View
531
Download
9
Category
Preview:
Citation preview
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
Preparado por: * Edilberto Niño N. edilbertonino@gmail.com
Página 1 de 19
CAPÍTULO 1
LA ELIPSE
En la figura 1, se muestra un dibujo de una,
teniendo en cuenta, dicha figura se puede
decir que la elipse es el lugar geométrico de
los puntos que cumplen la siguiente relación:
PF+PF=2a; donde P es cualquier punto de la
elipse, F y F´ son los llamados focos de la
elipse ver, figura 1.
Los elementos geométricos de la elipse se
enuncian a continuación:
F, F´: Focos
AA´: Eje mayor = 2a.
OA: Semieje mayor = a.
BB´: Eje menor = 2b.
OB: Semieje menor = b.
e: Excentricidad.
f: Aplanamiento.
La distancia AA´ es llamada eje mayor de la
elipse, con lo que OA = OA´ = AA´/2=a, don-
de a es el semieje mayor de la elipse.
La distancia BB´ es llamada eje menor de la
elipse, con lo que OB = OB´ = BB´/2=b.
Donde b es el semieje menor de la elipse.
De la definición de la elipse se pueden escribir
las ecuaciones (1.1) y (1.2).
Excentricidad de la elipse.
En el área de las matemáticas y la geometría
la excentricidad se entiende como el paráme-
tro que determina el grado de desviación de
una sección cónica, con respecto a una circun-
ferencia [1], en la figura 2 se muestran un
ejemplo con la excentricidad de los valores de
algunas cónicas.
La excentricidad de una circunferencia es cero (e = 0). La excentricidad de una elipse es ma-yor que cero y menor que 1. (0<e < 1). La excentricidad de una parábola es 1. (e = 1). La excentricidad de una hipérbola es mayor que 1. (e > 1). [1]
Para el caso de una Elipse, la excentricidad (e)
puede tomar valores entre cero y uno. Enton-
ces la excentricidad de la elipse depende de
que tan lejos estén los focos del centro de la
elipse, y además del valor del semieje mayor,
así que la excentricidad se expresa mediante la
ecuación 1.3.
P
F´ F
a
b
O
2a
2b
Figura 1.1. La Elipse y sus elementos geométricos
A´ A
B´
B
e=1
e=2
e=∞
e=0
e=0,5
Figura 1.2 La excentricidad de las
cónicas.
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
Preparado por: * Edilberto Niño N. edilbertonino@gmail.com
Página 2 de 19
=e. (1.3)
Si OF, tiende a cero, entonces e = cero, y los
focos estarán en el centro O, así, la elipse se
convierte en una circunferencia.
Teniendo en cuenta que OF=OF´, y
FB+F´B=2a, y como FB=F´B (ver figura 3)
entonces 2BF=2ª y por tanto BF=a.
Por definición la excentricidad está dada por
la ecuación 1.4.
Aplicando el teorema de Pitágoras, en el
triangulo OBF de la figura 3, se puede plante-
ar la ecuación 1.5.
De la ecuación 3 se tiene , y reempla-
zando este valor en la ecuación 4, tenemos.
Realizando procesos algebraicos a esta ecua-
ción tenemos:
La ecuación 1_8 se conoce como la primera
excentricidad de la elipse.
De manera similar se deriva la segunda excen-
tricidad de la elipse, la cual se muestra en la
ecuación 1_9.
El aplanamiento f, (de las iníciales del voca-
blo en ingle flat), está dado por la ecuación
1_10
.
Nota: Una elipse desde el punto de vista ge-
ométrico queda definida, cuando se conoce el
semieje mayor y el inverso del aplanamiento,
a, 1/f.
Ejemplo: La elipse que genera el Elipsoide de
Referencia Geodésico GRS80, tiene paráme-
tros geométricos básicos, los siguientes:
a=6378137 m
f= 1/298,2572221008827.
Otros parámetros de una elipse:
Excentricidad lineal [2].
Radio de curvatura polar [2].
Figura 1.3 Elementos Geométricos
básicos de la Elipse
c c
F´ F O A
P=B
a b
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
Preparado por: * Edilberto Niño N. edilbertonino@gmail.com
Página 3 de 19
Ecuación de la Elipse en un plano X, Y.
Se requiere hallar una expresión matemática
que permita describir una elipse en un plano
XY.
De la figura 1.4, se toman los triángulos
F´PM, y FMP, aplicando el teorema de Pitá-
goras para dichos triángulos tenemos:
Para el triangulo: F´PM.
Para: FMP.
Se toma la ecuación 1, y se reemplaza en ésta,
los términos de la derecha de las ecuaciones
1.10 y 1.11, resultando la siguiente ecuación.
