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1. CONCEPCION DE SISTEMAS ESTRUCTURALES
Se considera un pórtico plano, para la generación de un modelo matemático, se
realiza la siguiente simplificación:
Este tipo de sistemas se pueden asimilar a un sistema de resortes en serie:
Las vigas, losa y cargas cumplen el rol
de masa “m” y las columnas cumplen el
rol de rigideces “k”.
El amortiguamiento “c” se considera
implícito en el cuerpo de la estructura.
Dado que se trata de pórticos rígidos y
desplazamientos pequeños, el
amortiguamiento del aire y similares se
desprecia.
A partir del cuerpo libre del caso mas simple (sistema de 1 grado de libertad) se
deduce la ecuación diferencial que gobierna el régimen de movimiento.
Fi + Fd + Fs = P(t)
Fi es la fuerza de inercia, Fd es la fuerza de amortiguamiento, Fs es la fuerza
de rigidez y P es una carga variable en e tiempo. Se escribe la ecuación en
términos diferenciales:
Donde U es el desplazamiento. La resolución de la ecuación diferencial da
como resultado una expresión matemática de U en función del tiempo U(t)
2. CONCEPTO DE CARGA ARMONICA
La carga, en sistemas dinámicos, es una función del tiempo. Pueden darse tres
tipos de carga:
•Carga no periódica: la carga varia en el tiempo sin ningún patrón identificable o
que se pueda expresar en una función
matemática regular; por tanto no tiene
frecuencia ni periodo de vibración. El
ejemplo típico es el sismo.
•Carga periódica: la carga varia en el tiempo con algún patrón claramente
identificable, aunque no siempre es posible
expresar en una función matemática
continua. Sin embargo, por su patrón
cíclico, puede identificarse un periodo y una
frecuencia, aunque no siempre es un valor
constante. Su aparición es de rara
ocurrencia, se puede dar en maquinarias accionadas por motores asincrónicos.
2. CONCEPTO DE CARGA ARMONICA Y FRECUENCIAS
•Carga armónica: la carga varia en el tiempo con un patrón claramenteidentificable y que se pueda expresar en una función matemática armónica, esdecir, que adquiera una forma sinusoidal.
Estas características permiten identificar el periodo de vibración, que es eltiempo en que la carga tarda en cumplir un ciclo de variación.
Se conoce como frecuencia de carga al valor matemático inverso del periodo,que físicamente representa el numero de ciclos por unidad de tiempo y sedenota:
W = frecuencia de carga armónica
De acuerdo al cuerpo libre del sistema, la ecuación base para carga armónicaes:
En la realidad es muy difícil estimar valores de amortiguamiento. Uno de loscapítulos próximos trata exclusivamente ese tema. Por ahora se empelara elmas sencillo de todos que es el amortiguamiento viscoso, su introducciónmodifica la ecuación base de la siguiente manera:
Reaparece un termino conocido que es la frecuencia natural de la estructura
w = frecuencia natural de la estructura
Tal como la frecuencia de carga, este valor representa la inversa del periodo,pero no de variación de la carga sino el periodo natural del sistema.
Ocurre que una estructura, de acuerdo a su configuración geométrica,asignación de secciones, distribución de masas, rigideces y sistema deamortiguamiento, tiene al menos una forma característica de oscilar y esta esarmónica, es decir, cumple un patrón sinusoidal matemáticamente determinable
Por lo anterior, la estructura oscilara según su modo natural de vibrado ycumplirá un ciclo cada periodo T, por lo mismo tendrá una frecuencia natural w.
En la figura se ve el modo de vibrado natural. Debe recalcarse que no se tratade una deformación ocasionada por un estimulo externo (carga), sino un modonatural que tiene la estructura para oscilar y que es ante todo un parámetrofisicomatemático teórico.
