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MATEMÁTICA
Prof. RODRIGO OLIVEIRA f (x)
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1. Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais As grandezas físicas estão relacionadas de diversas formas. Conhecendo-se a expressão matemática que rege tal relação, podem-se estabelecer mecanismos para a resolução de problemas baseando-se no estudo das proporções, sendo estas diretas ou inversas.
Os tipos de proporções mais utilizados, em nível de Ensino Médio, são: proporção direta, proporção direta quadrática, proporção inversa, proporção inversa quadrática. Aqui serão tratadas as proporções acima citadas e também outros casos. É importante observar que o tratamento dado às grandezas em termos de proporcionalidade não pode ser feito à revelia mas somente a partir da certeza da proporcionalidade expressa pela lei matemática. Usar-se-á “x” como variável independente e “y” como variável dependente. 1.1 Grandezas diretamente proporcionais Dadas duas grandezas “y” e “x”, elas serão diretamente proporcionais quando o quociente de “y” em relação a “x” for sempre igual a uma constante. Matematicamente:
kxy ou y = k.x
onde: x é a variável independente; y é a variável dependente; k é uma constante de proporcionalidade.
Assim, pode-se escrever: xy
A notação acima é lida da seguinte forma: “y” é diretamente proporcional a “x”. Exemplo 1: Considerar a tabela a seguir:
x y kxy
Graficamente:
2 6 326
4 12 34
12
6 18 36
18
8 24 3824
10 30 31030
Note que a razão xy forneceu sempre um mesmo valor. Assim, a
constante de proporcionalidade, para esse exemplo, vale 3 e a grandeza “y” é diretamente proporcional à grandeza “x”:
3xy y = 3.x xy
Observe, também, que o gráfico constituído pelos pontos da tabela (e extrapolando para qualquer valor real atribuído a “x”) formará uma linha reta cuja direção passa pela origem (ver apêndice). Obs.: É importante observar que:
y = 3.x y = 3.0 y = 0 mas:
kxy k
00 k = (pois não há divisão por zero)
Em outras palavras: Sendo duas grandezas diretamente proporcionais, a constante de proporcionalidade pode ser obtida a partir de qualquer razão entre quaisquer valores correspondentes das grandezas, com exceção do ponto (0, 0).
Exemplo 2: Considerar uma mola ideal suspensa verticalmente tendo uma de suas extremidades fixadas. Prendendo-se em sua extremidade livre um bloco, a mola sofre uma deformação x. Para diferentes valores do peso do bloco foram obtidos os correspondentes valores para a deformação da mola. Esses valores estão mostrados na tabela a seguir:
peso: F (N) deformação: x (cm)
0 0
2 0,5
3 0,75
4 1
8 2
9 2,5
a) As grandezas F e x são diretamente proporcionais entre quais valores tabelados? Solução:
Fazendo o quociente xF para os valores da tabela, obtém-se:
cm5,0N2
xF 4 N/cm
cm75,0
N3xF 4 N/cm
cm1N4
xF 4 N/cm
cm2N8
xF 4 N/cm
cm5,2N9
xF 3,6 N/cm
As grandezas F e x são diretamente proporcionais desde o valor zero até a força de 8 N, corresponendo à deformação de 8 cm. b) Qual é o valor da constante de proporcionalidade entre essas grandezas dentro do intervalo do item a)? Solução:
k = 4 N/cm c) A lei de Hooke na primeira aproximação linear diz que: A intensidade da força exercida por uma mola é diretamente proporcional à sua deformação de forma a restaurar a posição de relaxamento. Para a mola deste exemplo, ela está de acordo com a lei de Hooke entre quais valores? Solução: A mola está de acordo com a lei de Hooke desde o valor zero até a força de 8 N, corresponendo à deformação de 8 cm d) Qual o significado físico da constante obtida no item b)? Solução: A constante obtida é a constante elástica da mola que é uma característica da mesma. Assim, para o intervalo em que está de acordo com a lei de Hooke, a constante elástica de 4 N/cm significa que para deformar a mola em 1 cm, são necessários 4 N de força externa. e) Determinar uma expressão que relacione “F” e “x” no intervalo em que a mola está de acordo com a lei de Hooke.
x.4Fcm/N4xFk
xF
ou x.4Fx.kFxF
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f) Se a mola mantivesse o seu comportamento elástico para qualquer força aplicada, qual deveria ser a deformação sofrida por ela para a força de 9 N? Solução 1: A razão entre os valores de “F” e seus respectivos “x” sempre fornecerão a mesma constante (de acordo com o enunciado). Assim:
cm25,22
5,0.9xx9
5,02
xFk
xF
1
1
Solução 2:
De acordo com a lei de formação 4xF ou F = 4.x:
cm25,2x49x.49x.4F
Solução 3: Pela definição da constante (k = 4 N/cm), sabe-se que para deformar a mola em 1 cm é necessária a aplicação de uma força de N N. Assim:
força deformação
4 N –––– 1 cm 9 N –––– x
4.x = 9.1 4x = 9
cm25,249x
Solução 4:
x.kFxy
x5,0
92
xx
FF
.xkF.xk = F
k.x = Fk.x = F
:finalponto:baseponto 111111
2.x = 9.0,5 2x = 4,5 cm25,225,4x
Exemplo 3: Considerar a seguinte situação:
a) Comparando as distâncias percorridas com os respectivos intervalos de tempo gastos para percorrê-los, pode-se afirmar que a relação entre elas é de proporcionalidade direta? Se sim, determinar a constante de proporcionalidade e mostrar uma possível lei de formação. Se não, por quê? Solução:
Fazendo o quociente
td entre a distância percorrida (d) e o
respectivo intervalo de tempo (t) para realizá-lo através dos valores da figura, obtém-se:
s/m8s10m80
td
s/m8s20m160
td
s/m8s30m240
td
s/m8s40m320
td
Como a razão entre a distância percorrida e o respectivo intervalo de tempo para percorrê-la é sempre uma constante, essas grandezas formam uma proporção direta cuja constante de proporcionalidade vale 8 m/s. Uma possível lei de formação pode ser obtida da seguinte forma:
t.8dous/m8tdk
td
ou t.8dt.kdtd
