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三角関数（＝円関数）とフーリエ級数（変換）
x
x
cos
sin
π＝180°
R=1 横軸 x= θ
波の振幅の複素表示
tEE
eEeEE tii
cosRe 0
00
部観測されるのはこの実
x
y
sincos 00 iEEiyx
0E位相
オイラーの公式
tiEtEeE
i
i
iiiie
xxxxe
ti
i
x
sincos
sincos
!5!3!4!21
!4
)(
!3
)(
!2
)(
!11
!4!3!2!11
000
5342
432
432
自然対数の底
71828.21 eei
で波を表す
)sin( kxt
)22
sin( xtT
22 k
T波数角周波数
xkt ,,,t
x
時間
距離
T 周期
波長
可視光の波数
波長）個の波を持つ（あたり 2000020000cm1
cm102
cm10500
1
m10500
1
nm500
1
1
2
nm500
14
7
9
k
フーリエ変換とは
波の 依存性
と
波の 依存性
波の 依存性
と
波の 依存性
の関係を与える変換式
x
k
t
t
フーリエ変換
フーリエ変換
tt
dkekFxfdxexfkF ikxikx
)(2
1)()()(
titititi
ti
edetfdteeF
xFetf
00
0
)(22
1)()(2)(
:)()(2)()(
00
0
デルタ関数
デルタ関数
)()()(
1)(
)0(
)0(0)(
afdxaxxf
dxx
x
xx
x=0
物理数学２
であることより
？関数のフーリエ変換は関数、
)(2
sin)(2
1cos
sincos
iiii eei
ee
波の伝播
t
波の変位
時間
0
00
22
Tf
角周波数
ttf 0cos)(
00
実数軸 )]()([)( 00 F
0
波の伝播
t
波の変位
時間
0
00
22
Tf
ttf 0sin)(
虚数軸 )]()([)( 00 iF
角周波数
000
音の波(振動)
時間
時間
「ド」
「ソ」
波長
周波数（音程）
周波数（音程）
523 Hz
784 Hz
再生
再生
第1の周波数の波
第2の周波数の波
超短パルスレーザーとは？：「周波数軸」
by Minoshima
音の波(振動)
時間
周波数（音程）
時間
周波数（音程）
523 Hz
524 Hz
第1の周波数の波
第2の周波数の波
523 Hz
524 Hz
再生
再生
by Minoshima
音の波(振動)
時間
周波数（音程）
時間
周波数（音程）
523 Hz
524 Hz
第1の周波数の波
第2の周波数の波
523 Hz
524 Hz
時間
周波数（音程）523 524 Hz
523 524 Hz２つの重ね合わせ
再生
by Minoshima
音の波(振動)
時間
周波数（音程）
時間
時間
周波数（音程）
周波数（音程）
523 Hz
524 Hz
第1の周波数の波
第2の周波数の波
523 Hz
524 Hz
520 . . .523. . . 526 Hz7つの重ね合わせ
時間
周波数（音程）523 524 Hz
523 524 Hz２つの重ね合わせ
520 523 526 Hz
再生
by Minoshima
以下の関数のフーリエ変換は？
-1
0
1
-2 20-
f()
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
フーリエ級数
7sin
7
15sin
5
13sin
3
1sin
4)(f
-1
0
1
-2 20-
f()
x
dx
dx
dx
dx
df
7sin
7
15sin
5
13sin
3
1sin
4)(
d 周期 d2
物理数学２
矩形関数は高い空間周波数成分 を含むd
nkn
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
0
1
2
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
0
1
2
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
0
1
2
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
0
1
2
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
0
1
2
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
0
1
2
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
0
1
2
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
0
1
2
-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360
-1
0
1
回折格子３のパターン
透明部 黒色部
,7,5,3,,0
2
2
2
)(7
1)(
5
1
)(7
1)(
5
1)(
3
1)(
2)(
7cos7
15cos
5
13cos
3
1cos
41)(
2222
2
7755
775533
0
dddd
d
xd
ixd
ixd
ixd
i
xd
ixd
ixd
ixd
ixd
ixd
ixd
ixd
ixi
kkkkK
ddk
d
eeee
eeeeeeeeef
xd
f
周期
フーリエ級数
,2,1sin)(1
,2,1,0cos)(1
2
sincos2
)(1
0
ndxd
xnxf
db
ndxd
xnxf
da
d
d
xnb
d
xna
axf
d
dn
d
dn
n
nn
周期
物理数学２
フーリエ変換
,2,1sin)(1
,2,1,0cos)(1
2
sincos2
)(
]sin)(cos)([2
1)(
)(
]cos)(sin)([2
1
]sin)(cos)([2
1
)sin)](cos()([2
1)(
)()(sin)(cos)(
)sin)(cos()(
)(2