La solución de la ecuación base se disgrega en una Sol. Particular y una
complementaria (siguiendo las reglas de la matemática diferencial) que
sumadas dan la solución total:
Donde C1 y C2 dependen de las condiciones de frontera. Graficando la
respuesta en función del tiempo se tendrá:
Dentro de esta ecuación aparece la relación entre la frecuencia de la carga y la
frecuencia natural de la estructura, fundamental para el análisis de resonancia,
que se denotara:
3. CONCEPTO MODOS DE VIBRADO
Se parte del problema de autovalor-autovector, que es un problema vectorialque se expande para obtener polinomios de grado “n”, donde “n” es el numerode nudos de la estructura. Para hallar cada autovalor debe resolverse unsistema de homogéneo basado en el llamado autovector (que se determina enfunción de las propiedades de cada nudo). Como una estructura tiene grancantidad de nudos, el problema se trata matricialmente, donde la masa “m” esreemplazado por la matriz de masas [M], la rigidez “k” es reemplazada por lamatriz de rigidez [K]:
Donde l son los autovalores y {q} son los autovectores. El problema tienesolución no trivial si y solo si:
El análisis matemático es demasiado largo para desarrollar en unapresentación, pero halla en el texto base de la asignatura.
Sin embargo, la interpretación física será: una estructura, de acuerdo a su
configuración geométrica, asignación de secciones, distribución de masas,
rigideces y sistema de amortiguamiento, tiene al menos una forma
característica de oscilar y esta es armónica, es decir, cumple un patrón
sinusoidal matemáticamente determinable.
Como puede observarse, el pórtico se ha simplificado según lo explicado
anteriormente y se obtiene una estructura con UN nudo. En azul puede verse
su posibilidad física de oscilación y un análisis intuitivo del problema (que se
ratifica con el empleo de las herramientas matemáticas mostradas en la anterior
diapositiva), permite inferir que esta es la UNICA posibilidad física de oscilación
y por tanto el UNICO modo de vibrado.
Se presenta otra estructura, esta vez con dos nudos:
Puede verse en azul una posibilidad de oscilación y en rojo otra y resulta
evidente que físicamente no existe ninguna posibilidad mas de oscilación. Se
entiende entonces que una estructura de “n” nudos tiene “n” autovalores-
autovectores y cada uno de ellos representa un modo de vibrado. Por lo tanto,
una estructura tiene tantos modos de vibrados como nudos contenga.
Otro aspecto que resulta destacable es que el tiempo en que el primero modo
de vibrado (en azul) cumpla un ciclo será distinto del tiempo que le tome al
segundo (en rojo). Este hecho también es verificable matemáticamente y a
partir de ello podemos afirmar que a cada modo de vibrado le esta asociado
intrínsecamente un valor determinado y distinto de periodo y su
correspondiente “frecuencia natural”. De ello se deduce que una estructura de
“n” tendrá “n” modos de vibrado con “n” frecuencias naturales asociadas a los
mismos. Esta idea también es importante al momento de analizar resonancia.
4. DEFORMACIONES
Nuevamente reiteramos que los modos de vibrado NO son deformaciones
reales, sino “posibilidades” de oscilación inherentes al sistema. Nótese que
existe una diferencia conceptual primordial: los desplazamientos son una
función U(t) dependiente del tiempo y aunque hay infinidad de valores de U
para infinidad de valores de t la solución es “única” y es la función U(t), es decir,
se tiene una respuesta continua, mientras que los modos de vibrado no
dependen del tiempo y de modo fijo existirán tantos como tenga la estructura,
entonces siempre su numero será finito y su forma invariante en el tiempo, es
decir, se trata de un parámetro discreto.
De hecho, en consecuencia con lo anterior, los desplazamientos U(t) están en
función de los modos de vibrado. Si a la ecuación base se le introduce el
concepto de autovalor-autovector, esta se vectorializa y queda:
Cuya solución se obtendrá resolviendo la ecuación diferencial vector-matricial:
La resolución matemática de la anterior expresión es larga y compleja (esta
dada en el texto base), pero su consecuencia física es que la función
deformación U(t) es una combinación lineal de todos los modos de vibrado:
Donde aii son constantes dependientes de las condiciones de frontera del
problema y en los hechos representan porcentajes de participación de cada
modo de vibrado li. Como consecuencia de lo anterior, la suma de todos estos
coeficientes debería ser igual a 1.
