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Guia 1 de geodesia
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Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
GUÍA Nº1 GEODESIA I 1) Para cada una de las elipses encontrar: el centro, vértices, focos, eje mayor y menor, excentricidad y su ecuación correspondiente. a) 0231849 22 =−−++ YXYX b) 25925 22 =+ YX c) 0923632916 22 =−−++ YXYX 2) Encontrar la ecuación de la elipse a)Un vértice (0,13), un foco (0,-12), centro (0,0) b) Focos (± 10,0), excentricidad 5/6 c)Vértices (8,3) y (-4,3), un foco en (6,3) 3) De acuerdo a la figura demuestre que:
a) Coordenadas, ( )ed
OV+
=11 ; ( )e
dOV
−=
12
b) Eje mayor de la elipse, ( )21 ede
a−
= ; c) Coordenadas del centro, ( )21 ed
C−
= ;
d) aeea
d −= ; e)2
222
aba
e−= ; f) 22 2 ffe −= ; g) 12
2
2
2
=+by
ax
; si 11 <= eEP
PF
0V1 F1 F2 V2C
θ
P
ρ
d
E
X
Y
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
4) De acuerdo a la figura demuestre la ecuación de la elipse 12
2
2
2
=+by
ax
, si aPFPF 221 =+
P
V1 F1 F2 V2-c c
b
X
Y
(0,0)
aa
Solución: 1)- a) Formaremos un cuadrado de binomio con los elementos de x, y un cuadrado de binomio con los elementos de y.
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1
936
136
211
369
362
36:/36192
02394332
02399189444
0231894
222
2
22
22
22
22
=−++⇒=−⋅++
=−++
=−−−−++
=−−+−+−++
=−−++
yxy
x
yx
yx
yyxx
yyxx
Por lo tanto la ecuación de la elipse es: ( ) ( )
141
362 22
=−++ yx
Luego de formada la ecuación de la elipse, se identificara los elementos de ella, esta
elipse se encuentra desplazada en el eje X, y es de la forma ( ) ( )
12
2
2
2
=−+−b
kya
hx
a = 6, b = 2 ; h = -2, k = 1
Excentricidad: ( ) ( )
632
/ 3632
3632
36436 2
2
222 =⇒=⇒=−=−= ee
aba
e
Centro = (h , k) = (-2,1) Vertice1 = (-a + h, k) = (-6+-2,1) = (-8,1) Vertice2 = ( a + h, k) = ( 6+-2,1) = (4,1)
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Foco1 = (-a · e + h, k) = (-6·632
+-2,1) = (- 32 -2,1) = (-( 32 +2),1)
Foco2 = (a · e + h, k) = (6·632
+-2,1) = ( 32 -2,1) = ( 32 -2,1)
b) 25925 22 =+ yx ;dividiendo por 25 se tendrá:
1
925
1259 2
222 =+⇒=⋅+ yxyx
Por lo tanto la ecuación de la elipse es: 1
925
22 =+ y
x
Luego de formada la ecuación de la elipse, se identificara los elementos de ella, esta
elipse se encuentra desplazada en el eje Y, es de la forma ( ) ( )
12
2
2
2
=−+−a
kyb
hx
a = 35
; b = 1 ; h = 0 ; k = 0
Excentricidad: ( ) ( )
54
/2516
925
916
925
1925
22
222 =⇒=⇒=
−=−= ee
aba
e
Centro = (h , k) = (0,0)
Vertice1 = (h, -a + k) =
−=
+−
35
,0035
,0
Vertice2 = (h, a + k) =
=
+
35
,0035
,0
Foco1 = (h, -a · e + k) =
−=
⋅−
34
,054
35
,0
Foco2 = (h, a · e + k) =
=
⋅
34
,054
35
,0
c) Formaremos un cuadrado de binomio con los elementos de x, y un cuadrado de binomio con los elementos de y.
