedat de strat în limita zonei
haşurate, proporţional cu ordonata dintre cele două suprafeţe piezometrice.
Ecuaţia de mişcare fiind legea lui Darcy, ecuaţia de bază a
fenomenului se obţine dintr-o ecuaţie de continuitate. Simetria axială a mişcării
sugerează folosirea coordonatelor cilindrice (în spaţiu) şi polare (în plan).
Mişcarea este plană şi ),( trHH = , ),( trvv = nu sunt funcţii de θ deoarece
mişcarea este simetrică faţă de axa Oz .
Hidraulică vol. II 491
Fig. 20.41. Puţ perfect în acvifer sub presiune, fără alimentare
Notând cu q debitul prin suprafaţa cilindrică de rază r şi înălţime a
rezultă:
∂
∂−==
r
HrakVraq ππ 2)2( (20.161)
Ecuaţia de continuitate se obţine scriind că diferenţa de debit pe
suprafeţele care delimitează coroana de raze r şi drr + provine din cedarea
apei în tubul corespunzător, datorită scăderii cotei piezometrice în timp.
Volumul cedat în timpul dt este:
dtt
HdrSrdW
∂
∂⋅= π2
În acelaşi interval de timp, prin pereţii tubului circulă un volum
dtdq ⋅ . Egalând cele două, ţinând seama de concordanţa semnelor rezultă:
dtdrt
HSrdr
r
qdq
∂
∂=
∂
∂−=− π2 (20.162)
S-a pus semnul minus fiindcă la 0>∂
∂
t
H, 0<dq , cu debitul
considerat pozitiv în sensul axelor (respective după r).
Înlocuind derivata lui q din (20.162) se obţine ecuaţia:
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 492
t
H
ak
S
r
H
rr
H
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂ 12
2
(20.163)
Această ecuaţie este de fapt ecuaţia (20.112) Fourier transformată în
coordonate polare (pentru ah = şi simetrie axială).
Se observă că în ambele ecuaţii apare produsul ka .
Ecuaţia (20.163) se întâlneşte şi la conducţia căldurii şi pune în
evidenţă analogia între fenomenele de conducţie şi mişcarea laminară a apelor
subterane. Această analogie se foloseşte în sensul că rezultate obţinute mult
înainte în domeniul termodinamicii pot fi folosite direct în hidraulica subterană.
Astfel, ecuaţia (20.163) a fost rezolvată mai înainte în termodinamică,
iar soluţia a fost folosită de Theis pentru elaborarea unei metode pentru calculul
puţurilor.
Cu condiţiile de unicitate corespunzătoare problemei din figura 20.41
şi anume: la 0<t , 0Hh = şi la 0≥t , 0HH → pentru ∞→r , soluţia este:
∫∞ − ⋅
=−u
u
u
due
ak
QHH
π40 , (20.164)
în care:
akt
Sru
4
2
= (20.165)
Integrala din formula (20.164) este “integrala logaritmică”:
)()( uWduu
euE
u
u
i ==−− ∫∞ −
, (20.165’)
care se găseşte tabelată.
Soluţia (20.164) se poate scrie:
)(4
0 uWak
QHH
π=− (20.166)
Funcţia )(uW se poate lua din tabel. Ţinând seama că pentru valori
mici ale lui u (deci t suficient de mare) rezultă:
≅−−=
buuEuW i
1ln)()( ,
cu 781,1577,0 == eb , se poate scrie soluţia aproximativă (pentru t foarte mare):
⋅=−
Srb
akt
ak
QHH
20
4ln
4π (20.167)
Hidraulică vol. II 493
100. Puţ perfect în acvifer cu suprafaţa liberă, fără alimentare
Ecuaţia generală în coordonate carteziene este (20.111), cu 0=ε .
Ecuaţia este greu de integrat, fiind neliniară în h. Ea se poate liniariza şi aduce
la forma (20.163) dacă se scrie debitul conform ecuaţiei (20.161), considerând
ha = , adâncimea medie a curentului subteran. Ecuaţia (20.111) se transformă
în (cu 0=ε ):
02
2
2
2
=∂
∂−
∂
∂+
∂
∂
t
h
hk
n
y
h
x
h e ,
care în coordonate polare (fig. 20.34) se scrie astfel:
t
h
hk
n
r
h
rr
h e
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂ 12
2
, (20.168)
deci ecuaţia de aceeaşi formă cu (20.163).
Concluzia este că pentru mişcarea cu suprafaţă liberă se poate da o
soluţie aproximativă de tipul celei de la punctul precedent:
)(4
0 uWhk
QhH
π=− , (20.169)
unde:
hkt
nru e
4
2 ⋅= (20.170)
La acviferele cu suprafaţă liberă, coeficientul de cedare (egal cu en )
nu atinge de la început valoarea normală. La începutul pompării apa este cedată
mai greu şi coeficientul de cedare este mai mic. Pe măsură ce timpul de
pompare creşte, coeficientul de cedare creşte, din ce în ce mai încet, stabilindu-
se practic după un anumit timp, dat de formula empirică:
,1035,5 0
5
k
SHTp
⋅= ],[ sm (20.171)
unde S este coeficientul de cedare, 0H – grosimea acviferului, k – coeficientul
de filtraţie.
110. Grup de puţuri
Se consideră un sistem de n puţuri, dintr-un acvifer sub presiune,
prezentate în plan şi în secţiune verticală în figura 20.42. Puţurile sunt aşezate
la distanţe mai mici decât raza lor de influenţă şi acţiunile lor interferează. Ca
urmare, suprafaţa piezometrică a stratului – iniţial orizontală – capătă o formă
complicată. În figura 20.42, linia curbă plină reprezintă o secţiune verticală prin
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 494
suprafaţa piezometrică. Ea exprimă legea de variaţie a presiunii în stratul de
apă. Se observă că sub acţiunea pompării, acviferul se descarcă de presiune,
ceea ce este avantajos pentru stabilitatea stratului impermeabil care constituie
tavanul pânzei de apă. Fie că este vorba de stabilitate sau de captarea unui debit
de apă, interesează relaţiile care să dea cotele piezometrice şi debitele.
Problema, deşi complicată, se poate rezolva cu ajutorul metodei
generale a potenţialului. În acest caz mişcarea este plană (deoarece se produce
între cele două straturi impermeabile paralele) şi ecuaţia de bază se scrie:
),( yxp
zkkH ϕγ
=
+−=−
Potenţialul ϕ se obţine scriind că el este suma potenţialelor celor n
puţuri:
1 1
ln2
n ni
i ii i
Qr C
aφ φ
π= =
= = +∑ ∑ (20.172)
Fig. 20.42. Grup de puţuri în acvifer sub presiune
Ecuaţia generală a suprafeţei piezometrice se scrie deci sub forma:
Cra
QkH
n
ii
i +⋅⋅
=− ∑=1
ln2 π
(20.173)
În cazul unui acvifer cu nivel liber formula se modifică astfel:
CrQh
kn
ii
i +=− ∑=1
2
ln22 π
(20.174)
Restul formulelor se modifică în mod analog.
Hidraulică vol. II 495
Determinarea constantei C depinde de formularea problemei. De fapt
problema comportă 1+n constante arbitrare: constanta C şi cele n debite iQ .
Formularea 1. Dacă sunt date adâncimile în puţuri (cele n adâncimi
ih0 ) şi o condiţie la limita razei de influenţă a grupului (la Rrrr n ≅≅≅≅ …21
există 0HH = ) se pot scrie 1+n ecuaţii care determină cele 1+n constante:
constanta C şi cele n debite iQ .
Formularea 2. Dacă sunt date debitele iQ , cu ajutorul condiţiei la
limita razei de influenţă ( 0HH = pentru punctul ),,( 21 nrrrM … la distanţa R )
se determină constanta C şi rezultă ecuaţia suprafeţei piezometrice:
∑=⋅⋅⋅
+=n
i
ii R
rQ
akHH
10 ln
2
1
π (20.175)
Cu ajutorul acestei ecuaţii se poate calcula presiunea efectivă din
stratul acvifer. Se calculează raza de influenţă, se aleg debitele iQ (de obicei
egale între ele QQQQ n === …21 ) şi cu ajutorul relaţiei (20.175) se calculează
cotele în diferite puncte, inclusiv cotele la marginea puţurilor.
Formularea 3. Se presupun debitele iQ cunoscute şi egale între ele
( QQQQ n === …21 ) şi se cere să se determine valoarea lui Q astfel ca într-un
punct dat ),( 21 nrrrM ′′′′ … să existe o cotă piezometrică dată H ′ . Problema revine
la a calcula debitul Q care realizează o anumită descărcare de presiune a
acviferului într-un punct critic M ′ şi este de fapt o completare a formulării 2.
În condiţiile menţionate, ecuaţia (20.175) se scrie:
∑=
′
⋅⋅⋅+=′
n
i
ii R
rQ
akHH
10 ln
2
1
π,
din care rezultă debitul:
( )[ ]n
n rrrR
HHakQ
′⋅′⋅′
′−⋅⋅⋅=
…21
0
ln
)(2 π (20.176)
120. Viteza admisibilă la intrarea apei în puţ
Unul dintre criteriile de bază la dimensionarea puţurilor este
stabilitatea mecanică a stratului acvifer în imediata vecinătate a puţului. Aici
se înregistrează vitezele reale de filtrare cele mai mari şi este posibilă
antrenarea particulelor constituente al mediului poros, iar în exploatarea
puţurilor nu este admisă această antrenare întrucât s-ar distruge structura
naturală a mediului permeabil şi se înnisipează puţul.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 496
Debitul extras din puţ trebuie limitat la valorile impuse de condiţiile
de stabilitate a mediului permeabil.
- pentru puţ în strat acvifer sub presiune
admavrQ 02π≤ (20.177)
- iar în puţ în strat acvifer cu nivel liber
admvhrQ 002π≤ (20.178)
unde: 0r se referă la raza exterioară a coroanei de filtru a puţului.
Vitezele admisibile ale vitezei de intrare sunt:
- după Sichardt
15
kvadm =
- iar după Abramov 365 kvadm =
Standardele româneşti stabilesc vitezele admisibile la valorile din
(tab. 20.3).
Vitezele admisibile de intrare a apei în puţuri
Tabelul 20.3. Conţinutul în nisip al stratului de mediu
permeabil captat admv
(m/s)
60% particule cu d < 1 mm 0,002
40% particule cu d < 0,5 mm 0,001
40% particule cu d < 0,25 mm 0,0005
130. Puţ absorbant perfect în acvifer cu suprafaţa liberă
Puţul absorbant – sursă pozitivă – este un puţ în care se introduce un
debit de apă în diferite scopuri (îmbogăţirea stratului acvifer, apa uzată epurată
etc). Nivelul apei în puţ este superior nivelului hidrostatic din mediul permeabil
şi apa din puţ se infiltrează în stratul permeabil (fig. 20.43).
Hidraulică vol. II 497
Fig. 20.43. Puţ absorbant perfect
Suprafaţa liberă din acvifer în urma creşterii nivelului în puţ cu
Hhs −= 0 în regim staţionar este:
0
22
0 lnr
r
k
Qhh
π=− (20.179)
iar debitul distribuit de puţ acviferului
( )
0
22
0
lnr
RHhk
Q−
=π
(20.180)
20.4.2. Mişcarea apelor subterane spre drenuri
Drenurile sunt construcţii longitudinale, executate sub formă de tuburi
permeabile, canale sau şanţuri, care captează (drenează) apa din pământ. Ele
sunt folosite pentru captarea apelor subterane în scopul folosirii lor sau în
scopul controlului nivelului şi presiunii acviferelor, sau în scopul îndepărtării
apei în exces (desecare sau drenare). Folosite în scopuri diverse, drenurile sunt
construcţii foarte răspândite şi cu forme de realizare – şi implicit condiţii de
calcul – foarte variate.
10. Drenul perfect în acvifer sub presiune alimentat lateral
Schema acestui dren este prezentată în figura 20.44. Drenul se
numeşte perfect, deoarece este permeabil şi captează apa în întreaga grosime a
stratului acvifer, respectiv străpunge stratul până la patul impermeabil.
Mişcarea în stratul acvifer este uniformă şi se produce sub diferenţa de
sarcină 00 hHs −= . Problema principală este calculul debitului, care se rezolvă
direct, debitul specific (pe unitatea de lungime de dren) fiind:
h
s
h
r
R
dr
dH
r
k
NHS
I
Q
0
0
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 498
L
kasakJaVVaq ===⋅= )1( (20.181)
s h
H a
H
x
L
Put de observatie
Tavan impermeabil
A
kAcvifer V
XX Plan de referinta
Pat impermeabil
q q
V
Linia piezometrica0
0
Dre
n
Fro
nt
de
alim
en
tare
Fig. 20.44. Drenul perfect în acvifer sub presiune alimentat radial
În funcţie de debit, rezultă denivelarea sau sarcina necesară a drenului:
)/(kaqLs = .
Linia piezometrică are ecuaţia:
xak
qhH
⋅+= 0 , (20.182)
şi este linia dreaptă care uneşte nivelele extreme.
20. Drenul perfect în acvifer cu suprafaţă liberă,
cu pat orizontal, alimentat lateral Schema acestui dren este arătată în figura 20.45. Considerând un dren
de lungime mare, problema se poate reduce la modelul filtraţiei plane pe pat
orizontal. Pentru calculul debitului şi suprafeţei libere se aplică relaţia mişcării
permanente variate pentru 0=I (parabola lui Dupuit):
( )
L
hHkq
2
2
0
2
0 −= ; (20.183)
xk
qhh
22
0 +=′ (20.184)
Ultima ecuaţie descrie curba suprafeţei libere trasată pe figura 20.45
cu linie întreruptă, adică în ipoteza că se racordează la înălţimea 0h din dren
(ipoteza Dupuit). În realitate, din cauza condiţiilor speciale existente la trecerea
de la masivul de pământ la spaţiul liber din dren, suprafaţa liberă efectivă
Hidraulică vol. II 499
rămâne mai sus. Apa intră în dren nu numai pe înălţimea 0h , ci pe o înălţime
mai mare ihh ∆+0 . Apare o zonă de izvorâre de înălţime ih∆ .
Curba reală a suprafeţei libere va fi dată de relaţia:
xk
qhhh i
2)( 2
0 +∆+= (20.185)
După Polubarinova-Kocina înălţimea de izvorâre la peretele vertical al
unui dren poate fi determinată cu ajutorul graficului din figura 20.46, stabilit pe
cale analitică.
Fig. 20.45. Drenul perfect în acvifer cu suprafaţa liberă, alimentat lateral
Fig. 20.46. Abacă pentru calculul înălţimii de
izvorâre la drenuri cu perete
filtrant vertical
30. Drenajul sistematic
Drenajul sistematic este realizat din tuburi închise, canale, şanţuri la
echidistanţă (perfecte sau imperfecte), în scopul evacuării excesului de
umiditate provenită de la infiltraţii de la suprafaţă. Atât infiltraţia, cât şi
mişcarea apei spre drenuri este variabilă în timp, deci o mişcare nepermanentă.
Diferite soluţii ale ecuaţiilor mişcării, în diferite condiţii concrete sunt
prezentate în lucrări de specialitate de calcul al infiltraţiilor, desecări, drenaje.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.1
0
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.5
∆h j
H0
H0h
0HL
=0
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 500
40. Infiltraţia din canale şi drenuri
Un canal de pământ în care nivelul apei se află deasupra nivelului
pânzei subterane se comportă ca un dren invers, din care apa se infiltrează în
pământ, alimentând pânza subterană. Fenomenul poate să fie şi dirijat în cazul
când serveşte la îmbogăţirea unei pânze subterane din care apa se captează în
scopuri utile.
În figura 20.47.a se arată aspectul mişcării apei, care se infiltrează
dintr-un canal şi se mişcă apoi într-un teren permeabil, în care nivelul pânzei
subterane este situat mult mai jos decât fundul canalului. La ieşirea din canal,
liniile de curent sunt normale la suprafaţa taluzurilor şi fundului, apoi se
curbează în jos şi după o oarecare distanţă devin paralele. În această zonă apa
infiltrată se mişcă pe verticală, pe o lăţime 0B , cu panta hidraulică
1=∆∆= zzJ , deci debitul infiltrat de unitatea de lungime a canalului va fi:
kBkJBVBq 000 === (20.185’)
Lăţimea 0B a putut fi determinată teoretic, rezultând formula:
ChBB +=0 ,
în care coeficientul C se ia din tabelul 20.4 în funcţie de panta taluzurilor
canalului şi de raportul între oglinda apei şi adâncimea apei în canal.
În terenuri fine se face simţită şi influenţa capilarităţii, care face să
crească 0B . În cazul când pânza subterană este mai aproape (fig. 20.47b)
debitul scade.
Valorile coeficientului C pentru lăţimea frontului de infiltraţie
Tabelul 20.4. B/h 0 2 4 6 8 12 16 20
m=0 2,80 - - - - - - -
m=1 - 2,00 2,70 3,15 3,45 3,85 4,10 -
m=1,5 - - 2,25 2,70 3,00 3,40 3,70 -
m=2 - - 1,80 2,30 2,65 3,10 3,40 3,60
m=2,5 - - - 2,05 2,40 2,85 3,15 3,35
Hidraulică vol. II 501
h
B
B
p=
pa
t
0
a)
b)
Fig. 20.47. Infiltraţia dintr-un canal de pământ
Infiltraţia apei de irigaţie din brazde poate fi privită ca o mişcare
asemănătoare celei prezentate însă este mult mai complicată. Parametrii
hidraulici în lungul brazdei variază datorită infiltraţiei, iar frontul de avans
întâlneşte un mediu permeabil nesaturat în care tensiunea superficială şi chiar
forţele moleculare joacă rol important. Mişcarea este dependentă de timp şi
spaţiu (lungul brazdei) şi uneori la udarea prin brazde se utilizează la
alimentarea lor două trepte la debit.
