ΥπολογιστικάΜαθηματικάusers.auth.gr/azafeirak/files/CM1.pdfComputationalMathematics...

Υπολογιστικά Μαθηματικά

CompMath Set1, Ζαφειράκογλου Απόστολος

Εισαγωγή

Η φιλοσοφία που χρησιμοποιήθηκε στην παρούσα εργασία ακολουθεί τα πρότυπατου συναρτησιακού προγραμματισμού. Οι κώδικες είναι γραμμένοι σε C++, έχουν με-ταγλωτιστεί με το Gnu Compliler. Στους αλγορίθμους γίνεται χρήση κάποιων globalλογικών μεταβλητών, που ελέγχουν τη ροή του προγράμματος, και αν έχει επιτευχθεί ηαπαιτούμενη σύγκλιση. Τα προγράμματα έχουν πολλές μικρές συναρτήσεις, που κάνουναυτό το οποίο περιγράφει το όνομα τους. Στην main() κάθε προγράμματος οι συναρτή-σεις καλούνται ακριβώς με τον τρόπο που θα σκεφτόμασταν/περιγράφαμε με λόγια τοναλγόριθμο. Για παράδειγμα, η συνάρτηση Bolzano, κάνει το έλεγχο στη συνάρτηση καιστα ορίσματα που θα της δωθούν, χωρίς να ασχολείται με το πως βρέθηκαν τα ορίσματα.

Με αυτή τη φιλοσοφία, στην τελευταία άσκηση, ορίσαμε συναρτήσεις που κάνουνπράξεις γραμμικής άλγεβρας, όπως αφαίρεση γραμμών πίνακα, πολλαπλασιασμός γραμ-μής με αριθμό, αντιμετάθεση γραμμών κτλ.

1 Άσκηση

Find the root to the following equations:

i) ex − sin(x) = 0, x ∈ (−4,−3)

ii) x2 − 5cos(x)− ex + 3 = 0, x ∈ (0, 2)

using the methods of bisection, linear interpolation and Newton-Raphson.Compare the three methods by computing the number of iterations needed toachieve relative accuracy of 10−10.

Computational Mathematics 1 ΑΣΚΗΣΗ

1.1 Η εξίσωση ex − sin(x) = 0

Εικόνα 1.1: Η εξίσωση ex − sin(x) = 0

1.1.1 Μέθοδος Bisection

# inc lude <iostream ># inc lude <iomanip> / / s td : : s e t p r e c i s i on# inc lude <cmath>

using namespace s td ;

/ * me t av l i t e sx , y : to pedio s to opoio anazitw t i r i za ,x0 : to simeio pou elegxw gia r i za , root : i r i z a* /double x=−4;double y=−3; double x0 ;double akr i v e i a=pow(10 ,−10) ;double root ; i n t i t e r ;

bool iknowtheroot= f a l s e ;

double f ( double x ){

return exp ( x )−s in ( x ) ;}

bool bolzano ( double a , double b ){

i f ( f ( a ) * f (b )==0)

{iknowtheroot=true ;i f ( f ( a )==0){

root=a ;}e l s e{

root=b ;}return true ;

}e l s e i f ( f ( a ) * f (b ) <0){

x=a ; y=b ;re turn true ;

}e l s e{

return f a l s e ;}

bool check th i s ( double ks i ){

i f ( abs ( f ( ks i ) )<=akr i v e i a ){

iknowtheroot=true ;root=ks i ;

}e l s e{

iknowtheroot= f a l s e ;}re turn iknowtheroot ;

/ * * /void b i s e c t ( ){

i f ( bolzano (x , x0 )==true ){

y=x0 ;}e l s e{

x=x0 ;}

i n t main ( ){

i t e r =1;while ( iknowtheroot==f a l s e ){

x0=(x+y ) / 2 ;

check th i s ( x0 ) ;b i s e c t ( ) ;i t e r ++;

}s td : : cout << std : : s e t p r e c i s i on (15) <<” the␣ root ␣ i s ␣ : ”

<<root <<endl <<” i t e r a t i o n s ␣ : ”<< i t e r <<endl ;re turn 0;

