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Guia Mangá
ÁlGebra linear
Shin Takahashi, iroha inoue e
Trend-Pro Co., ltd.
apêndices suplementares
Copyright © 2012 by Shin Takahashi e TREND-PRO Co., Ltd. ISBN-13: 978-1-59327-413-9 Copyright © 2012 Novatec Editora
novatec
ii Sumário
sumário
a livro de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Conjuntos de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
b espaços vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
C Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Norma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17O ângulo entre dois vetores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Produtos internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Espaços de produto interno real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Bases ortonormais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
D Produto cruzado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
O que é produto cruzado? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Produto cruzado e paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Produto cruzado e produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
e Propriedades úteis de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
ALivro de exercícios
2 Apêndice a
? Conjuntos de problemas
Conjunto de problemas 1
Vamos começar com a matriz 2x2 45
−1−2
. Utilize-a nos seis problemas a seguir:
1. Calcule o determinante.
2. Utilize a fórmula =a11
a21
a12
a22
a22
−a21
−a12
a11
−11
a11 a22−a12 a21 para calcular o
inverso.
3. Encontre o inverso utilizando a eliminação de Gauss.
4. Encontre todos os autovalores e autovetores.
5. Expresse a matriz na forma x11
x21
x12
x22
x11
x21
x12
x22
λ1
00λ2
−1
.
6. Resolva o sistema linear de equações 4x1−1x2 = −1
5x1−2x2 = −1 utilizando a regra de
Cramer.
Conjunto de problemas 2
A seguir, temos a matriz 3x3
1
2
3
4
1
−2
−1
2
−1. Utilize-a nos dois problemas a seguir:
1. Prove que os vetores de coluna de matrizes
1
2
3,
4
1
−2 e
−1
2
−1 são linearmente
independentes (ou seja, que o posto da matriz é igual a três).
2. Calcule o determinante.
Livro de exercícios 3
Conjunto de problemas 3
Determine se os conjuntos a seguir são subespaços de R3:
1. α e β são números reais quaisquer
αβ
5α−7β
2. αβ
5α−7
α e β são númerosreais quaisquer
Note Dê uma olhada nos apêndices C e D antes de tentar o conjunto de proble-
mas 4.
Conjunto de problemas 4
Vamos lidar com os vetores
1
2
3 e
4
1
−2 para o próximo conjunto de problemas.
1. Calcule a distância até a origem para ambos os vetores.
2. Calcule o produto escalar dos dois vetores.
3. Calcule o ângulo entre os dois vetores.
4. Calcule o produto cruzado dos dois vetores.
4 Apêndice a
! Soluções
Conjunto de problemas 1
1. 4
5
−1
−2= 4 · (−2) − (−1) · 5 = −8 + 5 = −3det
2. 1
4 · (−2) − (−1) · 5
1
−3
1
4
−2
−5
1
4
−2
−5=
1
3=
2
5
−1
−4
3. Aqui está a solução:
4
5
−1
−2
1
0
0
1
3
5
0
−2
2
0
−1
1
15
0
0
−6
10
−10
−5
8
Multiplique a linha 1 por 2 e subtraia a linha 2 da linha 1.
Multiplique a linha 1 por 2 e a linha 2 por 3.Subtraia a linha 1 da linha 2.
Divida a linha 1 por 15 e a linha 2 por -6.
0
1
1
0
1
3−
4
3−
2
3
5
3
4. Os autovalores são raízes da equação característica
4 − λ5
−1
−2 − λ det = 0
Livro de exercícios 5
e são os seguintes:
4 − λ5
−1
−2 − λ= (4 − λ) · (−2 − λ) − (−1) · 5
= (λ − 4)(λ + 2) + 5
= λ2 − 2λ − 3
= (λ − 3)(λ + 1) = 0
det
λ = 3, −1
a. Autovetores correspondentes a λ = 3
Inserindo nosso valor em x1
x2
x1
x2
= λ4
5
−1
−2,
ou seja 0
0
x1
x2
=4 − λ
5
−1
−2 − λ ,
temos 1
5
−1
−5
1
5
0
0
4 − 3
5
−1
−2 − 3
x1
x2
x1
x2
x1
5x1
−x2
−5x2
= = == [x1 − x2] .
