View
76
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
Bazen İktisat teorisinden kaynaklanan bazı sınırlamaların modelde yer alması istenebilir veya gerekebilir. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
DOĞRUSAL ve DOĞRUSAL OLMAYAN SINIRLAMALAR*
Bazen İktisat teorisinden kaynaklanan bazı sınırlamaların
modelde yer alması istenebilir veya gerekebilir.
Tüketim ve tasarruf eğilimlerinin toplamı, Coubb-Douglas
modelinin katsayılarının toplamının ölçeğe göre sabit getiri
olması için bire eşit olması gibi durumlarda doğrusal
birleşimler söz konusu olabilir.
Benzer şekilde bazı katsayıların birbirine eşitliği veya farklı
doğrusal birleşimlerinin varlığı da arzu edilebilir. Bu tür
sınırlamalara doğrusal sınırlamalar denir.* Bu konu, Selahattin GÜRİŞ,Ebru ÇAĞLAYAN,Burak GÜRİŞ EViews ile Temel Ekonometri Bölüm 6’dan alınmıştır. 1
Regresyon modeli,
İi XXXXY 554433221ˆˆˆˆˆ
143
34 1
ve sınırlama,
olsun. Bu durumda,
olacağından,
İi XXXXY 554333221ˆ)ˆ1(ˆˆˆ
İi XXXXXY 5543433221ˆˆˆˆˆ
2
İi XXXXXY 554332214ˆ)(ˆˆˆ
)( 4XYİ )( 43 XX olacak ve model ve için ve tanımlaması yapılırsa,
*Y *X
İXXXY 55*
3221* ˆˆˆˆ
olarak tahmin edilecektir.
Katsayıların birbirine eşitliği de doğrusal sınırlamadır. Aynı modelde sınırlama olursa,
32
İi XXXXY 554433221ˆˆˆˆˆ
modeli,
3
32* XXX İ
tanımlaması ile model,
İii XXXY 5544*
21ˆˆˆˆ
olarak tahmin edilir.
olarak incelenebilir. Burada,
İi XXXXY 55443221ˆˆ)(ˆˆ
4
DOĞRUSAL SINIRLAMALARIN TESTİ
Sınırlamalar doğrusal olduğunda test edilmeleri için t ve F testleri kullanılabilir.
t TESTİ
Katsayıların anlamlılığının veya belirli bir değere
eşitliğinin söz konusu olduğu durumda açıklanan t testi,
doğrusal sınırlamaların testi için de benzer bir şekilde
kullanılır. Doğrusal sınırlama türlerinin gösterdiği farklılığa
bağlı olarak t testinin uygulanması da farklılıklar gösterir.
Sabit değer sınırlamasında katsayılardan birinin belirli bir
değere eşit olması söz konusu olduğunda yapılacak t testi
katsayıların belirli bir değere eşit olmasının testi ile aynıdır. 5
Regresyonun orijinden geçip geçmediği test edilmek istendiğinde ise, sabit katsayının anlamlılığın yani sıfırdan farklı olup olmadığının test edilmesi gerekecektir. Sabit değer kısıtlaması birden fazla parametre için geçerli ise, t testi her biri için ayrı ayrı uygulanacaktır. Test işlemleri sınırlandırılmamış model ile yapılacaktır.
İki parametrenin birbirine eşit olması, toplamlarının veya farklarının belirli bir değere eşit olması şeklinde bir sınırlama söz konusu ise, yani veya sınırlaması veya örneğin veya sınırlaması test edilecekse hipotezler daha önce açıklandığı gibi oluşturulur. Test istatistiği ise eşitlik için,
21 121
021 021
21ˆˆ
2121 )()ˆˆ(
st
olacak ve test edildiğinden 21 6
),(2 21
2ˆ
2ˆ
2ˆˆ
2121 Covsss
121
olarak tahmin edilir.
Toplamlar veya farklar söz konusu olduğunda test istatistiği, örneğin durumu için,
21ˆˆ
2121 )()ˆˆ(
st
ve
21ˆˆ
21 1)ˆˆ(
st
ve
21ˆˆ
21ˆˆ
s
t olacaktır.Burada,
7
olacaktır. Diğer işlemler daha önce açıklandığı gibi yapılacaktır.
