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José Arnóbio dos Santos 1
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PETRÓLEO
DISCIPLINA: Métodos de Recuperação Suplementar
PROFESSOR: Marcos Allyson Felipe Rodrigues Aluno: José Arnóbio dos Santos
Exercícios propostos - Unidade 1
Problema 14.3 – Um reservatório de óleo plano e horizontal, originalmente à pressão de bolha, possui porosidade média de 20% e saturação de água conata irredutível também igual a 20%. Após a produção primária esse reservatório foi submetido a um projeto de injeção de água utilizando o esquema de linha direta, onde tanto a distância entre as linhas como a distância entre os poços do mesmo tipo foi estabelecida em 400 m.
A produção de óleo acumulada por malha até o início da injeção é de 10.000 m3std, o fator volume-formação do óleo nesse instante é igual a 1,20 e a vazão de injeção é constante e igual a 100 m3std /d por poço.
A operação de injeção deverá ser abandonada quando a razão água/óleo de produção acumulada for igual a 1. Alguns estudos mostraram que para essa razão água−óleo 80% do reservatório estarão invadidos pela água, com uma saturação média deste fluido igual a 70%. Sabe-se também que a saturação média de água atrás da frente de avanço da mesma é de 60%. Outros dados do sistema são:
Fator volume-formação do óleo à pressão de bolha .......................................... 1,25 Fator volume-formação da água ........................................................................ 1,00 Viscosidade do óleo .......................................................................................... 2 cp Viscosidade da água .......................................................................................... 0,8 cp Espessura da formação ...................................................................................... 20 m Raio dos poços .................................................................................................. 10 cm Permeabilidade efetiva ao óleo no banco de óleo ............................................. 125 md Permeabilidade efetiva à água à saturação média atrás da frente de avanço da água. ................................................................................................... 100 md
Considere que a saturação de gás residual seja nula e que ao tempo de “fill-up” as regiões ocupadas pelo gás tenham sido ressaturadas com óleo. Utilize a aproximação de Craig, dada pela Eq. (14.16), para o cálculo da vazão de injeção no instante do “breakthrough”.
Calcule:
(a) O volume poroso da malha. (b) O volume original provado de óleo por malha. (c) O tempo de enchimento (“fill-up”), admitindo ser desprezível a produção de óleo
nesse período.
José Arnóbio dos Santos 2
(d) A eficiência de varrido horizontal no “fill-up”. (e) A distância da frente de avanço da água aos poços de injeção no “fill-up”,
admitindo que o fluxo até esse instante seja radial. (f) A injeção acumulada de água até o “breakthrough”. (g) O tempo de “breakthrough”. (h) A produção acumulada de óleo por malha, desde o início da vida produtiva do
reservatório, até o instante de “breakthrough”. (i) A produção acumulada de óleo por malha, desde o início da vida produtiva do
reservatório, até o instante de abandono do reservatório. (j) O fator de recuperação. (k) O tempo de abandono. (l) A pressão de injeção em frente à formação portadora de óleo no início do projeto,
sabendo que a pressão dinâmica de fundo nos poços produtores é de 10 kgf/cm2.
stdmNP3
1 10000= stdm
moiB 3
325,1= dstdm
winjq ³100= %20=φ
%20=wciS %60=wfS stdm
moB 3
320,1= stdm
mwB 3
300,1=
No abandono:
1=RAO ( ) 8,0%80 ==abAE %60=wS
Solução:
Parte (a):
φ⋅⋅= hAVP ( ) 2,020400400 ⋅⋅⋅= mmmVP ³640000mVP =
Parte (b):
oi
oiP
B
SVN
⋅=
( )oi
wiP
B
SVN
−⋅=
1
( )stdm
m
mN
³³25,1
20,01³640000 −⋅=
stdmN ³409600=
Parte (c):
( ) ( )w
grgP
FUwinjB
SSVV
−⋅=
( )wi
oi
oPo S
B
B
N
NS −⋅⋅
−= 11 ( )20,0125,1
2,1
³409600
³100001
³³
³³
−⋅⋅
−=stdm
m
stdmm
ostdm
stdmS
75,0=oS
ooig SSS −= 75,080,0 −=gS 05,0=gS
400m
400m
José Arnóbio dos Santos 3
( ) ( )stdm
mFUwinj
mV
3
300,1
005,0³640000 −⋅= ( ) stdmV
FUwinj ³32000=
( )winj
FUwinj
FUq
Vt =
dstdm
FU
stdmt
³100
³32000= dtFU 320=
Parte (d):
( )
( ) ( )[ ]grgoroP
grgP
DL
winj
ASSSSV
SSV
V
VE
−+−⋅
−⋅== ( )wfor SS −= 1
( ) 40,060,01 =−=orS
( )( ) ( )[ ]005,040,075,0³640000
005,0³640000
−+−⋅−⋅
=m
mEA %5,12125,0 ==AE
