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Formulation d’un modèle homogénéisé de plaque en béton armé pour des
applications sismiques
25 Septembre 2013
Christelle COMBESCURE
Directrice de Thèse UPMC: Hélène DUMONTET
Encadrant EDF/LaMSID :François VOLDOIRE
25 Septembre 20132
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
[ Code PS 92]
Nouveau zonage sismique décret 2010
Cadre EDF plus sévère que le bâti courant
Réévaluation des marges de dimensionnement → calcul best estimate
� Nécessité de raffiner les modèles
Tenue sismique des bâtiments en béton armé
[décret 2010]
25 Septembre 20133
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
[Markovic 2007, Fayolle 2012]
Simulation d’un bâtiment sous séisme avec un modèle global de plaque en Béton Armé (GLRC_DM)
Calculs d’ingénierie
� Meilleur compromis entre temps CPU et précision
Tenue sismique des bâtiments en béton armé
~ 1
5m
25 Septembre 20134
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Echelles de modélisation
� Echelle fine locale
� Echelle intermédiaire
� Echelle macroscopique
Modélisation du béton
localisation
Pas d’adoucissement
Possibilité de maillage plus grossier
Matériau « béton armé »
[Richard 2010]
~ cm
~ mm
~ m
[Mazars et al. 1995]
[Markovic et al 2007]
Poutres Béton Armé[Takeda 1970]
Plaques en béton armé
GLRC_DM
25 Septembre 20135
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Echelles de modélisation
Homogénéisation par loi des mélanges
en déformations
Modèle de plaque GLRC_DM avec endommagement
Echelle macroscopique
Endommagement seulement : pas assez de
dissipation d’énergie
[Markovic et al 2007]
25 Septembre 2013
Phénoménologie et modélisation
1. Modèle unidimensionnel
2. Modèle de plaque DHRC
3. Applications
Perspectives
Phénoménologie et modélisation
1. Modèle unidimensionnel
2. Modèle de plaque DHRC
3. Applications
Perspectives
25 Septembre 20137
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Liaison acier béton
Déplacements résiduels
Redistribution des efforts
Réduction de la rigidité
Echelle microscopique
[Goto 1971]
Répartition des fissures primaires et secondaires d ans le béton localement près de la barre de renfort en acier
[Ramirez 2005]
25 Septembre 20138
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Périodicité des fissures
[Pascu 1995]
Localisation des fissures au droit des armatures
Echelle mesoscopique
[Crambuer 2011]
Poutre Plaque
~ 10
cm
~ 2m
25 Septembre 20139
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Réponse monotoneEchelle macroscopique
[Favre 1997]
Niveau de sollicitations modéré
pas de propagation de fissure
pas de plastification des aciers
1,5%
25 Septembre 201310
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
[Benmansour 1997]
Séismes
~ 50 cycles
Poteau en béton armé en traction-compression soumis à chargement cyclique
Dissymétrie traction-compression
Affaiblissement de la raideur
Déformations résiduelles
Réponse cyclique
25 Septembre 201311
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Objectifs
Compromis temps CPU vs précision
Plaques
Dissymétrie Traction-compression
Endommagement
Déformations résiduelles
Approche micro-macro propre
25 Septembre 201312
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Approche micro-macro
Couplée FE2 Chaînée
micro macro
Calcul de structure
[Feyel 1999, Darve 2007]
homogénéisation
� Thermodynamique des processus irréversibles
� Matériau Standard Généralisé
micro macro
Calcul de structure
[Yvonnet 2009]
homogénéisation
Coûteux en temps CPU
Contexte
1. Modèle unidimensionnel
2. Modèle de plaque DHRC
3. Applications
Perspectives
25 Septembre 2013
Phénoménologie
1. Modèle unidimensionnelCellule de base périodique 1DFissuration →→→→ EndommagementModèle de comportement 1DComparaison expérimentale
2. Modèle de plaque DHRC
3. Applications
Perspectives
25 Septembre 201314
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Cellule de base périodique 1D
Fissuration
→ Endommagement ζ(d)
Déformations résiduelles
→ Glissement εη stick-slip
Redistribution des efforts
béton
acier
25 Septembre 201315
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Fissuration → Endommagement ζ(d)
[Badel 2001]
0
( )dζ
d∞
1
±γ
Dissymétrie traction-compression
σ
ε Seuil de glissement
Seuil d’endommagement
g taux de restitution d’énergie micro
