Elementi di Teoria dei giochi Razionalità: ciascun individuo massimizza la sua utilità attesa...

Elementi di

Teoria dei giochi

Razionalità: ciascun individuo massimizza la sua utilità attesa rispetto a qualche credenza

Intelligenza: ciascun individuo comprende la situazione in cui è coinvolto, compreso il fatto che gli altri individui sono intelligenti e razionali.

Teoria dei giochiStudio dei modelli matematici di cooperazione e conflitto tra individui intelligenti e razionali.

Cos’è un gioco?

Un gioco è descritto da quattro cose:

1. I giocatori2. Le regole: ordine delle mosse, azioni possibili,

informazione3. Esiti (per ogni possibile profilo di scelte)4. Vincite o utilità attesa.

Azioni vs StrategieAzioniL’insieme delle “mosse” a disposizione dei giocatori

StrategiaPiano completo di azione.La strategia specifica un’azione per ognuna delle

situazioni in cui il giocatore può essere chiamato a decidere (indipendentemente dal fatto che poi venga effettivamente a trovarsi in quella situazione

NB: In alcuni casi possono coincidere!

Dilemma del prigioniero

• Due criminali che hanno commesso in complicità un grave delitto sono detenuti in celle separate (non possono comunicare).• Ci sono le prove solo per accusarli di un delitto minore la cui pena è 1 anno di reclusione• Ogni prigioniero può confessare il delitto grave o tacere.• Se confessa uscirà subito di prigione, mentre il complice avrà una pena di 20 anni di reclusione.• Se entrambi confessano saranno condannati ad una pena intermedia di 5 anni.• Se nessuno dei 2 confessa la pena sarà di 1 anno.

Dilemma del prigioniero

Giocatori: I due criminali

Regole: detenuti non possono comunicare, possono confessare o tacere, decidono contemporaneamente.

Azioni: Confessare o tacere

Strategie: confessare o tacere (coincidono con azioni in questo caso!)

Vincite: gli anni di reclusione (vincite negative)

Gioco in forma strategica

Insieme dei giocatori i N = {1,...,n} Insieme delle strategie si Si

Funzione di vincita ui(s):SGioco in forma strategica = {S1,...,Sn;u1,...,un}

NOTAZIONE:Profilo di strategie (s1,...,sn) S = S1...Sn

Prig 2

Prig 1

Confessare Tacere

Confessare -5 , -5 0 , -20

Tacere -20 , 0 -1 , -1

Gioco in forma strategica

Gioco in forma estesa

Fornisce l’informazione per rispondere ai seguenti quesiti:

Chi gioca quando?

Cosa possono fare i giocatori?

Che informazione hanno i giocatori?

Quali sono le possibili vincite?

Gioco in forma estesa

-5, -5

0, -20

-20, 0

-1, -1

1

2

2

tace

tace

confessa

confessa

confessa

tace

Gioco dell’entrata

• 2 imprese: X e Y• Y monopolista di un mercato; X decide se entrare o no

• Se X entra, allora Y può produrre poco o tanto.• Se Y produce poco entrambe hanno profitto 1• Se Y produce tanto entrambe avranno profitti -1

• Se X non entra avrà profitti nulli e Y può sempre produrre poco o tanto, ma resta monopolista• Se Y produce poco avrà profitto 2• Se Y produce tanto avrà profitto 3

Gioco dell’entrata

Giocatori: Le 2 imprese

Regole: Impresa X decide per prima, Y può vedere l’azione di X

Vincite: I profitti

Gioco dell’entrata

AzioniX ENTRA o NON ENTRAY produrre POCO o TANTO

StrategieImpresa X ENTRA o NON ENTRA (coincide con azioni)

Impresa YProdurre POCO sia se X ENTRA, sia se X NON ENTRAProdurre POCO se X ENTRA, TANTO se X NON ENTRAProdurre TANTO sia se X ENTRA, sia se X NON ENTRAProdurre TANTO se X ENTRA, POCO se X NON ENTRA

Gioco in forma estesa

-1, -1

1, 1

0, 3

0, 2

X

Y

Y

Non entra

poco

entra

tanto

tanto

poco

Gioco in forma strategica

Y

XPoco, poco

Poco, tanto

Tanto, poco

tanto, tanto

Entra 1,1 1,1 -1,-1 -1,-1

Non entra 0,2 0,3 0,2 0,3

Informazione

Informazione Perfetta: ciascun insieme informativo è composto da un nodo singolo (ad esempio gli scacchi, gioco di entrata)

