View
12
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
EEA-05: Síntese de Redes Elétricas e FiltrosAula 10
1o Ten Eng Nicholas YUKIO Menezes Sugimoto
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Tópicos
Tópicos
Filtros ativos:Ajuste da constante de ganhoImplementação diretaFunção quadráticaEfeitos causados pelas limitações dos amplificadores operacionais
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 2 / 36
Ajuste da constante de ganho
Ajuste da constante de ganho
Durante o projeto de um filtro ativo, geralmente posicionamos os polos ezeros e deixamos a constante de ganho sem ajuste. Para escolher essaconstante, existem procedimentos que não exigem o uso de umamplificador operacional adicional.
Caso 1 - Diminuir o ganho: A ideia é substituir a resistência de entradapor um divisor de tensão de tal modo que o equivalente Thévenin tenha amesma impedância de Thévenin de antes mas com tensão de Théveninmultiplicada por um fator k1 < 1.Caso 2 - Aumento de ganho: A ideia é realimentar para a rede RC umaversão atenuada da saída, de tal forma que a saída real fique maior.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 3 / 36
Ajuste da constante de ganho
Ajuste da constante de ganho
Caso 1 - Diminuir o ganho:Fazemos a substituição indicada na figura abaixo, de tal modo que
R3
R2 + R3= k1 (1)
eR2R3
R2 + R3= R1 (2)
em que k1 < 1 é o fator pelo qual se deseja multiplicar a saída.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 4 / 36
Ajuste da constante de ganho
Ajuste da constante de ganho
Caso 2 - Aumentar o ganho: Suponha que a saída do filtro indicada nafigura abaixo é atenuada em um fator k2 por meio de um divisor resistivo,tal que
k2 =Rb
Ra + Rb< 1 (3)
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 5 / 36
Ajuste da constante de ganho
Ajuste da constante de ganho
Se os valores utilizados para os resistores Ra e Rb forem suficientementegrandes, a saída Vout (antes da inclusão do divisor resistivo) seráaproximadamente igual à V ′′out , de forma que
H(s) =Vout(s)
Vin(s)≈ V ′′out(s)
Vin(s)(4)
E a tensão V ′out será dada por
V ′out(s) = k2V′′out(s) (5)
de modo que a nova função de transferência será dada por
H ′(s) =1k2
H(s) (6)
Deste modo, a nova saída será dada por V ′′out(s), porém o valor de tensãoutilizado para realimentação será V ′out(s).
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 6 / 36
Implementação direta
Implementação direta
Uma forma de realizar uma função de transferência diretamente é atravésda rede apresentada a seguir, em que apenas um amplificador operacional éutilizado.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 7 / 36
Implementação direta
Implementação direta
Podemos escrever as seguintes equações para os amplificadoresoperacionais:
Y2(V− − Vin) + Y4V− + Y6(V− − Vout) (7)
eY1(V− − Vin) + Y3V− + Y5(V− − Vout) = 0 (8)
Deste modo, obtemos a seguinte função de transferência:
H(s) =Vout
Vin=
Y1(Y2 + Y4 + Y6)− Y2(Y1 + Y3 + Y5)
Y6(Y1 + Y3 + Y5)− Y5(Y2 + Y4 + Y6)(9)
Para simplificar, escolhemos
Y1 + Y3 + Y5 = Y2 + Y4 + Y6 (10)
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 8 / 36
Implementação direta
Implementação direta
Assim, a função de transferência se reduz a
H(s) =Y1 − Y2
Y6 − Y5=
Y2 − Y1
Y5 − Y6(11)
Para realizar H(s) escrevemos
H(s) =P(s)
Q(s)(12)
Lembremos que uma função racional real é a admitância de um bipolo RCse e somente se os polos e zeros são simples, estão no semieixo realnegativo, estão dispostos de forma alternada e a primeira frequência críticaé um zero.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 9 / 36
Implementação direta
Implementação direta
Sendo assim, para prosseguir com a implementação, dividimos o numeradorP(s) e o denominador Q(s) por um polinômio apropriado D(s) com nDraízes reais simples e negativas, em que
nD ≥ max(nP ,nQ)− 1 (13)
sendo nP e nQ os graus dos polinômios P(s) e Q(s), respectivamente.Portanto,
H(s) =
(P(s)
D(s)
)(Q(s)
D(s)
) (14)
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 10 / 36
Implementação direta
Implementação direta
O procedimento agora é fazer as identificações
P(s)
D(s)= Y1 − Y2 (15)
eQ(s)
D(s)= Y6 − Y5 (16)
(ou associar com Y2 − Y1 e Y5 − Y6).