ση contraintes de glissement micro
25 Septembre 201316
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Modèle de comportement 1D
Energie libre
Seuils d’évolution des variables internes
Variables internes micro d et εη uniformes d=D et εη=Eη
[Suquet 1982]
Lois d’écoulement normalStandard
Généralisé
Expressions analytiques de
A, B et C
25 Septembre 201317
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Spécificités du modèle de comportement 1D
� Expression analytique de l’énergie libre
� Modèle Standard Généralisé
� Démonstration de la convexité de l’énergie libre
→ robustesse numérique
� Terme de couplage B(D) nul tant que D=0
� 8 paramètres à identifier
25 Septembre 201318
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Comparaison expérimentale[Benmansour 1997]
0,7 m
0.15
m0.15 m
Béton : EB=37 000 MPa
fct=1.1 MPa
fcm=25 MPa
Acier : EA=195 000 MPa
4HA14 → %A=2.74%
Calculés à partir de Valeurs identifiées
kA EA, %A, longueur 3740 MN.m-1
kB EB ,(100- %A), longueur 25190 MN.m-1
σσσσd+ fct 1.1 MN.m-1
σσσσd- fcm/2 12 MN.m-1
σσσσcrit ~fcm/2 15 MN.m-1
αααα+ 1 usuellement 1 -
γγγγ+ pente post élastique traction -0.02 -
γγγγ- pente post élastique compression 0.3 -
25 Septembre 201319
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Comparaison expérimentale[Benmansour 1997]
Décharge élastique
� Élasticité
� Endommagement
� Endo + Glissement
D
ηE
Déformations résiduelles de glissement
Comportement dissymétrique
Phénoménologie
1. Modèle unidimensionnel
2. Modèle de plaque DHRC
3. Applications
Perspectives
25 Septembre 2013
Phénoménologie
1. Modèle unidimensionnel
2. Modèle de plaque DHRCHypothèses constitutivesHomogénéisation périodiqueModèle de comportement de plaqueIdentification des paramètres
3. Applications
Perspectives
25 Septembre 201321
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Hypothèses constitutives
[Caillerie 1984]
Modèle de plaque Love-Kirchhoff
Structure périodique
Possibilité de représenter une grille quelconque
25 Septembre 201322
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
[Oliver & Linero 2007] [Rumanus & Meschke 2007]
[Favre 1997, Marti 1998]
ηηηη(x)x
y
Hypothèses constitutives
Détérioration des propriétés mécaniques via la décohésion acier-béton
Période 2Yx
Eη
Glissement à l’interface acier-béton η(x)
25 Septembre 201323
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
12
Hypothèses constitutives
Cellule de base et variables internesd1, d2 uniformes par morceaux → (d1, d2)=(D1, D2)
[Suquet 1982]η1x, η2x, η1y , η2y linéaires par morceaux
ηηηη2x
ηηηη1x
d100 d2
25 Septembre 201324
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
microscopiques Macroscopiques
observables internes Observables Internes
εεεεdéformations
Ε,Kdéformations
d ={d1,d2} endommageme
nt
D ={D1,D2} endommageme
nt
ηηηη1x, η, η, η, η2x, η, η, η, η1y, η, η, η, η2y
glissement
Eη η η η ==== {Eη1η1η1η1, Eη2η2η2η2}déformations de glissement
Variables d’étatHomogénéisation périodique
25 Septembre 201325
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Ptot Pdef Pηηηη
Homogénéisation périodique
Décomposition du champ de déplacement
= +ηηηη
E, K
ηηηη
E, K
correcteurs
25 Septembre 201326
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Homogénéisation périodique Problèmes aux correcteurs
6 Pdef
4 Pη
Trouver tel que :
Trouver tel que :
Trouver tel que :
25 Septembre 201327
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Energie libre macroscopique
Homogénéisation périodique
Modèle de comportement de plaque
Energie libre macroscopique 1D
Tenseur d’ordre 4
dépend de et
Tenseur d’ordre 3
dépend de , et
Seuils Macroscopiques = seuils microscopiques
Lois d’écoulement normalStandard
Généralisé
Tenseur d’ordre 2
dépend de
25 Septembre 201328
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Spécificités du modèle de comportement de plaque
� Tenseur de couplage élasticité-glissement nul tant que
� Forme du modèle indépendante de la fonction d’endommagement micro choisie
� Forme du modèle indépendante de la forme du glissement choisie
25 Septembre 201329
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Identification des paramètres
Pas d’expression analytique
Paramètres à identifier
� Paramètres de seuils macro = paramètres de seuils micro
� Composantes des tenseurs
Résoudre les 10 problèmes aux correcteurs pour trouver , et