Vemos que x1 = x2, o que nos leva ao autovetor
x1
x2
c1
c1
1
1= = c1
onde c1 é um número real não zero.
b. Autovetores correspondentes a λ = −1
Inserindo -1 na matriz, temos isto:
5
5
−1
−1
1
1
0
0
4 − (−1)
5
−1
−2 − (−1)
x1
x2
x1
x2
5x1
5x1
−x2
−x2
= = == [5x1 − x2]
Vemos que 5x1 = x2, o que nos leva ao autovetor
x1
x2
c2
5c2
1
5= = c2
onde c2 é um número real não zero.
6 Apêndice a
5. A partir do problema 4:
=4
5
−1
−2
3
0
0
−1
1
1
1
5
1
1
1
5
−1
6. O sistema linear de equações 4x1 − 1x2 = −1
5x1 − 2x2 = −1 pode ser reescrito desta forma:
=1
−1
x1
x2
4
5
−1
−2
Utilizando os métodos do problema 1, somos facilmente capazes de inferir as raízes utilizando a regra de Cramer.
• x1 = = = = 1 4
5
−1
−2det
1
−1
−1
−2det
1 · (−2) − (−1) · (−1)
−3
−3
−3
• x2 = = = = 3 4
5
−1
−2det
4
5
1
−1det
4 · (−1) − 1 · 5
−3
−9
−3
Livro de exercícios 7
Conjunto de problemas 2
1. Parece que o posto da matriz
1
2
3
4
1
−2
−1
2
−1
é 3, mediante inspeção. Mas vamos utilizar a tabela a seguir apenas para ter certeza.
Some (-2 vezes a linha 1) à linha 2 e (-3 vezes a linha 1) à linha 3.
Some (-2 vezes a linha 2) à linha 3.
1
−2
−3
0
1
0
0
0
1
1
2
3
4
1
−2
−1
2
−1
1
0
0
4
−7
−14
−1
4
2
=
Some ( vezes a linha 3) à linha 1 e ( vezes a linha 3) à linha 2.1
6−
4
6
1
0
0
0
1
−2
0
0
1
1
0
0
4
−7
0
−1
4
−6
1
0
0
4
−7
−14
−1
4
2
=
Some ( vezes a linha 2) à linha 1.
1
0
0
4
−7
0
−1
4
−6
1
0
0
4
−7
0
0
0
−6
=
0
1
0
1
0
0
1
6−
4
6
1
1
2
3
4
1
−2
−1
2
−1
4
7
1
0
0
4
−7
0
0
0
−6
1
0
0
0
−7
0
0
0
−6
=
471
0
0
0
0
1
1
0
8 Apêndice a
As duas matrizes
1
2
3
4
1
−2
−1
2
−1
e
1
0
0
0
−7
0
0
0
−6
têm o mesmo posto, como
vimos nas páginas 196 a 201.
Uma vez que vimos que o número de vetores linearmente independentes entre
1
0
0
, 0
−7
0
e 0
0
−6
é obviamente 3, o posto matricial de tanto
1
2
3
4
1
−2
−1
2
−1
e
1
0
0
0
−7
0
0
0
−6
também deve ser 3.
Note que a solução é evidente no passo três da tabela, já que matrizes triangu-lares n×n com entradas de diagonal principal não zero têm posto matricial n. Isso também é verdadeiro para matrizes não quadradas.
2.
= 1 · 1 · (−1) + 4 · 2 · 3 + (−1) · 2 · (−2) − (−1) · 1 · 3 − 4 · 2 · (−1) − 1 · 2 · (−2)
= −1 + 24 + 4 + 3 + 8 + 4 = 42
det
1
2
3
4
1
−2
−1
2
−1
Livro de exercícios 9
Conjunto de problemas 3
Vamos supor que c seja um número real qualquer.
1. O conjunto é um subespaço já que ambas as condições são atendidas.
αβ
5α − 7β
α1
β1
5α1 − 7β1
α2
β2
5α2 − 7β2
α1 + α2
β1 + β2
5(α1 + α2) − 7(β1 + β2)
+ = ∈α e β sãonúmeros reaisquaisquer
αβ
5α − 7β
α1
β1
5α1 − 7β1
c
cα1
cβ1
5(cα1) − 7(cβ1)
= ∈α e β sãonúmeros reaisquaisquer
2. O conjunto não é um subespaço já que nenhuma das condições é atendida1.
αβ
5α − 7
α1
β1
5α1 − 72
2α1
2β1
5(2α1) − 14
2α1
2β1
5(2α1) − 7= ≠ ∈
α1
β1
5α1 − 7
α2
β2
5α2 − 7+
≠
αβ
5α−7
α1 + α2
β1 + β2
5(α1 + α2) − 14
α1 + α2
β1 + β2
5(α1 + α2) − 7= ∈
α e β sãonúmeros reaisquaisquer
α e β sãonúmeros reaisquaisquer
1. Ambas as condições da página 151 têm de ser atendidas para que o subconjunto seja um subespaço. Isso significa que será desnecessário verificar a segunda condição se descobrirmos que a primeira não é válida.