Irigaţia subterană recurge la distribuirea apei din conducte îngropate
care funcţionează cu presiuni manometrice mici (linia piezometrică nu
depăşeşte suprafaţa terenului). Conducta de distribuţie subterană poate fi privită
ca un dren invers, ea alimentează pânza subterană, iar prin ridicarea acesteia se
umectează stratul de sol activ (fig. 20.48).
Fig. 20.48. Irigaţia subterană prin
alimentarea pânzei freatice
Irigarea subterană prin ridicarea nivelului freatic se poate aplica în
situaţia când patul impermeabil se află la o adâncime mică şi există un control
al alimentării drenurilor respective asupra nivelului freatic.
Totuşi distanţa dintre drenuri la faza de drenare şi la faza de
distribuţie, pentru aceleaşi condiţii, diferă. La faza de distribuţie din drenuri
k
t
0
p/
t=0
γ
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 502
distanţa între acestea este mai mică. Experienţele arată reducerea coeficientului
de filtraţie la faza de distribuţie faţă de faza de drenare. Explicaţia fenomenului
de modificare a coeficientului de filtraţie k la acelaşi mediu permeabil, deci
coeficient de permeabilitate unic, pk , rezultă din calitatea apei. La faza de
drenare se colectează apă subterană având un anumit grad de aerare, iar la faza
de distribuţie se utilizează apă de la suprafaţă având conţinut de aer absorbit
mai mare. Apa de suprafaţă distribuită în subteran are tendinţa de a aduce
conţinutul de aer absorbit la caracteristicile apei subterane prin eliberare din
aerul absorbit. Această cantitate de aer eliberat blochează porii mediului
permeabil reducându-i coeficientul de filtraţie.
Problemele menţionate sunt de pionierat şi necesită studii sistematice
aprofundate.
20.5. FILTRAŢIA APEI PRIN CORPUL CONSTRUCŢIILOR
DIN PĂMÂNT
Barajele, digurile şi batardourile din pământ sunt construcţii masive
supuse acţiunii apei sub sarcini diferite de până peste o sută metri coloană de
apă. Sub sarcina hidraulică apa circulă prin porii masivelor de pământ, formând
curenţi în zona umedă a construcţiilor. Umezirea unei părţi a construcţiei de
pământ şi acţiunea forţelor hidrodinamice au implicaţii asupra stabilităţii
masivelor. Curenţii prin aceste construcţii transportă diferite debite care
prezintă importanţă diferită de la caz la caz.
Filtraţia prin construcţiile de pământ îmbracă aspecte diferite: există
mişcări care pot fi tratate drept curgeri permanente (ex: baraje,batardouri,
diguri ale acumulărilor permanente), în alte cazuri mişcarea este nepermanentă
cu variaţii regulate sau oarecare (ex: digurile de apărare împotriva inundaţiilor).
Masivele de pământ ale construcţiilor pot fi medii permeabile
omogene izotrope sau neomogene în funcţie de tipul construcţiei, tehnologia de
realizare etc.
Construcţiile din pământ au diferite condiţii de fundare din punct de
vedere al filtraţiei şi, uneori, există îmbunătăţiri ale acesteia sau se utilizează
elemente de construcţie care reduc sau îmbunătăţesc condiţiile de filtrare a apei.
Hidraulică vol. II 503
20.5.1. Filtraţia prin corpul barajelor de pământ
Filtraţia prin baraje de pământ poate fi privită ca un caz de mişcare
permanentă în ipotezele cele mai nefavorabile de funcţionare. Construcţia este
solicitată de apa reţinută în lac la care variaţia nivelului în timp este mică.
Ipotezele de calcul cele mai nefavorabile sunt acoperitoare şi totodată posibile
să apară în exploatare.
Rezultatele calculelor folosesc la determinarea stabilităţii taluzurilor,
stabilitatea barajului, stabilitatea terenului de fundaţie etc.
Reducerea infiltraţiilor prin corpul barajelor se realizează prin nuclee
cu permeabilitate redusă, ecrane (măşti), iar coborârea suprafeţei libere a apei
infiltrate – în scopul reducerii pământului umectat din corpul barajului – se
realizează prin diferite forme de drenaj – prism drenant, dren, saltea drenantă,
banchetă de anrocament ş.a.
Barajele din pământ pot fi omogene sau neomogene – neomogenitate
creată de nucleu, mască ş.a.
În concordanţă cu marea varietate de combinaţii de soluţii constructive
şi calculele hidraulice diferă de la un caz la caz, dar principial se pot găsi soluţii
aproximative, acoperitoare pe cale hidraulică sau hidrodinamică.
Soluţionarea filtraţiei prin baraje de pământ pe cale hidraulică a fost
elucidată de N.N. Pavlovski.
10. Filtraţia prin baraj de pământ omogen fundat pe pat
impermeabil orizontal Se consideră barajul omogen din (fig. 20.49).
H
H
d
h
l
ϕ
yh θ
a
t
m H x
s
s
s
B
m h
θ
b
1
0
1
1 0 2 a
00
1'1 2
1
0
N
C
B
AA'
A"
M0
1"
i=0
a2
m 1
m2
k
y
x
Fig. 20.49. Filtraţia prin baraj de pământ omogen pe strat impermeabil orizontal
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 504
Mărimile din figură definesc secţiunea transversală a barajului şi
condiţiile hidraulice limită din biefurile amonte şi aval.
Aceste mărimi sunt cunoscute, precum şi coeficientul de filtraţie k.
La filtraţia cu nivel liber mişcarea are loc prin prelingere, adică curba
de depresie (nivelul liber) AB are punctual de ieşire B deasupra punctului C,
corespunzătoare contactului cu nivelul apei din aval. Segmentul BC este zona
de prelingere.
Secţiunile 1′′ (trece prin muchia amonte a coronamentului) şi 2′′ (trece
prin punctul B – de apariţie a apei pe taluzul aval) sunt secţiuni de separaţie şi
împart corpul barajului (secţiunea transversală) în trei fragmente. Calculele
filtraţiei pe cele trei fragmente diferă, însă se respectă condiţia de continuitate
(debitul specific filtrat pe cele trei fragmente este acelaşi).
a. Fragmentul amonte este limitat de taluzul amonte şi secţiunea de
separaţie 1′′
Rezistenţele hidraulice care apar la mişcarea curentului de filtraţie, în
primul fragment, determină pierderile de sarcină şi în consecinţă coborârea
nivelului de la punctul A la A ′′ .
hHa −= 0 (20.186)
Fig. 20.50. Filtraţia prin segmentul
amonte
Linia taluzului amonte AM este izobară (echipotenţială) şi îi este
caracteristică
constp
yH =+=γ
0 (20.187)
În mod analog secţiunea de ieşire EA ′′ trebuie să fie echipotenţială.
Liniile de curent sunt normale pe cele echipotenţiale, au o curbură pronunţată şi
sunt cvasiparalele între ele.
Hidraulică vol. II 505
Firele de curent reale se înlocuiesc cu fire virtuale orizontale,
echivalente, de ordonată z, grosime dz şi lungime
)(1 dzml += (20.188)
Pierderile de sarcină în segmentul amonte au valoarea a, rezultând
panta hidraulică pentru firul de curent virtual considerat
1( )
aI
m d z=
+ (20.189)
Debitul specific filtrat pe secţiunea dzdA ⋅= 1 este:
1( )
kadq kIdA dz
m d z= =
+ (20.190)
Însumarea debitelor elementare pe domeniul ],[ 0Haz ∈ permite
obţinerea debitului specific (pe 1 m lăţime)
ad
Hd
m
akq
+
+⋅= 0
1
ln (20.191)
sau înlocuind hHa −= 0 şi 10 HdH =+ , rezultă:
hH
H
m
hHkq
−
−=
1
1
1
0 ln)(
(20.192)
Relaţia (20.192) supraapreciază pierderile pe fragmentul amonte,
subapreciind debitul specific filtrat şi se recomandă corecţia sa. După Dachler:
)( 0 hHkq −= ε (20.193)
unde:
1
93,112,1
m+=ε
sau pe baza teoriei hidrodinamice a filtraţiei
12
1)(cos
1
θ
π
θ
ε = (20.194)
b. Fragmentul central se consideră situat între secţiunile 1′ şi 2. Între
aceste secţiuni are loc o mişcare permanentă gradual variată pe pat impermeabil
orizontal şi i se aplică relaţia lui Dupuit (parabola), respectând continuitatea:
( )
s
hhkq a
2
22 −= (20.195)
în care 0atha += .
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 506
c. Fragmentul aval În cazul schemei prezentate pe taluzul aval apare o zonă de prelingere
şi aceasta totdeauna există pentru 22 πθ <
yθ
t
ky
0 N
C
2
m2
θ2
l
z
dz t
aC
B
G
k1
2 N
0
m2
Fig. 20.51. Schemă explicativă Fig. 20.52. Calculul hidraulic al
a spectrului mişcării pe fragmentului aval
fragmentul aval
Segmentul CN de pe taluzul aval este o linie echipotenţială şi liniile de
curent sunt normale pe ea. Curba suprafeţei libere fiind o linie de curent trebuie
să fie normală la suprafaţa echipotenţială CN. În acelaşi timp pe suprafaţa
curbei de depresie presiunea este constantă, cea atmosferică, 0== app . Curba
de depresie ar trebui să aibă forma din fig. 20.51, cu sarcina yH = , care ar
trebui să crească spre aval (în lungul curentului). Acest fapt este imposibil
energetic, energia specifică scade continuu spre aval. Existenţa pierderilor de
energie pe fragmentul aval evidenţiază micşorarea spre aval a cotei suprafeţe
libere. În concluzie apa nu poate ieşi pe taluz în punctul C; este inevitabilă
apariţia zonei de prelingere.
Debitul filtrat pe fragmentul aval se calculează conform fig. 20.52,
fragmentul fiind împărţit prin orizontala nivelului aval în două subfragmente:
- subfragmentul 1 (deasupra nivelului aval), în care filtraţia (cu debitul
specific 1q ) are loc sub sarcină variabilă (z) şi
- subfragmentul (sub nivelul aval), în care filtraţia (cu debitul specific
2q ) are loc sub sarcină constantă 0a .
În calcule hidraulice se introduce o aproximare privind secţiunea
limită 2, care în loc de verticala punctului B ia coarda arcului de cerc BG, cu
originea în N (piciorul taluzului aval).
Hidraulică vol. II 507
Parte din debitul filtrat iese în atmosferă pe taluzul aval, în zona de
prelingere BC, iar altă parte în zona CN, sub nivelul din aval.
Ca şi pe fragmentul amonte şi pe cele două subfragmente aval tuburile
elementare de curent reale se înlocuiesc cu tuburi elementare orizontale virtuale
de grosime dz.
Debitul specific total filtrat este:
21 qqq += (20.196)
În zona subfragmentului aval superior, 1, lungimea firului de curent
este:
2sinθ
zl = (20.197)
iar pierderile de sarcină sunt zhr = . Rezultă panta hidraulică
2
2
sinsin
θθ
===z
z
l
hrI (20.198)
şi debitul elementar
dzkdAIkdq ⋅⋅⋅=⋅⋅= 21 sin1 θ (20.199)
respectiv, prin integrare pe domeniul ],0[ 0az ∈ , debitul specific
201 sinθkaq = (20.200)
În zona subfragmentului aval inferior, 2, lungimea firului de curent
este (20.197), iar pierderile de sarcină 0ahr = . Rezultă panta hidraulică
z
aI 20 sinθ
= (20.201)
şi debitul specific elementar
z
dzakdq ⋅⋅= 202 sinθ (20.202)
iar după integrare pe domeniul ],[ 0 ahaz ∈
0
202 lnsina
hakq a⋅⋅= θ (20.203)
Debitul total filtrat este:
+⋅⋅=+=
0
2021 ln1sina
hakqqq aθ (20.204)
Dacă secţiunea limită 2 se consideră verticală, debitul specific este:
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 508
+⋅⋅=
+⋅⋅=
02
0
0
20 ln11
ln1a
h
mak
a
htgakq aaθ (20.205)
În virtutea continuităţii, debitele filtrate pe cele trei fragmente
(ecuaţiile 20.193, 20.195 şi 20.204) sunt egale.
Numărul necunoscutelor în aceste trei ecuaţii este 4 şi anume h , 0a , s
şi q.
Pentru rezolvarea sistemului acesta se completează, din condiţia
geometrică, cu
0201 lhmHmBs a −−−= (20.206)
în care
121 )( HmmbB ++=
şi
kql =0
Sistemul de ecuaţii rezultat este:
−−−=
+=
−=
−=
shmHmBkq
ahakqs
hhkq
hHkq
a
a
a
201
020
22
0
)ln1(sin
2
)(
θ
ε
(20.207)
Sistemul de ecuaţii (20.207) este valabil şi pentru cazul când bieful
aval este uscat ( 0=t şi 0aha = ).
Sistemul de ecuaţii se rezolvă printr-o metodă matematică sau grafo-
analitică.
După calculul necunoscutelor se construieşte prin puncte curba de
depresie. Întâi se trasează curba suprafeţei libere pe fragmentul de mijloc cu
ecuaţia
( )0
2 2lx
k
lhy −−= (20.208)
Începutul curbei este în punctul A′ , iar sfârşitul în B . Curba se
construieşte prin puncte pentru ],[ 00 lslx +∈ .
La trasarea curbei de depresie pe fragmentul amonte, între punctele A
şi A′ trebuie să respecte următoarele condiţii:
Hidraulică vol. II 509
- în punctul A , tangenta la curba de depresie este normală la linia
taluzului amonte;
- în punctul A′ curba de depresie din fragmentul amonte şi central au
tangentă comună şi face cu orizontala unghiului ϕ (ce se obţine prin
diferenţierea ecuaţiei 20.208 şi pentru condiţia de margine hy → ), obţinând:
−=
kh
qarctgϕ (20.209)
Racordarea curbei de depresie în punctual B este tangenţială la
taluzul aval.
Forma curbei de depresie depinde de raportul kq , elementele
geometrice ale barajului şi condiţiile hidraulice din bieful amonte şi aval.
20. Filtraţia prin baraj de pământ cu nucleu, fundat
pe teren impermeabil orizontal Caracteristica nucleului unui baraj este aceea că coeficientul său de
filtraţie Nk este mult mai mic decât al umpluturii. Din acest considerent, chiar
şi în cazul unei grosimi mici a nucleului, pierderile de sarcină pe acesta sunt
importante, curba de depresie coborând apreciabil. Nucleul în cele mai multe
cazuri are secţiune trapezoidală şi pinten de încastrare în patul impermeabil
(fig. 20.53).
Hh
lh'
δ
h"a
tθθ
δ ccb
δ
l l s s
m h
0
M 1 00
2
1
N
KA'
A
LB
C
N
kN
1 2
0
2 a
2
0
x
y
k
m 1
m2
N
Fig. 20.53. Curba de depresie în baraj cu nucleu fund pe pat impermeabil orizontal
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 510
Pentru simplificare se consideră un nucleu echivalent de secţiune
dreptunghiulară cu
2
21 δδδ
+=N
Calculul filtraţiei este analog cu cele prezentate la pct.1 fragmentul de
mijloc însă este divizat în trei subfragmente, deci parabola lui Dupuit se
calculează pe subfragmente obţinând sistemul de ecuaţii:
−−=
+=
−′′=
′′−′=
′−=
−=
020
020
2
22
22
1
22
0
)ln1(sin
2)(
2)(
2)(
)(
lhmss
ahakq
lhhkq
hhkq
lhhkq
hHkq
a
a
a
N
θ
δ
ε
(20.210)
Necunoscutele sunt 0h , 0a , q , s , h′ şi h ′′ . Sistemul se rezolvă
printr-o metodă matematică, numerică sau grafo-analitică.
Calculele pot fi rezolvate prin înlocuire virtuală a nucleului cu un
prism echivalent de mediu poros cu coeficient de filtraţie k şi lăţime
echivalentă
N
Ne k
kl δ= (20.211)
şi lucrând cu baraj omogen cu (sistemul de ecuaţii 20.207):
N
Neechiv k
kclcb δ+=+= 22 (20.212)
30. Baraj de pământ cu ecran fundat pe teren impermeabil
orizontal Prin ecranul puţin permeabil care formează paramentul amonte al
barajului se produc pierderi de sarcină importante, suprafaţa curbei de depresie
coborând mult. Din condiţii hidraulice şi de stabilitate ecranele se execută cu
grosime variabilă, crescătoare de la suprafaţă spre adâncime (fig. 20.54).
În calcule se va considera un ecran de grosime constantă, eδ .
Hidraulică vol. II 511
Fig. 20.54. Curba de depresie în baraj cu ecran fundat pe pat impermeabil orizontal
Dacă BA′ este poziţia curbei de depresie, suprafeţele de separaţie sunt
1 şi 2 care trec prin punctele E şi B. Segmentul AE este normal pe suprafaţa
taluzului. Pentru fragmentele de mijloc şi aval sunt caracteristice consideraţiile
(şi ecuaţiile) de la punctul 1.
Fragmentul ecranului din amonte se poate schematiza conform
fig. 20.55 în două subfragmente – zona superioară şi zona inferioară.