),(2 21
2ˆ
2ˆ
2ˆˆ
2121 Covsss
8
Uygulama: Türkiye’nin 1980-2000 yılları arasında elde ettiği turizm gelirlerini (TG) incelemek amacıyla Türkiye’ye gelen turist sayısı (TS) ve turizm yatırımları (TY) değişkenleri ile tam logaritmik model elde edilmiştir.Bulunan bu modelde turist sayısına ilişkin parametrenin turizm yatırımlarına ilişkin parametre ile eşit olduğunu sınayınız.
LN(TG) = -3.1406+2.1888LN(TS)+1.1413LN(TY)
s(bi) = (0.77) (0.523) (0.325)
t = (-4.078) (4.185) (3.512)
prob = [0.0000] [0.0000] [0.0000]
Fhes= 461.68 R2=0.9777
prob [0.0000]
7042.02 te
14.0)Cov( 32 9
)0(: 32320 H
)0( 32321 H
734.118;05.0 t
32ˆˆ
3232 )()ˆˆ(
st
273.332.0
0)1413.11888.2(
t
32.0)14.0(2)325.0()523.0( 22ˆˆ32
s
10
thes= 3.273 > ttab= 1.734
H0 reddedilir.Sınırlama geçerli değildir.
Parametrelerin birbirine eşit olduğu söylenemez.( )32
11
F TESTİ Doğrusal sınırlamaların testi için sınırlandırılmış ve
sınırlandırılmamış modellerin tahmin edilmesi gereklidir. Bu
test yapılırken sınırlama sayısı önemli değildir. Test söz
konusu olan sınırlamaların geçerli olmaması halinde
modellerin açıklandığı değişim miktarlarının aynı olacağı
mantığına dayanmaktadır. Diğer bir ifade ile söz konusu olan
sınırlamalar geçerli ise sınırlandırılmış ve sınırlandırılmamış
modeller tarafından bağımlı değişkendeki değişmelerin
açıklanma miktarları arasında istatistiksel olarak anlamlı bir
fark olacaktır. 12
Test için açıklanmayan değişme, yani artıkların kareleri
toplamı kullanılabilir.Sınırlandırılmış modelin artıklarının
kareleri toplamı ve sınırlandırılmamış modelin artıklarının
kareleri toplamı ile ifade edilirse F test istatistiği,
)/(
/)(2
22
uUt
UtRt
kne
heeF
olarak hesaplanacaktır. Burada,
RU kkh
2
Rte
2
Ute
13
ve test istatistiğinin dağılımı h ve (n- kU) serbestlik dereceli F dağılımıdır.
F test istatistiği R2 değerleri ile,
)/()1(
/)(2
22
knR
hRRF
U
RU
olarak da hesaplanabilir.
veya
)/()(
/)(
knHBD
hRBDRBDF
U
RU
14
Kimya Sanayii dalında faaliyet gösteren 15 firmanın üretimleri (Y), emek girdileri(X 2) ve sermaye girdileri (X3) aşağıdaki gibidir.
Firma Üretim(bin ton) Emek(saat) Sermaye(makine saati)
1 60 1000 300
2 120 1200 400
3 190 1430 420
4 250 1100 400
5 300 1520 510
6 360 1620 590
7 380 1800 600
8 430 1820 630
9 440 1800 610
10 490 1750 630
11 500 1950 850
12 520 1960 900
13 540 1830 980
14 410 1900 900
15 350 1500 80015
32 log366228.0log721901.272020.16log XXY
n=15, k=3915.02 uR
Bu üretim fonksiyonu sınırlanmamış modeldir, zira b parametrelerine sınır konmamıştır.
Şimdi b2 + b3 =1 sınırlamasını koymak isteyelim.