Em seguida, fazemos as expansões deP(s)
sD(s)e
Q(s)
sD(s)em frações parciais
para depois escrever
P(s)
D(s)=∑i
ki s
s + σi−∑j
kjs
s + σj+ k∞s (17)
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 11 / 36
Implementação direta
Implementação direta
eQ(s)
D(s)=∑u
k ′us
s + σu−∑v
k ′v s
s + σv+ k ′∞s (18)
sendo que ki , kj , k ′u e k ′v são reais e positivos, enquanto que k∞ e k ′∞ sãoreais.Analisamos os sinais de k∞ e k ′∞ e então percebemos nas expressões deP(s)
D(s)e de
Q(s)
D(s)diferenças de admitâncias que podem ser implementadas
como feito nas formas canônicas de Foster.Finalmente, as admitâncias Y3 e Y4 podem ser obtidas através de
Y1 + Y3 + Y5 = Y2 + Y4 + Y6
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 12 / 36
Implementação direta
Implementação direta
Fazemos
Y3 − Y4 = ±(Q(s)− P(s)
D(s)
)(19)
e através de uma expansão em frações parciais similar às executadas paraas outras admitâncias, percebemos uma diferença de admitâncias RC,levando aos valores de Y3 e Y4.Assim, percebemos que
O projeto desse filtro se reduz à realização de admitâncias;Esta topologia de filtro ativo permite a implementação de muitasfunções de transferência.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 13 / 36
Implementação direta
Implementação direta - Exemplo
Realizar a função de transferência
H(s) =600s
s2 + 600s + 107 (20)
com a topologia apresentada de implementação direta com umamplificador operacional.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 14 / 36
Implementação direta
Implementação direta
Podemos também utilizar a seguinte topologia, com dois amplificadoresoperacionais:
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 15 / 36
Implementação direta
Implementação direta
A função de transferência desta topologia é dada por
H(s) =Vout(s)
Vin(s)=
Y2 − Y1
Y3 − Y4=
Y1 − Y2
Y4 − Y3(21)
(independente de Y0).Com isso, percebemos que o mesmo procedimento utilizado paraimplementação direta com apenas um amplificador operacional pode serusado para esta topologia.No entanto, esta topologia requer o cálculo de menos valores deadmitâncias.Ambas as formas de implementação direta (com um ou dois amplificadoresoperacionais) têm a desvantagem de serem sensíveis a variações nosparâmetros dos elementos ativos.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 16 / 36
Implementação direta
Realização por variáveis de estado
Outra topologia possível para um filtro ativo é dada na figura abaixo:
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 17 / 36
Implementação direta
Realização por variáveis de estado
As equações que descrevem a rede são:
Vk = −RCsVk+1 = (−1)n−k(RCs)n−kVn (22)
com k = 1,2, . . . ,n − 1 e
Va = −Ra
R2V2 −
Ra
R4V4 − · · · −
Ra
RpVp (23)
eC1sV1 +
Va
Ra+
Vin
R0+
V1
R1+
V3
R3+ · · ·+ Vq
Rq= 0 (24)
em que p = n− 1 e q = n quando n é ímpar e p = n e q = n− 1 quando né par.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 18 / 36
Implementação direta
Realização por variáveis de estado
A partir dessas equações podemos encontrar a função de transferênciadesta rede:
Hn(s) =Vn(s)
Vin(s)=
(−1)n
R0
(RCs)n +(RCs)n−1
R1+
(RCs)n−2
R2+ · · ·+ RCs
Rn−1+
1Rn
(25)
Considerando outra tensão como saída, temos a função de transferência:
Hk(s) =Vk(s)
Vin(s)=
(−1)k(RCs)n−k
R0
(RCs)n +(RCs)n−1
R1+
(RCs)n−2
R2+ · · ·+ RCs
Rn−1+
1Rn
(26)
com k = 1,2, . . . ,n.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 19 / 36
Implementação direta
Realização por variáveis de estado
Observamos queAs funções de transferência são independentes de Ra, o que possibilitaa escolha de um valor conveniente;Pelo menos n + 1 amplificadores operacionais necessários;Os coeficientes do denominador da função de transferência podem serindependentemente ajustados através dos valores de R1, R2, . . . e Rn;Também pode ser obtida uma função de transferência com zeros,basta que várias saídas sejam somadas em um amplificador somador,resultando em