Transponiendo el primer termino de la dere-
cha en la ecuación 1.13, y elevando todo al
cuadrado, tenemos:
,
,
Expandiendo los trinomios cuadrados, tene-
mos:
Agrupando y suprimiendo términos tenemos:
,
Eliminando el número 4 y transponiendo
términos se tiene:
Elevando al cuadrado a ambos lados de la
ecuación tenemos.
,
Extendiendo los trinomios cuadrados y reali-
zando operaciones tenemos:
,
Suprimiendo términos tenemos:
,
Transponiendo términos tenemos:
,
Agrupando términos se tiene:
,
De la ecuación 3 se tiene que:
, por tanto la ecuación 1.14
de convierte en:
,
F´ F O
Figura 1.4. Elipse en un plano XY
X
P(x, y) Y
x
y
c c
a
b
M
c
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
Preparado por: * Edilberto Niño N. edilbertonino@gmail.com
Página 4 de 19
Y dividiendo por a ambos lados de la
ecuación tenemos:
Simplificando tenemos la ecuación de la elip-
se con focos en los puntos F´(0, -x) y F(0, x),
eje mayor 2a, y, eje menor 2b, figura 4, la cual
se muestra en la ecuación 1.15:
EJERCICIOS 1.1:
1. Calcular los parámetros (e, e´, b, f, E y p´,
de las elipses con semieje mayor (a) igual a
los números n, con n perteneciendo a los
divisores propios de los números amigos1
(220, 284). Y c =n1/3, siendo n1, igual a
los números primos impares y menores a
41.
2. Dibujar 2 elipses, ayudándose con una
cuerda, dos tachuelas, un lápiz y una regla.
Comprobar empíricamente las ecuaciones
1 y 2.
3. Investigar el valor de los parámetros ge-
ométricos de la elipse generadora del elip-
soide de Hayford o elipsoide internacional.
4. Investigar el valor de los parámetros ge-
ométricos de la elipse generadora del elip-
soide GRS80.
CAPÍTULO 2
El desarrollo de la geometría de la elipse y del
elipsoide, es una herramienta fundamental en
la conceptualización, desarrollo y aplicación
de la geodesia geométrica.
El Elipsoide de Revolución
Al hacer girar una elipse sobre uno de sus
ejes a, ó, b, (figura 2.1) cada fracción infini-
1 Dos números amigos son dos enteros positivos a y b
tales que a es la suma de los divisores propios de b y b es la suma de los divisores propios de a.
tesimal (muy pequeña) de giro, genera una
nueva elipse, con orientación distinta a la
anterior, ver figura 2.2. La suma de estas elip-
ses da como resultado una superficie denomi-
nada Elipsoide Revolución.
O
Figura 2-1. Elipse
X
Y
a
b
Figura 2-3. Superficie del elipsoide
X
Y
P1(x, y)
O
Figura 2-2. Elipsoide de revolución
X
Y
a
b
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
Preparado por: * Edilberto Niño N. edilbertonino@gmail.com
Página 5 de 19
Sobre la superficie del elipsoide de revolución
se ubican “n” puntos. A fin de explicitar las
coordenadas X, Y de un punto sobre el elip-
soide, decimos que por cada punto sobre la
superficie del elipsoide pasa una elipse, como
se muestra en la figura 2.3.
La Elipse Meridiana.
La elipse que pasa por cada punto de la super-
ficie del elipsoide, se le denomina elipse me-
ridiana. Ver figura 2-4.
Coordenadas Geográficas Latitud y Longi-
tud.
Los elementos vistos hasta acá, nos permite
introducir el concepto más importante y estu-
diado en la geodesia y sobre el cual descansa
el desarrollo de las ciencias cartográficas,
topográficas, y en general todas las disciplinas
que están involucradas en la Geomática y las
disciplinas que tienen que ver con las ciencias
de la tierra, e indirectamente con el desarrollo
espacial, las comunicaciones y en general la
vida cotidiana del hombre moderno.
Ese concepto es el de las coordenadas geográ-
ficas Latitud y Longitud. A continuación se
desarrolla lo referente a la latitud, en razón de
que geométricamente es un poco complejo su
conceptualización y su desarrollo matemático
sobre el elipsoide.
Cuando se trata de definir una magnitud en
topografía o geodesia se debe tener muy pre-
sente el siguiente principio: Cuando se va a
realizar una medición se debe siempre reali-
zar las siguientes tres preguntas básicas, des-
de donde mido, sobre que mido y hasta donde
mido.