Hd
δ
d
h
z
dh
ξ
z
s'l
0
kee
II
I
D
e
A'A"
E
0
A
1' 1
1θ
ζ
ξ
ζ
m 1
Fig. 20.55. Schema de calcul al fragmentului amonte
Ducând normale la taluzul amonte din A′ , linia AD împarte ecranul
în subfragmente.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 512
Debitul total filtrat este suma debitelor filtrate pe cele două
subfragmente:
21 qqq += (20.213)
Ecuaţiile celor două subzone se determină separat.
a. Zona superioară Se consideră firul de curent rectiliniu şi normal la taluz. Poziţia firului
este definit din coordonata z, respectiv grosimea ζd , debitul elementar fiind:
ζδ
ζ dz
kIdkdqe
ee ⋅== (20.214)
dar
1sinθ
ζdz
d = , (20.215)
şi
dzz
kdqe
e1
1sin
1
θδ⋅= (20.216)
Însumarea 1dq pe intervalul ],[ 00 ehHzz −∈ conduce la relaţia
( )[ ]
1
2
0
2
01
sin2 θδe
ee zhHkq
−−= (20.217)
unde 10 sinθδez = .
Pentru simplificarea soluţiei se poate admite hhe =
( )[ ]
1
222
01
sin2
sin
θδ
αδ
e
ee hHkq
−−≅ (20.218)
b. Zona inferioară La calculul lui 2q se foloseşte de schema echivalentă. Firul de curent
de calcul este de grosime ζd în ecran şi ξd în umplutură. Geometric rezultă:
1sinθζξ dd = (20.219)
Lungimea firului în ecran este eδ , iar pe porţiunea orizontală ξ1ml = .
Partea înclinată a firului de curent, situată în limitele ecranului, se
înlocuieşte cu o lungime echivalentă, sub aspectul pierderilor de sarcină, cu
dimensiunea transversală ξd
Hidraulică vol. II 513
1sinθδeek
kl ⋅=′ (20.220)
În zona inferioară filtraţia are loc sub sarcina constantă ehH −0 , iar
drumul filtraţiei este lll +′=′′ .
Fig. 20.56. Schema înlocuirii situaţiei reale
cu o schemă echivalentă
Debitul elementar filtrat când se face aproximaţia hhe = , este:
ξξ
ξ dml
hHkdkIdq
1
02
+′
−⋅=⋅= (20.221)
Integrând ecuaţia în limitele 001 zhH −−=ξ şi 002 zH −=ξ se obţine:
)(
)(ln
)()(
001
001
1
0
1
02
2
1hzHml
zHml
m
hHk
ml
dhHkq
−−+′
−+′−=
+′−= ∫
ξ
ξξ
ξ (20.222)
Pentru secţiunea întreaga a barajului se poate scrie sistemul:
2 2
1 0 0
1
2 0 1 0 0
1 1 0 0
1 2
2 2
0 2
0
0 2
( )
2 sin
( )ln
( )
1( )
2
sin 1 ln
e
a
a
a
q H h z
k
q H h l m H z
k m l m H z h
qq q
k k
q h h
k s
q ha
k a
s s m h
δ θ
θ
− −=
′− + −
=′ + − −
= +
−
= = +
= −
(20.223)
l' l=m
d
δ
d
l"1
e
ζ
ξ
ξ
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 514
cu 1010 sinθδeHmBs −−= .
Rezolvând sistemul de ecuaţii se găsesc cele 6 mărimi necunoscute
0a , h , s , 1q , 2q şi q .
40. Baraj de pământ cu dren
Barajele de pământ sunt prevăzute deseori cu drenuri la piciorul aval.
Drenajul piciorului aval poate fi de 4 tipuri caracteristice, care generează
diverse moduri de calcul al curbei de depresie.
θ θ
y
xs
θ
θ θ θt t t
a
C
B
2
b
bancheta dren
2
c 2
saltea
d1
2C
d2
2
C
prism
d3
2
C
h0
B
Fig. 20.57. Scheme de drenaj şi forma curbelor de depresie
- Cazul a nu introduce nici o modificare a problemei filtraţiei,
bancheta având rol de sprijinire a taluzului înmuiat şi de prevenire a sufoziei.
Poziţionarea curbei de depresie se face analog cu primul caz prezentat. - Când barajul este prevăzut cu dren pe talpa fundaţiei (cazul b)
profilul se împarte în două fragmente – amonte şi mijloc, fragmentul amonte
calculându-se analog cu cele prezentate. În fragmentul din mijloc dacă se
neglijează adâncimea mică a apei în dren comparativ cu dimensiunile barajului
se obţine
s
h
s
hh
k
q
2~
2
22
0
2 −= (20.224)
care completat cu ecuaţiile
−=
−=
00
0 )(
lss
hHk
qε
(20.225)
permit calculul lui h , q şi s .
Hidraulică vol. II 515
Curba de depresie pe fragmentul de mijloc se obţine prin reprezentarea
ecuaţiei (20.208).
Drenul trebuie să aibă capacitatea de evacuare a întregului debit filtrat,
în caz contrar există pericolul deversării sale şi apariţia apei pe taluz. Când
drenul funcţionează normal curba de depresie se racordează cu aceasta după o
tangentă verticală.
- În cazul c al drenajului cu saltea (fig. 20.58), secţiunea barajului se împarte în fragmentul amonte (care se calculează în mod analog celor
prezentate) şi fragmentul central (principal).
H yl
y
y
xs s
l
A
11'
kA'
0
0B
2D
x
y
0
dr
1 2
Fig. 20.58. Curba de depresie la baraj drenat cu saltea
Problema aparte este determinarea drl care rezultă din relaţia lui
Dupuit pentru un dren
k
qldr
2= (20.226)
Sistemul de ecuaţii ce se obţine este:
−−=
=
−=
01
2
0
2
2
)(
lk
qss
s
hkq
hHkq ε
(20.227)
din care se determină q , h şi s . Valoarea kqy =0 .
Într-un caz simplificat, când 0=drl , rezultă 01 lss += şi trebuie
determinat h şi de reprezentat curba de depresie.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 516
- În cazul d, 22 πθ > . Între prisma de anrocament şi umplutură se
intercalează un filtru invers pentru prevenirea sufoziei. Curba de depresie se
racordează diferenţiat cu paramentul aval înclinat, în raport cu adâncimea t din
aval. Când
limtt < există o zonă de prelingere (caz 1d ) şi curba de depresie
se racordează tangent la o verticală ridicată din punctul B. În lipsa apei din aval
( 0=t ) zona de prelingere există totdeauna, la fel pentru limtt < .
Pentru h
qmftt p )(lim == curba de depresie este normală la suprafaţa
banchetei de anrocamente (cazul 2d ), iar pentru limtt > racordarea se face după
o orizontală (cazul 3d ).
Valorile )( pmf
Tabelul 20.5.
pm 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
)( pmf 0,725 0,439 0,312 0,240 0,195
20.5.2. Filtraţia prin corpul digurilor
Digurile sunt lucrări hidrotehnice longitudinale pe cursuri de apă şi au
rolul de apărare împotriva inundaţiilor. Sunt construite din pământ provenit din
zona dig-mal. Tehnologia lor de execuţie implică anizotropie, coeficientul de
filtraţie pe orizontală este mult superior celei pe verticală, vkk >>0 . Din acest
considerent infiltraţia are loc pe orizontală, schimbul de masă pe verticală este
neglijabil.
Digurile, cu înălţimi între 125,0 … m, sunt calculate pentru o anumită
probabilitate de depăşire a nivelului în funcţie de importanţa obiectivelor
apărate. Ele trebuie să reziste la acţiunea apei, taluzurile trebuie să fie stabilite.
Faţă de baraje, digurile longitudinale de apărare prezintă unele
particularităţi de structură şi funcţionale, după cum urmează:
- digurile sunt protejate doar cu covor vegetal;
- nu sunt prevăzute cu ecrane, nuclee, decât cele de importanţă majoră;
- drenajul corpului digurilor nu este asigurat;
- în intervalul incintei protejate, la distanţă determinată, sunt prevăzute
Hidraulică vol. II 517
cu un canal drenant deschis pentru drenarea fundaţiei şi drenarea parţială a
digului (fig. 20.59);
- funcţionalul lor diferă de cel al barajelor; digurile vin în contact cu
apa la viituri, care au durată limitată (de la câteva ore la zile, eventual perioadă
mai lungă în cazul Dunării);
- variaţia nivelului în exteriorul digurilor este nepermanentă şi, de
obicei neregulată şi bruscă (în special la creştere), conform hidrografului de
viitură. Hidrograful luat în calcul este cel modificat de încorsetarea râului prin
îndiguire;
- umiditatea digurilor înainte de viitură se consideră la valoarea
capacităţii de reţinere rn .
H
(Q)
0t
t
W
N
k
k
0
y
0
fundatie permeabila
max
curgere de baza
Canal deinterceptie
Fig. 20.59. Schema digului, canalului de intercepţie şi hidrograful de viitură
10. Infiltraţia nepermanentă în diguri anizotrope
Se presupune corpul digului mediu omogen şi anizotrop, umiditatea sa
la apariţia viiturii fiind la valoarea porozităţii de reţinere rn . Apa infiltrată din
viitură circulă în porii reprezentând capacitatea de cedare cn .
În momentul iniţial ( 0=t ) avansul apei în corpul digului este:
00
==t
x (20.228)
Se consideră digul din fig. 20.60, mişcarea fiind plană verticală.
Corpul digului se împarte în fire de curent finite de secţiune 1⋅= aA , iar
presiunea la frontul de avans al apei cea atmosferică.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 518
H=variabil
x dx
aPa
1
Fig. 20.60. Schema infiltraţiei nepermanente orizontale într-un dig anizotrop ( vkk >>0 )
Pe firul de secţiune 1⋅a frontul infiltraţiei în momentul t a ajuns la
distanţa x. După timpul dt frontul avansează cu dx sub sarcina H.
Ecuaţia mişcării se obţine din legea lui Darcy şi de conservare a masei,
astfel:
- viteza aparentă a infiltraţiei este:
x
HkIkv 00 =⋅= (20.229)
- volumul de apă infiltrat din viitură în timpul dt pe suprafaţa firului
1⋅a este egal cu volumul porozităţii de cedare pe distanţa dx (apa se
înmagazinează în porozitatea de cedare):
dxnadtva c ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 11 (20.230)
După înlocuirea vitezei aparente şi separarea variabilelor avem
dtn
Hkxdx
c
0= (20.231)
Integrând ecuaţia, avem
∫=t
c
Hdtn
kx
0
02 (20.232)
Integrala ∫t
Hdt0
este suprafaţa hidrografului nivelurilor viiturii din
momentul creşterii nivelului peste firul considerat până în momentul considerat
t (fig. 20.61).
Hidraulică vol. II 519
t
H
H variabil
H.dt=A0
x(t)
t
H
t
Fig. 20.61. Schema de calcul a integralei (20.232)
În această situaţie avansul este:
An
kx
c
02= (20.233)
sau admiţând un hidrograf discretizat în dreptunghi, cu tHA ⋅= ,
tHn
kx
c
⋅= 02 (20.234)
Calculele trebuie efectuate pentru fiecare fir de curent la momente
analoage. De obicei calculele se efectuează în diferenţe finite.
Ecuaţia frontului de umectare într-un masiv de pământ omogen şi
izotrop cu front de alimentare vertical la ridicarea bruscă a apei se obţine din
integrarea ecuaţiei Boussinesq (20.) sub forma
tn
kHx
c
618,1= (20.235)
iar pentru front la alimentare înclinat
2
618,0
−+= m
H
x
Hn
tk
c
β (20.236)
în care
=
υβ
kHmf , s-a stabilit experimental.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 520
20.6. APLICAŢII
10. Două drenuri paralele, aşezate pe patul impermeabil orizontal la
distanţa L, colectează apa, infiltrată uniform de pe interspaţiul dintre drenuri cu
debitul specific ε . Să se determine cota maximă a suprafeţei libere şi poziţia
acesteia dintre drenuri cunoscând adâncimile apei în drenuri 1h şi 2h şi
coeficientul de filtraţie k. Aplicaţia numerică: 5105 −⋅=k m/s, 50=L m;
10=ε mm/zi, 5,01 =h m, 8,02 =h m şi 00,2=H m.
H
hh
h
x
L
k
h
x2
1
max
1
ε
2 Rezolvare: Drenurile fiind lungi mişcarea poate fi considerată plană
verticală pentru care se poate scrie ecuaţia lui Boussinesq, pentru mişcarea
permanentă (20.109)
022
22
=+∂
∂
kx
h
ε
care integrată este:
022
21
22
=+++ CxCxk
h ε
Constantele de integrare rezultă din condiţiile de margine:
- pentru 0=x , 1hh = şi 22
12 hC −=
- pentru Lx = , 2hh = şi k
L
L
hhC
22
2
2
2
11
ε−
−=
Ecuaţia curbei de depresie este:
xk
Lx
kx
L
hhhh ⋅
⋅+⋅−⋅
−−=
εε 22
2
2
12
1
- distanţa x pentru max=h se obţine prin anularea derivatei funcţiei
Hidraulică vol. II 521
0)( =dxxdh din care se obţine
ε22
2
2
2
1
max
k
L
hhLx
h
−−=
=, iar
k
Lk
L
hhhhhh
442
22
2
2
2
1
2
2
2
12
1max
⋅+
−+
−−=
ε
ε
- debitul specific în secţiunea 1 este:
+−
−−−=−=
k
Lx
kL
hhk
dx
dhkhqx
εε22
2
2
1
care pentru drenul 1 devine:
L
hhkLq
2
2
2
11
22
−+−=
ε
iar pentru drenul 2:
L
hhkLq
2
2
2
12
22
−+=
ε
cu Lqqq ε==+ 21 .
Pentru aplicaţia numerică se obţin
68,26max
=h
x m
898,1max =h m
6
1 10088,3 −⋅−=q /smm3
6
2 10699,2 −⋅=q /smm3
20. Un curent acvifer uniform sub presiune caracterizat prin panta
%1=I , 0,3=a , 3102,1 −⋅=k m/s şi 10=H m trebuie captat de o linie de
puţuri perfecte având raza lor de execuţie 15,00 =r m (fig. 20.41). Să se
determine distanţa dintre puţuri, debitul unui puţ şi coordonatele punctului de
stagnare dacă denivelarea în puţuri este de 3s = m.
Rezolvare
- curentul subteran are viteza: 523
0 102,110102,1 −−− ⋅=⋅⋅=⋅= Ikv m/s
- debitul unui puţ este (20.158):
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 522
0
00
0
ln
)(2
ln
2
r
xrxav
r
xaks
QA
A
A
−+=
ππ
- coordonatele punctului de stagnare
0=Ay
ππ
b
av
QxA ==
02
unde b2 este zona de influenţă a puţului.
Necunoscutele Q şi Ax nu se pot explicita, soluţionarea problemei
fiind iterativă. Prin aproximaţii succesive se obţine:
40,24=Ax m
52,5=Q l/s
rezultând 65,76== Axb π m.
Distanţa dintre puţuri este: 3,15365,7622 =⋅=b m
30. Dintr-un acvifer cu nivel liber cu 18=H m se pompează
qvasiconstant debitul 5,25=Q l/s la o denivelare 85,1=s m într-un puţ perfect
cu raza 125,00 =r m (fig. 20.34). Denivelarea într-un piezometru aflat la
801 =r m este de 5,6=s cm. Să se determine coeficientul de filtraţie al
stratului acvifer.
Rezolvare
Aplicând ecuaţia curbei suprafeţei libere pentru puţul perfect în strat
acvifer cu nivel liber alimentat radial (20.115) pentru 80=r m şi
935,17065,000,18 =−=−= sHh m se obţine
( ) ( )4
22
0
1
2
0
21062,8
125,0
80ln
15,16935,17
0255,0ln −⋅=
−=
−=
ππ r
r
hh
Qk m/s
cu 15,1685,100,180 =−=−= sHh m.
40. Să se determine debitul specific filtrat şi poziţia curbei de depresie
în cazul unui baraj de pământ omogen fundat pe strat impermeabil orizontal
(fig. 20.49), cunoscând: 171 =H m, 150 =H m, 12=b m, 4=t m, 31 =m ,
22 =m şi 6103 −⋅=k m/s.
Hidraulică vol. II 523
Rezolvare
Se calculează:
32175,043,18311 ==== oarcctgarcctgmθ rad
2 2 2 26,56 0, 46365oarcctgm arcctgθ = = = = rad
447,056,26sinsin 2 ==θ
293,1
)32175,0(cos
1
)(cos
1
32175,022
11
===⋅
π
θ
π
θ
ε
9717)23(12)( 121 =⋅++=++= HmmbB m
5215397010 =⋅−=⋅−= HmBs m
400 +=+= ataha
00201 244)4(252 aahmss a −=+−=−=
6
0 103 −⋅== qkql
6
001 103244 −⋅−−=−= qalss
Sistemul de ecuaţii (20.207) devine:
( ) [ ]
++⋅⋅=
=
++⋅⋅⋅=
+=
⋅−−
+−⋅=
−=
−⋅=−⋅⋅=−=
−
−
−
−
−−
0
00
6
0
00
6
0
20
6
0
2
0
2622
66
0
4ln1103414,1
4ln156,26sin103ln1sin
103244
)4(103
2
)15(10879,3)15(103293,1)(
a
aa
a
aa
a
hkaq
qa
ah
s
hhkq
hhhHkq
a
a
θ
ε
cu necunoscutele q , h şi 0a .
Soluţia sistemului este:
61076,5 −⋅=q m3 / sm
514,13=h m
0725,20 =a m
respectiv
855,391 =s m
921,10 =l m
855,39=s m
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 524
Unghiul ϕ (ec. 20.209) este:
oarctg
kh
qarctg 086,8
514,13103
1076,56
6
−=
⋅⋅
⋅−=
−=
−
−
ϕ
Curba de depresie se trasează în coordonate ),( yx prin câteva puncte
(amonte la 0l apoi din 5 în 5 m, până la întâlnirea cu taluzul aval).
