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ESTATÍSTICA
1
• U.E PROF EDGAR TITO
PROF. RANILDO LOPEShttp://ueedgartito.wordpress.com
ESTATÍSTICA
•MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
•MEDIDAS DE DISPERSÃO
2
Estatística
• ELEMENTOS TÍPICOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO:
Medidas de posição
Medidas de variabilidade ou dispersão
3
Medidas de Tendência Central
• É um valor calculado para um grupo de dados
• usado para descrever esses dados.
• Tipicamente, desejamos que o valor sejarepresentativo de todos os valores do grupo
• os dados observados tendem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centrais.
4
Medidas de Tendência Central
• São Medidas de Tendência Central:
1. média;
2. mediana;
3. moda
5
1 - MÉDIA ARITMÉTICA
• definida como a soma dos valores divididapelo número de elementos.
• Sua aplicação é seguramente a mais usada
• podem ser:
– Média para dados simples
– Média para dados agrupados
– Média para dados agrupados em classes.
6
Exemplo: Dado um a idade de 5 crianças
Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 12
média - x = 4 + 6 + 8 + 10 +12
5
X = ∑xi
nsendo “ n “ o número de elementos
Assim: X = 40 = 85
Portanto a idade média dessas 5 crianças é 8 anos.
7
1.1. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS SIMPLESamostra: (X) população:
• Exemplo: Notas de 20 alunos:
Xi: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3
5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9
X = 1+1+1 + 2+2+2 + 3+3+3+3 + 5+5+5+5+5+5 + 6+6+6 + 920
X = 1 . 3 + 2 . 3 + 3 . 4 + 5 . 6 + 6 . 3 + 9 .1 = 3+6+12+30+18+93 + 3 + 4 + 6 + 3 + 1 20
8
1.1. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS SIMPLESamostra: (X) população:
• Quando o conjunto de dados para os quaisprecisamos calcular a média é mais extenso,temos a necessidade de agrupar os dados.Assim, a média desse grupo é calculado daseguinte forma:
X = (Xi . fi )
fi
9
1.2. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS (MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA)
amostra: (X) população:
Xi fi Xi . fi
1 3 3 X = Xi . fi2 3 6 fi3 4 12 X = 78 = 3,9
5 6 30 20
6 3 18
9 1 9
- 20 78
Fonte: dados fictícios10
1.2. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS (MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA)
amostra: (X) população:
IDADE DE ALUNOS
Xi PM fi PM.fi
0 2.......... 1 3 1.3 = 3
2 4.......... 3 7 3.7 = 214 6.......... 5 6 5.6 = 30
6 8.......... 7 3 7.3 = 21
8 10.......... 9 1 9.1 = 9
total ......... 20 84
Fonte: Dados fictícios
X = (PM. Fi ) X = 84 X = 4,2
fi 20
11
1.3. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES
amostra: (X) população:
2 – MEDIANA ( X )
• É o valor que se localiza no centro da distribuição
• é obtida a partir de seus valores centrais
• Pode ser:
2.1 MEDIANA PARA DADOS SIMPLES
2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES INTERVALARES
12
2.1 MÉDIANA PARA DADOS SIMPLES (X)
Há duas situações:
1) Quando o número de elementos pesquisados é ímpar
Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 12
Posição: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
“ n “ o número de elementos ímparUma posição central - P
P = n +1 P = 5 + 1 = 3ª posição => Xi = 8, portanto X = 82 2
~
posição central
Xi
~
13
2.1 MÉDIANA PARA DADOS SIMPLES (X)
2) Quando o número de elementos pesquisados é par
Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 10; 12
Posição: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª
~
X1 X2
~
P1 P2 (2 Posições centrais)
~
“ n = 6 número PAR de elementosDuas posições centrais - P1 e P2
P1 = n P1 = 6 = 3ª posição => X1 = 8, X = X1 + X2 = 8 + 102 2 2 2
P2 = é a próxima P2 = 4ª posição => X2= 10, X = 9