Informazione imperfetta: in un qualche punto dell’albero di gioco un giocatore non è sicuro della storia passata del gioco, cioè ignora qualche azione passata. In altre parole qualche insieme di informazione contiene più di un nodo. (dilemma del prigioniero)

-5, -5

0, -20

-20, 0

-1, -1

1

2

2

tace

tace

confessa

confessa

confessa

tace

-5, -5

0, -20

-20, 0

-1, -1

2

1

1

tace

tace

confessa

confessa

confessa

tace

-1 , -1-20 , 0Tacere

0 , -20-5 , -5Confessare

TacereConfessare

Prig 2

Prig 1

-1 , -1-20 , 0Tacere

0 , -20-5 , -5Confessare

TacereConfessare

Prig 2

Prig 1

-1 , -1-20 , 0Tacere

0 , -20-5 , -5Confessare

TacereConfessare

Prig 2

Prig 1

-1 , -1-20 , 0Tacere

0 , -20-5 , -5Confessare

TacereConfessare

Prig 2

Prig 1

Rappresentazioni equivalenti

-5, -5

0, -20

-20, 0

-1, -1

1

2

2

tace

tace

confessa

confessa

confessa

tace

-1 , -1-20 , 0Tacere

0 , -20-5 , -5Confessare

TacereConfessare

Prig 2

Prig 1

-1 , -1-20 , 0Tacere

0 , -20-5 , -5Confessare

TacereConfessare

Prig 2

Prig 1

-5, -5

0, -20

-20, 0

-1, -1

1

2

2

tace

tace

confessa

confessa

confessa

tace

-1,-1-20,0-1,-1-20,0Tacere

0,-200,-20-5,-5-5,-5Confessare

tacere, tacere

tacere, confessare

confessare, tacere

Confessare, confessare

Prig 2

Prig 1

-1,-1-20,0-1,-1-20,0Tacere

0,-200,-20-5,-5-5,-5Confessare

tacere, tacere

tacere, confessare

confessare, tacere

Confessare, confessare

Prig 2

Prig 1

Strategie dipendono da informazione

Cos’è la SOLUZIONE di un gioco?

Se desideriamo prevedere l’esito verosimile di una situazione di interazione strategica dobbiamo prevedere il comportamento dei giocatori, cioè dobbiamo individuare la SOLUZIONE del gioco.

La soluzione di un gioco è un modello di comportamento dei giocatori che soddisfa delle condizioni di “plausibilità”.

Come definire la soluzione di un gioco?

Solitamente gli economisti usano l’IPOTESI DI RAZIONALITA’.

Problema: come definire la razionalità in situazioni di interazione strategica?

Ricordiamo la definizione di teoria dei giochi:

i giocatori sono razionali e intelligenti

Il problema è formalizzare razionalità E intelligenza.

Applicazione dell’ipotesi di razionalità nei GFN

Per ogni giocatore ricerco la strategia che massimizza la vincita PER OGNI POSSIBILE SCELTA DEGLI ALTRI,

In altre parole cerco le RISPOSTE OTTIME in funzione di tutte le possibili strategie altrui.

Il dilemma del prigioniero

-0.5, -0.5

0, -3

-3, 0

-1, -1

Confesso

2

1 Non confesso

Non confesso

Confesso

I numeri sono gli anni di prigione

Un concetto di equilibrio come soluzione: l’equilibrio di Nash

),...,,,...,( dove

ogniper ),()(**

1*

1*1

*

**

niii

iiiiii

sssss

Ssssusu

Dato un gioco in forma strategica, un profilo di strategie s*  S è un equilibrio di Nash in strategie pure se per tutti i giocatori i

INTERPRETAZIONI DELL’EQUILIBRIO DI NASH

NB: è definito come un profilo di strategie, non come un prodotto cartesiano, come abbiamo visto nel caso precedente. Questo dipende dal fatto che stiamo considerando un concetto di equilibrio.

Tre INTERPRETAZIONI:1. Equilibrio di Nash come soluzione eduttiva2. Equilibrio di Nash come punto di equilibrio di un

processo dinamico (implicito)3. Equilibrio di Nash come equilibrio di aspettative

razionali.

