„EU peníze středním školám“

„EU peníze středním školám“

Kombinatorická pravidla

Mgr. Marcela Sandnerová

Základní kombinatorická pravidla

Kombinatorické pravidlo součinu

Kombinatorické pravidlo součtu

Kombinatorické pravidlo součinuPříklad 1Kolika způsoby si může Pavel připravit snídani

jestliže si vybírá z následujících možností: nápoj: čaj, káva, mléko, kakao, džus; pečivo: chléb, rohlík, celozrnná bageta; tuk: máslo, Rama, bez tuku; obloha: tavený sýr, šunka, salám, plátkovaný

sýr, marmeláda, med, vejce.

Např. káva, chléb s máslem a medem.

Kombinatorické pravidlo součinuŘešení příkladu 1Snídaně - počet možností – p

nápoj: čaj, káva, mléko, kakao, džus 5 = n1

pečivo: chléb, rohlík, celozrnná bageta 3 = n2

tuk: máslo, Rama, bez tuku 3 = n3

obloha: tavený sýr, šunka, salám, plátkovaný

sýr, marmeláda, med, vejce 7 = n4

p = n1 ∙ n2 ∙ n3 ∙ n4 = 5∙3∙3∙7 = 315

Pavel si může připravit snídani 315 způsoby.

Kombinatorické pravidlo součinu

Počet všech uspořádaných dvojic, jejichž

první člen lze vybrat n1 způsoby

a druhý člen po výběru prvního n2 způsoby,

je roven: p = n1 ∙ n2

Zformulujte kombinatorické pravidlo

součinu pro uspořádanou trojici, čtveřici, k-tici.

Kombinatorické pravidlo součinu

Počet uspořádaných trojic, jejichž první člen lze

vybrat právě n1 způsoby, druhý člen po výběru

prvního členu právě n2 způsoby a třetí člen

po výběru druhého právě n3 způsoby, je roven:

p = n1 ∙ n2 ∙ n3

Kombinatorické pravidlo součinuPříklad 2Kolik čtyřciferných přirozených čísel menších

než 7 000 lze sestavit z číslic 0 až 9, jestliže se

číslice v zápisu čísla neopakují?

Kombinatorické pravidlo součinuŘešení příkladu 2Kolik čtyřciferných přirozených čísel menších

než 7 000 lze sestavit z číslic 0 až 9, jestliže se

číslice v zápisu čísla neopakují?

řád tisíců n1 = 6 možnosti:1, 2, 3, 4, 5, 6

řád stovek n2 = 9 (o jednu číslici méně)

řád desítek n3 = 8 (o jednu číslici méně)

řád jednotek n4 = 7 (o jednu číslici méně)

p = n1 ∙ n2 ∙ n3 ∙ n4 = 6∙9∙8∙7 = 3 024

Lze sestavit 3 024 čtyřciferných přirozených

čísel menších než 7 000.

Kombinatorická pravidla součtu a součinuPříklad 3Novákovi zvažují, zda pojedou v létě na dovolenou

k moři, kde by jim termínem vyhovovaly čtyři pobyty

s možností výběru plné penze, nebo polopenze.

Druhou variantou je pět zahraničních poznávacích

pobytů, u kterých je nabídka plné penze, polopenze,

nebo vlastního stravování.

Kombinatorická pravidla součtu a součinuŘešení příkladu 3Dovolená - počet možností p = p1 + p2

Dovolená u moře p1 = n1 ∙ n2

- možnosti pobytu: 4 = n1

- možnosti stravování: 2 = n2

Poznávací pobyt p2 = n3 ∙ n4

- možnosti pobytu: 5 = n3

- možnosti stravování: 3 = n4

p = p1 + p2 = n1 ∙ n2 + n3 ∙ n4 = 4∙2 + 5∙3 = 23

Novákovi vybírají dovolenou z 23 možností.

Kombinatorické pravidlo součtu

Jsou-li A1 a A2 konečné množiny, pro které platí:

- mají po řadě p1 a p2 prvků,

- jsou disjunktní,

pak počet prvků množiny A1 A∪ 2

je roven: p = p1 + p2

Zformulujte kombinatorické pravidlo součtu

pro uspořádanou k-tici.

Kombinatorické pravidlo součtu

Jsou-li A1, A2, …, Ak konečné množiny, pro které

platí:

- mají po řadě p1, p2, …, pk prvků,

- každé dvě jsou disjunktní,

pak počet prvků množiny A1 A∪ 2 … A∪ ∪ k

je roven: p = p1 + p2 + … + pk

Kombinatorická pravidla součtu a součinuPříklad 4Kolik přirozených čísel menších než 370 lze sestavit

z číslic 0 až 9, jestliže se číslice v zápisu čísla

neopakují?

Kombinatorická pravidla součtu a součinuŘešení příkladu 4 – 1. částPřirozená čísla menší než 300,

číslice 0 až 9, neopakují se

počet možností p = p1 + p2 + p3

- jednociferná přirozená čísla p1= n1= 9

řád jednotek n1= 9 (možnosti:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

- dvojciferná přirozená čísla p2 = n1 ∙ n2 = 9∙9 = 81

řád desítek n1= 9 (nelze použít 0)

řád jednotek n2= 9 (o jednu číslici méně, ale přidána 0)

- trojciferná přirozená čísla p3

Kombinatorická pravidla součtu a součinuŘešení příkladu 4 – 1. částPřirozená čísla menší než 300,

číslice 0 až 9, neopakují se

počet možností p = p1 + p2 + p3

- jednociferná přirozená čísla p1= n1= 9

(možnosti:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

- dvojciferná přirozená čísla p2 = n1 ∙ n2 = 9∙9 = 81

řád desítek n1= 9 (nelze použít 0)

řád jednotek n2= 9 (o jednu číslici méně, ale přidána 0)

- trojciferná přirozená čísla p3

Kombinatorická pravidla součtu a součinuŘešení příkladu 4 – 2. část- jednociferná přirozená čísla p1= n1= 9

- dvojciferná přirozená čísla p2 = n1 ∙ n2 = 9∙9 = 81

- trojciferná přirozená čísla

p3 = n1 ∙ n2 ∙ n3 = 2∙9∙8 = 144

řád stovek n1= 2 (možnosti: 1, 2)

řád desítek n2= 9 (o jednu číslici méně)

řád jednotek n3= 8 (o jednu číslici méně)

p = p1 + p2 + p3 = 9 + 81 + 144 = 234

Lze sestavit 234 přirozených čísel menších

než 300.

Kombinatorická pravidla součtu a součinuŘešení příkladu 4 – 2. část- jednociferná přirozená čísla p1= n1= 9

- dvojciferná přirozená čísla p2 = n1 ∙ n2 = 9∙9 = 81

- trojciferná přirozená čísla

p3 = n1 ∙ n2 ∙ n3 = 2∙9∙8 = 144

řád stovek n1= 2 (možnosti: 1, 2)

řád desítek n2= 9 (o jednu číslici méně)

řád jednotek n3= 8 (o jednu číslici méně)

p = p1 + p2 + p3 = 9 + 81 + 144 = 234

Lze sestavit 234 přirozených čísel menších

než 300.

Zdroje:

Pokud není uvedeno jinak, použitý materiál je

z vlastních zdrojů autorky.