Diskrétní Fourierova transformace

Diskrétní Fourierova transformace

Transformace

InverzníTransformace

Zpracovánív

transform. oblasti

Zpracovánív

časové oblasti

x(n) X(n)

x(n)‘ X(n)‘

Základní idea transformace

• Spojitá Fourierova transformace

dtetxfX ftj 2)()(

• Diskrétní Fourierova transformace (exponenciální tvar)

1

0

/2)()(N

n

NnkjenxkX

• Diskrétní Fourierova transformace (goniometrický tvar)

1

0

)/2sin()/2cos()()(N

n

NnkjNnknxkX

k – index DFT ve frekvenční oblasti, k=1,2,…,N-1

• Každá hodnota X(m) je určená součtem součinů vstupních vzorků s hodnotami komplexní sinusoidy cos(Φ)-jsin(Φ). Přesná frekvence sinusoidy fa(m) závisí na počtu vzorků vstupního signálu N a vzorkovací frekvenci fs:

N

kfkf s

a )(

Př. Při vzorkování 500 Hz a počtu vzorků N=4 jsou frekvence fa následující:

X(0 )= 0HzX(1)=125 HzX(2)=250 HzX(3)=375 Hz

Xreal

Ximag

Ф

Xmag

Xm(k)=Xreal(k)+jXimag(k)

22 )()( kXkXXX imagrealmagmag

)(

)(tan 1

kX

kXX

real

imag

222 )()()()( kXkXkXkX imagrealmagPS

Polární tvar DFT

• Při použití polární reprezentace DFT – pozor na následující možné problémy :

– správnou konverzi fáze - sw většinou vrací fázový úhel v radiánech a to v rozsahu <–π/2, π/2 >

– při výpočtu fáze pozor na nulovou reálnou část ( přetečení) (fáze je v tomto případě ±90º

– pozor na správnou konverzi úhlu z intervalu <–π/2, π/2 > na interval <0, π >– fáze u velmi nízkých amplitud, které se ztrácí v šumů může chaoticky kmitat

okolo nulové hodnoty

• Př : Uvažujme signál x(t) vzorkovaný frekvencí 8kHz reprezentovaný 8 vzorky

x(0) = 0.3535 x(1) = 0.3535 x(2) = 0.6464 x(3) = 1.0607 x(4) = 0.3535 x(5) = -1.0607 x(6) = -1.3535 x(7) = -0.3535

)4

310002sin(5.0)10002sin()(

tttx

Vlastnosti DFT

1. Linearita k1x1(n)+ k2x2(n) ↔ k1X1(n)+ k2X2(n)

2. Periodičnost - funkce x(n) a X(n) jsou periodické s periodou P=N

3. Kruhový časový posun

4. Kruhový frekvenční posun

celénkXennxkn

Nj

0

)2(

0 ),()(0

celékkkXnxekn

Nj

00

)2(

),()(0

4. Kruhová konvoluce v časové oblasti

5. Kruhová konvoluce ve frekvenční oblasti

6. Obraz obrácené posloupnosti

7. Vlastnosti spektra reálné posloupnosti

)()()()( 2121 kXkXnxnx

)()(1

)()( 2121 kXkXN

nxnx

)()( kXnx

)()()( kNXkXkX

)()(

)()(

)](Im[)](Im[

)](Re[)](Re[

kNk

kNXkX

kNXkX

kNXkX

8. Vlastnosti spektra reálné a sudé posloupnosti• je-li x(n) reálná a sudá je i X(k) reálná sudá

9. Vlastnosti spektra reálné a liché posloupnosti

• je-li x(n) reálná a lichá, pak je X(k) imaginární, lichá

10. Alternativní vzorec pro výpočet IDFT

*1

0

2* )(

1)(

N

k

knNj

ekXN

nx

K výpočtu inverzní transformace je možné použít algoritmů pro výpočet DFT:

• nejprve obrátíme znaménka hodnot imaginární části X(k),• vypočteme DFT• obrátíme znaménka imaginárních částí vypočtených hodnot• výsledek vydělíme N

Vlastnosti fázové charakteristiky

2-D DFT

• Z předchozích vztahů vyplývá, že 2D DFT je možné počítat postupně s využitím 1D DFT: 1. vypočteme DFT pro jednotlivé řádky obrazu

f(x,y) → F(u,y)

2. Určíme 1D DFT pro každý sloupec matice F(u,y)

Zobrazení DFT – použití logaritmické transformace

Log(u,v) = k log(1+ F(u,v))

• Natočení obrazu

Vlastnosti 2-D DFT

• Lineární kombinace obrazů

k1 f(x,y) + k2 g(x,y) <==> k1 F(u,v) + k2 G(u,v)

• Posun obrazu – nemění se spektrum, ale fázový posun

• Zvětšení obrazu

• Sinusovka

• Čtverec

• Gausián

• Impulsy

Filtrace ve frekvenční oblasti

Dolní propust

Filtr DP =

x

*

=

Filtrace ve frekvenční oblasti

Holní propust

Filtr HP =

x

*

=

Filtrace ve frekvenční oblasti

Pásmová propust

Filtr PP =

x

*

=

Filtrace šumu

původní – filtrovaný obraz