La variabilidad de estos porcentajes suele aproximarse a una curva
exponencial, entonces, no es necesario considerar todos los modos de vibrado.
Para una estructura sostenida por pórticos (un edificio que puede tener miles de
nudos), suelen ser suficientes los primeros 12 a 15 modos de vibrado, que
están asociados a sus propias frecuencias naturales de vibración y también a
determinados porcentajes de masa. Se considera que sumados los porcentajes
de masa de los modos de vibrado considerados representen el 90% de la masa
total del edificio. A continuación se proporciona una tabla guia:
N° modo
vibrado1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
% masa 50 a 60 23 a 35 12 a 18 6 a 10 3 a 5 1,5 a 3 0,7 a 2 0,3 a 1 0,1 a 0,5 0,04 a 0,2 0,02 a 0,1 0,01 a 0,05 0,005 a 0,02 0,002 a0,01 0,001 a0,006
4. RESONANCIA
El concepto físico de resonancia es bastante simple. Se presenta cuando la
frecuencia de la carga es igual a la frecuencia natural del sistema, es decir:
El efecto físico de esta situación es que se magnifica la respuesta, es decir, las
deformaciones, tal como se observo en el video.
La representación matemática de lo anterior se realizara para el caso mas
simple (un grado de libertad) y es como sigue: se tiene la solución:
Se considera únicamente la respuesta estable y se extrae el siguiente factor:
Sabiendo que Po/K es la respuesta estática, es decir, sin cargas dinámicas, setendrá el factor de magnificación dinámica:
Graficando esta expresión se tiene:
Como puede verse, el factor de magnificación D, y por ende las deformaciones,crece mas mientras mas el valor de b se acerca a 1, es decir, mientras lafrecuencia de carga W se acerca mas al valor de la frecuencia natural delsistema w.
Sin embargo, como se vio anteriormente, no existe una sola frecuencia natural
de vibrado, sino tantas como modos de vibrado existan y aunque se recomendó
que no se empleen todos los modos de vibrado, no queda claro que modo de
vibrado y que frecuencia natural asociada debe usarse.
Como se vio en la tabla adjunta, los primeros modos de vibrado son los que
mayor porcentaje de masa asociada tienen, normalmente son los 3 o 4
primeros, entonces, inicialmente bastara considerar solo las frecuencias
naturales asociadas a estos 3 o 4 MDV. Pero aun se pueden hacer mayores
simplificaciones teóricas.
El problema consiste en evitar que , entonces, como la frecuencia
de la carga W es un dato invariante (condición del problema), solo se puede
modificar la frecuencia natural del sistema w haciéndola mas grande o mas
pequeña, sin embargo, normalmente las frecuencias de carga W suelen ser
bastante altas, entonces conviene hacer la frecuencia natural w lo mas baja
posible y es el primer modo de vibrado el que ofrece los valores mas bajos
además de tener asociada la mayor cantidad de masa, por tanto, se trabajara
únicamente con este modo de vibrado y su frecuencia natural w asociada
N° modo
vibrado1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
% masa 50 a 60 23 a 35 12 a 18 6 a 10 3 a 5 1,5 a 3 0,7 a 2 0,3 a 1 0,1 a 0,5 0,04 a 0,2 0,02 a 0,1 0,01 a 0,05 0,005 a 0,02 0,002 a0,01 0,001 a0,006
Como se observo en el video, cuando ocurre la resonancia, inevitablemente
viene el colapso de la estructura, por lo cual debe ser evitada a todo trance.
