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Olimpiadas Matemáticas 2012
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA CENTROAMERICANA
FACULTAD DE INGENIERÍA
Área Académica de Ciencias y Matemáticas
Ejercicios no rutinarios
1. Se tiene un número de 90 cifras formados por los dígitos 2 y de la siguiente manera:
¿Para que valores de dicho número es múltiplo de 9?
Solución:
Primeramente veamos que:
2 tiene 2 cifras, tiene 3 cifras, tiene 4 cifras,…, y tiene cifras,
entonces las 90 cifras cumplen con
, luego , entonces
Y luego .
Entonces observemos que hay 78 2’s y 12 ’s en el número de 90 cifras y recordemos que
un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras lo es.
La suma de las cifras del número de 90 cifras es y entonces los valores para
son 2, 5, y 9.
2. Sea un número natural. ¿Para que valores de , la expresión
es entero?
Solución:
Como
es un entero, entonces debe dividir a , y por lo tanto divide a
, y para que la ultima afirmación sea cierta se tiene que
debe ser un divisor de 13, de donde ó , luego ó
son los únicos valores que cumplen.
3. Encuentre los valores enteros positivos y tales que:
y
Solución:
Note que:
Luego , entonces , por lo que , por tanto las únicas
soluciones son .
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4. Encuentre el resultado de la siguiente suma:
√ √
√ √
√ √
√ √
Solución:
Note que:
√ √
√ √
√ √ √ √
√ √
√ √
√ √
Luego:
√ √
√ √
√ √
√ √
(√ √ ) (√ √ ) (√ √ ) √ √
√
5. Sean enteros consecutivos. Demostrar que es un cuadrado
perfecto.
Solución:
Como son consecutivos, tenemos que:
, para algún entero.
Luego:
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6. Determine el cociente entre el área del círculo y el área del cuadrado.
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7. Demuestre que en la figura formada con tres cuadrados, el ángulo α es igual a la
suma de los ángulos β y γ .
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8. En un círculo de radio R se inscribe un cuadrado, en el cuadrado un círculo y así
sucesivamente. Hallar la suma de las áreas de los círculos y de los cuadrados.
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9. Sean x, y, z números positivos tales que x + y + z = 1. Demostrar que
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10. Evalúe
4
2
ln 9
ln 9 ln 3
xdx
x x
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11.
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12.
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13.
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14.
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15.
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16.
17. Encuentre el resultado de la suma:
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Basta con racionalizar el denominador y obtendremos la siguiente suma:
18.
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19. ¿Cuántos dígitos “2” se necesitan para escribir todos los números enteros desde 1 hasta el
?
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20.
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