1. Aşama: 1:
1:
321
320
bbH
bbH
2. Aşama: 05.0 anlamlılık seviyesi ve f1 =c=1 sınırlama,
f2=n-k=15-3=12 sd. lerinde Ftab=4.75
2 31 2 3. b bY b X X
)( ibs (2.829909) (0.567107) (0.279795)t (-5.908387) (4.799623) (1.308917)
prob (0.0001) (0.0004) (0.2151)
ib
16
3. Aşama: R2=0.915 Sınırlandırılmamış üretim fonksiyonunun belirlilik katsayısıdır. Sınırlandırılmış üretim fonksiyonunun belirlilik katsayısı; ?2 RR
Bunu bulabilmek için sınırlandırılmış üretim fonksiyonunu belirleyip EKKY ile tahmin etmeliyiz, yani sınırlandırılmış EKKY’yı uygulamalıyız. Şöyleki; yukarıdaki sınırlandırılmamış orijinal üretim fonksiyonu;
uXbXbbY 33221 lnlnln
göre H0 hipotezi sınırlaması b2 + b3=1’i dikkate almak için
3223 11 bbveyabb alınmalıdır. Biz sonuncusunu alalım:
uXXbXb
uXbXbbY
)ln(lnln
lnln)1(ln
23321
33231
veya 17
uXXbbXY
veya
uX
Xbb
X
Y
uXbXbbXY
uXbXbXbY
uXXbbXY
)/ln()/ln(
)ln()ln(
lnlnlnln
lnlnlnln
)ln(lnlnln
23312
2
331
2
233312
332321
23312
Burada Y/X2, üretim/emek oranı; X3/X2, sermaye/emek oranı olup, iktisadi yönden önemlidir. İşte b1 ve b3 ‘ün denklemden EKKY ile tahmini sınırlandırılmış EKKY adını alır. b3’ü bu yöntemle bulduktan sonra b2 =1-b3’den b2’yi bulabiliriz. Üretim fonksiyonu için yani sınırlandırılmış EKKY tahmin sonuçları şöyledir:
402.0)433029.0()4407080.0()(
)/ln(279176.1376067.0)/ln(2
232
Ri Rbs
XXXY
t (-0.853186) (2.954019)18
253.7212/)915.01(
1/)402.0915.0(
hesF
4. Aşama: %5 ve %10 önem düzeyinde, Fhes=72.253 > Ftab=4.75 H0 reddedilir. Yani sabit verimlilik reddedilir. Yani ilgili dönemde
değeri %5 ve %10 anlamlılık seviyesinde 3.088129’un 1’den farklı olduğu kabul edilir. Buradan, istatistik testlerden anlamlılık seviyesinin tespitinin, testi gerçekleştirmeden önce yapılması gerektiği sonucu çıkmaktadır.
088129.33
^
2
^
bb
Sınırlı EKKY tahminlerinden bulunduğuna göre 279176.13
^
b
279176.0279176.112
^
bolacaktır.
Şimdi formül uygulanabilir,
19
Regresyon Modelinin Fonksiyonel Biçiminin Test Edilmesi (MWD)
Bir doğ-doğ regresyon modeli ile log-log regresyon
modelinden hangisinin tercih edileceğine karar vermek için
MWD testini kullanabiliriz.
H0: Doğ-doğ model geçerlidir
H1: Log-log model geçerlidir.
1 2 2 3 3Y a a X a X u (1)
1 2 2 3 3ln Y b b ln X b ln X v (2)
20
)(ˆ doğY1. ADIM: 1 nolu model (doğ-doğ) model tahmin edilir.
)(ˆ doğY
2. ADIM: 2 nolu model (log-log) model tahmin edilir.
)(ˆln doğY
Yln
3. ADIM: 1. adımdaki değerlerinin log.
YdoğYZi ˆln)(ˆln 4. ADIM:
5.ADIM: 4.adımda elde edilen Z değişkeni 1 nolu modeldeki doğrusal regresyon modeline bağımsız değişken olarak eklenir .
Z değişkeninin katsayı tahmini istatistiksel olarak anlamlı ise H0 reddedilir.