b) Qual é o significado físico da constante do item a)? Solução: Fisicamente, a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la recebe o nome de rapidez média. Obs.: velocidade média é uma grandeza vetorial e é definida como sendo a razão entre o deslocamento efetuado e o intervalo de tempo gasto para efetuá-lo. c) Se o veículo mantiver as características do seu movimento, determinar os valor de “d” e “t” na figura. Solução 1: A razão entre os valores de “d” e seus respectivos intervalos de tempo “t” sempre fornecerão a mesma constante. Assim:
s4580
10.360tt
3601080
tdk
td
5
5
1
1
m48010
60.80d60d
1080
tdk
td
6
6
1
1
Solução 2: Sabe-se que a constante de proporcionalidade vale 8 m/s. Assim: Cálculo de “t”:
s45tt8
3608t
360s/m8tdk
tdtd
ou
s45t8
360tt.8360t.8dt.kdtd
Cálculo de “d”
m480d60.8d860ds/m8
tdk
tdtd
ou m480d60.8dt.8dt.kdtd
Solução 3: Pela definição da constante (k = 8 m/s), sabe-se que a cada segundo o veículo percorrerá 8 m. Assim:
distância tempo
8 m –––– 1 s 360 m –––– t
8.t = 360.1 8t = 360
s458
360t
distância tempo
8 m –––– 1 s d –––– 60 s
d.1 = 8.60 d = 480 m
Solução 4: Cálculo de “t”:
t.kdtd
t10
36080
tt
dd
.tk = d
.tk = dk.t = dk.t = d
:finalponto:baseponto
5
1
5
1
55
11
55
11
80.t = 360.10 80t = 3600 s4580
3600t
Cálculo de “d”: t.kdtd
6010
d80
tt
dd
.tk = d
.tk = dk.t = dk.t = d
:finalponto:baseponto
6
1
6
1
66
11
66
11
10.d = 80.60 10.d = 4800 m48010
4800d
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Exemplo 4: Sabe-se que a variação de comprimento (L) de uma barra metálica é diretamente proporcional ao comprimento inicial (L0) da mesma e a variação de temperatura (T) sofrida por ela. a) Determinar uma expressão que relacione L, L0 e T. Solução: Como a proporcionalidade é direta, tem-se 0LL e TL . Sendo L simultaneamente proporcional a L0 e T, pode-se escrever, então, que L é diretamente proporcional ao produto entre L0 e T:
T.LLTL
LL0
0
kT.L
L
0
ou L = k.L0.T
Obs.: Fisicamente, a constante k é o coeficiente de dilatação térmica linear do material que constitui a barra, sendo normalmente representado pela letra grega . b) Considerar duas barras metálicas de mesmo material e submetidas à mesma variação de temperatura. Se a barra 1 tiver o triplo do comprimento inicial da barra 2, qual será a relação entre as variações de comprimento da barra 1 em relação às da barra 2? Solução 1: Como as demais grandezas permanecerão constantes durante o processo, deve-se levar em conta apenas a proporcionalidade entre L e L0. Assim:
20
2
10
10 L
L'kL
LLL
Sabe-se que L01 = 3.L02, logo:
2121
20
2
20
1 L.3LL3L
LL
L.3L
Isto é, a barra 1 apresentará uma variação de comprimento correspondente ao triplo do da barra 2. Solução 2: Como as demais grandezas permanecerão constantes durante o processo, deve-se levar em conta apenas a proporcionalidade entre L e L0. Assim:
00 L'.kLLL
2
1
2
1
2
1
0
0
2
1
02
01
02
01
LL
LL
L'.kLL'.kL
L'.kL:2barraL'.kL:1barra
Sabe-se que L01 = 3.L02, logo:
212
1
0
0
2
1 L.3L3LL
LL.3
LL
2
2
Isto é, a barra 1 apresentará uma variação de comprimento correspondente ao triplo do da barra 2. c) Duas barras de mesmo material e comprimento inicial são submetidas às temperaturas conforme a tabela:
Temperatura inicial Temperatura final
Barra 1 20 °C 30 °C
Barra 2 5 °C 25 °C Determinar a relação entre as variações de comprimento entre as duas barras. Solução 1: Como as demais grandezas permanecerão constantes durante o processo, deve-se levar em conta apenas a proporcionalidade entre L e T. Assim: Barra 1: T1 = 30 - 20 = 10 °C Barra 2: T2 = 25 - 5 = 20 °C
2
2
1
1TL
"kTL
TL
122
121 L.2L
2LL
20L
10L
Isto é, a barra 2 apresentará uma variação de comprimento correspondente ao dobro do da barra 1. Solução 2: Como as demais grandezas permanecerão constantes durante o processo, deve-se levar em conta apenas a proporcionalidade entre L e T. Assim: Barra 1: T1 = 30 - 20 = 10 °C Barra 2: T2 = 25 - 5 = 20 °C
T".kLLL 0
2
1
2
1
22
11
22
11TT
LL
T".kLT".kL
T".kL:2barraT".kL:1barra
122
1
2
1 L.2L21
LL
2010
LL
Isto é, a barra 2 apresentará uma variação de comprimento correspondente ao dobro do da barra 1. d) Analisar a relação entre as variações de comprimento de duas barras metálicas de mesmo material tendo uma o quádruplo do comprimento inicial da outra mas submetida à metade da variação de temperatura a que está submetida a barra mais curta. Solução 1: Sabe-se que:
L0 T
Barra 1 L01 T1
Barra 2 L02 = 4.L01 2T
T 12
Conforme visto no item a): T.LL 0 . Assim:
20
2
10
1T.L
LkT.L
L
21
Sabe-se que L02 = 4.L01 e 2T
T 12
, logo:
10
2
10
1
10
2
10
1T.L.2
LT.L
L
2T
.L.4
LT.L
L
111
1
2L
L 21 L2 = 2.L1
Isto é, a barra 2 apresentará uma variação de comprimento correspondente ao dobro da barra 1. Solução 2: De acordo com a tabela montada na solução anterior e conforme visto no item a): T.LL 0 . Tem-se: L = k.L0.T
20
10
2
1
202
101
202
101
TLT.L
LL
TL.kLT.L.kL
T.L.kL:2barraT.L.kL:1barra
2
1
2
1
2
1
21
LL
T.L.2
T.L
LL
2T
.L.4
TL
LL
2
1
10
10
2
1
10
10
2
1
1
1
1
1
L2 = 2.L1 Isto é, a barra 2 apresentará uma variação de comprimento correspondente ao dobro da barra 1.
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Exemplo 5: Considerar uma grandeza “z” e sua dependência com outras duas grandezas “x” e “y” de acordo com os gráficos a seguir:
A relação entre “z” e o produto das grandezas “x” e “y” é de proporcionalidade direta? Se sim, determinar uma possível lei de formação. Se não, por quê? Solução: Pelos gráficos (linhas retas que passam pela origem) é possível afirmar que a grandeza “z” é diretamente proporcional à grandeza “x” e à grandeza “y” podendo-se escrever, então, que “z” é diretamente proporcional ao produto entre “x” e “y”:
y.xzyzxz
z = k.x.y
Para se obter a constante de proporcionalidade pode-se proceder da seguinte forma:
2k242.k4x.kzxz 111
z = 2x
3k131.k3y.kzyz 122
z = 3y
Assim: z = (2x).(3y) = 6xy z = 6xy
Note que k = k1.k2 1.2 Grandezas inversamente proporcionais Dadas duas grandezas “y” e “x”, elas serão inversamente proporcionais quando o produto de “y” e “x” for sempre igual a uma constante. Matematicamente:
y.x = k ou x1.ky
onde: x é a variável independente; y é a variável dependente; k é uma constante de proporcionalidade.