Εικόνα 1.2: Επίλυση της εξίσωσης ex − sin(x) = 0 με τη μέθοδo Bisection

1.1.2 Μέθοδος Linear Interpolation

# inc lude <iostream ># inc lude <cmath># inc lude <iomanip> / / s td : : s e t p r e c i s i on

/ * me t av l i t e sx , y : to pedio s to opoio anazitw t i r i za ,x0 : to simeio pou elegxw gia r i za , root : i r i z a* /double x=−4;double y=−3; double x0 ;double akr i v e i a=pow(10 ,−10);double root ; i n t i t e r ;

return exp ( x)− s in ( x ) ;}

i f ( f ( a ) * f (b)==0){

iknowtheroot=true ;i f ( f ( a)==0){

root=a ;}e l s e{

}e l s e i f ( f ( a ) * f (b) <0){

}e l s e{

return f a l s e ;}

i f ( abs ( f ( ks i ))<= akr i v e i a ){

}e l s e

{iknowtheroot= f a l s e ;

}re turn iknowtheroot ;

/ * * /void b i s e c t ( ){

i f ( bolzano (x , x0)== true ){

y=x0 ;}e l s e{

x=x0 ;}

i n t main ( ){

x0=y−( f ( y ) * ( y−x ) ) / ( f ( y)− f ( x ) ) ;

check th i s ( x0 ) ;b i s e c t ( ) ;i t e r ++;

Εικόνα 1.3: Επίλυση της εξίσωσης ex − sin(x) = 0 με τη μέθοδo Linear Interpolation

1.1.3 Μέθοδος Newton-Raphson

/ * me t av l i t e sx , y : to pedio s to opoio anazitw t i r i za ,x0 : to simeio pou elegxw gia r i za , root : i r i z a* // / double x=−4;double y=−3;double x0=−4;double akr i v e i a=pow(10 ,−10);double root ; i n t i t e r ;

return exp ( x)− s in ( x ) ;}

double df ( double x ){

return exp ( x)−cos ( x ) ;}

}e l s e{

/ * * /

i n t main ( ){

x0=x0−( f ( x0 ) ) / ( df ( x0 ) ) ;check th i s ( x0 ) ;/ / b i s e c t ( ) ;i t e r ++;

Εικόνα 1.4: Επίλυση της εξίσωσης ex − sin(x) = 0 με τη μέθοδo Newton-Raphson

1.2 Η εξίσωση x2 − 5cos(x)− ex + 3 = 0

Εικόνα 1.5: Η εξίσωση x2 − 5cos(x)− ex + 3 = 0

1.2.1 Μέθοδος Bisection

/ * me t av l i t e sx , y : to pedio s to opoio anazitw t i r i za ,x0 : to simeio pou elegxw gia r i za , root : i r i z a* /double x=0;double y=2; double x0 ;double akr i v e i a=pow(10 ,−10) ;double root ; i n t i t e r ;

return x *x−5*cos ( x )−exp ( x ) +3;}

bool bolzano ( double a , double b )

{i f ( f ( a ) * f (b )==0){

iknowtheroot=true ;i f ( f ( a )==0){

root=a ;}e l s e{

}e l s e i f ( f ( a ) * f (b ) <0){

}e l s e{

return f a l s e ;}

i f ( abs ( f ( ks i ) )<=akr i v e i a ){

}e l s e{

/ * * /void b i s e c t ( ){

i f ( bolzano (x , x0 )==true ){

y=x0 ;}e l s e{

x=x0 ;}

i n t main ( ){

x0=(x+y ) / 2 ;check th i s ( x0 ) ;b i s e c t ( ) ;i t e r ++;