25 Septembre 201330
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Identification des paramètres
Energie libre de membrane
25 Septembre 201331
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
d1
d20
0
Identification des paramètres
3 cellules pour la répartition de l’endommagement
Axxxx
Exx+
Ayyyy Axxyy
d1
d20
0
moindres carrés
d1
d2
Exx+
Exx+
+ Exy
Eyy+ Eyy
+Eyy+
= =χxx χyy
(χxx, χyy)1 (χxx, χyy)2
25 Septembre 201332
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Identification des paramètres
[Badel 2001]
Modèle de béton à endommagement orthotrope
0
( )dζ
d∞
1
±γ
Si Exx >0, Eyy<0, Exy<0 et det(E)<0
Exemple
−
−−
−+
ζ
ζζ
ζζ
xyxy
yyyyyyxx
xxyyxxxx
a
aa
aa
00
0
0
25 Septembre 201333
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Plusieurs valeurs de d=D :
( )
++
++
+=
22
222
11
111hom
0hom
2 D
D
D
DD
αβγδ
αβγδαβγδ
αβγδ
αβγδαβγδαβγδ α
γαα
γαAA
D=0 → A0
D≠0 → α1,γ1,α2,γ2
9x21=189 paramètres…
Identification des paramètres
0
( )DAαβγδ
D∞
1
αβγδγ
25 Septembre 201334
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
335 paramètres!!!Identification des paramètres
Procédure automatisée nécessitant :
� diamètres, espacement et excentrement des 4 aciers
� épaisseur de la plaque
� E et ν pour le béton et l’acier
� α et γ en traction et compression pour la loi d’endommagement du béton
� seuil d’endommagement en traction du béton
� seuil de glissement
11 paramètres géométriques
10 paramètres matériau
25 Septembre 201335
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Identification des paramètres
11 paramètres géométriques
Génération automatique du maillage
9 paramètres matériau
Lancement en parallèle des 207 calculs d’homogénéisation
Post-traitement des 207 calculs pour identifier les 335 paramètres
25 Septembre 201336
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Identification des paramètresExemple : membrane
Cellule symétrie miroir
25 Septembre 201337
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Identification des paramètresExemple : membrane
Cellule sans symétrie miroir
Facteur 2 entre rayons sup et inf
25 Septembre 201338
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
=
d
cb
ba
D
00
0
0
)(A
orthotrope
Identification des paramètres
25 Septembre 201339
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Identification des paramètresExemple : membrane-flexion
Cellule symétrie miroir
25 Septembre 201340
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Identification des paramètresExemple : membrane-flexion
Cellule sans symétrie miroir
Facteur 2 entre rayons sup et inf
25 Septembre 201341
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Identification des paramètres
Même procédure pour l’identification des tenseurs et
Couplage négligeable
Déformation de distorsion
Déformation de glissement
Phénoménologie
1. Modèle unidimensionnel
2. Modèle de plaque DHRC
3. Applications
Conclusions
25 Septembre 2013
Phénoménologie
1. Modèle unidimensionnel
2. Modèle de plaque DHRC
3. Applications
Vérification cas simples
Confrontation à l’expérimental
Calcul d’un bâtiment sous séisme
Conclusions
25 Septembre 201343
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Vérification cas simples
� 3 pentes
� déformations irréversibles
� dissymétrie TC
Implémentation dans Code_Aster
Traction-compression
25 Septembre 201344
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Vérification cas simplesTraction-compression
Traction Compression Traction Compression
GLRC_DM
25 Septembre 201345
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Vérification cas simplesDistorsion
� 2 pentes
pas de déformations résiduelles
25 Septembre 201346
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Essais SAFE, mur T5 Ispra JRC 1998
U
Confrontation à l’expérimental
Principalement Distorsion
Essai pseudo-
dynamique
1.2m
2.8m
25 Septembre 201347
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
D2
(Eηηηη1)x
Confrontation à l’expérimentalEssais SAFE, mur T5 Ispra JRC 1998
25 Septembre 201348
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Confrontation à l’expérimental
Energie dissipée
• Part faible du glissement modélisé dans la dissipation totale : ~ 5%
Essais SAFE, mur T5 Ispra JRC 1998
� Bonne estimation de la force maximale et baisse de raideur
Peu de déformations irréversibles!!
