Electromagnetics II 전자기학 2 - KOCW

Advanced RF System Integration (ARSI) Lab. Young Chul Lee 1

Electromagnetics II전자기학 2

Prof. Young Chul Lee

초고주파 시스템 집적연구실Advanced RF System Integration (ARSI) Lab

http://cms.mmu.ac.kr/wizuniv/user/RFSIL/

제9장 : Maxwell Equations

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9.1 서론

9.2 패러데이의 법칙

9.3 변압기 기전력과 운동에 의한 기전력

9.4 변위전류

9.5 Maxwell 방정식

9.6 시변 포텐셜

9.7 시정현장 (Time-Harmonic Fields)

제9장 : Maxwell Equations

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James Clerk Maxwell (1831.6.13 ~ 1879.11.5)

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James Clerk Maxwell

▪ 1831년: 6월13일 스코틀랜드 에든버러에서 출생▪ 1846년: 타원에 관한 독창적인 논문 발표▪ 1847년: 에든버러 대학에 입학하여 철학을 공부▪ 1850년: 영국 캐임브리지 대학▪ 1854년: 영국 캐임브리지 대학 트리니티 칼리지 졸업▪ 1855~1872년: 눈이 색을 감지하는 것에 대한 연구▪ 1860년: 영국 킹스 칼리지의 교수▪ 1864년: 맥스웰 방정식 발표▪ 1866년: 통계적 방법을 이용한 맥스웰-볼츠만 기체운동이론

(열역학 및 통계물리학 발전에 크게 기여)▪ 1874년: 케임브리지의 캐번디시연구소 설립▪ 1879년: 11월 5일 암으로 사망

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▪ 1859년: 토성의 고리는 고체 알갱이로 이루어졌다는 것을 수학적으로 증명

▪ 컬러사진 발명

맥스웰의 이름을딴 하와이의 제임스 클러크 맥스웰망원경

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Maxwell Equations

Gauss’s law

Faraday’s law

Gauss’s law magnetism

Ampere’s law

“인류역사상 가장 위대한 식”- 2004년 물리학자 120명 설문 결과

“지극히 간단하고도 우아하며 심오한 대칭성과 수학적 아름다움을 가지고 있는 식”

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Gauss’s law

▪ 전기장은 전하에 의해 만들어지며 발산한다.

▪ 자기 홀 (N 또는 S) 극 은 존재하지 않는다. 즉, N극의 방향, S극의 방향만 존재한다.

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Faraday’s law

▪ 자기 장의 변화에 전기장이 발생하며, 이로 인해 도선에 전류가 흐르게 할 수 있으며,발전기의 발명의 원리를 제공

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Modified Ampere’s law

▪ 전류나 전기장의 변화에 의해 자기장이 발생한다.

▪ Ampere의 법칙에서는 전류가 흐를 때만 주변에 자기장이 만들어진다.▪ 맥스웰은 전류가 흐르지 않고 전기장의 세기만 변해도 주변에 자기장이 만들어진다는 것을 발견.

- 전기장의 변화도 전류로 보아 변위전류라 함. - 자기장을 만들어내는 것은 실제로 전하가 움직여 가는 실제 전류와 실제로 전하는 움직여가지않지만 전기장의 세기가 변해서 만들어지는 변위전류의 두 가지가 있다.

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Maxwell Equations의 의의

전기 자기

빛

▪ 전기와 자기는 본질적으로 같은 것이며 이들이 만들어내는 장의 출렁임, 즉 전자기파가 바로‘빛’이다.

▪ 전기와 자기의 통합 및 전자기파의 예측

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9.2 Faraday’s Law

■ Faraday의 전자유도 실험

▪ 오스테드(Oersted)의 실험- 도선에 흐르는 전류(az)가 자계를 발생시켜 나침반을 움직임(aΦ) [1820]

▪ Faraday의 실험 (Michael Faraday, Joseph Henry)- 전류가 자계를 발생시킨다면, 자계도 전류를 발생시켜야 한다는 가정을 증명 [1831]

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▪ 패러데이의 전자유도 법칙: 루프도선에 쇄교하는 자속이 시간에 따라 변할 때만 자계는루프도선에 전류를 발생시킴.

▪ 쇄교자속이 변할 때 루프에는 전류가 발생되며, 전류의 방향은 자속이 증가하는냐(전류전원:On)감소하는냐(전류전원:Off)에 의존.

▪ Faraday의 실험 모델

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▪ 유도 전계가 수신 고리의 경로 C를 따라서 자유전자를 움직이는데 한 일.

▪ 유도 기전력은 이를 발생시키는 자속의 변화를 상쇄하려는 방향을 갖는다.

“Lenz의 법칙”

“시변 자계가 전계를 발생시킨다.”

■ 유도기전력 (Electromotive force : emf), 권선수 가 N인 루프

▪ 변압기전력 (transformer emf: Vtremf)

- 정지된 루프에 쇄교하는 시변 자계

▪ 운동기전력 (motional emf: Vmemf)

- 정자계 B 내에서 루프가 운동하는 경우, 이 때 자계 B에 쇄교하는 루프면적이 시간에 따라변함.