10 Apêndice a
Conjunto de problemas 4
1.
1
2
3
= 12 + 22 + 32 = =1 + 4 + 9 14
4
1
−2
= 42 + 12 + (−2)2 = =16 + 1 + 4 21
2. · = 1 · 4 + 2 · 1 + 3 · (−2) = 4 + 2 − 6 = 0
1
2
3
4
1
−2
3. O ângulo entre
1
2
3
e
4
1
−2
pode ser calculado utilizando-se a fórmula do produto escalar desta forma:
cos θ = = = 0
·
1
2
3
4
1
−2
1
2
3
4
1
−2
·
14 21·
0
Então, o ângulo é cos−1 0 = 90 graus.
4.
1
2
3
2 · (−2)
3 · 4
1 · 1
4
1
−2
−1
2
−1
−7
14
−7
(−4) − 3
12 + 2
1 − 8
= = = = 7×
−
−
−
1 · 3
(−2) · 1
4 · 2
BEspaços vetoriais
12 Apêndice b
Na página 16 (Capítulo 1) foi mencionado que, em geral, a álgebra linear trata da tradução de algo que reside em um espaço m-dimensional para uma forma cor-respondente em um espaço n-dimensional. Isso é certamente verdade, ainda que compreender uma interpretação mais geral de álgebra linear possa dar-lhe uma vantagem se você decidir estudar mais o assunto.
Nessa interpretação, a maioria dos cálculos e teoremas interessantes está relacionada a algo chamado espaços vetoriais, os quais são descritos na página 13. Note que há uma diferença entre esses vetores e aqueles apresentados no capítulo 4 – os que estamos discutindo aqui representam um conceito muito mais abstrato.
A ideia básica é esta: da mesma forma que você joga futebol em campos de futebol e golfe em campos de golfe, você calcula álgebra linear em espaços vetoriais.
Mas antes de entrarmos na definição técnica de um espaço vetorial, vamos dar uma olhada em dois exemplos simples e concretos.
Exemplo 1
O primeiro exemplo talvez já lhe seja familiar: digamos que X é o conjunto de todos os triplos ordenados de números reais. Então, dois dos muitos elementos de X são (1,0, 2,3, -4,6) e (0,0, -5,7, 8,1). Esse conjunto infinito de triplos ordena-dos forma um espaço vetorial (como descrito pelos axiomas listados na página 13). X é um espaço vetorial e (1,0, 2,3, -4,6) é um vetor.
Exemplo 2
Como um segundo exemplo, considere estes dois polinomiais com coeficientes reais:
7t4 − 3t − 4 e 2t − 1
Esses polinomiais podem ser considerados vetores se visualizarmos todo o conjunto de polinomiais até o quarto grau como um espaço vetorial.
Espaços vetoriais 13
Os oito axiomas dos espaços vetoriais
Suponha que x, y e z sejam elementos do conjunto X e que c e d sejam dois números quaisquer.
Se X satisfaz aos dois conjuntos de axiomas a seguir, dizemos que X é um espaço vetorial e x, y e z são vetores.
Axiomas de adiçãoO conjunto tem de ser fechado sob adição de vetores. Isso significa que a soma de dois elementos do conjunto também pertence a ele.
A adição de vetores também deve satisfazer às quatro condições a seguir:
1. (x + y) + z = x + (y + z) (associatividade)
2. x + y = y + x (comutatividade)
3. Um vetor inverso (0) existe com as seguintes propriedades: x + 0 = 0 + x = x
4. Um vetor inverso (−x) existe com as seguintes propriedades: x + (−x) = (−x) + x = 0
Axiomas da multiplicação escalarO conjunto tem de ser fechado sob multiplicação escalar. Isso significa que o produto de um elemento do conjunto e de um número qualquer também pertence ao conjunto.
A multiplicação escalar também deve satisfazer às quatro condições a seguir:
5. c(x + y) = cx + cy
6. (cd)x = c(dx)
7. (c + d)x = cx + dx
8. 1x = x
Neste livro, sempre presumimos que a multiplicação escalar é feita com números reais. Tais espaços vetoriais são geralmente chamados de espaços vetoriais reais. Espaços vetoriais que também permitem multiplicação com números complexos seriam, semelhantemente, chamados de espaços vetoriais complexos.