14
2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
1)Quando o nº de elementos é IMPAR
Xi fi fac nº de elementos =
1 2 2 fi = 19 (ímpar)
2 3 5
3 4 9 uma posição central
5 6 15 P = fi +1 = 19+1
6 3 18 2 2
9 1 19 P = 10ª posição
- 19
15
2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
Xi fi fac
1 2 2
2 3 5
3 4 9
5 6 15
6 3 18
9 1 19
Σ 19
Xi 1 1 2 2 2 3 3
posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª
Xi 3 3 5 5 5 5 5
posição 8ª 9ª 10ª 11ª 12ª 13ª 14ª
Xi 5 6 6 6 9
posição 15ª 16ª 17ª 18ª 19ª
16
2.2. MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
~
1) Quando o nº de elementos é IMPAR
Xi fi fac P = 10ª posição
1 2 2
2 3 5
3 4 9
Xi = 5 6 15
6 3 18 X = 5
9 1 19
- 19
17
2.2 MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
2)Quando o nº de elementos é PAR
Xi fi fac nº de elementos = fi = 20(par)1 2 2
2 3 5
3 4 9 duas posição centrais
5 6 15 P1 = fi = 20 = 10ª posição
6 3 18 2 2
9 2 20 P2 = é a próxima= 11ª posição
- 20
18
2.2 MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
~
2)Quando o nº de elementos é PAR
Xi fi fac P1 = 10ª posição
1 2 2 P2 = 11ª posição
2 3 5
3 4 9
X1= X2= 5 6 15
6 3 18 X = (X1+ X2) = 5 + 5
9 2 20 2 2
- 20 X = 5
19
2.3. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO CENTRAL “P”
P = Fi P = 23 P = 11,5º posição
2 2
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE MEDIANA”
20
2.3. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa
2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO CENTRAL “P”
P = Fi P = 23 P = 11,5º posição
2 2
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE MEDIANA”
li
ls
21
2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa
2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
Posição central -> P = 11,5º posição
Limite inferior da classe -> li = 2
Limite superior da classe -> ls = 4
Amplitude da classe -> h = ls - li = 4 – 2 = 2
Freqüência da classe -> fi = 10
Freqüência acumulada anterior -> faa = 3
li
ls
P - faa . hfi
+li=X~
11,5 - 3 . 210
+=~X 2
22
2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa
2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
li
ls
8,5 . 2 10
+2=X~
X = 2 + 0,85 . 2~
X = 2 + 1,70~
X = 3,70~
23
2 – MODA ( X )
• É o ponto de maior concentração de ocorrências de uma variável
• Coincide com o conceito vulgar da palavra, isto é, o que ocorre com maior freqüência
^
24
2.1 – MODA PARA DADOS SIMPLES ( X )
• Exemplo: Idade de 20 alunos:
Xi: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3
5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9
O valor que apareceu maior número de vezes é o 5
portanto => X = 5
^
^
25
2.2 – MODA PARA DADOS AGRUPADOS ( X )^
^
Maior valor de fiXi =
Xi = 5
Xi fi
1 2
2 3
3 4
5 6
6 3
9 1
- 19
26
2.3. MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES – MODA DE CZUBER - Xcz
fmax
Xi PM fi
0 2.......... 1 3
2 4.......... 3 10 4 6.......... 5 6
6 8.......... 7 3
8 10.......... 9 1
total ......... 23
1º passo: Achar a classe onde se encontra a maior freqüência - fmax
^
27
2.3. MODA DE Czuber - XCZ
Xi PM fi
0 2.......... 1 3
2 4.......... 3 10 4 6.......... 5 6
6 8.......... 7 3
8 10.......... 9 1
total ......... 23
Limite inferior => li = 2 freqüência máxima => fmax = 10
Limite superior => ls = 4 freqüência anterior => fant = 3
freqüência posterior => fpost = 6
Amplitude da classe=> h = ls – li = 4 – 2 = 2
1 = fmax – fant = 10 – 3 = 7
2 = fmax – fpost = 10 – 6 = 4
li
ls
^
fant
fpos
fmax
28
2.3. MODA DE Czuber - XCZ^
Limite inferior => li = 2 freqüência máxima => fmax = 10
Limite superior => ls = 4 freqüência anterior => fant = 3
freqüência posterior => fpost = 6
Amplitude da classe=> h = ls – li = 4 – 2 = 2
1 = fmax – fant = 10 – 3 = 7