Assim, pode-se escrever:
x1y
A notação acima é lida da seguinte forma: “y” é inversamente proporcional a “x”. Exemplo 1: Observar a tabela a seguir:
x y k = y.x
1 10 k = 10.1 = 10
2 5 k = 5.2 = 10
2,5 4 k = 4.2,5 = 10
4 2,5 k = 2,5.4 = 10
5 2 k = 2.5 = 10
10 1 k = 1.10
Note que o produto y.x forneceu sempre um mesmo valor. Assim, a constante de proporcionalidade, para esse exemplo, vale 10 e a grandeza “y” é inversamente proporcional à grandeza “x”:
y.x = 10 x1.10y
x1y
Observe, também, que o gráfico constituído pelos pontos da tabela (e extrapolando para qualquer valor real atribuído a “x”) formará uma hipérbole equilátera (ver apêndice). Obs.: É importante observar que essa hipérbole equilátera nunca tocará os eixos horizontal e vertical. Isto é, quando “x” for muito grande (tendendo a + ), “y” será muito pequeno (tendendo a zero mas, ainda assim, não nulo) e quando “x” for muito pequeno (tendendo a zero mas, ainda assim, não nulo) “y” será muito grande (tendendo a + ). Em outras palavras: Sendo duas grandezas inversamente proporcionais, a constante de proporcionalidade pode ser obtida a partir de qualquer produto entre quaisquer valores correspondentes das grandezas, com exceção dos pontos (0, y) e (x, 0). Exemplo 2: Uma determinada amostra de gás ideal é introduzida no recipiente a seguir que é dotado de um êmbolo móvel. A tabela ao lado mostra o comportamento da pressão exercida pelo gás em função do volume ocupado por ele.
V (L) p (atm)
18 1
9 2
6 3
4,5 4
a) As grandezas p e V são inversamente proporcionais? Solução: Fazendo o produto p.V para os valores da tabela, obtém-se:
1.18 = 18 atm.L 2.9 = 18 atm.L 3.6 = 18 atm.L
4.4,5 = 18 atm.L Como o produto p.V sempre forneceu o mesmo valor (18 atm.L ), as grandezas “p” e “V” são inversamente proporcionais. b) Qual é o valor da constante de proporcionalidade entre essas grandezas? Escreva uma possível expressão matemática para a relação entre “p” e “V”. Solução:
k = 18 atm.L Uma possível expressão matemática para a relação entre “p” e “V” pode ser obtida da seguinte forma:
p.V = k p.V = 18 atm.L p.V = 18 ou
V18p
V1.18p
V1.kp
V1p
c) A lei de Boyle-Mariotte diz que: Mantendo-se constante a temperatura de uma amostra de um gás ideal, a pressão é inversamente proporcional ao volume ocupado por esse gás. Pelos dados da tabela, o gás em questão pode ser considerado ideal se a transformação for isotérmica? Solução: Conforme a solução do item a) as grandezas pressão e volume são inversamente proporcionais, isto é, de acordo com a lei de Boyle-Mariotte. d) Qual será a pressão exercida pelo gás quando este ocupar um
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5
volume de 5 L? Solução 1: O produto entre os valores de “p” e seus respectivos “V” sempre fornecerão a mesma constante. Assim:
p1.V1 = k = p.V
1.18 = p.5 18 = p.55
18 = p = 3,6 atm
Solução 2:
De acordo com a lei de formação 18V.p ou V18p :
5
18p 3,6 atm
Solução 3: Como a relação é de proporção inversa, pode-se resolver por uma regra de três simples inversa. Assim:
volume pressão
18 –––– 1 5 –––– p
Transformando a regra de três simples inversa em direta, isto é, invertendo uma das colunas, tem-se:
volume pressão
18 –––– p 5 –––– 1
p.5 = 18.1 p.5 = 18 5
18p 3,6 atm
Solução 4:
p.V = kV1.kp
185
p1
VV
pp
V1.kp
V1.kp
V1.kp
V1.kp
:finalponto
:baseponto
1
111
11
p.5 = 18.1 p.5 = 18 5
18p 3,6 atm
Exemplo 3: Para abrir uma porta, a maçaneta é colocada o mais longe possível da dobradiça, isto porque ao aplicar uma força perpendicularmente a uma distância do eixo de rotação, o autor estará realizando um torque em relação a uma origem dado pela expressão = F.d, onde é o módulo do torque, F é a intensidade da força aplicada e d é a distância ao eixo de rotação. a) Como as grandezas torque e força aplicada se relacionam? Solução: Pela análise da expressão = F.d, constata-se que F , pois para a relação entre e F, d é mantida constante. b) Como as grandezas força aplicada e distância ao eixo de rotação se relacionam para um mesmo torque? Solução:
Pela análise da expressão = F.d, constata-se que d
F ou
d1F . Note que é, de acordo com o exemplo, a constante de
proporcionalidade. Sendo assim, d1F , isto é, a força aplicada é
inversamente proporcional à distância ao eixo de rotação. c) Uma força F realiza um torque quando aplicado a uma distância d. Se a força for triplicada, a distância ao eixo de rotação onde essa força deverá ser aplicada valerá quanto para produzir o mesmo torque? Solução 1:
Sabe-se que: F d
Situação 1 F1 d1
Situação 2 F2 = 3.F1 d2 Pela expressão = F.d, tem-se:
F1.d1 = = F2.d2 F1.d1 = 3.F1.d2
F1.d1 = 3F1.d21
112 F3
d.Fd
3dd 1
2
Isto é, para exercer o mesmo torque, uma força três vezes maior que a primeira necessita de uma distância três vezes menor que a distância anterior. Solução 2: Como a relação é de proporção inversa, pode-se resolver por uma regra de três simples inversa. Assim:
força distância
F1 –––– d1 3F1 –––– d2
Transformando a regra de três simples inversa em direta, isto é, invertendo uma das colunas, tem-se:
força distância
F1 –––– d2 3F1 –––– d1
F1.d1 = 3F1.d2 3dd
F3dFd 1
21
112
Isto é, para exercer o mesmo torque, uma força três vezes maior que a primeira necessita de uma distância três vezes menor que a distância anterior. Exemplo 4: Para percorrer um determinado deslocamento, um veículo animado de 80 km/h demora 25 min. Para cumprir esse mesmo deslocamento em 20 min, qual deverá ser a velocidade do veículo? Solução 1: Para percorrer um mesmo deslocamento em um intervalo menor, deve-se aumentar a velocidade. Assim, tem-se uma proporção inversa:
kv.tvkt
v1t
Assim: t1.v1 = k = t2.v2
80.25 = 20.v2 80.25 = 20.v2
2v20
25.80 100 km/h
Solução 2: Para percorrer um mesmo deslocamento em um intervalo menor, deve-se aumentar a velocidade. Assim, tem-se uma proporção inversa:
velocidade tempo
80 km/h –––– 25 min v2 –––– 20 min
Transformando a regra de três simples inversa em direta, isto é, invertendo uma das colunas, tem-se:
velocidade tempo
v2 –––– 25 min 80 km/h –––– 20 min
v2.20 = 80.25
20
25.80v2 100 km/h
Exemplo 5:
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6
O gráfico a seguir mostra apenas três pontos do comportamento da frequência de uma onda transversal em função de seu comprimento de onda.