CProduto escalar
16 Apêndice c
Norma
Vamos supor que temos um vetor qualquer em Rn
x1
x2
xn
.
A norma ou comprimento do vetor é, então, igual a x1
2 + x22 + ... + xn
2
e é escrita
x1
x2
xn
.
Exemplo 1
1
3= 12 + ( 3 )2 = =1 + 3 4 = 2
2 − 6
2 + 6= ( 2 − 6)2 + ( 2 + 6)2 = 16 = 4= 2 − 2 12 + 6 + 2 + 2 12 + 6
Exemplo 2
1
3= 12 + ( 3 )2 = =1 + 3 4 = 2
2 − 6
2 + 6= ( 2 − 6)2 + ( 2 + 6)2 = 16 = 4= 2 − 2 12 + 6 + 2 + 2 12 + 6
Produto escalar 17
Produto escalar
Vamos supor que temos dois vetores quaisquer
x1
x2
xn
e
y1
y2
yn
em Rn.
O produto escalar do vetor é definido desta forma:
x1y1 + x2 y2 + ... + xn yn
Isso é geralmente representado com um ponto ( ∙ ) desta forma:
x1
x2
xn
x1
x2
xn
·
Exemplo
1
3
2 − 6
2 + 6· = 1 · ( 2 − 6) + 3 · ( 2 + 6) = 2 − 6 + 6 + 18 = 2 + 3 2 = 4 2
18 Apêndice c
O ângulo entre dois vetores
O ângulo entre dois vetores
x1
x2
xn
e
y1
y2
yn
em Rn.
O ângulo θ entre esses dois vetores pode ser encontrado utilizando-se a rela-ção a seguir:
x1
x2
xn
y1
y2
yn
· =
x1
x2
xn
y1
y2
yn
· · cos θ
Exemplo
O ângulo θ entre os dois vetores 1
3 e 2 − 6
2 + 6 pode ser encontrado utili-zando-se esta fórmula:
1
3
2 − 6
2 + 6·
2 − 6
2 + 6
1
3·
cos θ = =4 2
2 · 4 2
2=
Assim, θ = 45 graus.
2 − 6
2 + 6
3
θ
O 1
Produto escalar 19
Produtos internos
O produto escalar é, na realidade, um caso especial de um conceito mais geral que tem algumas aplicações muito interessantes. O conceito geral é uma função, chamada de produto interno, que mapeia dois vetores a um número real e que também satisfaz algumas propriedades especiais. Há também espaços de produto interno1, que são espaços vetoriais que têm um produto interno associado, como descrito a seguir.
Espaços de produto interno real
Dizemos que o espaço vetorial real X é um espaço de produto interno real, ou espaço euclidiano, se existe um produto interno real <x, y> que mapeia um par de vetores para um escalar e que satisfaz às condições a seguir para todos os vetores x, y, z e todos os escalares c:
<x , y > = <y , x>
<cx , y > = c<x , y > = <x , cy >
<x , y + z > = <x , y > + <x , z > e < x + y , z > = <x , z > + <y , z >
<x , x> ≥ 0 e <x , x> = 0 apenas quando x = 0 (o vetor zero).
O produto escalar é o exemplo mais costumeiro de um produto interno. Nesse exemplo, nós definimos
<x, y> = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn
1. O tópico está fora do escopo deste livro, mas produtos internos também aparecem em espaços de produto complexo.
20 Apêndice c
Bases ortonormais
Conjuntos de vetores como
1
0
0
1,
1
2
1
1,
1
2
−1
1 e
1
2
3
4
1
−2
−1
2
−1
1
14
1
21
1
6, ,
onde
• a norma de cada vetor é igual a 1
• o produto escalar de cada par de vetores é igual a 0
são chamados de bases ortonormais ou bases ON.O processo de ortogonalização de Gram-Schmidt pode ser utilizado para criar
uma base ortonormal a partir de uma base qualquer, mas ele está fora do escopo deste livro.
DProduto cruzado
22 Apêndice d
O que é produto cruzado?
Vamos supor que temos dois vetores quaisquer
a
b
c
e
P
Q
R
em R3.
O produto cruzado do vetor é definido como
bR − Qc
cP − Ra
aQ − Pb
e é geralmente representado com uma cruz desta forma:
P
Q
R
a
b
c
Nota O produto cruzado é definido apenas em R3. Em contraste, o produto esca-
lar é definido em Rn para todos os n positivos.
