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Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3. FILTRI ED ENERGIA Filtri Decibel Energia e segnali periodici Segnali periodici e Serie di Fourier Autocorrelazione per segnali deterministici Spettro di densita’ di Potenza/Energia. - PowerPoint PPT Presentation
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FILTRI
ED ENERGIA
• Filtri
• Decibel
• Energia e segnali periodici
• Segnali periodici e Serie di Fourier
• Autocorrelazione per segnali
deterministici
• Spettro di densita’ di
Potenza/Energia
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3
FILTRI IDEALI
UN FILTRO IDEALE E’ UN SISTEMA L.T.I. CHE, DATO UN
SEGNALE IN INGRESSO CONSENTE UN PASSAGGIO
INALTERATO DELLE SUE COMPONENTI IN FREQUENZA
COMPRESE ENTRO UNA CERTA BANDA E NON
CONSENTE IL PASSAGGIO DELLE ALTRE FREQUENZE.
IN GENERALE SI PUO’ SCRIVERE:
H fke f f f
altrove
j td
1 2
0
A SECONDA DELLA SCELTA DI E SI POSSONO
OTTENERE 3 TIPI DI FILTRI :
•FILTRO PASSA-BASSO
•FILTRO PASSA-ALTO
•FILTRO PASSA-BANDA
f1 f2
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.1
FILTRO PASSA-BASSO (LPF)
E’ CARATTERIZZATO DA
IL FILTRO CONSENTE IL PASSAGGIO DELLE COMPONENTI
IN FREQUENZA CON MENTRE ANNULLA LE
COMPOENTI CON
ESEMPI :
f f 1
f f 1
H(f)X(f) Y(f)
H f
f1
f
X(f) Y(f)
x t y t 1f
t t
ff
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.2
f1
1
1f
FILTRO PASSA-ALTO (HPF)
E’ CARATTERIZZATO DA :
IL FILTRO CONSENTE IL PASSAGGIO INALTERATO
DELLE COMPONENTI IN FREQUENZA CON
MENTRE ANNULLA LE COMPONENTI CON
ESEMPI:
f f f1 2
H f
f f 1
H(f)X(f) Y(f)
f1
f
f1
f
Y(f)X(f)
x t y t f f1 2
t
t
f
1 2 2 cos f t
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.3
1
f1
k
FILTRO PASSA-BANDA (BPF)
E’ CARATTERIZZATO DA :
IL FILTRO CONSENTE IL PASSAGGIO INALTERATO DELLE
COMPONENTI IN FREQUENZA TALI CHE
MENTRE ANNULLA LA COMPONENTI AL DI FUORI DI TALE
BANDA.
ESEMPIO :
f f f1 2
H(f)X(f) Y(f)
H f
f1
ff2
f1 f2
X(f) Y(f)
f f
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.4
CARATTERIZZAZIONE DI UN FILTRO MEDIANTE LA FASE
IN GENERALE SI ASSUME CHE LA FASE SIA LINEARE
NEL “CAMPO DI ESISTENZA” DEL FILTRO.
H f H f
H f H f
f1 f1 f2 f2 f3
f3
ff
ff
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.5
NOTAZIONE :
I FILTRI POSSONO ESSERE INDICATI NEGLI SCHEMI
NELLA SEGUENTE MANIERA :
L.P.F
B.P.F
H.P.F
• FILTRO PASSA-BASSO (LOW-PASS)
•FILTRO PASSA-ALTO (HIGH-PASS)
•FILTRO PASSA-BANDA (BAND-PASS)
~~
~~~
~~
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.6
FILTRI REALI
NELLA PRATICA I FILTRI IDEALI NON POSSONO ESSERE
REALIZZATI. IN REALTA’ LE CARATTERISTICHE DEI
FILTRI SONO :
AUMENTANDO LA COMPLESSITA’ CIRCUITALE AUMENTA
LA PENDENZA DEL FILTRO MA ANCHE IL COSTO
REALIZZATIVO.
