アポロニウスの円錐曲線論snii/Calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論...

アポロニウスの円錐曲線論

. – p.1/16

アポロニウスの円錐曲線論アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる曲線 (円錐曲線)についての考察を行った。

circle

ellipse

hyperbola parabola

. – p.2/16

アポロニウスの円錐曲線論アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる曲線 (円錐曲線)についての考察を行った。

circle

ellipse

hyperbola parabola

. – p.2/16

アポロニウスの円錐曲線論

. – p.3/16

アポロニウスの円錐曲線論定理楕円は、平面上の二定点 F, F ′ (焦点)に対し PF + PF ′ が一定である様な点 P の軌跡である。

. – p.4/16

アポロニウスの円錐曲線論定理楕円は、平面上の二定点 F, F ′ (焦点)に対し PF + PF ′ が一定である様な点 P の軌跡である。

. – p.4/16

アポロニウスの円錐曲線論証明

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AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAA

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AAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAA

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AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

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円錐を平面で切った切り口の楕円を考える。円錐に内接し、に上からと下から接する球との接点をとする。

楕円上の点を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点をとすると

はの一によらず一定である。ここでとは同じ球に対する接線なので。同様に従って一定、となる。

. – p.5/16

AAAAAA

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AAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAA

円錐を平面 H で切った切り口の楕円を考える。

円錐に内接し、に上からと下から接する球との接点をとする。

. – p.5/16

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AAAAAAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

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円錐を平面 H で切った切り口の楕円を考える。円錐に内接し、H に上からと下から接する球とH の接点を F, F ′ とする。

. – p.5/16

AAAAAA

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AAAAAA

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AAAAAAAAA

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AAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAA

円錐を平面 H で切った切り口の楕円を考える。円錐に内接し、H に上からと下から接する球とH の接点を F, F ′ とする。楕円上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。

ここでとは同じ球に対する接線なので。同様に従って一定、となる。

. – p.5/16

AAAAAA

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AAAAAA

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AAAAAA

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AAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

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円錐を平面 H で切った切り口の楕円を考える。円錐に内接し、H に上からと下から接する球とH の接点を F, F ′ とする。楕円上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。ここで PQと PF は同じ球に対する接線なので PQ = PF。同様に PQ′

= PF ′

従って一定、となる。

. – p.5/16

AAAAAA

AAAAAAAAAA

AAAAAA

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AAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

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円錐を平面 H で切った切り口の楕円を考える。円錐に内接し、H に上からと下から接する球とH の接点を F, F ′ とする。楕円上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。ここで PQと PF は同じ球に対する接線なので PQ = PF。同様に PQ′

= PF ′

従って PF + PF ′= QQ′

=一定、となる。

. – p.5/16

アポロニウスの円錐曲線論定理双曲線は、平面上の二定点 F, F ′ (焦点)に対し |PF − PF ′|

が一定である様な点 P の軌跡である。

. – p.6/16

アポロニウスの円錐曲線論定理双曲線は、平面上の二定点 F, F ′ (焦点)に対し |PF − PF ′|

が一定である様な点 P の軌跡である。

. – p.6/16

AAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

QAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAA

円錐を平面で切った切り口の双曲線を考える。円錐に内接し、に接する球との接点をとする。

双曲線上の点を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点をとすると

. – p.7/16

AAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

QAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAA

円錐を平面 H で切った切り口の双曲線を考える。

円錐に内接し、に接する球との接点をとする。

. – p.7/16

AAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

QAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAA

円錐を平面 H で切った切り口の双曲線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F, F ′ とする。

. – p.7/16

AAAAAA

AAAAAAAAA

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QAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAA

円錐を平面 H で切った切り口の双曲線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F, F ′ とする。双曲線上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。

ここでとは同じ球に対する接線なので。同様に従って一定、となる。

. – p.7/16

AAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

QAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAA

円錐を平面 H で切った切り口の双曲線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F, F ′ とする。双曲線上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。ここで PQと PF は同じ球に対する接線なので PQ = PF。同様に PQ′

= PF ′

従って一定、となる。

. – p.7/16

AAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

QAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAA

円錐を平面 H で切った切り口の双曲線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F, F ′ とする。双曲線上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。ここで PQと PF は同じ球に対する接線なので PQ = PF。同様に PQ′

= PF ′

従って PF − PF ′= QQ′

=一定、となる。

. – p.7/16

アポロニウスの円錐曲線論定理放物線は、平面上のある定点 F (焦点)と F を通らないある直線 l (準線)に対し、PF = PQ (但し、Qは P から l に下ろした垂線の足)を満たす点 P の軌跡である。

. – p.8/16

アポロニウスの円錐曲線論定理放物線は、平面上のある定点 F (焦点)と F を通らないある直線 l (準線)に対し、PF = PQ (但し、Qは P から l に下ろした垂線の足)を満たす点 P の軌跡である。