2 = fmax – fpost = 10 – 6 = 4
Cálculo da moda de Czuber
Xcz = li + ___ 1 ___ . h
1 + 2
Xcz = 2 + __7__ . 2 = 2 + _7_ . 2 = 2 + 14 = 2 + 1,3 = 3,3
7 + 4 11 11
^
^
29
2.3. MODA DE KING - Xki
Xi PM fi
0 2.......... 1 3
2 4.......... 3 10 4 6.......... 5 6
6 8.......... 7 3
8 10.......... 9 1
total ......... 23
Limite inferior => li = 2 freqüência máxima => fmax = 10
Limite superior => ls = 4 freqüência anterior => fant = 3
freqüência posterior => fpost = 6
Amplitude da classe=> h = ls – li = 4 – 2 = 2
li
ls
^
fant
fpos
fmax
30
2.3. MODA DE KING - Xki^
^
^
Limite inferior => li = 2 freqüência máxima => fmax = 10
Limite superior => ls = 4 freqüência anterior => fant = 3
freqüência posterior => fpost = 6
Amplitude da classe=> h = ls – li = 4 – 2 = 2
Cálculo da moda de KING
Xki = li + fpost . h
fant + fpost
Xcz = 2 + 6 . 2 = 2 + 6 . 2 = 2 + 12 = 2 + 1,3 = 3,3
3 + 6 9 9
31
2.3. MODA DE Pearson - Xpe^
^
^
Cálculo da moda de PEARSON
Xpe = 3. X - 2. X
Exemplo: Em um levantamento de dados onde a Mediana = X = 4
e a Moda = X = 4,2
A moda de Pearson será:
X = 3.4 - 2 . 4,2 = 12 – 8,4
X = 3,6
~
~
_
^
^
32
Outras separatrizes
• A Mediana divide a distribuição em duas partes.
• É o atributo que está no meio da distribuição:
– 50% dos valores acima da mediana
– 50% dos valores abaixo da mediana
33
Outras separatrizes
QUARTIS ou QUARTILHOS
• o Quartil divide a distribuição em 4 partes de igual freqüência.
• Seu cálculo é importante para as medidas de dispersão e variabilidade
• São três:
34
Outras separatrizes
Quartil
• São três:
• Q1 = quartil inferior ou primeiro quartil. Tem 25% da distribuição abaixo de si
• Q2 = é a mediana ou quartil mediano
• Q3 = quartil superior ou terceiro quartil. Tem 75% da distribuição abaixo de si
35
Quartil
• 1º quartil - Q1 = assume a posição P1q = Σfi
4
• 2º quartil – Q2 = assume a posição P2q = 2. Σfi
4
• 3º quartil - Q3 = assume a posição P3q = 3.Σfi
4
36
1º QUARTIL – Q1
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO PRIMEIRO QUARTIL “ P1q ”
P1q = Fi P1q = 23 P 1q = 5,75º posição
4 4
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O PRIMEIRO QUARTIL – Q1”
37
1º QUARTIL – Q1
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa
2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
Posição 1º quartil -> P 1q= 5,75º posição
Limite inferior da classe -> li = 2
Limite superior da classe -> ls = 4
Amplitude da classe -> h = ls - li = 4 – 2 = 2
Freqüência da classe -> fi = 10
Freqüência acumulada anterior -> faa = 3
li
ls
P1q - faa . hfi
+li=Q1
5,75 - 3 . 210
+=Q1 2
38
1º QUARTIL – Q1
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa
2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
li
ls
2,75 . 2 10
+2=Q1
Q1 = 2 + 0,55
Q1 = 2,55
39
3º QUARTIL – Q3
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO TERCEIRO QUARTIL “ P3q ”
P3q = 3. Fi P3q = 3. 23 P 3q = 17,25º posição
4 4
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O TERCEIRO QUARTIL – Q3”
40
3º QUARTIL – Q3
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 13 faa4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
Posição central -> P 3q= 17,25º posição
Limite inferior da classe -> li = 4
Limite superior da classe -> ls = 6
Amplitude da classe -> h = ls - li = 6 – 4 = 2
Freqüência da classe -> fi = 6
Freqüência acumulada anterior -> faa = 13
li
ls
P3q - faa . hfi
+li=Q3
17,25 - 13 .26
+=Q3 4
41
3º QUARTIL – Q3
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa
2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
li
ls
4,25 . 2 13
+4=Q3
Q3 = 4 + 0,65
Q3 = 4,65
42
Outras separatrizes
Decil
• Dividem a distribuição em 10 partes de igual freqüência.
• São nove
• o quinto decil é a mediana.