Parte (e):
( )( )wiorgr
FUwinj
aSSSh
VR
−−−⋅⋅⋅=
1φπ
( )2,04,0012,020
³32000
−−−⋅⋅⋅=
m
stdmRa π
mRa 80=
Parte (f):
( )( )
DL
BTinj
BTAV
VE =
( )
( )( )( )
0,20,28,0
2
125
100=→=⋅=⋅== M
k
kM
w
o
Swio
Sorw
k
k
o
Swio
w
Sorw
µµ
µ
µ
( ) 50,0""
2 28.14 = →=
BTA
figuraE
ghBreakthrou
M
José Arnóbio dos Santos 4
( ) ( ) DLBTABTinj VEV ⋅= ( ) ( ) ( )[ ]oroiPBTABTinj SSVEV −⋅⋅=
( ) ( )[ ]4,08,0³64000050,0 −⋅⋅= mVBTinj ( ) ³128000mV
BTinj =
( ) ( )stdm
mw
BTinj
BTinj
m
B
VW
3
300,1
³128000== ( ) stdmW
BTinj
3128000=
Parte (g):
( ) stdmWBTinj ³128000=
( )winj
BTinj
BTq
Wt =
dstdmBT
stdmt
³100
³128000= dtBT 1280=
Parte (h):
( )( ) ( )
1Po
FUwinj
o
BTinj
BTP NB
V
B
WN +
−=
( ) stdmmm
Nstdm
mstdm
mBTP
3
³³
³³
100002,1
³32000
2,1
³128000+
−=
( ) stdmNBTP
390000=
Parte (i):
( )( ) ( )
1Po
FUinj
o
abinj
abP NB
V
B
VN +
−=
( ) ( ) DLabAabinj VEV ⋅= ( ) ( ) ( )( )[ ]aboroiPabAabinj SSVEV −⋅⋅=
( ) ( )( ) 30,070,011 =−=−=abwabor SS
( ) ( )[ ]3,08,0³6400008,0 −⋅⋅= mVabinj ( ) ³256000mV
abinj =
( ) stdmmm
Nstdm
mstdm
mabP ³100002,1
³32000
2,1
³256000
³³
³³
+
−= ( ) stdmN
abP ³7,196666=
Parte (j):
N
NFR P=
stdm
stdmFR
³409600
³7,196666= %4848,0 ==FR
Parte (k):
inj
P
inj
Pab
q
N
q
Vt +⋅= 7,0
dstdm
dstdmab
stdmstdmt
³³ 100
³10000
100
³6400007,0 +⋅=
dtab 4580=
José Arnóbio dos Santos 5
Problema 14.4 – São dados de um reservatório de óleo submetido a um projeto de injeção de água: Esquema de injeção ........................................................................................... “Five - spot” Área da malha ................................................................................................... 40 acres Espessura da formação ...................................................................................... 18 ft Vazão de injeção ............................................................................................... 250 STB/d Porosidade média .............................................................................................. 0,22 Saturação de água conata irredutível ................................................................. 0,23 Saturação de óleo .............................................................................................. 0,77 Saturação de óleo residual ................................................................................. 0,28 Viscosidade da água .......................................................................................... 0,78cp Viscosidade do óleo .......................................................................................... 2,6 cp Fator volume-formação da água ........................................................................ 1,0 Fator volume-formação do óleo ........................................................................ 1,15 Permeabilidade relativa à água @ So = 0,28 ..................................................... 0,26 Permeabilidade relativa ao óleo @ So = 0,77 ................................................... 0,82 Determinar:
(a) O tempo de “breakthrough”. (b) O volume de óleo produzido até o “breakthrough” devido apenas à injeção de
água. (c) O volume de óleo produzido devido à injeção quando a razão água/óleo for igual a
25.
José Arnóbio dos Santos 6
Solução:
²24,161874²856,4046
40 macre
macresA =⋅=
Parte (a):
( )oroPDL SSVV −⋅= φ⋅⋅= hAVP
( )28,077,022,03048,018²24,161874 −⋅⋅⋅⋅=ft
mftmVDL
392,95737 mVDL =
( )
( )( )( )
06,106,178,0
6,2
82,0
26,0=→=⋅=⋅== M
k
kM
w
o
Swio
Sorw
k
k
o
Swio
w
Sorw
µµ
µ
µ
( ) 68,0""
06,1 27.14 = →=
BTA
figuraE
ghBreakthrou
M
( )DL
inj
BTAV
VE = ( )
BTADLinj EVV ⋅= 68,0³92,95737 ⋅= mVinj
³79,65101 mVinj =
dm
injbbl
m
d
bblq ³749,39
³1589873,0250 =⋅=
( )inj
BTinj
BTq
Vt =
dmBT
mt
³749,39
³79,65101= dtBT 82,1637=
Parte (b):
( ) ( )o
oroPABTP
B
SSVEN
−⋅⋅= ( )
o
inj
BTPB
VN = ( )
stdmmBTP
mN
³³15,1
³79,65101=
( )³1589873,0
³25,56610m
bblstdmN
BTP ⋅= ( ) STBNBTP 75,356067=
Parte (c):
w
o
o
w
Bq
Bq
B
B
q
qRAO
o
o
w
w
⋅== o
w
o
w
B
BRAO
q
q⋅= o
o
ww q
B
BRAOq ⋅⋅=
ow qq ⋅⋅=15,1
0,125 ow qq ⋅= 74,21
José Arnóbio dos Santos 7
ow
w
qf
+=
o
o
oo
o
q
q
qf
⋅⋅
=+⋅
⋅=
74,22
74,21
74,21
74,21 956,0=f
97,0956,0
06,1 27.14 = →
=
=A
figuraE
f
M
( )
o
oroPAP
B
SSVEN
−⋅⋅=
o
DLAPB
VEN ⋅=
stdmmP
mN
³³15,1
³92,9573797,0 ⋅=
³1589873,0³85,80752
m
bblstdmNP ⋅= STBNP 13,507920=
José Arnóbio dos Santos 8