21
UYGULAMA:
İzmir ilinde 1971(II)-1975(II) üçer aylık dönemlerinde on ikişer adetlik demet gül talebi incelenmiştir. Demet gül talebi Y bağımlı değişken, bir demet gülün fiyatı X2 ve ikame mal olarak da bir demet karanfilin fiyatıX3 bağımsız değişken olarak modele alınmıştır. Bu model hem doğ-doğ hem de log-log model olarak tahmin edilmiştir. Hangi model tercih edilmelidir?
Doğ-doğ model:
2 3Y 9734.26 3782.19X 2815.25X R2 = 0.776
Log-log model:
2 3ln Y 9.2278 1.7607ln X 1.3398ln X R2 = 0.729222
Zi değişkeni ile birlikte tahmin edilen doğrusal model
2 3 iY 9727.56 3783.06X 2817.71X 85.23Z
t (3.2178) (-6.3337) (2.8366) (0.0207)
R2 = 0.7707
H0: Doğ-doğ model geçerlidir
H1: Log-log model geçerlidir.
ttab = tn-k = t13,a =0.05 = 2.160
thes < ttab H0 reddedilemez.
23
Bir ekonomideki bir para talebi modelinde MD=Para talebi, i=Faiz oranı, Y=Milli gelir, L=Likit aktifler stoku(Para dışındaki) değişkenleri yer almaktadır.
1960-1997 dönemi verileri ile bir ülke için şu fonksiyon tahmin edilmiştir.
MD= 0.003 - 0.216(İ) + 0.52(Y) + 0.367(L)s(bi) (0.009) (0.112) (0.101) (0.102)
1903.02 iy 579.02 R
Daha sonra bu değişkenlerle tam logaritmik model oluşturulmuştur.
lnMD=0.412 - 2.325ln(i) + 1.982ln(Y) + 0.417ln(L)s(bi) (0.519) (0.102) (0.192) (1.562)
123.02 iy 413.02 R 24
H0=Doğ-doğ model geçerlidir.
H1=Log-log model geçerlidir.
159.17164.0
814.2hest
042.233;05.0 tttab
thes(17.159)>ttab(2.042) H0 reddedilir.Log-log model geçerlidir.
MD= 0.01 - 0.038(i) + 0.23(Y) - 0.68(L) + 2.814(Zİ)s(bi) (0.004) (0.0026) (0.004) (0.512) (0.164)
Doğrusal modelin doğru model hipotezini test etmek için aşağıdaki model kurulmuştur. Gerekli hipotezleri kurup %5 önem seviyesinde hangi modelin tercih edileceğini söyleyiniz.
25
DOĞRUSAL OLMAYAN SINIRLAMALAR
İiiii XXXY 4433221ˆˆˆˆ
1. 43
Bazı durumlarda sınırlamaların yapısı doğrusal olmaz. Bu
durumda doğrusal sınırlamalardan farklı olarak modellerin
tahmininde problemlerle karşılaşılır. Parametreler klasik en
küçük kareler yöntemi ile tahmin edilemeyebilirler.
Regresyon modelinin,
olduğunu ve katsayılar ile ilgili sınırlamanın olduğunu
varsayalım. Bu durumda,
34
1
26
İiiii XXXY
43
33221
1ˆˆˆ
olacaktır. Bu model doğrusal olmayan bir modeldir. Model
parametreleri, en küçük kareler veya farklı bir yöntemle
tahmin edilecektir.
olacağı model,
27
DOĞRUSAL OLMAYAN SINIRLAMALARIN TESTİ
Gerçekte doğrusal olmayan modellerin sınırlamaları için
kullanılacak testler, tahmincilerin dağılımı normal dağılım
olmadığından farklı olacaktır.
Sınırlamalar için Benzerlik Oranı testi (LR), Wald testi (W)
ve Lagrange Çarpanı testi (LM) kullanılır. Bu testler
sadece doğrusal olmayan sınırlamalar için geçerli
olmayıp, doğrusal sınırlamalar için de geçerlidir.