f
~
~~
~~
~~
f
f
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.7
I FILTRI PIU’ SEMPLICI DA REALIZZARE SONO QUELLI
PASSA-BASSO, MENTRE QUELLI PIU’ DIFFICILI DA
REALIZZARE SONO I PASSA-BANDA. IN PARTICOLARE
PER I FILTRI PASSA -BANDA OCCORRE TENERE CONTO
DELLA LARGHEZZA DI BANDA RISPETTO ALLE
FREQUENZE DI LAVORO :
IN PRATICA E’ OPPORTUNO AVERE :
ESEMPIO : SE
E’ DIFFICILISSIMO REALIZZRE UN FILTRO PASSA-BANDA
AD 1MHZ CON
1% 10%1
f
fBANDA FRAZIONARIA
f MHz f14 51 10 10
f KHz f KHz 100 1 o con
Fattore di Merito con Qf
fQ 1 10 100
H f
ff2
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.8
f1
f f f 2 1
DECIBEL
CONSIDERIAMO UN AMPLIFICATORE CARATTERIZZATO
DA UNA CERTA E DA UNA CERTA
RIDUCE LA SCALA IN MODO LOGARITMICO
PIN POUT
g guadagnoP
POUT
IN
g gdB log10 10
g
gdB
10 10 10
0 10 20 30
2 31
g gdB10 10
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.9
Pin, Pout
POTENZE
SE g E’ UN RAPPORTO TRA POTENZE
-20
10-2
PARAMETRI DI UN FILTRO
• BANDA PASSANTE DEL FILTRO GAMMA DI FREQ.
PER LE QUALI L’ ATTENUAZIONE DEL FILTRO E’
MINORE DI 3 dB. (*)• FREQUENZA DI TAGLIO FREQUENZA PER CUI
L’ ATTENUAZIONE DEL FILTRO E’ UGUALE A 3 dB.
(*) QUESTA DEFINIZIONE (3 dB) PUO’ ESSERE
APPLICATA PER DEFINIRE LA BANDA PASSANTE
DI UN SEGNALE.
H f2
1(0 dB)
(-3 dB)
f
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.10
fT
SE SI USA UNA POTENZA DI RIFERIMENTO PARI A 1mW
SE SI CONSIDERANO DELLE AMPIEZZE SI HA :
VANTAGGI :
• SI RIDUCE LA SCALA
• I RAPPORTI E I PRODOTTI DIVENTANO DIFFERENZE
E SOMME.
PP
mWdBm10
110log
gV
VdBOUT
IN
20 10log
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.11
PP
WdBW 10110log
P V P VP
P
V
V
V
V
V
V
OUT
IN
OUT
IN
OUT
IN
OUT
IN
2 210 10
2
2
10
2
10
10 10
10 201
log log
log log
BANDA PASSANTE DI UN FILTRO
VEDIAMO A COSA EQUIVALE IN TERMINI DI AMPIEZZA
ASSOLUTA L’ ATTENUAZIONE DI 3dB.
H f1
2
per f H f in dB H f dB
per f f H f dB
cioe H f dB
ovvero H f
dB
s dB
10log
0 1 0
3
3
10 1 2
2 2
2
2
2 0 3
`
.
IL GUADAGNO SI E’ DIMEZZATO :
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.12
NELLA PRATICA :
REGIONE DI TRANSIZIONE, LUNGHEZZA LEGATA ALLA PENDENZA DEL FILTRO.
RIPPLE DELLA BANDA PASSANTE DEL FILTRO
f fp s
1
2 RIPPLE FUORI BANDA
1 2, , ,f fs p CARATTERISTICHE LEGATE AL MODULO DEL FILTRO
PER QUANTO RIGUARDA LA FASE SI VUOLE CHE ESSA SIA LINEARE NELLA BANDA PASSANTE DEL FILTRO.
f sf p
H f2
KdB
KdB-3dB
KdB-10dB
2 1
2 2
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.13
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.14
ESEMPIO DI FILTRO PASSA BANDA
LO SCHEMA CIRCUITALE DI UN B.P.F. PUO’ ESSERE IL
SEGUENTE :
IL CIRCUITO RISUONA (ZP MOLTO GRANDE ) QUANDO:
R
C L
Zp
LC jLCc c 01
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.15
VEDIAMO COME SI COMPORTA UN FILTRO PASSA-BASSO
NEL DOMINIO DEL TEMPO :
IL FILTRO P.B. IDEALE RIMUOVE COMPLETAMENTE LE
ALTE FREQUENZE (OLTRE LA FREQUENZA DI TAGLIO)
PRODUCENDO OVERSHOOT E OSCILLAZIONI NEL TEMPO.