1)()()(
1
0
ndxd
xnxf
db
ndxd
xnxf
da
d
d
nk
d
xnb
d
xna
axf
dkkxkBkxkAxf
xf
dkkxkBkxkAi
dkkxkBkxkA
dkkxikxkiBkAxf
kiBkAkxdxxfikxdxxf
dxkxikxxfkF
dkekFxfdxexfkF
d
dn
d
dn
n
n
nn
ikxikx
周期
と比較せよ
が実関数ならば
物理数学２
ieiiyx sincos
も表せるだけでは表せない関数リエ展開でこうすることで、フー
を加えることに相当の位相シフトを加えることは、任意に
kx
kxkx
kxBkxA
kxbkxaR
kxkxRkxR
cos
sincos
sincos
)sincos(
)sinsincos(cos)cos(
x
y
)(sincos 直交関数 は直交と 物理数学２
フーリエ級数でパルス波を作る
)cos( t
-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440
-101-101-101-101-101-101-101-101-101
)1.1cos(9.0 t
)2.1cos(75.0 t
)9.0cos(9.0 t
)8.0cos(75.0 t
)3.1cos(5.0 t
)6.0cos(2.0 t
)7.0cos(5.0 t
)4.1cos(2.0 t
240
4
240
3
240
2
2400
-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
)cos(
240
2
t
-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440
-2
0
2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
240
4
240
3
240
2
2400
)1.1cos(9.0
)9.0cos(9.0
)cos(
240
2
t
t
t
240
4
240
3
240
2
2400
-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440
-4
-2
0
2
4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
)2.1cos(75.0
)8.0cos(75.0
)1.1cos(9.0
)9.0cos(9.0
)cos(
240
2
t
t
t
t
t
240
4
240
3
240
2
2400
-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440
-6
-4
-2
0
2
4
6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
)3.1cos(5.0
)7.0cos(5.0
)2.1cos(75.0
)8.0cos(75.0
)1.1cos(9.0
)9.0cos(9.0
)cos(
240
2
t
t
t
t
t
t
t
-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440
-6
-4
-2
0
2
4
6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
)4.1cos(2.0
)6.0cos(2.0
)3.1cos(5.0
)7.0cos(5.0
)2.1cos(75.0
)8.0cos(75.0
)1.1cos(9.0
)9.0cos(9.0
)cos(
t
t
t
t
t
t
t
t
t
240
4
240
3
240
2
2400
ピークの高さが高くなっていることに注目
Mode locking 位相同期法
一つのレーザー共振器からレーザー発振するさまざまな波長成分の光の位相をそろえる技術
超短パルスの生成
エネルギーが短い時間に集中 さまざまな利用価値がある
フェムト秒パルス
１フェムト秒（１ｆｓ）・・・１０－１５ｓ
t
t
周波数
可視光パルスでは世界最短のサブ５ｆｓの超短パルス
パルスレーザー光とは？
幾つかの周波数成分を含んだ光
それぞれの光の重ね合わせ
パルス光となる
広帯域の可視光を用いて、パルスを作る。
時間軸では、２,３周期の
振動しかパルスの中に含まない。
可視光パルスでは世界最短であるサブ５ｆｓの超短パルスを実現！
東大（電通大）小林孝研究室
位相がそろわないと？
-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440
-101-101-101-101-101-101-101-101-101
)cos( t
)1.1sin(9.0 t
)2.1cos(75.0 t
)9.0sin(9.0 t
)8.0cos(75.0 t
)3.1sin(5.0 t
)6.0cos(2.0 t
)7.0sin(5.0 t
)4.1cos(2.0 t
-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440
-4
-2
0
2
4-1
0
1
-1
0
1
)4.1cos(2.0
)6.0cos(2.0
)2.1cos(75.0
)8.0cos(75.0
)cos(
t
t
t
t
t
)3.1sin(5.0
)7.0sin(5.0
)1.1sin(9.0
)9.0sin(9.0
t
t
t
t
実部A
虚部B
実関数
dtBtA
dtBtAitBtA
dtitiBAdeFtf
iBAF
ti
sin)(cos)(
cos)(sin)(sin)(cos)(
sincos)()()()(
)()()(
)4,1(2.0
)6.0(2.0
)2.1(75.0
)8.0(75.0
)()(
0
0
0
0
0
A
)3.1(5.0
)7.0(5.0
)1.1(9.0
)9.0(9.0)(
0
0
0
0
B
実部Ａ(ω)が偶関数（cos）,虚部Ｂ(ω)が奇関数（sin）
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