View
216
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Discrete dynamische modellen
Puzzelen met rijtjesOrientatie
Algebraisch
Numeriek
Rijen en reeksen
Differentie vergelijkingen
Stelsels differentie vergelijkingen
Algebraisch/
numeriek
Maak de volgende rijtjes af:
a. 2 – 4 – 6 – 8 – 10 -
b. 1 – 2 – 4 – 8 – 16 -
c. 1 – 2 – 5 – 14 – 41 -
d. 1 – 4 – 9 – 16 - 25 -
e. 1 – 1 – 2 – 3 – 5 -
f. 2 – 3 – 5 – 7 – 11 -
g. 3 – 1 – 4 – 1 – 5 -
h. 1 – 3 – 6 – 10 -
Puzzelen met rijtjes
Antwoord:
a. 2 – 4 – 6 – 8 – 10 –
Puzzelen met rijtjes
Antwoord:
a. 2 – 4 – 6 – 8 – 10 – 12 – 14
want:
Puzzelen met rijtjes
1 12 met 2 (Recursieve formule)
of
2 (Directe formule)
n n
n
a a a
a n
Antwoord:
b. 1 – 2 – 4 – 8 – 16 –
Puzzelen met rijtjes
Antwoord:
b. 1 – 2 – 4 – 8 – 16 – 32 – 64
want:
Puzzelen met rijtjes
1 1
1
2 met 1 (Recursieve formule)
of
2 (Directe formule)
n n
nn
a a a
a
Antwoord:
c. 1 – 2 – 5 – 14 – 41 –
Puzzelen met rijtjes
Antwoord:
c. 1 – 2 – 5 – 14 – 41 – 122 - 365
want:
Puzzelen met rijtjes
1 13 1 met 1 (Recursieve formule)
of
1(3 3) (Directe formule)
6
n n
nn
a a a
a
Antwoord:
d. 1 – 4 – 9 – 16 - 25 –
Puzzelen met rijtjes
Antwoord:
d. 1 – 4 – 9 – 16 - 25 – 36 – 49
want:
Puzzelen met rijtjes
2
1 2
2
( 1)(Recursieve formule)
of
(Directe formule)
n n
n
na a
n
a n
Antwoord:
e. 1 – 1 – 2 – 3 – 5 –
Puzzelen met rijtjes
Antwoord:
e. 1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 - 34
want:
Puzzelen met rijtjes
1 1 (Recursieve formule)
in Woord formule:
nieuw getal is som twee vorige getallen
Er bestaat ook een Directe formule
n n na a a
Antwoord:
f. 2 – 3 – 5 – 7 – 11 –
Puzzelen met rijtjes
Antwoord:
f. 2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 – 17 – 23 - 29
want:
Puzzelen met rijtjes
in Woord formule:
nieuw getal is volgende priemgetal
Er bestaat geen Directe formule en
ook geen Recursieve formule
Antwoord:
g. 3 – 1 – 4 – 1 – 5 –
Puzzelen met rijtjes
Antwoord:
g. 3 – 1 – 4 – 1 – 5 – 1 – 6 – 1 – 7
want:
Puzzelen met rijtjes
in Woord formule:
nieuw getal is vorige getal :3 +3 :4 +4 :5 +5 enz.
of
Antwoord:
g. 3 – 1 – 4 – 1 – 5 – 9 – 2 – 6 – 5
want:
Puzzelen met rijtjes
in Woord formule:
nieuw getal is volgende decimaal van
Antwoord:
h. 1 – 3 – 6 – 10 –
Puzzelen met rijtjes
Antwoord:
h. 1 – 3 – 6 – 10 – 15 – 21 – 28 -36
want:
Puzzelen met rijtjes
n+1 n 1
2
n+1
a =a +n met a =1 (Recursieve formule)
Verschil is 1, 2, 3, 4, enz. (Woordformule)
( )a = ( Directe formule)
2
n n
of
Antwoord:
h. 1 – 3 – 6 – 10 – 12 – 6 – -17 – -69
want:
Puzzelen met rijtjes
4 2n+1
1a = ( 10 31 54 24)
8( Directe formule)
n n n n
of
Antwoord:
h. 1 – 3 – 6 – 10 – 15 – 21 – 25 – 27
want:
Puzzelen met rijtjes
n+1a ="aantal manieren om ogen te
gooien met drie dobbelstenen"
(Woord formule)
n
Conklusie:
Er zijn altijd een heleboel manieren om een rijtje getallen af te maken. Alleen liggen sommige manieren minder voor de hand dan andere.
We beperken ons verder tot reeksen van getallen die door een recursieve formule worden beschreven.
Puzzelen met rijtjes
Recursieve formules kunnen in de GR worden ingevoerd. bv. 1 03 2 met 1n na a a
Puzzelen met rijtjes
Rijen en reeksenEnkele bijzondere rijen
1.Rekenkundige rij
2.Meetkundige rij
3. “1e orde differentievergelijking”
4.Fibonacci reeks
5.Som rijen
1n nu u v
1n nu r u
1n nu a u b
1 2n n nu u u
1n n nS S u
Rijen en reeksen
1. Rekenkundige rij
Voorbeeld 3,10,17,24,31,38
Recursieve formule
Directe formule
1n nu u v
0nu u v n
Enkele bijzondere rijen
Rijen en reeksen
2. Meetkundige rij
Voorbeeld 3,6,12,24,48,96
Recursieve formule
Directe formule
1n nu r u
0n
nu u r
Bijzondere rijen
Rijen en reeksen
3. Lineaire differentievergelijking van de 1e orde
(Mengvorm van meetkundige en rekenkundige rij)
Voorbeeld 2, 5, 14, 41,121…..
