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Estudo das idades dos alunos de uma turma do 8º ano
1. RECOLHA DE DADOS
Registo das idades de todos os alunos da turma.
Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Idades 14 13 16 13 15 14 14 15 15 15 14 14 13 13 13 13 14 14 13 13
Total da População: 20 Total da Amostra: 20
2. ORGANIZAÇÃO DE DADOS
População estatística – é um conjunto de indivíduos sobre o qual incide um estudo estatístico Recenseamento, ou Censo, ou Levantamento exaustivo – estudo estatístico em que se observam todos os elementos da população. Amostra – é uma parte representativa da população sobre a qual incide a observação de um estudo estatístico. Sondagem - estudo estatístico feito a partir de uma amostra
Organizar dados é transformar os dados em bruto num resumo ordenado que facilita a sua leitura e a compreensão da situação em estudo.
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IIII III
Frequência relativa (fr) de um acontecimento é o cociente entre a frequência absoluta desse acontecimento e o número total de observações.
N
ff r
TABELAS Tabela de frequências absolutas recorrendo à contagem dos dados recolhidos.
Idades dos alunos da turma do 8º ano
Idades x
Contagem Frequência absoluta
( f )
13 8
14 IIII II 7
15 IIII 4
16 I 1
TOTAL ( N ) 20
Observando a tabela pode-se tirar rapidamente conclusões: Por exemplo: Ter 13 anos é o acontecimento mais frequente. Verifica-se 8 vezes.
Ter 16 anos é o acontecimento menos frequente. Verifica-se apenas 1 vez.
Esta tabela chama-se distribuição de frequências ou tabela de frequências absolutas.
Frequência absoluta ou efectiva de um acontecimento é o número de vezes que esse acontecimento
se verifica.
Na 1ª coluna da tabela escrevem-se os diferentes dados obtidos
A soma das frequências absolutas é o tamanho da amostra ou da
população
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Tabela de frequências absolutas e relativas.
Para elaborar esta tabela é necessário saber calcular a frequência relativa.
Por exemplo: Para saber a frequência relativa do número de alunos da turma com 13 anos é necessário
efectuar o seguinte quociente:
nº de alunos com 13 anos 80,4
nº total de alunos 20
Observação: A frequência relativa de um acontecimento também se pode exprimir em percentagem (fr%).
Basta multiplicar o valor da frequência relativa por 100, isto é fazer:
Idades dos Alunos de uma Turma do 8º Ano
Idades
x
Frequência absoluta ( f )
Frequência relativa ( fr )
Frequência relativa [ fr (%)]
13 8 4,020
8 %401004,0
14 7 35,020
7 %3510035,0
15 4 2,020
4 %201002,0
16 1 05,020
1 %510005,0
TOTAL 1 100%
Significa que existem 8 em 20 alunos, que têm 13 anos.
100% rr ff
A soma das frequências relativas dever ser 1 ou 100%. Por vezes, não obtemos exactamente estes valores devido aos arredondamentos efectuados quando as dízimas resultantes são infinitas ou com muitas casas decimais.
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3. APRESENTAÇÃO DE DADOS
GRÁFICOS A informação recolhida sobre as idades de todos os alunos da turma pode ser também representada sob a
forma de gráficos.
GRÁFICOS DE BARRAS
Gráfico de barras que representa a distribuição de frequências absolutas (ou de frequências relativas) referente às idades dos alunos da turma.
Idades dos Alunos de uma Turma do 8º Ano
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
13 14 15 16
Idades
Nº
de A
lun
os
COMO CONSTRUIR UM GRÁFICO DE BARRAS? Constrói-se um sistema de eixos
No eixo horizontal marcam-se os valores referentes às idades dos alunos da turma, por ordem
crescente.
No eixo vertical, marcam-se as frequências absolutas (ou relativas), também por ordem crescente.
As barras têm de que ter todas a mesma largura e altura igual à frequência absoluta.
A forma de construção descrita anteriormente refere-se a um gráfico de barras vertical, no
entanto, este também pode ser construído com barras horizontais.
Um gráfico de barras deverá ter sempre um título que ilustre a situação.
Idades dos Alunos de uma Turma do 8º Ano
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
13 14 15 16
Idades
% d
e a
lun
os
5
GRÁFICOS CIRCULARES
Gráfico Circular com base na tabela de frequências relativas que ilustra as idades dos alunos da turma.