( ) ( )( ) ( ) 01692362·91·16
0923644·91612·16
0923693216
0923632916
22
22
22
22
=−−−−++
=−−+−+−++
=−−++
=−−++
yx
yyxx
yyxx
yxyx
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )1
9144
2
16144
1
121449
1x14416
144 : /1442·91·16
22
22
22
=−++
=−⋅++⋅
=−++
yx
y
yx
Por lo tanto la ecuación de la elipse es: ( ) ( )
116
291 22
=−++ yx
Luego de formada la ecuación de la elipse, se identificara los elementos de ella, esta elipse
se encuentra desplazada en el eje Y, es de la forma ( ) ( )
12
2
2
2
=−+−a
kyb
hx
a = 4 ; b = 3 ; h = -1 ; k = 2
Excentricidad: ( ) ( )
47
/ 167
167
16416 2
2
222 =⇒=⇒=−=−= ee
aba
e
Centro = (h , k) = (-1,2) Vertice1 = (h, -a + k) = ( ) ( )2,124,1 −−=+−− Vertice2 = (h, a + k) = ( ) ( )6,124,1 −=+−
Foco1 = (h, -a · e + k) = ( )27,1247
4,1 +−−=
+⋅−−
Foco2 = (h, a · e + k) = ( )27,1247
4,1 +−=
+⋅−
2)-a) V = (0,13); F = (0,-12); centro = (0,0) Esta elipse se encuentra desplazada en el eje y por lo tanto es de la forma ( ) ( )
12
2
2
2
=−+−a
kyb
hx
1312
a12
12 · ; 169 13 2 ==⇒==⇒= eeaaa
( ) ( )
25 1441691312
1·169
1· · · Si
22
22
222222222222
222
=⇒−=
−=
−=⇒−=⇒−=⇒−=
bb
eabaeabbaaea
bae
Por lo tanto la ecuación de la elipse es: 116925
22
=+ yx
b) focos: (-10,0) y (10,0); 65
e =
Esta elipse se encuentra desplazada en el eje X por lo tanto es de la forma
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
( ) ( )1
2
2
2
2
=−+−b
kya
hx
( )
( ) ( ) 44 10014436251144 1
0,0centro ; 144 12 56
10· 10
10
22222
2
=⇒−=−⋅=⇒−⋅=
==⇒===⇒=⋅
bbeab
ae
aea
Por lo tanto la ecuación de la elipse es: 144144
22
=+ yx
c) Vértices = ( ) ( )4,3-y 3,8 ; foco = ( )3,6 Esta elipse se encuentra desplazada en el eje X por lo tanto es de la forma ( ) ( )
12
2
2
2
=−+−b
kya
hx
( ) ( ) 20 1636941·361
32
644
4 68
36 6 122
2222
2
=⇒−=−=−⋅=
=⇒==⇒=−=⋅
=⇒=⇒=⋅
beab
ea
eea
aaa
Centro =(h , k) ; ( )
3 ; 2 22
48 ==⇒=−= khh
Por lo tanto la ecuación de la elipse es: ( ) ( )
144
3144
2 22
=−+− yx
3)
0
d
V1 F1 C
Y
E
θX
F2 V2
P
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
( ) ( )θρρθρ
ρcos
cos 1 Si a) 11 ⋅+⋅=⇒=
⋅+=⇒<= dee
dEPPF
eEP
PF
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( )
( )ed
ededed
edeed
ede
dd
ed
ededed
edeed
ede
dd
ede
ede
ede
ede
ede
edeedeede
−=
−⋅+⋅−=
−⋅+−⋅=
−⋅+=+=
+=
+⋅−⋅+=
+⋅−+⋅=
+⋅−=−=
+⋅=∴
+⋅=⇒=−
−⋅=∴
−⋅=⇒=−
⋅−⋅=
⋅−⋅=⋅⇒⋅⋅−=⋅⇒⋅⋅+⋅=
1OV tantoloPor
111
1VFOV
1OV tantoloPor
111
1FVOV
1FV
1 180ºSi
1VF
1 0º Si
cos1
cos1 cos cos
2
212
1
111
11
21
ρθ
ρθ
θρ
θρθρρθρρ
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )2
222
12
1 tantoloPor
2: /12
2 tantolopor ; 12
12
111
112 entonces; OVOV2 Si b)
eed
a
eed
ae
ede
eddedda
eeded
ed
ed
aa
−⋅=
−⋅⋅=⋅
−⋅⋅=
−⋅+−⋅+=⋅
−−⋅−+⋅=
+−
−=⋅−=⋅
( ) ( ) ( ) ( )
( )2
2212
1 tantoloPor
212
21
211
entonces ; 2
OVOVc c)
ed
c
ed
eeddedd
ed
ed
c
−=
−⋅
=−⋅−+⋅+
=++
−=+
=
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )ea
ea
d
eaea
deaeeed
eed
aeed
eeddd
eedd