Esto se logra, como ya se dijo, bajando la frecuencia natural del sistema y esto
se puede hacer de dos maneras:
•Rigidizando la estructura: lo que aumentara la rigidez [K] dentro de la ecuación
base y por tanto los desplazamientos U(t) se reducen. Esto se logra
incrementando las secciones de los elementos de sustento o rigidizadores,
como ser columnas. Como método constructivo es relativamente fácil, aunque
incrementa los costos y va en desmedro de la optimización de materiales
•Flexibilizando la estructura, lo que generara un incremento del
amortiguamiento [C] lo que no reduce los desplazamientos, pero hace el
movimiento oscilatorio tan lento que el valor de la frecuencia natural w se aleja
enormemente de la frecuencia de la carga W. Esto se logra a través de la
implementación constructiva de juntas, amortiguadores, articulaciones y
similares. El comportamiento estructural es mucho mejor y se puede optimizar
materiales pero la tecnología requerida para la construcción de estos
dispositivos es muy cara y normalmente no esta disponible en el país.
Por facilidad de calculo se suelen tomar los periodos, que son los inversos de
las frecuencias. A continuación se muestran periodos recomendados por la
Norma de Diseño Sísmico Boliviano para distintas estructuras:
4. MODELOS MATEMATICOS
Todo el desarrollo matemático involucrado se circunscribe en la creación de
modelos matemáticos, hasta ahora simplificados.
A continuación se realizara la resolución fisicomatemática del siguiente
problema:PROBLEMA 1
SOLUCIÓN POR SUPERPOSICIÓN MODAL
La estruc tura ha s ido solicitada por una carga sismica describir el m ov imiento para los tres prim eros
segundos. El s ismo ocurrio cuando el piso 3 estaba con su maxima carga y el tanque de agua lleno
usando el método numérico. La estruc tura parte del reposo. determinar:
Max imos esf uerzos en las columnas
Hallar la respuesta 1 y 2 segundos despues
Analizar el interv alo de 1 a 3 seg.
En el modo de v ibrac ion 1 1 0 .03
En el modo de v ibrac ion 3 3 0 .05
4. MODELOS MATEMATICOS
Se vera que se parte de la simplificación siguiente:
Para la resolución, la ecuación base debe
matricializarse de la siguiente manera:
con:
El resultado será la obtención de las deformaciones U(t) pero para los 4 nudos
del modelo (derecha) y no para los 7 nudos reales y tendrá que realizarse una
desagregación matemática adicional.
Sin embargo, existen problemas mucho mas complejos como la resolución de
pórticos en 3 dimensiones
Se tiene un edificio real en 3 dimensiones. En este caso realizar
desagregaciones de U(t) resulta complicado y MUY moroso, por lo que seria
preferible un análisis del modelo SIN simplificaciones.
Ello implicaría, por ejemplo, para la matriz de rigidez [k] hacer consideraciones
físicas basadas en la ley de Hooke, que como consecuencia arrojarían una
matricializacion mas complicada:
Lo anterior debe hacerse para cada barra del edificio, ya que las cuatromatrices de rigidez mostradas anteriormente, que almacenan parámetros seárea, material, geometría e inercia, inevitablemente consideran los dos nudosde una sola barra y su cuerpo mismo en coordenadas locales.
El mismo tratamiento tendría que hacerse con las masas y losamortiguamientos; a ello súmele la forma vectorializada de la ecuación base(autovalor-autovector) y si además, existen barras (vigas o columnas) desección variable, el símbolo de diferencial debería entrar dentro de cada matrizpara resolver estos gradientes continuos de sección.
Como se ve, el modelo matemático se complica tanto que su resolución resultainviable en términos prácticos. Por ello antiguamente no se realizaban cálculosdinámicos, sino simplemente estáticos y se afectaban por factores deseguridad.
El adelanto tecnológico ha permitido la invención de software especializado quepermite resolver modelos matemáticos tan complejos como el descrito, demodo que los antiguos métodos han sido reemplazados por la modelacióndigital mediante de software especializado. Sin embargo, el empleo de estasaplicaciones es inútil e incluso PELIGROSO sin una solida base teóricafisicomatemática.
La siguiente clase estará exclusivamente dedicada al manejo del paqueteSAP2000 V.14.0.0. que es el software especializado tecnológicamente masconfiable para estos tipos de análisis y la creación de modelos digitales.
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