Latitud
En general la Latitud de un punto es el arco
medido desde el ecuador terrestre sobre el
meridiano o la meridiana que pasa por el pun-
to, hasta el punto.
Como se ve en la grafica (2.5) un punto en la
vida real no está sobre la superficie ideal elip-
soidal, sino que está en la superficie amorfa lo
que se denomina la topografía, es decir el
paisaje sobre el cual nos movemos.
Como esta superficie es completamente amor-
fa, sobre ella no es posible realizar cálculos
matemáticos ni geodésicos, todos los cálculos
se realizan es sobre la superficie del elipsoide.
De acuerdo a lo que se ve en la figura 2.6, por
un punto que este sobre la superficie terrestre
pasan tres verticales, dependiendo a cual su-
perficie se quiere referir dicho punto. Así
mismo se generan ángulos distintos de latitud.
Geoide
Elipsoide
Topografía
P(x, y)
Figura 2.5 Superficies fundamentales en los
estudios geodésicos
O
Figura 2.4. Elipse Meridiana del punto p(x,y)
X
Y
a
b
P(x,y)
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
Preparado por: * Edilberto Niño N. edilbertonino@gmail.com
Página 6 de 19
Latitud geodésica : Es el ángulo que for-
ma la vertical al elipsoide con el plano del
ecuador, como se observa en la figura 2-6.
Latitud reducida : Es el ángulo en el cen-
tro de la circunferencia tangente a la elipse en
los extremos del eje mayor (2a) formado entre
el ecuador y el radio de la circunferencia que
va al punto interceptado en ella por la línea
recta perpendicular al semieje mayor de la
elipse que pasa por el punto en consideración,
como se ve en la figura 2.8. Se denomina
también latitud paramétrica o latitud geomé-
trica.
Latitud Geocéntrica : Es el ángulo en el
centro de la elipse entre con el plano del ecua-
dor y el radio geocéntrico del punto en consi-
deración. Como se ve en la figura 2.9.
Relación entre la latitud Geocéntrica y la
latitud reducida.
Geoide Elipsoide
Topografía P(x, y)
Vertical al Geoide
Vertical al Elipsoide
Figura 2.6. Verticales que se generan en un
mismo punto sobre la superficie terrestre.
Figura 2.8 Latitud Reducida
Y
O
X
P
Figura 2.9 Latitud Geocéntrica
Y
O
X
P
Y
O X
P
A
B Q
Figura 2-7. Latitud geodésica
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
Preparado por: * Edilberto Niño N. edilbertonino@gmail.com
Página 7 de 19
Relación entre la latitud Geodésica y la lati-
tud reducida.
Longitud Geodésica.
Longitud geodésica de un punto es el ángulo
formado por el plano meridiano geodésico
(elipse meridiana) del punto y el plano meri-
diano geodésico origen o meridiano de Gre-
enwich, se mide sobre el ecuador terrestre,
positiva al este de Greenwich y negativa al
oeste de Greenwich, ver figura 2.10.
Coordenadas Rectangulares X Y de un punto
sobre la Elipse.
A cada punto sobre la elipse meridiana le
corresponde unas coordenadas X, Y, las cua-
les están en función de la latitud geodésica y
los parámetros geométricos de la elipse. A
continuación se derivan la métrica de dichas
coordenadas.
De la figura 2.7, se deduce que la línea AB, es
la tangente a la elipse meridiana en un punto
P(x, y), de la gráfica tenemos que el ángulo
que forma la tangente con el ecuador es
, así, se puede plantear la siguiente
ecuación.
De la ecuación 1.13, conocida como la ecua-
ción de la elipse.
Derivando parcialmente, la ecuación de la
elipse respecto a y, tenemos:
Igualando las ecuaciones 2.5 con 2.6, se tiene:
Sustituyendo el término de la ecuación
1.6, tenemos:
O
Figura 2.10. Longitud Geodésica
E
Z
W
Meridiano
Origen
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
Preparado por: * Edilberto Niño N. edilbertonino@gmail.com
Página 8 de 19
Tomando la ecuación de la elipse y reempla-
zando la ecuación 2.7 en la tenemos.
Desarrollando la ecuación 2.7, a fin de obte-
ner una ecuación de X en función de , a y
Se factoriza ,
Reemplazando en la ecuación 2.6, la ecuación
2.8, tenemos:
Así, las ecuaciones 2.8 y 2.9 permiten obtener
las coordenadas x, y sobre la elipse meridiana
teniendo en cuanta una latitud geodésica dada
y los parámetros geométricos de la elipse.
Elipsoide GRS80.
En la figura 2.11a se muestra una elipse
y en la 2.11b se muestra un elipsoide de
revolución.