Εικόνα 1.6: Επίλυση της εξίσωσης x2 − 5cos(x)− ex + 3 = 0 με τη μέθοδο Bisection

1.2.2 Μέθοδος Linear Interpolation

/ * me t av l i t e sx , y : to pedio s to opoio anazitw t i r i za ,x0 : to simeio pou elegxw gia r i za , root : i r i z a* /double x=−4;double y=−3; double x0 ;double akr i v e i a=pow(10 ,−10);double root ; i n t i t e r ;

return x *x−5*cos ( x)−exp ( x )+3;}

i f ( f ( a ) * f (b)==0){

iknowtheroot=true ;i f ( f ( a)==0){

root=a ;}e l s e{

}e l s e i f ( f ( a ) * f (b) <0){

}e l s e{

return f a l s e ;}

e l s e{

/ * * /void b i s e c t ( ){

i f ( bolzano (x , x0)== true ){

y=x0 ;}e l s e{

x=x0 ;}

i n t main ( ){

x0=(x+y ) / 2 ;check th i s ( x0 ) ;b i s e c t ( ) ;i t e r ++;

Εικόνα 1.7: Επίλυση της εξίσωσης x2 − 5cos(x)− ex + 3 = 0 με τη μέθοδο Linear Interpolation

1.2.3 Μέθοδος Newton-Raphson

/ * me t av l i t e sx , y : to pedio s to opoio anazitw t i r i za ,x0 : to simeio pou elegxw gia r i za , root : i r i z a* // / double x=−4;double y=−3;double x0=−4;double akr i v e i a=pow(10 ,−10);double root ; i n t i t e r ;

return x *x−5*cos ( x)−exp ( x )+3;}

double df ( double x ){

return 2*x+5* s in ( x)−exp ( x ) ;}

}e l s e{

/ * * /

i n t main ( ){

x0=x0−( f ( x0 ) ) / ( df ( x0 ) ) ;check th i s ( x0 ) ;/ / b i s e c t ( ) ;i t e r ++;

Εικόνα 1.8: Επίλυση της εξίσωσης x2 − 5cos(x)− ex + 3 = 0 με τη μέθοδο Newton-Raphson

1.3 Σχόλια

Η διχοτόμηση του πεδίου ορισμού (Bisection), παρά το ότι συγκλίνει στην πραγμα-τική λύση, απαιτεί μεγάλο αριθμό βημάτων, πράγμα που την καθιστά λιγότερο χρήσιμη.Επίσης, είναι προβληματική σαν μέθοδος σε περίπτωση που δεν πληρούνται οι προυπο-θέσεις του θεωρήματος Bolzano, δηλαδή στις περιπτώσεις που:

• η συνάρτηση παρουσιάζει κάποια ασυνέχεια

• η συνάρτηση έχει “διπλές” λύσεις

Η γραμμική παρεμβολή (Linear Interpolation), αποτελεί βελτίωση της παραπάνωμεθόδου, και συγκλίνει ταχύτερα, όπως άλλωστε φαινεται από τον αριθμό των επα-ναλήψεων. Ένα μεγάλο πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου, είναι ότι η λύση, δεν είναιυποχρεωτικό να περιέχεται στο αρχικό διάστημα που ψάχνουμε.

Η μέθοδος Newton-Raphson είναι προφανώς η καλύτερη (συνήθως) επιλογή. Χρησι-μοποιεί μία επιπλέον πληροφορία, αυτή της παραγώγου της συνάρτησης, και αποδει-κνύεται ότι συγκλίνει πολύ ταχύτερα. Αρνητικά αυτής της μεθόδου είναι ότι:

• πρέπει να έχουμε παραγωγίσιμη συνάρτηση στην περιοχή που αναζητούμε τη λύσηκαι προφανώς να γνωρίζουμε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης στα διάφορασημεία (αυτό βέβαια δεν είναι τόσο δύσκολο, αφού τα πιο πολλά προβλήματα στηΦυσική έχουν συναρτήσεις συνεχείς και παραγωγίσιμες)

• θέλει προσοχή στα σημεία που μηδενίζεται ο παρονομαστής.