(FENOMENO DI GIBBS)
USCITA DEL FILTRO IDEALESi suppone di
avere messo in ingresso un gradino
1
O.5
t
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.16
LA RISPOSTA IN FREQUENZA E’ DEL TIPO :
H(f)
f
SI DEFINISCONO :
Qf
f
Q
f
f
c
c
1
FATTORE DI MERITO DEL FILTRO
LARGHEZZA DI BANDA FRAZIONALE
NON SI POSSONO FARE FILTRI CON Q GRANDE A
PIACERE (CIOE’ FILTRI MOLTO SELETTIVI)
f
fc
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.17
PER AUMENTARE LA SELETTIVITA’ SI POSSONO METTERE
PIU’ MODULI LC IN PARALLELO CIASCUNO CON FREQ. DI
RISONANZA fc DIVERSA.
R2
C2 L2
R1
C1 L1
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.18
ENERGIA E SPETTRO DEI SEGNALI
SI DEFINISCE ENERGIA DI UN SEGNALE DETERMINISTICO
x(t) LA QUANTITA’ :
• SE x(t) E’ PERIODICO EX E’ UNA QUANTITA’ INFINITA
• EX E’ SEMPRE 0
• CONSIDERIAMO SOLO SEGNALI (DETERMINISTICI)
PERIODICI O A ENERGIA FINITA.
E x t dtx
2
E X f dfx
2
TEOREMA DI RAYLEIGH
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.19
TEOREMA DI RAYLEIGH
CONSENTE DI CALCOLARE L’ ENERGIA DI UN SEGNALE
PASSANDO PER LA SUA TRASFORMATA DI FOURIER.
E x t dt
X e d X e d dt
x
j t j t
2
21
2
INVERTENDO L’ ORDINE DI INTEGRAZIONE
1
2
1
21
2
1
2
X X e dtd d
X X d d
X X d
j t
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.20
E X dx
1
2
2
ESISTE QUINDI UNA RELAZIONE TRA ENERGIA DEL
SEGNALE E MODULO DELLA SUA TRASFORMATA DI
FOURIER. CIO’ PUO’ ESSERE SFRUTTATO PER
DETERMINARE LO SPETTRO DI UN SEGNALE.
DETERMINAZIONE DELLO SPETTRO DI UN SEGNALE
VEDIAMO COME SI PUO’ DETERMINARE SPERIMENTALMENTE LO SPETTRO DI UN SEGNALE SFRUTTANDO IL TEOREMA DI RAYLEIGH. SI PUO’ UTILIZZARE UN BANCO DI FILTRI AVENTI FREQUENZE DI TAGLIO ADIACENTI E SCOMPORRE IL SEGNALE x(t) IN N COMPONENTI CIASCUNA AD UNA PARTICOLARE BANDA.
X 2
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.21
H0
H1
Hn
x t0
x t1
x tn
x t
SE I FILTRI SONO IDEALI SI PUO’ RICOSTRUIRE IL SEGNALE CON UN SOMMATORE
x t1
x t0
x tn
x t
X H X H X H Xn 0 1 .....
E X d X d X d
1
22
1
22 2
0
20
0
1
...
1
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.22
MISURANDO L’ ENERGIA SI PUO’ QUINDI RISALIRE
ALL’ ANDAMENTO DELLO SPETTRO :
LE PRESTAZIONI DI UN ANALIZZATORE DI SPETTRO
DIPENDONO DA :• QUANTO I FILTRI SI AVVICINANO ALLA CONDIZIONE
DI IDEALITA’.• QUANTO E’ LA RISOLUZIONE MINIMA IN TERMINI
DI BANDA PASSANTE CHE SI RIESCE AD OTTENERE
DAI FILTRI.
LA QUANTITA’ VIENE CHIAMATA SPETTRO DI
DENSITA’ DI ENERGIA .
L’ INTEGRALE TRA E DI FORNISCE
PROPRIO L’ ENERGIA DI x(t) PER A
MENO DI
X 2
i i1 X 2
i i 1
1 2
X 2
H H H H HN0 1 2 3
E1E0
E2
E3
EN
1
22 2
1
1
X d X di
i
i
i
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.23
L’ ENERGIA ASSOCIATA A CIASCUNA BANDA PUO’ ESSERE CALCOLATA NEL SEGUENTE MODO :
L’ ANALIZZATORE DI SPETTRO ESEGUE PROPRIO QUESTAOPERAZIONE. DAL TEOREMA DI RAYLEIGH POSSIAMOSCRIVERE CHE :
2 x t1 E1
2 x t0 E0
2 x tn En
E X d X di
i
i
i
i
1
2
12 21 1
L’ ENERGIA DI CIASCUNA BANDA IN CUI E’ SCOMPOSTO
IL SEGNALE E’ QUINDI IN RELAZIONE CON L’ANDAMENTO
DELLO SPETTRO IN QUELLA BANDA.