Como é a relação entre as grandezas f e ? Solução: Fazendo o produto .f para os valores do gráfico, obtém-se:
(0,1.102).(1,0.106) = 1,0.107 m/s (0,25.102).(0,4.106) = 1,0.107 m/s (0,5.102).(0,2.106) = 1,0.107 m/s
Como o produto .f sempre forneceu o mesmo valor (1,0.107 m/s) as grandezas “f” e “” são inversamente proporcionais. Obs.: a constante de proporcionalidade obtida para esse exemplo é a velocidade de propagação da onda. Exemplo 6: Considerar uma grandeza “z” e sua dependência com outras duas grandezas “x” e “y” de acordo com os gráficos a seguir:
Qual é a expressão matemática que informa a relação entre “z”, “x” e “y”? Solução: Pelos gráficos (linha reta que passa pela origem e hipérbole equilátera) é possível afirmar que a grandeza “z” é diretamente proporcional à grandeza “x” e inversamente proporcional à grandeza “y”:
yxkz
yxz
y1zxz
Para se obter a constante de proporcionalidade pode-se proceder da seguinte forma:
32k
646.k4x.kzxz 111
x32z
63.2k31.k2
y1.kz
y1z 222
y1.6z
Assim:
yx.4z
y6.x
32z
Note que k = k1.k2 1.3 Grandezas diretamente proporcionais ao quadrado
Dadas duas grandezas “y” e “x”, “y” será diretamente proporcional ao quadrado de “x” quando o quociente de “y” em relação a “x2” for sempre igual a uma constante. Matematicamente:
kxy2 ou y = k.x2
onde: x é a variável independente; y é a variável dependente; k é uma constante de proporcionalidade.
Assim, pode-se escrever: 2xy
A notação acima é lida da seguinte forma: “y” é diretamente proporcional ao quadrado de “x”. Exemplo 1: Observar a tabela a seguir:
Graficamente:
x y kxy2
1 2 2k122
2 8 2k282
3 18 2k318
2
4 32 2k432
2
Note que a razão 2xy forneceu sempre um mesmo valor. Assim, a
constante de proporcionalidade, para esse exemplo, vale 2 e a grandeza “y” é diretamente proporcional ao quadrado da grandeza “x”:
2xy2 y = 2.x2 2xy
Observe, também, que o gráfico constituído pelos pontos da tabela (e extrapolando para qualquer valor real atribuído a “x”) formará uma parábola que passa pela origem (ver apêndice).. Obs.: É importante observar que:
y = 2.x2 y = 2.02 y = 0 mas:
kxy2 k
00
2 k = (pois não há divisão por zero)
Em outras palavras: Sendo duas grandezas relacionadas através de uma proporcionalidade quadrática, a constante de proporcionalidade pode ser obtida a partir de qualquer razão entre quaisquer valores correspondentes das grandezas, com exceção do ponto (0, 0). Exemplo 1: Abandona-se uma bolinha em uma canaleta conforme mostra a figura a seguir.
Determinar a lei de formação de dependência entre a distância percorrida pela bolinha e o tempo gasto para percorrê-la. Solução:
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7
Fazendo o quociente 2td para os valores da figura, obtém-se:
201
1005
105
td
22 0,05 cm/s2
201
40020
2020
td
22 0,05 cm/s2
201
90045
3045
td
22 0,05 cm/s2
201
160080
4080
td
22 0,05 cm/s2
Como a razão entre a distância percorrida e o respectivo intervalo de tempo ao quadrado para percorrê-la é sempre uma constante, essas grandezas formam uma proporção direta quadrática, cuja constante de proporcionalidade vale 0,05 cm/s2. Uma possível lei de formação pode ser obtida da seguinte forma:
2222
2 t.05,0dous/cm05,0tdk
tdtd
ou t.05,0dt.kdtd 22
Obs.: Fisicamente, a constante obtida neste exemplo é a metade da aceleração de translação que possui a bolinha. Exemplo 2: Sabe-se que a área de um círculo é dada por A = .r2, onde r é o raio do círculo. Sendo assim, se um círculo de raio r tem área de 20 cm2, qual será a área de um círculo de raio igual a 3r? Solução:
A = .r2 2rA 2
2
1
2
122
21
2
1222
211
222
211
rr
AA
rr
AA
r.Ar.A
r.A:2círculor.A:1círculo
91
A20
r3r
A20
rr
AA
222
1
2
122
A2 = 180 cm2 Exemplo 3: Sabe-se que a energia cinética de uma partícula é dada por
2C mv
21E , onde EC é a energia cinética, m é a massa da
partícula e v é o módulo de sua velocidade. a) Qual é a relação de proporcionalidade entre EC e m? Solução: A relação de proporcionalidade entre EC e m é obtida tratando os demais fatores como constantes. Assim, tem-se:
mEm.kEm2vEmv
21E CC
2
C2
C
Isto é, a energia cinética é diretamente proporcional à massa. b) Qual é a relação de proporcionalidade entre EC e v? Solução: A relação de proporcionalidade entre EC e v é obtida tratando os demais fatores como constantes. Assim, tem-se:
2C
2C
2C
2C vEv.kEv
2mEmv
21E
Isto é, a energia cinética é diretamente proporcional ao quadrado do módulo da velocidade. c) Estabelecer o esboço dos gráficos EC x m, EC x v e EC x v2.
Solução: mEC
EC x m = linha reta
2C vE
EC x v = parábola
2C vE
EC x v2 = linha reta
d) Um corpo de massa m e velocidade v tem energia cinética EC. Um outro corpo, de massa 2m e velocidade v/2 terá energia cinética EC2. Obter, em função de EC, o valor de EC2. Solução: Sabe-se que:
m v
corpo 1 m v
corpo 2 2m 2v
Assim, tem-se: 2
C mv21E
222
211
2C
C
222C
211C
222C
211C
vmvm
EE
vm21E
vm21E
vm21E:2corpo
vm21E:1corpo
1
2
1
2
1
2/11
E
E
4vm2
vmE
E
2v).m2(
mvE
E
2C
C2
2
2C
C2
2
2C
C 111
2E
E2
EE2
EE C
CC
CC
C2
12
2
1
Isto é, o corpo 2 apresentará a metade da energia cinética do corpo 1. 1.4 Grandezas inversamente proporcionais ao quadrado Dadas duas grandezas “y” e “x”, “y” será inversamente proporcional ao quadrado de “x” quando o produto de “y” e “x2” for sempre igual a uma constante. Matematicamente:
y.x2 = k ou 2xky
onde: x é a variável independente; y é a variável dependente; k é uma constante de proporcionalidade.