2 Άσκηση

Find the roots to the following equations, using the x = g(x) method (carefullyselect the x = g(x) format that converges) and Aitken’s acceleration formula:

i) ex − 2x2 = 0, x ∈ (−2, 0)

ii) x2 − 2x− 3 = 0, (ρ1 = −1, ρ2 = 3)

2.1 Η εξίσωση ex − 2x2 = 0

Εικόνα 2.1: Η εξίσωση ex − 2x2 = 0

2.1.1 Θετική ρίζα

using namespace s td ;double akr i v e i a=pow(10 ,−10);double root ; bool i s i t o k= f a l s e ;i n t i t e r ;

double g ( double x ){

return sq r t ( exp ( x ) / 2 ) ;}void check th i s ( double x ){

i f ( fabs ( g ( x)−x)<= akr i v e i a ){

root=x ;i s i t o k=true ;

}}i n t main ( ){

double x=−2;i t e r =1;while ( i s i t o k==f a l s e ){check th i s ( x ) ;x=g ( x ) ;i t e r ++;}s td : : cout << std : : s e t p r e c i s i on (15) << ” the␣ root ␣ i s ␣ : ”

<<root <<”␣ i t e r a t i o n s ␣ : ␣”<< i t e r <<endl ;re turn 0;

Εικόνα 2.2: Θετική ρίζα της εξίσωσης ex − 2x2 = 0

2.1.2 Αρνητική ρίζα

using namespace s td ;double akr i v e i a=pow(10 ,−10);double root ; bool i s i t o k= f a l s e ;i n t i t e r ;double g ( double x ){

return −sq r t ( exp ( x ) / 2 ) ;}void check th i s ( double x ){

}}i n t main ( ){

Εικόνα 2.3: Αρνητική ρίζα της εξίσωσης ex − 2x2 = 0

2.2 Η εξίσωση x2 − 2x− 3 = 0

Εικόνα 2.4: Η εξίσωση x2 − 2x− 3 = 0

2.2.1 Θετική ρίζα

using namespace s td ;double akr i v e i a=pow(10 ,−10);double root ; bool i s i t o k= f a l s e ;i n t i t e r ;double g ( double x ){

return ( x *x−x−3);}void check th i s ( double x ){

i n t main ( ){

Εικόνα 2.5: Θετική ρίζα της εξίσωσης x2 − 2x− 3 = 0

2.2.2 Αρνητική ρίζα

using namespace s td ;double akr i v e i a=pow(10 ,−10);double root ; bool i s i t o k= f a l s e ;

i n t i t e r ;double g ( double x ){

return ( 3 ) / ( x−2);}void check th i s ( double x ){

}}i n t main ( ){

double x=−1.9;i t e r =1;while ( i s i t o k==f a l s e ){check th i s ( x ) ;x=g ( x ) ;i t e r ++;}s td : : cout << std : : s e t p r e c i s i on (15) << ” the␣ root ␣ i s ␣ : ”

Εικόνα 2.6: Αρνητική ρίζα της εξίσωσης x2 − 2x− 3 = 0

2.3 Σχόλια

Η μέθοδος x = g(x) προσπαθεί να βρει που τέμνει η διχοτόμος του 1ου-3ου τεταρ-τημορίου την συνάρτηση g(x) που επιλέξαμε. Κριτήριο αποτελούσε να είναι |g′(x)| < 1.Έτσι επιλέχθηκαν οι συναρτήσεις:

• για τη δευτεροβάθμια

– g(x) = x2 − x− 3

– g(x) =3

x− 2

• για την εκθετική

– g(x) = −√

– g(x) = +

Οι δυο αυτές εξισώσεις συγκλίνουν τόσο στις θετικές, όσο και στις αρνητικές ρίζες.Η μέθοδος συγκλίνει αρκέτα γρήγορα, ιδιαίτερα αν επιλέξουμε σωστή περιοχή για ναξεκινήσουμε την αναζήτηση της λύσης.

3 Άσκηση

Solve the following system of equation, using both the x = g(x) and Newton-Raphson methods. Compare the convergence speed of the two methods, forrelative accuracy of 10−9: {

ex − y = 0

xy − ex = 0

Εικόνα 3.1: Εξισώσεις ex − y = 0 και xy − ex = 0

3.1 Μέθοδος x = g(x)

using namespace s td ;double akr i v e i a=pow(10 ,−10);double rootx ; double rooty ; bool i s i t o k= f a l s e ;i n t i t e r ;double g ( double x , double y ){

return exp ( x ) / x ;}double h( double x , double y ){

re turn log (y ) ;}

void check th i s ( double x , double y ){

i f ( fabs ( g (x , y)−y)<= akr i v e i a ){

i f ( fabs (h(x , y)−x)<= akr i v e i a ){rooty=y ;rootx=x ;i s i t o k=true ;}

}}i n t main ( ){

double x=0.1 ; double y=0.1 ;i t e r =1;while ( i s i t o k==f a l s e ){check th i s ( x , y ) ;y=g (x , y ) ;x=h(x , y ) ;i t e r ++;}s td : : cout << std : : s e t p r e c i s i on (15) << ” the␣ root ␣ i s ␣ (␣”