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.24
SEGNALI PERIODICI
PREMESSA : RICORDIAMO QUANTO VALE LA TRASF.
DI FOURIER DI UN TRENO DI IMPULSI.
DOVE
UN SEGNALE SI DICE PERIODICO SE :
t nTT
kTn k k
2 20= 0
x t x t mT m
T periodo
int
POTENZA MEDIA :
(IN GENERALE)
PT
x t dtT T
T
lim
0
0
0
1
0
2
2
2
0 2 3 4T T T T 02 4
T T
2T
t
1
20
T
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.24.1
P=0 PER SEGNALI DI ENERGIA.
PER QUESTI SEGNALI SI PUO’ CONSIDERARE POT.
MEDIA SU T FINITI
P. MEDIA PER UN SEGNALE PERIODICO :
PT
x t dtT
x t dtT
T T
T
1 12
0 0
2
2
2
00
0
lim
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.25
CONSIDERIAMO UNA x(t) PERIODICA, OSSIA :
SI PUO’ SCRIVERE :
ALLORA :
x tx t t T
altrovep
0
0
x t x t t nTpn
XT
X kT
TX k
Tk
T
X k k
kT
pk
kp
pk
kk
2 2
2 2 2
22
0 0 0 =
x tp
tT0
0
2
T
=-
+
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.26
x t kT
t kT
trk ik= + 2 0k=1
cos sen2 2
x t kT
t j kT
t
kT
t j kT
t
k
k
= +
0k=1
k=1
cos sen
cos sen
2 2
2 2
(SERIE DI FOURIER)
CIOE’ UNAGENERICA FUNZIONE PERIODICA x(t) E’ UNA FUNZIONE REALE ESPRESSA MEDIANTE UN TERMINECOSTANTE, UNA FREQUENZA FONDAMENTALE (k=1) EDUNA SERIE DI ARMONICHE DI FREQUENZA MULTIPLADELLA FONDAMENTALE (k>1). LA x(t) PUO’ ESSERE SCRITTA ANCHE COME :
x t A kT
t
T
kk
k
01
2
2
cos
(PULSAZIONE FONDAMENTALE)
PER I SEGNALI PERIODICI LO SPETTRO E’ QUINDI A RIGHE E LA DISTANZA TRA LE RIGHE VALE 2
T
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.27
k p
jkT
T
k
TX k
T Tx t e dt
1 2 1 2
0
COEFFICIENTE DELLA SERIE DI FOURIER
DAL FATTO CHE: 2 0
1
0
e j t
SI PUO’ SCRIVERE :
x t ek
jkT
t
k
2
(SERIE DI FOURIER)
PROPRIETA’ :
DATO x(t) SEGNALE REALE :
CIOE’ SE :
k k*
k Rk ik k Rk ikj j
t
=-
+
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.28
PER SEGNALI PERIODICI L’ ENERGIA E’ INFINITA. ALLORA
SI DEFINISCE LA POTENZA IN UN PERIODO COME :
CERCHIAMO L’ EQUIVALENTE DEL TEOREMA DI RAYLEIGH
PER SEGNALI PERIODICI.
PT
x t dtx T
T
, 1 2
0
PT
e e dt
Te dt
e
x T k
jkT
t
h
jhT
t
hk
T
k h
j k hT
tT
hk
j k hT
t
,
1
1
2 2
0
2
0
2
PUO’ ESSERE ESPRESSO IN TERMINI DISEN E COS (EULERO). k E h SONO NUMERI INTERI IN UN PERIODO SI HA UN NUMERO INTERO DI OSCILLAZIONI DI SEN E COS SE k +h0 , ALLORA L’INTEGRALE SI ANNULLA. SE k +h=0, L’ INTEGRALE VALE T.
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.29
k h k h
PT
T
P
x T k kk
x T kk
0
1
2
,
,
TEOREMA DI PARSEVAL
SI DEFINISCE SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA DI UN SEGNALE PERIODICO LA FUNZIONE :
SI OTTIENE UNO SPETTRO A RIGHE. GLI IMPULSI HANNO AREA DATA DA .
IL NOME SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA E’ LECITO IN QUANTO TALE QUANTITA’ INTEGRATA ATTORNO AD UNA DELLE ARMONICHE FORNISCE LA POTENZA LOCALE DEL SEGNALE STESSO.