Assim, pode-se escrever:
2x1y
A notação acima é lida da seguinte forma: “y” é inversamente proporcional ao quadrado de “x”. Exemplo 1: Considerar a tabela a seguir:
Graficamente:
x y k = y.x2
1 36 k = 36.12 = 36
2 9 k = 9.22 = 36
3 4 k = 4.32 = 36
4 2,25 k = 2,25.42 = 36
5 1,44 k = 1,44.52 = 36
Note que o produto y.x2 forneceu sempre um mesmo valor. Assim,
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8
a constante de proporcionalidade, para esse exemplo, vale 36 e a grandeza “y” é inversamente proporcional ao quadrado da grandeza “x”:
y.x2 = 36 2x1.36y 2x
1y
Observe, também, que o gráfico constituído pelos pontos da tabela (e extrapolando para qualquer valor real atribuído a “x”) formará uma hipérbole (não equilátera) (ver apêndice). Obs.: É importante observar que essa hipérbole nunca tocará os eixos horizontal e vertical. Isto é, quando “x” for muito grande (tendendo a + ), “y” será muito pequeno (tendendo a zero mas, ainda assim, não nulo) e quando “x” for muito pequeno (tendendo a zero mas, ainda assim, não nulo) “y” será muito grande (tendendo a + ). Em outras palavras: Sendo duas grandezas inversamente proporcionais ao quadrado, a constante de proporcionalidade pode ser obtida a partir de qualquer produto entre quaisquer valores correspondentes das grandezas, com exceção dos pontos (0, y) e (x, 0). Exemplo 2: A intensidade sonora é definida como sendo o fluxo de energia por unidade de área. A intensidade sonora medida a uma distância r de
uma fonte puntiforme é dada por 2r4PI
, onde P é a potência
sonora emitida pela fonte e r é a distância entre a fonte e o ouvinte. a) Qual é a relação de proporcionalidade entre I e P? Solução: A relação de proporcionalidade entre I e P é obtida tratando os demais fatores como constantes. Assim, tem-se:
PIP.kIP.r4
1Ir4
PI 22
Isto é, a intensidade sonora é diretamente proporcional à potência sonora.
b) Qual é a relação de proporcionalidade entre I e r? Solução: A relação de proporcionalidade entre I e r é obtida tratando os demais fatores como constantes. Assim, tem-se:
2222 r1I
r1.kI
r1.
4PI
r4PI
Isto é, a intensidade sonora é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre a fonte e o receptor. c) A 10 cm de uma fonte sonora a intensidade sonora é de 16.10-6 W/m2. Determinar a intensidade sonora medida a 40 cm dessa mesma fonte. Solução: Sabe-se que:
I r
Situação 1 16.10-6 W/m2 10 cm
Situação 2 I2 40 cm Assim, tem-se:
2r4PI
2
1
2
2
12
1
22
2
1
22
2
21
1
22
2
21
1
rr
II
r
rII
r4PI
r4PI
r4PI:2situação
r4PI:1situação
16I10.164
I10.16
1040
I10.16
2
62
2
62
2
6
1610.16I
6
2 1.10-6 W/m2
Isto é, na situação 2, a intensidade sonora é 16 vezes menor que
na situação 1. Exemplo 3: A lei de Coulomb afirma que a intensidade da força de interação (F) entre duas partículas puntiformes dotadas de cargas elétricas líquidas (q1 e q2) é diretamente proporcional ao produto entre os módulos dessas cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância (r) que separa essas partículas. a) Estabelecer matematicamente a lei de Coulomb. Solução:
221
221
2
21
r|q|.|q|kF
r|q|.|q|F
r1F
|q|.|q|F
Obs.: k é chamada de constante eletrostática do meio. Para o vácuo seu valor é aproximadamente 9.109 Nm2/C2. b) Duas esferas muito pequenas estão eletrizadas com cargas elétricas 2Q e 3Q, separadas por uma distância d, se repelem com uma força F. Após um processo qualquer, as mesmas duas esferas passam a ter carga elétrica de 2Q. Qual será a nova força de interação se as esferas continuarem a estar separadas pela distância d? Solução: Da lei de coulomb, tem-se:
221
r|q|.|q|kF
23
FF
46
FF
dQ4kF
dQ6kF
dQ2.Q2kF:2situação
dQ3.Q2kF:1situação
22
1
2
2
2
2
2
1
22
21
F32F2
c) Duas cargas elétricas q1 e q2 apresentam uma força de interação eletrostática F quando separadas por uma distância d. Determinar a força de interação quando estiverem separadas por uma distância 3d. Solução: Da lei de coulomb, tem-se:
221
r|q|.|q|kF
2
2
2
1
221
2
221
1
22
212
21
211
dd9
FF
)d3(|q|.|q|kF
d|q|.|q|kF
d|q|.|q|kF:2situação
d|q|.|q|kF:1situação
F91F
dd9
FF
22
2
2
c) Duas cargas elétricas q1 e q2 apresentam uma força de interação eletrostática F quando separadas por uma distância d. Determinar a força de interação quando estiverem separadas pela metade da distância inicial. Solução: Da lei de coulomb, tem-se:
221
r|q|.|q|kF
2
2
2
1
221
2
221
1
22
212
21
211
d/4d/1
FF
)2/d(|q|.|q|kF
d|q|.|q|kF
d
|q|.|q|kF:2situação
d|q|.|q|kF:1situação
F4F4
d.d1
FF
2
2
22
1.5 Grandezas com proporcionalidades diversas
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9
Exemplo 1: A terceira lei de Kepler diz que: “O quadrado do período de revolução de um planeta ao redor do Sol é diretamente proporcional ao cubo do raio médio de sua órbita elíptica.” a) Expressar essa lei matematicamente: Solução: de acordo com o enunciado 32 RT , isto é, T2 = k.R3. b) Um planeta X tem período T sendo que sua órbita apresenta um raio médio R. Qual será o período de um planeta Y que possui órbita com raio médio de 4R? Suponha que ambos os planetas pertençam ao mesmo sistema solar. Solução: Sabe-se que:
T R
Planeta X T R
Planeta Y TY 4R Assim, tem-se:
T2 = k.R3 32
Y3Y
2Y
3X
2X
3Y
2Y
3X
2X
R4R
TT
R.kTR.kT
R.kT:YplanetaR.kT:Xplaneta
6
2
Y
3
2
2
Y
32
Y 21
TT
21
TT
41
TT
T8T81
TT
21
TT
21
TT
YY
3Y
6Y
Isto é, o planeta Y apresentará um período de revolução igual a 8 vezes o período do planeta X. Exemplo 2: A lei de Guldberg-Wagge ou lei de ação das massas afirma que: “A velocidade de uma reação química é diretamente proporcional ao produto das concentrações molares dos reagentes elevados a expoentes obtidos experimentalmente.” Esses expoentes serão iguais aos respectivos coeficientes estequiométricos caso a reação seja realizada em etapa única. a) Considerar que a reação química hipotética a seguir ocorra em apenas uma etapa:
2A + 3B A2B3 Encontrar uma representação para a velocidade da reação química. Solução: reagente A: coeficiente estequiométrico 2 reagente B: coeficiente estequiométrico 3 Pela lei de Guldberg-Wagge, tem-se:
3232 ]B.[]A[kv]B.[]A[v b) para a reação hipotética do item a) o que aconteceria com a velocidade da reação química caso a concentração do reagente A dobrasse e a do reagente B fosse reduzida à metade? Solução: Sabe-se que:
[A] [B]
Situação 1 X Y
Situação 2 2X 2Y
Tem-se 32 ]B.[]A[kv Assim:
2/11
vv
8Y.X4kv
Y.kXv
2Y.)X2(kv:2situação
Y.kXv:1situação
2
13
22
3213
22
321
2vv 1
2
Isto é, a velocidade da reação química seria reduzida à metade. Exemplo 3: A lei de Guldberg-Wagge ou lei de ação das massas afirma que: “A velocidade de uma reação química é diretamente proporcional ao produto das concentrações molares dos reagentes elevados a expoentes obtidos experimentalmente.” Suponha que a reação A + B X não ocorra em uma etapa e a tabela a seguir mostra como a velocidade da reação química varia em função das concentrações dos reagentes A e B.