<<rootx <<”␣ , ␣”<<rooty <<”␣ )␣\na f t e r ␣”<<”␣ i t e r a t i o n s ␣ : ␣”<< i t e r <<endl ;re turn 0;

Εικόνα 3.2: Επίλυση του συστήματος με τη μέθοδο x = g(x)

3.2 Μέθοδος Newton-Raphson

using namespace s td ;double a=0.5;double b=1 .1 ;

double f ( double x , double y ){

/ / cout << ” ins ide f= ”<<exp ( x)−y<<endl ;re turn exp ( x)−y ;

}double g ( double x , double y ){

/ / cout << ” in s ide g= ”<<x *y−exp ( x)<<endl ;re turn x *y−exp ( x ) ;

}double fx ( double x , double y ){

/ / cout << ” in s ide dfx=”<< exp ( x)<<endl ;re turn exp ( x ) ;

}double fy ( double x , double y ){

/ / cout <<” ins ide dfy=”<<−1<<endl ;re turn −1;

}double gx ( double x , double y ){

/ / cout << ” in s ide dgx=”<<y−exp ( x)<<endl ;re turn y−exp ( x ) ;

}double gy ( double x , double y ){

/ / cout << ” in s ide dgy=”<<x<<endl ;re turn x ;

bool iknowtheroot= f a l s e ;double rootx , rooty ;double akr i v e i a=pow(10 ,−11);

void check th i s ( double x , double y ){

i f ( fabs ( f ( x , y)< akr i v e i a ) ){

i f ( fabs ( g (x , y)< akr i v e i a ) ){

cout <<”done\n” ;iknowtheroot=true ;rootx=x ;rooty=y ;

}i n t main ( ){

i n t i t e r =1;while ( iknowtheroot==f a l s e ){check th i s ( a , b ) ;

/ * i epomeni grammi kwdika den exe i enter ,apla den xwraei se mikos xaraktirwn * /

a=a−( f ( a , b ) * gy ( a , b)−g (a , b ) * fy ( a , b ) ) /( fx ( a , b ) * gy ( a , b)−gx ( a , b ) * fy ( a , b ) ) ;

/ * i epomeni grammi kwdika den exe i enter ,apla den xwraei se mikos xaraktirwn * /

b=b−(g ( a , b ) * fx ( a , b)− f ( a , b ) * gx ( a , b ) ) /( fx ( a , b ) * gy ( a , b)−gx ( a , b ) * fy ( a , b ) ) ;

i t e r ++;

}cout << ”\n\nResult␣ a f t e r ␣” << i t e r <<”␣ i t e r a t i o n s \n”<< endl ;s td : : cout << std : : s e t p r e c i s i on (15) <<” (␣”<<a<< ”␣ , ␣”<<b<<”␣ )␣”<<endl ;

re turn 0;}

Εικόνα 3.3: Επίλυση του συστήματος με τη μέθοδο Newton-Raphson

3.3 Σχόλια

Με ακριβώς αντίστοιχο τρόπο και ανάλογη φιλοσοφία με την άσκηση 2, δουλεύ-ουμε και για το μη-γραμμικό σύστημα εξισώσεων που μας δίνεται. Έτσι επιλέγουμε τιςεξισώσεις:

• g(x, y) = y =ex

• h(x, y) = x = ln(x)

H μέθοδος Newton-Raphson για μη-γραμμικά συστήματα εξισώσεων έχει ταχύτατησύγκλιση. Οι αναδρομικοί τύποι που χρησιμοποιούνται είναι:

• xn+1 = xn − f · gy − g · fyfx · gy − gx · fy

• yn+1 = yn − g · fx − f · gxfx · gy − gx · fy

4 Άσκηση

Find the solution of the linear system Ax = B, using the (a) Gauss-Jordan (withpivoting), (b) L-U decomposition and (c) Jacobi methods. How many steps arerequired by the Jacobi method, in order to approximate the exact solution withan accuracy of 10−9 ?