. – p.8/16

AAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAA

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QRR'l' l

円錐を平面で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、に接する球との接点をとする。

球と円錐の接円を含む平面をとする。と平行で、円錐に

接する平面を、その接線を。放物線上の点を通りに平行な直線を。直線点を取る。

. – p.9/16

AAAAAAAA

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QRR'l' l

円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。

円錐に内接し、に接する球との接点をとする。

. – p.9/16

AAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAA

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QRR'l' l

円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F とする。

. – p.9/16

AAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAA

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QRR'l' l

円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F とする。球と円錐の接円を含む平面を K とする。

と平行で、円錐に接する平面を、その接線を。放物線上の点を通りに平行な直線を。直線点を取る。

. – p.9/16

AAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAA

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AAAAAAAA

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QRR'l' l

円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F とする。球と円錐の接円を含む平面を K とする。H と平行で、円錐に接する平面を H ′、その接線を m′ 。

放物線上の点を通りに平行な直線を。直線点を取る。

. – p.9/16

AAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAA

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QRR'l' l

円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F とする。球と円錐の接円を含む平面を K とする。H と平行で、円錐に接する平面を H ′、その接線を m′ 。放物線上の点 P を通り m′ に平行な直線をm。

直線点を取る。

. – p.9/16

AAAAAAAA

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QRR'l' l

円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F とする。球と円錐の接円を含む平面を K とする。H と平行で、円錐に接する平面を H ′、その接線を m′ 。放物線上の点 P を通り m′ に平行な直線をm。直線 l, l′点O,Q,R,R′を取る。

. – p.9/16

アポロニウスの円錐曲線論証明続きm′ と l′ は直交するので、mと l も直交する。

R' R Q

平行線を含む平面上で考える。なので

は二等辺三角形である。とが平行なので

も二等辺三角形。従って、

. – p.10/16

R' R Q

平行線 m,m′ を含む平面上で考える。

なのでは二等辺三角形である。

とが平行なのでも二等辺三角形。

従って、

. – p.10/16

R' R Q

平行線 m,m′ を含む平面上で考える。OR = OR′ なので△ORR′ は二等辺三角形である。

とが平行なのでも二等辺三角形。

従って、

. – p.10/16

R' R Q

平行線 m,m′ を含む平面上で考える。OR = OR′ なので△ORR′ は二等辺三角形である。mと m′ が平行なので△PQRも二等辺三角形。

従って、

. – p.10/16

R' R Q

平行線 m,m′ を含む平面上で考える。OR = OR′ なので△ORR′ は二等辺三角形である。mと m′ が平行なので△PQRも二等辺三角形。従って、 PF = PR = PQ

. – p.10/16

アポロニウスの円錐曲線論定理P を楕円上の点とし、直線 AB を P におけるこの楕円への接線とする。このとき ∠F ′PA = ∠FPB である。

. – p.11/16

アポロニウスの円錐曲線論定理P を楕円上の点とし、直線 AB を P におけるこの楕円への接線とする。このとき ∠F ′PA = ∠FPB である。

. – p.11/16

アポロニウスの円錐曲線論証明∠F ′PA = ∠FPB となる様に直線 AB を引くと、この直線が P 以外では楕円の外にあることを示す。

. – p.12/16

アポロニウスの円錐曲線論証明∠F ′PA = ∠FPB となる様に直線 AB を引くと、この直線が P 以外では楕円の外にあることを示す。

. – p.12/16

アポロニウスの円錐曲線論定理P を双曲線上の点とし、直線 AB を P におけるこの双曲線への接線とする。このとき ∠F ′PA = ∠FPAである。

. – p.13/16

アポロニウスの円錐曲線論定理P を双曲線上の点とし、直線 AB を P におけるこの双曲線への接線とする。このとき ∠F ′PA = ∠FPAである。

. – p.13/16

アポロニウスの円錐曲線論証明∠F ′PA = ∠FPAとなる様に直線 AB を引くと、この直線が P 以外では双曲線の外にあることを示す。

. – p.14/16

アポロニウスの円錐曲線論証明∠F ′PA = ∠FPAとなる様に直線 AB を引くと、この直線が P 以外では双曲線の外にあることを示す。

. – p.14/16

アポロニウスの円錐曲線論定理P を放物線上の点とし、直線 AB を P におけるこの放物線への接線とする。P から軸に平衡に引いた直線を PQとする。このとき ∠QPA = ∠FPB である。

. – p.15/16

アポロニウスの円錐曲線論定理P を放物線上の点とし、直線 AB を P におけるこの放物線への接線とする。P から軸に平衡に引いた直線を PQとする。このとき ∠QPA = ∠FPB である。

. – p.15/16

アポロニウスの円錐曲線論証明∠QPA = ∠FPB となる様に直線 AB を引くと、この直線がP 以外では放物線の外にあることを示す。

. – p.16/16

アポロニウスの円錐曲線論証明∠QPA = ∠FPB となる様に直線 AB を引くと、この直線がP 以外では放物線の外にあることを示す。

. – p.16/16

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