Características del elipsoide
El semieje mayor de la elipse coincide
con el plano del ecuador terrestre y el se-
mieje menor coincide con el eje de rota-
ción medio de la tierra. Siendo el elipsoide
la figura adecuada para realizar cálculos y
mediciones es comprensible que a través
de la historia se hayan determinado y uti-
lizado diferentes elipsoides, algunos de los
más importantes se enuncian en la tabla 1.
Ahora bien, desde el punto de vista ge-
ométrico, un elipsoide queda determinado
O
X
a
b
Y
Z
Figura 2.11 El Elipsoide
a b
a b
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
Preparado por: * Edilberto Niño N. edilbertonino@gmail.com
Página 9 de 19
con el valor del semieje mayor (a) y el
achatamiento2 (f),
Para cálculos geodésicos de precisión o
en sistemas de referencia de altas especifi-
caciones un elipsoide se define desde el
punto de vista físico y geométrico, en es-
tos casos en su definición intervienen los
parámetros que se enuncian en la tabla 1,
en ésta misma se muestran los parámetros
del elipsoide GRS80, utilizado en el Mar-
co de Referencia en Colombia.
Tabla 1. Parámetros del elipsoide GRS80
Nombre del
parámetro
Modelo matemá-
tico Símbolo y Valor
Semieje mayor Constante a=6378137 m
Velocidad de rotación
angular
Constante W=7292115E11 rad/s
Constante
gravitacional Constante GM=3896005E8 m3/s
Factor de aplanamiento
dinámico
Constante J2=108263E-8
Primera excen-
tricidad
Cálculo iterativo a partir de
a,GM,J2,W
e2 = 0.00672267002233
Segunda
excentricidad e´2 = (e2/1-e2) e´2 = 0.0067394967754
Semieje Menor b=a(1-e2)1/2 b=6356752,31414 m
Factor de aplanamiento
Geométrico
f=(a-b)/a f = 1/298,2572221008827
EJERCICIOS 2.1:
Utilizando los parámetros geométricos de
la elipse generadora del elipsoide GRS 80,
que son los siguientes:
2 El achatamiento está definido por f=(a-b)/a, donde a y b son
los semiejes mayor y menor respectivamente.
a =6378137 m
f = 1/298,2572221008827,
e2 = 0.00672267002233
Calcular las coordenadas X, Y sobre dicha
elipse, para los siguientes valores de latitud
geodésica:
(0,2)
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
Preparado por: * Edilberto Niño N. edilbertonino@gmail.com
Página 10 de 19
RADIOS PRINCIPALES DE LA ELIPSE
MERIDIANA.
El radio de curvatura de una línea curva
o un objeto aproximable mediante una
curva es una magnitud geométrica que
puede definirse en cada punto de la mis-
ma, que coincide con el inverso de la cur-
vatura en cada punto:
Por otro lado la curvatura es una medida
del cambio que sufre la dirección del vec-
tor tangente a una curva cuando nos mo-
vemos a lo largo de ésta.
En la figura 2.11, la recta QP, se denomina la
gran normal, es el mayor de los posibles ra-
dios de curvatura de la elipse meridiana en el
punto en consideración, así mismo de dicha
figura se deduce que:
.
Tomando la ecuación 2.8 y para reemplazar el
término x en la ecuación 2.10, se tiene:
La ecuación 2.11, permite el cálculo del radio
mayor de la elipse meridiana en un punto
dado, en función de la latitud geodésica y los
parámetros geométricos de la elipse meridia-
na.
Radio de la sección normal meridiana.
El otro radio de gran importancia en geodesia
geométrica es el llamado radio meridiano de
la primera vertical, se denota con la letra grie-
ga .
Antes de abordar la derivación del radio de
curvatura de la sección normal meridiana.
Curvatura y vectores normales.
Veamos como varia un vector unitario tan-
gente T al desplazarse el punto P sobre la
curva. Por supuesto, la longitud de T es cons-
tante, ya que es igual siempre a la unidad.
Pero su dirección varía, puesto que es tangen-
te a la curva y la dirección de la tangente
cambia de punto a punto, salvo que la curva
sea una recta. [5].
Movimiento en un plano.
Determinando la dirección de T por medio
del ángulo ϕ, que forma la tangente a la cur-
va con el eje X (figura 2.12) la derivada de
este ángulo de pendiente ϕ, respecto de la
longitud del arco s (expresad en radianes por
unidad de longitud), se toma como la defini-
Y
O X
P(x, y)
A
B Q
x
y
Figura 2.11 Esquema de la Gran Normal
M
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
Preparado por: * Edilberto Niño N. edilbertonino@gmail.com
Página 11 de 19
ción matemática de la curvatura en el punto
P. y suele designarse con la letra griega k
(Kappa); de modo que:
En donde
Seguidamente se obtiene la ecuación de radio
meridiano de la primera vertical.
