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Disciplina: Cálculo Numérico
IPRJ/UERJ
Sílvia Mara da Costa Campos Victer
Aula 6 - Solução de Sistema de Equações Algébricas
Métodos diretos:
1- Eliminação de Gauss com substituição recuada
2- Decomposição LU
Métodos indiretos (ou iterativos):
1- Gauss-Jacobi
2- Gauss-Seidel
Serão vistos alguns métodos numéricos (diretos e iterativos) para resolução de sistemas de equações lineares. A resolução de sistemas lineares é um
problema que surge nas mais diversas áreas (ex. previsão do tempo, otimização de sinais de transito e linhas de metro, mecânica quântica, etc..).
Os métodos numéricos para resolução de um sistema linear podem ser divididos em
dois grupos: 1- Métodos diretos – a menos de erros de arredondamento, fornecem a solução
exata do sistema linear, caso ela exista, após um número finito de operações. 2- Métodos iterativos – geram uma sequência de vetores , a partir de uma
aproximação inicial . Em algumas condições esta sequência converge para
a solução x*, caso ela exista.
Sistemas Lineares:
Definição: Sistemas Lineares são sistemas de equações com m equações e n
incógnitas formados por equações lineares. Um sistema linear com m equações e n incógnitas é escrito usualmente na
forma:
onde:
são os coeficientes,
são as incógnitas,
são as constantes (ou termos independentes),
A resolução de um sistema linear consiste em calcular os valores de ,
, caso eles existam, que satisfaçam as m equações simultaneamente.
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Em notação matricial, o sistema linear pode ser representado por AX=B.
A matriz completa ou matriz aumentada do sistema é dada por:
A é a matriz dos coeficientes:
X é o vetor de incógnitas:
B é o vetor constante (termos independentes):
Exemplo:
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Classificação quanto ao número de soluções:
Um sistema linear pode ser classificado em:
Compatível: - Determinado (solução única)
Exemplo:
- Indeterminado (admite infinitas soluções)
Exemplo:
Incompatível:
- Não admite solução
Exemplo:
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Quando todos os termos independentes forem nulos, isto é, se ,
o sistema é dito homogêneo. Todo sistema homogêneo é compatível, pois admitirá pelo menos a solução trivial ( ).
Para analisar o caso geral, m equações e n variáveis, usaremos conceitos de Álgebra linear.
Métodos diretos (algoritmos diretos):
1- Método da Eliminação de Gauss
Este método consiste em transformar o sistema linear original num outro sistema
linear equivalente com matriz dos coeficientes triangular superior, pois estes são de resolução imediata.
Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem a mesma solução. Os determinantes de sistemas lineares equivalentes são iguais.
Com passos o sistema linear AX = B é transformado num sistema
triangular equivalente: UX = C, o qual se resolve facilmente por substituições.
Cálculo da solução de AX = B em três etapas:
1ª etapa: Matriz Completa
Consiste em escrever a matriz completa ou aumentada do sistema linear original.
2ª etapa: Triangulação
Consiste em transformar a matriz A numa matriz triangular superior, mediante uma sequência de operações elementares nas linhas da matriz.
3ª etapa: Retrossubstituição
Consiste no cálculo dos componentes , solução de AX = B, a partir da
solução do último componente ( ), e então substituirmos regressivamente nas
equações anteriores.
Teorema:
Seja AX = B um sistema linear. Aplicando sobre as equações deste sistema uma sequência de operações elementares escolhidas entre:
i) Trocar a ordem de duas equações do sistema;
ii) Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula; iii) Adicionar um múltiplo de uma equação a outra equação;
obtemos um novo sistema UX = C e os sistemas AX = B e UX = C são equivalentes.
Resolução de sistemas triangulares:
Seja o sistema linear AX = B, onde A: matriz n x n, triangular superior, com elementos da diagonal diferentes de zero. Escrevendo as equações deste sistema,
temos:
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Da última equação deste sistema temos:
Da penúltima equação deste sistema temos:
e assim sucessivamente obtém-se e finalmente :
Estratégia de pivoteamento
O algoritmo para o método de eliminação de Gauss requer o cálculo dos
multiplicadores:
a cada etapa k do processo. O coeficiente é chamado de pivô.
O que acontece se o pivô for zero? - é impossível de se trabalhar.