4
-4
25 Septembre 201349
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Confrontation à l’expérimentalEssais SAFE, mur T5 Ispra JRC 1998
Evolution de la fréquence propre : • calcul élastique à plusieurs instants• matrice tangente
� Bonne prédiction
Temps (s)
25 Septembre 201350
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Calcul d’un bâtiment sous séisme
Benchmark SMART 2008
� Maquette d’un bâtiment dissymétrique en béton armé de 3 étages
� Échelle : ¼ en espace
� Table vibrante AZALEE (CEA/Saclay)
� Masses ajoutées sur les planchers pour lois de similitudes
25 Septembre 201351
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Calcul d’un bâtiment sous séisme
Benchmark SMART 2008
Modélisation simplifiée
� mêmes caractéristiques pour tous les murs et planchers
� poutres et poteaux élastiques
� encastrement à la base
� ~ 10 000 DDL
Confrontation avec un modèle global de plaque endommageant GLRC_DM
25 Septembre 201352
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Calcul d’un bâtiment sous séisme
Benchmark SMART 2008Confrontation avec un modèle global de plaque endommageant GLRC_DM
Fréquence propre initiale
Fréquencepropre finale
Temps CPU
GLRC_DM 9,2 Hz 8,46 Hz ~2 h
DHRC 9,07 Hz 8, 26 Hz ~8 h
expérience 6,8 Hz … …
25 Septembre 201353
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Calcul d’un bâtiment sous séisme
25 Septembre 201354
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Calcul d’un bâtiment sous séisme
Comportement d’une variable interne de
glissement au cours du calcul
25 Septembre 201355
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Calcul d’un bâtiment sous séisme
Introduction
1. Modèle homogénéisé DHRC
2. Identifications paramètres
3. Applications
Conclusions
Introduction
1. Modèle homogénéisé DHRC
2. Identifications paramètres
3. Applications
Conclusions
25 Septembre 201357
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
2 modèles novateurs pour les éléments de structure BA : 1D et plaque
� processus micro-macro plus précis
� couplage endommagement-glissement via B(D)
� couplage membrane/flexion dans les plaques
� capacité de représenter tous types de grilles (même non symétriques)
� paramètres en faible nombre et facilement identifiables
Bilan
25 Septembre 201358
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Bilan
Vérification et validation :
� robustesse de la résolution numérique
� temps de calcul acceptable pour des études industrielles
� comparaison à l’expérimental satisfaisante
� dissipation d’énergie améliorée par la prise en compte du glissement
représentation de la distorsion à améliorer
25 Septembre 201359
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Bilan
Généralité de la méthodologie micro-macro adoptée :
� indépendante de la loi d’endommagement microscopique et de la forme du glissement choisis
� possibilité d’ajouter d’autres phénoménologies microscopiques
• frottement…
�ou macroscopiques
• cisaillement transverse…
25 Septembre 201360
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
o poursuivre l’effort de représentation du benchmark SMART
o évaluation sur des applications industrielles
o explorer d’autres lois d’endommagement microscopiques
o prise en compte du frottement à l’interface acier-béton ou béton-béton
o comportement à l’échelle micro en distorsion à mieux identifier pour enrichir le modèle
omodèle de poutre complet
omodèle de liaison voile-plancher, poutre-poteau…
o possibilité de représenter d’autres matériaux à structure interne périodique
Perspectives
25 Septembre 201361
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Merci de votre attention
25 Septembre 201362
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Algorithme de résolution des seuils
Entrée
1. Calcul des matrices de raideur A, B, C pour D
2. Calcul des seuils pour les variables internes à l’itération i
1. Construction de la matrice Jacobienne pour les seuils activés
2. Calcul des variables internes i+1
Vérification de l’activation des seuils
oui
non
i=i+1
25 Septembre 201363
Contexte Phénoménologie 1D Plaque Applications Conclusions
Simulation champ completCalcul élastique 2D
SIEF
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