View
137
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
Gaussian Elimination
CXA
Merupakan salah satu teknik paling populer dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dalam bentuk:
Terdiri dari dua step
1. Forward Elimination of Unknowns.
2. Back Substitution
Forward Elimination
112144
1864
1525
Tujuan Forward Elimination adalah untuk membentuk matriks koefisien menjadi Upper Triangular Matrix
7.000
56.18.40
1525
Forward Elimination
Persamaan linear n persamaan dengan n variabel yang tak diketahui
11313212111 ... bxaxaxaxa nn
22323222121 ... bxaxaxaxa nn
nnnnnnn bxaxaxaxa ...332211
. . . . . .
Contoh
83125
12312
71352
21232
8325
1232
7352
2232
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
matriks input
Forward Elimination
83125
12312
71352
21232
32162
190
13140
92120
12112
31
'14
'4
'13
'3
'12
'2
1'1
5
2
2
2
RRR
RRR
RRR
RR
32162
190
13140
92120
12112
31
415994
500
1973002
912110
12112
31
'14
'4
'23
'3
2'2
1'1
219
4
2
RRR
RRR
RR
RR
Forward Elimination
12572
12143000
319
37100
2912
110
12112
31
'34
'4
3'3
2'2
1'1
45
3
RRR
RR
RR
RR
415994
500
1973002
912110
12112
31
12572
12143000
319
37100
2912
110
12112
31
1435721000
319
37100
2912
110
12112
31
121434'
4
3'3
2'2
1'1
RR
RR
RR
RR
Back substitution
4143
5723
193
72
92
1
121
23
4
4
43
432
4321
x
x
xx
xxx
xxxx
Gauss - Jourdan
39743
22342
15231
6150
8120
15231
'13
'3
'12
'2
1'1
3
2
RRR
RRR
RR
142700
42110
152101
'23
'3
2'2
'21
'1
5
2
3
RRR
RR
RRR
6150
8120
15231
142700
42110
152101
4100
2010
1001
273'
3
'32
'2
'31
'1
212
1
RR
RRR
RRR
Warning..
Dua kemungkinan kesalahan
-Pembagian dengan nol mungkin terjadi pada langkah forward elimination. Misalkan:
- Kemungkinan error karena round-off (kesalahan pembulatan)
655
901.36099.23
7710
321
321
21
xxx
xxx
xx
Contoh
Dari sistem persamaan linear
515
6099.23
0710
3
2
1
x
x
x
6
901.3
7
=
Akhir dari Forward Elimination
1500500
6001.00
0710
3
2
1
x
x
x
15004
001.6
7
=
6
901.3
7
515
6099.23
0710
15004
001.6
7
1500500
6001.00
0710
Kesalahan yang mungkin terjadi
Back Substitution
99993.015005
150043 x
5.1 001.0
6001.6 32
x
x
3500.010
077 321
xxx
15004
001.6
7
1500500
6001.00
0710
3
2
1
x
x
x
Contoh kesalahan
Bandingkan solusi exact dengan hasil perhitungan
99993.0
5.1
35.0
3
2
1
x
x
x
X calculated
1
1
0
3
2
1
x
x
x
X exact
Improvements
Menambah jumlah angka pentingMengurangi round-off error (kesalahan
pembulatan)
Tidak menghindarkan pembagian dengan nol
Gaussian Elimination with Partial PivotingMenghindarkan pembagian dengan nol
Mengurangi round-off error
Pivoting
pka ,npk
Eliminasi Gauss dengan partial pivoting mengubah tata urutan baris untuk bisa mengaplikasikan Eliminasi Gauss secara Normal
Bagaimana caranya ?
Di awal sebelum langkah ke-k pada forward elimination, temukan angka maksimum dari:
nkkkkk aaa .......,,........., ,1
Jika nilai maksimumnya Pada baris ke p,
Maka tukar baris p dan k.
Partial Pivoting
What does it Mean?Gaussian Elimination with Partial Pivoting ensures that each step of Forward Elimination is performed with the pivoting element |akk| having the largest absolute value.
Jadi,
Kita memeriksa pada setiap langkah apakah angka paling atas (pivoting element) adalah selalu paling besar
Partial Pivoting: Example
655
901.36099.23
7710
321
321
21
xxx
xxx
xx
Consider the system of equations
In matrix form
515
6099.23
0710
3
2
1
x
x
x
6
901.3
7
=
Solve using Gaussian Elimination with Partial Pivoting using five significant digits with chopping
Partial Pivoting: Example
Forward Elimination: Step 1
Examining the values of the first column
|10|, |-3|, and |5| or 10, 3, and 5
The largest absolute value is 10, which means, to follow the rules of Partial Pivoting, we don’t need to switch the rows
6
901.3
7
515
6099.23
0710
3
2
1
x
x
x
5.2
001.6
7
55.20
6001.00
0710
3
2
1
x
x
x
Performing Forward Elimination
Partial Pivoting: Example
001.6
5.2
7
6001.00
55.20
0710
3
2
1
x
x
x
Forward Elimination: Step 2
Examining the values of the second column
|-0.001| and |2.5| or 0.0001 and 2.5
The largest absolute value is 2.5, so row 2 is switched with row 3
5.2
001.6
7
55.20
6001.00
0710
3
2
1
x
x
x
Performing the row swap
Partial Pivoting: Example
Forward Elimination: Step 2
Performing the Forward Elimination results in:
002.6
5.2
7
002.600
55.20
0710
3
2
1
x
x
x
Partial Pivoting: Example
002.6
5.2
7
002.600
55.20
0710
3
2
1
x
x
x
Back Substitution
Solving the equations through back substitution
1002.6
002.63 x
15.2
55.2 22
xx
010
077 321
xxx
Partial Pivoting: Example
1
1
0
3
2
1
x
x
x
X exact
1
1
0
3
2
1
x
x
x
X calculated
Compare the calculated and exact solution
The fact that they are equal is coincidence, but it does illustrate the advantage of Partial Pivoting
Recommended