Vout =n∑
i=1
Rf
R ′iVi (27)
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 20 / 36
Função quadrática
Função quadrática - passa-baixas
A forma geral de uma função de transferência de um filtro passa-baixassegunda ordem é dada por
H(s) =H0ω
2n
s2 +
(ωn
Q
)s + ω2
n
(28)
em que H0 é o ganho DC, ωn é a frequência natural não amortecida e Q échamado de fator de qualidade.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 21 / 36
Função quadrática
Função quadrática - passa-baixas
Figura: Diagramas com ωn = 1 e Q = [0,125; 0,25; 0,5; 1; 2; 4]. Menor Q: preto.Maior Q: ciano
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 22 / 36
Função quadrática
Função quadrática - passa-faixa
A forma geral de uma função de transferência de um filtro passa-faixasegunda ordem é dada por
H(s) =
H0
(ωn
Q
)s
s2 +
(ωn
Q
)s + ω2
n
(29)
H0 é a máxima magnitude do ganho na banda de passagem, que neste casoocorre na frequência de ressonância.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 23 / 36
Função quadrática
Função quadrática - passa-faixa
Figura: Diagramas com ωn = 1 e Q = [1; 2; 4; 8; 16; 32]. Menor Q: preto. MaiorQ: ciano
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 24 / 36
Função quadrática
Função quadrática - passa-altas
A forma geral de uma função de transferência de um filtro passa-altassegunda ordem é dada por
H(s) =H0s
2
s2 +
(ωn
Q
)s + ω2
n
(30)
Neste caso, H0 é o ganho em frequência infinita.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 25 / 36
Função quadrática
Função quadrática - passa-altas
Figura: Diagramas com ωn = 1 e Q = [1; 2; 4; 8; 16; 32]. Menor Q: preto. MaiorQ: ciano
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 26 / 36
Limitações de amplificadores operacionais reais
Limitações de amplificadores operacionais reais
As técnicas de realização de filtros ativos RC apresentadas até agora sebasearam em amplificadores operacionais ideais. No entanto, a constantede ganho A é finita e dependente da frequência. Essas não idealidadespodem colocar limitações na operação do filtro projetado. O ganho demalha aberta pode ser melhor modelado por
A(s) =A0ωa
s + ωa(31)
A0: ganho em malha aberta DC−ωa: polo dominanteGB = A0ωa: produto ganho banda de passagem
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 27 / 36
Limitações de amplificadores operacionais reais
Limitações de amplificadores operacionais reais
Para a maior parte das aplicações, em que o ganho em malha fechada érelativamente pequeno, podemos avaliar o efeito do produto ganho bandade passagem (GB) no filtro usando uma forma mais simples para A(s):
A(s) =GB
s(32)
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 28 / 36
Limitações de amplificadores operacionais reais
Limitações de amplificadores operacionais reais
Exemplo: Amplificador não-inversor Um amplificador não-inversorimplementado de acordo com a figura, tem função de transferência:
H(s) =A(s)
1+ A(s)R1
R1 + R2
(33)
Para o caso ideal, essa expressão equivale a H0 =R1 + R2
R1. Podemos
simplificar (33) para
H(s) =GB
s +GB
H0
(34)
Observe que para baixas frequências o ganho H(s) se aproxima do ganhoH0.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 29 / 36
Limitações de amplificadores operacionais reais
Limitações de amplificadores operacionais reais
Exemplo: Passa-baixas Sallen-Key Consideremos agora um filtropassa-baixas Sallen-Key, dado a seguir:
O bloco de ganho K pode ser realizado através de um amplificadoroperacional na estrutura não-inversora.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 30 / 36
Limitações de amplificadores operacionais reais
Limitações de amplificadores operacionais reais
Implementando o bloco de ganho K com um amplificador operacional,obtemos a seguinte estrutura.