43
Decil
• 1º decil - D1 = assume a posição P1d= Σfi
10
• 2º decil – D2 = assume a posição P2d = 2. Σfi
10
• 9º decil - D9 = assume a posição P9d = 9.Σfi
10
44
1º DECIL – D1
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO PRIMEIRO DECIL “ P1d ”
P1d = Fi P1d = 23 P 1d = 2,3º posição
10 10
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O PRIMEIRO DECIL – D1”
45
1º DECIL – D1
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa
2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
Posição 1º DECIL -> P 1d= 2,3º posição
Limite inferior da classe -> li = 0
Limite superior da classe -> ls = 2
Amplitude da classe -> h = ls - li = 2 – 0 = 2
Freqüência da classe -> fi = 3
Freqüência acumulada anterior -> faa = 0
li
ls
P1d - faa . hfi
+li=D1
2,3 – 0 . 23
+=D1 0
46
1º DECIL – D1
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
2,3 . 2 3
+0=D1
D1 = 1,53
47
9º DECIL – D9
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO NONO DECIL “ P9d ”
P9d = 9. Fi P9d = 9. 23 P9d = 20,70º posição
10 10
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O NONO DECIL – D9”
48
9º DECIL – D9
li
ls
P9d - faa . hfi
+li=D9
20,7 - 19 .23
+=D9 6
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 13 faa4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
Posição central -> P 9d= 20,7º posição
Limite inferior da classe -> li = 6
Limite superior da classe -> ls = 8
Amplitude da classe -> h = ls - li = 8 – 6 = 2
Freqüência da classe -> fi = 3
Freqüência acumulada anterior -> faa = 19 49
9º DECIL – D9
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19 faa
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
1,7 . 2 3
+6=D9
D9 = 6 + 1,13
D9 = 7,13
50
Outras separatrizes
Centil ou Percentil
• Dividem a distribuição em 100 partes de igual freqüência.
• São noventa e nove
• o qüinquagésimo centil é a mediana.
51
Percentil - Ci
• 1º percentil - C1 = assume a posição P1c= Σfi
100
• 2º percentil – C2 = assume a posição P2c = 2. Σfi
100
• 99ºpercentil - C99 = assume a posição P99c =99.Σfi
100
52
10º PERCENTIL – C10
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO DÉCIMO PERCENTIL “ P10c ”
P10c = 10 . Fi P10c = 10 .23 P 10c = 2,3º posição
100 100
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O Décimo Percentil – C10”
53
10º PERCENTIL – C10
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa
2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
Posição 10º percentil -> P 10c= 2,3º posição
Limite inferior da classe -> li = 0
Limite superior da classe -> ls = 2
Amplitude da classe -> h = ls - li = 2 – 0 = 2
Freqüência da classe -> fi = 3
Freqüência acumulada anterior -> faa = 0
li
ls
P10c - faa . hfi
+li=C10
2,3 – 0 . 23
+=C10 0
54
10º PERCENTIL – C10
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
2,3 . 2 3
+0=C10
C10 = 1,53
55
90º percentil – C90
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO NONAGÉSIMO PERCENTIL “ P90c ”
P90c = 90. Fi P90c = 9. 23 P90c = 20,70º posição
100 100
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O nonagésimo percentil – C90”
56
90º PERCENTIL – C90
li
ls
P90c - faa . hfi
+li=C90
20,7 - 19 .23
+=C90 6
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 13 faa4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
Posição central -> P 90c= 20,7º posição
Limite inferior da classe -> li = 6
Limite superior da classe -> ls = 8
Amplitude da classe -> h = ls - li = 8 – 6 = 2
Freqüência da classe -> fi = 3
Freqüência acumulada anterior -> faa = 19 57
90º PERCENTIL – C90
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
1,7 . 2 3
+6=C90
C90 = 6 + 1,13
C90 = 7,13
58
Relações
Quartil Decil Percentil Mediana
D1 = C10
Q1 = = C25
Q2 = D5 = C50 = X
Q3 = = C75
D9 = C90
~
59
Outras médiasMÉDIA DE INTERVALO
É a média entre a menor e a maior observação em um conjunto de dados.
MÉDIA DAS JUNTAS ou Midhinge
É a média entre o primeiro e o terceiro quartil.
XMENOR + XMAIOR
2Média de Intevalo =
Outras médias
XMENOR + XMAIOR
2Média de Intevalo =
Q1 + Q3
2Midhinge =
60
Medidas de Dispersão
• As Medidas de Tendência Central:
– representam de certa forma uma determinada distribuição de dados
– só elas não são suficientes para caracterizar a distribuição.