Pari o dispari: non esiste un equilibrio in strategie pure

+1, -1

-1, +1

-1, +1

+1, -1

P D

P

D

2

1

Strategie misteDue tipi di strategie:

puremiste

Due tipi di equilibrioIn strategie pureIn strategie miste

Definizione

Un profilo di strategie miste = (1,...,n) è un equilibrio di Nash se per ogni i,

iiiiii uu ˆ )ˆ,()(

Il gioco dell’entrata

Telex

0, 0

2, 2

1, 5

Entra

Guerra

IBM

Fuori

Accomoda

La forma normale del gioco dell’entrata

0, 0 2, 2

1, 5

Guerra Accomoda

Entra

Fuori

IBM

Telex

1, 5

Equilibri nel gioco dell’entrata: le strategie ottime per Telex

0, 0 2, 2

1, 5

Guerra Accomoda

Entra

Fuori

IBM

Telex

1, 5

Le strategie ottime per IBM

0, 0 2, 2

1, 5

Guerra Accomoda

Entra

Fuori

IBM

Telex

1, 5

Due equilibri

0, 0 2, 2

1, 5

Guerra

Entra

Fuori

IBM

Telex

1, 5

Accomoda

L’equilibrio credibile

1

0, 0

2, 2

1, 5

Entra

Guerra

Fuori

Accomoda

2

L’equilibrio non credibile

1

0, 0

2, 2

1, 5

Entra

Guerra

Fuori

Accomoda

Problemi con gli equilibri di Nash

Equilibrio di Nash: ogni giocatore deve agire ottimamente date le strategie altrui, cioè ogni giocatore gioca una risposta ottima alle strategie degli altri giocatori. Problema: la condizione di ottimizzazione è posta solo all’inizio del gioco.Perciò qualche equilibrio di Nash nei giochi dinamici può coinvolgere minacce non credibili.

Un nuovo concetto di soluzione per risolvere il problema della credibilità

Perfezione nei sottogiochi(Selten, 1965)

Applica una nozione di comportamento razionale (in particolare l’equilibrio di Nash) ogni volta che si fronteggia una situazione strategica ben definita.

La nozione di sottogioco proprio modella l’idea di “una situazione strategica ben definita”.

Il concetto di sottogioco

Telex

0, 0

2, 2

1, 5

Entra

Guerra

IBM

Fuori

Accomoda

Sottogioco

Un esempio di non esistenza di sottogiochi propri

0, 0

2, 2

1, 5

Entra

Guerra

Fuori

Accomoda

Accomoda 1, 5

Guerra

TelexIBM

Credibilità e perfezione nei sottogiochi

Equilibri perfetti nei sottogiochi: gioca un equilibrio in tutti i sottogiochi.

Questo implica che i giocatori fanno minacce e promesse che poi hanno un incentivo a rispettare effettivamente.

Comportamento razionale nel sottogioco

0, 0

2, 2

Guerra

Accomoda

2

Un equilibrio Nash di è perfetto nei sottogiochi se specifica delle strategie di equilibrio Nash in ogni sottogioco proprio di .

In altre parole, i giocatori devono scegliere razionalmente in ogni occasione durante il gioco.

Definizione

Un principio generale

L’idea di giocare in modo ottimale ad ogni occasione del gioco è chiamata induzione a ritroso.

L’induzione a ritroso induce un equilibrio perfetto nei sottogiochi

Nei giochi ad informazione perfetta, si giocano delle risposte ottime ad ogni nodo decisionale.

Esempio 2: un gioco ad informazione perfetta

1: 1 2 2: 3 0

4 0 2 1

l r l r

L R

1

2 2

rl

R 0, 1

rr

L 1, 3

4, 2

2, 0

2

1 2, 0

4, 2 0, 1

1, 3

ll lr

Il gioco in forma normale

Tre equilibri Nash in strategie pure: {R,ll}, {L,lr}, and {R,rl}. {L,lr} e {R,rl} coinvolgono minacce non credibili.

Esempio 2: induzione a ritroso

1: 1 2 2: 3 0

4 0 2 1

l r l r

L R

2

1

2

Esempio 3: Stackelberg

Un impresa per prima stabilisce quanto produrre, successivamente una seconda impresa, dopo aver osservato la decisione della prima, decide a sua volta quanto produrre.

E’ un gioco ad informazione perfettaLa strategia dell’impresa che muove per seconda

è una funzione.