Experimento A (mol/L) B (mol/L) v (mol/mim)
I 0,5 0,5 0,015
II 1,0 0,5 0,030
III 0,5 1,0 0,060
IV 1,0 1,0 0,120 a) Determinar a lei matemática para a velocidade da reação química A + B X. Solução: Pela lei de Guldberg-Waage, tem-se v = k.[A]a.[B]b. Para o estabelecimento dos expoentes, deve-se analisar o comportamento da velocidade em função de um dos reagentes; para isso, o outro deverá permanecer inalterado. Assim: Expoente “a”: Analisar experimentos I e II (ou III e IV) pois a concentração de B não varia.
Experimento I: ba
ba
baII2
baI1
]B.[)0,1(k030,0]B.[)5,0(k015,0
]B.[]A[kv]B.[]A[kv
Experimento II:
a
21
21 a = 1
Expoente “b”: Analisar experimentos I e III (ou II e IV) pois a concentração de A não varia.
Experimento I: ba
ba
bIII
a3
bI
a1
)0,1.(]A[k060,0)5,0.(]A[k015,0
]B.[]A[kv]B.[]A[kv
Experimento III:
b
21
41 b = 2
v = k[A].[B]2
AAPPÊÊNNDDIICCEE
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10
Proporção Direta
Para uma proporção direta, o gráfico que une os pontos correspondentes formam uma linha reta cuja direção passa pela origem.
x.kyxy Essa reta poderá ser:
Proporção Inversa
Para uma proporção inversa, o gráfico que une os pontos correspondentes formam uma hipérbole equilátera.
x1.ky
x1y
Essa hipérbole equilátera poderá ser:
Obs.: É importante observar que essa hipérbole equilátera nunca tocará os eixos horizontal e vertical. Isto é, quando “x” for muito grande (tendendo a + ), “y” será muito pequeno (tendendo a zero mas, ainda assim, não nulo) e quando “x” for muito pequeno (tendendo a 0+ mas, ainda assim, não nulo) “y” será muito grande (tendendo a + [se k > 0] ou a - [se k < 0]).
Proporção Direta com o Quadrado
Para uma proporção direta com o quadrado, o gráfico que une os pontos correspondentes formam uma parábola que passa pela origem.
22 x.kyxy Essa parábola poderá ser:
Proporção Inversa com o Quadrado
Para uma proporção inversa com o quadrado, o gráfico
que une os pontos correspondentes formam uma hipérbole (não equilátera).
22 x1.ky
x1y
Essa hipérbole equilátera poderá ser:
Obs.: É importante observar que essa hipérbole nunca tocará os eixos horizontal e vertical. Isto é, quando “x” for muito grande (tendendo a + ), “y” será muito pequeno (tendendo a zero mas, ainda assim, não nulo) e quando “x” for muito pequeno (tendendo a 0+ mas, ainda assim, não nulo) “y” será muito grande (tendendo a + [se k > 0] ou a - [se k < 0]). Comparação Gráfica das Proporções A figura a seguir mostra, para k = 1, o comportamento gráfico das proporções anteriores (no 1º quadrante).
EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS
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11
1. A lei de Stefan-Bolzmann estabelece que o fluxo de energia (E) emitida por um corpo negro é diretamente proporcional à quarta potência da sua temperatura absoluta (T). Assim, a lei de Stefan-Boltzmann pode ser representada por ___________ e se a temperatura absoluta de um corpo negro for duplicada, seu fluxo de energia será ____________. A alternativa que preenche as lacunas corretamente e na ordem em que aparecem no texto é:
Represente a constante de proporcionalidade pela letra grega . (A) E = .T; duas vezes maior. (B) E = .T4; duas vezes maior.
(C) 4T1E ; dezesseis vezes maior.
(D) E = .T4; oito vezes maior. (E) E = .T4; dezesseis vezes maior. 2. A intensidade do campo magnético (B) criado por um fio retilíneo longo percorrido por uma corrente elétrica de intensidade i a uma
distância r é dada pela expressão ri.
2B 0
. Assim, o gráfico B
versus i é: (A) um ramo de parábola. (B) um ramo de hipérbole equilátera. (C) uma reta que passa pela origem. (D) um ramo de hipérbole não equilátera. (E) uma curva exponencial. 3. O número 510 foi dividido em duas partes sendo elas diretamente proporcionais aos números 8 e 9. Assim sendo, pode-se afirmar que: (A) a parte maior supera a menor em 30 unidades. (B) ambas as partes são formadas por números ímpares. (C) as partes são 210 e 300. (D) as partes são 230 e 280. (E) é impossível obter números inteiros que satisfaçam o enunciado. 4. Dizem que as crianças quando caem não sofrem o mesmo impacto que um adulto pelo fato de aquelas terem seus ossos “moles”. No entanto, a causa para não sofrerem o mesmo dano que um adulto está na quantidade de energia mecânica que é transformada em energia cinética durante a queda. Se a pessoa estiver parada, a energia mecânica será igual à energia potencial gravitacional. Estime quantas vezes a energia potencial gravitacional de um ser humano adulto é maior que de uma criança. Para isso, admita que todas as dimensões de um adulto sejam o dobro das de uma criança e que a energia potencial gravitacional (EP) seja diretamente proporcional à massa (m) e à altura do centro de massa (hCM) da pessoa, bem como o fato de a massa ser diretamente proporcional ao volume. (A) 4 vezes (B) 8 vezes (C) 10 vezes (D) 16 vezes (E) 20 vezes 5. Uma torneira cuja vazão máxima é constante de 5 L/min enche um certo reservatório em 20 min. Para encher o mesmo reservatório em 5 min é necessário: (A) acrescentar quatro torneiras iguais à primeira. (B) acrescentar três torneiras iguais à primeira. (C) substituir a torneira existente por outra cuja vazão seja o triplo. (D) substituir a torneira existente por outra cuja vazão seja o quíntuplo. (E) substituir a torneira existente por outra cuja vazão seja de 1,2 L/min.
6. Analise os gráficos a seguir:
Na ordem em que aparecem, os gráficos são: ramo de uma parábola, uma linha reta, um ramo de hipérbole equilátera. Sendo assim, a expressão matemática que mostra a relação entre as grandezas y, a, b e c é:
Dado: k é uma constante.