Aqui temos um bom recurso mnemônico para lembrarmos as combinações no cálculo do produto cruzado de dois vetores:
P
Q
R
a
b
c
P
Q
R
a
b
c
Comece escrevendo duas vezes os elementos de cada vetor, como você pode ver no quadro. Ignorando a primeira e a última linha, desenhe uma flecha de cada elemento até aquele abaixo dele no vetor oposto.
Flechas que vão da esquerda para a direita recebem um sinal de mais; flechas que vão da direita para a esquerda recebem um sinal de menos. O par superior de flechas produz o primeiro componente do produto cruzado, o par do meio produz o segundo componente e o par da base produz o último componente.
Produto cruzado 23
Produto cruzado e paralelogramos
Produto cruzado e paralelogramos:
P
Q
R
a
b
c
u Ele é perpendicular a ambos os vetores
P
Q
R
e
a
b
c
.
v Seu comprimento é igual à área do paralelogramo de lados
P
Q
R
e
a
b
c
.
Ambas as propriedades estão ilustradas na figura a seguir.
a
b
c
P
Q
R
O
P
Q
R
a
b
c
Nota Essa figura está utilizando um sistema coordenado de “mão direita”. Isso
significa que seu polegar apontará na direção do produto cruzado se você fizer o
seguinte: estenda seu polegar de modo que ele fique perpendicular ao seu ante-
braço, então utilize o restante de seus dedos para formar a letra C. Partindo da
base de seus dedos como o vetor no lado esquerdo do produto cruzado, oriente
sua mão para que as pontas de seus dedos estejam apontando na direção do
vetor do lado direito do produto cruzado. Seu polegar estará, então, apontando
na direção do resultado do produto cruzado! Note que se você trocar a posição
dos vetores, o produto cruzado inverterá de direção.
24 Apêndice d
Vamos nos certificar de que tanto quanto são válidas.
a
b
c
a
b
c
P
Q
R
a
b
c
bR − Qc
cP − Ra
aQ − PbÍ =· ·
= a(bR − Qc) + b(cP − Ra) + c(aQ − Pb)
= abR − aQc + bcP − bRa + caQ − cPb
= 0
a
b
c
P
Q
R
bR − Qc
cP − Ra
aQ − PbÍ =· ·
P
Q
R
P
Q
R
= P(bR − Qc) + Q(cP − Ra) + R(aQ − Pb)
= PbR − PQc + QcP − QRa + RaQ − RPb
= 0
a
b
c
P
Q
RÍ
2
=
bR − Qc
cP − Ra
aQ − Pb
2
= (bR − Qc)2 + (cP − Ra)2 + (aQ − Pb)2
= (a2 + b2 + c2)(P2 + Q2 + R2) −
a
b
c
P
Q
R
·
2
= (a2 + b2 + c2)(P2 + Q2 + R2) − (a2 + b2 + c2)(P2 + Q2 + R2) cos2θ
= (a2 + b2 + c2)(P2 + Q2 + R2)(1 − cos2θ)
= (a2 + b2 + c2)(P2 + Q2 + R2) sin2θ
= (a2 + b2 + c2)(P2 + Q2 + R2) − (aP + bQ + cR)2
a
b
c
P
Q
Rsin θ
2
=
θ é o ângulo entre e
P
Q
R
a
b
c
Produto cruzado 25
Produto cruzado e produto escalar
A tabela a seguir contém uma comparação entre produtos cruzados e escalares.
Produto escalarProduto cruzado
1
2
3
4
5
6
Í =
2 · 6 − 5 · 3
3 · 4 − 6 · 1
1 · 5 − 4 · 2
= −
5 · 3 − 2 · 6
6 · 1 − 3 · 4
4 · 2 − 1 · 5
= −
4
5
6Í
1
2
3
1
2
3
4
5
6
· = 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6
= 4 · 1 + 5 · 2 + 6 · 3 =
1
2
3
4
5
6
·
1c
2c
3c
4
5
6
Í =
2c · 6 − 5 · 3c
3c · 4 − 6 · 1c
1c · 5 − 4 · 2c
= c
2 · 6 − 5 · 3
3 · 4 − 6 · 1
1 · 5 − 4 · 2
= c
1
2
3
4
5
6
Í
1c
2c
3c
4
5
6
· = 1c · 4 + 2c · 5 + 3c · 6
= c (1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6) = c
1
2
3
4
5
6
·
1
2
3
Í
4
5
6
7
8
9
+
=
1
2
3
Í
4 + 7
5 + 8
6 + 9
=
2 · (6 + 9) − (5 + 8) · 3
3 · (4 + 7) − (6 + 9) · 1
1 · (5 + 8) − (4 + 7) · 2
=
2 · 6 − 5 · 3
3 · 4 − 6 · 1
1 · 5 − 4 · 2
+
2 · 9 − 8 · 3
3 · 7 − 9 · 1
1 · 8 − 7 · 2
= +Í Í
1
2
3
4
5
6
1
2
3
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
+
=
1
2
3
4 + 7
5 + 8
6 + 9
·
·
= 1 · (4 + 7) + 2 · (5 + 8) + 3 · (6 + 9)
= (1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6) + (1 · 7 + 2 · 8 + 3 · 9)
= +
1
2
3
4
5
6
1
2
3
7
8
9
· ·
EPropriedades úteis de
determinantes
28 Apêndice
Determinantes têm várias propriedades interessantes. Veremos sete delas neste apêndice.