Problema 14.5 – São conhecidas as seguintes informações de um reservatório de óleo submetido a um projeto de injeção de água: Esquema de injeção ........................................................................................... “Five - spot” Espaçamento ..................................................................................................... 400 m Porosidade ......................................................................................................... 20% Saturação de óleo no início da injeção .............................................................. 75% Saturação de água conata irredutível ................................................................. 25% Saturação média de água atrás da frente de avanço .......................................... 50% Fator volume-formação original do óleo ........................................................... 1,1 m3/ m3std Fator volume-formação do óleo após a injeção................................................. 1,1 m3/ m3std Fator volume-formação da água ........................................................................ 1,0 m3/ m3std Razão de mobilidades até a erupção ................................................................. 0,9 Vazão de injeção total ....................................................................................... 100 m3std /d Permeabilidade em função da profundidade ..................................................... Tabela 14.8
Tabela 14.8 – Permeabilidade em função da profundidade para o reservatório do Problema 14.5
Profundidade (m)
Permeabilidade (md)
1.000 − 1.001 35 1.001 − 1.002 51 1.002 − 1.003 27 1.003 − 1.004 116 1.004 − 1.005 60 1.005 − 1.006 237 1.006 − 1.007 519 1.007 − 1.008 98 1.008 − 1.009 281 1.009 − 1.010 164
Determinar: (a) O coeficiente de variação da permeabilidade. (b) O zoneamento da formação produtora em cinco camadas de iguais propriedades,
exceto k. (c) A vazão de injeção em cada camada, considerando-a proporcional à capacidade
(kh) da camada em questão. (d) O volume poroso de cada camada. (e) O tempo de erupção (“breakthrough”). (f) As produções acumuladas de água e de óleo até a erupção, devidas à injeção de
água. (g) A fração recuperada até a erupção devida à injeção de água, em relação ao volume
original de óleo. (h) O tempo de erupção admitindo a formação homogênea com permeabilidade igual
a k50%. (i) As produções acumuladas de água e de óleo até a erupção, devidas à injeção de
água, admitindo a formação homogênea com permeabilidade igual a k50%. (j) A fração recuperada até a erupção devida à injeção de água, em relação ao volume
José Arnóbio dos Santos 9
original de óleo, admitindo a formação homogênea com permeabilidade igual a k50%.
(k) O tempo de erupção (“breakthrough”) na segunda camada de maior capacidade. (l) As produções acumuladas de água e de óleo até a erupção da segunda camada de
maior capacidade, devidas à injeção de água. (m) A fração recuperada até a erupção da segunda camada de maior capacidade
devida à injeção de água, em relação ao volume original de óleo.
Observações:
1. Quando necessário adotar a expressão:
E A = (E A ) BT + 0,633log[Winj /(Winj ) BT ] ,
onde EA é a eficiência de varrido horizontal em um instante qualquer após o “breakthrough”, (EA)BT a eficiência de varrido horizontal no instante do “breakthrough”, Winj o volume de água injetado até o instante considerado, posterior ao “breakthrough”, e (Winj)BT o volume de água injetado até o “breakthrough” .
2. Considerar que a saturação média de óleo na região invadida pela água em cada camada não varia após o “breakthrough”.
Constituído de 5 camadas de 4 m de espessura cada uma:
Camada 1 2 3 4 5
Permeabilidade (mD) 465 194 104 57 24
Solução:
Parte (c):
( ) ( )iiinj hkq ⋅= ( ) ( )ttinj hkq ⋅= ( ) dstdm
tinjq³100=
( )
( )
( )( )t
i
tinj
iinj
hk
hk
q
q
⋅⋅
= ( )( )( ) ( )tinj
t
i
iinj qhk
hkq ⋅
⋅⋅
=
( ) ( ) dstdm
dstdm
mDmDmDmDmDinjmmD
mmD
m
mmDq ³³
524571041944651
100208,168
4465100
20
4465⋅
⋅
⋅=⋅
⋅
⋅=
++++
( ) dstdm
injmmD
mmDq ³
1100
208,168
4465⋅
⋅⋅
= ( ) dstdm
injq³
109,55=
( ) dstdm
injmmD
mmDq ³
2100
208,168
4194⋅
⋅⋅
= ( ) dstdm
injq³
299,22=
( ) dstdm
injmmD
mmDq ³
3100
208,168
4104⋅
⋅⋅
= ( ) dstdm
injq³
332,12=
( ) dstdm
injmmD
mmDq ³
4100
208,168
457⋅
⋅⋅
= ( ) dstdm
injq³
475,6=
40
0m
José Arnóbio dos Santos 10
( ) dstdm
injmmD
mmDq ³
5100
208,168
424⋅
⋅⋅
= ( ) dstdm
injq³
584,2=
Parte (d):
φ⋅⋅= hAVP ( ) 2,04400400 ⋅⋅⋅= mmmVP ³128000mVP =
Parte (e):