▪ 시변 자계 B 내에서 루프가 운동하는 경우- Vemf = Vtr

emf + Vmemf

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9.3 변압기 기전력과 운동에 의한 기전력

■ A: 변압 기전력

▪ 둘레 C, 면적 S, 권선 N=1인 원형 도선루프가 시변 자계 B(t) 내에 있을 경우, 고정된 S에서 자계가 시간에 따라 변할 때 생기는 변압 기전력

▪ emf 극성- 오른손법칙: ds가 엄지방향, 네 손가락이 가리키는

적분로 C의 방향은 Vtremf의 (+)단자

에서 (-)단자 표시

▪ 루프에 흐르는 전류

“Vtremf의 극성과 이에 따르는 전류 I의 방향은 렌츠의 법칙 (Lenz’s law)

을 따른다. 즉, 루프에 흐르는 전류의 방향은 그 전류를 발생시키는 자속의변화를 방해하는 방향이다.”

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■ 패러데이 법칙의 미분형

▪ 루프의 단자 1, 2를 연결된 페회로로 간주

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■ B: 정자장 내에서 움직이는 루프 (운동에 의한 기전력)

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■ C: 시변장 내에서 움직이는 루프

▪ 변압 기전력과 운동에 의한 기전력이 모두 존재

)×(×+=×

•)×(+•=•=Vemf

BudtdB

E

dlBudSdtdB

dlELL s

∇-∇

∫∫ ∫

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■ 연습문제 9.1그림에서 B=0.5az [Wb/m2], R=20 ohm, l=10cm, 막대가 u=8az [m/s]의일정한 속도로 움직일 때, 다음을 구하라.

(a) 막대에서의 유도전압(b) 저항에 흐르는 전류(c) 막대에 작용하는 운동에 의한 힘(d) 저항에 소비되는 전력

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풀이

mW80.4x20x10VIP(d)

(mN)-1ax)0.5a-x0.2(0.1a=Iιιx=q(ι(ι/t)=q(uxB)=F(c)

mA200.4/20/RV=I(b)

0.4V=8x0.5x0.1=UB=(uxB)dl=V(a)

3-

zy

emf

emf

===

=

==

∫ ι

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■ 연습문제 9.3

다음의 자기회로가 4 cm2의 일정한 단면을 가지고 있다. 120V 60Hz의 발전기와연결되어 있다. 2차코일에 유도되는 기전력 V2를계산하시오.

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풀이

V72=500300120=

NNV=V

NN

VV

dtd-N2=V

dtd-N1=V

1

212

1

2

1

2

21

=

,ψψ

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9.4 변위전류

•Ampere’s law in static electric field

•Ampere’s law in time-varying electric field

• proof of Ampere’s law:

Displacement current density

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■ 예제 9.4

극판 면적이 5cm2이고 극판사이의 간격이 3mm인 평행판 커패시터에 50sin103t의전압이인가됨. ε =2ε0 일 때, 변위전류를 계산하시오.

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풀이

[nA]t147.4cos10=t50cos10x103x10/36π36π)x52x(10=I

dtdVC=

dtdV

dεS=SJ=I

dtdV

dε=

dtdD=J

dVε=εE=D

3333-

4-4-

d

dd

d

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9.5 Maxwell Equations

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9.6 시정현장 (Time-Harmonic Fields)

■ 시정현장 : 시간에 대해 주기적으로 혹은 sin 함수(정현파)의형태로 변하는 장

■ 페이저 해석

▪ 전원이 주기적 시간함수로 표현되는 선형 시스템을 포함하는 문제를 해결하는데 유용한 수학적 방법. - Source가 시간에 따라 정현적으로 변할 경우, 페이져를 이용하여 미적분 방정식을 정현함수를사용하지 않고 선형방정식으로 변환시켜 해법을 간단하게 함.

■ RC 회로

KVL

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θzezjyxjyxz

xyθyxz

θzyθzx

θzjθzezz

θjθe

θzezz

jyxz

θj

θj

θj

θj

122

||=||==)*+(=*

)/(tan=,+=||

sin||=,cos||=

sin||+cos||=||=

sin+cos=

||=||=

+=■ 복소수

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■ 페이저 해석

▪ 기준 cos 함수 적용

▪ 시간의존적인 변수를 페이저로 표현

▪ 미.적분에 적용

)+cos(=

)cos(=

)+sin(=)(

2-

--2

00

00

00

πφtωV

φtωπ

V

φtωVtvs

]~Re[=)(

=~]~Re[=

]Re[=

]Re[=)(]~Re[=)(

)/(

)/(

)/+(

tωj

πφjs

tωjs

tωjπφj

πφtωjs

tωj

eIti

eVV

eV

eeVeVtveZtz

200

200

200

)~

Re(=

)~Re(=

)~Re(=

]~Re[=

)]~(Re[=

]~Re[=

tωj

tωj

tωj

tωj

tωj

tωj

eωjI

dteI

dteIidt

eIωj

eIdtd

eIdtd

dtdi

∫

∫ ∫

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▪ 미적방정식의 페이저 변환

Time domain

Phasor domain

▪ 페이저 영역에서의 방정식 풀이

▪ 순시값 (instantaneous value)