Grafi triangolati e triangolazioni di grafi M. Moscarini M. Mezzini

Grafi triangolati e triangolazioni di grafi

M. Moscarini M. Mezzini

Definizioni

Percorso in un grafo

Definizioni

1

2

3

4

5

Percorso in un grafo

Definizioni

1

2

3

4

5

Ciclo in un grafo

Definizioni

1

2

3

4

5

Corda di un ciclo o di un percorso

1

2

3

4

5

Definizioni

Grafo triangolato (o cordale)

1

2

3

4

5

Definizioni

Triangolazione di un grafo

1

2

3

4

5

Definizioni

Triangolazione di un grafo

1

2

3

4

5

Definizioni

Applicazioni dei grafi triangolati

•Basi dati: progettazione delle basi di dati

Applicazioni dei grafi triangolati

•Basi dati: progettazione delle basi di dati

•Calcolo numerico: calcolo delle soluzioni dei sistemi di equazioni lineari

Applicazioni dei grafi triangolati

•Basi dati: progettazione delle basi di dati

•Calcolo numerico: calcolo delle soluzioni dei sistemi di equazioni lineari

•Statistica: calcolo di probabilità

•Basi dati: progettazione delle basi di dati

•Calcolo numerico: calcolo delle soluzioni dei sistemi di equazioni lineari

•Statistica: calcolo di probabilità

•Intelligenza artificiale: machine learning

Applicazioni dei grafi triangolati

Schema base di dati

Studenti

Mat_Stud Nome Cognome

Appello

Codice_App Materia Data

Prenotazione

Codice_App Mat_Stud

Applicazioni dei grafi triangolati

Schema base di dati

Studenti

Mat_Stud Nome Cognome

Appello

Codice_App Materia Data

Prenotazione

Codice_App Mat_Stud

Mat_Stud Nome Cognome

Codice_App Materia Data

Ipergrafo associato allo schema

Applicazioni dei grafi triangolati

Schema base di dati

Studenti

Mat_Stud Nome Cognome

Appello

Codice_App Materia Data

Prenotazione

Codice_App Mat_Stud

Mat_Stud Nome Cognome

Codice_App Materia Data

Ipergrafo associato allo schema

Nome

Cognome

Mat_Stud

Data

Materia

Codice_App

Grafo associato allo schema

Applicazioni dei grafi triangolati

Schema base di dati

Studenti

Mat_Stud Nome Cognome

Appello

Codice_App Materia Data

Prenotazione

Codice_App Mat_Stud

Mat_Stud Nome Cognome

Codice_App Materia Data

Ipergrafo associato allo schema

Nome

Cognome

Mat_Stud

Data

Materia

Codice_App

Grafo associato allo schema

Lo schema è buono solo se il grafo associato è cordale

Applicazioni dei grafi triangolati

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

Percorso senza corde per tre vertici in grafi bipartiti

s t

v

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

Percorso senza corde per tre vertici in grafi bipartiti

s t

v

Motivazioni: •Collegato alla teoria dei grafi perfetti•Collegato alla convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

Percorso senza corde per tre vertici in grafi bipartiti

s t

v

Motivazioni: •Collegato alla teoria dei grafi perfetti•Collegato alla convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti

Risultati: •NP-Completo

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

Percorso senza corde per tre vertici in grafi bipartiti

Convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti. Dato un insieme di vertici X trovare l’involucro convesso CH(X).

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

1

4

5

3

6

2X

Convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti. Dato un insieme di vertici X trovare l’involucro convesso CH(X).

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

X1

4

5

3

6

2

Convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti. Dato un insieme di vertici X trovare l’involucro convesso CH(X).

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

CH(X)1

4

5

3

6

2

Convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti. Dato un insieme di vertici X trovare l’involucro convesso CH(X).

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

CH(X)

Motivazioni: •Collegato alla teoria delle basi di dati•Collegato alla teoria della convessità

1

4

5

3

6

2

Convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti. Dato un insieme di vertici X trovare l’involucro convesso CH(X).

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

Motivazioni: •Collegato alla teoria delle basi di dati•Collegato alla teoria della convessità

Risultati: •Algoritmo polinomiale

CH(X)1

4

5

3

6

2

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

Triangolazione minimale di un grafo

Triangolazione minimale di un grafo

1

2

3

4

5

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

1

2

3

4

5

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

Triangolazione minimale di un grafo

1

2

3

4

5

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

Triangolazione minimale di un grafo

1

2

3

4

5

Motivazioni: •Calcolo delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari•Teoria dei grafi

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

Triangolazione minimale di un grafo

1

2

3

4

5

Motivazioni: •Calcolo delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari•Teoria dei grafi

Risultati: •Algoritmo semplice e veloce quando il grafo è denso•Implementazione in C e confronto con gli algoritmi esistenti

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

Triangolazione minimale di un grafo

Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale

1

2

3

4

5

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale

1

2

3

4

5

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale

1

2

3

4

5

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale

1

2

3

4

5

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale

1

2

3

4

5

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale

1

2

3

4

5

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

Motivazioni: •Applicazioni in ambito dell’intelligenza artificiale

Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale

1

2

3

4

5

Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

Motivazioni: •Applicazioni in ambito dell’intelligenza artificiale

Risultati: •Algoritmo con O(1) per decidere se un arco può essere aggiunto od eliminato e O(n2) per modificare le strutture dati.

Attività di ricerca nell’ambito della protezionedei dati statistici

Attività di ricerca nell’ambito della protezionedei dati statistici

4

4

4

2

x1

x2 x3

x4

x5

Attività di ricerca nell’ambito della protezionedei dati statistici

4

4

4

2

x2 =3

x1 =0x4 =2

x3 =1

x5=1

Attività di ricerca nell’ambito della protezionedei dati statistici

4

4

4

2

x2 =2

x1 =1x4 =1

x3 =2

x5=1

Attività di ricerca nell’ambito della protezionedei dati statistici

4

4

4

2

x2 =2

x1 =1x4 =1

x3 =2

x5=1

Attività di ricerca nell’ambito della protezionedei dati statistici

4

4

4

2

x2 =2

x1 =1x4 =1

x3 =2

x5=1

Motivazioni: •Protezione della privacy

Risultati: •Diversi algoritmi lineari nelle dimensioni del grafo (ottimi)