Ancak doğrusal sınırlamalar için açıklanan testlerin gerçekte
doğrusal olmayan modeller için kullanılması söz konusu
değildir.28
BENZERLİK ORANI TESTİ Benzerlik oranı testi için adından da anlaşılacağı gibi
benzerlik fonksiyonu kullanılır. Test için sınırlandırılmış
modelin tahmini de yapılır ve logaritmik benzerlik
fonksiyonunu eğiminin sıfır veya sıfırdan farklı olması
durumuna göre sınırlamaların geçerli olup olmayacağına
karar verilir. Sınırlandırılmış modelin logaritmik benzerlik
fonksiyonunu LR, sınırlandırılmamış modelin logaritmik
benzerlik fonksiyonu LU ile ifade edersek test istatistiği,)(2 UR LLLR
olarak hesaplanır. LR test istatistiğinin dağılımı h serbestlik dereceli ki-kare dağılımıdır. h sınırlama sayısıdır. Temel hipotez sınırlamaların geçerli olduğunu,alternatif hipotez ise sınırlamaların geçerli olmadığını ifade eder.
29
LR test istatistiği hata payı ve h serbestlik derecesi ile ki-kare tablosundan bulunacak değer ile karşılaştırılır. LR tablo değerinden büyükse H0 hipotezi reddedilir,sınırlamalar geçersizdir. Aksi söz konusu ise sınırlamalar geçerlidir.
LR test istatistiği sınırlandırılmış ve sınırlandırılmamış modellerin artıklarının karelerinin toplamı ile
Ut
Rte e
enLR
2
2
log
veya sınırlandırılmış ve sınırlandırılmamış modellerin belirlilik katsayısı ile,
olarak da hesaplanabilir.
2
2
1
1log
U
Re R
RnLR
30
LAGRANGE ÇARPANI TESTİ
Bu test Lagrange fonksiyonuna ve sınırlandırılmış modelin tahminine dayanarak yapılır. Büyük örnekler için
ne
eeLM
Rt
UtRt
/2
22
olarak hesaplanır ve test istatistiğinin dağılımı h (sınırlama sayısı) serbestlik dereceli ki-kare dağılımıdır. LM test istatistiği R2 değerleri ile,
nR
RRLM
R
RU
/)1(
)(2
22
hesaplanabilir.
Doğrusal sınırlamalar söz konusu olduğunda test istatistiği,31
2nRLM olarak hesaplanabilir. Hipotezler ve hipotezin kabul kararı benzerlik oranı testinde açıklandığı gibidir. LM testi F testi gibi bağımsız değişken katsayılarının tümünün anlamlılığını test etmek için kullanılabilir. Bu durumda test istatistiği sınırlandırılmamış modelin belirlilik katsayısı kullanılarak
2UR
2UnRLM
hesaplanır. LM test istatistiğinin dağılımı test edilen parametre sayılı (k-1) serbestlik dereceli ki-kare dağılımıdır.
32
WALD TESTİ
Testte, sınırlandırılmamış modelden tahmin edilen varyans
kullanıldığından sınırlandırılmamış modelin tahminini gerektirir.
Birden fazla sınırlama test edilebilir. Sınırlama sayısı h ile ifade
edilebilir. Wald test istatistiği,
ne
eeW
Ut
UtRt
/2
22
olarak hesaplanır. Wald test istatistiği R2 değerleri ile,
nR
RRW
U
RU
/)1(
)(2
22
hesaplanır. 33
Sınırlama sayısı h=1 olduğundan ki-kare tablosunda 1
serbestlik derecesi ile tablo değeri bulunarak benzerlik
oranı testinde olduğu gibi karar verilir.
Aynı modelde aynı kısıtlamalar için Lagrange çarpanı,
Benzerlik oranı ve Wald testleri hesaplandığında,
WLRLM
ilişkisi görülür.
34
Uygulama: Mayıs 2001-Mart 2010 dönemi için faiz oranları
(FAİZ), enflasyon açığı (EACIK), üretim açığı
(URETİMACIK), bir dönem önceki faiz oranı (GFAİZ) ve
döviz kuru açığı (DKACIK) değişkenleriyle model tahmin
edilmiştir.