Pct. 1 2 3 4 5 6 7
x 0,00 1,921 5 10 20 30 39,855
y 15,00 13,514 13,069 12,312 10,638 8,646 6,073
Obs. Taluz
amonte la 0l După parabolă Dupuit (20.208) Taluz
aval
17,015,0
4,0
y
x
12
34 5
6
7
0
1:3
1:2
Hidraulică vol. II
525
CAPITOLUL 21
ELEMENTE DE MODELARE HIDRAULICĂ
21.1 NOŢIUNI GENERALE. MODELE UTILIZATE
ÎN MODELAREA HIDRAULICĂ
Aşa cum o definea Sharp, modelarea hidraulică este „o artă practică
bazată pe ştiinţă”. Bazele modelării - analiza dimensională şi teoria
similitudinii – au fost prezentate în cap I. (vol. I). În acest capitol se vor face
referiri la modele utilizate în diverse ramuri ale hidraulicii.
Modelarea hidraulică operează cu două tipuri de modele: modele
fizice şi modele numerice:
21.1.1. Modele fizice şi numerice
Un model fizic este un dispozitiv precis, utilizat pentru a prezice
comportamentul unui fenomen fizic. „Predicţia” unui astfel de dispozitiv este
corectă, doar dacă modelul fizic este corect proiectat.
O reproducere la scară mică a unui fenomen fizic poate reprezenta un
model valid doar dacă caracteristicile importante ale fenomenului fizic redus pe
model, sunt corelate cu cele ale fenomenului fizic real – prototip – de către
anumite constante de proporţionalitate care satisfac anumite condiţii.
De regulă constantele de proporţionalitate se numesc scări, iar
condiţiile care trebuie satisfăcute de scările de proporţionalitate – criterii de similitudine.
La începuturile modelării hidraulice, criteriile de similitudine erau
derivate din relaţii matematice (de regulă ecuaţii diferenţiale) ce descriau natura
fenomenului fizic investigat. Aşadar, gradul de încredere al criteriilor de
similitudine determinate în acest mod depindea în întregime de gradul de
încredere al relaţiilor matematice utilizate. Dacă însă relaţiile matematice care
descriu un fenomen nu se cunosc, atunci nici criteriile de similitudine nu pot fi
cunoscute. Se ajunge astfel la o situaţie paradoxală ca un model fizic să fie mai
util pentru acele cazuri care nu pot fi formulate teoretic.
Modul de abordare actual al modelării fizice se bazează pe analiză
dimensională. Această metodă oferă criterii de similitudine din studiul
dimensional al caracteristicilor fundamentale ale fenomenului fizic studiat şi nu
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
526
din relaţiile matematice care descriu fenomenul fizic. Pentru criteriile de
similitudine obţinute în acest mod nu există riscul unor interpretări greşite (care
pot fi inerente în cazul unor formulări matematice).
De altfel, teoria actuală a modelelor fizice este strâns legată de teoria
dimensională. După Yalin, teoria modelelor poate fi privită simplu ca „o
interpretare precisă a teoriei dimensionale” şi nu poate fi înţeleasă în afara
teoriei dimensionale.
Convenţional, modelele fizice utilizate pentru studiul unor fenomene
hidraulice şi care lucrează cu apă se numesc modele hidraulice.
În afară de modelele hidraulice există şi modele aerodinamice care au
cunoscut o dezvoltare în anii 1960 şi 1970 – modelarea în curenţi de aer.
Principalul lor avantaj constă în faptul că pot fi construite la o scară de 10 ori
mai mică decât modelele hidraulice clasice. Însă ele prezintă dezavantajul
schimbării frecvente a sticlei (sau plexiglasului) cu care sunt acoperite - pentru
modificarea rugozităţii. Ele sunt utilizate în principal pentru studii preliminare
în proiectarea schemelor de amenajare a râurilor.
Aşa cum s-a menţionat în capitolul 19, există modele analogice,
bazate pe analogia formală între ecuaţiile mişcării unii fluid şi ecuaţiile
propagării curentului electric într-un mediu rezistiv omogen.
În ultimii ani datorită dezvoltării tehnicii de calcul automat, precum şi
a metodelor matematice de integrare a ecuaţiilor diferenţiale, modelele numerice cunosc o dezvoltare rapidă. Ele sunt aplicate în multe ramuri ale
hidraulicii: curgeri cu nivel liber uni şi bidimensionale, curgeri sub presiune,
curgeri subterane etc.
Principala deosebire între un model fizic şi un model numeric constă
în faptul că un model numeric necesită formularea ecuaţiilor ce descriu
fenomenul fizic, în timp ce pentru un model fizic este suficient să identifice
forţele care acţionează şi de aici să formuleze parametri de similitudine.
Alegere a unui model fizic sau numeric de soluţionare a unui fenomen
depinde de o serie de criterii: factori limitativi, precizia cerută, flexibilitate,
timp şi costuri necesare. Un criteriu de alegere a unui tip de model, poate fi
„credibilitatea” unui tip de model care a dat rezultate bune pentru tipuri de
probleme similare cu cele de studiat. Oricum, un criteriu poate fi considerat şi
„puterea de convingere intuitivă a unui model hidraulic”.
O tendinţă actuală constă în utilizarea complementară a modelelor
fizice şi numerice: modelul fizic dă datele pentru calibrarea modelului numeric.
De exemplu se poate utiliza un model numeric pentru determinarea
parametrilor loviturii de berbec într-o hidrocentrală, dar modelul fizic este
Hidraulică vol. II
527
necesar pentru a determina corect coeficienţii pierderilor de sarcină în castelul
de echilibru a cărui geometrie este atât de complexă, încât aceşti coeficienţi nu
se pot calcula precis pe cale teoretică.
În (tab. 21.1) se prezintă schematizat rolul modelelor fizice şi
numerice.
Utilizarea modelelor fizice şi numerice în hidraulică
Tabelul 21.1.
Domeniu Problemă Modele
hidraulice
Modele
numerice
Hidraulica
structurilor
hidrotehnice
- caracteristicile
descărcătorului,
energie disipată
pt. geometrie
complexă
pt. geometrie simplă
- curgeri aerate necesare doar cu formule
empirice
- eroziuni necesare doar cu formule
empirice
- curgeri sub
presiune
probleme locale
pentru geometrie
complexă
utilizate în principal
- curgeri subterane rar utilizate utilizate în principal
Scheme de
amenajare
a râurilor
- curgeri permanente
şi nepermanente în
râuri
probleme locale cu
geometrie complexă
mai mult pentru
geometrie simplă,
probleme uni şi
bidimensionale
- transport de fund probleme locale
- transport în
suspensie
necesare
- lacuri -------------- utilizate în principal
21.2. MODELE HIDRAULICE
21.2.1. Consideraţii preliminare
Legile care guvernează fenomenele fizice sunt exprimate în forma
unor relaţii matematice între cantităţile implicate. Un fenomen fizic trebuie
definit într-un mod adecvat generării unor relaţii matematice. O „definiţie
cantitativă” a unui fenomen fizic se sprijină pe dezvăluirea unor seturi de n cantităţi independente:
a1, a2, a3, ..., an (21.1)
care sunt necesare şi suficiente pentru a descrie în mod complet fenomenul.
Aceste cantităţi independente ai necesare pentru a completa definiţia unui
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
528
fenomen se numesc parametri caracteristici (ai fenomenului); pot fi pozitivi
sau negativi, dimensionali sau adimensionali, constante sau variabile.
Un fenomen fizic, având o „geometrie specificată”, poate avea – ori îi
putem atribui – un număr nelimitat de proprietăţi cantitative care pot fi notate
A1, A2, A3, ... Aj, .... De fapt, percepţia unui fenomen este dată de percepţia
principalelor lui proprietăţi. Orice proprietate cantitativă A a unui fenomen
trebuie corelată cu n parametri caracteristici ai de către anumite relaţii funcţionale: A = fA(a1, a2, a3, ..., an) (21.2)
Forma relaţiilor funcţionale descrise depinde de natura proprietăţii A
şi diversele proprietăţi ale fenomenului studiat sunt funcţii diferite de aceeaşi n
parametri caracteristici. În plus, forma fA a relaţiei funcţionale (21.2) depinde de
„geometria specificată” a fenomenului; orice variaţie a condiţiilor la limită
induce o variaţie a formei funcţiei fA (corespunzătoare unei proprietăţi A). De
exemplu, curbele coeficientului de rezistenţă la curgerea unui lichid în jurul
unui cilindru sau a unei sfere nu sunt identice.
Deşi relaţia (21.2) apare ca o funcţie de n „variabile”, parametrii
caracteristici nu sunt neapărat variabile cantitative. De exemplu, acceleraţia
gravitaţională g este constantă atât pe model cât şi pe prototip. Însă deşi, de cele
mai multe ori şi densitatea ρ şi vâscozitatea ν sunt considerate constante,
condiţiile de curgere de pe model şi prototip pot să difere substanţial, astfel
încât acestea să fie variabile.
21.2.2. Modele hidraulice convenţionale
Modelele hidraulice sunt preferate de multe ori deoarece nu implică
nici un fel de formulări matematice ale fenomenelor studiate. De exemplu se
cunoaşte foarte bine care sunt parametri curgerii pe un pat granular mediu
erodabil, astfel se pot stabili foarte bine criteriile de similitudine în cazul
transportului de sedimente. Însă dacă se încearcă să se stabilească aceste criterii
din ecuaţiile matematice ale transportului de sedimente se ajunge la dificultăţi
serioase. Acest lucru se datorează faptului că în prezent practic nici o ecuaţie a
transportului de sedimente nu poate fi privită drept cunoscută în adevăratul
sens al cuvântului.
Alt avantaj constă în faptul că determinarea scărilor de modelare nu
depinde de natura prototipului (pantă, debit, adâncimea curgerii), nici de
caracteristicile prototipului care apar în criteriile de similitudine, nici în relaţiile
de scară.
Hidraulică vol. II
529
Dar, deşi atât pe model cât şi pe prototip g este constantă şi este unul
dintre parametrii caracteristici, când se proiectează modele hidraulice
convenţionale, trebuie să se selecteze pentru cei trei parametri independenţi
dimensional a1 = ρ, a2 = ν, a3 = g, scările
λρ = 1; λν = 1; λg = 1 (21.3)
Dar, din criteriile de similitudine dinamică, dacă toate scările sunt egale cu
unitatea, atunci nu se poate realiza un model dinamic similar la scară redusă.
Datorită acestor dificultăţi, de multe ori se alege soluţia proiectării
modelelor care să atingă similitudinea doar a unei proprietăţi particulare, sau a
unui set de proprietăţi particulare.
21.2.3. Modele hidraulice distorsionate
De multe ori, în modelarea hidraulică se utilizează scări diferite pentru
lungimi, ceea ce afectează similitudinea geometrică şi în consecinţă
similitudinea dinamică. În (fig. 21.1.) se prezintă un model la scară
distorsionată λy = 2(λx = λz).pentru un râu cu lăţime mare.
0
y
x
u'max
u''max
a).
λy=2λz
B
2·5 h Bc 2·5 h
b).
h
θ'
θ''
Fig. 21.1. Model hidraulic distorsionat
Raportul lăţime/adâncime este de două ori mai mic, iar unghiul de
înclinare al taluzului modelului este de două ori mai mare. Acest lucru
afectează inevitabil caracteristicile mecanice ale curgerii (distribuţia de viteze
pe model şi prototip nu mai este aceeaşi, nici punctul corespunzător vitezei
maxime locale nu mai este acelaşi). De asemenea şi structura curenţilor
secundari poate fi afectată.
Utilizarea modelelor distorsionate se justifică adesea în situaţiile la
care interesează anumite sectoare ale curgerii; de exemplu (fig. 21.1.b)
interesează parametrii curgerii în „zona centrală” şi nu în apropierea malurilor.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
530
Întrucât curgerea în regiunea centrală poate fi tratată ca fiind bidimensională
(independentă de raportul B/h – şi de λz/λy), distorsiunea nu afectează
similitudinea curgerii şi consecinţele sale (de ex. transportul de sedimente) pe
lăţimea Bc. Acest raţionament este corect, datorită faptului că există o regiune
centrală „substanţială” şi pe model, ''cB . Majoritatea râurilor naturale au o
valoare mare a raportului lăţime/adâncime şi de aceea, dacă distorsiunea λy/λx
nu este exagerată se poate realiza pe model o zonă centrală.
„Dimensiunea curgerii” în regiunea centrală este dată de adâncimea h, şi de
aceea proprietăţile curgerii - şi consecinţele lor – dependente de h vor fi scalate
în scara adâncimilor λy. De exemplu în cazul curgerii turbulente într-un râu,
lungimea dunelor de sedimentare va fi Λ ≈ 2πh. Întrucât λΛ ≈ λh = λy, lungimea
dunelor va fi redusă la scară pe modelul distorsionat. Dacă modelul este
distorsionat de unul din factori (lungime), numărul dunelor dintr-o regiune AB,
va fi de două ori mai mic pe model decât pe prototip (fig. 21.2).
patru dune
A'
B'
B''doua A''
λλ
=2y
x
dune
Fig. 21.2. Model distorsionat al dunelor pe patul albiei
În modelarea cu modele distorsionate, valoarea admisă λy/λz depinde
de problema care se studiază. De exemplu, dacă se modelează curgerea peste
deversoare – în general structuri hidraulice, raportul λy/λz nu poate fi decât
unitar.
În cazul modelării râurilor şi a mareelor Yalin recomandă o valoare 2/3
yx λλ = .
Hidraulică vol. II
531
21.2.4. Modele de tip Froude şi Reynolds
În cazul curgerilor neuniforme cu suprafaţă liberă, acceleraţia
gravitaţională g este un parametru caracteristic propriu. În acest caz, aşa cum
s-a menţionat anterior, prezenţa celor trei parametri g, ρ şi ν, împiedică
realizarea similitudinii dinamice pe modelul hidraulic, şi convenţia actuală este
să se proiecteze modele prin considerarea criteriului Froude
gh
FrX2
1
ν== (21.4)
şi ignorarea criteriului Reynolds
ν
hX
vRe2 == (21.5)
În practica modelării hidraulice, importanţa criteriului Reynolds scade
progresiv pe măsura creşterii valorii (a numărului Reynolds). Convenţional,
modelele realizate pe baza criteriului Froude se numesc modele Froude, iar cele
realizate pe baza criteriului Reynolds - modele Reynolds.
Când se modelează o curgere cu suprafaţă liberă, practica uzuală este
să se construiască un model cât mai mare posibil, pentru creşterea numărului
Reynolds şi, în consecinţă, reducerea influenţei frecărilor vâscoase.
La un model Froude, proiectat după
1=Frλ ; 2/32/32/1
Re hhg λ
λ
λλλ
ν
== (21.6)
chiar dacă el are λh şi deci λRe suficient de mari pentru a elimina influenţa
vâscozităţii din miezul turbulent, se poate resimţi influenţa datorată vâscozităţii
pe patul albiei modelului, unde aceasta este determinată de
1Rev
Re −∗∗ == c
h
kk ss
ν (21.7)
unde v* reprezintă viteza de frecare la perete, ks – rugozitatea patului,
c – coeficientul de frecare.
Când se modelează râuri sau valuri mareice, coeficientul de frecare
∗
=v
vc (21.8)
este esenţial să fie redus la scară în mod adecvat. Întrucât într-un model
froudian distorsionat
2/1v yh λλλ == (21.9)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
532
în timp ce
2/1v
x
y
λ
λλ =
∗ (21.10)
scara lui c trebuie să fie
y
xc
λ
λλ = (21.11)
Modelul patului rugos trebuie ajustat astfel încât să se respecte
(21.11). Doar în cazul unui model Froude distorsionat, valoarea coeficientului
de frecare pe model şi prototip este aceeaşi.
21.3. MODELAREA CURGERILOR
CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ ŞI CU PAT FIX
21.3.1. Modelarea hidraulică a râurilor şi canalelor deschise
10. Consideraţii generale
Numărul de scară se defineşte ca fiind raportul valorii unei mărimi
din natură (sau prototip) Xp şi a valorii aceleaşi mărimi de pe model Xm,
Xm
XpX = (21.12)
Viteza de frecare la perete este
ρτ /v 0=∗ (21.13)
cu τ0 efortul unitar tangenţial definit ca
ghJJgRh ρρτ ≅=20 (21.14)
unde Rh este raza hidraulică egală cu adâncimea albiei pentru albii foarte largi
(înălţime hidraulică), iar J – panta fundului albiei.
Greutatea specifică a sedimentelor sub apă este
( )gss ρργ −= (21.15)
unde ρs este densitatea sedimentelor, iar ρ – densitatea apei.
20. Modele nedistorsionate
Pentru modelarea mişcării apei este necesar să se asigure criteriul de
similitudine Froude. În acest caz simplu, scările de modelare verticale şi
orizontale sunt identice: L = h, şi conform criteriului Froude (2.14),
2/12/1 hLV == (21.16)
Hidraulică vol. II
533
Scara de modelare a pantei este evident unitară.
Numărul de scară a debitului este
( ) 2/5LVLhQ ==∧ (21.17)
unde ( )∧ este o notaţie ce caracterizează un număr de scară.
Modelul este perfect definit de alegerea doar a numărului de scară
geometric L. Problema care se pune este de a verifica dacă forţele de frecare
sunt scalate în aceeaşi manieră.
În hidraulica râurilor se foloseşte adesea formula lui Manning-
Strickler:
2/13/2 JKRV h= (21.18)
cu următoarea formulă empirică pentru modulul de coeficientul de rugozitate
K:
6/1/26 dK = (21.19)
unde d reprezintă diametrul caracteristic al elementelor rugozităţii pentru un pat
fix.
Pentru un râu de lăţime mare (curgere bidimensională), viteza devine
2/13/2
6/1
26Jh
dV = (21.20)
unde h reprezintă adâncimea apei.