• Para uma análise estatística mais exata é necessária a verificação da flutuação dos valores em torno de sua média aritmética
61
Medidas de Dispersão
• Suponha as notas de 2 grupos de estudantes, cada qual com 5 alunos.
• GRUPO “A” : 4, 5, 5, 6
• GRUPO “B” : 0, 0, 10, 10
• Média do grupo “A”: 5
• Média do grupo “B”: 5
62
Medidas de Dispersão
• Os dois grupos apresentam a mesma média
• O comportamento dos 2 grupos são bem distintos.
GRUPO “A”: valores são mais homogêneos
GRUPO “B”: valores são dispersos em
relação à média
63
Medidas de Dispersão
• Dentre as medidas de dispersão pode-se citar algums delas:– a) Amplitude Total
– b) Amplitude Interquartil
– c) Desvio Quartílico ou
Amplitude Semi-interquartílico
– d)Desvio Médio
– e) Variância
– f) Desvio Padrão64
a) Amplitude Total - R
– é a diferença entre o maior e o menor valor observados.
R = Limite superior - Limite Inferior
• Exemplo 5: Idade de 20 alunos:
Xi: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9
R = 9 – 1 = 8
65
b) Amplitude Interquartil – AIQou IQR ( InterQuartile Range )
é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil.
AIQ ou IQR = Q3 - Q1
– Supera a dependência dos valores extremos
– Abrange 50% dos valores centrais, eliminando os 25% dos valores mais baixos e os 25% dos valores mais altos
66
c) Desvio Quartílico ouAmplitude Semi-interquartílico
é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil.
Dq = Q3 - Q1
2
67
d) Desvio Médio - DM
é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil. Para uma amostra
DM = Σ Xi – X_
n - 1
Sendo: DM = Desvio Médio Xi = vr. variável
n = nº elementos
X = média aritmética
d) Desvio Médio - DM
Para uma população
DM = Σ Xi – _
n
Sendo: DM = Desvio Médio Xi = vr. variável
n = nº elementos
= média aritmética
d) Desvio Médio - DM
Exemplo 6: Dado o levantamento:
Xi : 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 10
a) Calcule a média X = = = 4
b) Montar a tabela a seguir:
Σ Xin
4010
d) Desvio Médio - DM
Xi Xi - x Xi – x
2 2 – 4 = - 2 2
2 2 – 4 = - 2 2
3 3 – 4 = - 1 1
3 3 – 4 = - 1 1
3 3 – 4 = - 1 1 DM = =
4 4 – 4 = 0 0
4 4 – 4 = 0 0 DM = 1,56
4 4 – 4 = 0 0
5 5 – 4 = 1 1
10 10 – 4 = 6 6
Σ 14
Σ Xi – x_n - 1
149
Considerando uma amostra
e) Variância – população: 2
amostra: s2
– é a média dos quadrados dos afastamentos entre as os valores da variável e sua média aritmética
– Revela a dispersão do conjunto que se estuda
Para uma amostra
s2 = Σ (Xi – X )2_
n - 1
Sendo: s2= variância amostra Xi = vr. variável
n = nº elementos
X = média aritmética
e) Variância – população: 2
amostra: s2
Para uma população
2 = Σ (Xi – )2_
n
Sendo: 2 = variância população Xi = vr. variável
n = nº elementos
= média aritmética
e) Variância – população: 2
amostra: s2
d.1) Variância - 2 – dados simples
Exemplo 7: Dado o levantamento:
Xi : 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 10
a) Calcule a média X = = = 4
b) Montar a tabela a seguir:
Σ Xin
4010
d.1) Variância - s2 – dados simples
Xi Xi - x ( Xi – x )2
2 2 – 4 = - 2 22 = 4
2 2 – 4 = - 2 22 = 4
3 3 – 4 = - 1 12 = 1
3 3 – 4 = - 1 12 = 1
3 3 – 4 = - 1 12 = 1 s2 = =
4 4 – 4 = 0 02 = 0
4 4 – 4 = 0 02 = 0
4 4 – 4 = 0 02 = 0 s2 = = 5,33
5 5 – 4 = 1 12 = 1