Propriedade 1
Para qualquer matriz quadrada A, det A = det AT.
a11
an1
a1n
ann
a11
an1
a1n
ann
det = det
T
Exemplo
• 3
0
0
2det = 6
O
2
3
• 3
0
0
2det = 6
3
0
0
2= det
T
O
2
3
Propriedades úteis de determinantes 29
Propriedade 2
Se duas colunas ou duas linhas de A são trocadas, resultando na matriz B, então det B = −det A.
a11
an1
a1i
ani
det = (−1)det
a1j
anj
a1n
ann
a11
an1
a1n
ann
a1i
ani
a1j
anj
Exemplo
• 3
0
0
2det = 6
O
2
3
• (−1)det = (−1) · (−6) = 63
0
0
2
O
2
3
30 Apêndice
Propriedade 3
Se A tem duas colunas ou linhas idênticas, então A = 0.
a11
an1
b1
bn
det = 0
b1
bn
a1n
ann
coluna i coluna j
Exemplo
• 3
0
3
0det = 0
O 3
A área é igual a zero.
Propriedades úteis de determinantes 31
Propriedade 4
Se uma coluna de A é multiplicada pela constante c, resultando na matriz B, então det B = c det A, ou, de modo equivalente, det A = ¹⁄c det B.
a11
an1
a1i · c
ani · cdet = c det
a1n
ann
a11
an1
a1n
ann
a1i
ani
Exemplo
• 3
0
0
2det = 6
O
2
3
• 3 · 2
0 · 2
0
2det = det
6
0
0
2= 2 · 6 = 2 det
3
0
0
2
O
2
6
32 Apêndice
Propriedade 5
Sejam A e B matrizes quadradas idênticas, exceto pelas colunas (ou linhas) i, que diferem. Seja C uma matriz idêntica a A e B, exceto pela coluna (ou linha) i de C, que é a soma das colunas (ou linhas) i de A e B. Então, det C = det A + det B.
det
a11
an1
a1n
ann
a1i
ani
+ det
a11
an1
a1n
ann
b1i
bni
= det
a11
an1
a1i + b1i
ani + bni
a1n
ann
Exemplo
• 3
0
0
2det = 6
O
2
3
• det 2
2
0
2+ det
1
−2
0
2
2 + 1
2 − 2
0
2= det
3
0
0
2= det = 6
O
2
2 O
2
1
−2
Propriedades úteis de determinantes 33
Propriedade 6
Seja B a matriz formada pela substituição da coluna (ou linha) j de A pela soma da coluna (ou linha) j de A e de um múltiplo não zero, c, da coluna (ou linha) j de A, onde i ≠ j. Então det B = det A.
det = det
a11
an1
a1i
ani
a1j
anj
a1n
ann
a11
an1
a1i
ani
a1j + (a1i · c)
anj + (ani · c)
a1n
ann
Exemplo
• 3
0
0
2det = 6
O
2
3
• 3
0
3
2= 6
3
0
0 + (3 · 1)
2 + (0 · 1)det = det
O
2
3 6
34 Apêndice
Propriedade 7
Sejam A e B duas matrizes quadradas quaisquer. Então (det A)(det B) = det (AB).
a11
an1
a1n
ann
b11
bn1
b1n
bnn
det det
a11
an1
a1n
ann
b11
bn1
b1n
bnn
= det
Exemplo
• 3
0
0
2det · det
0
013
12
= 6 ·16
= 1
O
2
3 13
12
O
• 3
0
0
2det
0
013
12
= det1
0
0
1= 1
O
1
1
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