Comparând relaţia (21.20) cu relaţia lui Darcy – Weisbach:
λ
ghJV
8= (21.21)
rezultă coeficientul de frecare λ ca o funcţie de rugozitatea relativă h/d, astfel:
6/1
935.21
−
=
d
h
λ (21.22)
Relaţia (21.22) este adevărată pentru 5 < h/d < 500, iar majoritatea
râurilor naturale se încadrează în aceste limite, exceptând cele foarte largi (sau
estuarele cu adâncimi mari şi sedimente fine).
Consecinţa relaţiei (21.22) este că dimensiunile coeficientului de
frecare λ vor fi aceleaşi atât pe model cât şi pe prototip dacă raportul h/d este
acelaşi; deci elementele rugozităţii pot fi scalate în scara geometrică. Acest
lucru este însă valabil dacă condiţiile de curgere pe model sunt aceleaşi ca în
prototip, altfel spus curgere în turbulenţă rugoasă pe model (fig. 21.3).
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
534
turbulenta rugoasa
model
prototip
Nr. Reynolds
Co
eficie
nt de
fre
care
turbulentaneteda
Fig. 21.3. Coeficientul de frecare λ pe model şi pe prototip
Trecerea de la regimul de tranziţie la cel turbulent este dat de
2004
Re =HR
dλ (21.23)
cu raza hidraulică dată în aceeaşi manieră ca în relaţia (21.18). Aceasta conduce
la un număr Reynold pe model
6/7
2350 Re
−
⟩h
d (21.24)
ceea ce arată o limitare a alegerii libere a lungimii scării geometrice.
Deci, dacă curgerea pe model nu este în turbulenţă rugoasă,
rugozitatea modelului trebuie să compenseze acest efect. Acest lucru se poate
realiza pe un model „neted” cu valori mici a raportului d/h, pentru a se obţine o
bună reprezentare a suprafeţei libere a apei şi a gradienţilor energetici. Dar în
acest caz nu se mai respectă distribuţia de viteză în secţiune transversală, care
poate fi importantă în problema studiată.
După Manning – Strickler, numărul de scară al coeficientului de
rugozitate după Strickler devine
( ) 3/22/1 Khh =∧ şi ( ) 6/1−=∧ hK (21.25)
În concluzie se poate spune că la utilizarea modelelor nedistorsionate
trebuie îndeplinite trei condiţii principale:
- numărul Froude trebuie să fie acelaşi pe model şi prototip;
- rugozitatea modelului trebuie aleasă corect;
- curgerea pe model trebuie să fie turbulentă.
30. Modele distorsionate
În cazul utilizării modelelor distorsionate, scara vitezelor trebuie
corelată cu scara adâncimilor, şi din criteriul de similitudine Froude rezultă:
Hidraulică vol. II
535
2/1
hV∧∧
= . (21.26)
Numărul de scară a debitului este
( ) 2/3LhVLhQ ==∧ . (21.27)
Scara pantelor este egală cu coeficientul de distorsionare e:
eLhJ ==∧∧∧
/ (21.28)
unde e este subunitar conform definiţiei numărului de scară.
O altă particularitate a modelului distorsionat este modificarea formei
secţiunii transversale, implicând variaţia razei hidraulice care depinde de
raportul h/L.
Considerând relaţia Darcy – Weisbach pentru asigurarea similitudinii
frecării, numărul de scară pentru coeficientul de frecare λ este
( )L
R
h
R
L
h
V
JR hhh =⋅==∧2
λ (21.29)
ceea ce arată că numărul de scară a rugozităţii depinde de raza hidraulică, şi de
aceea o similitudine completă este imposibilă. Dar, în cazul râurilor largi se
poate aproxima raza hidraulică Rh cu adâncimea h, deci e=∧
λ . Aceasta
conduce la următoarea relaţie a numărului de scară:
( ) eh
d=
=∧
3/1
λ . (21.30)
Relaţia (21.30) se poate rescrie în forma 3/ ehd =∧∧
, ceea ce înseamnă
că mărimea relativă a rugozităţii elementelor variază cu cubul coeficientului de
distorsionare. Cu cât modelul este mai distorsionat cu atât rugozitatea
elementelor variază mai mult, ceea ce conduce la probleme de calibrare a
modelului. Pe de altă parte, distorsionarea, prin modificarea profilului de viteză
pe verticală, produce o exagerare a curenţilor secundari în coturi. De obicei , în
hidraulica râurilor, distorsionarea modelului este limitată la 1/e < 3 sau 4.
Numărul de scară al coeficientului de rugozitate rezultă din
( ) 1 2/16/1 =∧ eKh . (21.31)
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
536
21.3.2. Modelarea structurilor hidrotehnice
Modelarea structurilor hidrotehnice este probabil cel mai uzual tip de
modelare hidraulică deoarece este relativ ieftină, uşor de realizat şi de
interpretat.
Curgerea peste şi în jurul structurilor hidrotehnice implică componente
verticale semnificative, de aceea trebuie lucrat cu un model nedistorsionat.
Deoarece curgerea are loc sub efectul gravităţii, modelele de curgere cu
suprafaţă liberă în jurul structurilor hidrotehnice trebuie scalate conform
criteriului Froude. Pentru a asigura independenţa fată de efectele de scară şi
pentru o bună precizie a măsurătorilor, modelul trebuie să fie suficient de mare,
iar scările într-un domeniu cuprins între 10 şi 60 – care este uzual în practica
modelării hidraulice. Rugozitatea modelului nu este atât de importantă, de
aceea nu este necesară calibrarea modelului, el trebuie construit cât mai neted
posibil.
Modelarea structurilor hidrotehnice înecate poate fi realizată pe
modele distorsionate sau nedistorsionate, a căror număr de scară geometrică
este în jur de 100, completate de unul sau mai multe modele detaliate la o scară
mai mare (30 la 60) care nu trebuie distorsionate. Protecţia acestor structuri
împotriva corpurilor străine, a sloiurilor de gheaţă, este greu de studiat pe
model datorită dificultăţilor legate de realizarea similitudinii acestor plutitori.
Curgerea peste deversoare şi alte tipuri de evacuatori – canale de
evacuare, sifoane, stavile, podeţe, trepte etc. se studiază pe modele
nedistorsionate. Modelarea disipatoarelor de energie şi a bazinelor de liniştire
implică utilizarea unui pat mobil. Uneori pentru reprezentarea paturilor coezive
trebuie realizate teste calitative cu mixturi de nisip şi adeziv sau cu diverse
tipuri de plastifianţi.
Problema principală care se pune la modelarea curgerilor sub presiune din diverse structuri hidrotehnice – staţii de pompare, turnuri de răcire,
canalizări etc. este evitarea apariţiei vârtejurilor şi a vibraţiei acestor structuri.
La modelarea structurilor hidrotehnice s-au observat două tipuri de
probleme: antrenarea de aer (curgeri bifazice) şi apariţia vortexurilor.
Curgerea bifazică nu este corect simulată într-un model redus la scară
deoarece formarea bulelor de aer este un fenomen de tensiune superficială şi cu
acelaşi tip de lichid pe model şi prototip, bulele vor fi aproximate la aceeaşi
mărime. Pentru a simula adecvat amestecul aer-apă este necesar să se lucreze
cu un model la scară cât mai mare. Modelele de sifon de exemplu lucrează
continuu într-un amestec de aer-apă. Modelele sunt bazate pe criteriul Froude,
Hidraulică vol. II
537
dar trebuie ţinut seama că antrenarea de aer pe model va fi mai redusă decât pe
prototip.
În problema disipatoarelor de energie trebuie amintit că o mare
cantitate de aer antrenată pe prototip, are întotdeauna efectul unei disipări mai
intense a energiei. Din acest punct de vedere, transpunerea rezultatelor de pe un
model care lucrează cu amestec aer-apă în prototip, nu poate avea consecinţe
negative.
Vortexurile trebuie evitate în structurile hidrotehnice cu curgere
înecată deoarece afectează caracteristicile acestora şi permit intrarea
plutitorilor. Modelarea se referă la posibilitatea formării vortexurilor şi
recomandări pentru evitarea apariţiei acestora.
Pentru o corectă reprezentare a vortexurilor, este necesar să existe o
scalare exactă a efectelor gravitaţiei, vâscozităţii şi tensiunii superficiale.
Aceasta înseamnă un model nedistorsionat. Încă nu s-a ajuns să se formuleze
reguli de transpunere a rezultatelor de pe model pe prototip, existând în
literatura de specialitate doar recomandări în acest sens. Prima recomandare
este să se construiască un model la o scară cât mai mare (de la 10 la 20), iar
apoi să se realizeze proiectarea structurilor cu viteze de curgere mai mari decât
cele date de criteriul Froude. Utilizarea unor viteze mai mari distorsionează
inevitabil curgerea pe model şi rezultatele trebuie interpretate cu precauţie.
21.3.3. Modele mixte
Sarcina principală a modelelor mixte (în special a modelelor de
evacuatori ai structurilor hidrotehnice) este determinarea compoziţiei jeturilor.
Experimentele pe model evidenţiază modul cum modificările în proiectarea
structurilor hidrotehnice pot influenţa compoziţia şi dispersia jetului.
Modelarea compoziţiei jeturilor este foarte complicată de faptul că
dispersia jeturilor se datorează unor mecanisme diferite: deşi unul poate fi
predominant, celelalte pot influenţa în multe cazuri (fig. 21.4):
1. antrenarea de aer la jetul efluent, care este guvernată de momentul
jetului, geometria evacuatorului, şi turbulenţă (diferenţa de densitate nu este
importantă). Modelarea implică numere Reynolds destul de mari, şi criteriul
Froude.
2. ridicarea jetului datorită portanţei cu amestec datorat turbulenţei;
trebuie introdus criteriul densimetric Froude;
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
538
3. împrăştierea convectivă peste suprafaţa jetului depinzând de
criteriul densimetric Froude şi de criteriul densimetric Reynolds. Această
ultimă condiţie introduce o distorsiune în model;
4. masa transportată de efluenţi de curenţii de aer înconjurători;
5. difuzia şi dispersia datorate turbulenţei;
6. în cazul unei descărcări termice, determinarea pierderilor de căldură
prin suprafaţa răcitorului necesită un model distorsionat.
(1)
(2)
(3)(5) (4)
Fig. 21.4. Etapele modelării dispersiei unui jet în aer liber
Aşadar modelarea unui jet în aer liber trebuie făcută pe stadii de
evoluţie a jetului. Stadiile 1, 2 şi 5 necesită similitudine geometrică, modele
nedistorsionate rezonabil de mari, cu variaţia densităţii la fel ca în prototip.
Stadiile 3 şi 6 necesită un model distorsionat. Reproducerea stadiului 4 se poate
realiza atât cu modele distorsionate cât şi nedistorsionate.
21.3.4. Modelarea curgerilor sub presiune
Scopul unui astfel de model poate fi determinarea coeficienţilor
pierderilor de sarcină într-un castel de echilibru, pentru modelarea pe cale
numerică mişcării nepermanente într-o hidrocentrală.
În aceste modele nu intră efectul forţei gravitaţionale şi criteriul
Froude poate fi ignorat. Diferenţa de presiune depinde de numărul Reynolds şi
necesită similitudine geometrică:
=
∆
L
D
d
DVDF
V
p hhh ,,2 νρ
(21.32)
unde Dh reprezintă diametrul hidraulic.
Hidraulică vol. II
539
Dacă curgerea este în totalitate în turbulenţă rugoasă, forţele datorate
vâscozităţii sunt neglijabile. În aceste condiţii, dacă există similitudine
geometrică între model şi prototip, relaţia (21.32) devine
const2
=∆
V
p
ρ. (21.33)
Nu există număr de scară al vitezelor; modelul este valabil pentru
orice debit care asigură un număr Reynolds suficient de mare astfel încât
curgerea să fie turbulent rugoasă.
Metoda utilizată pentru determinarea coeficienţilor pierderilor de
sarcină constă în mai multe teste cu diverse numere Reynolds pentru a se stabili
valorile limită peste care coeficienţii pierderilor de sarcină devin constanţi.
21.3.5. Modelarea schemelor de amenajare a râurilor
Modelele structurilor care acoperă o arie mică sunt numite
convenţional „modele de structuri hidrotehnice”, în care lungimea râului supus
modelării este atât de redusă încât forţele de frecare pot fi ignorate. Modelele în
care interesul este centrat pe râul însuşi, se numesc „modele de scheme de
amenajare”. În acest caz forţele de frecare sunt evident importante în curgerea
apei în lungul râului. Principala operaţie în lucrul pe model este calibrarea.
Deşi râurile au în general o structură destul de compactă (astfel încât
dimensiunile orizontale şi verticale sunt comparabile), în lungul râului, raportul
dintre distanţelor orizontale şi verticale are valori foarte mari.
În multe circumstanţe este posibil să se utilizeze un model
distorsionat, în special pentru porţiuni foarte lungi de râuri cu lunci inundabile.
Problemele studiate pe astfel de modele diverse sunt:
- utilizarea structurilor hidrotehnice ale râului pentru îmbunătăţirea
condiţiilor naturale;
- protecţia împotriva inundaţiilor;
- structurile transversale râurilor şi văilor (amplasarea podurilor);
- amplasarea balastierelor;
- navigaţia pe râuri.
21.3.6. Tehnica modelării hidraulice
În modelarea hidraulică trebuie parcurse succesiv următoarele etape:
construcţia propriu-zisă a modelului, calibrarea, studiul însăşi şi, în final,
interpretarea rezultatelor.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
540
10. Pentru construcţia propriu-zisă a modelului este necesar un
rezervor etanş realizat de obicei din cărămidă sau beton, care conţine modelul,
sau, pentru modele de dimensiuni mici, rezervorul se poate construi şi din oţel
(fig. 21.5).
Fig. 21.5 Exemplu de model hidraulic
Metoda cea mai uzuală pentru reproducerea cu acurateţe a secţiunii
transversale a unui râu, constă în utilizarea unor şabloane. Configuraţia corectă
a suprafeţei este apoi obţinută prin umplerea cu grijă între şabloane cu mortar
de ciment. De asemenea, se mai pot utiliza fâşii metalice care urmăresc liniile
de contur în loc de şabloane care reprezintă secţiunile transversale.
Controlul şi exploatarea unui model constă în menţinerea unui debit
în amonte şi a unui nivel în aval cu o precizie foarte mare. Pentru curgeri
permanente acest lucru se realizează relativ simplu - manual, dar pentru curgeri
nepermanente acest lucru se realizează prin stavile sau vane acţionate de către
un calculator.
20. Calibrarea. Pentru râuri de lungime apreciabilă la care pierderea de
sarcină de-a lungul râului este un parametru esenţial, calibrarea poate deveni
foarte anevoioasă şi poate fi foarte dificil să se obţină pe model vitezele şi
nivelurile observate în natură.
Metoda clasică de calibrare constă în împrăştierea de pietre cu muchie
ascuţită pe patul albiei, ori adeziv – dacă viteza este mare. Pentru simularea
vegetaţiei de pe maluri se poate utiliza plasă de sârmă. Dacă este necesară o
rezistenţa mai mare a patului albiei şi a malurilor se poate ataşa de fund cuie
sau ştifturi extinse până deasupra suprafeţei libere a apei.
Hidraulică vol. II
541
Dacă efectul rugozităţii albiei este atât de mare încât afectează corecta
reprezentare a profilului patului albiei, atunci se pot aplica diverse metode:
înclinarea modelului – construcţia cu o pantă exagerată, sau lucrul pe model cu
un debit mai mic decât cel rezultat din criteriul Froude.
Primul pas în calibrare constă în corecta reprezentare a regimului de
curgere. Dacă studiul reclamă mişcare nepermanentă, atunci al doilea pas
constă în reprezentarea mişcării nepermanente sau a acelor caracteristici ale
mişcării nepermanente care ar putea fi similare prototipului, corelate spaţial şi
temporal.
Baza calibrării unui model hidraulic pleacă de la ideea că dacă
modelul poate reproduce un trecut fenomen natural (prototip), el ar trebui să fie
capabil să prezică efectele care vor surveni dacă prototipul este modificat în
diverse forme. De exemplu, un model care poate reproduce forme ale suprafeţei
apei observate într-un râu, ar trebui să poată prezice nivelurile apei care ar
rezulta din modificări ale patului albiei.
Calibrarea şi verificarea unui model este foarte importantă înainte de
începerea propriu-zisă a studiului sau cu cât scările modelului sunt mai
îndepărtate de scările rezultate din „criteriile ideale de scalare”.
30. Măsurători şi instrumentar de măsurare. Pe multe modele
hidraulice prima sursă de informaţie este observaţia vizuală a curgerii, obţinută
cu ajutorul unor coloranţi, plutitori sau fire textile din lână fixate pe pat sau pe
maluri.
Măsurătorile pe modele cu pat fix se limitează în general la măsurarea
vitezelor şi a nivelurilor.
Dificultatea măsurării vitezelor constă în faptul că adâncimea apei este
redusă, de asemenea şi vitezele apei pot fi reduse (de ordinul cm/s). Tubul Pitot
nu se mai foloseşte datorită dificultăţilor legate de precizia citirilor indusă de
fluctuaţiile nivelului apei în tub. Cel mai utilizat dispozitiv este micromorişca
cu rotor de plastic (cu diametru de ordinul mm). Pentru determinarea vitezei
curenţilor de suprafaţă, încă se mai utilizează metoda cronofotografică, ce
constă în fotografierea pe model a unor plutitori iluminați. În ultima perioadă
s-au dezvoltat aparate bazate pe efect Laser Doppler, dar care sunt foarte
costisitoare şi nu foarte uşor de exploatat.