De la figura 2.12 tenemos que:
Como ds se supone un arco infinitesimal, se
puede asimilar a una recta, por tanto,
De otra parte la tangente del ángulo se ex-
presa mediante:
Derivando la ecuación 2.15 respecto a x, te-
nemos:
Se tiene que
Tomando la ecuación 2.12 y multiplicando y
dividiendo por dx en el término derecho de la
ecuación, tenemos:
Tomado la ecuación 2.13 y dividiendo a cada
lado de la ecuación por dx, tenemos
Simplificando al interior del radical se tiene:
Reemplazando en la ecuación 2.17, las ecua-
ciones 2.16 y 2.19, tenemos:
Y
O
X
ds
Figura 2.12. Esquema del radio de la primera
vertical
Y
O
X
Figura 2.12a. Radio de curvatura de una
curva
P0 s
P
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
Preparado por: * Edilberto Niño N. edilbertonino@gmail.com
Página 12 de 19
Haciendo producto de medios y extremos
tenemos
Agrupando el numerador,
Tomando la ecuación 2.4, y derivando se
tiene
Luego se debe hallar el valor de
, para
ello tomamos la ecuación 2.9 y derivamos
Eliminado el 2, y agrupando , enviando
el radical negativo al denominador, tenemos
Sacando común divisor y factorizando
, tenemos:
Agrupando el numerador y haciendo producto
de medios y producto de extremos tenemos.
Factorizando , y sabiendo que y sacando el signo menos del
paréntesis, tenemos:
Transponiendo términos tenemos,
Reemplazando esta ecuación en la ecuación
2.24, se tiene:
Reemplazando en el denominador de la ecua-
ción 2.22, se tiene:
Reemplazando por su equiva-
lente y efectuando producto de
medios y extremos, tenemos
Como
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
Preparado por: * Edilberto Niño N. edilbertonino@gmail.com
Página 13 de 19
Simplificando en el numerador se tiene final-
mente la ecuación del Radio de curvatura de
la sección normal meridiana
El radio de curvatura de la sección normal
meridiana puede definirse también como el
radio de curvatura que presenta el elipsoide en
un punto de latitud en la dirección de aci-
mut 0o ó 180
o.
RADIOS MEDIOS DE CURVATURA
Radio de curvatura de una sección normal
cualquiera.
Euler demostró que si las líneas coordenadas
son perpendiculares entre sí, en un punto dado
y coincidentes con las direcciones principales,
el radio de curvatura de una sección normal
cualquiera se puede escribir en función de los
radios de curvatura de las secciones normales
principales mediante la fórmula de Euler.
Siendo el acimut de la sección normal con-
siderada. Otra forma de expresarlo es
Radio medio.
Se denomina curvatura media de una superfi-
cie en un determinado punto a la semisuma de
las curvaturas de las secciones normales prin-
cipales.
El correspondiente radio medio vale por tanto
Radio medio de Gauss.
Se define el radio medio de Gauss como la
media aritmética de los radios de curvatura de
las infinitas secciones normales de un punto.
Es decir:
La esfera de radio RG es una esfera tangente al
elipsoide en el punto considerado y se emplea
en ocasiones como aproximación al elipsoide.
EJERCICIOS 2.2:
Teniendo en cuenta los parámetros de la elip-
se generadora del elipsoide GRS 80,
a =6378137 m
f = 1/298,2572221008827,
e2
= 0.00672267002233
e´2 = 0.00673949677548
b =6356752.31414 m
2.2.1). Un satélite se encuentra a una altura hs
sobre la superficie terrestre en un punto con
Si la coordenada x de
dicho satélite es igual al semieje mayor del
elipsoide GRS80, encontrar: a) Radio de cur-
vatura de la elipse meridiana, b) Radio de
curvatura de la primera vertical (gran normal),
del punto sobre la superficie terrestre, c) coor-
denadas (x, y) del satélite, d) altura (h) del
satélite.
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
Preparado por: * Edilberto Niño N. edilbertonino@gmail.com
Página 14 de 19
2.2.2) Calcular las coordenadas X, Y, y
sobre dicha elipse para los siguientes valores
de latitud:
2.2.3). Calcular los valores de y sobre la
elipse generadora del elipsoide GRS80, para
los valores de latitud de cero a noventa gra-
dos, cada diez grados, realizar la grafica de los
dos radios principales y realizar el análisis
cuantitativo y cualitativo de los valores obte-
nidos y de la grafica.