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OLIGOPOLIO

Calcolo degli equilibri per i giochi con un continuo di possibili strategie

Uso del calcolo differenziale per massimizzare l’utilità e risolvere i giochi

Equilibrio come soluzione di condizioni del primo e secondo ordine.

Concorrenza nelle quantità tra due imprese

Concorrenza alla Cournot L’equilibrio di Cournot si colloca tra

monopolio e concorrenza perfetta

Concorrenza alla Cournot tra due imprese

Funzione di domanda: P = 130 - Q se Q 130 = 0

altrimenti

Quantità di mercato: Q = x1 + x2 + … + xn = xi

Vettore delle quantità individuali: x = (x1, x2, … , xn) dove xi rappresenta la quantità dell’impresa i

Perciò per un mercato con due impreseQ = x1+ x2 e x = (x1, x2)

Costo marginale costante = c

Concorrenza alla Cournot

Profitti dell’impresa i:

ui(x) = ricavi - costi

= Pxi - cxi

= (P - c)xi

u1(x) = (P - c)x1 e u2(x) = (P - c)x2

Calcolo della funzione di risposta ottima

Funzione di vincita dell’impresa i:

ui(x) = (P - c)xi

Condizioni del primo ordine:L’impresa 1 massimizza il suo profitto producendo fino al punto in cui il profitto marginale è nullo:

0 = u1/x1 = (P - c) + x1P/x1

0 = (120 - x1 - x2) + x1(-1)

0 = 120 - 2x1 - x2

La funzione di risposta ottima nella concorrenza alla Cournot

La condizione del primo ordine per l’impresa 1 è:

2x1 + x2 = 120

Risolvendola per x1 in funzione di x2 otteniamo la funzione di risposta ottima dell’impresa 1:

x1 = f1(x2) = 60 - x2/2

Analogamente, la funzione di risposta ottima dell’impresa 2 è:

x2 = f2(x1) = 60 - x1/2.

L’equilibrio di Cournot x*

(40, 40) = x*

0 1200

120

x2 = f2(x1) = 60 - x1/2

x1 = f1(x2) = 60 - x2/2

x1

x2

Concorrenza perfetta con due imprese

Prezzo uguale al costo marginale In questo mercato il costo marginale = c =

$10 Q = 130 - P = 130 - 10 = 120

x* = (60, 60) Il profitto per ogni impresa è (10 - 10) 60 = 0.

Equilibrio di monopolio per due imprese

Un monopolista massimizzerà il profitto totale:

u = u1 + u2 = (P - c) Q u = (120 - Q) Q

Condizioni del primo ordine per massimizzare il profitto totale:

0 = u/Q = 120 - 2Q Q* = 60 and profitti totali = (120-60) 60 = $3600

Concorrenza alla Cournot, concorrenza perfetta e

monopolio

La concorrenza alla Cournot tra due imprese ha un equilibrio che si colloca tra monopolio e concorrenza perfetta

Caratteristiche dell’equilibrio di Cournot

Il monopolio è associato al prezzo più alto, la minore quantità e il profitto più alto

La concorrenza perfetta è associata al prezzo più basso, la quantità più alta e a un profitto nullo

L’equilibrio di Cournot si colloca in una posizione intermedia rispetto a tutte e tre queste dimensioni.

Caratteristiche dell’equilibrio di Cournot

Q

Equilibrio di monopolio

$130

$70

$50

$10

Equilibrio di Cournot

Equilibrio di concorrenza perfetta

P

60 80 120

Concorrenza alla Cournot con molte imprese

Profitto dell’impresa i: ui(x) = (P - 10)xi

Poiché tutte le imprese fronteggiano gli stessi costi e vendono lo stesso prodotto, il gioco è simmetrico. Quindi la strategia di massimizzazione del profitto sarà la stessa per tutte le imprese.

Consideriamo una generica impresa i.

Concorrenza alla Cournot con molte imprese

L’impresa i desidera massimizzare il profitto ui(x) = (P - 10)xi

Condizioni del primo ordine:

0 = ui/xi = (P - 10) + xi(P/xi)

= 120 - xs - xi

Per simmetria, xs = nxi

0 = 120 - (n+1) xi

xi* = 120/(n+1)

Concorrenza alla Cournot con molte imprese

Quantità di mercato:Q* = x1 = nx1 = 120n/(n+1)

prezzo di mercato:P* = 130 - Q* =130 - [120n/(n+1)]

n P* = $10 and Q* = 120 L’equilibrio di Cournot coincide con l’equilibrio di

concorrenza perfetta quando il numero di imprese tende ad infinito.