(A) c
b.aky2
(B) 2
2
cb.aky
(C) 2cb.aky
(D) 2
22
cb.aky
(E) cb.aky
2
7. Sabe-se que a diferença de potencial elétrico (V), a resistência elétrica (R) e a intensidade de corrente elétrica (I) que passa por um condutor estão relacionadas através de V = R.I. Para uma diferença de potencial constante (A) a intensidade de corrente elétrica é proporcional à resistência elétrica. (B) a intensidade de corrente elétrica é inversamente proporcional à resistência elétrica. (C) a intensidade de corrente elétrica é invariável à medida que a resistência elétrica varia. (D) o gráfico de I x R é uma linha reta descendente. (E) ) o gráfico de I x R é um ramo de parábola. 8. A lei universal dos gases ideais pode ser representada por
kTV.p
onde p é a pressão, V é o volume, T é a temperatura
absoluta e k é uma constante. Considere as seguinte afirmações: I. Se T for mantida constante, p e V são inversamente proporcionais. II. Se p for mantida constante, V e T são diretamente proporcionais. III. Se V for mantido constante, p e T são inversamente proporcionais. São verdadeiras: (A) apenas I. (B) apenas II. (C) apenas III. (D) apenas I e II. (E) apenas I e III. 9. Uma pessoa deseja dividir o número 210 em três partes, sendo estas inversamente proporcionais aos números 3, 5 e 6. A menor parte vale: (A) 40 (B) 50 (C) 60 (D) 80 (E) 100
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12
10. A área de um triângulo eqüilátero é dada por 43LA 2 . Um
triângulo equilátero tem área Y quando seu lado mede X. Se o lado for triplicado a área desse triângulo valerá: (A) 3Y (B) Y/3 (C) 9Y (D) Y/9 (E) Y 11. A potência elétrica dissipada por um resistor é dada pela
expressão RVP
2 , onde V é a diferença de potencial aplicada e R
é a resistência elétrica do resistor. Para um resistor com resistência elétrica constante, qual alternativa melhor mostra o gráfico P versus V?
(A) (B) (C)
(D) (E)
12. A potência elétrica dissipada por um resistor é dada pela expressão P = R.i2, onde i é a intensidade de corrente elétrica que passa pelo resistor e R é a resistência elétrica do resistor. Para um resistor com resistência elétrica constante, qual alternativa mostra corretamente o gráfico P versus i2?
(A) (B) (C)
(D) (E)
13. O valor de um diamante é proporcional ao quadrado de seu peso em quilates. Sendo dado que um diamante de 12 quilates quebrou-se em dois pedaços, um de 8 e outro de 4 quilates. Dessa forma, o prejuízo equivale a um diamante de (A) 2 quilates (B) 4 quilates (C) 6 quilates (D) 8 quilates (E) 10 quilates 14. A figura a seguir mostra um carrinho descendo um trilho inclinado, onde x1, x2 e x3 são as distâncias percorridas pelo carrinho nos intervalos de tempo [0; t1], [t1; t2] e [t2; t3].
Sabe-se que a distância percorrida pelo carrinho é diretamente proporcional ao quadrado do tempo de percurso. Os valores de x1, x2 e x3 são, respectivamente, 10 cm, 30 cm e 50 cm. Sendo assim, os instantes de tempo t1, t2 e t3 decorridos desde a soltura do carrinho (t = 0) podem ser, respectivamente, (A) 1 s, 3 s e 5 s. (B) 1 s, 2 s e 3 s. (C) 1 s, 4 s e 9 s. (D) 1 s, 3 s e 5 s. (E) 1 s, 9 s e 25 s. 15. A lei da gravitação universal de Newton afirma que o módulo da força de interação entre duas partículas de massas m1 e m2 separadas por uma distância r é diretamente proporcional ao produto entre as massas das partículas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa. A constante de proporcionalidade está representada pela letra G. Assinale a alternativa que descreve matematicamente a lei da gravitação universal de Newton.
(A) rm.mGF 21
(B) 221
rm.mGF
(C) 21
2
m.mrGF
(D) 21 m.m
rGF
(E) 2
21rm.mGF
16. A figura mostra o comportamento da grandeza y em função da grandeza x. Pela análise da figura, pode-se afirmar que: (A) y x2
(B) yx1
(C) y 2x1
(D) y 3x1
(E) y x3 17. A resistência elétrica de um fio condutor é dada pela expressão
ALR , onde é a resistividade do material, L é o comprimento
do fio e A é a área de secção normal do fio. Para um fio comum, a área de secção normal é um círculo de raio r. Sendo assim, afirma-se que: (A) a resistência elétrica do fio é diretamente proporcional a r. (B) a resistência elétrica do fio é diretamente proporcional ao quadrado de r. (C) a resistência elétrica do fio é inversamente proporcional a r. (D) a resistência elétrica do fio é inversamente proporcional ao quadrado de r. (E) a resistência elétrica do fio não depende de r.
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13
18. A energia potencial elétrica armazenada em um capacitor de capacitância C submetido a uma diferença de potencial V é dada
por 2
CVE2
P . Dois capacitores de capacitâncias X e 4X possuem
a mesma energia potencial elétrica. Assim, pode-se afirmar que o capacitor de (A) maior capacitância está submetido a uma diferença de potencial 4 vezes maior que o capacitor de menor capacitância. (B) maior capacitância está submetido a uma diferença de potencial 2 vezes maior que o capacitor de menor capacitância. (C) menor capacitância está submetido a uma diferença de potencial 4 vezes maior que o capacitor de maior capacitância. (D) menor capacitância está submetido a uma diferença de potencial 2 vezes maior que o capacitor de maior capacitância. (E) maior capacitância está submetido a uma diferença de potencial igual à do capacitor de menor capacitância. 19. Um tanque com 100 L de água é esvaziado através de uma vazão constante de 5 L/min. Considere as afirmações a seguir: I. O volume de água escoado é diretamente proporcional ao tempo. II. O volume de água que permanece no tanque é inversamente proporcional ao tempo. III. O volume de água que permanece no tanque é inversamente proporcional ao quadrado do tempo. São verdadeiras: (A) apenas I. (B) apenas II. (C) apenas III. (D) apenas I e II. (E) apenas I e III.
20. Considere a expressão 2
43
tz.xky , onde k é uma constante.
Se as grandezas x, z e t forem todas duplicadas, a grandeza y será: (A) duplicada. (B) quadruplicada. (C) quintuplicada. (D) multiplicada por 10. (E) multiplicada por 32.