2.2.4). Calcular los valores de y
sobre la elipse generadora del elipsoide
GRS80, para los valores de latitud de cero a
noventa grados, cada 15 grados, con valor de
azimut de 45º. Realizar la grafica comparativa
y realizar el análisis cuantitativo y cualitativo
de los radios medios.
CAPÍTULO 3
Coordenadas Cartesianas Geocéntricas elip-
soidales (X,Y,Z)
Las coordenadas cartesianas geocéntricas
elipsoidales (x, y, z), para un punto cualquiera
sobre la superficie terrestre vienen dadas por
la siguiente métrica, donde los parámetros son
de la figura 2.13, es posible derivar dicha
métrica:
h= altura del punto desde la superficie del
elipsoide.
x= Coordenada X geocéntrica del punto P
y= Coordenada Y geocéntrica del punto P
z= Coordenada Z geocéntrica del punto P
Para un punto sobre el elipsoide.
ecuación 3-1
Para un punto a una altura dada (h), sobre el
elipsoide
ecuación 3-2
Así, mismo se derivan
ecuación 3-3
ecuación 3-4
O
Figura 2-13. Coordenadas rectangulares X, Y, Z
geocéntricas
Y
Z
X Y
X
Z
γ
P(X,Y,Z)
h
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
Preparado por: * Edilberto Niño N. edilbertonino@gmail.com
Página 15 de 19
ecuación 3-5
EJERCICIOS 3_1:
Teniendo en cuenta los parámetros de la elip-
se generadora del elipsoide GRS 80,
a =6378.137 km
f = 1/298,2572221008827
e2 = 0.00672267002233
e´2 = 0.00673949677548
b =6356.75231414 km
Resolver los siguientes ejercicios:
3.1.1). Calcular las coordenadas X, Y, Z para
el punto sobre la superficie elipsoidal que
tiene coordenadas elipsoidales:
h= 2620 m
3.1.2). Calcular las coordenadas , , h para
el punto sobre la superficie elipsoidal que
tiene coordenadas cartesianas geocéntricas:
X=1744890.24 m
Y= - 6116370.86 m
Z= 507899.216 m.
3.1.3). Suponiendo la tierra un modelo episó-
dico con parámetros de GRS80, y un satélite
artificial con órbita polar. Calcular:
a) La altitud del satélite sobre el polo norte,
para un observador ubicado en un punto de
latitud .
b) La altitud del satélite sobre el polo norte,
para un observador ubicado en un punto de
latitud .
c) La superficie terrestre observada desde la
posición del satélite (considerando el área
del elipsoide aproximada a la esfera local o
casquete esférico)
CAPITULO 4.
Reducción de distancias
Reducción al plano del horizonte local
La distancia reducida al plano tangente al
horizonte local viene dada por la ecuación 4-
1.
En terminología topográfica esta distancia se
suele llamar simplemente distancia reducida.
En la figura 3-1 es evidente que la distancia
reducida al plano tangente al horizonte local
del punto de estación no tiene porqué coinci-
dir con la distancia reducida al horizonte del
punto visado.
En los levantamientos topográficos se suelen
considerar las verticales paralelas. En ese
supuesto, la distancia reducida entre dos pun-
tos es independiente de la altitud considerada
y basta con emplear la expresión 4-1. En rea-
lidad las verticales convergen y por tanto, la
distancia reducida entre dos puntos depende
de la altitud considerada. Para evitar ambi-
güedades y variaciones de escala, es necesario
reducir todas las distancias a una altitud
común.
Lo lógico es reducir al elipsoide, ya que es la
superficie de referencia. En determinadas
aplicaciones no geodésicas puede interesar,
por el contrario, reducir al horizonte medio
local.
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
Preparado por: * Edilberto Niño N. edilbertonino@gmail.com
Página 16 de 19
Reducción al horizonte local
El plano tangente al horizonte local es una
aproximación del horizonte local. De la figura
3-1, se deduce:
Siendo:
y sustituyendo, tenemos:
Teniendo en cuenta que las visuales suelen ser
prácticamente horizontales, el suponer que
conduce a errores relativos menores
de 1 ppm. Si además se considera un radio
terrestre constante para la zona de trabajo, se
llega a la expresión que suelen aplicar las
estaciones totales.
Shl: distancia reducida al horizonte local
R0 radio terrestre aproximado 6.371,137 km
D: distancia geométrica medida
β: ángulo cenital medido
Reducción al geoide
Como las verticales convergen, la distancia
horizontal depende de la altitud considerada.
Si se dispone únicamente de altitudes ortomé-
tricas, la altitud H = 0 corresponde al geoide,
por lo que solamente se podrán reducir las
distancias al nivel del mar.