( )
inj
BTinj
BTq
Vt =
( ) 71,0""
9,0 27.14 = →=
BTA
figura EghBreakthrou
M
( )
BTADLinj EVV ⋅= ( )oroPDL SSVV −⋅=
( ) ( )BTAoroPinj ESSVV ⋅−⋅= ( ) 71,05,075,0³128000 ⋅−⋅= mVinj
w
injB
mV
³22720=
stdmm
inj
mV
3
300,1
³22720= stdmVinj
322720=
dstdmBT
stdmt
³
3
09,55
22720= dtBT 42,412=
Parte (f):
wBTwinjinj BtqV ⋅⋅= stdmm
dstdm
inj dV ³³³ 0,142,412100 ⋅⋅= ³41242mVinj =
o
inj
PB
VN =
stdmmP
mN
³³1,1
³41242= stdmNP ³73,37492=
0=PW Parte (g):
N
NFR P=
φ⋅⋅= hAVP ( ) 2,020400400 ⋅⋅⋅= mmmVP ³640000mVP =
o
oP
B
SVN
⋅=
stdmm
mN
³³1,1
75,0³640000 ⋅= stdmN ³64,436363=
stdm
stdmFR
³64,436363
³73,37492= %59,80859,0 ==FR
Parte (h):
José Arnóbio dos Santos 11
inj
inj
BTq
Vt =
%50
( )BTADLinj EVV ⋅= ( )oroPDL SSVV −⋅=
φ⋅⋅= hAVP ( ) 2,020400400 ⋅⋅⋅= mmmVP ³640000mVP =
( ) ( )w
BTAoroPinj
B
ESSVV
⋅−⋅=
( )stdm
minj
mV
³³0,1
71,05,075,0³640000 ⋅−⋅=
stdmVinj ³113600=
dstdmBT
stdmt
³100
³113600%50
= dtBT 1136%50
=
Parte (i):
o
winj
PB
VN =
stdmmP
mN
³³1,1
³113600= stdmNP ³73,103272=
0=PW
Parte (j):
N
NFR P=
stdm
stdmFR
³64,436363
³73,103272= %67,232367,0 ==FR
Parte (k):
φ⋅⋅= hAVP ( ) 2,04400400 ⋅⋅⋅= mmmVP ³128000mVP =
( ) ( )w
BTAoroPinj
B
ESSVV
⋅−⋅=
( )stdm
minj
mV
³³0,1
71,05,075,0³128000 ⋅−⋅=
stdmVinj ³22720=
( )inj
inj
camadaBTq
Vt =ª2 ( )
dstdmcamadaBT
stdmt
³ª2 99,22
³22720= ( ) dt camadaBT 26,988ª2 =
Parte (l):
( ) ( )
+=
BTinj
inj
BTAAW
WEE log633,0 ( ) 71,0=
BTAE
dtBT 42,412= ( ) dt camadaBT 26,988ª2 =
wBTwinjinj BtqW ⋅⋅=
( ) ( ) wcamadaBTwinjBTinj BtqW ⋅⋅= ª2
( ) ( )
⋅⋅
⋅⋅+=
wBTwinj
wcamadaBTwinj
BTAABtq
BtqEE
ª2log633,0 ( ) ( )
+=
BT
camadaBT
BTAAt
tEE
ª2log633,0
José Arnóbio dos Santos 12
+=
d
dEA 42,412
26,988log633,071,0 9502,0=AE
( ) BTwinjP tqW ∆⋅=1
( ) ( ))( ª1ª2 camadaBTcamadaBTBT ttt −=∆
( )ddW dstdm
P 42,41226,98809,55 ³ −⋅= stdmWP ³96,31676=
( )o
AoroPP
B
ESSVN
⋅−⋅=1
( )stdm
mP
mN
³³1 1,1
9502,05,075,0³128000 ⋅−⋅=
stdmNP ³18,276421 =
( ) ( )
o
wcamadaBTinj
PB
BtqN
⋅⋅= ª22
2 stdm
m
stdmm
dstdm
P
dN
³³
³³³
2 1,1
0,126,98899,22 ⋅⋅=
stdmNP ³63,206542 =
( ) ( )
o
wcamadaBTinj
PB
BtqN
⋅⋅= ª2
33
stdmm
stdmm
dstdm
P
dN
³³
³³³
3 1,1
0,126,98832,12 ⋅⋅=
stdmNP ³51,110683 =
( ) ( )
o
wcamadaBTinj
PB
BtqN
⋅⋅= ª24
4 stdm
m
stdmm
dstdm
P
dN
³³
³³³
4 1,1
0,126,98875,6 ⋅⋅=
stdmNP ³32,60644 =
( ) ( )
o
wcamadaBTinj
PB
BtqN
⋅⋅= ª25
5 stdm
m
stdmm
dstdm
P
dN
³³
³³³
5 1,1
0,126,98884,2 ⋅⋅=
stdmNP ³51,25515 =
54321 PPPPPP NNNNNN ++++=
stdmstdmstdmstdmstdmNP ³51,2551³32,6064³51,11068³63,20654³18,27642 ++++=
stdmNP ³16,67981= Parte (m):
N
NFR P=
stdm
stdmFR
³64,436363
³16,67981= %579,1515579,0 ==FR
José Arnóbio dos Santos 13
Problema 14.6 – São dados de um reservatório de óleo, constituído de 10 camadas de 61 cm de espessura cada uma:
Camada 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Permeabilidade (md) 2 40 45 120 80 145 110 74 48 6 Vazão de injeção ............................................................................................... 31,83 m3std /d “Cut” de abandono ............................................................................................ 84,30% Volume poroso do reservatório ......................................................................... 15.250 m3 Porosidade ......................................................................................................... 25% Saturação de água conata irredutível ................................................................. 22% Saturação de óleo no início da injeção .............................................................. 60% Saturação de óleo residual ................................................................................. 17% Saturação de gás residual .................................................................................. 0 Fator volume-formação do óleo à pressão original ........................................... 1,20 Fator volume-formação do óleo na pressão de abandono ................................. 1,12 Utilizando o modelo de Stiles, pedem-se:
(a) Construir um gráfico de “cut” de água versus eficiência de varrido vertical. (b) Calcular a eficiência de varrido vertical no instante de abandono do reservatório. (c) Calcular o fator de recuperação, em relação ao volume original de óleo, no
instante de abandono do reservatório. Observação: Considerar que não se produz óleo até que ocorra o “fill-up” de todas as camadas (os poços de produção permanecem fechados durante o enchimento do reservatório).