COMO CONSTRUIR UM GRÁFICO CIRCULAR?
Para construir um gráfico circular é necessário determinar a amplitude dos ângulos correspondentes a cada sector. Para isso, usa-se a relação de proporcionalidade entre a amplitude da circunferência (360º) e a frequência relativa em percentagem. Usando, então a regra de 3 simples, determinam-se as amplitudes de cada dado.
Exemplo: Idade: 13 anos
ˆ40
100 360
x
40 360ˆ ˆ 144
100x x
ˆ 144ºx
Repara que:
100
º360 40 ˆ
x
º360100
40 ˆ x
ˆ 0,4 360ºx
Observação: As amplitudes de cada sector costumam-se organizar numa tabela. O mais usual é
prolongar a tabela de frequências relativas (quando já elaborada).
CONCLUSÃO
100
º360%ˆ
rfx
ou ainda
º360ˆ rfx
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Idades dos alunos de uma Turma do 8º ano
Idades x
Frequência relativa ( fr )
Frequência relativa [ fr (%)]
Amplitude do ângulo
13 4,020
8 %401004,0 º1443604,0
14 35,020
7 %3510035,0 º12636035,0
15 2,020
4 %201002,0 º723602,0
16 05,020
1 %510005,0 º1836005,0
TOTAL 1 100% 360o
A soma das amplitudes dos ângulos dever ser 360o
Com um compasso desenha uma circunferência, marcando o seu centro. Desenha um dos seus raios.
Com a ajuda de um transferidor marca o ângulo correspondente a cada sector.
Para concluir, pinta cada sector com uma cor diferente, e assinala a percentagem correspondente.
Deves ainda legendar e dar um título ao gráfico.
7
Idades dos Alunos de uma Turma do 8º Ano
40%
35%
20%
5%
13
14
15
16
Pictograma
Os pictogramas são gráficos muito semelhantes aos gráficos de barras. Nos pictogramas as barras são substituídas por sequências de símbolos alusivos ao acontecimento a que se refere o estudo. O gráfico seguinte é um pictograma (pode ver-se o número de jornais vendidos no quiosque durante uma semana):
Neste pictograma pode ver-se que a segunda-feira é o dia mais forte da semana e que no fim-de-semana o
Sr. Joaquim não vende tantos jornais.
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Cuidados a ter na construção de um pictograma:
> Indicar sempre o significado de cada símbolo;
> Utilizar símbolos sugestivos;
> Utilizar sempre o mesmo símbolo no gráfico;
> Desenhar os símbolos em linhas ou colunas;
> Espaçar igualmente os símbolos;
> Expressar as diferentes frequências através do número de símbolos e não aumentando ou
diminuindo o seu tamanho.
4. INTERPRETAÇÃO DE DADOS
Medidas de Tendência Central: MODA/ MÉDIA/ MEDIANA
EXEMPLOS
5 alunos têm as seguintes idades: 12, 13, 11, 17, 17 Média: x
145
1717111312
x A média dos alunos é 14 anos.
Moda: 0m 170m A moda é 17 anos.
Observação: Se nenhum dado se repetir mais vezes que o outro, não existe moda (distribuição
AMODAL) Se dois ou mais valores se repetirem o mesmo número de vezes, esses valores serão a
moda (distribuição BIMODAL, TRIMODAL, …) A moda tanto se pode determinar no caso dos dados serem numéricos, ou não numéricos.
Para calcular a média (ou média aritmética) de um conjunto de valores: Adicionam-se todos os valores. Divide-se esta soma pelo número de valores considerados.
Só é possível calcular a média quando os valores são numéricos.
Moda de um conjunto de dados é o valor mais frequente (ou aquele que mais aparece).
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DADOS AGRUPADOS POR CLASSES
Numa turma do 8º ano, fez-se um estudo sobre a altura dos seus 27 alunos. Os dados recolhidos, em
centímetros, foram os seguintes:
150 161 158 143 172 167 170 160 165
156 144 155 157 162 159 147 155 166
148 159 159 148 152 163 161 153 162
Amplitude da distribuição é a diferença entre os valores máximo e mínimo observados. Classe é um intervalo de números racionais [a, b [, fechado à esquerda e aberto à direita, sendo a amplitude da classe dada pela diferença b – a.