Como puede apreciarse en la figura 4_1, la
distancia reducida al horizonte local y la dis-
tancia reducida al geoide pertenecen a figuras
semejantes, por lo que se establece la relación
Esta ecuación conduce fácilmente a:
Que pone de manifiesto que ambas distancias
están relacionadas por el factor de escala
Dr
Shl
Sg
Se
Horizonte
local
Geoide
Elipsoide
R
h
H
N
D
Figura 4-1. Reducción de distancias mediante
pasos sucesivos
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
Preparado por: * Edilberto Niño N. edilbertonino@gmail.com
Página 17 de 19
En pequeños trabajos de ámbito topográfico
puede adoptarse un valor constante de 3-8
para toda la zona de actuación, considerando
una altitud promedio.
Reducción al elipsoide.
En la actualidad es factible el acceso a mode-
los de ondulación de geoide y mediante la
ecuación 3-9, es posible manejar tanto altitu-
des ortométricas como elipsoídicas.
Conocida la altitud elipsoidal del punto de
estación, la distancia reducida al elipsoide se
obtiene a partir de la distancia reducida al
horizonte local mediante la ecuación 3-10.
También se puede obtener a partir de la dis-
tancia reducida al geoide mediante la ecuación
3-11
En este caso ambas distancias están relaciona-
das por el factor de escala, como se muestra
en la ecuación 3-12.
EJERCICIOS 3_1:
Teniendo en cuenta los parámetros de la elip-
se generadora del elipsoide GRS80,
a =6378137 m
f = 1/298,2572221008827
e2 = 0.00672267002233
e´2 = 0.00673949677548
b =6356752,31414 m
Resolver los siguientes ejercicios:
Entre dos puntos P1, P2, de altitudes aproxima-
das h1=557 m, h2=945 m, se ha medido la
distancia geométrica de 6545.53 m. Obtener la
distancia reducida al elipsoide para el cálculo
de coordenadas. (φ = = 04°35'46,32150",
latitud de la zona media y ).
CAPITULO 5.
CURVAS SOBRE EL ELIPSOIDE DE RE-
VOLUCIÓN
Plano Normal:
Se denominan plano normal de un punto a
aquel que contiene a la normal al elipsoide en
dicho punto.
De los infinitos planos normales de un punto
del elipsoide existen dos de especial relevan-
cia. Uno es el que contiene el semieje menor
del elipsoide, denominado plano meridiano y
el otro, perpendicular a plano meridiano de-
nominado primer vertical.
Plano normal Meridiano:
El que contiene al eje menor del elipsoide se
denomina plano meridiano.
Plano normal perpendicular:
Es aquel plano que es perpendicular al plano
meridiano, se denomina también primer verti-
cal y contiene la gran normal.
Sección Normal
Es aquella curva plana formada al interceptar
un plano normal cualquiera con la superficie
del elipsoide. En general se denominan sec-
ciones normales las curvas que resultan de la
intersección de los planos normales con el
elipsoide,
Cada sección normal tendrá un radio de cur-
vatura diferente. El radio de curvatura mínimo
y máximo lo producen las secciones normales
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
Preparado por: * Edilberto Niño N. edilbertonino@gmail.com
Página 18 de 19
principales, que son las definidas por el plano
meridiano y por el primer vertical respectiva-
mente. A dichas secciones se las denomina
secciones normales principales, ver figura5-1.
La sección normal meridiana en un punto es la
intersección de su plano meridiano con el
elipsoide y su radio de curvatura ( es el
mínimo de todas las posibles secciones nor-
males.
La sección normal del primer vertical en un
punto es la intersección de su primer vertical
con el elipsoide y su radio de curvatura ( es
el máximo de todas las posibles secciones
normales
Secciones Normales Mutuas
Tomando sobre la superficie del elipsoide de
revolución los puntos i y j como se muestra en
la figura 5-2, con latitudes y respecti-
vamente, con mayor que .