Pentru măsurarea nivelurilor în mişcare permanentă se folosesc rigle şi
ace de măsurare. Pentru mişcări nepermanente gradual variabile se folosesc
înregistratoare de nivel conectate la un calculator electronic, iar pentru mişcări
nepermanente rapid variabile - indicatoare capacitive.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
542
Există situaţii, în special la structuri hidrotehnice– deversoare, la care
cunoaşterea presiunii este esenţială pentru corecta proiectare a acestora.
Principala dificultate în măsurarea presiunii constă în antrenarea aerului în apă,
care poate distorsiona măsurătorile.
21.4. APLICAŢII
10. Se consideră un râu prototip având raportul lăţime/adâncime
'/' hB = 32. Să se determine ponderea „zonei centrale” a curgerii pe un model
nedistorsionat şi pe un model distorsionat cu 4=x
y
λ
λ.
Rezolvare. Utilizând un model nedistorsionat, întrucât lăţimea totală a
curgerii afectată de maluri este de ordinul 2 x 2,5 h = 5 (fig. 21.1.b.), pentru
prototip rezultă:
275325'
'
'
'5'
'
'
=−=−=−
≅h
B
h
hB
h
Bc şi 84,032
27
'
'
≅≅B
Bc .
Deci 84 % din lăţimea prototipului se află în zona centrală a modelului
nedistorsionat.
Un model cu 4=x
y
λ
λ nu este distorsionat foarte tare faţă de
standardele actuale de modelare. Pe modelul distorsionat 84
132
"
"==
h
B.
În acest caz
354
325
"
"
"
"5"
"
"
=−=−=−
=h
B
h
hB
h
Bc şi 375,08
3
"
"
==B
Bc .
Aşadar când se utilizează un model distorsionat, doar 37,5 % din lăţimea
prototipului se află în zona centrală a modelului distorsionat.
Este evident că în acest caz este mai indicată modelarea pe model
nedistorsionat.
20. Se consideră un râu prototip având o lungime de 2000 m, şi un
coeficient de rugozitate după Strickler K = 45. Adâncimea medie a apei este
aproximativ 2 m, iar viteza medie 0,3 m/s. Să se arate care este cel mai indicat
tip de model pentru modelarea curgerii în râu.
Hidraulică vol. II
543
Rezolvare. Se studiază modelarea pe un model nedistorsionat şi pe un
model distorsionat cu un coeficient de distorsiune 1/4.
a. Modelarea curgerii pe model nedistorsionat.
Presupunem că lungimea maximă pe care se poate realiza modelul în
laborator este 20 m, numărul scării geometrice nu poate fi mai mare decât
100m 20
m 2000
'
"===
L
LL . Aplicând criteriul de similitudine Froude (21.16),
rezultă numărul de scară pentru viteze 10100 2/12/1 === LV .
Deci adâncimea apei pe model va fi
cm 2 m 02,0100
m 2'" ====
L
hh .
Analog, viteza apei pe model va fi
cm/s 3 m/s 03,010
m/s 3,0'v" ====
VV .
Pentru aceste valori ale adâncimii şi vitezei pe model, pentru un
coeficient de viscozitate cinematic 10 6−=ν m2/s, aplicând criteriul Reynolds
(21.5), rezultă numărul Reynolds
60010
03,002,0""Re
6=
⋅==
−ν
hV.
Utilizând relaţia (21.25) rugozitatea pe model va fi:
97100
45'"
6/16/1≅==
−−L
KK .
Analiza modelării pe model nedistorsionat relevă următoarele aspecte:
- intervin probleme de măsurare a vitezei şi nivelului pe model
datorită valorilor mici ale acestora;
- numărul Reynolds pe model nu este suficient de mare pentru a
garanta curgerea turbulentă; numărul Reynolds calculat pe prototip are valoarea
600.000;
- rugozitatea modelului după Strickler 97"≅K (după Manning
01,0"≅K ) este aproape imposibil de realizat practic fiind apropiată de cea a
sticlei.
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae
544
b. Modelarea curgerii pe model distorsionat.
Aplicând relaţia pentru numărul de scară rezultă numărul de scară
pentru adâncimi
254
100
4===
∧ Lh .
Deci adâncimea apei pe model va fi
cm 8 m 08,025
m 2'" ====
∧
h
hh .
Aplicând criteriul de similitudine Froude (21.26), rezultă numărul de
scară pentru viteze 525 2/12/1
===∧∧
hV .
Analog, viteza apei pe model va fi
cm/s 6 m/s 06,05
m/s 3,0'v" ====
∧
VV .
Numărul Reynolds pe model va fi:
480010
08,006,0""Re
6=
⋅==
−ν
hV, mai apropiat de curgerea turbulentă
decât în cazul modelului nedistorsionat.
Rugozitatea după Strickler rezultă din aplicarea (21.31)
5,384
12545'
'"
2/1
6/12/16/1
=
⋅⋅=⋅⋅==
∧
∧eK
KK h
K.
După Manning 026,05,38
1" ==K .
Analizând rezultatele obţinute pe modelul distorsionat (comparativ cu
modelul nedistorsionat) rezultă că modelul distorsionat este indicat pentru
modelare.
Hidraulică vol. II 545
B I B L I O G R A F I E
1. Acaroglu, E.R. – Friction Factors in Solid Material Laden Systems.
Journal of the Hydraulics Division, ASCE, Hy. 4, 1972;
2. Altsul, D.A. – Ghidravliceskie soprovlitenia, Izd. Nerva, Moskva, 1982;
3. Bartha, I. – Măsurarea vitezei fazei lichide şi solide a hidroamestecurilor,
Hidrotehnica, vol. 36, nr. 3-4, 1991;
4. Bartha, I., Giurma, I., Rusu, I., Zahariea, D. – Nonhomogeneous Two-
Phase Flow Under Pressure of the Mixture Water –
Alluviums in Low Concentration in Horizontal Circular
Pipes, Proceedings of Conference on Modeling Fluid Flow,
Budapest, 2003;
5. Bartha, I., Javgureanu, V. – Hidraulică, vol. 1, Ed. Tehnică, Chişinău,
1998;
6. Bartha, I., Marcoie, N. – Hydraulic Calculus of Stepped Canals with
Skimming Flow, Buletinul Institutului Politehnic Iaşi, Tom
XLVII(LI), Fasc. 1-4, Hidrotehnică, 2001;
7. Bartha, I., Popia, A., Leibu, H. – Influenţa turbidităţii şi a colmatării
conductelor asupra distribuţiei presiunii pe reţelele de irigaţii,
Hidrotehnica, vol. 31, nr. 6, 1986;
8. Bartha, I., Sfredel, I. – Regulator de debit pe canale cu stavilă plană
verticală şi oblon mobil acţionat de flotor, Hidrotehnica, vol.
35, nr. 8, 1990;
9. Blidaru, E. – Hidraulică, vol. I, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,
1964;
10. Blidaru, E. – Hidraulică, vol. II, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,
1965;
11. Bogárdi, J. – Hidromechanika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1984;
12. Bogárdi, J., Kozák, M. – Hidraulika I, Tankönyvkiadó, Budapest, 1982;
13. Bogárdi, J., Kozák, M. – Hidraulika II, Tankönyvkiadó, Budapest, 1984;
14. Castanny, G. – Traité pratique des eaux souterraines, Dunod, Paris,
1963;
15. Certousov, M.D. – Hidraulică. Curs special, Ed. Tehnică, Bucureşti,
1966;
16. Chanson, H. – Hydraulic Design of Stepped Cascades, Channels, Weirs
and Spillways, Pergamon Press, Brisbane, Australia, 1994;
17. Chow, V.T. – Open Channel Hydraulics, Mc. Graw Hill, New York,
1959;
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 546
18. Cioc, D. – Hidraulică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983;
19. Cioc, D., Trofin, E., Iamadi, C., Tatu, G., Mănescu, M., Damian, R.,
Sandu, L., Gall, B. – Hidraulică, Culegere de probleme, Ed.
Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1973;
20. Ciugaev, R.R. – Ghidravlika, Ed. Energoizdat, Leningrad, 1982;
21. Cunge, J.A., Holly, Jr.F.M., Verwey, A. – Practical aspects of
computational river hydraulics. Pitman Publ. Ltd., London,
1980;
22. David – Ungureanu, E., Gogonea, S., Ene, H. – Hidrodinamica mediilor
poroase neomogene, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1989;
23. Dumitrescu, D. – Opere Alese, Ed. Academiei, Bucureşti, 1999;
24. Dumitrescu, D., Răzvan, E. – Disiparea energiei şi disipatori de energie,
Ed. Tehnică, Bucureşti, 1971;
25. Florea, J., Robescu, D. – Hidrodinamica instalaţiilor de transport
hidropneumatic şi de depoluare a apei şi a aerului. Ed.
Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982;
26. Florea, J., Robescu, D., Petrovici, I., Stamatoiu, D. – Dinamica fluidelor
polifazice şi aplicaţiile ei tehnice, Ed. Tehnică, Bucureşti,
1987;
27. Ghinescu, P., Solomon, M. – Hidromecanizarea în construcţii, Ed.
Tehnică, Bucureşti, 1969;
28. Giurconiu, M., Mirel, I., Retezan, A., Sârbu, I. – Hidraulica
construcţiilor şi instalaţiilor hidroedilitare, Ed. Facla,
Timişoara, 1989;
29. Giuma, R. – Modelarea matematică si simularea numerică a proceselor
de curgere a apelor subterane şi de transport de poluanţi în
acvifere cu nivel liber, Teză de Doctorat, Iaşi, 2004;
30. Graf, W.H., Altinakar, M.S. – Hidraulique fluviale; Tome I, Press
Polytechniques et Universitairea de Romandes, Laussane,
1993;
31. Hâncu, S., Marin, G. – Mişcări potenţiale, Curs litografiat, UŞAMV,
Fac. De Îmbunătăţiri Funciare, Bucureşti, 1998;
32. Hâncu, S., Stănescu, P., Platagea, Gh. – Hidrologie agricolă, Ed. Ceres,
Bucureşti, 1971;
33. Hâncu, S., Rus, E., Dan P., Teodoreanu, Gh. – Hidraulica sistemelor de
irigaţie cu funcţionare automată, Ed. Ceres, Bucureşti, 1982;
34. Hâncu, S. ş.a. – Hidraulică aplicată. Simularea numerică a mişcării
nepermanente a fluidelor, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1985;
Hidraulică vol. II 547
35. Ionescu, D., Gh. – Introducere în hidraulică, Ed. Tehnică, Bucureşti,
1977;
36. Javgureanu, V., Bartha, I. – Acţionări hidraulice şi pneumatice, Ed.
Tehnica – Info, Chişinău, 2002;
37. King, H.W., Wisler, C.O., Woodburn, J.G. – Hydraulics, Fifth Edition,
John Wiley & Sons, INC, New York, London, 1948;
38. Kiselev, P.G. – Îndreptar pentru calcule hidraulice, Ed. Tehnică,
Bucureşti, 1988;
39. Kozák, M. – Hidraulică, Tankönyvkiadó, Budapest, 1971;
40. Loiskandl, W. – Hydraulik, Universität für Bodenkultur, Wien, 1997;
41. Luca, M. – Hidraulică tehnică, vol. I, Mişcarea permanentă în canale, Ed
Tehnopress, Iaşi, 1998;
42. Luca, M., Bartha, I., Popia, A. – Some Hydraulic Characteristics of the
Nozzles Used in Trickle Irrigation, Bul, Institutului
Politehnic Iaşi, Tom XXVIII(XXXII), Fasc. 1-4, Secţia V,
1982;
43. Luca, O. – Hidraulica mişcărilor permanente, Ed. H.G.A., Bucureşti,
2000;
44. Marcoie, N., Cismaru, C., Agafiţei, M., Nistor, A., Gabor, V. – Model
calculator pentru curgeri nepermanente în canale de irigaţii
de secţiune trapezoidală, Bul. I.P.I., Tom XLVI(L),
“Mecanica fluidelor - I”, secţia “Construcţii de Maşini”, Iaşi,
22 sept. 2000, p. 305-309;
45. Marinov, A.M. – Hidrodinamica apelor subterane, Ed. Printech,
Bucureşti, 2000;
46. Mateescu, C. – Hidraulică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,1963;
47. Novak, P., Cabelka, J. – Models in Hydraulic Engineering, Pitman
Publishing Ltd., 1981;
48. Pietraru, V. – Calculul infiltraţiilor, Ed. Ceres, Bucureşti, 1970;
49. Popa, R. – Elemente de hidrodinamica râurilor, Ed. Didactică şi
Pedagogică, RA, Bucureşti, 1997;
50. Preissmann, A. – Propagation des intumescences dans les canaux et
riviers, 1st Congres de l’assoc. Francaise de calcul, Grenoble,
1961;
51. Ramos, C.M. – Models for Study of the Hydrodynamic Actions on
Hydraulic Structures, LNEC, Portugal, NATO Modeling,
1988;
52. Roman, P., Grigorescu, N.V.M. – Hidrotransport, Ed. Tehnică,
Bucureşti, 1989;
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 548
53. Roman, P., Isbăşoiu, E.C., Bălan, C. – Probleme speciale de
hidromecanică, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1987;
54. Rusu, I. I. – Fenomene în hidroelasticitate, Ed. Junimea, Iaşi, 1998
55. Roşu, L. – Dimensionarea şi verificarea canalelor de irigaţii cu
funcţionare automatizată, Ovidius University Press,
Constanţa, 1999;
56. Sharp, J.J. – Hydraulic Modeling, Butterworths, 1981;
57. Turcan, R. – Mişcarea fluidelor prin medii poroase, Ed. Digital Data,
Cluj – Napoca, 2005;
58. Vischer, D.L., Hager, W.H. – Energy Dissipators, A.A. Balkema,
Rotterdam, Brookfield, 1995;
59. Yalin, M.S. – Theory of Hydraulic Models, Queen’s University at
Kingston, Canada, Macmillan Civil Engineering Hydraulics,
The Macmillan Press, 1971;
60. Yalin, M.S. – Fundamentals of Hydraulic Physical Modeling, NATO
Modeling, 1988;
61. ***Unsteady flow in open channels, Water Resources Publ., Fort
Collins, Colorado, USA, 1975.