Dispensada
José Arnóbio dos Santos 14
Problema 14.7 – Utilizando os dados do Problema 14.6 e o modelo de Dykstra-Parsons, determinar a eficiência de varrido vertical no instante da erupção da 6a camada mais permeável. Outras informações são: Viscosidade da água .......................................................................................... 0,9 cp Viscosidade do óleo .......................................................................................... 1,6 cp Permeabilidade relativa à água na região invadida pela água ........................... 0,40 Permeabilidade relativa ao óleo no banco de óleo ............................................ 0,92 Solução:
( )
( )( )( )
7729,07729,092,0
6,1
90,0
40,0=→=⋅=⋅== M
k
kM
w
o
Swio
Sorw
k
k
o
Swio
w
Sorw
µµ
µ
µ
Considerando o esquema de injeção “Five - spot”.
φ⋅⋅= hAVP ³15250mVP = 25,0=φ mh 1,6=
φ⋅=h
VA P
25,01,6
³15250
⋅=
m
mA ²10000mA =
Al = ²10000ml = ml 100=
mmlL 42,14121002 ===
( )
−
⋅−+−⋅=
1
1 22
M
MMMLX
j
i
k
k
i
k1=2 k2=40 k3=45 k4=120 k5=80 k6=145 k7=110 k8=74 k9=48 k10=6
141,2m
6,1m
100m
2l
José Arnóbio dos Santos 15
( )
−
⋅−+−⋅=
17729,0
7729,017729,07729,042,141 48
4522
3 mX mX 535,1333 =
( )
−
⋅−+−⋅=
17729,0
7729,017729,07729,042,141 48
4022
2 mX mX 164,1202 =
( )
−
⋅−+−⋅=
17729,0
7729,017729,07729,042,141 48
622
10 mX mX 865,1910 =
( )
−
⋅−+−⋅=
17729,0
7729,017729,07729,042,141 48
222
1 mX mX 711,61 =
t
n
i
ii
vvLh
hX
E∑
== 1
( )1061,042,141
61,0711,661,0865,1961,0164,12061,0535,13361,042,1416
⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅
=mm
mmmmmmmmmmEvv
²662,862
²565,688
m
mEvv = 7982,0=vvE %82,79=vvE
José Arnóbio dos Santos 16
Problema 14.8 – Utilizando os dados do Problema 14.3, calcule, em relação ao óleo originalmente existente:
(a) A eficiência de deslocamento no “breakthrough”. (b) A eficiência de deslocamento no abandono.
Solução:
( )( )
( )( )wi
oro
wiP
oroPD
S
SS
SV
SSVE
−
−=
−
−=
11
( ) ( )( ) 40,060,011 =−=−=BTwBTor SS
( ) ( )( ) 30,070,011 =−=−=abwabor SS
( )wi
oi
oPo S
B
B
N
NS −⋅⋅
−= 11 ( )20,0125,1
2,1
³409600
³100001
³³
³³
−⋅⋅
−=stdm
m
stdmm
ostdm
stdmS
75,0=oS
Parte (a):
wi
oroD
S
SSE
−
−=1
2,01
4,075,0
−
−=DE %75,434375,0 ==DE
Parte (b):
wi
oroD
S
SSE
−
−=1
2,01
3,075,0
−
−=DE %25,565625,0 ==DE
José Arnóbio dos Santos 17
Problema 14.14 – Um reservatório inicialmente à pressão de bolha de 200 kgf/cm2, quando o fator volume-formação do óleo era de 1,45 m3/ m3std, produziu 6% do óleo original, tendo então a pressão declinada para 100 kgf/cm2 e o fator volume-formação do óleo reduzido para 1,35 m3/ m3std. Foi em seguida iniciado nesse reservatório um projeto de injeção de água com um esquema em linha direta e uma vazão de injeção constante igual a 280 m3std /d/poço, ou seja, 140 m3std /d/malha. Outras informações sobre o projeto são: Porosidade média .............................................................................................. 10% Saturação de água conata irredutível ................................................................. 20% Saturação de óleo residual ................................................................................. 40% Saturação de gás residual .................................................................................. 0% Espessura média do reservatório ....................................................................... 20 m Distância entre as linhas de injeção e de produção ........................................... 800 m Distância entre os poços nas linhas ................................................................... 400 m Permeabilidade absoluta .................................................................................... 200 md Permeabilidade relativa à água na região invadida pela água ........................... 60% Permeabilidade relativa ao óleo no banco de óleo ............................................ 40% Viscosidades da água e do óleo ......................................................................... 1 cp Fator volume-formação da água ........................................................................ 1,0 Usando o modelo de deslocamento completo, determine:
(a) O tempo de “fill-up”. (b) A posição da frente de avanço da água 6 meses após o início do projeto de
injeção, admitindo que 1 mês = 30,42 d. (c) A posição da frente de avanço do óleo 6 meses após o início do projeto de injeção,
admitindo que 1 mês = 30,42 d. (d) O tempo de “breakthrough”. (e) A fração recuperada, desde o início da produção do reservatório, no instante de
“breakthrough”. (f) A razão de mobilidades. (g) A pressão de injeção no fundo do poço no instante de “fill-up”, admitindo uma
pressão de fluxo de fundo no poço de produção constante e igual a 90 kgf/cm2. (h) A pressão de injeção no fundo do poço no instante de “breakthrough”, admitindo
uma pressão de fluxo de fundo no poço de produção constante e igual a 90 kgf/cm2.