Trazando las normales a la superficie del
elipsoide en los puntos i y j, estas norma-
les están contenidas en los planos de las
elipses meridianas que pasan atreves de
los puntos i y j, y se interceptan con el eje
menor PP´ de la elipse, en los puntos Qi y
Qj, respectivamente. Las normales de los
puntos i y j se interceptan en distintos
puntos con el eje PP´, como se muestra a
continuación, de la figura 5-2 se tiene:
Y
;
De la figura 5-2, se tiene:
De otra parte la distancia entre el origen del
elipsoide y el punto Qi, se puede expresar
como: ,
Plano primer vertical
Plano meridiano
Superficie Elipse
Meridiano
Paralelo P
Normal al Elipsoide
Figura 5-1. Planos: meridiano y primer vertical
P
Qi
Qj
O
Figura 5-2. Secciones normales mutuas
E W
ij
i
j
ji
P´
Qi
i´
Qj
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
Preparado por: * Edilberto Niño N. edilbertonino@gmail.com
Página 19 de 19
De manera análoga se tiene para la distancia
OQi, que:
Por definición se tiene , por tanto:
OQj > OQi, es decir, la normal a la superficie
del elipsoide, trazada en el punto i el cual
posee menor latitud que el punto j, corta el eje
menor del elipsoide más cerca al centro del
elipsoide que la normal al punto j.
De esta forma las normales a la superficie del
elipsoide en los puntos i y j, son dos rectas
que se cruzan en el espacio, pero que no se
cortan (se cortaran únicamente si pertenecen a
la misma elipse meridiana o en el mismo para-
lelo).
Si se traza un plano a través de los puntos i-Qi
y j, es evidente que este plano contiene la
línea i Qi, este plano es normal en el punto i,
como se muestra en la figura 5-3. El plano i-
Qi-j, engendra la curva ij la cual se llama
sección normal directa desde el punto i al
punto j. De manera similar si se traza un plano
a través de los puntos j-Qj e i, es evidente que
este plano contiene la línea j Qj, este plano es
normal en el punto j, como se muestra en la
figura 5-4. El plano j-Qj-i, engendra la curva
ji la cual se llama sección normal directa
desde el punto j al punto i.
Por lo tanto, entre los dos puntos i y j, situa-
dos sobre la superficie del elipsoide pasan dos
secciones normales, así, las curvas ij y ji se
denominan secciones normales reciprocas
inversas.
De la misma forma si se tiene un punto tercer
punto “k” se puede realizar el mismo análisis,
se tiene entonces las secciones normales ik, ki,
jk y kj; como se observa en la grafica 5-5, está
representa un triangulo esférico sobre la su-
perficie del elipsoide, se puede deducir de esta
la manera como se observaran los ángulos
esféricos en los diferentes vértices.
P
Qi
Qj
O
Figura 5-3. Sección normal de i a j
E W
ij
i
j
ji
P´
P
Qi
Qj
O
Figura 5-4. Sección normal de j a i
E W
ij
i
j
ji
P´
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
Preparado por: * Edilberto Niño N. edilbertonino@gmail.com
Página 20 de 19
Los ángulos desde luego son medidos desde
un punto sobre las secciones normales que se
generan desde cada uno de los puntos al dar
visual a los otros dos puntos como se observa
en la figura 5-5. “No es difícil observar que
los ángulos horizontales medidos en los tres
puntos, no formen sobre la superficie del elip-
soide, un triangulo cerrado”[4], es decir el
triangulo será una figura abierta, y generará
una indeterminación en la formación de los
triángulos geodésicos sobre el elipsoide. Lo
anterior se soluciona si los puntos i, j y k se
unan con Líneas Geodésicas.
LÍNEA GEODÉSICA
Definición: De todas las posibles curvas
que unen dos puntos en una superficie, se
define como línea geodésica aquella que
produce la mínima distancia.
Por ejemplo, sobre un plano la línea geodésica
sería una recta y sobre una esfera lo sería un
arco de círculo máximo. Para casos más gene-
rales, como el del elipsoide de revolución, se
ha de buscar aquella curva que localmente
produzca la distancia más corta.
Para un entorno diferencial, es posible
aproximar la superficie por un plano. En dicho
plano, la distancia más corta es la que produce
una línea recta. Por tanto, una línea geodésica
siempre ha de cumplir que, sea cual sea la
superficie considerada, la proyección de un
entorno diferencial de la misma sobre el plano
tangente a la superficie ha de ser una recta.
Por tanto, otra definición para la línea geodé-
sica es la siguiente.
i
j
k
ij
ji
ik
ki
kj jk
Figura 5-5. Triangulo sobre la elipse,
formado por secciones normales
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
Preparado por: * Edilberto Niño N. edilbertonino@gmail.com
Página 21 de 19
Notas Bibliográficas:
[1]. http://es.wikipedia.org .
[2]. Asenjo Villamayor, Luis García -
Hernández López, David. Universidad Po-
litécnica de Valencia. Geodesia - 2003 - 530
páginas
[3].José Raúl Ramírez Pinillos. Geodesia
Geométrica.
[4].P. S. Zakatov, Curso de Geodesia Supe-
rior.
[5].Thomas, Cálculo Infinitesimal y Geometr-
ía Analítica.
Recommended