Hidraulică vol. II 549
Anexa 1 Valorile funcţiei )(ηϕ pentru albiile cu pantă pozitivă 0>i
x
η 2,00 2,50 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 4,50 5,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,05 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,10 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,15 0,151 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,20 0,203 0,201 0,200 0,200 0,200 0,200 0,200 0,200 0,200 0,25 0,255 0,252 0,251 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,30 0,309 0,304 0,302 0,301 0,301 0,300 0,300 0,300 0,300 0,35 0,365 0,357 0,354 0,352 0,351 0,351 0,351 0,350 0,350 0,40 0,424 0,411 0,407 0,405 0,404 0,403 0,402 0,401 0,401 0,45 0,485 0,468 0,461 0,458 0,456 0,455 0,454 0,452 0,452 0,50 0,549 0,527 0,517 0,513 0,510 0,508 0,507 0,504 0,503 0,55 0,619 0,590 0,575 0,570 0,566 0,563 0,561 0,556 0,555 0,60 0,693 0,657 0,637 0,630 0,625 0,620 0,617 0,611 0,608 0,61 0,709 0,671 0,650 0,642 0,637 0,632 0,628 0,622 0,619 0,62 0,727 0,685 0,663 0,655 0,649 0,644 0,640 0,634 0,630 0,63 0,741 0,699 0,676 0,668 0,661 0,656 0,652 0,645 0,641 0,64 0,758 0,714 0,689 0,681 0,674 0,668 0,664 0,657 0,652 0,65 0,775 0,729 0,703 0,694 0,687 0,681 0,678 0,668 0,664 0,66 0,792 0,744 0,717 0,707 0,700 0,693 0,688 0,680 0,675 0,67 0,810 0,760 0,731 0,721 0,713 0,704 0,700 0,692 0,687 0,68 0,829 0,776 0,746 0,735 0,726 0,719 0,713 0,704 0,694 0,69 0,848 0,792 0,761 0,749 0,740 0,732 0,726 0,716 0,710 0,70 0,867 0,809 0,776 0,793 0,754 0,746 0,739 0,728 0,722 0,71 0,887 0,826 0,791 0,778 0,768 0,759 0,752 0,741 0,734 0,72 0,907 0,844 0,807 0,793 0,782 0,773 0,766 0,754 0,746 0,73 0,928 0,862 0,823 0,808 0,797 0,787 0,780 0,767 0,759 0,74 0,950 0,881 0,840 0,824 0,812 0,802 0,794 0,780 0,772 0,75 0,972 0,900 0,857 0,841 0,828 0,817 0,808 0,794 0,785 0,76 0,996 0,920 0,874 0,857 0,844 0,833 0,823 0,808 0,798 0,77 1,020 0,940 0,892 0,874 0,860 0,849 0,838 0,822 0,811 0,78 1,045 0,961 0,911 0,892 0,877 0,865 0,854 0,837 0,825 0,79 1,071 0,983 0,930 0,911 0,895 0,882 0,870 0,852 0,839 0,80 1,098 1,006 0,950 0,930 0,913 0,899 0,887 0,867 0,854 0,81 1,127 1,030 0,971 0,949 0,932 0,917 0,904 0,883 0,869 0,82 1,156 1,055 0,993 0,970 0,952 0,936 0,922 0,900 0,885 0,83 1,178 1,081 1,016 0,992 0,972 0,955 0,940 0,917 0,901 0,84 1,221 1,109 1,040 1,014 0,993 0,975 0,960 0,935 0,918 0,85 1,256 1,138 1,065 1,033 1,016 0,997 0,980 0,954 0,933 0,86 1,293 1,139 1,092 1,063 1,039 1,020 1,002 0,974 0,954 0,87 1,333 1,202 1,120 1,090 1,064 1,044 1,025 0,995 0,973 0,88 1,375 1,237 1,151 1,118 1,091 1,069 1,049 1,017 0,994 0,89 1,421 1,275 1,183 1,148 1,120 1,096 1,075 1,040 1,016 0,90 1,472 1,316 1,218 1,181 1,151 1,126 1,103 1,066 1,039
0,905 1,499 1,339 1,237 1,199 1,168 1,142 1,118 1,080 1,052 0,910 1,527 1,362 1,257 1,218 1,185 1,158 1,134 1,094 1,065 0,915 1,557 1,386 1,278 1,237 1,204 1,175 1,150 1,109 1,079 0,920 1,589 1,412 1,300 1,257 1,223 1,193 1,167 1,124 1,093
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 550
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,925 1,622 1,440 1,323 1,279 1,243 1,212 1,185 1,141 1,108 0,930 1,658 1,469 1,348 1,302 1,265 1,232 1,204 1,158 1,124 0,935 1,696 1,500 1,374 1,327 1,288 1,254 1,225 1,177 1,141 0,940 1,738 1,534 1,403 1,354 1,313 1,278 1,247 1,197 1,159 0,945 1,782 1,570 1,434 1,382 1,339 1,304 1,271 1,218 1,179 0,950 1,831 1,610 1,467 1,413 1,368 1,331 1,297 1,241 1,200 0,955 1,885 1,654 1,504 1,447 1,400 1,361 1,325 1,267 1,223 0,960 1,945 1,702 1,545 1,485 1,436 1,394 1,356 1,295 1,248 0,965 2,013 1,758 1,592 1,528 1,476 1,431 1,391 1,327 1,277 0,970 2,092 1,820 1,645 1,577 1,522 1,474 1,431 1,363 1,310 0,975 2,184 1,896 1,708 1,634 1,576 1,524 1,479 1,455 1,349 0,980 2,297 1,985 1,784 1,705 1,642 1,586 1,537 1,457 1,395 0,985 2,442 2,100 1,882 1,795 1,726 1,665 1,611 1,523 1,456 0,990 2,646 2,264 2,019 1,922 1,844 1,776 1,714 1,615 1,539 0,995 3,000 2,544 2,250 2,137 2,043 1,965 1,889 1,771 1,680 1,000 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1,001 3,728 2,766 2,184 1,977 1,790 1,646 1,508 1,310 1,138 1,005 2,997 2,139 1,647 1,477 1,329 1,216 1,107 0,954 0,826 1,010 2,652 1,865 1,419 1,265 1,138 1,031 0,936 0,792 0,681 1,015 2,415 1,704 1,291 1,140 1,022 0,922 0,836 0,703 0,602 1,020 2,307 1,591 1,193 1,053 0,940 0,847 0,766 0,641 0,547 1,025 2,197 1,504 1,119 0,986 0,879 0,789 0,712 0,594 0,504 1,030 2,117 1,432 1,061 0,932 0,827 0,742 0,668 0,555 0,469 1,035 2,031 1,372 1,010 0,886 0,785 0,702 0,632 0,522 0,440 1,040 1,966 1,320 0,967 0,846 0,748 0,668 0,600 0,495 0,415 1,045 1,908 1,274 0,929 0,811 0,716 0,638 0,572 0,470 0,393 1,050 1,857 1,234 0,898 0,780 0,688 0,612 0,548 0,448 0,374 1,060 1,768 1,164 0,838 0,727 0,609 0,566 0,506 0,411 0,342 1,070 1,693 1,105 0,790 0,683 0,599 0,529 0,471 0,381 0,315 1,08 1,627 1,053 0,749 0,646 0,564 0,497 0,441 0,355 0,291 1,09 1,573 1,009 0,713 0,613 0,534 0,469 0,415 0,332 0,272 1,10 1,522 0,969 0,680 0,584 0,507 0,444 0,392 0,312 0,254 1,11 1,477 0,933 0,652 0,558 0,483 0,422 0,323 0,294 0,239 1,12 1,436 0,901 0,626 0,534 0,461 0,402 0,354 0,279 0,225 1,13 1,398 0,872 0,602 0,512 0,442 0,384 0,337 0,265 0,212 1,14 1,363 0,846 0,581 0,493 0,424 0,368 0,292 0,252 0,201 1,15 1,331 0,821 0,561 0,475 0,407 0,353 0,308 0,240 0,191 1,16 1,301 0,798 0,542 0,458 0,391 0,339 0,295 0,229 0,181 1,17 1,273 0,776 0,525 0,443 0,377 0,326 0,283 0,218 0,173 1,18 1,247 0,756 0,510 0,428 0,364 0,314 0,272 0,209 0,165 1,19 1,222 0,737 0,495 0,414 0,352 0,302 0,262 0,200 0,167 1,20 1,199 0,719 0,480 0,401 0,341 0,292 0,252 0,192 0,150 1,21 1,177 0,702 0,467 0,389 0,330 0,282 0,243 0,185 0,144 1,22 1,156 0,686 0,454 0,378 0,320 0,272 0,235 0,178 0,138 1,23 1,136 0,671 0,442 0,368 0,310 0,263 0,227 0,171 0,132 1,24 1,117 0,657 0,431 0,358 0,301 0,255 0,219 0,164 0,127 1,25 1,098 0,643 0,420 0,348 0,292 0,247 0,212 0,158 0,122 1,26 1,081 0,630 0,410 0,339 0,284 0,240 0,205 0,153 0,117 1,27 1,065 0,618 0,400 0,330 0,276 0,233 0,199 0,147 0,113 1,28 1,049 0,606 0,391 0,332 0,269 0,226 0,193 0,142 0,108 1,29 1,033 0,594 0,382 0,314 0,262 0,220 0,187 0,137 0,104 1,30 1,018 0,582 0,373 0,306 0,255 0,214 0,182 0,133 0,100 1,31 1,004 0,571 0,365 0,299 0,248 0,208 0,171 0,129 0,097
Hidraulică vol. II 551
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1,32 0,990 0,561 0,357 0,292 0,242 0,203 0,170 0,125 0,094 1,33 0,977 0,551 0,349 0,285 0,236 0,197 0,167 0,121 0,090 1,34 0,964 0,542 0,341 0,279 0,230 0,192 0,162 0,117 0,087 1,35 0,952 0,533 0,334 0,273 0,225 0,187 0,158 0,113 0,084 1,36 0,940 0,524 0,328 0,267 0,219 0,183 0,153 0,110 0,081 1,37 0,928 0,516 0,322 0,261 0,214 0,178 0,149 0,107 0,079 1,38 0,917 0,508 0,316 0,255 0,209 0,174 0,145 0,104 0,076 1,39 0,906 0,500 0,310 0,250 0,205 0,169 0,142 0,101 0,074 1,40 0,896 0,492 0,304 0,245 0,200 0,165 0,138 0,098 0,071 1,41 0,886 0,484 0,298 0,240 0,196 0,161 0,135 0,095 0,069 1,42 0,876 0,477 0,293 0,235 0,192 0,158 0,131 0,092 0,067 1,43 0,866 0,470 0,288 0,231 0,188 0,154 0,128 0,090 0,065 1,44 0,856 0,463 0,283 0,226 0,184 0,151 0,125 0,087 0,063 1,45 0,847 0,456 0,278 0,222 0,180 0,147 0,122 0,085 0,061 1,46 0,838 0,450 0,273 0,218 0,176 0,144 0,119 0,083 0,059 1,47 0,829 0,444 0,268 0,214 0,173 0,141 0,116 0,081 0,057 1,48 0,821 0,438 0,263 0,210 0,169 0,138 0,113 0,079 0,056 1,49 0,813 0,432 0,259 0,206 0,166 0,135 0,111 0,077 0,054 1,50 0,805 0,426 0,255 0,202 0,163 0,132 0,109 0,075 0,053 1,55 0,767 0,399 0,235 0,185 0,148 0,119 0,097 0,066 0,046 1,60 0,733 0,376 0,218 0,170 0,135 0,108 0,087 0,058 0,040 1,65 0,707 0,355 0,203 0,157 0,124 0,098 0,079 0,052 0,035 1,70 0,675 0,336 0,189 0,145 0,114 0,090 0,072 0,047 0,031 1,75 0,650 0,318 0,177 0,135 0,105 0,083 0,066 0,042 0,027 1,80 0,626 0,303 0,166 0,126 0,097 0,076 0,060 0,038 0,024 1,85 0,605 0,289 0,156 0,118 0,090 0,070 0,055 0,034 0,022 1,90 0,585 0,276 0,147 0,111 0,084 0,065 0,050 0,031 0,019 1,95 0,566 0,264 0,139 0,104 0,079 0,060 0,046 0,028 0,017 2,00 0,549 0,253 0,132 0,098 0,074 0,056 0,043 0,026 0,016 2,1 0,518 0,233 0,119 0,087 0,065 0,048 0,037 0,022 0,013 2,2 0,490 0,216 0,108 0,078 0,057 0,042 0,032 0,018 0,011 2,3 0,466 0,201 0,098 0,070 0,051 0,037 0,028 0,016 0,009 2,4 0,444 0,188 0,090 0,064 0,049 0,033 0,024 0,013 0,008 2,5 0,424 0,176 0,082 0,058 0,041 0,030 0,022 0,012 0,006 2,6 0,405 0,165 0,076 0,053 0,037 0,027 0,019 0,010 0,005 2,7 0,389 0,155 0,070 0,048 0,034 0,024 0,017 0,009 0,005 2,8 0,374 0,146 0,065 0,044 0,031 0,022 0,015 0,008 0,004 2,9 0,360 0,138 0,060 0,041 0,028 0,020 0,014 0,007 0,003 3,0 0,346 0,131 0,056 0,038 0,026 0,018 0,012 0,006 0,003 3,5 0,294 0,103 0,041 0,027 0,018 0,012 0,008 0,004 0,002 4,0 0,255 0,084 0,031 0,020 0,012 0,008 0,005 0,002 0,001 4,5 0,226 0,070 0,025 0,015 0,009 0,006 0,004 0,001 5,0 0,203 0,060 0,020 0,012 0,009 0,004 0,003 0,001 6,0 0,168 0,046 0,014 0,008 0,004 0,003 0,001 0,001 7,0 0,145 0,036 0,010 0,005 0,003 0,002 0,001 8,0 0,126 0,029 0,009 0,004 0,002 0,001 0,001 9,0 0,110 0,024 0,006 0,003 0,001 0,001 0,000 10,0 0,100 0,021 0,005 0,002 0,001 0,001 0,000 20,0 0,093 0,008 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 552
Anexa 2 Valorile funcţiei )(ξϕ pentru albii cu fund orizontal ( 0=i )
x
ξ 2,00 2,50 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 4,50
0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0,0000 0 0 0 0 0 0 0
0,05 0,0001 0 0 0 0 0 0 0 0,10 0,0003 0,0001 0 0 0 0 0 0 0,15 0,0011 0,0004 0,0001 0,0001 0 0 0 0 0,20 0,0027 0,0010 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0000 0,25 0,0052 0,0022 0,0009 0,0007 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,30 0,0090 0,0042 0,0020 0,0014 0,0010 0,0007 0,0005 0,0002 0,35 0,0113 0,0073 0,0037 0,0027 0,0020 0,0014 0,0011 0,0006 0,40 0,0213 0,0116 0,0064 0,0048 0,0036 0,0027 0,0021 0,0012 0,45 0,0304 0,0175 0,0102 0,0079 0,0061 0,0047 0,0037 0,0023 0,50 0,0497 0,0252 0,0156 0,0124 0,0098 0,0078 0,0063 0,0040 0,55 0,0554 0,0352 0,0229 0,0185 0,0151 0,0123 0,0101 0,0068 0,60 0,0720 0,0478 0,0324 0,0268 0,0223 0,0186 0,0156 0,0109 0,61 0,0756 0,0506 0,0346 0,0288 0,0240 0,0201 0,0161 0,0120 0,62 0,0794 0,0537 0,0369 0,0308 0,0259 0,0217 0,0183 0,0131 0,63 0,0833 0,0567 0,0394 0,0330 0,0278 0,0235 0,0198 0,0143 0,64 0,0874 0,0599 0,0419 0,0353 0,0298 0,0253 0,0215 0,0156 0,65 0,0915 0,0632 0,0446 0,0387 0,0320 0,0272 0,0232 0,0170 0,66 0,0958 0,0667 0,0474 0,0402 0,0343 0,0292 0,0250 0,0185 0,67 0,1003 0,0703 0,0504 0,0429 0,0367 0,0314 0,0270 0,0201 0,68 0,1048 0,0740 0,0535 0,0457 0,0392 0,0337 0,0291 0,0218 0,69 0,1095 0,0779 0,0564 0,0486 0,0418 0,0361 0,0313 0,0236 0,70 0,1143 0,0820 0,0600 0,0517 0,0446 0,0387 0,0336 0,0256 0,71 0,1193 0,0861 0,0635 0,0549 0,0476 0,0414 0,0361 0,0276 0,72 0,1244 0,0905 0,0672 0,0582 0,0507 0,0442 0,0387 0,0298 0,73 0,1297 0,0950 0,0710 0,0617 0,0539 0,0472 0,0415 0,0322 0,74 0,1351 0,0996 0,0750 0,0654 0,0573 0,0504 0,0444 0,0347 0,75 0,1406 0,1044 0,0791 0,0693 0,0609 0,0537 0,0475 0,0374 0,76 0,1463 0,1093 0,0834 0,0733 0,0646 0,0572 0,0507 0,0402 0,77 0,1552 0,1144 0,0879 0,0775 0,0685 0,0608 0,0541 0,0432 0,78 0,1582 0,1197 0,0925 0,0818 0,0726 0,0647 0,0577 0,0464 0,79 0,1643 0,1252 0,0974 0,0864 0,0769 0,0687 0,0615 0,0497 0,80 0,1707 0,1309 0,1024 0,0911 0,0814 0,0729 0,0655 0,0533 0,81 0,1772 0,1367 0,1075 0,0961 0,0861 0,0774 0,0697 0,0571 0,82 0,1838 0,1426 0,1130 0,1012 0,0910 0,0820 0,0741 0,0610 0,83 0,1906 0,1488 0,1186 0,1066 0,0961 0,0869 0,0788 0,0652 0,84 0,1976 0,1552 0,1245 0,1122 0,1014 0,0920 0,0836 0,0697 0,85 0,2046 0,1618 0,1305 0,1179 0,1070 0,0973 0,0887 0,0744 0,86 0,2120 0,1685 0,1368 0,1239 0,1127 0,1028 0,0941 0,0793 0,87 0,2195 0,1755 0,1432 0,1302 0,1188 0,1087 0,0997 0,0845 0,88 0,2272 0,1826 0,1499 0,1367 0,1250 0,1147 0,1056 0,0900 0,89 0,2350 0,1900 0,1569 0,1434 0,1315 0,1210 0,1117 0,0958 0,90 0,2430 0,1976 0,1640 0,1504 0,1383 0,1276 0,1181 0,1018 0,91 0,2512 0,2054 0,1714 0,1576 0,1454 0,1345 0,1248 0,1082 0,92 0,2596 0,2134 0,1791 0,1651 0,1527 0,1391 0,1318 0,1149 0,93 0,2681 0,2216 0,1870 0,1729 0,1603 0,1417 0,1391 0,1220 0,94 0,2769 0,2301 0,1952 0,1809 0,1682 0,1569 0,1468 0,1294