de
ddc
cea
ed
ce
dea
eed
ad
⋅−=
⋅−=−=⋅=⇒⋅−
⋅=
−⋅=
−⋅=
−⋅+−=
−−⋅−=−
−=−=
==−
=−
=⇒−
⋅=−=
tantoloPor
F1CEP oresolviend ; CF 1
CF tantolopor
1 pero ;
1111
1CF
EP tantolopor ;1
su vez a ; 1
1
si ; F1CEP d)
121
22
2
2
2
2
2
21
222
aea
eea
ee =⋅==⋅=⇒= PF tantolopor ; PF entonces ; EP pero ; EPPF EP
PF Si e) 111
1 ,
además ea ⋅=CF1
C0
d
F1V1
θ
E
Y
V2F2
X
P
aa b
a·e
Del triangulo rectángulo en c, a través del teorema de Pitágoras tenemos:
2
22222222222222
1 tantolopor ; b- b bCFa
baeaeaaeaa
−==⋅⇒=+⋅⇒=+
f) a
baf
−= (achatamiento polar); ab
fab
aa
f −=⇒−= 1
( ) ( ) 21
222
2
2
2
2
2
2
22
2
222 1 / 1 1 Si e
ab
eab
ab
ab
aa
ea
bae −=⇒−=⇒−=−=⇒−=
Si la expresión ( ) 2121 e
ab −= la reemplazamos en
ab
f −= 1 obtendremos lo siguiente:
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
( ) ( ) ( ) ( ) 2 tantolopor ; 2 -1 /2-
121 1-1 /1-1 11222222
2222221
221
2
ffeeffeff
effefefef
−==−⇒⋅−=+⋅
−=+⋅−⇒−=⇒−=⇒−−=
g)
C0
d
F1V1
θ
E
Y
V2F2
X
aa b
a·e
a/eP (x',y')
x
( ) ( )
( ) ( ) ( ) cónicas) las de general(ecuación /
: tantolopor ; EP su vez a ;PF EP
PF Si
2222222
2222
11
ydxxeydxxe
x
ydxexydxe
+−=⋅⇒+−=⋅
+−==+−=⇒=
De la figura se obtiene lo siguiente :
eaea
d
yyea
xxa
hhxx
⋅−=
=+==+=⇒−= ' además ; ' tantolopor e
su vez a ;h x' x '
Si reemplazamos estos valores en la ecuación general de las cónicas se obtiene:
( )eaxyeaeaxxaeaxxe
yeaeaxxea
ea
xxe
yeaea
ea
xea
xeyeaea
ea
xea
xe
⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+⋅
+⋅+⋅⋅⋅+=
+⋅⋅+⋅
+
⋅+−+=
+⋅⇒+
⋅−−+=
+⋅
'2- /''2''2'
''2''2'
''' '''
2222222
22222
222
222
22
222
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
( ) ( )( ) ( )
( ) 1''
tantolopor ; 1 Pero
11''
:obtiene se 1por expresión la Dividiendo
1'1' :obtiene se dofactorizan ; '''
-1 /''' '''
2
2
2
2222
22
2
2
222
222222222222
22222222222222
=+−⋅=
=−⋅
+−⋅
−⋅=+−⋅⋅−=+⋅−
⋅−⋅=−−⋅⇒+⋅+=+⋅
by
ax
eab
eay
ax
ea
eayexeaayxex
aeayxxeyeaxaxe
4)
P
V1 F1 F2 V2-c c
b
X
Y
(0,0)
aa
F1 = (-c,0) ; F2 = (c,0)
( )
( ) ( )( ) ( ) aycxycx
ycxycx
cxcybcb
cxcxcybcba
⋅=+−+++
+−=++=
−==+=
+=−−==−+=⇒⋅=+
2 : tantoloPor
PF ; PF
; pero ; PF
; pero ;PF 2PFPF Si
2222
222
221
222
221 21
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2222222
22222
44
/2
ycxycxaaycx
ycxaycx
+−++−⋅⋅−⋅=++
+−−⋅=++
( ) ( )( ) cxcxycxaacx
cyxccxxycxaayccxx
⋅⋅+⋅⋅−+−⋅⋅−⋅=⋅⋅
++−+⋅⋅−++−⋅⋅−⋅=++⋅⋅+
2 /2442
/2442222
22222222222
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2222
22222
2
222
2
222222
2
222222
2
22222222
22222
-1 - -
2 /22
2 /
4 : /444
cayac
xcaya
cxx
acx
aycx
cxa
cxcxayccxx
acx
cxaycxa
cxaycx
ycxaa
cxaycxaacx
=+
−⋅⇒=+⋅⇒⋅+=++
⋅⋅+⋅+⋅⋅−=++⋅⋅−
⋅+⋅⋅−=+−⇒⋅−=+−
+−−=⋅⇒⋅+−⋅⋅−⋅=⋅⋅
1-
-: / - 22
2
2
222222
2
222 =+⇒=+
−⋅
cay
ax
cacaya
cax
Pero en el triangulo rectángulo(F1 C P) por el teorema de Pitágoras se cumple que:
( )
1 : tantoloPor
PFPCCF
2
2
2
2
2222221
22
1
=+
−=⇒=+−⇒=+
by
ax
cababc
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