22 2
kk
kT
k2
P dx T,
1
2
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.30
SCEGLIENDO UN INTERVALLO PICCOLO IN MODO
CHE SIA CIRCA COSTANTE IN , SI PUO’
APPROSSIMARE L’INTEGRALE STESSO CON UNA
IL SEGNALE NON PERIODICO PUO’ ESSERE ESPRESSO
CON UNA DI SEN E COS E ALLORA SI PUO’ PENSARLO
COMPOSTO DA UN CONTINUO DI FREQUENZE CIASCUNA
DELLE QUALI PORTA UN CONTRIBUTO ENERGETICO.
CIASCUN SI TROVA IN UNA POSIZIONE MULTIPLA
DEL PRIMO .
1
f 1
f N
0
0
definita dal
definita dalN N
SIGNIFICATO FISICO TRASF. DI FOURIER
X
X
E X d X nn
1
2
1
22 2
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.31
ALLORA IL COEFFICIENTE DELLA SERIE DI FOURIER
VALE :
DAL PUNTO DI VISTA ENERGETICO :
QUESTE CONSIDERAZIONI MOSTRANO IL SIGNIFICATO
FISICO DELL’ INTEGRALE DI FOURIER (ENERGIA-FREQ.)
k
k X k
E X kk =1
2
2
E x t dt Ekk
2
Ek CONTRIBUTO ASSOCIATO AD UNA COMPONENTE SINUSOIDALE DI FREQUENZA k
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.32
SEGNALI DETERMINISTICI
VALORE MEDIO
POTENZA MEDIA
v tT
v t dt v t
w t
T T
T
lim1
2
2
SEGNALE DI POTENZA
SEGNALE DI ENERGIA
E w t dt W f df
W d
w
2 2
21
2
ENERGIA
v t
• UN SEGNALE E’ DETTO SEGNALE DI POTENZA SE
PT
v t dt v t
P
vT
v
T
T
lim1
0
2 2
2
2
<ESISTE E VALE
SE ESISTE E VALE 0< Ew < Ew
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.33
FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE
(DI UN SEGNALE DETERMINISTICO)
SEGNALE DI POTENZA (IN GENERALE COMPLESSO ANCHE NON PERIODICO)
v t
RT
v t v t dt v t v tvT T
T
lim * *
1
2
2
R P
R R
R R
v v
v v
v v
0
0
*
PROPRIETA’ :
•
•
•
INDICE DI SIMILARITA’ :
• TRA E v t v t*
MAX IN MODULO PER
( E ALLINEATI) v t v t*
ES. v t
t
t
v t
v t v t
(PERIODICA)
*
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.34
SEGNALE DI ENERGIA
R w w
R w w Rw
w w
QUANDO E’ REALE :
w t
R w t w t dt w w
R E
R R
R R
w
w w
w w
w w
* *
*
*
0
0
PROPRIETA’ :
w t
FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE
INDICE DI SIMILARITA’ :
• TRA E w t w t*
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.35
SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA/ENERGIA
R G fv v
R G fw w
G f W f W f W fw * 2
SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA :
SPETTRO DI DENSITA’ DI ENERGIA :
IN QUESTO CASO :
G fv
v(t) SEGNALE DI POTENZA
w(t) SEGNALE DI ENERGIA
DATO CHE x t X f* *
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.36
FUNZIONE DI CROSSCORRELAZIONE
IN GENERALE :
CASO PARTICOLARE:
x(t)h(t)
y(t)
R y t x t dt h Ryx x
*
R R h
R h h
y yx
x
*
*
=
=
G f G f H fyx x
G f H f G fy x 2
R v t w t dt v wvw * *
GUADAGNO DI ENERGIA AD UNA GENERICA f
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.37
GW(f), SONO DESCRIZIONI LEGATE SOLO AL
MODULO (QUADRO) DELLA T. DI FOURIER DI w(t), h(t)QUINDI SONO COMPLETE COME DESCRIZIONI
“ENERGETICHE”
MA NON CONSENTONO DI RISALIRE ALLE FUNZIONI w(t),
h(t) . AD ES. DIVERSE w(t), IL CUI SPETTRO DIFFERISCE
PER LA FASE, AVRANNO STESSA GW(f).
QUESTA INCOMPLETEZZA DELLA DESCRIZIONE VALE
ANCHE PER LA RW().
(NON POSSO RICOSTRUIRE w(t) A PARTIRE DA RW()).
H f2
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