10 10 – 4 = 6 62 = 36
Σ 48
Σ ( Xi – x )2
n - 1
489
d.2) Variância - s2 – dados agrupados
Xi fi Xi . fi Xi - x ( Xi – x )2 ( Xi – x )2 . fi
2 2 2 . 2 = 4 2 – 4 = -2 (-2)2 = 4 4 . 2 = 8
3 3 3 . 3 = 9 3 – 4 = -1 (-1)2 = 1 1 . 3 = 3
4 3 4 . 3 = 12 4 – 4 = 0 02 = 0 0 . 3 = 0
5 1 5 . 1 = 5 5 – 4 = 1 12 = 1 1 . 1 = 1
10 1 10 . 1 = 10 10 - 4 = 6 62 = 36 36 . 1 = 36
Σ fi = 10 Σ fi = 40 Σ fi = 48
se amostra
s2 =
s2 = = 5,33
Σ ( Xi – x )2 . fiΣ fi - 1
489
d.2) Variância - s2 – dados agrupados em classes
Xi PM fi PM.fi PM-x ( PM–x )2 ( PM–x )2.fi
0 2..... 1 2 1.2 = 2 1-5= -4 (-4)2 = 16 16 . 2 = 32
2 4..... 3 4 3.4 = 12 3-5= -2 (-2)2 = 4 4 . 4 = 16
4 6..... 5 8 5.8 = 40 5-5= 0 02 = 0 0 . 8 = 0
6 8..... 7 6 7.6 = 42 7-5= 2 (2)2 = 4 4 . 6 = 24
8 10.... 9 1 9.1 = 9 9-5= 4 (4)2 = 16 16 . 1 = 16
total .... 21 105 88
Σ ( PM – x )2 . fiΣ fi - 1
Σ ( PM.fi)Σ fi
X = = 105
21X = 5
s2 = =8820
s2 =
s2 = 4,4
d) Desvio Padrão
– Por definição, é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios
– É a mais utilizada
– Revela a dispersão do conjunto que se estuda
para uma população = 2
para uma amostra s = s2
e) Desvio Padrão - “” ou “s”– Se todos os valores forem iguais, o desvio padrão
é nulo.
– quanto maior o desvio padrão mais heterogênea é a distribuição, significa que os valores são mais dispersos em torno da média
– MEDIA ± 1 => 68,26% dos valores
– MEDIA ± 2 => 95,44% dos valores
– MEDIA ± 3 => 99,74% dos valores
f) Coeficiente de Variação - CV
CV = - desvio padrão
X X - média artitmética
– o CV mede o grau de heterogeneidade da distribuição
– Valor máximo é CV = 1
0 ≤ CV ≤ 1
81
Coeficiente de Variação - CV
– Quanto mais próximo de 1:mais heterogênea é a distribuição
Os valores estão mais dispersos
– Quanto mais próximo de 0:mais homogênea é a distribuição
Os valores da variável estão mais próximos em torno da média
82
Coeficiente de Variação - CV
– Ex: Dado 2 estudantes cujas notas bimestrais foram:
• “a”: 60; 40; 50; 50
• “b”: 70; 70; 30; 30
• Qual foi mais regular ?
83
f) Coeficiente de Variação - CV
Na comparação de variabilidade de dois ou mais conjuntos de dados:
1. expressos em diferentes unidades de medida
2. expressos nas mesmas unidades, mas com médias diferentes.
84
f) Coeficiente de Variação - CV
Comparação de valores expressos em diferentes unidades de medida
Exemplo 8: Deseja-se comparar qual grandeza varia mais: PESO ou COMPRIMENTO
XPESO = 20 kg XCOMPRIMENTO = 50 metros
PESO = 2 kg COMPRIMENTO = 4 metros
85
f) Coeficiente de Variação - CV
XPESO
PESOCVP =
COMPRIMENTO
XCOMPRIMENTO
CVC =
220
CVP =
450
CVC =
CVP = 0,10
CVC = 0,08
CVPESO = 0,10 ≥ CVCOMPRIMENTO = 0,08
PESO varia mais que o comprimento
86
f) Coeficiente de Variação - CV
expressos nas mesmas unidades, mas com médias diferentes
Exemplo 9: Deseja-se comparar qual grupo “ A ”
ou “ B “ tem mais variação de rendimento em um processo:
XA = 80 % XB = 50 %
A = 2 % B = 1 %
87
f) Coeficiente de Variação - CV
ACVA =
XA
BCVB =
XB
280
CVP =
150
CVB =
CVA = 0,025
CVB = 0,020
CVA = 0,025 ≥ CVB = 0,020
O rendimento do Produto A varia mais que o rendimento do produto B no decorrer do processo
88
89
Estatística
• RANILDO LOPES
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