21. Sabe-se que xy e 2t1x . Caso a grandeza “t” dobrar de
valor, a grandeza “y”: (A) também dobrará. (B) quadruplicará. (C) será dividida por dois. (D) será dividida por quatro. (E) ficará inalterada. 22. A lei de Graham afirma que a velocidade (v) de efusão de um gás é inversamente proporcional à raiz quadrada de sua massa molar (MM). A alternativa que mostra corretamente essa lei é: (A) MMkv
(B) kMMv
(C) 2
1
2
1MMMM
vv
(D) 1
2
2
1MMMM
vv
(E) 1
2
2
1MMMM
vv
23. Uma partícula eletrizada em movimento em um campo magnético uniforme pode sofrer a atuação de uma força magnética. Caso a partícula descreva um movimento
circunferencial uniforme, o raio de curvatura é dado por B.qv.mR ,
onde m é a massa da partícula, v é o módulo da velocidade da partícula, q é o módulo da carga elétrica líquida da partícula e B é o módulo do campo magnético. Duas partículas, 1 e 2, são lançadas com a mesma velocidade no mesmo campo magnético. Sabe-se que a carga elétrica líquida da partícula 1 é o dobro da partícula 2 e possui a metade da massa da segunda. Sendo assim, pode-se afirmar que: (A) R2 = 4R1 (B) R2 = 2R1 (C) R2 = R1 (D) 2R2 = R1 (E) 4R2 = R1 24. Sendo y = ax + b e z = y - b, pode-se dizer que: (A) xz (B) xy (C) yz
(D) x1z
(E) x1y
25. Sabe-se que xy e que tx . Assim:
(A) 2ty
(B) 2t1y
(C) ty (D)
t1y
(E) y = t 26. Um retângulo de lados a e b tem área A. Outro retângulo, de lados a’ e b’ proporcionais a a e b, tem área A’. Sendo k a constante de proporcionalidade entre os lados, pode-se afirmar que: (A) A’ = k.A (B) A’ = k2.A (C) A’ = k3.A (D) A’ = k4.A (E) A’ = k5.A 27. Um paralelepípedo de arestas a, b e c tem volume V. Outro paralelepípedo, de arestas a’, b’ e c’ proporcionais a a, b e c, tem volume V’. Sendo k a constante de proporcionalidade entre as arestas, pode-se afirmar que: (A) V’ = k.V (B) V’ = k2.V (C) V’ = k3.V (D) V’ = k4.V (E) V’ = k5.V Instrução: O enunciado a seguir refere-se às questões 28, 29 e 30. Matematicamente, a expressão que relaciona o período de oscilação (T) de um pêndulo simples com seu comprimento (L) e
com o campo gravitacional local (g) é gL2T .
MATEMÁTICA
Prof. RODRIGO OLIVEIRA f (x)
14
28. Pela análise da expressão, verifica-se que o período é ___________________. Comparando o período de oscilação de dois pêndulos simples em um mesmo local, sendo que o pêndulo 1 possui comprimento de 120 cm e o pêndulo 2 comprimento de 30 cm, conclui-se que o período de oscilação do pêndulo 1 é ___________________ que o do pêndulo 2. Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas acima na ordem em que aparecem no texto. (A) diretamente proporcional ao comprimento – quatro vezes maior. (B) diretamente proporcional ao comprimento – duas vezes maior. (C) diretamente proporcional à raiz quadrada do comprimento – duas vezes maior. (D) diretamente proporcional à raiz quadrada do comprimento – quatro vezes maior. (E) inversamente proporcional à raiz quadrada do comprimento – duas vezes menor. 29. Considere os valores dos campos gravitacionais para planetas hipotéticos:
Planeta X Y Z W
Campo gravitacional (N/kg) 2,5 5 20 40
Admitindo que o campo gravitacional terrestre seja 10 N/kg, para qual planeta deverá ser levado um pêndulo simples de modo que seu período seja duas vezes maior que na Terra? Admita que o comprimento do fio não seja alterado. (A) X (B) Y (C) Z (D) W (E) nenhum dos mostrados na tabela. 30. Um pêndulo simples de comprimento igual a 80 cm apresenta período T quando colocado em um campo gravitacional g. Ao transladar esse pêndulo para um local onde o campo gravitacional vale g/4, é necessário _____________________ o comprimento do fio para que o período seja mantido inalterado. A alternativa que completa corretamente a lacuna do texto acima é: (A) reduzir em 60 cm (B) reduzir em 20 cm (C) reduzir em 40 cm (D) aumentar em 20 cm (E) aumentar em 40 31. A área de um hexágono regular de lado L é dada por
3L23A 2 . Se o lado do hexágono for quadruplicado, o valor da
área desse hexágono será: (A) multiplicada por 324 . (B) multiplicada por 16. (C) multiplicada por 4. (D) dividida por 324 . (E) dividida por 16.
32. A área de um triângulo equilátero é dada por 43LA 2 . Esse
mesmo triângulo, quando inscrito em uma circunferência de raio R,
estabelece com esta a seguinte relação: R23h , onde h é a altura
do triângulo e R é o raio da circunferência. Sabe-se, ainda, que o
lado desse triângulo e sua altura se relacionam por: 23Lh .
Assim, o que aconteceria com a área de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência se o raio dessa fosse reduzido à metade?
(A) Ficaria reduzida à quarta parte. (B) Ficaria reduzida à metade. (C) Duplicaria. (D) Quadruplicaria. (E) Não seria alterada. 33. O módulo do campo elétrico criado por um dipolo elétrico
quando medido sobre o eixo do dipolo é dado por 30 z
p2
1E
,
onde p é o momentum de dipolo elétrico e z é a distância do centro do dipolo ao ponto de medida do campo elétrico. O momentum de dipolo elétrico é um número intrínseco ao dipolo, sendo seu valor dado por p = q.d, onde q é o módulo das cargas elétricas das partículas e d é a distância que as separa. Os valores de e 0 são, respectivamente, aproximadamente iguais a 3,14 e 8,85.10-12 F/m. Suponha que para uma distância de 5 cm do centro do dipolo, o campo elétrico seja igual a 1,6.10-6 N/C. Nessas condições, a que distância do centro do dipolo estaria sendo medido o campo elétrico se o módulo encontrado fosse de 2,0.10-7 N/C? (A) 10 cm (B) 20 cm (C) 50 cm (D) 100 cm (E) n.d.a. 34 Considere o seguinte enunciado: “O quadrado do período de revolução de um planeta ao redor do Sol é diretamente proporcional ao cubo do raio médio de sua órbita elíptica.” O enunciado acima é o da terceira lei de Kepler. Representando por T o período e R o raio médio, uma possível expressão matemática para essa lei é: (A) T = k.R3 (B) T3 = k.R2 (C) T = k.R3/2 (D) T = k.R2/3 (E) T = k.R1/3 35. Uma grandeza A é diretamente proporcional à grandeza X. Outra grandeza, B, é diretamente proporcional ao quadrado de X. Assim, considerando apenas valores positivos, a grandeza A é: (A) diretamente proporcional a B. (B) diretamente proporcional a B2. (C) diretamente proporcional a B1/2. (D) inversamente proporcional a B. (E) inversamente proporcional a B2.
GGAABBAARRIITTOO
1-E 2-C 3-A 4-D 5-B 6-A 7-B 8-D 9-B 10-C 11-A 12-B 13-D 14-B 15-B 16-C 17-D 18-D 19-A 20-E 21-D 22-D 23-A 24-A 25-C 26-B 27-C 28-C 29-A 30-A 31-B 32-A 33-A 34-C 35-C
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