COMO CONSTRUÍMOS AS CLASSES? Identificamos os valores, máximo e mínimo observados e a diferença entre eles: Exemplo: Máximo: 172 Mínimo: 143 Máximo – Mínimo = 172-143 = 29
Adopta-se por 6 classes de amplitude 5.
Mediana: x~
11 12 13 17 17
13~ x A mediana é 13 anos.
OBSERVAÇÃO
Se o número de dados for par, a mediana é igual à média aritmética dos dois valores centrais. Exemplo: 11 12 13 15 17 17
142
1513~
x A mediana é 14 anos.
Só é possível calcular a média quando os valores são numéricos
Organizam-se os dados por ordem crescente (ou decrescente).
Como o número de dados é ímpar (5), a mediana é igual ao valor do dado que ocupa a posição central
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Histograma
Um histograma é um gráfico formado por um conjunto de rectângulos adjacentes, tendo cada um deles
por base um intervalo de classe e por altura a respectiva frequência.
Na construção de um histograma deve ter-se em conta que:
Os dados estão agrupados em classes;
A área da barra é proporcional à frequência;
Os valores da variável encontram-se no eixo horizontal;
No eixo vertical encontram-se as frequências das classes;
As barras são desenhadas verticalmente e correspondem a cada uma das classes em que os valores são agrupados;
Não há espaços entre as barras
Classes (altura em cm)
Frequência absoluta
( f )
[143 , 148 [ 3
[148 , 153 [ 4
[153 , 158 [ 5
[158 , 163 [ 9
[163 , 168 [ 4
[168 , 173] 2
Total (N) 27
Alturas dos Alunos de uma Turma do 8º Ano
AGRUPAR OS DADOS EM CLASSES
As classes devem ter todas a mesma amplitude (tamanho). Convenciona-se que os intervalos das classes são fechados à esquerda e abertos à direita.
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Marca da Classe é o valor representante de cada uma das classes e corresponde ao valor central da classe. No caso de a classe ser representada pelo intervalo [a, b[, chama-se marca da classe ao valor calculado da
seguinte forma: 2
a b.
A média de um conjunto de dados agrupados corresponde à média das marcas das classes.
A classe modal corresponde à classe com maior frequência.
A classe mediana corresponde à classe que inclui o valor central.
Polígono de Frequências
O polígono de frequências resulta da união sucessiva, através de segmentos de recta, dos pontos médios
dos lados superiores dos diferentes rectângulos de um histograma.
Alturas dos Alunos de uma Turma do 8º Ano
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Diagrama de caule-e-folhas
Exemplo: Num determinado teste realizado a 50 estudantes, obtiveram-se as seguintes pontuações:
75 98 42 75 84 87 65 59 63 86 78 37 99 66 90 79 80 89 68 57
95 55 79 88 76 60 77 49 92 83 71 78 53 81 77 58 93 85 70 62
80 74 69 90 62 84 64 73 48 72
Fazer uma representação em caule-e-folhas destes dados.
Diagramas de Extremos e Quartis
Os quartis dividem a distribuição em quatro partes iguais, de modo que cada um das partes tenha o mesmo número de observações. A Mediana (Q2), como já vimos, divide o conjunto de dados em dois grupos com o mesmo número de elementos. O 1º Quartil (Q1) é a mediana do primeiro grupo e o 3º Quartil (Q3) é a mediana do segundo grupo.
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Por exemplo: A um grupo de alunos foi feita a seguinte pergunta: “Quantos irmãos tens?” Vamos observar as respostas e determinar os quartis: 0 0 1 1 2 2 2 2 2 3 4 5 5
O Diagrama de Extremos e Quartis é uma representação gráfica que nos dá informação do valor dos quartis e dos extremos, inferior e superior, da função.
Mínimo Q1 Q2 Q3 Máximo
Amplitude e Amplitude Interquartis
Amplitude de uma amostra é a diferença entre o maior e o menor valor observado. Amplitude Interquartil é a diferença entre o 3º quartil e o 1º quartil. Se o valor da amplitude interquartil for grande significa que existe uma grande dispersão entre os valores centrais, caso contrário essa dispersão é pequena.
BM ESTUDO!!
2x Q 3
3 43,5
2Q
1
1 1
2Q
0 1 2 3 3,5 4 5
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