Daha sonra döviz kuru açığının yer almadığı modeli ele
alarak sınırlama testlerinden F,LR,LM ve W testleri ile hangi
model ile çalışılacaktır.
35
Sınırlandırılmamış model: = 0.995498
0:
0:
31
30
H
H
Yt=β1+β2GFAİZ β3DKAÇIK+β4EAÇIK+β5ÜRETİMAÇIK+ut
2UR
4291.1212 Ute 36
Sınırlandırılmış model: = 0.994842 2RR
1270.1392 Rte 37
1. aşama: H0: Sınırlamalar geçerlidir. ( )
H1: Sınırlamalar geçersizdir. ( )
2. aşama: f1: h= 1 , f2: n-k= 106-5=101 Ftab=6,85
3. aşama:
)/()1(
/)(2
22
knR
hRRF
U
RU
7170.14101/)995498.01(
1/)994842.0995498.0(
F
1. F TESTİ ÖRNEĞİ
0: 30 H
0: 31 H
38
4. aşama: Fhes = 14.7170 > Ftab = 6.85
H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış
model ile çalışılmalıdır.
39
2.BENZERLİK ORANI TESTİ ÖRNEĞİ
1. aşama: H0: Sınırlamalar geçerlidir. ( )
H1: Sınırlamalar geçersizdir. ( )
2.aşama: h=1
3.aşama:
84.321
Ut
Rte e
enLR
2
2
log
42.144291.121
1270.139log106 eLR
0: 30 H
0: 31 H
40
4.aşama: LR=14.42 >
H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış model ile çalışılmalıdır.
veya
84.32 tab
2
2
1
1log
U
Re R
RnLR
419.14995498.01
994842.01log106
eLR > 84.32 tab
H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. 41
3.LAGRANGE ÇARPANI TESTİ ÖRNEĞİ
1. aşama: H0: Sınırlamalar geçerlidir. ( )
H1: Sınırlamalar geçersizdir. ( )
2.aşama: h=1
3.aşama:
84.321
ne
eeLM
Rt
UtRt
/2
22
483.13106/127.139
4291.121127.139
LM
0: 31 H
0: 30 H
42
84.321 4.aşama LM=13.483 >
H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir.
veya
nR
RRLM
R
RU
/)1(
)(2
22
481.13106/)994842.01(
)994842.0995498.0(
LM > 84.321
H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış model ile çalışılmalıdır.
43
WALD TESTİ ÖRNEĞİ1. aşama: H0: Sınırlamalar geçerlidir. ( )
H1: Sınırlamalar geçersizdir. ( )
2.aşama: h=1
3.aşama:
84.321
ne
eeW
Ut
UtRt
/2
22
449.15106/4291.121
4291.1211270.139
W
0: 30 H
0: 31 H
44
W=15.449 >
H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir.
veya
84.321
nR
RRW
U
RU
/)1(
)(2
22
446.15106/)995498.01(
)994842.0995498.0(
W > 84.321
H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış model ile çalışılmalıdır.
45
LM=13.483
LR=14.42
W=15.449
LM LR W
46
Yt=β1+β2GFAİZ β3DKAÇIK+β4EAÇIK+β5ÜRETİMAÇIK+ut
0:
0:
431
430
H
H
Sınırlandırılmamış model: = 0.9954982UR
4291.1212 Ute 47
Sınırlandırılmış model: =0.9945972RR
7361.1452 Rte 48
1. aşama: H0: Sınırlamalar geçerlidir. ( )
H1: Sınırlamalar geçersizdir. ( )
2.aşama: h=2
0: 430 H
0: 431 H
991.52 tab
3.aşama: ne
eeW
Ut
UtRt
/2
22
218.21106/4291.121
4291.1217361.145
W
4.WALD TESTİ ÖRNEĞİ
49
W=21.218 >
H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir.
veya
991.52 tab
nR
RRW
U
RU
/)1(
)(2
22
214.21106/)995498.01(
)994597.0995498.0(
W
W=21.214 >
H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış model ile çalışılmalıdır.
991.52 tab
50
Recommended