E se o pivô estiver próximo de zero? - pode resultar em resultados totalmente imprecisos.
Em qualquer calculadora ou computador os cálculos são efetuados com precisão
finita, e pivôs próximos de zero dão origem a multiplicadores bem maiores que a unidade que, por sua vez, origina uma ampliação dos erros de arredondamento.
Como contornar estes problemas?
- adotar uma estratégia de pivoteamento, ou seja, adotar um processo de escolha da linha e/ou coluna pivotal.
Esta estratégia consiste em:
i) no inicio da etapa k da fase de escalonamento, escolher para pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes: ;
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ii) trocar as linhas k e i se for necessário.
Classificação do sistema triangular:
Seja U um sistema triangular superior escalonado de m equações e n incógnitas,
teremos as seguintes possibilidades:
i) m = n : sistema compatível e determinado; ii) m < n : sistema compatível e indeterminado.
Se durante o escalonamento surgir equações do tipo:
, então:
i) Se , então eliminaremos a equação e continuamos o escalonamento;
ii) Se , então conclui-se que o sistema é incompatível.
Exemplo: Resolução do sistema abaixo pelo método de Gauss:
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Primeira etapa: matriz completa
Segunda etapa: triangulação
E1: primeira equação, E2: segunda equação, etc.
O componente <x> indica o pivô
Terceira etapa: retrossubstituição
Da terceira linha temos: Substituindo na segunda linha temos:
Substituindo e na primeira linha temos:
A solução deste sistema é
Exercícios: Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de Gauss:
Exercício 1:
A solução deste sistema é Exercício 2:
Resolução:
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Exercício 3:
Exercício 4:
Resolução:
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Exercício 5:
Exercício 6:
Exercício 7:
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2- Método da Fatoração ou Decomposição LU
Seja o sistema linear AX=B.
O processo de fatoração para resolução deste sistema consiste em decompor a matriz
A dos coeficientes em um produto de dois ou mais fatores e, em seguida, resolver uma sequência de sistemas lineares que nos conduzirá a solução do sistema linear
original.
Vamos supor que seja possível fatorar a matriz A dos coeficientes num produto de uma matriz triangular inferior com diagonal unitária L e uma matriz triangular
superior U, isto é: A=LU
Nestas condições, o sistema AX = B pode ser reescrito na forma LUX = B, o que
permite o desmembramento em dois sistemas triangulares:
LY=B e UX=Y
Resolvendo o primeiro sistema, calculamos Y que, usado no segundo sistema,
fornecerá o vetor procurado X.
Cálculo dos fatores L e U:
Obtenção das matrizes L e U através do método de Gauss:
Resolver o sistema linear abaixo usando a fatoração LU:
Resolução:
Para triangular A temos:
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Etapa 1:
Então:
Etapa 2:
Então:
Os fatores L e U são:
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Exercício 1: Resolver o sistema linear a seguir usando a fatoração LU:
Exercício 2: Resolver o sistema linear a seguir usando a fatoração LU:
Refazer todos os exercícios anteriores para eliminação de Gauss utilizando a fatoração LU.
Métodos iterativos (Algoritmos iterativos):
1- Método de Gauss-Jacobi
Seja o sistema abaixo:
Isola-se em cada uma das equações ordenadamente, uma das incógnitas.
onde são as atribuições iniciais do método.
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e
Critério de convergência - Critério das linhas
O método de Gauss-Jacobi gera uma sequência convergente se o sistema estiver na forma diagonalmente dominante, isto é:
independente da escolha da aproximação inicial, x(0).
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Exemplo:
Condições de parada:
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Exercício 1: Dado o sistema, pede-se sua solução por Gauss-Jacobi, com 4 casas
decimais com arredondamento e erro menor ou igual a 0,02.
Exemplo 2: Resolva o sistema linear
pelo método de Gauss-Jacobi com:
O processo iterativo é:
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ou
Prosseguindo as iterações temos:
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Outros exemplos podem ser encontrados nos livros das referências.
2- Método de Gauss-Seidel
Não será cobrado.
Referências:
1- Livro. Cálculo numérico.
Márcia Ruggiero e Vera Lopes.
2- Livro Análise Numérica
Richard L. Burden e J. Douglas Faires
3- Apostila.
Cálculo Numérico. Faculdade de Engenharia, Arquitetura e urbanismo.
Prof. Dr. Sérgio Pilling.
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