Recursieve formule
Directe formule(Bewijs komt later)
1n nu a u b
nnu P a Q
Bijzondere rijen
Rijen en reeksen
Gegeven de recursieve formule
met u0=2 dus de rij 2, 5, 14, 41, 122 enz.
De Directe formule
is dan te vinden door 2 getallen in te vullen.
13 1n nu u
3nnu P Q
1
22
2 3
1 15 3
2 21
(3 1)2
nn
u P Q
u P Q P Q
u
Rijen en reeksen
4. Fibonacci reeks“Lineaire differentievergelijking van de 2e orde”
Voorbeeld 1,1,2,3,5,8,13,21,34
Recursieve formule
Directe formule de formule van Binet (Zonder bewijs)
1 2n n nu u u
1 1 1 12 2 2 2( 5) ( 5)
5 5
n n
nu
Bijzondere rijen
Rijen en reeksenBijzondere rijen
0 1 2, , , ..... nu u u u
0 1 2 .....n nS u u u u
5. Som rijen
Gegeven de rij
Wat is dan de som
Recursief geschreven
maar bij Som rijen willen we een Directe formule!
1n n nS S u
Rijen en reeksenBijzondere somrijen
a) Som van de rekenkundige reeks
b) Som van de meetkundige reeks
c) Som van de lineaire differentievergelijking van de 1e orde
d) De harmonische reeks
e) De reeks van Euler
f) De reeks van Leibniz
g) De halverings reeks
Rijen en reeksenBijzondere somrijen
Som van de rekenkundige reeks
Hoe tel je alle termen van een rekenkundige reeks bij elkaar op?
Schrijf de reeks er omgekeerd onder! (blz. 116/117)
Gegeven de rekenkundige rij
Dan geldt:
nu
0
1( 1) ( )
2n nS n u u
Rijen en reeksenBijzondere somrijen
Som van de meetkundige reeks
Hoe tel je alle termen van een meetkundige reeks bij elkaar op?
Schrijf de reeks er nog eens onder maar dan alles maal r. Trek ze van elkaar af. (blz. 121)
Gegeven de meetkundige rij
Dan geldt:
1n nu r u
10 1
0
1
1 1
nn
n
u urS u
r r
Rijen en reeksenTussendoor…..
Bewijs voor de directe formule voor de lineaire differentievergelijking van de 1e orde
1n nu a u b Als dan ziet de rij er uit als:
20 0 0
3 20
2 3 10
, , ,
, ... .
(1 ..... )n nn
u a u b a u a b b
a u a b a b b enz
u u a b a a a a
Rijen en reeksenTussendoor…..
Bewijs voor de directe formule voor de lineaire differentievergelijking van de 1e orde
0 0
1( )
1 1 1
dus
nn n
n
nn
a b bu u a b u a
a a a
u P a Q
Rijen en reeksenBijzondere somrijen
De harmonische reeks
1 1 1 1 1......
1 2 3 4 5nS Definitie:
De harmonische reeks komt in allerlei problemen voor.
Zoals “De slak en de geit” of “Bruggen bouwen”
Rijen en reeksenBijzondere somrijen
De harmonische reeks
1 1 1 1 1......
1 2 3 4 5nS Definitie:
In de 14e eeuw ontdekte Nicole Oresme dat de som willekeurig groot kan worden!
Maar dat duurt wél even…
Als je de 20 wilt halen moet je 250 miljoen termen optellen. Als je de 100 wilt halen moet je 1,5 x 1043 termen optellen. Over traag gesproken...............
Rijen en reeksenBijzondere somrijen
De harmonische reeks divergeert!
Het bewijs van Nicole Oresme:
8
8
2
1 1 1 1 1 1 11 ( ) ( )
2 3 4 5 6 7 81 1 1 1 1 1 1 1
1 ( ) ( ) 1 32 4 4 8 8 8 8 2
1Algemeen: 1
2k
S
S
S k
Rijen en reeksenBijzondere somrijen
De reeks van Euler
Definitie:
Het was de broers Jakob en Johan Bernouilli rond 1700 al bekend dat deze reeks niet divergeert maar naar een vaste waarde nadert.
Het duurde tot 1730 tot Euler aantoonde:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1......
1 2 3 4 5nS
2
2 2 2 2 2 21
1 1 1 1 1 1......
1 2 3 4 5 6k
Sk
Rijen en reeksenBijzondere somrijen
De reeks van Gregory-Leibniz
(En waarschijnlijk al bekend in Indie in de 14e eeuw)
Voor berekeningen van π is deze reeks niet geschikt. Het convergeert heel langzaam.
0
( 1) 1 1 1 11 ......
2 1 3 5 7 9 4
k
k
Sk
Rijen en reeksenBijzondere somrijen
De halverings reeks
Definitie:
Dit is een gewone meetkundige reeks.
Volgens de somformule voor meetkundige reeksen nadert de uitkomst naar
1 1 1 11 ......
2 4 8 16nS
11 02 met =1 n nu u u
112
12
1 ( )lim 2
1
n
nS
Rijen en reeksenBijzondere somrijen
is terug te vinden in de “Boom van Pythagoras”
Rijen en reeksenBijzondere somrijen
a) Som van de rekenkundige reeks
b) Som van de meetkundige reeks
c) Som van de lineaire differentievergelijking van de 1e orde
d) De harmonische reeks
e) De reeks van Euler
f) De reeks van Leibniz
g) De halverings reeks
Recommended