Il risultato limite di Cournot in termini di surplus: n = 1

Q

Compratori$130

$70

$10Venditore

P

60

Il risultato limite di Cournot in termini di surplus: n = 2

Q

Compratori

$130

$50

$10

Venditori

P

80

Il risultato limite di Cournot in termini di surplus: n =

Q

Compratori

$130

$10

P

120

Concorrenza di prezzo tra due imprese: il modello di Bertrand

La concorrenza di prezzo è diversa dalla concorrenza nelle quantità

La concorrenza di prezzo porta al prezzo uguale al costo marginale con appena due imprese.

Concorrenza di prezzo tra due imprese

Domanda di mercato: Q = 130 - P

Vettore dei prezzi: p = (p1, p2) dove p1 e p2 sono i prezzi rispettivamente dell’impresa 1 e dell’impresa 2

xi(p) è la domanda fronteggiata dall’impresa i

Profitto dell’impresa i: ui(p) = (pi - c) xi(p)

Le domande fronteggiate dalle due imprese

La curva di domanda dell’impresa 1:

x1(p) = 130 - p1 se p1 < p2 = (130 - p1)/2 se p1 = p2 = 0

se p1 > p2

La curva di domanda dell’impresa 2:

x2(p) = 130 - p2 se p2 < p1

= (130 - p2)/2 se p2 = p1

= 0 se p2 > p1

La curva di domanda fronteggiata dall’impresa 1

x1

P2

P1

130

x1 = 65 - P1/2

0

x1 = 0

0

x1 = 130 - P1

L’equilibrio nel modello di Bertrand

Se n è maggiore o uguale a 2, tutti i prodotti sono sostituti perfetti e nessuna impresa ha un vantaggio di costo, allora nell’equilibrio del gioco di Bertrand il prezzo è uguale al costo marginale.

Se n è maggiore o uguale a 2, tutti i prodotti sono sostituti perfetti e nessuna impresa ha un vantaggio di costo, allora nell’equilibrio del gioco di Bertrand il prezzo è uguale al costo marginale.

Differenziazione del prodotto

La caratteristica comune a tutti i modelli con differenziazione del prodotto è che se il prezzo è leggermente maggiore del prezzo medio di mercato, un’impresa non perde tutta la domanda per i suoi prodotti.

Concorrenza di prezzo con differenziazione del prodotto

La funzione di domanda fronteggiata dall’impresa 1:

x1(p) = 180 - p1 - (p1 – prezzo medio)

La funzione di domanda fronteggiata dall’impresa 2:

x2(p) = 180 - p2 - (p2 – prezzo medio)

Concorrenza di prezzo con differenziazione del prodotto

Profitto dell’impresa 1:

u1(p1,p2) = (p1 - 20) x1

= (p1 - 20) (180 - 2p1 + prezzo medio)

= (p1 - 20) (180 - 1.5p1 + 0.5p2)

Profitto dell’impresa 2:

u2(p1,p2) = (p2 - 20) (180 - 1.5p2 + 0.5p1)

Concorrenza di prezzo con differenziazione del prodotto

Condizioni del primo ordine per la massimizzazione del profitto dell’impresa 1:

0 = u1/p1

= (p1 - 20) (-1.5) + (180 - 1.5p1 + 0.5p2)

0 = 210 - 3p1 + 0.5p2 Funzione di risposta ottima dell’impresa 1:

p1 = f1(p2) = 70 + p2/6 Analogamente, funzione di risposta ottima dell’impresa

1 :

p2 = f2(p1) = 70 + p1/6

Equilibrio con concorrenza di prezzo tra due imprese e differenziazione del prodotto

p1

p2

p* = (84, 84)

p2 = f2(p1) = 70 + p1/6

p1 = f1(p2) = 70 + p2/6

Equilibrio con differenziazione del prodotto

L’equilibrio si trova in corrispondenza del vettore di prezzi (84, 84)

Il prezzo di mercato è quindi 84, significativamente più alto del costo marginale, che è 20

Ogni impresa vende (180 - 84) = 96 Il profitto di ciascuna impresa è = (84 - 20) 96

= 6144 Di conseguenza ogni impresa può spendere più di

6000 per differenziare il proprio prodotto, ed averne ancora un vantaggio per il profitto.