Vamos avaliar o efeito do produto ganho banda de passagem na respostado filtro.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 31 / 36
Limitações de amplificadores operacionais reais
Limitações de amplificadores operacionais reais
Por simplicidade, vamos utilizar valores unitários para os resistores ecapacitores, resultando em um circuito normalizado em frequência(ωn0 = 1 rad/s). A função de transferência é dada por
V2(s)
V1(s)=
K0
s2 +1Q0
s + 1=
K0
s2 + (3− K0)s + 1(35)
em que K0 =3Q0 − 1
Q0é o ganho K na condição de que o amplificador
operacional é ideal.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 32 / 36
Limitações de amplificadores operacionais reais
Limitações de amplificadores operacionais reais
Em seguida, substituímos K0 por
K (s) =GBn
s + GBnK0
(36)
no denominador da função de transferência (35) para obtermos
D(s) = s2 +
(3− GBn
s + GBnK0
)s + 1 (37)
e escrevendo em função de Q0,
D(s) =1
GBnX (s)
[s3 + s2
(3+
GBnQ0
3Q0 − 1
)+ s
(1+
GBn
3Q0 − 1
)+
GBnQ0
3Q0 − 1
](38)
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 33 / 36
Limitações de amplificadores operacionais reais
Limitações de amplificadores operacionais reais
O fator X (s) indica termos multiplicativos extras que não têm efeito nalocalização dos polos.Podemos observar que se fizéssemos GBn →∞ obteríamos o denominadorda função de transferência do caso de amplificador operacional ideal.A expressão de 38 pode ser fatorada em
D(s) =1
GBnX (s)
[(s + g)
(s2 +
ωn
Qs + ω2
n
)](39)
em que Q e ωn são os valores realmente implementados pelo filtro.Em geral, ωn < ωn0 enquanto que Q pode ser maior ou menor que Q0. Opolo real negativo em s = −g costuma estar muito distante no eixo realnegativo e então não tem efeito considerável na resposta do filtro.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 34 / 36
Exercícios
Exercícios
Desejamos implementar um filtro passa-baixas Sallen-Key (estruturamostrada nesta aula) com função de transferência:
H(s) =H0
s2 + 0,5714s + 1(40)
1) Determine os valores para os resistores e capacitores para que a funçãode transferência seja atendida, considerando o uso de um amplificadoroperacional ideal.2) Ajuste o circuito para que H0 = 2.3) Caso o amplificador operacional utilizado tenha GBn = 7,5, determine afunção de transferência realizada.4) Altere, se possível, valores de resistores e capacitores de modo acompensar o efeito da limitação de ganho banda de passagem de modo aalocar os polos da função de transferência nas posições inicialmentepretendidas.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 35 / 36
Bibliografia
Bibliografia
Chen, Wai-Kai. Passive and active filters: theory andimplementations. New York: Wiley, 1986 (Capítulo 5).Huelsman, Lawrence P. Active and passive analog filter design: anintroduction. McGraw-Hill, 1993 (Capítulo 5, seção 5.7);
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 36 / 36
Recommended