Hidraulică vol. II 553
0 1 2 3 4 5 6 7 8 0,95 0,2858 0,2388 0,2036 0,1892 0,1764 0,1650 0,1548 0,1371 0,96 0,2949 0,2477 0,2123 0,1973 0,1849 0,1734 0,1631 0,1453 0,97 0,3042 0,2568 0,2213 0,2067 0,1938 0,1822 0,1717 0,1538 0,98 0,3137 0,2662 0,2306 0,2159 0,2029 0,1913 0,1808 0,1627 0,99 0,3234 0,2760 0,2402 0,2255 0,2124 0,201 0,1902 0,1721 1,00 0,3333 0,286 0,250 0,2353 0,2222 0,2111 0,200 0,182 1,01 0,3434 0,296 0,260 0,2455 1,2324 0,221 0,210 0,192 1,02 0,3537 0,306 0,271 0,256 0,243 0,231 0,221 0,203 1,03 0,3643 0,317 0,281 0,267 0,254 0,242 0,232 0,214 1,04 0,375 0,328 0,292 0,278 0,265 0,254 0,243 0,226 1,05 0,386 0,339 0,304 0,289 0,277 0,265 0,255 0,238 1,06 0,397 0,350 0,316 0,301 0,289 0,278 0,268 0,250 1,07 0,408 0,362 0,328 0,314 0,301 0,290 0,281 0,264 1,08 0,420 0,374 0,340 0,326 0,314 0,303 0,294 0,278 1,09 0,432 0,386 0,353 0,339 0,327 0,317 0,308 0,292 1,10 0,444 0,399 0,366 0,353 0,341 0,331 0,322 0,307 1,11 0,456 0,412 0,380 0,367 0,355 0,346 0,337 0,323 1,12 0,468 0,425 0,394 0,381 0,370 0,361 0,352 0,339 1,13 0,481 0,438 0,408 0,396 0,385 0,376 0,368 0,356 1,14 0,493 0,452 0,422 0,411 0,401 0,392 0,385 0,374 1,15 0,507 0,466 0,437 0,426 0,417 0,409 0,402 0,392 1,16 0,520 0,480 0,453 0,442 0,433 0,426 0,420 0,411 1,17 0,534 0,495 0,469 0,458 0,450 0,444 0,438 0,431 1,18 0,548 0,510 0,485 0,475 0,468 0,462 0,457 0,452 1,19 0,562 0,525 0,501 0,493 0,486 0,481 0,477 0,473 1,20 0,576 0,541 0,518 0,511 0,505 0,501 0,497 0,496 1,21 0,591 0,557 0,536 0,529 0,524 0,521 0,519 0,519 1,22 0,605 0,573 0,554 0,548 0,544 0,541 0,541 0,548 1,23 0,620 0,591 0,572 0,567 0,564 0,563 0,563 0,568 1,24 0,635 0,607 0,591 0,587 0,585 0,585 0,586 0,594 1,25 0,651 0,624 0,610 0,607 0,607 0,608 0,610 0,620 1,26 0,667 0,642 0,630 0,628 0,629 0,631 0,635 0,648 1,27 0,683 0,660 0,650 0,650 0,652 0,655 0,661 0,677 1,28 0,699 0,678 0,671 0,672 0,675 0,680 0,687 0,707 1,29 0,716 0,697 0,692 0,694 0,699 0,706 0,714 0,738 1,30 0,732 0,716 0,714 0,717 0,724 0,732 0,743 0,770 1,31 0,749 0,735 0,736 0,741 0,749 0,759 0,772 0,808 1,32 0,767 0,775 0,759 0,766 0,775 0,787 0,820 0,837 1,33 0,784 0,785 0,782 0,791 0,802 0,816 0,832 0,873 1,34 0,802 0,796 0,806 0,816 0,829 0,845 0,864 0,909 1,35 0,820 0,817 0,830 0,842 0,853 0,876 0,897 0,947 1,36 0,839 0,838 0,855 0,869 0,887 0,907 0,930 0,986 1,37 0,857 0,860 0,881 0,897 0,916 0,939 0,965 1,027 1,38 0,876 0,882 0,907 0,925 0,947 0,972 1,001 1,059 1,39 0,895 0,905 0,933 0,954 0,978 1,006 1,038 1,112 1,40 0,905 0,928 0,960 0,983 1,010 1,041 1,076 1,157 1,41 0,930 0,951 0,988 1,013 1,043 1,077 1,115 1,203 1,42 0,954 0,975 1,016 1,044 1,077 1,114 1,155 1,251 1,43 0,975 0,999 1,045 1,076 1,111 1,151 1,196 1,300 1,44 0,995 1,024 1,075 1,108 1,147 1,190 1,238 1,351 1,45 1,016 1,049 1,105 1,141 1,183 1,230 1,282 1,403 1,46 1,037 1,074 1,136 1,175 1,210 1,270 1,327 1,457 1,47 1,059 1,100 1,167 1,210 1,258 1,312 1,373 1,513 1,48 1,081 1,127 1,199 1,245 1,297 1,355 1,420 1,571
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 554
0 1 2 3 4 5 6 7 8 1,49 1,103 1,154 1,232 1,281 1,337 1,399 1,469 1,680 1,50 1,125 1,181 1,266 1,313 1,378 1,445 1,519 1,691 1,52 1,170 1,237 1,335 1,395 1,462 1,538 1,623 1,819 1,54 1,217 1,295 1,406 1,474 1,551 1,637 1,732 1,954 1,56 1,265 1,355 1,480 1,557 1,644 1,740 1,847 2,098 1,58 1,315 1,417 1,558 1,644 1,741 1,849 1,969 2,250 1,60 1,365 1,481 1,638 1,734 1,843 1,963 2,097 2,412 1,62 1,417 1,546 1,722 1,829 1,948 2,082 2,232 2,582 1,64 1,470 1,614 1,808 1,926 2,059 2,207 2,373 2,762 1,66 1,525 1,684 1,898 2,028 2,174 2,338 2,521 2,953 1,68 1,581 1,756 1,992 2,134 2,294 2,475 2,677 3,154 1,70 1,638 1,830 2,088 2,244 2,420 2,618 2,840 3,360 1,72 1,696 1,907 2,188 2,358 2,551 2,767 3,011 3,590 1,74 1,756 1,986 2,292 2,477 2,687 2,924 3,190 3,825 1,76 1,817 2,067 2,399 2,600 2,829 3,087 3,378 4,073 1,78 1,880 2,150 2,510 2,728 2,976 3,257 3,574 4,335 1,80 1,944 2,236 2,624 2,861 3,130 3,434 3,779 4,609 1,82 2,009 2,324 2,743 2,999 3,289 3,619 3,994 4,898 1,84 2,076 2,414 2,866 3,141 3,455 3,812 4,218 5,202 1,86 2,145 2,507 2,992 3,288 3,627 4,013 4,452 5,520 1,88 2,215 2,603 3,123 3,442 3,806 4,222 4,697 5,855 1,90 2,286 2,701 3,258 3,600 3,992 4,440 4,952 6,205 1,92 2,359 2,802 3,397 3,764 4,185 4,660 5,218 6,573 1,94 2,434 2,906 3,542 3,933 4,384 4,902 5,490 6,959 1,96 2,510 3,012 3,690 4,109 4,591 5,147 5,785 7,363 1,98 2,587 3,121 3,841 4,290 4,806 5,401 6,086 7,786 2,00 2,667 3,232 4,000 4,477 5,028 5,655 6,400 8,228 2,05 2,872 3,524 4,415 4,972 5,619 6,370 7,241 9,425 2,10 3,087 3,834 4,862 5,508 6,263 7,143 8,168 10,76 2,15 3,313 4,164 5,342 6,088 6,962 7,987 9,188 12,25 2,20 3,549 4,512 5,856 6,720 7,721 8,909 10,31 13,90 2,25 3,797 4,882 6,407 7,386 8,543 9,912 11,53 15,73 2,30 4,056 5,272 6,996 8,109 9,431 11,00 12,87 17,75 2,35 4,326 5,684 7,625 8,885 10,39 12,18 14,33 19,98 2,40 4,608 6,119 8,294 9,716 11,42 13,47 15,93 22,43 2,45 4,902 6,577 9,008 10,61 12,53 14,85 17,66 25,12 2,50 5,208 7,059 9,766 11,56 13,72 16,35 19,53 28,08 2,55 5,527 7,565 10,57 12,57 15,00 17,96 21,56 31,30 2,60 5,859 8,097 11,42 13,65 16,37 19,70 23,76 34,83 2,65 6,203 8,655 12,33 14,80 17,84 21,56 26,16 38,68 2,70 6,561 9,240 13,29 16,03 19,40 23,57 28,70 42,87 2,75 6,932 9,854 14,30 17,33 21,08 25,71 31,46 47,42 2,80 7,317 10,49 15,37 18,71 22,86 28,01 34,42 52,36 2,85 7,716 11,17 16,49 20,17 24,75 30,47 37,61 57,71 2,90 8,130 11,87 17,68 21,72 26,77 33,09 41,02 63,51 2,95 8,557 12,60 18,93 23,35 28,91 35,89 46,68 69,77 3,00 9,000 13,36 20,25 25,08 31,18 38,87 48,60 76,53 3,5 14,29 22,92 37,52 48,30 62,39 80,84 105,1 178,8 4,0 21,33 36,57 64,0 85,18 113,8 152,4 200,1 372,4 4,5 30,38 55,23 102,5 140,5 193,3 266,7 369,0 711,7 5,0 41,67 79,86 156,0 219,9 310,6 440,0 625,0 1271 6,0 72,0 151,2 324,0 477,2 705,4 1046 1555 3463 7,0 114,3 259,3 600,0 918,9 1412 2175 3361 8085 8,0 170,7 413,7 1024 1621 2574 4102 6554 16850
Hidraulică vol. II 555
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9,0 242,0 625,0 1640 2674 4374 7177 11810 32210
10,0 333,3 903,0 2500 4184 7027 11840 20000 57500
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 556
Anexa 3 Valorile funcţiei )(ζϕ pentru albiile cu pantă negativă ( 0<i )
x
ζ 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
0 1 2 3 4 5 0,05 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,10 0,099 0,100 0,100 0,100 0,100 0,15 0,148 0,150 0,150 0,150 0,150 0,20 0,196 0,198 0,199 0,200 0,200 0,25 0,244 0,246 0,248 0,250 0,250 0,30 0,291 0,295 0,297 0,299 0,300 0,35 0,336 0,342 0,346 0,348 0,349 0,40 0,380 0,389 0,393 0,396 0,397 0,45 0,422 0,434 0,440 0,444 0,445 0,50 0,463 0,477 0,485 0,490 0,493 0,55 0,502 0,518 0,528 0,534 0,539 0,60 0,540 0,558 0,571 0,579 0,585 0,61 0,547 0,566 0,579 0,588 0,594 0,62 0,554 0,574 0,587 0,596 0,603 0,63 0,562 0,581 0,595 0,605 0,612 0,64 0,569 0,589 0,602 0,613 0,620 0,65 0,576 0,596 0,610 0,621 0,629 0,66 0,583 0,604 0,618 0,630 0,638 0,67 0,590 0,611 0,626 0,633 0,646 0,68 0,597 0,619 0,634 0,646 0,654 0,69 0,603 0,626 0,641 0,653 0,662 0,70 0,610 0,633 0,649 0,661 0,670 0,71 0,617 0,640 0,657 0,668 0,678 0,72 0,624 0,648 0,664 0,676 0,686 0,73 0,630 0,655 0,672 0,683 0,694 0,74 0,637 0,662 0,679 0,691 0,702 0,75 0,643 0,668 0,686 0,698 0,709 0,76 0,649 0,675 0,693 0,705 0,717 0,77 0,656 0,681 0,700 0,712 0,724 0,78 0,662 0,688 0,707 0,720 0,731 0,79 0,668 0,694 0,713 0,727 0,738 0,80 0,674 0,700 0,720 0,734 0,746 0,81 0,680 0,706 0,727 0,741 0,753 0,82 0,686 0,712 0,733 0,748 0,760 0,83 0,692 0,718 0,740 0,755 0,766 0,84 0,698 0,724 0,746 0,761 0,773 0,85 0,704 0,730 0,752 0,767 0,780 0,86 0,710 0,736 0,758 0,774 0,786 0,87 0,715 0,742 0,764 0,780 0,792 0,88 0,721 0,748 0,770 0,786 0,799 0,89 0,727 0,754 0,776 0,792 0,805 0,90 0,732 0,760 0,781 0,798 0,811 0,91 0,738 0,765 0,787 0,804 0,817 0,92 0,743 0,771 0,793 0,810 0,823 0,93 0,749 0,777 0,799 0,815 0,829 0,94 0,754 0,782 0,804 0,820 0,835 0,95 0,759 0,787 0,809 0,826 0,840
Hidraulică vol. II 557
0 1 2 3 4 5 0,96 0,764 0,793 0,815 0,831 0,847 0,97 0,770 0,798 0,820 0,837 0,851 0,98 0,775 0,803 0,825 0,842 0,857 0,99 0,780 0,809 0,830 0,847 0,861 1,00 0,785 0,813 0,834 0,851 0,867 1,01 0,790 0,817 0,840 0,856 0,872 1,02 0,795 0,823 0,845 0,862 0,876 1,03 0,800 0,827 0,850 0,866 0,881 1,04 0,805 0,831 0,855 0,871 0,887 1,05 0,810 0,836 0,859 0,875 0,891 1,06 0,815 0,841 0,864 0,879 0,895 1,07 0,819 0,846 0,869 0,884 0,900 1,08 0,824 0,851 0,873 0,888 0,904 1,09 0,828 0,856 0,877 0,892 0,908 1,10 0,833 0,860 0,881 0,897 0,912 1,11 0,837 0,864 0,886 0,901 0,916 1,12 0,842 0,868 0,891 0,905 0,920 1,13 0,846 0,872 0,895 0,909 0,924 1,14 0,851 0,876 0,899 0,913 0,927 1,15 0,855 0,880 0,903 0,917 0,927 1,16 0,859 0,884 0,907 0,921 0,935 1,17 0,864 0,888 0,911 0,925 0,938 1,18 0,868 0,892 0,915 0,928 0,942 1,19 0,872 0,896 0,918 0,931 0,946 1,20 0,876 0,900 0,921 0,935 0,949 1,21 0,880 0,904 0,925 0,939 0,952 1,22 0,884 0,908 0,929 0,943 0,955 1,23 0,888 0,912 0,932 0,946 0,958 1,24 0,892 0,916 0,935 0,949 0,961 1,25 0,896 0,919 0,938 0,952 0,964 1,26 0,900 0,922 0,942 0,955 0,967 1,27 0,904 0,927 0,945 0,958 0,970 1,28 0,908 0,830 0,948 0,961 0,973 1,29 0,911 0,934 0,952 0,964 0,975 1,30 0,915 0,937 0,955 0,966 0,978 1,31 0,919 0,940 0,958 0,969 0,981 1,32 0,922 0,943 0,961 0,972 0,984 1,33 0,926 0,947 0,964 0,974 0,986 1,34 0,930 0,951 0,967 0,977 0,989 1,35 0,933 0,954 0,970 0,980 0,991 1,36 0,937 0,957 0,973 0,983 0,993 1,37 0,940 0,960 0,976 0,986 0,995 1,38 0,944 0,963 0,979 0,989 0,997 1,39 0,947 0,966 0,981 0,991 0,998 1,40 0,951 0,969 0,984 0,993 1,000 1,41 0,954 0,972 0,986 0,995 1,002 1,42 0,957 0,975 0,989 0,998 1,004 1,43 0,960 0,978 0,992 1,001 1,006 1,44 0,964 0,980 0,995 1,003 1,008 1,45 0,967 0,983 0,997 1,005 1,010 1,46 0,970 0,986 1,000 1,007 1,012 1,47 0,973 0,989 1,002 1,009 1,013 1,48 0,977 0,991 1,005 1,010 1,015 1,49 0,980 0,994 1,007 1,012 1,017
Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 558
0 1 2 3 4 5 1,50 0,983 0,997 1,009 1,014 1,019 1,55 0,987 1,010 1,020 1,023 1,028 1,60 1,012 1,022 1,030 1,032 1,034 1,65 1,026 1,033 1,039 1,040 1,040 1,70 1,039 1,044 1,048 1,047 1,046 1,75 1,052 1,054 1,057 1,053 1,051 1,80 1,064 1,064 1,065 1,059 1,056 1,85 1,075 1,073 1,072 1,065 1,060 1,90 1,086 1,082 1,079 1,070 1,064 1,95 1,097 1,090 1,085 1,074 1,067 2,00 1,107 1,098 1,090 1,078 1,070 2,10 1,126 1,112 1,100 1,085 1,075 2,20 1,144 1,125 1,109 1,092 1,079 2,30 1,161 1,137 1,117 1,097 1,083 2,40 1,176 1,148 1,124 1,102 1,086 2,50 1,190 1,157 1,131 1,106 1,089 2,60 1,204 1,166 1,137 1,110 1,091 2,70 1,216 1,174 1,142 1,113 1,093 2,80 1,228 1,181 1,146 1,116 1,095 2,90 1,239 1,188 1,150 1,119 1,097 3,0 1,249 1,194 1,154 1,121 1,098 3,5 1,293 1,218 1,165 1,129 1,102 4,0 1,324 1,237 1,176 1,134 1,105 4,5 1,351 1,251 1,183 1,137 1,107 5,0 1,373 1,260 1,188 1,139 1,109 6,0 1,405 1,272 1,195 1,142 1,110 8,0 1,447 1,290 1,201 1,144 1,110
10,0 1,471 1,298 1,203 1,145 1,110
A
nexa
4
Valo
rile
inte
gral
ei lo
garit
mic
e
∫∞−
⋅=
−=
x
xi
dxx
ex
Ex
W/
)(
)(
x
a 1
x a
2 x
a 3
x a
4 x
a 5
x a
6 x
a 7
x a
8 x
a 9
x a
10-1
5 33
,96
33,2
7 32
,86
32,5
8 32
,35
32,1
7 32
,02
31,8
8 31
,76
10-1
4 31
,66
30,9
7 30
,56
30,2
7 30
,05
29,8
7 29
,71
29,5
8 29
,46
10-1
3 29
,36
28,6
6 28
,26
27,9
7 27
,75
27,5
6 27
,41
27,2
8 27
,16
10-1
2 27
,05
26,3
6 25
,96
25,6
7 25
,44
25,2
6 25
,11
24,9
7 24
,86
10-1
1 24
,75
24,0
6 23
,65
23,3
6 23
,14
22,9
6 22
,81
22,6
7 22
,55
10-1
0 22
,45
21,7
6 21
,35
21,0
6 20
,84
20,6
6 20
,50
20,3
7 20
,25
10-9
20
,15
19,4
5 19
,05
18,7
6 18
,54
18,3
5 18
,20
18,0
7 17
,95
10-8
17
,84
17,1
5 16
,74
16,4
6 16
,23
16,0
5 15
,90
15,7
6 15
,65
10-7
15
,54
14,8
5 14
,44
14,1
5 13
,93
13,7
5 13
,60
13,4
6 13
,34
10-6
13
,24
12,5
5 12
,14
11,8
5 11
,63
11,4
5 11
,29
11,1
6 11
,04
10-5
10
,94
10,2
4 9,
84
9,55
9,
33
9,14
8,
99
8,86
8,
74
10-4
8,
63
7,94
7,
53
7,25
7,
02
6,84
6,
69
6,55
6,
44
10-3
6,
33
5,64
5,
23
4,95
4,
73
4,54
4,
39
4,26
4,
14
10-2
4,
04
3,35
2,
96
2,68
2,
47
2,30
2,
15
2,03
1,
92
10-1
1,
82
1,22
0,
91
0,70
0,
56
0,45
0,
37
0,31
0,
26
1 0,
219
0,04
9 0,
013
0,00
38
0,00
11
3,6·
10-4
1,
2·10
-4
3,1·
10-5
1,
2·10
-5
Hidraulică vol. II 559
Recommended