Solução:
2200
cm
kgfbP = 2100
cm
kgfP = stdmm
oiB ³³45,1= stdm
moB ³
³35,1=
oiop VV ⋅= %6
Linha direta
poçod
stdminjW ³280=
malhad
stdminjW ³140=
José Arnóbio dos Santos 18
Parte (a):
( )
inj
FUinj
FUq
Wt =
( )oi
oiP
B
SVN
⋅=
( ) ( ) ( )stdm
m
mmmN
³³45,1
8,010,020400800 ⋅⋅⋅⋅= stdmN ³44,353103=
NNP ⋅= 06,01 stdmNP ³44,35310306,01 ⋅= stdmNP ³21,211861 =
( )wi
oi
oPo S
B
B
N
NS −⋅⋅
−= 11 1 ( )20,0145,1
35,1
³44,353103
³21,211861
³³
³³
−⋅⋅
−=
stdmm
stdmm
ostdm
stdmS
70,0=oS ooig SSS −= 70,080,0 −=gS 10,0=gS
( )inj
FUinj
FUq
Wt =
( ) ( ) ( )
dstdm
stdmm
mmm
FUt ³³
³
140
1,1
1,010,020400800 ⋅⋅⋅⋅
= dtFU 14,457=
Parte (b):
A posição da frente de avanço da água 6 meses após o início do projeto de injeção, admitindo que 1 mês = 30,42 d. Seis meses = 182,52 d.
FUinjinj tqW ⋅= d 182,52140 ³ ⋅= dstdm
injW stdm³8,25552Winj =
( )( )
grwior
winj
aSSSA
BWX
−−−⋅⋅
⋅=
1φ
( ) ( )02,04,0110,020400
0,1³8,25552 ³³
−−−⋅⋅⋅
⋅=
mm
stdmX stdm
m
a
mX a 85,79=
Parte (c):
A posição da frente de avanço do óleo 6 meses após o início do projeto de injeção, admitindo que 1 mês = 30,42 d.
−−−−
+⋅=owigr
oroao
SSS
SSXX
11
−−−
−+⋅=
7,02,001
4,07,0185,79 mX o
mX o 4,319=
Parte (d):
wio SS −=1 2,01−=oS 80,0=oS
( )inj
orop
BTq
SSVt
−⋅=
( ) ( ) ( )d
m
mmm
BTt ³140
4,08,010,020400800 −⋅⋅⋅⋅= dtBT 57,1828=
José Arnóbio dos Santos 19
Parte (e):
N
NFR P=
N
NNFR PP 21 +
=
stdmNP ³21,211861 =
( )o
oroiP
B
SShAN
−⋅⋅⋅=
φ2
( ) ( )stdm
mP
mmmN
³³2 35,1
40,070,010,020400800 −⋅⋅⋅⋅= stdmNP ³22,1422222 =
stdm
stdmstdmFR
³44,353103
³22,142222³21,21186 +=
stdm
stdmFR
³44,353103
³43,163408=
4628,0=FR %28,46=FR
Parte (f):
rww kkk ⋅= 6,0200 ⋅= mDkw mDkw 120=
roo kkk ⋅= 4,0200 ⋅= mDkw mDko 80=
( )
( )( )( )
5,11
1
80
120=⋅=⋅==
w
o
Swio
Sorw
k
k
k
kM
o
Swio
w
Sorw
µµ
µ
µ 5,1=M
Parte (g):
( )FUwinjFUinj tqW ⋅= ( ) dW d
stdm
FUinj 17,457140 ³ ⋅= ( ) stdmWFUinj ³60,63999=
( )( )
grwior
wFUinj
FUSSSA
BWX
−−−⋅⋅
⋅=
1φ
( ) ( )02,04,0110,020400
0,1³60,63999 ³³
−−−⋅⋅⋅⋅
=mm
stdmX stdm
m
FU
mX FU 999,199=
( )
−⋅+⋅⋅
⋅⋅⋅=∆ M
L
XM
Ak
LqP FU
w
wwinj 16,119 µ
( )( )
−⋅+⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=∆ 5,11
800
999,1995,1
20400120
8000,11406,119P
21858,19cm
kgfP =∆
222 901858,1990cm
kgf
cm
kgf
cm
kgfPP +=+∆= 21858,109cm
kgfP =
Parte (h):
( )( )
−⋅+⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=∆ 5,11
800
8005,1
20400120
8000,11406,119P 295,13
cm
kgfP =∆
222 9095,1390cm
kgf
cm
kgf
cm
kgfPP +=+∆= 295,103cm
kgfP =
José Arnóbio dos Santos 20
Problema 14.15 – Um arenito, submetido à injeção de água, apresenta as características de permeabilidade relativa mostradas na Tabela 14.9.
Tabela 14.9 – Dados de permeabilidade relativa do reservatório do Problema 14.15
Sw kro krw
0,24 0,95 0,00 0,30 0,89 0,01 0,40 0,74 0,04 0,50 0,45 0,09 0,60 0,19 0,17 0,70 0,06 0,28 0,80 0,00 0,44
Outros dados são: Viscosidade do óleo .......................................................................................... 1,25 cp Viscosidade da água .......................................................................................... 0,76 cp Porosidade ......................................................................................................... 20% Saturação de óleo residual (irredutível)............................................................. 20% Saturação de água irredutível ............................................................................ 24% Saturação de óleo no início da injeção .............................................................. 76% Comprimento do arenito.................................................................................... 2,0 m Seção reta transversal do arenito ....................................................................... 50 cm2 Vazão de injeção ............................................................................................... 163 cm3/h
(a) Admitindo que a pressão média do sistema seja mantida constante e acima da pressão de bolha, trace um gráfico do fluxo fracionário de água em função da saturação de água.
(b) Utilizando o gráfico do fluxo fracionário versus saturação de água, determine a saturação da frente de avanço, o fluxo fracionário da frente de avanço e a saturação média atrás da frente de avanço.