−0.002 4.000 4.000

3.000 2.906 −5.387

−4.481

−4.415

4.1 Μέθοδος Gauss-Jordan

using namespace s td ;double t [ 3 ] [ 4 ] ;double c ; double dr [ 4 ] ;void pivot ( i n t c ) ;

void showthearray ( ){

shor t i n t i , j ;cout <<”\n\n___________________________ ”<<endl ;f o r ( i =0; i <3; i ++){

fo r ( j =0; j <4; j ++){

i f ( j ==3){

cout << ”␣ | ␣” ;}s td : : cout << std : : s e t p r e c i s i on (10) << t [ i ] [ j ]<<”␣” ;

}cout <<endl ;

void in i t cond ( ){

t [0][0]=−0.002; t [0 ] [ 1 ]=4 .000 ; t [0 ] [2 ]=4 .000; t [0 ] [3 ]=7 .998 ;t [1][0]=−2.000; t [ 1 ] [ 1 ]=2 .906 ; t [1] [2]=−5.387; t [1] [3]=−4.481;t [2 ] [0 ]=3.000; t [2][1]=−4.031; t [2][2]=−3.112; t [2][3]=−4.415;}

void difrow ( i n t r1 , i n t r2 ){

i n t s ;f o r ( s =0; s <4; s++){t [ r1 ] [ s]−= t [ r2 ] [ s ] ;/ / cout << ” ”<< t [ 2 ] [ 0 ] << ” ”<< t [ r2 ] [ s ]<<endl ;}

}void multrowby ( i n t r1 , double c ){

fo r ( i n t s =0; s <4; s++){t [ r1 ] [ s ]= t [ r1 ] [ s ] * c ;}

void keeprow ( i n t r1 ){

i n t s ;f o r ( s =0; s <4; s++){dr [ s ]= t [ r1 ] [ s ] ;}

void bringrowback ( i n t r1 ){

i n t s ;f o r ( s =0; s <4; s++){t [ r1 ] [ s ]=dr [ s ] ;}

void swaprows ( i n t r1 , i n t r2 ){

keeprow ( r1 ) ;f o r ( i n t i i =0; i i <4; i i ++){

t [ r1 ] [ i i ]= t [ r2 ] [ i i ] ;

}bringrowback ( r2 ) ;

i n t main ( ){

in i t cond ( ) ;cout << ”\n␣ S t a r t \nEpauksimenos␣Pinakas\n” ;

showthearray ( ) ;

i n t i , j , k ;f o r (k=0;k<4;k++){

/ / p ivo t (k ) ;

f o r ( i =(k+1) ; i <3; i ++){keeprow (k ) ;c=t [ i ] [ k ] / t [k ] [ k ] ;multrowby (k , c ) ;difrow ( i , k ) ;bringrowback (k ) ;}

cout << ”\n␣END\nResult\n” ;showthearray ( ) ;

re turn 0;}

Εικόνα 4.1: Επίλυση του συστήματος με τη μέθοδο Gauss-Jordan

4.2 Μέθοδος L-U decomposition

Οι αλγόριθμοι του Jacobi και του LU Decomposition αποτελούν μεταφράσεις των αλγο-ρίθμων του βιβλίου της αριθμητικής ανάλυσης. Τα σύμβολα των αθροισμάτων έχουν αντι-κατασταθεί από μικρούς βρόγχους που αποθηκεύουν στις δυνητικές μεταβλητές sum. Οαλγόριθμος περιγράφεται από το ακόλουθο σχήμα.

Εικόνα 4.2

# inc lude <iostream ># inc lude <conio . h># inc lude <cmath>

using namespace s td ;double a [ 4 ] [ 4 ] , l [4 ] [4 ]={0} ,u [4 ] [4 ]={0} ,sum , b [ 4 ] , z [4]={0} , x [4]={0};

i n t main ( ){

i n t n , i , k , j , p ;

a [1][1]=−0.002; a [1 ] [2 ]=4 .000 ; a [1 ] [3 ]=4 .000 ; b [1 ]=7 .998;a [2][1]=−2.000; a [2] [2 ]=2.906; a [2][3]=−5.387; b[2]=−4.481;a [3 ] [ 1 ]=3 .000 ; a [3][2]=−4.031; a [3][3]=−3.112; b[3]=−4.415;

/ / * * * * * * * * * * LU decomposition * * * * * / /f o r (k=1;k<=n ; k++){

u[k ] [ k ]=1 ;fo r ( i=k ; i <=n ; i ++){

sum=0;

f o r (p=1;p<=k−1;p++)sum+=l [ i ] [ p ] *u[p ] [ k ] ;

l [ i ] [ k]=a [ i ] [ k]−sum;}

fo r ( j =k+1; j <=n ; j ++){

sum=0;fo r (p=1;p<=k−1;p++)

sum+=l [k ] [ p ] *u[p ] [ j ] ;u [k ] [ j ]=( a [k ] [ j ]−sum) / l [k ] [ k ] ;

}}/ / * * * * * * * * Displaying LU matrix * * * * * * * * * * / /cout <<endl <<endl <<”LU␣matrix␣ i s ␣”<<endl ;f o r ( i =1; i <=n ; i ++){

fo r ( j =1; j <=n ; j ++)cout << l [ i ] [ j ]<<”␣␣” ;

cout <<endl ;}cout <<endl ;f o r ( i =1; i <=n ; i ++){

fo r ( j =1; j <=n ; j ++)cout <<u[ i ] [ j ]<<”␣␣” ;

cout <<endl ;}

/ / * * * * * FINDING Z; LZ=b * * * * * * * * * / /

f o r ( i =1; i <=n ; i ++){ / / forward sub t i t u t i on method

sum=0;fo r (p=1;p< i ; p++)sum+=l [ i ] [ p ] * z [p ] ;z [ i ]=(b [ i ]−sum) / l [ i ] [ i ] ;

}/ / * * * * * * * * * * FINDING X; UX=Z * * * * * * * * * * * / /

f o r ( i=n ; i >0; i−−){

sum=0;fo r (p=n ;p> i ; p−−)

sum+=u[ i ] [ p ] * x [p ] ;x [ i ]=( z [ i ]−sum) / u[ i ] [ i ] ;

}/ / * * * * * * * * * * * DISPLAYING SOLUTION * * * * * * * * * * * * * * / /cout <<endl <<” Se t ␣of␣ so lu t i on ␣ i s ”<<endl ;f o r ( i =1; i <=n ; i ++)

cout <<endl <<x [ i ] ;

getch ( ) ;re turn 0;

Εικόνα 4.3: Επίλυση του συστήματος με τη μέθοδο L-U decomposition

4.3 Μέθοδος Jacobi

# inc lude <iostream ># inc lude <math . h># inc lude <iomanip> / / s td : : s e t p r e c i s i on# def ine N 3# def ine E pow(10.0 ,−9)using namespace s td ;double a [N] [N] , b [N] , x [N] , xprev [N] , acc [N] , sum ,mo;i n t i , j , k ;

void in i t cond ( ){

a [1][0]=−0.002; a [ 1 ] [ 1 ]=4 .000 ;a [1 ] [2 ]=4 .000 ; b [1 ]=7 .998;a [2][0]=−2.000; a [2 ] [ 1 ]=2 .906 ;a [2][2]=−5.387; b[2]=−4.481;a [0][0]=3.000+a [ 1 ] [ 0 ] ; a [0][1]=−4.031+a [ 1 ] [ 1 ] ;a [0][2]=−3.112+a [ 1 ] [ 2 ] ; b[0]=−4.415+b [ 1 ] ;

void showa ( )