(c) Calcule a posição da frente de avanço da água 1 h após o início da injeção. (d) Determine o volume de óleo deslocado até que ocorra o “breakthrough”.
Solução:
José Arnóbio dos Santos 21
Parte (a):
rww kkk ⋅=
roo kkk ⋅=
o
w
w
ow
k
kf
µµ
⋅+=1
1
o
w
rw
row
k
kf
µµ
⋅+=1
1 ( )
o
w
rw
roSw
k
kf
w
µµ
⋅+=1
1
( )
25,1
76,0
0,0
95,01
124,0
⋅+=wf ( ) 0,024,0 ≅wf
( )
25,1
76,0
01,0
89,01
130,0
⋅+=wf ( ) 018145,030,0 =wf
( )
25,1
76,0
04,0
74,01
140,0
⋅+=wf ( ) 081646,040,0 =wf
( )
25,1
76,0
09,0
45,01
150,0
⋅+=wf ( ) 24725,050,0 =wf
( )
25,1
76,0
17,0
19,01
160,0
⋅+=wf ( ) 595405,060,0 =wf
( )
25,1
76,0
28,0
06,01
170,0
⋅+=wf ( ) 884732,070,0 =wf
( )
25,1
76,0
44,0
00,01
180,0
⋅+=wf ( ) 0,180,0 =wf
José Arnóbio dos Santos 22
Parte (b):
71,0=wfS 90,0=wff 76,0=wfS
Parte (c):
A posição da frente de avanço da água 1 hora após o início da injeção.
w
inj
f fA
Vx ′⋅
⋅=
φ
wfw
wf
wSS
ff
−
−=′1
71,076,0
90,01
−−
=′wf 2=′
wf
220,0²50
³163⋅
⋅=
cm
cmx f cmx f 6,32=
Parte (d):
( ) PwiwD VSSV ⋅−= ( ) 20,0200²50 ⋅⋅= cmcmVP ³2000cmVP =
( ) ³200024,076,0 cmVD ⋅−= ³1040cmVD =
José Arnóbio dos Santos 23
Problema 14.16 – Um reservatório apresenta o esquema de injeção mostrado na Figura 14.73, onde I é um poço de injeção, P um poço de produção e O um poço de observação.
Figura 14.73 – Esquema de injeção do reservatório do Problema 14.16.
Duzentos dias após o início da injeção o poço O foi aberto (durante um intervalo de tempo desprezível, apenas o suficiente para se medirem as vazões de óleo e de água), tendo produzido óleo e água, sendo a vazão de óleo igual a 5% da vazão de injeção de água (constante) no poço I, vazões essas medidas em condições de reservatório. Em seguida o poço O foi imediatamente fechado, prosseguindo-se a injeção de água até o poço de produção P apresentar um fluxo fracionário de água de 95%, quando então foi convertido em poço de injeção. As curvas de fw e de f w′ versus Sw são dadas na Figura 14.74.
Figura 14.74 – Curvas do fluxo fracionário e sua derivada versus saturação de água - Problema 14.16.
José Arnóbio dos Santos 24
Determine:
(a) A saturação de água irredutível. (b) A saturação de óleo residual (irredutível). (c) A saturação de água na frente de avanço da água. (d) A saturação média de água atrás da frente de avanço da água. (e) O fluxo fracionário de água no poço O no instante em que esteve aberto. (f) A saturação de água nas imediações do poço O no instante em que esteve aberto. (g) A distância da frente de avanço da água ao poço de injeção no instante em que o
poço O esteve aberto. (h) Uma curva de saturação de água versus distância ao poço de injeção no instante
em que o poço O esteve aberto (200 dias após o início da injeção). (i) O tempo de “breakthrough” no poço P a contar do início da injeção. (j) O tempo de vida do poço P como poço de produção.
Solução:
Parte (a):
%25=wiS
Parte (b):
wior SS −=1 75,01−=orS 25,0=orS %25=orS
Parte (c):
A saturação na frente de avanço (tangente) → %40=wS
Parte (d):
w
www
f
fSS
′−
+=1
4
57,014,0
−+=wS 5075,0=wS %75,50=wS
Parte (e):
ow
ww
qf
+= wo qq ⋅= 05,0
ww
ww
qf
⋅+=
05,0
w
ww
q
qf
⋅=05,1
9523,0=wf %23,95=wf
Parte (f):
%23,95=wf %60=wS
José Arnóbio dos Santos 25
Parte (g):
w
inj
f fA
Vx ′⋅
⋅=
φ 84,0%60 =′→= ww fS
w
finj
f
x
A
V
′=
⋅φ
84,0
100m
A
Vinj =⋅φ
mA
Vinj 05,119=⋅φ
A saturação na frente de avanço da água é 4%40 =′→= ww fS
w
inj
f fA
Vx ′⋅
⋅=
φ 405,119 ⋅= mx f mx f 20,476=
Parte (h):
Distância da frente de avanço ao poço de injeção (poço O aberto)
w
inj
f fA
Vx ′⋅
⋅=
φ
( ) 32,005,119%65 ⋅=→ mxS fw mx f 10,38=
( ) 84,005,119%60 ⋅=→ mxS fw mx f 100=
( ) 4,105,119%55 ⋅=→ mxS fw mx f 67,166=
( ) 205,119%50 ⋅=→ mxS fw mx f 10,238=
( ) 72,205,119%45 ⋅=→ mxS fw mx f 82,323=
( ) 405,119%40 ⋅=→ mxS fw mx f 20,476=
Parte (i):
mt
md
BT 800
476200
L
L dtBT 13,336=
Parte (j):
w
inj
f fA
Vx ′⋅
⋅=
φ 84,0%60 =′→= ww fS
w
finj
f
x
A
V
′=
⋅φ
84,0
800m
A
Vinj =⋅φ
mA
Vinj 38,952=⋅φ
mt
md
BT 38,952
05,119200
L
L dtBT 97,1599=
José Arnóbio dos Santos 26
Problema 14.17 – Um reservatório em que é feita injeção de água em linha direta possui as seguintes características:
Espessura da formação produtora ..................................................................... 10 m Mergulho estrutural ........................................................................................... 0º Porosidade média .............................................................................................. 20% Permeabilidade absoluta média ......................................................................... 5 md Saturação de gás no início da injeção ................................................................ 15% Pressão média do reservatório ........................................................................... 70 kgf/cm2 Fator volume-formação do óleo à pressão de bolha (original) ......................... 1,29 Fator volume-formação do óleo à pressão atual do reservatório ....................... 1,20 Fator volume-formação da água ........................................................................ 1,00 Viscosidade da água .......................................................................................... 0,5 cp Viscosidade do óleo .......................................................................................... 1,0 cp Saturação de gás irredutível .............................................................................. 0% Distância dos poços de injeção aos poços de produção .................................... 400 m Distância entre os poços de injeção ................................................................... 200 m Dados de permeabilidade relativa ..................................................................... Tabela 14.11 Dados de fluxo fracionário ................................................................................ Tabela 14.12
Tabela 14.11 − Dados de permeabilidade relativa do reservatório do Problema 14.17
Sw 0,100 0,469 0,563 0,700
krw 0,000 0,228 0,375 0,740
kro 1,000 0,115 0,061 0,000
Tabela 14.12 – Dados de fluxo fracionário do reservatório do Problema 14.17
Sw fw f w′
0,100 0,000 0,000 0,469 0,795 2,160 0,495 0,845 1,750 0,520 0,888 1,410 0,546 0,920 1,130 0,572 0,946 0,851 0,597 0,965 0,649 0,622 0,980 0,477 0,649 0,990 0,317 0,674 0,996 0,195 0,700 1,000 0,000
Determine:
(a) A saturação de água irredutível. (b) A saturação de óleo residual (irredutível). (c) A razão de mobilidades admitindo que o deslocamento fosse completo. (d) A saturação média de água atrás da frente de saturação de água igual a 67,4%. (e) A velocidade de deslocamento da frente de saturação de água igual a 67,4% se a
vazão de injeção é de 90 m3std/d/malha (180 m3std/d/poço). (f) O valor da razão de permeabilidades (krw/kro) correspondente à saturação de água
nas imediações do poço produtor quando a razão água/óleo nesse poço for igual a 4,71.
José Arnóbio dos Santos 27
(g) A produção acumulada de óleo até o abandono, sabendo-se que o poço produtor será abandonado quando o fluxo fracionário de água no mesmo for de 96,5%.
(h) A produção acumulada de água até o abandono.
Solução:
José Arnóbio dos Santos 28
Parte (a):
%10=wiS
Parte (b):
%30%70 =→= orwi SS (Deslocamento completo)
Parte (c):
Saturação → 74,07,0 =→= rww kS
( )
( )( )( )
48,15,0
0,1
0,1
74,0=⋅=⋅==
w
o
Swio
Sorw
k
k
k
kM
o
Swio
w
Sorw
µµ
µ
µ 48,1=M
Parte (d):
w
www
f
fSS
′−
+=1
674,0%4,67 ==wS 996,0=wf 195,0=′wf
195,0
996,01674,0
−+=wS 695,0=wS %5,69=wS
Parte (e):
A
qv
inj= mm
v malhad
stdm
10200
90 ³
⋅= d
mv 045,0=
Parte (f):
71,4==o
w
q
qRAO
71,4w
o
qq = wo qq 2123,0=
wo
ww
qf
+=
ww
ww
qf
+=
2123,0 825,0=wf
Com 825,0=wf encontramos no gráfico 48,0=wS
Com 48,0=wS encontramos no gráfico 24,0=rwk e 095,0=rok
Portanto: 53,2095,024,0 ==
ro
rwk
k
José Arnóbio dos Santos 29
Parte (g):
965,0=wf 597,0=wS 649,0=′wf
w
www
f
fSS
′−
+=1
649,0
965,01597,0
−+=wS 651,0=wS
( )o
wigiwP
PB
SSSVN
−−⋅=1
( )stdm
mP
mmmN
³³1 20,1
10,015,0651,02,010200400 −−⋅⋅⋅⋅=
stdmm
P
mN
³³1 20,1
³64160= stdmNP ³667,534661 =
( )wi
oi
oPo S
B
B
N
NS −⋅⋅
−= 11 2
( )
−⋅−⋅=
wi
oi
o
oP
SB
B
SNN
112
( )oi
oiP
B
SVN
⋅=
( ) ( ) ( )stdm
m
mmmN
³³29,1
9,020,010200400 ⋅⋅⋅⋅= stdmN ³907,111627=
( )
−⋅−⋅=
10,0129,1
20,175,0
1³907,111627
³³
³³2
stdmm
stdmmP stdmN
stdmNP ³907,116272 =
21 PPP NNN += stdmstdmNP ³907,11627³667,53466 +=
stdmNP ³574,65094= Parte (h):
w
finj
f
x
A
W
′=
⋅φ
w
f
injf
xAW
′⋅⋅= φ ( )
649,0
4002,010200
mmmWinj ⋅⋅⋅=
³13,246533 mWinj =
stdmm
stdmm
P
stdmmW
³³
³³
1
29,1³09,68341³13,246533 ⋅−= stdmWP ³12,158373=
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