{cout << endl << ”␣Pinakas␣A” << endl ;f o r ( i =0; i <N; i ++){fo r ( j =0; j <N; j ++){

std : : cout << std : : s e t p r e c i s i on (15) << a [ i ] [ j ]<< ”\ t ” ;}

cout << endl ;}cout << ” _______________________ ” << endl ;cout << ”␣Pinakas␣B” << endl ;f o r ( i =0; i <N; i ++)

s td : : cout << std : : s e t p r e c i s i on (15) << b [ i ] << endl ;cout << ” _______________________ ” << endl ;cout << ”␣ S t a r t i ng ␣from” << endl ;x [0 ]=1 ; x [1 ]=2; x [2]=3;fo r ( i =0; i <N; i ++)

cout << ”x”<< i +1 << ”␣=␣” << x [ i ] << endl ;cout << ” _______________________ ” << endl ;

}i n t main ( ){

in i t cond ( ) ;showa ( ) ;k=0;mo=1;while (mo>=E){fo r ( i =0; i <N; i ++){sum=0;fo r ( j =0; j <N; j ++) {i f ( i != j ) {sum = sum + ( a [ i ] [ j ] * x [ j ] ) ;}

}xprev [ i ]=x [ i ] ;x [ i ]=(b [ i ] / a [ i ] [ i ])−(sum/ a [ i ] [ i ] ) ;acc [ i ]= fabs ( ( x [ i ]−xprev [ i ] ) / xprev [ i ] ) ;mo=acc [ i ] /N;}k++;

cout << ”␣Resul t ”<<endl ;s td : : cout << std : : s e t p r e c i s i on (15) << ” so l 1 ␣=” <<x [0 ] << ”\ t ”

<< ” so l2␣=” <<x [ 1 ] << ”\ t ” << ” so l3␣=” << x [2 ] << endl ;cout << ”␣After ␣ i n t e r a t i o n s : ␣” << k << endl ;

re turn 0;}}

Εικόνα 4.4: Επίλυση του συστήματος με τη μέθοδο Jacobi

Η μέθοδος Jacobi, μετά από τη βελτίωση Αitken xρειάστηκε ένα βήμα για να προ-σεγγίσει τη λύση με ακρίβεια 10−9.

ΥπολογιστικάΜαθηματικάusers.auth.gr/azafeirak/files/CM1.pdfComputationalMathematics...

Documents

θρησκευτικα ασκηση 4 σελ 51

Ασκηση z, t (Φροντιστηριο 2)

΄Ασκηση Σεισμού

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 - Weeblyalexsocratis-edu.weebly.com/uploads/4/5/3/6/4536760/drd.pdf · 1 ΑΣΚΗΣΗ 1 ρεδηάζηε έλα ΓΡΓ γηα ηε δεκηνπξγία

ασκηση η μητερα του_αγιασμου

Αρχή του Pascal Εξίσωση συνέχειας Εξίσωση Bernoulli Τριβή ... · Αρχή του Pascal Εξίσωση συνέχειας Εξίσωση Bernoulli

Καταστατική εξίσωση ιδανικών αερίωνpanagiotisathanasopoulos.gr/wp-content/uploads/2013/08/... · 2019. 11. 22. · Καταστατική εξίσωση

H εξίσωση του suspense

ασκηση σεμιναριο 3

ΑΣΚΗΣΗ 2 ΕΠΗΧΙΡ

271 ΑΣΚΗΣΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ

Ασκηση POWERPOINT

ΑΣΚΗΣΗ 6 ΑΣΚΗΣΗ 7 · ΑΣΚΗΣΗ 20 (ΠροτείνειοΠαύλοςΜαραγκουδάκης)΄Εστω Ω={1,2,3,...,2010,2011

Εργαστήριο Υδρογεωλογίας - ΑΣΚΗΣΗ 11 Επανάληψη

ΑΣΚΗΣΗ ΓΡΑΜΜΑΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

Εργαστηριακη Φυσικη ασκηση ΝΟ.7

΄Ασκηση πολλαπλής επιλογής με γράμματα

Εξίσωση Ευθείας Σημειώσεις από τον Άκη Τζελέπη

υποδειγματικη ασκηση α.α.τ

ΒΛΑΧΟΥ_ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ (1)